MM1- GEF
Ejercicios para casa SL 1-3
Ejercicios para casa - SL1 - MM1 - GEF Tres depósitos conectados en un circuito cerrado cíclico
Escribe el SLH a CC 3D c- '=AI quemodela la evolución
de las concentraciones enlos depósitos de la siguiente figura :
Y, mis
Glt) kglnis
^
rnilh rnilh
↳ It) teglm c. It) kglm'
v
Hz misr MPYH Va mas
czlt) kglm?< Calt) kglm ?
Czlt) kglmp
Unidades : ht tiempo) , mldistancia) y kg (masa) .
Parámetros : Los volúmenes son V, , Hay ks . El caudales r .
Incógnitas : cjlt) - concentración en eldepósito j en el instante t .
* Ecuación de balance en el 1erdepósito : V, .ci = rcz - rc,
* " " " " " PÍ a ÷ 1)z¿zz rc, - rcz
* 11 4 " Il 11 3"
""
. llzczl = rcz - rcz
Notación : pj - YVJ para f- Iris .
Cía picz -pie, -
p , o plAsí
pues,el sistema es
; ji,=
Pao-
% Ip,
Ejercicios para casa - SL1 - MM1 - GEF Tres depósitos conectados en un circuito abierto
Escribe el SLNH a CCIEAIÍB quemodela la evolución de las
concentraciones en los depósitos de la siguiente figura :
r, nilh y, nir, milh
>41T) kglmss
9
e,kg1ms cilt) kglmss
Vs mis ritrzmlh
↳Htkglms9
Czlt) kglm?
ramilh ranilhVa ni
> 9czlt) kglmp
la kglmss calt) kglm?
Observación : Los tres volúmenes K, Va y 1/3 se mantienen constantes, pues en
cada depósito su caudal total de entrada coincide con su caudalde salida .
* Ecuación de balance en el 1er depósito : V, cierre , - ric,
* " " " " " E depósito : Vaca' = raez - raca
* " " " " " 3"
y : 1/3↳= r, C, trzcz - lr, tra)Cz
Notación : p, ="111, , pa
-
"1k, q,
="111, y QERYV, .
{cí = -p, c, t pie ,Asípues ,el sistema es
T!iqitqarc.
En notación matricial,
es EKAE tb con
-
p, 0 O pie ,
A- = o -
pa o d Í = para
q, qa- Lqitqa)
O
Ejercicios para casa - SL1 - MM1 - GEF
Justificación de la ausencia del peso en la ecuación delmuelle
Muelle Muelle Muelle
en equilibrio en equilibrio en movimiento(sin masa) Coon masa) Kon masa)
Nota : Tomamos el sentido ↳ ¿Am { YIHpositivo hacia abajoM
Así pues : Peso Fuerza de HookeL te
* D= elongación debida a la masa, que cumple mg = dd
* ylt)= desplazamiento desde el equilibrio con masa
* Xlt) = " " " " sin masa = yA) t d
Aceleración Fricción Hooke PesoLa E ley de Newton implica que mx
"= -Mx
'-dxtmg^
Cambio de A- yzd
variable Y' (pues des che)
dependiente X"= y"
✓L
my"= -my
'-dy#mgl
Por tanto,la EDO en la variable dependiente y - y ID es homogénea
my"=
yny'-Ay ,
y no contiene al peso P=
mg .
Ejercicios para casa - SL1 - MM1 - GEF Conservación de la energía mecánica en el muelle sin fricciónPrueba que si lylt) , ZITD es una solución del sistema
Y'= z{⇐ - ¥ y
LSLH a « ZD)
donde m,dro son parámetros fijados , entonces la energía
mecánica total Elyiz) = En Etta Yase mantiene constante
sobre la solución.
Recordatorio : m - masa,D= constante de Hooke
y = ytt) = desplazamiento vertical2- =zlt) -- y
'A) = velocidad vertical
Derivamos la energía E respecto el tiempo t :
dtz = Mzzzztzya'= Fzzzz' t Izzy y ' =Azmy) tdyz
= -# ttu EO .
Y así pues: DÍ= o ⇒ E se mantiene constante sobre las soluciones
.
Ejercicios para casa - SL1 - MM1 - GEF Conservación de la energía mecánica en el péndulo de WilberforcePrueba que
si LYIH , zlt), 01-4, RID) es una solución del sistema
y'= z
z'= - Im y t EnOÍ⇒ +÷ ,
⇐Haces»
donde m ,I,d, , taso y EEIR son parámetros fijados , entonces
la energía mecánica total
El y , z , 0, = mzzat Izstt tizy' t tazó- ayo
tiene un valor constante sobre la solución.
Derivamos la energía E respecto al tiempo t :
datz = Mzzzt Izbit ¥ ya ttzz 02 - ayO"
= M-zz.zztttzzd.IT Izzyy ' t ¥200'-
ey'O - eyO
'
= mlz -ft y +¥0 ttfsr -¥70 TEEytdiyzzdaor-azo-eyR-zyztqfz.ie/yRtdfyztY-eOzf-ei ⇐0.
Finalmente : {¥ = o ⇒ E se mantiene constante sobre las soluciones.
Ejercicios para casa - SL2 - MM1 - GEF 1 Comprueba que las funciones vectoriales
xittt eIIa -- ¡ et" d Iuz II = I etson soluciones del SLH ZD a CV IKAIHI dado por
AHI = ?zt-a
Zt - I
* TIE) =1
,et" =
'
,etta =
'
,. teEK
AILIXTIH = z 3¥?'
,e"= ¥ era= tzeitel, e.era
Por tanto,Tilt) --AIHXTH) HTEIR
,lo cualsignifica que Tilt) es solución .
* Falte) = Y et'
= ? et = ? él
Atttxdtt = IE TI Y et = " %? et. } et
Por tanto, Tilt) --Alttxtt) HTEIR, lo cualsignifica que Itt) es solución .
2 Comprueba que la función vectorial IIH="EI et es una solución
del SLNH 2Da CC Itttxtbtt) dado por A-= 7 3 y
Itt) -- ti et .
* Eyf) ="tj? et
'
s 447'
et t 4ta? et'
= { ett 4ta? et= 4 tzftj? et
=
It 4TZtzt
et.
* AIIA tblt) = 7 3 "EI ettt, et = *?} ,# ett !, etZt
4ttl t=
zt +2l
Por tanto,ÍID--AIIH tblt) VTHR
,lo mal significa que IIH es solución
3 Dadas dos funciones matriciales derivables A, B : I- TMNLIR)
prueba que aAlt) t ofBtt)'
= a A-'
It) tf BYT) , Ha , f e IR .
Una vez fijados unos coeficientes arbitrarios X , feIR, consideramos
la matriz Clt) = xAlt) tf Btt) . Sean aijlt) , bijlt) y cijlt) los
elementos en la fila i y lo oolnmnaj de las matrices Att), BIH y Clt).
Ejercicios para casa - SL2 - MM1 - GEFSabemos que , por definición , cijlt) = aaijlt) tfbijlt) ti.fi, . . - in .
Derivado estas relaciones obtenemos que
cíjlt) = a. aíjlt) tfbijlt) Hijas, . . . , n .
Elemento situado enElemento situado enla fila i - cobnmnajla fila i - columnaj de la matriz
de la matriz CIT) a.ÁIH tf.BYf)
Y esto implica que xttltltfBIH'
= CYH -
- AAYHTFBYT) .
4 Dadas dos funciones matriciales derivables A, B :In TDNIIR) , prueba
queel producto Clt) - AIDIBID también es derivable y queAlt) . Btt)
"=L
'It) = A-
'It) - Btt) t AIHB
'
It).
Sean aijlt ) , bijlt) y cijlt) los elementos situados en la fila i y la
columna j de las matrices Att) , BH) y CID, respectivamente .
Sabemos, por
la definición del producto de matrices, que
cijlt) = aiilt) - bjlt) t - i. tainltibnjlt) = ¿⇒airltt.by/tl,Hi.j--h....n .
Derivando estas relaciones obtenemosque
:
cíjlt) = ¡⇒ainlt) . brjlt)
'
= ¡= ,
ainlts . bnjlts"
Elemento situado en= ¡
= ,
aírlt)brjlt) taiklttbírjlt)la fila i- colnmnajde la matriz CIH = ¡
= ,
aínlt) .bnjlt) t ¡⇒
ainlt) . tírjlt) Hi h . . .in .
Elemento situado en la Elemento situado en la
fila i -wlnmaaj filai -wlnmaajde la matriz ÁIHBH) de la matriz AHSBIT)
Y esto implica queAlt) - Btt)
'= C
'It) --ÁIHBITJTAIHBYD
.
Ejercicios para casa - SL2 - MM1 - GEF 5 Prueba
que si una función matricial A : I→ TRNIIR ) es derivable
e invertible , entonces su matriz inversa A-"I- TDNIIR ) es derivable y
A-' It)
'
= - A-'ltt .ÁIDÁYH
,HTEI
.
Indicación : Usa el ejercicio 4.
Si Alt) es invertible , entonces , por definición , existe su matriz inversa A-YH
y , además, el producto de la matrizy su inversa es la matriz identidad :
AIHA- '
It) = Id , rteI ."matriz identidad nxn les constante )
Derivando esta ecuación matricial,obtenemos que :
= AIHÁIH'= ÁIHA- 'It) tAlt) . AYH
'
matriz nula nxn matriz que queremoscalcular
Multiplicando ambos lados de esta última ecuación por la matriz
inversa A-'
It) (por el lado izquierdo), vemos que :
A-'
It) . = A-'Ht . ÁIHÁIHTAHI -ÁHÍ
" L
= A-'IDÁIHÁIHTÁIHAHNAYH
'
Finalmente, despejamos la matriz que buscamos :
A-'IH'= -A-YHAYHAYH
,
HTEI.
6 Supongamos que Itt) , Tal t) y Izlt) son tres soluciones de un SLH2 1
talesque Tilt»
= 11,Tito) = 1 y Isotta) = o en algún
instante toe I. ¿ Qué relación hay entre ellas ?
| 2 1Como dim IRE 2
,sabemos
quelos vectores / , i y 0 son LD.
Buscamos las Cls de estos vectores que son igual a 5=8 .
C, t Zlztcz 2 1 C, t Zczt Cz= O
e, +c,
= el ll t Cr I t Cz O = % ⇒ {e, + cz = O
Sistema con 2 emociones y 3 incógnitas
Ejercicios para casa - SL2 - MM1 - GEF C.
1
1 2 1A continuación
,resolvemos el sistema 1 1 o %
,
-10porel
método de Gauss - Jordan : matriz identidad zxz
1 2 I O 1 2 1 O~
1 0 - I O
1 1 O 0 Ir 0 - l - l Oqe
0 1 1 O
ftp.a-f, fífitzfa , pie -fiPor tanto : Elsistema es compatible{ ↳
o} Eric? o } as s indeterminado con 1 grado
| Cze IR de libertad
Tomando Cz - l , obtenemos que CFI y CE-1 .En particular, la función
Itt) = 1. Itt) tl-1) ixalttttáxzlt)
cumple las siguientes propiedades :* Ilt) es una solución delSLH debido al
principiode superposición; y
| 2 1 O
* Ilto) = I,lto) - Falto) tx, Ito)= ,
- i t o=o
Y ahora la caracterización de la solución trivial implica que :
IIH = XTIH - Tdt) txzlt) =P HTEI .Esta es la relación que nos piden
7 Calcula la solución del PVI { ¥ con AIH ='Itt EEI .
Indicación : Usa los ejercicios 1 y 6.
etta 2etEn el ejercicio 1 , comprobamos que XTH) = eIIa y ÍITK et
son soluciones del SLH I'= AHJI
.Además
,Flor
'
, y Falo) = 4 .
Por tanto, aplicando el resultado del ejercicio 6 , deducimos que la
solución Izlt) el PVI mmple que Itt) - IZIHTFZIH -5, HIEIR .
Es decir,la solución del PVI es :
XJIH - I It) µ, =2et- etta
Z I et-etta
Ejercicios para casa - SL3 - MM1 - GEF 8 Prueba que si
Xlt) es una matriz fundamentalarbitraria de un SLH,entonces ÍNIH = XIHE con
E-n
e IR"
es la solución generaldel SLH .
Sea Tylt) la columna j de la matriz Xlt) .
Es decir :
Nt) = Itt) Izlt . . . Tit).
La definición de matriz fundamental implica que XTIH, . . . . Inlt) son n soluciones
LI del SLH, luego {XTIH, . . .Frith es un conjunto fundamentaldel SLH
yla solución general del SLH es :
Itt) = cixilHt . . . tcnxnlt) = Tdt) . . - TNHn
= NHE,
con I=n
e IR"
vector constante libre .
9 Prueba que , una vez fijado el instante inicial ti , existe una únicamatriz principal Ylt) asociada a ese instante
Sean JJIH la columna j de la matriz YIH .
Sea lei, . . . .En } la
base natural de IR ? Es decir , Tj es la columna j de la matriz
identidad nxn .
Entonces :
Ht) matriz principal{ Tilt) es solución del
asociada al instanteE) Fpl PVI EI tj -1, . . . . n .
Definición de matriz principal cada uno de estos PVIS tieneexactamente una única solución
LTEde 7 y 1. de soluciones de Sls)
Por tanto,como cada columna de la matriz principal YIH existe y está
determinada de forma nñica , deducimos que Ylt) también existe y está
determinada de forma única.
Ejercicios para casa - SL3 - MM1 - GEF " Prueba
que si YH) es la matriz principalasociada al instante to delSLH IEAIHI, entonces Itt) = YIDI. es la solución del PKI
{ I'=AIHI SLH| Itto)-- To CI
Como Ylt) es una matriz fundamental, sabemos por el ejercicio 8 que
XTIH = YIHE con IEIR"
libre
es la solución general del SLH .
Ahora,determinamos elúnico vector
de constantes EEIR"
imponiendo la CI : i-Id.E-YIHI-IHD-xo.tnDefinición de CI
matriz principal
" Calcula el wroskiano de las funciones vectoriales
THE EÉ d i. its . éjt
wtt) -- det Its , IHJ = ee te éjt = - eh ?data -ékittztto ,#per
.
12 Calcula el wroskiano de las funciones vectoriales
XTIH =los t
ser t& Fatty =
-sentcost
wltt-dettxitt.xitsf-ajntt-IItt-ooittseit-1-to.lt/-eIR .
↳ Calcula la solución general Tutt) y una matriz fundamental XIH
del SLHZD a CY ÍAIDI donde AIH- Et I '.
matriz del ejercicio 1
* En el ejercicio 1 comprobamos que I, It) = a y Talf) = Zetetson dos soluciones del SLH TEAIHI.
* wlt) = det-IIH.IIHJ-eetf%2etet.at?et-2etetE-eEttto,HteIR
Ejercicios para casa - SL3 - MM1 - GEF Por tanto
,las dos soluciones I, It) y Itt) son LI y forman un conjunto
fundamental de soluciones.En particular, la solución general del SLH es :
Zet qet"+⇐et con
xjlts-axitstcaxs.lt) = a eIIa ta et=
qeikzcaet 9%5%5Finalmente
,una matriz fundamental es :
XIH . xiittxits = Ía "té.
14 Prueba que siXlt) es una matriz fundamentalarbitraria , entonces
Ylt) = NHX"
Ito)
es la matriz principal asociada al instante t -- to .
Sea Ylt) la matriz principal asociada al instante to .Sabemos
queexiste una única matriz invertible SETDNIIR) tal que
YID= XHIS
Determinamos la matriz S imponiendo la condición inicial :
NESS⇒Ito) = Id
Définición de matriz principalSabemos
queXtt) es invertible HTEI, luego podemos multiplicar ambos
lados de la igualdad anterior por la izquierda por X"Ito) :
FÉ .5-X-ttob.IE/l-Yto)-s--XYtoS--sYlH--NHXlto) .
↳ Comprueba quela matriz fundamental Xlt) = eet Zeett del
SLH Í--AIHI con AIH = Et ¥7, cumple la
fórmula de Liouville.
TH) = traza [AHI] = 4- t) tlzt-D= ttl .
Ejercicios para casa - SL3 - MM1 - GEF
WIH = det [XHIJ . eIIa Zeett = - etaatt
w, , f) = -¿
Yztt'
=-etktt
. EI + t'= wltt . ztztl = ftp.wlt), HTEIR .
WIH Tlt)
16 Sea w : Ie IR una función derivable y sea T: I- IR una función
continua .Prueba que :
WYTKTIHwttl HTHR⇒ wltt-wltod.expbtfotisydstt.toeI
Caso wlt)= 0 Ambas cantidades son cerot de t
En este caso ,la igualdad wltkwltu) '
exp btotls)ds es cierta Htitoet.
Caso wlt) #O
En este caso, existe toeI tal que wlto )#o .
w' It) - Tlttwltt ⇒ log nit)
'= TI = TIH
Integrando amboslados de la igualdad
⇒ ÍÍT ds = t.TL?ds--t!log1wisy'dsRegla de Barrow = log wis) log WLH - log wlto)
Aplicando la = log WIHWlto)
función exponencialen ambos lados de→ ⇒ exp Ízotisyds = exp log THE, = wwttfosla igualdad
⇒ w,» = twlto) -
exp SÍTI»"Igualdad válida trtitoet
→⇒ wlt) = wlto) exp fttotlsdds siwlt)#o HTEI. Pero como
wlto) #o de#OKXEIR,Como ttfotlsds -o, evaluando la igualdad deducimos que
WHHOHTEI
anterior en F-to , obtenemos que wtto)= twltolto
,
lo cual nos permite descartar el signo -