CALCULO INTEGRAL I.T.S.A.V Ing. Marcos Martínez Valenzuela

ALGEBRA

FACTORES Y CEROS DE POLINOMIOS

Sea p(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 un polinomio. Si p(a) = 0, se dice que a es un cero del polinomio

y una solución de la ecuación p(x)=0. Además, (x – a) es un factor del polinomio.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

Un polinomio de grado n tiene n ceros (no necesariamente distintos). Aunque todos esos ceros

pueden ser complejos, un polinomio real de grado impar ha de tener al menos un cero real.

FÓRMULA CUADRÁTICA

Si p(x) = ax2 + bx + c, y 0 ≤ b2 – 4ac, entonces los ceros reales de p son 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

FACTORIZACIONES ESPECIALES

X2 – a2 = (x – a) (x + a) X3 – a3 = (x – a)(x2 + ax + a2) X3 + a3 = (x + a)(x2 – ax + a2) X4 – a4 = (x2 – a2)(x2 + a2)

TEOREMA DEL BINOMIO

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

(x + y)4= x4 + 4x3y +6x2y2 + 4xy3 + y4

(x – y)4= x4 – 4x3y +6x2y2 – 4xy3 + y4

(x + y)n= xn + nxn – 1y + 𝑛(𝑛−1)

2! xn – 2 y2 +…. + nxyn – 1 + yn

(x – y)n= xn – nxn – 1y + 𝑛(𝑛−1)

2! xn – 2 y2 –…. ± nxyn – 1 ± yn

TEOREMA DE LOS CEROS RACIONALES

Si p(x) = anxn + an – 1 x n – 1 + … + a1x + a0 tiene coeficientes enteros, todos sus ceros

racionales son de la forma x = r/s, donde r es un divisor de a0 y s es un divisor de an.

FACTORIZACION POR AGRUPAMIENTO

acx3 + adx2 + bcx + bd = ax2(cx + d) + b(cx + d) = (ax2 + b)(cx + d)

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OPERACIONES ARITMETICAS

ab + ac = a(b + c)

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑 + 𝑏𝑐

𝑏𝑑

𝑎 + 𝑏

𝑐=

𝑎

𝑐+

𝑏

𝑐

(𝑎𝑏)

(𝑐𝑑)

= (𝑎

𝑐) (

𝑏

𝑐) =

𝑎𝑑

𝑏𝑐

(𝑎𝑏)

𝑐=

𝑎

𝑏𝑐

𝑎

(𝑐𝑑)

= 𝑎𝑐

𝑏

𝑎 (𝑏

𝑑) =

𝑎𝑏

𝑑

𝑎 − 𝑏

𝑐 − 𝑑=

𝑏 − 𝑎

𝑑 − 𝑐

𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

𝑎= 𝑏 + 𝑐

EXPONENTES Y RADICALES

a0 = 1 a ≠ 0 (ab)x = axbx axay = ax+y √𝑎 = 𝑎1

2⁄ 𝑎𝑥

𝑎𝑦= 𝑎𝑥−𝑦 √𝑎𝑛 = 𝑎

1𝑛⁄

(𝑎

𝑏)

𝑥

= 𝑎𝑥

𝑏𝑥 √𝑎𝑚𝑛

= 𝑎𝑚

𝑛⁄ 𝑎−1 =1

𝑎 √𝑎𝑏

𝑛= √𝑎𝑛 √𝑏

𝑛 (ax)y = axy

√𝑎

𝑏

𝑛=

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

NÚMEROS REALES Los números reales (denotados por R) son el conjunto de números creados por el hombre para poder transmitir mediante un lenguaje unificado distintas cantidades, expresadas por una serie de símbolos y 10 dígitos, lo que ha otorgado a la sociedad la capacidad de medición y exactitud con que cuenta y se rige hoy en día. Los números reales se subdividen en dos grandes grupos: los números racionales y los irracionales. NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales (denotados por Q) son todos aquellos que se pueden escribir en

forma de fracción, como p

q, donde p y q son enteros y q ≠ 0. Dentro de los números

racionales se comprenden los números enteros, las fracciones propiamente dichas, y los decimales. NÚMEROS ENTEROS

Son los números reales (denotados por Z) que escritos en forma de fracción se encuentran

divididos entre 1, y que en el resultado el numerador sigue siendo el mismo. Ejemplo: 5

1=

5, 12

1= 12,

−30

1= −30; en otras palabras, todo número entero está siempre dividido entre

uno, aunque no lo escribamos. Estos números los usamos en nuestra vida cotidiana para contar cosas exactas que tenemos o debemos; por ejemplo: una casa, 10 calcetines, $ 100.00 la hora, $15,000.00 a la hipoteca, etc. Los números enteros se dividen como sigue:

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1. Enteros positivos (Z+) Son los números enteros que usamos para contar lo que tenemos, e incluyen el cero. Se representan de la siguiente manera: Z+ = {0, 1 ,2 ,3 ,4 , 5 ,6 ... 9999,... }.

2. Enteros negativos (Z’) Son los números enteros que usamos para contar lo que debemos o lo que nos falta. Aparecieron con la civilización cuando decidió que debíamos hacer compras, pagar impuestos, o si le debíamos algo a alguien. Fue una forma de equilibrar lo que ganábamos con lo que perdíamos. Se representan por Z ’= {-1, -2 , -3 , -4 , -5 , - 6 ...}.

3. Números naturales (N) Son los primeros números que se utilizaron para contar; sin embargo sólo se tomaba en cuenta lo que se tenía, es decir, no se consideraban los números negativos. Los números naturales son un subconjunto de los números enteros positivos ya que no incluyen al cero. Se designan con la letra N. Ejemplo: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}.

4. Enteros pares Son números que pueden ser enteros positivos o negativos, siempre y cuando sean múltiplos de 2 o que al ser divididos entre 2 el resultado siga siendo un entero. Ejemplo: {2, 4, 6, - 8, - 10, - 12...}.

5. Enteros impares Corresponden a todos aquellos números enteros que no son múltiplos de dos o que al ser divididos entre 2 el resultado es una fracción o un decimal. Ejemplos: { 1 ,3 ,- 5 ,- 7 ,- 1 1 ...} .

6. Números primos Son todos los números enteros impares, con excepción del 2 que al dividirlo entre otro número diferente de la unidad o de sí mismo nos da un decimal u otro entero. Ejemplos:

17

1= 17,

17

2= 8.5,

17

3= 5.67,

17

4= 4.25,

17

5= 3.4 …

17

17= 1

Nota: Observa que al dividir el 17 entre un número diferente de 1 o de sí mismo nos da un número decimal, por lo tanto SÍ es un número primo.

15

1= 15,

15

2= 7.5,

15

3= 5,

15

4= 3.75,

15

5= 3 …

15

15= 1

Nota: Observa que el 15 se puede dividir entre la unidad y entre sí mismo; sin embargo, al dividirlo entre 3 o entre 5 también nos da un número entero, por lo tanto NO es un número primo.

LOS NUMEROS RACIONALES

En este breve repaso de los números racionales, recuerda primero que los números naturales se

simbolizan así:

N={1,2,3,4,5,6,7…}

Y en la recta numérica, los representaste de esta manera:

Así mismo podrás reconocer a los números enteros

Z={…-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}

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Los cuales, en la recta numérica, quedan representados así:

Antes de continuar, conviene señalar que:

El conjunto de los números enteros contiene al conjunto de los números naturales

Es decir:

N c Z (se lee N subconjunto de Z) porque

Todo elemento del conjunto de números naturales pertenece al conjunto de los números enteros

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

A veces es conveniente hacer un cambio de variable, para transformar la integral

dada en otra, de forma conocida. La técnica en cuestión recibe el nombre de método

de sustitución.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1. Encontrar ∫𝑒𝑙𝑛𝑥

𝑥2+7𝑑𝑥

Solución:

Como 𝑒𝑙𝑛𝑥 = 𝑥, se tiene:

∫𝑒𝑙𝑛𝑥

𝑥2 + 7𝑑𝑥 = ∫

𝑥

𝑥2 + 7𝑑𝑥

Sea la sustitución: 𝑢 = 𝑥2 + 7, donde 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥, dado que:

∫𝑥𝑑𝑥

𝑥2 + 7=

1

2∫

2𝑥𝑑𝑥

𝑥2 + 7

Se tiene:

1

2∫

2𝑥𝑑𝑥

𝑥2 + 7=

1

2∫

𝑑𝑢

𝑢

Integral que es inmediata.

Luego:

1

2∫

𝑑𝑢

𝑢=

1

2𝑙𝑛|𝑢| + 𝑐

Sustituyendo el valor de u, el resultado será:

1

2𝑙𝑛|𝑥2 + 7| + 𝑐

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2. Encontrar ∫𝑒𝑙𝑛𝑥2

𝑥3+8𝑑𝑥

Solución:

Como 𝑒𝑙𝑛𝑥2= 𝑥2, se tiene:

∫𝑒𝑙𝑛𝑥2

𝑥3 + 8𝑑𝑥 = ∫

𝑥2

𝑥3 + 8𝑑𝑥

Sea la sustitución: u = x3 + 8, donde: du = 3x2 dx, dado que:

∫𝑥2

𝑥3 + 8𝑑𝑥 =

1

3∫

3𝑥2

𝑥3 + 8𝑑𝑥

Se tiene:

1

3∫

3𝑥2

𝑥3 + 8𝑑𝑥 =

1

3∫

𝑑𝑢

𝑢

Integral que es inmediata.

Luego:

1

3∫

𝑑𝑢

𝑢=

1

3𝑙𝑛|𝑢| + 𝑐

Sustituyendo el valor de u, el resultado será:

1

3𝑙𝑛|𝑥3 + 8| + 𝑐

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3. Encontrar ∫(𝑥 + 2) 𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 4𝑥 − 6)𝑑𝑥

Solución:

Sea la sustitución: u = x2 + 4x - 6, donde: du = 2x + 4 dx, dado que:

∫(𝑥 + 2)𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 4𝑥 − 6)𝑑𝑥 =1

2∫(2𝑥 + 4)𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 4𝑥 − 6)𝑑𝑥

Se tiene:

1

2∫(2𝑥 + 4)𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 4𝑥 − 6)𝑑𝑥 =

1

2∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢

Integral que es inmediata.

Luego:

1

2∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢 =

1

2(−𝑐𝑜𝑠𝑢) + 𝑐 = −

1

2𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝑐

Sustituyendo el valor de u, el resultado será:

−1

2cos (𝑥2 + 4𝑥 − 6) + 𝑐

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4. Encontrar ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑥2)𝑑𝑥

Solución:

Sea la sustitución: u = 1 – x 2, donde: du = –2xdx, dado que:

∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑥2)𝑑𝑥 = −1

2∫(−2𝑥)𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑥2)𝑑𝑥

Se tiene:

−1

2∫(2𝑥)𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑥2)𝑑𝑥 = −

1

2∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢

Integral que es inmediata.

Luego:

−1

2∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢 = −

1

2(−𝑐𝑜𝑠𝑢) + 𝑐 =

1

2𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝑐

Sustituyendo el valor de u, el resultado será:

1

2cos (1 − 𝑥2) + 𝑐

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5. Encontrar ∫ √1 + 𝑦4𝑦3𝑑𝑦

Solución:

Sea la sustitución: u = 1 + y 4, donde: du = 4y3dy, dado que:

∫ √1 + 𝑦4𝑦3𝑑𝑦 =1

4∫(1 + 𝑦4)

12⁄ 4𝑦3𝑑𝑦

Se tiene:

1

4∫(1 + 𝑦4)

12⁄ 4𝑦3𝑑𝑦 =

1

4∫ 𝑢

12⁄ 𝑑𝑢

Integral que es inmediata.

Luego:

1

4∫ 𝑢

12⁄ 𝑑𝑢 =

1

4[𝑢

12⁄ +1

12 + 1

] + 𝑐 =1

4[

𝑢3

2⁄

32

] + 𝑐 =1

4[2𝑢

32⁄

3] + 𝑐 =

2𝑢3

2⁄

12+ 𝑐 =

1

6𝑢

32⁄ + 𝑐

Sustituyendo el valor de u, el resultado será:

(1 + 𝑦4)3

2⁄

6+ 𝑐

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INTEGRACIÓN POR PARTES

Existe una variedad de integrales que se pueden desarrollar, usando la relación

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

El problema es elegir “u” y “v”, por lo cual es útil la siguiente identificación:

I: Función trigonométrica inversa

L: Función logarítmica

A: Función algebraica

T: Función trigonométrica

E: Función exponencial

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1. Encontrar: ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

Solución:

I L A T E x cosx

u = x derivar du = dx

dv = cosxdx integrar v = senx

∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥

Resultado:

= 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐

integrar

derivar

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2. Encontrar: ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑐23𝑥𝑑𝑥

Solución:

I L A T E x sec23x

u = x derivar du = dx

dv = sec23xdx integrar 𝑣 =

1

3𝑡𝑔3𝑥

∫ 𝑥𝑠𝑒𝑐23𝑥𝑑𝑥 =1

3𝑥𝑡𝑔3𝑥 −

1

3∫ 𝑡𝑔3𝑥𝑑𝑥

Resultado:

=𝑥𝑡𝑔3𝑥

3−

1

9𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐3𝑥| + 𝑐

3. Encontrar: ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥

Solución:

I L A T E x2 senx

u = x derivar du = 2xdx

dv = senxdx integrar v = -cosx

∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

Integrando por partes la segunda integral:

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∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

I L A T E x cosx

u = x derivar du = dx

dv = cosxdx integrar v = senx

∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = −𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 [𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥]

−𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2[𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥] + 𝑐

El resultado es:

−𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐