Date post: | 23-Jan-2016 |
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Método del perpendículoMétodo del perpendículo
Resolución de triángulos Resolución de triángulos oblicuángulosoblicuángulos
Método del perpendículo.
Todo triángulo oblicuángulo se puede descomponer en dos triángulos rectángulos al trazar el perpendículo p.
Caso en que A<90º, B<90º.
Caso en que A>90º ó B>90º.
REGLAS
- El perpendículo p, a ser posible, debe trazarse desde un ángulo diferente al ángulo conocido.
- Al trazar el perpendículo p, en uno de los triángulos rectángulos deben conocerse dos de sus elementos.
- Cuando los datos conocidos son los tres lados, el método se complica demasiado.
Ejemplo 1:
Resolver el triángulo esférico, con los datos conocidos:
A = 75º 40’ b = 42º 23’ c = 107º 14’
1º) En el triángulo I conocemos: b , A.
Calculamos: ……………. p, x, X.
2º) En el triángulo II ahora conocemos: p,y
Calculamos: ……………. B, a, Y .
C = X + Y
Triángulo I
sin p = sin A sin b = 0.96887 * 0.67408 = 0.65309 → p = 40º 46’ 32”.
tan x = cos A tan b = 0.24756 * 0.91259 = 0.22592 → x = 12º 43’ 50”.
→ y = c – x = 94º 39’ 10”
345992.091364.3*73865.0
1
tancos
1tan
AbX → X = 19º 04’ 54”
Triángulo II
cos a = cos p cos y = 0.75727 * (-0.08111) = -0.06142 → a = 93º 24’ 30”.
86528.099670.0
86243.0
sin
tantan
y
pB → B = 40º 52’ 08”
881399.165309.0
22872.1
sin
tantan
p
yY → Y = 93º 02’ 33”
→ C = X + Y = 112º 07’ 27”
Ejemplo 2:
Resolver el triángulo esférico oblicuángulo, con los datos conocidos:
b = 51º 08’ c = 49º 27’ A = 118º 42’
I) Trazando el perpendículo p desde el ángulo B. II) « « « p desde « « C.
I) Trazando p desde B:
Calculamos: X, p, x.
AXAXc
tan*tan
1)º180cot(*cotcos → Ac
Xtan*cos
1tan
84214.0)82653.1(*65011.0
1tan
X
Cálculo de X:
Triáng. Rectángulo I
Cálculo de p:
cos (90º - p) = sin c . sin (180º -A) → sin p = sin c . sin A
sin p = 0.75983 * 0.87714 = 0.66647 → p = 41º 47’ 42”
Cálculo de x:
cos (180º - A) = cot c . cot (90º - x) → c
xA
tan
tancos
→ tan x = -cosA . tan c = -(-0.48022) * 1.16878 → x = 41º 47’ 42”
Triáng. Rectángulo II
Calculamos: a, Y , C. y = x + b = 80º 26’ 15”
Cálculo de a:
cos a = sin(90º - p) . sin(90º - y) = cos p cos y = 0.12384 → a = 82º 53’ 08”
Cálculo de Y:
cos(90º - p) = cot (90º- Y) . cot(90º - Y) → 90673.8sin
tantan
p
yY
→ Y = 83º 35’ 38”
Triáng. Rectángulo II
Cálculo de C:
cos (90º - y) = cot(90º - p) . cot C → 90653.0sin
tantan
y
pC
→ C = 42º 11’ 43”
Perpendículo desde C
Calculamos: X, p, x .
Cálculo de X:
cos b = cot X . cot (180º - A) =
Triáng. Rectángulo I
AX tan.tan
1
→ 87247.0tan.cos
1tan
AbX → X = 41º 06’ 14”
Cálculo de p:
cos(90º - p) = sin b . sin(180º - A) →
sin p = sin b sin A = 0.68249 → p = 43º 04’ 26”
Cálculo de x:
cos(180º - A) = cot b . cot(90º - x) → b
xA
tan
tancos
→ tan x = - cos A . tan b = 0.59584 → x = 30º 47’ 18”
c + x = y → y = 80º 14’ 18”
Triángulo rectángulo II
Calculamos: B, Y , a.
Conocemos: p, y
Cálculo de a :
cos a = sin(90º - p) . sin(90º - y) = cos p . cos y = 0.12384 →
a = 82º 53’ 10”
Cálculo de B :
cos(90º - y) = cot B . cot(90º - p) → 94865.0sin
tantan
y
pB
→ B = 43º 29’ 26”
Cálculo de Y:
cos(90º - p) = cot Y . cot(90º - y) →
51123.8sin
tantan
p
yY
→ Y = 83º 17’ 56”
→ Y – X = C = 42º 11’ 43”
Ejemplo 3:
Resolver por el método del perpendículo, el triángulo esférico, con los datos conocidos:
a = 58º 43’ ; c = 78º 29’ ; A = 40º 12’ .
Solución:
A < 90º; a + c < 180º → A + C < 180º ;
a < c → A < C Dos soluciones º90
º90
2
1
C
C
Primera solución (C1 < 90º)
Triángulo I:
(Datos conocidos): c, A
1. Cálculo de X1 :
92707.5tan.cos
1tan
tan.tan
1cot.cotcos
1
11
AcX
XAXAc
→ X1 = 80º 25’ 24”
(C1 < 90º)
Triángulo I:
(Datos conocidos): c, A
2. Cálculo de p1 :
→ p1 = 39º 13’ 52”
cos(90º - p1) = sin A . sin c →
sin p1 = sin A . sin c = 0.63245
(C1 < 90º)
Triángulo I:
(Datos conocidos): c, A
3. Cálculo de x1 :
→ x1 = 75º 03’ 47”
cos A = cot c . cot (90º - x1) =
tan x1 = cos A . tan c = 3.74855
c
x
tan
tan 1
(C1 < 90º)
Triángulo II:
(Datos conocidos): p1, y1.
4. Cálculo de y1 :
→ y1 = 47º 54’ 15”
cos a = sin (90º - y1) . sin (90º - y1) = cos y1 . cos p1 →
67037.0cos
coscos
11
p
ay
(C1 < 90º)
Triángulo II:
(Datos conocidos): p1, y1.
5. Cálculo de Y1 :
→ Y1 = 60º 15’ 25”
cos Y1 = cot a . cot (90º - p1) →
49610.0tan
tancos 1
1 a
pY
(C1 < 90º)
Triángulo II:
(Datos conocidos): p1, y1.
6. Cálculo de C1 :
→ C1 = 47º 44’ 06”
cos (90º - p1)= sin a . sin C1 → sin p1 = sin a . sin C1
74004.0sin
sinsin 1
1 a
pC
x1 + y1 = b1 = 122º 58’ 02”
X1 + Y1 = B1 = 60º 15’ 25”
B1 < 90º
Segunda solución: C2 > 90º . Triángulo I
Conocidos: A, c
Y2 = Y1 = 60º 15’ 25” .
p2 = p1 = 39º 13’ 52”
y2 = x1 = 75º 03’ 47”
Segunda solución: C2 > 90º . Triángulo II
Conocidos: a, p2
x2 = y1 = 47º 54’ 15” .
X2 = X1 = 60º 15’ 25”
180º - C2 = C1 = 47º 44’ 06”
C2 = 132º 16’ 45”b2 = y2 – x2 = 27º 09’
B2 = Y2 – x2 = 20º 09’ 31”