Cosmologıa en el contexto de Relatividad GeneralInteraccion Cosmologica Lineal
Interaccion no lineal
Modelos Cosmologicos Interactuantes
Fabiola Arevalo Reyes
FACULTAD DE FISICA Y MATEMATICAUniversidad de Concepcion
COSMOCONCE, 16 Marzo 2012
Fabiola Arevalo Reyes Modelos Cosmologicos Interactuantes
Cosmologıa en el contexto de Relatividad GeneralInteraccion Cosmologica Lineal
Interaccion no lineal
Contenidos
1 Cosmologıa en el contexto de Relatividad GeneralRelatividad General y Principio CosmologicoΛCDM, datos y Coincidencia Cosmica
2 Interaccion Cosmologica LinealAnsatz para la densidad de energıa
3 Interaccion no linealSistemas DinamicosAnsatz no lineal
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Cosmologıa en el contexto de Relatividad GeneralInteraccion Cosmologica Lineal
Interaccion no lineal
Relatividad General y Principio CosmologicoΛCDM, datos y Coincidencia Cosmica
Cosmologıa
Para modelar el Universo a gran escala consideramos que:
La teorıa de Relatividad General describe correctamente lainteraccion gravitacional
El Principio Cosmologico, isotropıa y homogeneidad, es valido aescalas suficientemente grandes.
El Contenido de materia del Universo es idealizado con el tensorde energıa-momentum relativista
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Relatividad General y Principio CosmologicoΛCDM, datos y Coincidencia Cosmica
Cosmologıa en el contexto de Relatividad General
Ecuacion de Campo de Einstein
Rµν −1
2R gµν = κTµν
gµν es la metrica, Rµν es el tensorde Ricci, R es el escalar de Ric-ci y Tµν es el tensor de energıa-momentum.
Principio Cosmologico
El Universo es isotropo y homogeneo. La metrica mas general que cumpleesto es la metrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW)
ds2 = dt2 − a(t)2
(dr2
1− kr2+ r2
(dθ2 + sin2 θdφ2
))a(t) es definido como el factor de escala, xi = (r, θ, φ) son las coordenadasespaciales y x0 = t es tiempo cosmico co-movil.
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Relatividad General y Principio CosmologicoΛCDM, datos y Coincidencia Cosmica
La materia es modelada como un fluido perfecto con el tensor Tµν
Tµν = (ρ(t) + P (t)) uµuν + P (t) gµν ,
donde ρ es la densidad de energıa, P es la presion.
Rµν −1
2R gµν︸︷︷︸
FRW
= Tµν︸︷︷︸FP
⇒
3
(k
a2+a2
a2
)= κρ
a2
a2+ 2
a
a+
k
a2= −κP
ρ+ 3a
a(ρ+ P ) = 0
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Interaccion no lineal
Relatividad General y Principio CosmologicoΛCDM, datos y Coincidencia Cosmica
FRW plano (k = 0) con dos fluidos
3H2 = κ (ρ1 + ρ2)
0 = ρ1 + ρ2 + 3H (ρ1 + ρ2 + p1 + p2)
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p = ωρ
ΛCDM : pm = 0 y pΛ = −ρΛ
ρm + 3Hρm = 0 → ρm = ρm0a−3
ρΛ = 0 → ρΛ = ρΛ0
r =ρmρΛ
=ρm0
ρΛ0a−3 =
Ωm0
ΩΛ0a−3
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¿Que se ha hecho?
Dos fluidos interactuantes
ρm + 3Hρm(1 + ωm) = +Q
ρx + 3Hρx(1 + ωx) = −Q
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Interaccion no linealAnsatz para la densidad de energıa
Interaccion Cosmologica Lineal
En general se introduce el termi-no de interaccion Q(H, ρm, ρx), seelige un ansatz tal que haya solu-cion analıtica y se obtiene el ρtot.
Intentamos otro enfoque en este tra-bajo. Elegimos un ansatz para ladensidad de energıa de uno de losfluidos y estudiamos el sistema.
Ansatz para la densidad
ρ1 ≡ c1 aα + c2 aβ , (1)
con α, β, c1 y c2 constantes. Obtenemos:
ρ2(a) = Ca−3(1+ω2) − α+ 3(1 + ω1)
α+ 3(1 + ω2)C1 a
α − β + 3(1 + ω1)
β + 3(1 + ω2)C2 a
β
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Interaccion no linealAnsatz para la densidad de energıa
Al ansatz (1) se pueden asociar lassiguientes interacciones:
Q ∼ Hρ1
Q ∼ Hρ2
Q ∼ H(ρ1 + ρ2)
Q ∼ Hρ1 +Hρ2
Consideramos un fluido sin presion ω2 = 0 y otro con ecuacion de estadoω1 < −1/3. La ecuacion de Friedmann para este caso es:
3H2 = −3ω1C1(α, β, ω1)
3 + αaα − 3ω1
C2(α, β, ω1)
3 + βaβ + ρm0 a
−3
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Interaccion no linealAnsatz para la densidad de energıa
Se grafica α vs β para datosUnion 1 (izquierda) y α vs ω1
para Union 2 (derecha)
Se grafica ω1 vs α (izquierda) yω1 vs β para el set de datos H0
El ansatz de la densidad como potencias de a describe lainteraccion como una C.L. de las densidades
Se obtienen modelos FRW con r variable y parametrosconsistentes con conjuntos de datos del Universo tardıo
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Interaccion no lineal
Sistemas DinamicosAnsatz no lineal
Interaccion No lineal
Nos enfocamos en el parametro de coincidencia para materia oscura (presionnula) y energıa oscura (ωx < −1/3) interactuante.Reescribimos el sistema en ρ = ρc + ρx, r = ρc
ρxy Q = −3HΠ
Dos fluidos interactuantes
ρc + 3Hρc = +Q
ρx + 3Hρx(1 + ωx) = −Q
⇒ρ′ = −
(1 +
w
1 + r
)ρ
r′ = r
[w − (1 + r)
2
rρΠ
]
Diferentes elecciones de Π nos llevan a 6= escenarios. El objetivo es estudiarel destino final de estos escenarios al encontrar los puntos crıticos y describirsus propiedades.
¿existen puntos crıticos estables con una valor positivo de r?
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Interaccion no lineal
Sistemas DinamicosAnsatz no lineal
Son Puntos Crıticos (ρc, rc)los valores que anulensimultaneamente r′ y ρ′,considerando Πc constanteevaluada en (ρc, rc).
⇒0 = −
(1 +
w
1 + r
)ρ
0 = r
[w − (1 + r)
2
rρΠ
]
El primer punto es: (ρc, rc) =
(− w
1 + wΠc,−1− w
)Para valores positivos de rc, se requiere un parametro de estado w < −1.Para ρc > 0 se requiere que Πc < 0.
Tambien puede ser ρc = 0 con cualquier rc talque Πc = 0, tal que ambas densidades escalande la misma forma mientras tienden a 0.
(ρc, rc) = (0, cte)
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Sistemas DinamicosAnsatz no lineal
Para estudiar el sistema, construimos el jacobiano para las variables (r, ρ).Las derivadas de las ecuaciones (r′, ρ′) evaluadas en punto crıtico (rc, ρc)son∂P
∂r|c≡ Prc = − (2 + w) + w (1 + w)
∂rΠ
Π,
∂S
∂r|c≡ Sr = − Π
1 + w,
∂P
∂ρ|c≡ Pρc =
1 + w
Π[1 + w + w∂ρΠ] ,
∂S
∂ρ|c≡ Sρ = 0 .
donde ∂rΠ ≡ ∂Π∂r y ∂ρΠ ≡ ∂Π
∂ρ . Luego el autovalor evaluado en ese puntocrıtico es:
para clasificarlos definimos α, β tal que λ± = α±√β. Autovalores solo
imaginarios tienen comportamiento tipo centro
α = 0 −→ ∂rΠ
Π=
2 + w
w(1 + w)−→ β = −4(1 + w + w∂ρΠ)
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Sistemas DinamicosAnsatz no lineal
Podemos expresar las componentes ρm y ρx en funcion de las variables ρ y rde la forma:
ρm =r
1 + rρ y ρx =
1
1 + rρ
Q (ρm, ρx) Hρm Hρε ρm/H ρερm ραε ρβm
Q (ρ, r) r ρ3/2
(1+r)ρ3
(1+r) r ρ−1/2
(1+r) r ρ2
(1+r)2 rα ρα+β
(1+r)α+β
Postulamos el ansatz no lineal:
Π(ρ, r) = −γρmrn (1 + r)s r′ = r
[w + γρm−1rn−1 (1 + r)
s−2]
Se tiene dos ecuaciones diferenciales con una funcion desconocida. Ahoratenemos un sistema dinamico autonomo con 6 parametros (ρ0, γ, ω, n,m, s)para contrastar con datos observacionales.
Estudiamos en particular los parametros m,n, s.Fabiola Arevalo Reyes Modelos Cosmologicos Interactuantes
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Sistemas DinamicosAnsatz no lineal
El caso mas simple es con (m,n, s)=(1,1,-2), es decir Q = 3Hγ ρmρxρ
r′ = r [w + γ] → r = r0 a3(w+γ) → ρ = ρ0 a
−3(1+w)
[1 + r0a
3(w+γ)
1 + r0
] ww+γ
El caso (m,n, s)=(1,0,-2), es Q = 3Hρ2x/ρ. La ecuacion r′ = r(w + γ
r )
r =(r0 +
γ
w
)a3w− γ
w→ ρ = ρ0a
−3(
1+ w2
w−γ
) [w − γ + (wr0 + γ) a3w
(1 + r0)w
] ww−γ
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Sistemas DinamicosAnsatz no lineal
Para los casos no analıticos, usamos sistemas dinamicos. Considerando elansatz los autovalores son
Y solo dependen de parametros constantes. Excluimos los casos con m = 1.Para m < 1 existe un comportamiento tipo silla para todo n y s, y param > 1 tenemos la clasificacion general descrita en la tabla.
Atractor s < −2+(1+n)w1+w − 2
√1−m1+w
Inestable s > −2+(1+n)w1+w + 2
√1−m1+w
centro 2 + s+ (1 + n+ s)w = 0, n > 1
Foco Estable 2 + s+ (1 + n+ s)w > 0
Foco Inestable 2 + s+ (1 + n+ s)w < 0
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Sistemas DinamicosAnsatz no lineal
Se grafican algunos ejemplos del espacio de fase (r, ρ) de interacciones nolineales.
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Sistemas DinamicosAnsatz no lineal
Se realizaron estudios numericos de las algunas de las interacciones. Enparticular se eligio una interaccion que tuviese un punto crıtico estable con(m,n, s) = ( 3
2 ,12 ,−1), Q = H2γ
√ρmρx.
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Conclusiones
Existen dos valores crıticos rc yρc finitos y positivos para (r, ρ).Uno de ellos requiere w < −1 yuna transferencia de energıaoscura a materia oscura Πc < 0.
Basado en el analisis de sistema dinamico para el ansatz identificamosatractores, focos estables y centros como configuracion lımite de ladinamica cosmologica. Todos estos modelos tienen necesariamentem > 1 y con ello hemos establecido un modelo cosmologico viable eninteracciones no lineales.
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Sistemas DinamicosAnsatz no lineal
Gracias por su atencion!!
M. Cataldo, F. Arevalo and P. Minning, JCAP 1002 (2010) 024“On a class of scaling FRW cosmological models”arXiv:1002.3415 [astro-ph.CO]
F. Arevalo, A. P. R. Bacalhau and W. Zimdahl,“Cosmological dynamics with non-linear interactions”arXiv:1112.5095 [astro-ph.CO]
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