Date post: | 03-Aug-2015 |
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD JUAREZ
MATERIA:
METODOS NUMERICOS
REPORTE:
APLICACIÓN A LA INTEGRACION NUMERICA
METODO DE SIMPON 1/3
REPORTE UNIDAD 4
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Nombre de los integrantes: Christian Berenice Molinar Alanís Ricardo Olivares García José Diego Zúñiga Payan Carlos Alfredo Agustín García
Matricula: 09111064 09111085 09111175 09110911
Nombre del Curso: Métodos Numéricos
Nombre del Profesor: María Leonor Castañeda Herrera
Modulo: Unidad 4 Integración y Diferenciación Numérica
Actividad: Reporte De La Aplicación Del Método Simpson de Integración Numérica
Fecha: 22 de Octubre de 2012
Bibliografía: (S.A)(S.F) recuperado de http://www.slideshare.net/123jou/integracin-numrica-parte-ii
(S.A)(S.F) recuperado de http://integralcalculus.galeon.com/album2277540.html
Objetivo: El estudiante conocerá, comprenderá y aplicará métodos numéricos para resolver problemas de la ingeniería y científicos mediante el uso de computadoras.
REPORTE UNIDAD 4
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INTRODUCCION. La integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. Para algunas ecuaciones el método analítico es una forma fácil de resolver este tipo de ecuaciones; sin embargo, hay ecuaciones de grados elevados, con los cuales se nos complicaría la resolución de estas, y es por eso que recurrir a un método numérico es una mejor opción (para los que quieren escapar del trabajo duro) para resolver tales ecuaciones si el mas mínimo esfuerzo gracias a las aplicaciones que podemos usar hoy en día para resolverlas.
REPORTE UNIDAD 4
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INTEGRACION NUMERICA POR EL METODO DE SIMPSON Así como en la regla del trapecio, la regla de Simpson se mejora al dividir el
intervalo integral en varios segmentos de un mismo tamaño, es decir
A continuación se muestra la ecuación de la regla de Simpson:
NOTA: Como dato importante, esta regla solo se puede aplicar a una cantidad de
segmentos que sean par, de lo contrario no funcionara la regla. También se debe tomar en
cuenta que los números impares de se deben de multiplicar por 4 y los pares por 2.
])()(2)(4)([3
1 1
5,3,1
2
6,4,2
10
n
i
n
j
nj xfxfxfxfhI
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APLICACIÓN DEL METODO DE INTEGRACION Resolveremos la siguiente ecuación para encontrar el área bajo la curva:
∫ [( ) ( )]
Método Analítico
Primero que nada debemos de eliminar los paréntesis para minimizar la expresión.
∫ ( )
∫ ( )
Ahora pasamos a integrar la ecuación:
∫ ( )
Valorado de -1 a 2
[ ( )
] [ ( )
( )
( )
]
[
] [
]
[
] [
]
Por lo tanto el área bajo la curva en los puntos [-1,2] en la ecuación es de A=39/2
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Método Numérico
∫ ( )
Primer paso encontramos h para 4 intervalos.
Donde b es el límite superior de la integral, a el límite inferior y n el número de
intervalos a realizar, por lo que quedara de la siguiente forma:
( )
Por lo que cada segmento del área bajo la curva se debe de dividir en 0.75
unidades. Ahora cada segmento que tenemos en X será el valor a sustituir en la ecuación
original.
Para = -1
( ) [( ( ) ( ) )]
Por lo tanto ( )
Para = -0.25
( ) [( ( ) ( ) )]
Por lo tanto ( )
Para = 0.5
( ) [( ( ) )]
Por lo tanto ( )
Para = 1.25
( ) [( ( ) )]
Por lo tanto ( )
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Para = 2
( ) [( ( ) )]
Por lo tanto ( )
Tabla de Iteraciones
F( )
-1 8
-0.25 8.1875
0.5 7.25
1.25 5.1875
2 2
Teniendo estos valores ahora pasamos a ingresarlos en la regla de Simpson.
[ ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( )]
Para n = 4
( )[ [( ) ( )] [ ] ]
Por lo que tenemos el resultado:
( )[ ]
Que en fracción seria:
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Usando Una Aplicación Para La Resolución De La Integración Numérica
Plataforma en que se llevo la aplicación: JAVA
Compilador Usado: NetBeans 6.9.1
Código Fuente Del Programa
public class simpson extends Applet{
//Metodo de Simpson
public double F(double x){
double y;
y=(9- Math.pow(x, 2))-(x+1);//funcion que se integra f(x) = (9-x^2)-(x+1)
return y;
}
public double MetdeSim(double Xi,double Xf,int n){
double h=(Xf-Xi)/n;
//El primer y el ultimo F(x) se multiplican por un factor de 1
double area=F(Xi);
area=area+F(Xf);
Xi=Xi+h;
for(int i=1;i<=n-1;i++){
//Los F(x) impares se multiplican por 4
if(i%2==1)
area=area+4*F(Xi);
//Los F(x) pares se multiplican por 2
else
area=area+2*F(Xi);
Xi=Xi+h;
}
return h/3*area;
}
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Capturas Del Programa
Ejecutamos el programa y nos aparecerá una pantalla como esta:
Como podemos ver la ecuación esta visible en la esquina superior izquierda, es la función con la
cual se trabajara. Ahora le damos los valores correspondientes, para el punto inicial será de -1 y
punto final será de 2.
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Tomemos en cuenta que la regla de Simpson solo deberá de aceptar números pares para
dividir el área bajo la curva, por lo que al tratar de ingresar un valor impar saldrá el mensaje
siguiente.
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Se deberá de ingresar un numero par en las divisiones de estas para poder usar la
aplicación. Usaremos el mismo intervalo que en la ecuación, con n = 4
Como podemos ver, las líneas azules nos indican el intervalo que se esta usando, y es el
área de la cual buscara a partir de este método. Vemos que el resultado de la ecuación es de 19.5
lo cual equivale a 39/2 si se hace la integral de manera analítica.
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Conclusión
Al usar alguno de los otros métodos de Integración Numérica, la regla de Simpson
es, al parecer, la regla que mas se aproxima al calculo del área que cualquier otra, ya que
su rango de error, a medida que se va aumentando la cantidad de divisiones dentro del
segmento [a, b], se va disminuyendo gracias a que se van dejando menos “huecos” debajo
de la curva, que es lo que ocurre con el método del trapecio.
No obstante para este ejemplo fue sencillo usar el método Simpson ya que fue una
ecuación simple con la cual, resolvimos por el método analítico y numérico, pero hay
ecuaciones que resolverlas por el método analítico llevaría tiempo y con la regla de
Simpson también, por lo que usar un programa como el visto aquí, nos puede facilitar el
trabajo de manera que sea menos el tiempo para encontrar la resultante.