of 11
7/24/2019 Mtodos Para Derivar e Integrar
1/11
Mtodos para derivar e integrarDERIVACIN
El proceso de encontrar la derivada de una funcin puede presentarse
complicado si se lo hace aplicando la denicin. Para hacer no tan engorrosoeste trabajo se dispone de tcnicas y reglas.
Regla de la Cadena
Ejemplo
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
La derivada es una funcin por tanto se podra obtener tambin la derivadade esta funcin y as sucesivamente. Es decir:
7/24/2019 Mtodos Para Derivar e Integrar
2/11
Ejemplo
DERIVACIN IMPLCIA
Para obtener y en una funcin implcita !"#$ y%&' sin necesidad de despejary( es m)s$ suponga *ue no se pueda despejar y$ hay *ue considerarla como!"#$ f"#%% & ' y derivando cada miembro de la ecuacin tomando en cuentalas reglas mencionadas lograramos lo deseado.
E!e"plo
DERIVACIN PARAM#RICALas ecuaciones de ciertas trayectorias son dadas en la forma:
7/24/2019 Mtodos Para Derivar e Integrar
3/11
+anto # como y est)n e#presadas en trminos del par)metro t$ el objetivo
ser) hallar directamente
dy
dx .
Ejemplo
INE$RACIN
,ntegracin signica calcular antiderivadas o primitivas$ el proceso contrariode la derivacin$ como ya se habr) notado. Esto no es tan sencillo yre*ueriremos de tcnicas$ las cuales presentaremos a continuacin.
En primera instancia$ es importante pensar *ue siempre se va a poderdeterminar la antiderivada empleando frmulas$ igual como se lo haca en elc)lculo de derivadas.
INE$RACIN DIRECA.Puede ser *ue$ haciendo uso de recursos algebraicos$ de las propiedades yde las formulas se puedan encontrar antiderivadas.
Ejemplo
7/24/2019 Mtodos Para Derivar e Integrar
4/11
INER$RACIN POR SUSIUCIN O CAM%IO DE VARIA%LE
-uando se presentan funciones compuestas$ en las *ue ya no es posible unaintegracin directa$ puede ser *ue con un cambio de variable setransformen en integrales inmediatas.
En este caso las frmulas de integrales se las puede observar no slo para sino para otra variable.
Ejemplo
INE$RACION POR PARES
Para el producto de funciones$ tenemos: d"uv%& udv/ vdu
0espejando y tomando integral$ resulta:
En denitiva$ la frmula *ue se emplea en integracin por partes es:
7/24/2019 Mtodos Para Derivar e Integrar
5/11
Ejemplo
INE$RACIN DE &UNCIONES RI$ONOMERICAS
-uando se integran funciones trigonomtricas *ue no sean directas$ esnecesario utili1ar identidades trigonomtricas. 2e las ha clasicado de lasiguiente manera:
Ejemplo
7/24/2019 Mtodos Para Derivar e Integrar
6/11
7/24/2019 Mtodos Para Derivar e Integrar
7/11
Ejemplo
7/24/2019 Mtodos Para Derivar e Integrar
8/11
Ejemplo
7/24/2019 Mtodos Para Derivar e Integrar
9/11
INE$RACIN POR SUSIUCION RI$ONOMERICA'
2e trata ahora de convertir las integrales dadas en directas mediante unasustitucin trigonomtrica. 3sualmente presenta la forma de radicales consuma o diferencia de cuadrados$ en tal caso se recomienda:
Ejemplo
7/24/2019 Mtodos Para Derivar e Integrar
10/11
INE$RACIN DE &UNCIONES RACIONALES
-uando la funcin racionalp(x)q (x) es una fraccin propia$ o sea *ue el
grado del numerador es menor *ue el grado del denominador$ serecomienda usar el mtodo de fracciones parciales.
7/24/2019 Mtodos Para Derivar e Integrar
11/11