Date post: | 31-Jul-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | cruzcarlosmath |
View: | 641 times |
Download: | 0 times |
Universidad Nacional Autonoma de Honduras
Escuela de MatematicasSolucion Examen 1
MM-211 Vectores y MatricesPropuesta por C.M.C.
1. Sea la matriz A =
2 0 3 13 2 1 02 1 4 11 0 2 0
. La matriz Mij representa la ij-esima menor de A, entonces determine la
matriz D = (M44)2 −MT12.
Solucion:
D =
2 0 33 2 12 1 4
2
−
3 1 02 4 11 2 0
T
=
10 3 1814 5 1515 6 23
−3 2 1
0 4 21 1 0
=
7 1 1714 1 1314 5 23
2. Dada la ecuacion matricial
(2 13 1
)(B
(1 02 3
))T
=
(3 11 2
)2
determine la matriz B
Solucion: (2 13 1
)(B
(1 02 3
))T
=
(3 11 2
)2
(B
(1 02 3
))T
=
(2 13 1
)−1(3 11 2
)−2
B
(1 02 3
)=
[(2 13 1
)−1(3 11 2
)−2 ]TB =
[(2 13 1
)−1(3 11 2
)−2 ]T (1 02 3
)−1
B =1
15
(−16 523 −7
)
1
3. Determine el tercer renglon de la adjunta de la matriz C = (cij), de orden 3, si cij =
i− j si i = jj si i > j
i + j si i < jSolucion: Es claro que
C =
0 3 41 0 51 2 0
ahora recordamos que la adjunta de una matriz es la transpuesta de la matriz de cofactores esto esadj(C) = [cof(C)]T para obtener la tercera renglon de la adjunta es equivalente a calcular la tercera columna dela matriz cof(C)
cof13(C) =
∣∣∣∣1 01 2
∣∣∣∣ = 2
cof23(C) = −∣∣∣∣0 31 2
∣∣∣∣ = 3
cof33(C) =
∣∣∣∣0 31 0
∣∣∣∣ = −3.
Por lo tanto el tercer renglon de adj(C) es(2 3 −3
)
4. Sea la matriz M =
0 0 0 3−1 2 −1 23 1 1 22 1 −1 2
calcular det(adj(adj(M)))
Solucion:
adj(adj(M)) =∣∣adj(M)
∣∣(adj(M))−1
=∣∣|M|M−1
∣∣(|M|M−1)
=∣∣M∣∣n∣∣M−1
∣∣ 1∣∣M∣∣M=∣∣M∣∣n−2
M
Ahora det(adj(adj(M))) = det(∣∣M∣∣n−2
M) =∣∣M∣∣n(n−2)+1
el orden de la matriz es 4 y el |M| = −33 entonces
det(adj(adj(M))) = (−33)9
5. Sean A y B matrices de orden 3 tales que A + B =
0 10 31 2 42 −5 0
. La matriz A tiene como menor M23 a la
matriz X =
(2 54 1
), la matriz B tiene como menor M31 a la matriz Y =
(5 −27 −6
). Si ademas. la matriz B es
simetrica y b33 = 1, construya las matrices A y B
Solucion:
Siendo X y Y matrices menores de A y B respectivamente, entonces A =
2 5 a13a21 a22 a234 1 a33
y B =
b11 5 −2b21 7 −6b31 b32 b33
usando el hecho que B es simetrica tenemos que b21 = 5,b31 = −2,b32 = −6 y nuestra hipotesis que b33 = 1
2
entonces B =
b11 5 −25 7 −6−2 −6 1
,
A + B =
2 + b11 10 a13 − 2a21 + 5 a22 + 7 a23 − 6
2 −5 a33 + 1
=
0 10 31 2 42 −5 0
resolviendo las ecuaciones tenemos que b11 = −2,a13 = 5,a21 = −4,a22 = −5,a33 = −1.
∴ A =
2 5 5−4 −5 104 1 −1
y B =
−2 5 −25 7 −6−2 −6 1
6. Resuelva graficamente el siguiente sistema
2x + 5y = 10
2x− 3y − 4z = −12x ≥ 0y ≥ 0z ≥ 0
Solucion: Haciendo eliminacion en x tenemos un sistema equivalente
y = 2− 2
5x
z =4
5x +
3
2
0 ≤ x ≤ 50 ≤ y ≤ 232 ≤ z ≤ 11
2
Por lo tanto el el conjunto solucion es el segmento PQ donde P (5, 0,11
2) y Q(0, 2,
3
2)
7. Tres atletas, Alex, Mario y Juan, compitieron en un torneo que incluia atletismo, natacion y ciclismo. Lasvelocidades alcanzadas por los atletas, en km/h, en las tres diferentes disciplinas, fueron las siguientes:Alex, 16,6 y 40, Mario 12,9 y 32, Juan 20,5 y 24, respectivamente. Alex llego en primer lugar, con un tiempototal de 2 horas y 12 minutos. Matio obtuvo el segundo lugar, con un total de 2 horas y 30 minutos. Juan quedo
3
en tercer lugar, con un tiempo total de 3 horas. Encuentre las distancias recorridas en cada disciplina por losatletas.Solucion:Sea x la cantidad de km recorridos en atletismoy la cantidad de km recorridos en natacionz la cantidad de km recorridos en ciclismoLa estrategia a resolver sera plantear ecuaciones para el ”tiempo”(con el proposito de encontrar la distancia
recorrida de cada disciplina), sustituir en cada tiempo su respectiva formula t =d
v, tomaremos de ejemplo a
Alex el tiempo total de su carrera fue 2.2h, esto significa que t1 + t2 + t3 = 2.2h, ahora si en cada tiempo
sustituimos la distancia que recorrio y la velocidad que tenia entonces t1 =x
16, t2 =
y
6, t3 =
z
40nuestra ecuacion
quedariax
16+
y
6+
z
40= 2.2h, haciendo lo mismo para Mario y Juan el sistema de ecuaciones quedaria
x
16+
y
6+
z
40= 2.2
x
12+
y
9+
z
32= 2.5
x
20+
y
5+
z
24= 3
4