MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN DE SAN MIGUELITO
INSTITUTO RUBIANO
MATEMÁTICAS
PRIMER TRIMESTRE
GUÍA DE APRENDIZAJE PARA 8 GRADO
TEMARIO:
NÚMEROS REALES
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
NOMBRES DE LOS PROFESORES
ISABEL FERNÁNDEZ
VILMA PRADO
RAQUEL ATENCIO
MARICELA MUÑOZ
MEDARDO NAVARRO
HARMODIO ARCHIBOLD
AGOSTO 2020.
INDICE DE CONTENIDO
TEMA N° I
NÚMEROS REALES 3
Conjunto de los Números Reales (Ɍ) 3
Actividad N°1 4
Representación gráfica de los Números Reales 5
Relación de orden en los Números Reales 6
Actividad N° 2 8
Suma y resta con Números Reales 10
Actividad N°3 12
Multiplicación con Números Reales 13
Actividad N° 4 14
División con Números Reales 15
Prueba Formativa N° 1 16
TEMA N°2
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 17
Enunciados verbales de expresiones algebraicas 19
Término algebraico y sus elementos 20
Actividad N° 5 21
Clasificación de los términos 22
Actividad N°6 24
Definición de monomio y polinomio 25
Actividad N° 7 26
Grado de una expresión algebraica 27
Actividad N° 8 27
Prueba formativa N°2 28
Valor numérico de una expresión algebraica 30
Actividad N°9 31
TEMA N° 3
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES EN UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 32
Reducción de términos semejantes en una expresión algebraica 33
Reducción de términos semejantes de igual signo en una expresión algebraica 35
Reducción de términos semejantes con distintos signos en una expresión algebraica36
Actividad N° 12 37
Reducción de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases 37
Actividad N° 13 38
TEMA N° 4 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON POLINOMIOS 39
Polinomios completos, incompletos y ordenados 40
Actividad N° 14 41
Suma y restas con polinomios 42
Actividad N° 15 44
Prueba formativa #3 45
Bibliografía 48
➢ Formar las bases del pensamiento lógico matemático para resolver situaciones y
problemas en los diferentes campos del saber humano.
➢ Aplicar los códigos y sistemas de numeración con sus propiedades los cuales
permiten analizar, interpretar, comprender y valorizar situaciones y problemas de
la vida cotidiana.
➢ Resolver operaciones con expresiones numéricas atendiendo a sus algoritmos.
➢ Aprender a aprender: Muestra capacidad permanente para obtener y aplicar
nuevos conocimientos y adquirir destrezas.
➢ Matemáticas: Resuelve operaciones fundamentales en el campo los Números
Reales y del álgebra, mediante la aplicación de los conceptos matemáticos, en la
solución de situaciones de su entorno.
➢ Autonomía e iniciativa personal: Manifiesta actitud perseverante hasta lograr las
metas que se ha propuesto.
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS
TEMA 1. NÚMEROS REALES
CONTENIDO
1. El conjunto de los Números Reales.
2. Representación gráfica de los Números Reales.
3. Relación de orden en los Números Reales.
4. Operaciones con los Números Reales.
3
• Concepto
El Conjunto de los Números Reales, denotado por ℝ, está formado por los números
racionales y los números irracionales. Encierra todos los sistemas numéricos que
hemos estudiado hasta la actualidad, desde los números naturales hasta los
irracionales. Veamos:
Conjuntos Numéricos y algunos ejemplos.
Símbolo Sistema NUmérico
Descripción Ejemplos
N
Naturales
Números para contar que son también llamados enteros positivos.
1, 2, 3, …
Z
Enteros
Conjunto formado por los naturales, el cero y los números negativos.
… -2, -1, 0, 1, 2, 3 ,…
Q Racionales Números que se pueden representar como 𝑎
𝑏, con a, b enteros b≠0
5
4, -4, 1.5, 3.67,
0.12121212…
I Irracionales
Números que no pueden representarse
como 𝑎
𝑏 tienen infinitas cifras decimales
no periódicas
√2, 𝜋 , 1.123456…,
√5, √7 + 1 , e
ℝ Reales
Conjunto de todos los números racionales e irracionales. Está formado por todos los conjuntos numéricos.
-3, √2, 0.333…,0,- 1
2,
5.79, 𝜋, 8.
Conjunto de Números Reales
4
Vamos a poner en práctica tus conocimientos sobre conjuntos numéricos. ¡ADELANTE!
Complete la siguiente tabla colocando un gancho a todos los conjuntos numéricos que
pertenece el número dado.
Conjuntos
Números Naturales
( N ) Enteros
( Z ) Racionales
( Q ) Irracionales
( I ) Reales
( R )
5
-7
0.23
3
4
√2
𝜋
2
4. 6
√18
2
-0.3333333…
258
ACTIVIDAD 1
5
Números Racionales (ℚ)
-1 − 2
0
3
1
2 1
5 2
3
Recordando
RECORDEMOS
Para representar una fracción propia, debemos tener en
cuenta que el denominador indica las partes iguales en
que se ha dividido la unidad entre 0 y 1, si el número es
positivo y entre 0 y -1 si es negativo, y el numerador da
las partes que se toman de dicho número. Si la fracción
es impropia entonces hay que convertirla en fracción
mixta (número mixto) para
hacer su representación.
• Recta numérica Hemos visto la representación de los diferentes subconjuntos del conjunto de los
Números Reales como puntos en la recta numérica:
Números Naturales (ℕ)
Números Enteros ( ℤ )
Representación gráfica de los Números Reales
0 1 2 3 4 5 6
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5
6
Números Reales ( ℝ )
Recordemos los símbolos que se utilizan en la relación de orden:
Los Números Reales son magnitudes ordenadas. Un número 𝑎 es mayor que un
número 𝑏 si en la recta numérica 𝑎 está a la derecha de 𝑏. Lo cual se puede escribir
de la siguiente manera:
𝑎 > 𝑏 (𝑎 es mayor que 𝑏), o lo que es igual 𝑏 < 𝑎 (𝑏 es menor que 𝑎).
Los símbolos de desigualdad < y > tienen una interpretación geométrica muy clara
sobre la recta numérica. Es decir:
Si 𝑎 < 𝑏, entonces 𝑎 está a la izquierda 𝑏.
Si 𝑐 > 𝑏, entonces 𝑐 está a la derecha de 𝑏.
Relación de orden en los Números Reales
<
-2.5 1
−
9
-3 -2 -1 2 √2
0 1 2 4 3
Recordando
>
= Igual a
Mayor que
Menor que
7
Veamos algunos ejemplos:
2 > -1, porque 2 está a la derecha del -1 siguiendo el orden de la recta numérica.
1 < 4 se lee: 1 es menor que 4 (1 se encuentra a la izquierda de 4).
4
5 > −
1
2 Porque las fracciones positivas son mayores que las negativas.
3
5 >
2
5 Porque 3 > 2
5
7 >
5
11 Porque 7 < 11
− 2
3 > −
5
4
Amplificando cada fracción
2 −2 ∙ 4 −8 − = =
3 3 ∙ 4 12
5 −5 ∙ 3 −15 − = =
3 4 ∙ 3 12
• Cuando dos fracciones tienen el mismo
denominador, es mayor la que tiene mayor
numerador.
• Cuando dos fracciones tienen el mismo
numerador, es mayor la que tenga menor
denominador.
• Dos fracciones que no tengan iguales los
numeradores ni los denominadores, se
reducen a común denominador y será mayor
la que tenga mayor numerador.
RECUERDE
8
. . .
En base a los conocimientos adquiridos desarrolla la siguiente actividad.
¡Usted puede! ¡Ánimo!
1. Verdadero o Falso. Coloca una V en el enunciado verdadero y una
F en el falso.
Punto A > Punto B
Punto C < 1
Los puntos A y B son menores que 0,
5 > Punto C
Punto B > - 2
0 > Punto A
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5
ACTIVIDAD 2
9
2. Ubique los siguientes Números Reales en la misma recta numérica
4 , 1
2 , -5 , 1,5 , -3 , 0 , √9 ,
(−14)
7
3. Compare los siguientes pares de Números Reales utilizando los
signos mayores (>), menor (<), igual (=).
a) 8 ________ 3
b) 12 ________ -4
c) -9 _________ -5
d) -4 _________ 0
e) √2_________ √2
f) 3
5 _________ -
3
6
g) 4.5 _________ 1.5
h) √3 _________ - √3
i) - 6,8 _________ 3.4
J) 1
2 _________
5
10
TAREA FINALIZADA
¡MUY BIEN!
10
• Operaciones de los Números Reales En cursos anteriores hemos visto operaciones entre números naturales, enteros y
racionales, así mismo también sabemos que el conjunto de los Números Reales (ℝ),
es la unión de los conjuntos de racionales (ℚ) e irracionales (𝕀).
La adición de Números Reales es una operación que se efectúa entre dos números,
pero se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre que se tengan
dos Números Reales, se pueden sumar entre sí. Estos sumandos pueden ser enteros,
racionales, o irracionales.
Ejemplos:
• 3,25 + 1,04 + 2,5 + 0,034 = 6,824
• 15,87 + (−2) = 13,87
Como están en notación decimal lo podemos escribir en columna, haciendo coincidir
las comas, tal como se muestra a continuación:
3,25 15,87
1,04 - 2,00
+ 2,5 13,87
0,034
6,824
Cuando realizamos adiciones o sustracciones de fracciones heterogéneas (aquellas
que tienen distintos denominadores), se reducen las fracciones a común
denominador, calculando el m.c.m., que se divide entre el denominador y el
resultado se multiplica por el numerador de cada fracción.
2
6+
1
2+
3
3 =
2
6+
3
6+
6
6 =
11
6 = 1
5
6
Adición y sustracción de Números Reales
2 - 3 - 6
1 - 3 - 3
1 - 1 - 1
2
3
m.c.m.=6
11
Ejemplos:
• Halle la suma de:
2
5 ∙
6
7
2
5 +
6
7 =
14
35 +
30
35
= 14+30
35
= 44
35 = 1
9
35
• Halle la diferencia de: 𝟕𝟔, 𝟓 − 𝟓𝟐, 𝟖𝟏
Ejemplo:
Un ciclista ha recorrido 12,5 𝑘𝑚 el primer día; el segundo, 1,5 𝑘𝑚 más que el primero,
y el tercero, 2,3 𝑘𝑚 menos que el segundo.
¿Cuántos kilómetros recorrió el segundo y el tercer día?
Solución:
Segundo día: ⟶ 12,5 Tercer día ⟶ 14,0
+ 1,5 - 2,3
14,0 km 11,7km El ciclista recorrió el segundo día 14 km y el tercero 11,7 km
• Se calcula el mínimo común múltiplo de 5 y 7, que es 35.
• Convertimos a común denominador dividiendo el m.c.m entre los denominadores
• el resultado se multiplica por el numerador. Convirtiéndolas así en fracciones homogéneas
• se suman tomando en cuenta los signos, como fracciones homogéneas.
12
1. Resuelva las siguientes sumas de fracciones
2. Resuelva las siguientes sumas de decimales
a. 92,3 + 0,35=
b. 90,35 − 0,372=
c. 5,82 + 36 + 72,28=
d. 0,357 + 47,2 − 5,28=
e.−3,28 + 5,3 − 2,75 − 4,2=
ACTIVIDAD 3
13
3. Problemas de aplicación
a) En el supermercado he comprado 2,4 g de naranjas; 1,56 g de
manzanas; 0,758 g de uvas; 545 g de fresas y 255 g de cerezas,
¿cuántos gramos pesa la compra?
b) Alejandra depositó $ 7 830 en el banco. Un año después retiró su
dinero del banco y le dieron $ 8 847,90 ¿cuánto ganó de intereses?
La multiplicación de Números Reales es una operación que se efectúa entre dos
números, pero también se pueden considerar más de dos factores. Siempre que se
tengan dos Números Reales, se pueden multiplicar entre sí. Al efectuar
multiplicaciones hay que tener cuidado con los signos:
• Producto de dos números de igual signo siempre es positivo;
• Producto de dos números de distinto signo siempre es negativo.
Simplificamos todo lo que se pueda, luego multiplicamos todos lo numeradores
resultantes, así mismo todos los denominadores, por último, colocamos el signo
aplicando la ley de los signos para la multiplicación
Multiplicación de Números Reales
A. (7
12) (−
4
3) = −
7
9
B. (12
8) (−
6
24) = −
3
8
C. ( 1
4 ) (4) (
6
5 ) =
6
5 = 1
1
5
14
Desarrolle las siguientes operaciones. No omita pasos.
1. Halle el producto de:
2. Un caballo costó B/. 1 250 si se vende por los 2
5 del costo, ¿cuánto se pierde en la
venta?
3. ¿Por cuál número se multiplica 1
2 para que se transforme en
3
4?
ACTIVIDAD 4
TAREA FINALIZADA
¡MUY BIEN!
15
Caso 1: División de fracciones, la misma se convierte a multiplicación con el divisor
Invertido.
Ejemplo: el inverso de 4
3 sería
3
4 . El inverso de -4 es -
1
4 , y el inverso de
1
5 es
5
1
Caso 2: División con decimales. Existen varios métodos, el más sencillo es de igualar
cifras decimales tanto en el dividendo y el divisor para tengas las mismas cantidades
de cifras decimales agregando ceros donde sea necesario.
Ejemplos:
a) - 4
5 ÷
32
5 = -
4
5 x
5
32 =
1
8 b) 0,45 ÷ - 1,3 = -0,34
0,45 ÷ 1,30 = 45÷ 130 = -0,34 450 -390 600 -520 80
División de Números Reales
16
Desarrolle las siguientes operaciones. No omita pasos.
1. Resuelva los siguientes ejercicios:
ACTIVIDAD 5
17
Nombre: ____________________ Valor 30 puntos
8° _____ Puntos obtenidos: _____
Analiza y responde. Vale 2 ptos.
Si en un cajón hay gatos, y cada gato ve tres gatos ¿cuántos gatos hay?
Respuesta: ______________________
Lea cuidadosamente y responda.
Coloca V para las proposiciones verdaderas y una F para las proposiciones falsas.
Vale 10 puntos.
El conjunto de los Números Reales está formado por los números naturales, enteros,
racionales, e irracionales……………………………………………………………… __
Al ubicar -3 en la recta numérica, podemos decir que es mayor que -1………………… __
La expresión 3 es mayor que 2/5 ………………………………………………………… __
Al efectuar -12 + (-8) resulta - 4………………………………………………………… __
Al multiplicar dos números con signos iguales resulta positivo………………………. __
La expresión 28.7 + 6.342 = 34.399……………………………………………………. __
Al efectuar - 13
10 +
11
20obtenemos -
15
20 ………………………………………………….……………… __
El resultado de efectuar (- 3)(-2)(-1) es - 6………………………………………………. __
Al resolver (0.18) ÷ (0.3) es 0.6 ………………………………………………………… __
De la expresión (√2)(√3 ) obtenemos √5……………………………………………… __
Resuelva las siguientes operaciones con Números Reales, según cada caso. Valor 3
puntos para cada ítem.
1). 2
3 +
1
5 -
8
15 = 4) (
3
5 ) ( -
8
6) (
10
9) =
2). (- 4)(-1)(- 3) = 5) - 0,34 x 2,5 =-
3) 8.82
2.8
6). A Mario le entregaron B/.1345,79 dólares al retirar sus de ahorros. Si él había depositado
945,35 dólares. ¿Cuánto le dieron en concepto de interés?
PRUEBA FORMATIVA N° 1
18
TEMA 2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONTENIDO
1. Definición de álgebra.
2. Enunciados verbales de expresiones algebraicas.
3. Partes y clasificación de términos.
4. Grado absoluto y relativo de una expresión algebraica.
19
Definición de Álgebra
Álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números, letras y signos para generalizar las distintas operaciones aritméticas. El término proviene del latín algebra que, a su vez, deriva de un vocablo árabe que significa “reducción” o “cotejo”
Aprender está de moda, porque nos
hace sabios. Al terminar la lección
deberás tener claras las siguientes
interrogantes:
Escribe, lee, identifica, clasifica y
reconoce un término algebraico
atendiendo a sus características,
valorando su utilidad en la
representación del lenguaje común.
Expresiones Algebraicas
20
Escritura de enunciados verbales en forma de expresiones algebraicas.
N° Enunciado verbal Expresión algebraica
1 Un número cualquiera X 2 La suma de dos cantidades 𝑥 + 𝑦 3 La diferencia de dos cantidades 𝑚 − 𝑛 4 El cuadrado de un número 𝑥2
5 El cubo de un número 𝑥3
6 La suma de los cuadrados de dos
cantidades
𝑎2 + 𝑏2
7 La suma de tres cantidades 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
Lee y analice cada definición:
Diferencia entre Álgebra y Aritmética
ARITMÉTICA
Solo se utilizan números y se explican las
diferentes formas de utilizarlos (en las
operaciones aritméticas).
Ejemplos:
6 + 5
(7) (−3)
29
ÁLGEBRA
Se utilizan números, letras y signos.
Permite representar fórmulas o
ecuaciones que constituyen leyes o
principios matemáticos.
Ejemplos: El teorema de Pitágoras:
C2 = a2 + b2
Área del
trapecio: A =
(B+ b) h
2
Expresión algebraica: es toda constante, variable o bien a toda combinación de constantes
y potencias de variables que estén ligadas por alguno de los símbolos +, – , × , ÷ finitas
veces.
CONSTRUYO MI APRENDIZAJE
21
coeficiente exponente
signo –9 4
parte literal
Constante: son los Números Reales que aparecen en una expresión
algebraica. Si aparece acompañada de una letra recibe el nombre de
coeficiente.
Variable: son las letras que aparecen en una expresión algebraica. Las variables
pueden tomar cualquier valor que se les asigne. También se les denomina
parte literal.
Exponente: número o expresión algebraica colocada a la derecha y por arriba de
otra y que tiene la finalidad de indicar la cantidad de veces por la cual esta última
expresión o número deberá multiplicarse.
TÉRMINO ALGEBRAICO Y SUS PARTES
DATOS DE INTERÉS
Cada vez que no se indique el signo de un término algebraico se entiende que el mismo es positivo. Si un término algebraico no tiene coeficiente, el mismo equivale a 1 y si una variable no tiene exponente, éste equivale a 1. Al momento de expresar resultados los coeficientes y exponentes que tengan este valor (1) se omiten (no se colocan).
22
En las siguientes expresiones indica el signo, coeficiente, su parte literal y exponentes:
Expresión Signo Coeficiente Parte literal Exponentes
–12y4
7xy2
3ab
Escritura de enunciados verbales en forma de expresiones algebraicas
Enunciado verbal Expresión algebraica
1.La suma de dos cantidades elevada al cuadrado
2.La diferencia de dos cantidades elevada al cuadrado
3.La diferencia de los cuadrados de dos cantidades
4. La suma de los cubos de dos cantidades
5.La suma de tres cantidades es igual a 100
ACTIVIDAD N° 5
23
Término racional: Es aquel que no tiene radical. Ejemplos:
–16 n2 , – 1 x2 ; x2 + 2x + 1 2 x + 1
Término irracional: Es aquel que contiene radical. Ejemplos:
62x , √𝑥2
√𝑦
Términos semejantes: son aquellos que tienen la misma parte literal
(variable) con el mismo exponente.
Observación: los términos no semejantes, evidentemente pueden no tener la
misma parte literal o bien sus exponentes.
Ejemplos:
En cada uno de los siguientes grupos de términos, clasifíquelos en
semejantes o no semejantes:
1. 5n2n ; 3x2 ; −1 𝑋2
2 ; –16 nn2 ; –3x2; 2nn
2. 5nn ; –7nn ; 12x ; 13x2 ; 8 nn; 16xy
Términos semejantes Términos no semejantes
1. 3x2;
1
2 x
2; –3x2
2. 5nn ; –7nn ; 8 nn
1.
2.
5n2n
12x
; –16 nn2 ;
; 13x2 ; 16xy
2nn
CLASES DE TÉRMINOS
24
Términos homogéneos: Son aquellos que tienen el mismo valor absoluto en
grado. Ejemplo:
3a2bc3 ; 5x4zw
Observación: la suma de los exponentes en el primer término es: 2+1+3=6 y en
el segundo es 4+1+1=6. En ambos casos la suma da el mismo resultado, por ello
son homogéneos.
Términos heterogéneos: Son aquellos que no tienen el mismo grado absoluto.
Ejemplo:
8𝑎5𝑏3𝑐 ; 8𝑥4𝑤
Observación: la suma de los exponentes en el primer término es: 5+3+1=9 y
en el segundo es 4+1=5. En cada término la suma da resultados distintos (no
tienen el mismo grado), por ello son heterogéneos.
EJERCICIO #1
I. Dadas las siguientes expresiones, clasifíquelas en racionales o irracionales:
a. 6ax
4 ___
b. √9𝑛2𝑝 __________________
c. 2x __________________
d. √6𝑥4𝑦 __________________
REFLEXIONA
ACTIVIDAD N°6
25
II. Clasifica las siguientes expresiones algebraicas en semejantes y no
semejantes:
1. 2ab ; 3ax ; 2xy ; –9xy2; –6ax ; 5ab2 ; –ax
2. 12xz; 3nn; 2x2 ; 2nn2 ; 10nn; 6x
Términos semejantes Términos no semejantes
III. En cada par de términos presentados, indique si son homogéneos o
heterogéneos:
1. 3n5np3 ; 5x5y2w
2. 2abc2 ; 9abcd
3. –7y3z3 ; x6y2w2 ______________________________________
26
MONOMIOS
Expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplos
7abc 6pqr 3x
mn 4y
POLINOMIOS
Expresión algebraica que consta de dos o más términos.
Algunos tipos de polinomios son: a) Binomio: polinomio que consta de dos términos. 15 +x ; 4x – 16x2
b) Trinomio: polinomio que consta de tres términos.
x2 + 2xy + y2 ; 3x2 – 6x – 1 ; 16 – 14xy – 2NY
c) Cuatrinomio: polinomio que consta de cuatro términos.
x + y + z + w ; a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Observación: en el segundo término, el numerador 15 + x indica que la
expresión es un binomio. La separación entre un término y otro se distingue
por los signos positivo o negativo (+, -).
CONSTRUYO MI APRENDIZAJE
27
RECUERDA Una expresión algebraica se clasifica en monomio (un solo término)
y polinomio (dos o más más términos) separados por signos más o
menos.
Clasifica las siguientes expresiones como monomios, binomios, trinomios o cuatrinomios según sea el caso.
a) x2 – 2xy + y2
b) 2t3 – 1
c) 10x – 25xy – 5y
d) a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
e) 12a2bc3
f) 16a + 14b
g) 1 + x + y 2 y
h) 14xyz4
ACTIVIDAD N°7
28
MONOMIOS
Grado relativo: es el exponente que afecta
cada letra.
3a2b5 es de grado 2 respecto al letra a y de
grado 5 respecto a la letra b.
Grado absoluto: es la suma de
los exponentes de las letras.
7xy3z2 es de grado 6 pues la suma de los
exponentes 1+3+2 =6
POLINOMIOS
Grado relativo: es el mayor exponente de los
términos.
4a3b2 + 5a5b El grado relativo respecto a la
letra a es 5
4a3b2 + 5a5b El grado relativo respecto a la
letra b es 2
Grado absoluto: es la mayor suma de los
exponentes de las variables de los términos
del polinomio.
4a3b2 + 5a5b en este caso en el primer tér-
mino la suma es 3+2=5 y en el segundo 5+1=6.
Por lo tanto, el grado absoluto es 6.
Determine el grado relativo y absoluto en las siguientes expresiones según se indique:
a) 11x8y2 Grado relativo respecto a la
variable x Grado
relativo respecto a la variable y
Grado absoluto:
b) –12a3b6 Grado relativo respecto a la variable a
Grado relativo
respecto a la
GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
ACTIVIDAD N°8
29
variable b Grado
absoluto:_____
____
c) 4x5y2 + 6x5y – xy4 Grado relativo respecto a la variable x
Grado absoluto:
d) a3b4 + 5a8b2 – abc5 Grado relativo respecto a la variable a
Grado absoluto:
I. En las siguientes expresiones indica el signo, coeficiente, su parte literal y exponentes: (8 pts.)
Expresión Signo Coeficiente Parte literal Exponentes
–31y4z
7b2c6
II. Clasifica las siguientes expresiones algebraicas en semejantes y no semejantes:
(4 pts.)
1. –8ac ; –13ab ; –19a2b ; 8bc ; –
16ac ; 15ab2 ; –ac 2. x2y4 ; 10x2y4 ; 15nn ; 2y2 ; nn2 ; –2x2y4 ; 6y
Términos semejantes Términos no semejantes
RAZONA Y REFLEXIONA
El conocimiento de las terminologías en el álgebra es importante para desarrollar habilidades y destrezas en la resolución de problemas ¿Sabes por qué?
30
III. Dada las siguientes expresiones, clasifíquelas en racionales o
irracionales: (4 pts.) a
a . √𝑎2 + 𝑏2 ____________
b. √4𝑥 _______________
c. 365a5x ____________
d. 5 xy2z3 ______________
IV. Clasifique las siguientes expresiones en monomios, binomio, trinomio o cuatrinomio, según sea el caso: (7 pts.)
a. 4m – 5n + 3p ________________________
b. x2 – 1 + y – 2y2 _______________________
c. 3- 5x ____________________
d. 17a – 45 b - 8 _____________________
e. 21mn6 ______________________
f. y3 + 3xy2 + yx2 + x3 __________________________
g. 15x2 +ab -5cx+9y-4x __________________________
V. Determine el grado relativo y absoluto en las siguientes expresiones según
se indique:(7 pts.)
a. 11x8y2 Grado relativo respecto a la variable x
Grado relativo respecto a la variable y
Grado absoluto:
b. –12a3b6 Grado relativo respecto a la variable a ___
Grado relativo respecto a la variable b _______
Grado absoluto: _________
c. 4x5y2 + 6x5y – xy4 Grado relativo respecto a la variable x ____
Grado absoluto:
d. a3b4 + 5a8b2 – abc5 Grado relativo respecto a la variable ___________
Grado absoluto:
31
Valor numérico de Expresiones Simples
Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las
letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas.
Ejemplos
1) Hallar el valor numérico de 5ab para a=1 , b=2
Sustituimos la a por su valor 1 y la b por 2 y tendremos 5ab= 5(1)(2) = 10
2) Hallar el valor numérico de a2 b3 c4 para a=2 , b=3 , c = ½
a2 b3 c4 = (2)2 (3)3 (1/2)4 =( 4 ) ( 27 ) ( 1
16 )=
27
4
Hallar el valor numérico para las expresiones siguientes para
a = 1 ; b= 2 ; c=3 ; m = ½ ; n = 1/3 ; p = ¼
1) 3ab – 5a 2 =
2) 5a2 + b3 - c =
3) b2m + n =
4) 12m2n3p =
5) 4𝑎
3𝑏𝑐 =
32
TEMA 3. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES EN UNA EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
CONTENIDO
1. Expresiones algebraicas.
2. Términos semejantes.
3. Monomios.
4. Polinomios.
33
❖ Reconoce términos semejantes
❖ Reduce términos semejantes
❖ Simplifica expresiones algebraicas utilizando la reducción de términos semejantes.
OBSERVA LOS SIGUIENTES EJEMPLOS
3 manzanas + 2 manzanas = 5manzanas b b b = 3b a
a2 + 2 a2 = 3 a2
TEMA: REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES EN UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
INDICADORES DE LOGRO
a a
a a
a a
a a
a a
a a
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
34
3 x y _ 2 x y = b + a + b = a + 2b Qué puedes analizar de cada uno de los ejemplos dados. Escribe tus comentarios: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Recuerda que: Ejemplo
TÉRMINOS SEMEJANTES TÉRMINOS NO SEMEJANTES 7x; 5x ; - 4x 7x ; 5y; 6
8m5 n ; - 3m5 n ; m5 n 8m5 n ; - 3m5 ; m4 n3
5rs3 t4 ; 2rs3 t4 ; - 10 rs3 t4 - rs3 t4 5rs3 t4 ; 2rs t4 ; - 10 rs3 t - s t
X y
X y
X y
X y
X y
X y
Términos semejantes son aquellos que tienen los mismos factores literales, cada uno con la misma
base y exponente.
xy
35
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
La reducción de términos semejantes es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes.
En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres casos siguientes:
a) REDUCCIÓN DE DOS O MÁS TÉRMINOS SEMEJANTES DEL MISMO SIGNO
Regla 1. Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que
tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplos:
3a + 2a = 5 a
-5b – 7b = -12b
– a2 – 9a 2 = - 10 a2
1
2 𝑎𝑏 +
2
3𝑎𝑏 =
7
6𝑎𝑏
– 1
3 𝑥𝑦 –
2
3𝑥𝑦 = – 𝑥𝑦
Realiza los siguientes ejercicios:
De acuerdo con lo estudiado resuelve esta actividad.
1. 8a + 9a =
2. – b – 5 b =
3. a x + 3ax + 8ax =
4. −𝒙 − 𝟐 𝟑 𝒙 − 𝟏 𝟔 𝒙
5. x2 y – 8x2 y – 9x2 y – 20x2 y =
6. 1
5 𝑎𝑏 +
2
5𝑎𝑏 =
7. – 5
6 𝑥𝑦 –
7
6 𝑥𝑦 =
Dos términos semejantes de signos contrarios se anulan.
– 8ab + 8ab = 0
1
4 𝑥𝑦2 –
1
4𝑥𝑦2 = 0
ACTIVIDAD 10
36
b) REDUCCIÓN DE DOS TÉRMINOS SEMEJANTES DE DISTINTO SIGNO
Regla 2. Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo de mayor
y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplos:
2a – 3a = -a
18x – 11x = 7x
-8ax + 13ax = 5ax
1
2 𝑎𝑏3 –
2
3𝑎 𝑏3 = (
3 − 4
6)𝑎𝑏3 = –
1
6𝑎𝑏3
4
5 𝑚5𝑛3 –
2
3 𝑚5𝑛3 = (
12 − 10
15 )𝑚5𝑛3 =
2
15𝑚5𝑛3
Realiza los siguientes ejercicios:
De acuerdo con lo estudiado resuelve esta actividad.
1. 7a – 6a =
2. 15ab – 9ab =
3. -14xy + 32xy =
4. 1
7 𝑎𝑏3 –
2
14𝑎 𝑏3 =
5. –4
5 𝑚5𝑛6 +
2
3 𝑚5𝑛6 =
6. 5
6 𝑥𝑦 –
2
9 𝑥𝑦 =
7. 1
2 𝑥𝑦𝑧 –
2
3𝑥𝑦𝑧=
c) REDUCCIÓN DE MÁS DE DOS TÉRMINOS SEMEJANTES DE SIGNOS DISTINTOS.
Regla 3. Se reducen a un solo término los positivos, se reducen a un solo término todos
los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior.
Ejemplos:
Ahora te toca a ti
ACTIVIDAD 11
37
5a – 8a + a – 6a + 21a =
Reduciendo los positivos tenemos: 5a +a + 21a = 27 a
Reduciendo los negativos tenemos: – 8 a – 6 a = – 14 a
Luego aplicando la regla anterior: 27a – 14 a = 13 a
– 2
5 𝑏𝑥2 +
1
5 𝑏𝑥2 +
3
4 𝑏𝑥2 – 4 𝑏𝑥2 + 𝑏𝑥2 =
Reduciendo los positivos tenemos: +1
5 𝑏𝑥2 +
3
4 𝑏𝑥2 + 𝑏𝑥2 =
39
20 𝑏𝑥2
Reduciendo los negativos tenemos: – 2
5 𝑏𝑥2 – 4 𝑏𝑥2 = –
22
5 𝑏𝑥2
Luego aplicando la regla anterior: 39
20 𝑏𝑥2 –
22
5 𝑏𝑥2 = –
49
20 𝑏𝑥2
Realiza los siguientes ejercicios:
De acuerdo con lo estudiado resuelve esta actividad.
1. 9a -3a + 65a =
2. 12mn – 23mn + 5mn =
3. 11ab – 15ab + 26ab
4. 2
3 𝒚 +
4
3 𝒚 +
1
6 𝒚 − 𝒚=
5. 5
8 𝑎2𝒃 +
3
4 𝑎2𝒃 −
1
2 𝑎2𝒃 =
6. 7ab + 21ab – ab + 80ab =
7. 105 a3 – 464 a3 + 58 a3 + 301 a3 =
d) REDUCCIÓN DE UN POLINOMIO QUE CONTENGA TÉRMINOS SEMEJANTES DE
DIVERSAS CLASES.
Ejemplo
Reducir el polinomio 5a - 6b+ 8c + 9a – 20c – b + 6b – c
ACTIVIDAD 12
38
Se reducen por separados los de cada clase:
5a + 9a = 14a
–6b – b + 6b= –b
8c – 20c – c= – 13
Luego tendremos: 14a – b – 13
Reducir el polinomio:
8 𝑎3 𝑏2 + 4 𝑎4 𝑏3 + 6 𝑎3 𝑏2– 𝑎3 𝑏2 – 9 𝑎4 𝑏3 – 15 – 5 a𝑏5 + 8 – 6 a𝑏5
Se reducen por separados los de cada clase:
4 𝑎4 𝑏3 – 9 𝑎4 𝑏3 = – 5 𝑎4 𝑏3
8 𝑎3 𝑏2 + 6 𝑎3 𝑏2– 𝑎3 𝑏2 = 13𝑎3 𝑏2
– 5 a𝑏5 – 6 a𝑏5 = – 11 a𝑏5
– 15 + 8 = – 7
Luego tendremos: – 5 𝑎4 𝑏3 + 13𝑎3 𝑏2 – 11 a𝑏5 – 7
Realiza los siguientes ejercicios:
De acuerdo con lo estudiado resuelve esta actividad.
1. 7a – 9b + 6ª – 4b=
2. 5x- 11y – 9 + 20 x – 1 – y=
3. – 81x + 19 y – 30 z + 6 y + 80 x + x – 25 y=
4. 2 𝑎3 𝑏2 + 𝑎4 𝑏3 - 7 𝑎3 𝑏2– 5 𝑎3 𝑏2 – 3 𝑎4 𝑏3 – 1 – 10 a𝑏5 + 10 a𝑏5
5. 5
8 𝑎2𝒃 +
3
4 a𝒃 −
1
2 𝑎2𝒃 -
1
8 a𝒃 – 2ab - 𝑎2𝒃 =
6. –4
5 𝑚5𝑛6 − 2𝑚𝑛2 +
2
3 𝑚5𝑛6 –
3
5 𝑚𝑛2 +
2
10 𝑚5𝑛6 =
7. 5a – 3 b + 8c – 10 b – 20 c + 9a + 12ab – 2 + 3b - 4ab =
LO ESTÁS LOGRANDO.
¡SIGUE ADELANTE!
ACTIVIDAD 13
39
TEMA 4. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
CONTENIDO
1. Polinomios completos e incompletos y ordenados.
2. Adición de polinomios.
3. Sustracción de polinomios.
40
POLINOMIO COMPLETO
Es aquel polinomio que presenta todos los términos algebraicos, desde el mayor, hasta
el menor.
Polinomio incompleto, es aquel que le falta algún término.
Ejemplo:
5x3 + 2x2 – 4x + 7 Presenta todos los términos desde el mayor grado (5x3) hasta el
menor (7).
2x + 3 ……………………. Es polinomio completo.
2x5 – 4x2 + 5x4 – 2x + 7 – x3 ……………………. Es polinomio completo.
x4 – 2x3 + 5x2 – 4x-5 ……………………. Es polinomio completo.
POLINOMIO ORDENADO
Es aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos.
Ejemplo:
x2 + 2x3 – x4 (Polinomio ordenado en forma ascendente)
x7 – 4x5 + 3x3 (Polinomio ordenado en forma descendente)
x17 – x20 + x23 (Polinomio ordenado en forma ascendente)
14x – 2 (Polinomio ordenado en forma descendente)
Si el polinomio presenta dos o más variables se ordena (ascendente o descendente)
atendiendo al orden alfabético.
POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO.
Ejemplo:
5x4 – 3x3 + x2 + x + 3 Es completo por que presenta todos los exponentes de “x”
POLINOMIOS COMPLETOS, INCOMPLETOS Y
ORDENADOS
41
y además están ordenados en forma descendente.
Ahora marca con un gancho los polinomios que cumplen con estar ordenado en forma
ascendente o descendentes y estar completo o incompleto.
Polinomio Ordenado Completo Incompleto
Ascendente Descendente
4x2 + 5 x– 3
x7 – x5 + 6
7¨+ 5x – 3x2
x11 – x10 + 1
1 + 2x + x2 – x3
4x5 – x4 + 5
-2 – X2 – x4
ACTIVIDAD 14
42
1. POLINOMIO
Es una suma limitada de monomios no semejantes.
En esta suma se puede incluir alguna constante.
Ejemplos:
5x + x2 4xy – 5xz + 4 – 3x2
3xw + x 4x2y + yz4 – 3
2w2 + 5 3x2y3 – 8xy3
-3y5 + 2x – 1 -5 – 10x2 – x
2. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
Para sumar o restar polinomios debemos recordar que:
Recuerda Un monomio es una expresión que une parte
variable y parte constante mediante la
multiplicación.
Y ¿Qué es un polinomio?
43
Ejemplos:
(3x + 2) + (2x + 5) = 3x + 2 + 2x + 5 = 5x + 7
polinomio polinomio términos semejantes
(8x + 4) - (5x + 2) = 8x + 4 - 5x - 2 = 3x + 2
términos semejantes
(2x + 3) - (5x - 1) = 2x + 3 - 5x + 1 = -3x + 4
( -5xy + 3) - (5xy – 1 – x2) = -5xy + 3 - 5xy + 1 + x2 = x2 - 10 xy + 4
Resuelve las siguientes operaciones con polinomios
1. (4x + 5) + (3x + 2) =
2. (3w - 7) – (w - 1) =
3. (x2 + 5x) – (x2 – 4x) =
4. (3x2 + xy + z4) – (-3x2 + 4xy – z4) =
SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN
Cuando un signo (+) precede a un signo de
colección la expresión interior no cambia
de signo. Cuando un signo (-) precede a un
signo de colección la expresión interior
cambia de signo.
ACTIVIDAD 15
44
5. ( 5x2 + x -7 ) + ( 8x2 – 2x – 10 ) =
6. ( 8x2y + 3xy2 – 5) + ( 4 – 9x2 y + 5xy2 ) =
7. ( 3 a2 b2 + 2 a3 b +2 ab3 ) – ( 7a b3 + 2 a3 b + a2 b2 ) =
8. ( 1
2 y2 + 4y ) + (
2
5 y2 – 7y ) =
9. ( 5a - 3
4 b ) – ( 6a +
5
4 b ) =
10. ( 3,1 a – 2,3 b -5 c) + ( 4 c – 1,7 b + 7,9 a ) =
45
“LOS ENCANTOS DE ESTA CIENCIA SUBLIME, LAS MATEMÁTICAS, SÓLO SE REVELAN AQUELLOS QUE TIENEN QUE PROFUNDIZAR EN ELLAS”.
CARL GAUSS
Nombre: ___________________ Nivel: ______ Fecha: _________Valor: 40 puntos.
I PARTE. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES. Reduzca los siguientes términos semejantes. Valor 10 puntos.
1. 15ab + 7ab
Respuestas:
a) 8ab c) -22ab
b) 22ab d) -8ab
2. – 4m2 n – 9m2 n – m2 n
Respuestas:
a) – 13 m2 n c) 14 m2 n
b) 13 m2 n d) – 14 m2 n
3. 1
3 𝑎𝑏c +
4
3 𝑎𝑏c –
2
3 𝑎𝑏c =
Respuestas:
a) abc c) 5
3 abc
b) 7
3 abc d) -
1
3 abc
4. – 13 𝑥𝑦 – 20𝑥𝑦 + 35𝑥𝑦
RAZONA Y REFLEXIONA
AQUÍ NADIE SE RINDE. ¡SÍ PUEDES!
46
Respuestas:
a) – 68 𝑥𝑦 c) – 28xy
b) 68 𝑥𝑦 d) 8xy
5. – 5
8 𝑎2𝒃 +
3
4 𝑎2𝒃 −
1
2 𝑎2𝒃
Respuestas:
a) – 3
8 𝑎2𝒃 c) –
9
8 𝑎2𝒃
c) – 15
8 𝑎2𝒃 d)
3
8 𝑎2𝒃
II PARTE. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLIOMIOS. Resuelve los siguientes
problemas, indica la respuesta correcta. Valor 25 puntos.
1. Si: A = 3x2 + x – 7
B = 8x2 – 5x – 10
C = 5x2 + 3x - 1
Hallar: A + B – C
Respuesta:
a) 6x2 – 7x - 16 d) 6x2 – 7x
b) 6x2 – 7x – 15 e) 6x2 + 7x - 16
c) 6x2 – 7x + 16
2. Si: A = w3 – 8w + 4
B = 2w2 – 4w
47
Hallar: A – 2B
Respuesta:
a) w3 + 4w2 - 4 d) w3 – 4w2 – 2
b) w3 – 4w2 + 4 e) w3 + 4w2 + 4
c) w3 – 4w2 – 4
3. Si: A = -8x2y + 3xy – 3y3
B = 4y3 – 7x2y + 2xy
Hallar: 2A – 3B
Respuesta:
a) 5x2y + 18y3 d) 5x2y – 18y3
b) 5x2y – 18y2 e) 5xy – 18y3
c) 5xy2 – 18y
c) Resuelve la siguiente operación. Valor 5 puntos.
48
Material extraído de Guía Didáctico el Mundo Maravilloso, proporcionado por MEDUCA
Álgebra. Aurelio Baldor. España. Distribuidora de texto americano. 1985. Páginas 19-21 Y 40 -57. https://www.youtube.com/watch?v=RLFRKSy1b3s (Elementos de un término algebraico) https://www.youtube.com/watch?v=_NS3U2nwk0g (Clasificación de expresiones algebraicas) https://www.youtube.com/watch?v=zaSytZ6A3gU( Partes de una expresión algebraica
https://www.youtube.com/watch?v=FDZ18L6kooQ (Reducción de Términos Semejantes)
https://www.youtube.com/watch?v=pUfQ1kCuRjY ( Valor Numérico de expresiones algebraicas
Giménez, J., Abdounur, O. J., Badillo, E., Balbás, S., Corbalán, F., Dos Santos, J. M., ... & Spinadel, V. W. (2009). La proporción, arte y matemáticas. Barcelona: Graó. Disponible en: https:ƒƒwww.researchgate.netƒprofileƒJoaquin_Gimenezƒpublicationƒ268402342_La_ proporcion_arte_y_matematicasƒlinksƒ5615057208ae983c1b41c569ƒLa−proporcion− arte−y−matematicas.pdf
https:ƒƒwww.superprof.esƒapuntesƒescolarƒmatematicasƒaritmeticaƒrealesƒnu meros−irracionales.html#tema_los−numeros−irracionales
Valero−García, M., & de Cerio, L. M. D. (2005, September). Autoevaluación y co−evaluación: estrategias para facilitar la evaluación continuada. In Actas del Simposio Nacional de Docencia en Informática (SINDI), Granada (pp. 25−32).
https:ƒƒstorage.googleapis.comƒportalfruticolaƒ2019ƒ08ƒef70f244− manzanas_72912451.jpg
https:ƒƒencrypted−tbn0.gstatic.comƒimages?q=tbn%3AANd9GcQCyZZamYpBNIydPw9y3d5FuhRMJdm6aTDvoVNPH4R3Z4d4Cyru&usqp=CAU
BIBLIOGRAFÍA