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Método gráfico

MC. Ma. del Pilar C. León Franco

Ingeniería Industrial y Tecnologías de la Información

Modelación Cuantitativa

Método gráfico

• Cuando un modelo de PL sólo contiene dos variables de decisión, es fácil encontrar gráficamente la solución óptima. Para hacer esto, se debe aprender cómo graficar las restricciones.

• Una restricción es una ecuación o una desigualdad lineal que puede ser graficada usando procedimientos algebraicos elementales

Método gráfico

• Región factible es definida como el conjunto de puntos (esto es, valores de las variables de decisión) que satisfacen simultáneamente todas las restricciones de un problema de programación lineal. De aquí que, cualquier punto de la región representa una solución factible o permitida para el problema.

Método gráfico

• Se puede identificar la región de factibilidad para un problema dado1) Dibujando todas las restricciones del problema en la misma gráfica.2) Sombreando el área que contiene los puntos que satisfacen a todas las restricciones.

Método gráfico

SupongaMaximizar 4X1 + 6 x2

Sujeto a:3X1 + 4X2 < 20

7X1 + 4X2 < 28

X1 < 3

X1 , X2 > 0

Método gráfico

Método gráfico

Gráfica de la restricción 3. Esta restricción que limita la producción de pantallas estilo A, señala que X1, no puede ser mayor que 3. Esto se grafica trazando una línea vertical por el punto X1 = 3. Cualquier punto a la izquierda de satisface la restricción X1 < 3.

Método gráfico

• La restricción para el tiempo laborable es: 7X1 + 4x2 < 28.

• Identificar los puntos en los cuales la ecuación 7X1 + 4x2 = 28 cruza por los dos ejes. Para encontrar el valor de x2 cuando x1 = 0, se realiza la siguiente:

7X1 + 4x2 = 28

7(0) + 4x2 = 28

x2 = 28 = 7

4Es decir, x1 =0, x2 = 7Y al hacer x2 = 0

7X1 + 4(0) = 28

X1 = 28 = 4

7Es decir, x1 =4, x2 = 0

Método gráficox1 = 4, x2 = 0

x1 = 0, x2 = 7

Método gráfico

Ejemplo 1

Maximizar z = 10 x1 + 2x2

Sujeto a2 x1 + 2x2 < 24

x2 > 4

X1 , X2 > 0

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Maximizar z = 12 x1 + 9x2

Sujeto a11 x1 + 18x2 > 99

10 x1 + 3x2 > 30

x2 < 8

X1 , X2 > 0

Ejemplo 2

Gráfica de la función objetivo

La forma general de la función objetivo para un problema de PL con dos variables de decisión es:z = c1x1 + c2x2

Donde c1 y c2 son los coeficientes de la función objetivo para las variables de decisión y z es el valor de la función objetivo a ser maximizado o minimizado

Gráfica de la función objetivo

• En tanto c1 y c2 son los coeficientes especificadas por el administrador cuando formula el modelo de PL para el problema, z varía conforme cambian los valores de x1 y x2 al resolver el problema. De hecho, la meta mayor de la PL consiste en encontrar valores de x1 y x2 que hagan a z tan grande como sea posible (o pequeña si es minimización) tomando en cuenta las limitaciones de las restricciones del problema

Gráfica de la función objetivo

• Por lo tanto, la expresión z = c1x1 + c2x2 representa a un conjunto de líneas rectas paralelas con una pendiente de (-c1/c2) y una ordenada al origen (z/c1). La pendiente (-c1/c2) está compuesta únicamente de constantes preespecificadas y, por tanto, explica por qué esta serie de líneas rectas son paralelas. Sin embargo la ordenada al origen varía conforme cambia z y, entonces, se explica el por qué se tiene un conjunto completo de líneas rectas como las iso-líneas para la función objetivo. Cualquiera de estas iso-líneas, as su vez, contienen todos los puntos (x1,x2) los cuales conducen al valor seleccionado de z.

Gráfica de la función objetivo

• Los problemas de PL pueden ser formulados de manera que maximicen tanto como sea posible el volumen de venta, los réditos, el margen de ingresos brutos, la ganancia, o cualquier otra cantidad que el administrador desee. Sin embargo independiente de la cantidad que se quiere maximizar, cuando se trata con problemas de maximización se hacer referencia a iso-líneas para la función objetivo como iso-ganancias

Gráfica de la función objetivo

1) Se puede derivar la tangente y la ordenada al origen como sigue:

c1x1 + c2x2 = z c2x2 = z - c1x1

c2x2 = z - c1x1

c2 c2

Entonces

Entonces z/c2 = ordenada al origen, y –c1/c2 pendiente

Ejemplo 2

Maximizar z = 12 x1 + 9x2

Sujeto a11 x1 + 18x2 > 99

10 x1 + 3x2 > 30

x2 < 8

X1 , X2 > 0

Ejemplo 2

Z = 36

Z = 54

Ejemplo 2

Determinación de la solución óptima

• La solución óptima para los problemas de PL con dos variables es aquel punto en la región de factibilidad que produce la “ganancia”, más grande o el “costo” menos menor. Este punto puede ser determinado gráficamente de la siguiente manera:

• 1) Superponiendo una sobreotra las gráficas de la región de iso-ganancia (iso-costos)

• 2) Moviendo las líneas de iso-ganancia (o iso-costos) en la dirección de incremento hasta que alcancen un punto más allá del cual no haya puntos de la región de factibilidad que estén en las líneas de iso ganancia (o iso-costos)

Resumen

1) Graficar todas las restricciones del problema

2) Sobre la misma gráfica, determinar la región factible

3) Señalar en la gráfica los vértices. Determinados por inspección visual o algebraicamente los valores de cada uno

Resumen

4) Graficar separadamente las líneas de iso-ganancia (o iso-costo) y se determina la dirección del incremento (o decremento)

5) Se superponen las dos gráficas6) Mover las líneas de iso-ganancia (o iso-

costo) en la dirección de incremento (o decremento) hasta que alcanzan un punto más allá del cual no hay puntos en la región de factibilidad que yazcan sobre las líneas de iso-ganancia (o iso-costo).