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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN
AGUSTÍN
FACULTAD DE INGENIERÍA DE PRODUCCIÓN Y
SERVICIOS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
CURSO: ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2
TEMA: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE
LAGRANGE
PRESENTADO POR: QUISPE SURCO MARCO
ANTONIO
DOCENTE: Ing. Mcs. HOLGER MEZA DELGADO
INGENIERÍA ELÉCTRICA
U N S A
MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
AREQUIPA- PERÚ
2014
CONTENIDO
1.- INTRODUCCIÓN................................................................................................................3
2.- MÁXIMOS Y MÍNIMOS MEDIANTE EL MÉTODO DE LAGRANGE:......................................3
3.- MÉTODO DE LAGRANGE PARA TRES DIMENSIONES, CON UNA RESTRICCIÓN.................6
4.- MÉTODO DE LAGRANGE PARA TRES DIMENSIONES, CON DOS RESTRICCIÓNES..............6
5.- MÉTODO DE LAGRANGE GENERALIZADO........................................................................8
6.- EJEMPLO........................................................................................................................ 10
7.- BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................13
ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 2
MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
1.- INTRODUCCIÓN
En esta lectura veremos el problema de optimizar una función de valor real sujeta a un
conjunto de restricciones. El método que veremos se debe a Joseph Louis Lagrange (1736-
1813) y la prueba de que define condiciones necesarias para los puntos óptimos aparece en el
libro de A. Khuri (1993): Advanced Calculus with Applications in Statistics (John Wiley and Sons,
New York) y la prueba de las condiciones de suficiencia aparecen en el libro R. P. Gillespie
(1954): Partial ifferentiation (Oliver and Boyd, Edinburgh).
Veremos ejemplos para clarificar los criterios de máximos y mínimos relativos.
2.- MÁXIMOS Y MÍNIMOS MEDIANTE EL MÉTODO DE LAGRANGE:
Sea una función continua y derivable de varias variables f(x,y) (“varias” variables, o sea , dos en
este ejemplo). Sabemos que para encontrar los extremos de la función (es decir, los puntos
(x,y) donde f alcanza su máximo o mínimo valor), debemos resolver las ecuaciones:
Esto es lo mismo que especificar el punto donde el gradiente de la función en el plano XY se
anula:
Como sabemos, el gradiente en este caso es un vector en el plano XY que indica la dirección
hacia donde hay que moverse para que la función aumente más bruscamente. El gradiente se
anula en los puntos donde la función es “horizontal” (donde la función no aumenta hacia
ningún lado).
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MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
En la figura se muestra una función con un máximo bien notorio. Las curvas de nivel indican los
puntos donde la función tiene un valor dado. El gradiente de la función en un punto dado tiene
dirección perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto. En el máximo, la curva de
nivel degenera en un solo punto. En tal caso, el gradiente es cero: a partir de ese punto no hay
ninguna dirección hacia donde la función aumente.
A veces no queremos buscar el máximo de la función en todo el dominio (plano XY, en este
caso), sino sólo a lo largo de una curva en el plano XY (en el caso de una función de 3 variables,
es decir en el volumen XYZ, la restricción puede ser una curva o una superficie en el espacio
XYZ).
Nuestro problema es entonces cómo encontrar los extremos de f si queremos limitarnos sólo a
puntos (x,y) que estén sobre una curva definida por:
g(x,y) = 0
La forma más directa (aunque no necesariamente la más simple de calcular) es usar la
condición de restricción g(x,y) = 0 para despejar y como función de, x,y=y(x), y luego
reemplazar este valor de y en la función. f(x,y(x)) De esta forma, tenemos una función de una
variable menos (en este caso una función que sólo depende de x) sin restricciones. Para
encontrar los extremos, simplemente buscamos los puntos x tales que:
Lo malo de este método es que en la práctica no siempre es posible despejar y = y( x)
Alternativamente, podemos definir la curva g ( x, y) = 0 en forma paramétrica, es decir,
mediante un par de funciones de un parámetro t: x = x(t ) e y = y(t ) tales que g ( x(t ), y(t )) =
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MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
0 . En este caso, buscamos el extremo de la función f (t ) = f ( x(t ), y(t )) usando, como
siempre, la condición:
Derivada de f con respecto de t = 0
En la práctica, esto a veces tampoco resulta fácil de hacer.
Veamos entonces la otra alternativa: el método de Lagrange.
Gráficamente, la función f ( x, y) se puede representar por un mapa de curvas de nivel en el
plano XY, que en el ejemplo anterior son curvas circulares. Como sabemos, el punto máximo
está en el centro de las curvas de nivel.
Sobre este gráfico podemos dibujar la curva de restricción atraviesa la figura. Note que
en esta figura, hemos dibujado la curva con un parámetro t, que avanza de izquierda a
derecha.
En el ejemplo, la función es mayor
mientras más nos movemos hacia el
centro de las curvas de nivel.
El máximo de f a lo largo de la curva
ocurre en el punto tal que al avanzar
sobre la curva no nos cambiamos de
nivel, es decir donde la curva es
tangente a la correspondiente curva de
nivel.
En otras palabras, el extremo de la
función f sobre la curva g = 0 ocurre donde el gradiente de f es perpendicular a la curva g = 0.
Hay otra forma de especificar esto más elegantemente: uno siempre puede definir el gradiente
de la función g, esto es ∇g , puesto que g ( x, y) es simplemente otra función más en en plano
XY, donde la restricción g ( x, y) = 0 simplemente corresponde a una de las curvas de nivel de g.
Esto significa que ∇g , para puntos sobre la curva g = 0, es un vector perpendicular a esta
curva.
La condición del extremo es, por lo tanto, un punto donde el gradiente de f es paralelo al
gradiente de g:
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MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Condición de extremo: ∇f = λ ∇g , donde λ es una constante de proporcionalidad.
Esta elegante condición corresponde exactamente al Método de Lagrange para encontrar
máximos y mínimos de una función f ( x, y) sujeto a la restricción g ( x, y) = 0 :
a) Construya una nueva función f ( x, y) = f ( x, y) − λ g ( x, y) , donde λ es una
constante (multiplicador de Lagrange), hasta aquí desconocida.
b) Extremice esta nueva función, considerando las variables sin restricción, es decir: ∇ f ( x, y) = 0 Las ecuaciones obtenidas serán funciones de las coordenadas x, e y
del parámetro λ .
c) Use la ecuación de restricción g ( x, y) = 0 para determinar λ .
El uso de este método es que es fácil de aplicar y fácil de generalizar a un número mayor de
variables y de restricciones.
3.- MÉTODO DE LAGRANGE PARA TRES DIMENSIONES, CON UNA RESTRICCIÓN
Queremos encontrar los extremos de f ( x, y, z) , sujeto a g ( x, y, z) = 0 . Esto se generaliza en
forma muy simple:
a) Ahora trabajamos en el espacio XYZ en vez del plano XY.
b) Ahora f ( x, y, z) se puede representar en el espacio XYZ por superficies de nivel, donde cada
superficie es el lugar de puntos donde la función tiene un valor dado. Tal como las curvas de
nivel en dos dimensiones, las superficies de nivel resultan como hojas paralelas en cada
vecindad, y el gradiente de la función es un vector que apunta normalmente a las hojas en la
dirección en la que la función aumenta.
c) Ahora, la función de restricción g ( x, y, z) = 0 es una superficie, que corresponde a una de
las superficies de nivel de la función g ( x, y, z).
d) Claramente, el extremo de la función f sujeta a la restricción g = 0 ocurre donde el
gradiente de f es perpendicular a la superficie g = 0, es decir, nuevamente los vectores
gradiente de f y g son paralelos.
4.- MÉTODO DE LAGRANGE PARA TRES DIMENSIONES, CON DOS RESTRICCIÓNES
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MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Qué pasa si hay dos ecuaciones de restricción? (en 3 dimensiones, eso puede ocurrir). En tal
caso, tenemos una función f ( x, y, z) , de la cual buscamos los extremos, sujeto a las
condiciones conjuntas: g1 ( x, y, z) = 0 y g2 ( x, y, z) = 0 .
Cada una de estas condiciones corresponde a una superficie en el espacio XYZ. La restricción
simultánea corresponde a los puntos que son comunes a ambas superficies, es decir, definen
una curva en el espacio XYZ, que es la intersección de las superficies (más vale que tal
intersección exista, pues de otro modo el problema es inconsistente).
En tal caso, el extremo de la función, al igual que en el caso en dos dimensiones, ocurre donde
la curva de restricción es tangente a una superficie de nivel de la función f. Ahora, todo el
problema es expresar esa condición en término de los gradientes:
Sabemos que en cada punto, ∇f es un vector perpendicular a la superficie de nivel donde yace
tal punto. Por lo tanto, en el punto de extremo, ∇f es perpendicular a la curva de restricción.
La última pregunta que nos queda es: ¿cómo defino la dirección de la curva de restricción?
La respuesta es que, en vez de definir la dirección de dicha curva, voy a identificar el plano
normal a la curva.
Cada superficie de restricción, en cada punto, tiene definido un gradiente, que es un vector
normal a dicha superficie. Por lo tanto, la curva de intersección de ambas superficies es
normal a ambos vectores gradiente (ver figura). El plano normal a la curva, por lo tanto, es
aquél que contiene a todos los vectores que son combinación lineal de los dos gradientes, ∇g1
y ∇g2.
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MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Como en el punto de extremo, ∇f debe ser normal a la curva, entonces dicho gradiente debe
yacer en el plano normal. Esto significa que ∇f es una combinación lineal de los dos vectores
gradiente ∇g1 y ∇g2 : ∇f = λ1 ∇g1 + λ2 ∇g2, para algún λ1 y λ2 .Eso es nuevamente el
método de Lagrange.
5.- MÉTODO DE LAGRANGE GENERALIZADO
Suponga que se desea optimizar la función real valuada f(x1, x2, . . . , xn) donde las variables
x1,x2,. . . ,xn están sujetas a las restricciones de igualdad (m < n):
g1(x1, x2, . . . , xn) = 0
g2(x1, x2, . . . , xn) = 0
...
gm(x1, x2, . . . , xn) = 0
Donde las funciones f, g1, g2,. . ., gm son diferenciables. f debe tener segundas derivadas
continuas, mientras que las gi deben tener primeras derivadas continuas.
El primer paso consiste en determinar los puntos críticos para ello se forma la función Lagrangeana:
F (x , λ)=f (x )+∑j=1
m
λj , gj(x )
Los puntos estacionarios se determinan resolviendo ∇F = 0:
Es decir, los puntos máximos o mínimos se encuentran dentro del conjunto de puntos críticos
que se obtienen de resolver el sistema formado por las ecuaciones:
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MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
y junto con las m ecuaciones dadas por las restricciones:
Este sistema se resuelve para las variables x1, x2, . . . ,xn y λ 1, λ 2,. . . , λ m. Así pues el sistema
consta de n + m ecuaciones en n + m incógnitas. El resultado sobre la necesidad dice: Un
máximo o mínimo al problema debe satisfacer el sistema de ecuaciones antes planteado.
Habiendo ubicado los puntos estacionarios viene el problema de determinar si son máximos o
mínimos locales. Para cada punto estacionario xo y para los valores λ1, λ2,. . ., λm
correspondientes. Se construye la matriz:
Sea ahora para i = 2, 3, . . . , n − m, Bi la matriz obtenida de B1 eliminando las primeras i − 1 filas
y las primeras i – 1 columnas, y sea ∆i el determinante de Bi.
Xo es un mínimo local si:
siendo m par cuando
∆1 > ∆0, ∆2 > 0, . . . , ∆n−m > 0
siendo m impar, cuando
∆1 <∆ 0, ∆2 < 0, . . . , ∆n−m < 0
Xo es un máximo local si:
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MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
siendo n par cuando
∆1 > 0, ∆2 < 0, . . . , (−1)n−m ∆n−m < 0
siendo n impar, cuando
∆1<0,∆2>0,...,(−1)n−m∆n−m>0
6.- EJEMPLO
Encuentre los valores óptimos de la función
f(x, y) = x2 + 12xy + 2y2
Sujeto a
4x2 + y2 = 25
Solución:
El sistema de ecuaciones es:
De la primera ecuación despejas Y (Observe que no conviene que despeje X o λ pues implica
indicar una división con una expresión que dependerá de una variable y se tendría que
considerar por separado el caso cuando es cero.
Si sustituimos esto en las ecuaciones 2 y 3 del sistema nos queda:
Si tomamos la nueva ecuación 1 y la factorizamos queda:
Esto nos origina tres posibles casos:
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MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Si sustituimos el caso x = 0 en la segunda nueva ecuación nos queda:
Es decir, este caso de la primera ecuación es incompatible con la segunda. El caso λ = 2
sustituido en la segunda ecuación da:
La cual da las soluciones:
sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y:
Resumiendo tenemos los puntos:
El caso λ = −17/4 sustituido en la segunda ecuación da:
La cual da las soluciones:
sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y:
Resumiendo tenemos los puntos:
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MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
En nuestro problema n = 2 (número de variables en f) y m = 1 (número de restricciones), y por
tanto debemos calcular ∆i desde i = 1 hasta i = n − m = 1. Es decir, que en este ejemplo basta
calcular ∆1 para cada punto. La matriz B1 queda:
Para el punto P(x = −2, y = 3, λ = 2), B1 queda:
Como m = 1 es impar, P es mínimo local.
Para el punto Q(x = 2, y = −3, λ = 2), B1 queda:
Como m = 1 es impar, Q es mínimo local.
Para el punto R(x = 3/2, y = 4, λ = −17/4), B1 queda:
Como n = 2 es par, R es máximo local.
Para el punto S(x = −3/2, y = −4, λ = −17/4), B1 queda:
Como n = 2 es par, S es máximo local.
La gráfica en la figura 1 ilustra los puntos críticos de ejemplo 1 sobre la misma superficie de la
función: se puede observar que tales puntos corresponden a los puntos más altos y más bajos
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MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
de la superficie restringidos a la elipse.
7.- BIBLIOGRAFÍA
http://www.fis.utfsm.cl/fis140/Lagrange.pdf
http://cb.mty.itesm.mx/materias/ma4011/materiales/a130-15.pdf
http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1328695759_1992907084.pdf
http://almagestoudea.files.wordpress.com/2008/07/el-gradiente-y-los-multiplicadores-de-lagrange.pdf
http://portalevlm.usal.es/INDEX_FILES/BASES/ARCHIVOS/TEMA6/MULTILAGRANGEEJ.PDF
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