Modelos Estocasticos
en Econometrıa Financiera,
Gestion de Riesgos y Actuarıa
MODELOS ESTOCASTICOSen Econometrıa Financiera,
Gestion de Riesgos y Actuarıa
MINICURSO PARA EL VIII COLOQUIO INTERNACIONAL DE
ESTADISTICAJunio 29 Julio 1 de 2011Universidad Nacional de Colombia ITMMedellın
NORMAN GIRALDO GOMEZProfesor AsociadoEscuela de EstadısticaUniversidad Nacional de ColombiaMedellın
Universidad Nacional de ColombiaMedellín
Copyright c©2011 Norman Diego Giraldo Gómez.
Primera Edición
No está permitido reproducir esta publicación o transmitirla por cualquier forma o medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, escaneo
ó de otro tipo excepto para citas cortas, sin el permiso del Autor.
Centro de Documentación Rafael Botero, UN Medellín
Los Modelos Estocasticos / Norman Diego Giraldo Gomez.
p. cm.—(Coleccion Notas de Clase)
“Universidad Nacional de Colombia."
Incluye referencias bibliograficas e ındice.
1. Probabilidades—Teorıa. 2. Matematicas
Ciencias—Investigacion—Teorıa. I. Giraldo, Norman D. II. Series.
519.2
G897c
Diagramación en LaTeX.
Indice general
1. Introduccion al Curso 1
1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Las Polıticas Economicas Recientes y Los Mercados de Capitales . . . . 1
1.3. El Problema de Financiamiento de Pensiones en los Sistemas de Ahorro
Individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4. El Riesgo de Mercado en los Portafolios Pensionales . . . . . . . . . . . 3
1.5. La Influencia de los Metodos Actuariales Clasicos en la Gestion de Riesgos 4
2. Modelos Actuariales de Seguros de Bienes 7
2.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Seguros de Bienes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. El Modelo de Riesgo Colectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1. Distribuciones Compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2. Modelamiento de las variables N y Xj . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4. Metodos de Aproximacion de Distribuciones Compuestas . . . . . . . . . 15
2.5. Principios de Calculo de Primas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
v
vi
2.6. Reaseguros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.1. Calculo de la Retencion: Control Estocastico Optimo . . . . . . . 26
3. Modelos de Riesgo de Mercado 29
3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. El Modelo de MediaVarianza de Markowitz . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1. Rendimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2. Portafolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.3. Determinacion del Portafolio Optimo . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.4. El Modelo CAPM y La propiedad de Diversificacion . . . . . . . 35
3.3. Medidas de Riesgos de Portafolios: el VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1. Metodos para el Calculo del VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2. Medidas Coherentes de Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.3. El Capital en Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4. El Modelo de Marcha Aleatoria 43
4.1. El Modelo de Marcha Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2. Caracterısticas Empıricas de los Rendimientos de Activos Financieros . . 44
4.3. Modelos para la Distribucion de los Rendimientos . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.1. Marcha Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.2. Marcha Aleatoria LogNormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.3. Modelos GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4. Procesos EGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5. Analisis Estadıstico de Procesos GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5.1. Distribucion Normal Inversa Gaussiana NIG . . . . . . . . . . . 57
4.5.2. Distribucion GED Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5.3. Distribucion t de Student Asimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6. Calculo del VaR con Modelos GARCH, y CopulaGARCH . . . . . . . . 61
vii
5. Modelos Actuariales para Riesgo Operativo 63
5.1. Introduccion al Riesgo Operativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2. SARO: Sistema de Administracion de Riesgo Operativo . . . . . . . . . . 65
5.3. El Calculo de las Provisiones en SARO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3.1. El enfoque No Avanzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3.2. El Enfoque Avanzado: Modelos Actuariales . . . . . . . . . . . 68
5.4. Metodo LDA (Loss Distribution Analysis) . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4.1. La Estimacion de las Distribuciones de Frecuencia y Severidad
de Perdidas Operativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.5. Metodo EVTPOT (Extreme Value Theory Peaks Over Threshold) . . . 75
5.5.1. La Teorıa de Valores Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5.2. Procedimiento de Calculo del percentil q de X . . . . . . . . . . 77
5.5.3. Calculo del VaR por el Metodo POT . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.5.4. Estadısticos para Analisis de Datos Extremos . . . . . . . . . . . 80
5.6. Ejemplo de Procedimiento en R para aplicar LDA y POT . . . . . . . . . 83
5.6.1. Analisis POT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.6.2. Analisis LDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6. Modelos Actuariales para Riesgo de Credito 89
6.1. Introduccion: El Modelo de Riesgo Individual . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2. El Modelo SARC con Base en el Modelo de Riesgo Individual . . . . . . 91
6.3. El Modelo Credit Risk+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Bibliografıa 112
Indice alfabetico 112
viii
Indice de figuras
2.1. Trayectoria de R(t) para 50 semanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1. Fronteras optimas para el primer trimestre 2009 . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1. Distribucion de Perdidas Totales Teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2. Prueba Grafica: comparacion en la cola derecha, en Moscadelli (2004),
pag.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3. VMR de Seis Servicios Medicos en la Caja de Prevision Medellın 1991 81
6.1. Tasas de Recuperacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2. Resultados de Simulacion del Modelo CreditRisk+ . . . . . . . . . . . . 105
ix
x
Indice de cuadros
2.1. Comparacion de las Propiedades de las Primas . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.1. Lıneas Comerciales de un Banco y ponderaciones . . . . . . . . . . . . . 68
5.2. Lıneas Comerciales y Tipos de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3. Totales de seis servicios Ano 1991 CPSMedellın . . . . . . . . . . . . . 82
5.4. Percentiles Costos de Odontologıa en 1991 CPSMedellın . . . . . . . . 82
6.1. Categorıas de Mora e Intervalos de Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . 92
xi
xii
CAPITULO 1
Introduccion al Curso
1.1. Introduccion
En este minicurso se examina, a un nivel elemental y necesariamente limitado, por lo
extenso y altamente tecnico de los temas involucrados, las relaciones entre los modelos
estocasticos que han surgido en las areas de econometrıa financiera, la medicion y prevision
de riesgos financieros y la matematica de los seguros o actuarıa. En especial como un
modelo probabilıstico abstracto, la suma aleatoria de variables aleatorias, ha sido aplicado
en areas relacionadas tales como la actuarıa de seguros generales, el reaseguro, la gestion de
riesgos, operativo y credito, y la econometrıa financiera, generando una fuerte interaccion
entre estas campos
1.2. Las Polıticas Economicas Recientes y Los Mercados
de Capitales
Un hecho para mencionar como motivacion del curso es que desde la decada de 1990
para aca, la regulacion economica ha privilegiado el mercado de capitales frente al credito
1
2
bancario, lo cual ha generado cambios radicales que explicarıan el surgimiento de esta
nuevas area de trabajo de la Gestion de Riesgos, acompanada con otras innovaciones
como la introduccion de Derivados Financieros. En especial, esa regulacion ha afectado
el financiamiento pensional en algunas economıas.
Antes de estos cambios, muchos paıses europeos y latinoamericanos tenıan sistemas
pensionales denominados de reparto simple. El sistema de pensiones del ISS, denominado
de prima media con prestacion definida es un sistema de reparto simple. Que dependıan
para su funcionamiento de un flujo de capital constante, producto de los aportes de los
trabajadores afiliados al sistema.
Este capital permitıa conformar provisiones o reservas individuales, una vez el trabajador
adquirıa el estatus de pensionado. Tales reservas se invertıan en papeles de renta fija
utilizando una tecnica denominada inmunizacion. La idea de la inmunizacion es conformar
un portafolio de papeles de renta fija que paguen intereses a la misma tasa de las pensiones
y en las mismas fechas. De esta forma, las pensiones estaban es un esquema seguro.
Pero esto cambio radicalmente en la decada de los 90 del siglo XX. Toda la teorıa
actuarial desarrollada para los regımenes pensionales de prima media con prestacion
definida quedaron obsoletas.El trabajo del matematico y actuario de pensiones aleman,
Peter Thullen, Thullen (1974), muestra el estado de desarrollo de esta teorıa.
En su reemplazo surgio (o esta surgiendo) una serie de metodos y de modelos, asociados al
problema del financiamiento de pensiones mediante inversiones en el mercado de capitales.
Esta es la primera hipotesis de este curso.
1.3. El Problema de Financiamiento de Pensiones en los
Sistemas de Ahorro Individual
Hipotesis 1.El surgimiento de metodos y modelos, asociados con el nombre de Econometrıa
Financiera, se ha debido en gran parte a la necesidad de adaptar el financiamiento pen
sional al mercado de capitales. En una busqueda de metodos para entender, modelar y
controlar el flujo de capital de algunos productos financieros con el fin de generar un flujo
capaz de sostener el pago de mesadas pensionales.
Los metodos para conformar portafolios optimos incluyen modificaciones al modelo inicial
de Markowitz, pero ahora se busca disminuır las perdidas por movimientos adversos del
3
mercado, por ejemplo, mediante las metodologıas de optimizacion de medidas de riesgo
como CVaR. Tambien las metodologıas de seguro de portafolios, que buscan igualmente
garantizar una tasa mınima de rendimiento.
Pero el desarrollo de las metodologıas asociadas a la Gestion de Riesgos se pueden asociar
tambien al problema de la busqueda de un mayor control del riesgo a partir de su medicion.
El objetivo de la medicion es determinar el grado de exposicion en un portafolio que puede
ser, sin embargo, optimo.
Las metodologıas con base en derivados incluyen la utilizacion de opciones de venta
sobre ındices bursatiles, asociadas a estrategias de manejo de portafolios consistentes en
replicacion de ındices sobre los que se transan tales opciones.
1.4. El Riesgo de Mercado en los Portafolios Pensionales
Suponga un pensionado de edad (x). En su cuenta del fondo pensional su saldo es de
$C , que, traducido a un numero de unidades es K unidades. Suponga que (x) retira
anualmente 0.04K. Espera que el rendimiento de los saldos consecutivos, invertidos en
el fondo, compensen los retiros y permita que duren hasta el final de su vida. Pero el
portafolio se puede ver afectado negativamente por el mercado y el valor de la unidad
puede disminuır. En este caso, (x) necesitara retirar 0.06K, para cubrir sus gastos. Su
saldo en unidades ha disminuıdo a menos que ocurra un aumento en el valor de la unidad.
Como puede evitarse esto?.
Parte de los modelos y las metodologıas de la Econometrıa Financiera estan orientados a
buscar estabilizar los rendimientos de los fondos pensionales para poder realizar calculos
similares a los que se tenıan en la epoca de los sistemas de reparto simple.
Estos desarrollos pueden verse en varios frentes.
1. A partir del modelo de mediavarianza de Markowitz se trata de disenar criterios de
optimizacion que minimicen el riesgo de perdidas, en lugar de minimizar volatilidad.
2. Introduccion de metodos robustos en la estimacion de covarianzas que permita una
mayor estabilidad de las soluciones optimas en el tiempo.
3. Incidentalmente, estos objetivos han impulsado el uso de metodos de optimizacion
basados en algoritmos geneticos y evolutivos.
4
4. Introduccion de Seguros de Portafolios, que incluyen el diseno de portafolios con
una tasa preferencial, y portafolios con garantıas de rendimientos mınimos, a un
costo adicional.
5. El diseno de mejores indicadores de riesgo, con variaciones del VaR
1.5. La Influencia de los Metodos Actuariales Clasicos en
la Gestion de Riesgos
Hipotesis 2. Varios de los modelos y metodos utilizados en Gestion de Riesgos de
Mercado, de Credito y Operativo, provienen del area de la Actuarıa de Seguros Generales
o Teorıa de Riesgo
Como se define Gestion de Riesgos?
Algun autor senalaba que no es posible “gestionar” el riesgo, en el sentido de controlarlo
o eliminarlo. En este punto parece ser particularmente difıcil tomar una decision a juzgar
por desarrollos como el “credit scoring” para definir el perfil de un deudor para determinar
si entrara en default. O determinar el perfil del afiliado que generara mayores costos en
una EPS. Algo que la industria aseguradora esta discutiendo, sobre todo, a partir de los
resultados sobre el genoma humano.
Durante mas de un siglo, la Industria Aseguradora ha mostrado cual es el significado de la
gestion o administracion del riesgo. Partiendo de una nocion basica de “riesgo asegurable”,
es decir, delimitado en cuanto al costo, gestionar significa dos cosas.
1. Evaluar el Riesgo mediante un Modelo realista y matematicamente riguroso.
2. Cubrir el Riesgo mediante un sistema de dispersion del valor, que produzca una
Reserva o Provision adecuada, que garantize la supervivencia financiera del sistema
expuesto al Riesgo.
Esto explicarıa la influencia de los metodos actuariales en la gestion de riesgo actual. Por
ejemplo, en el libro de McNeil, Frey, and Embrechts (2005) en el capıtulo 10, “Operational
Risk and Insurance Analytics”, seccion 10.2.1 “The Case for Actuarial Methodology”, los
5
autores explican por que los metodos actuariales han tenido aplicacion en la Gestion de
Riesgo Operativo.
En el curso se muestra que esto tambien es valido en el Riesgo de Credito de Prestamos
Bancarios. En el Riesgo de Mercado la aplicacion esta centrada en las metodologıas para
calculo del VaR, que incluyen el uso de Copulas para incorporar dependencia entre los
riesgos.
Pero estas metodologıas parecen calcadas de los correspondientes metodos de calculo de
primas en seguros de bienes. Como senalan McNeil, Frey, and Embrechts (2005, pag.
472) “...varios de los conceptos y tecnicas de la Gestion Cuantitativa de Riesgos descrita
en los capıtulos anteriores estan, de hecho, tomados de la literatura actuarial”. Entre los
conceptos, metodos y tecnicas se pueden mencionar las siguientes (las partes en comillas
son citas de ese texto ).
1. Las medidas de riesgo financiero y su axiomatizacion han tenido un desarrollo
paralelo al de las primas en los seguros generales, “frecuentemente, con objetivos y
resultados muy similares”. Este punto es relevante. Por ejemplo, uno de los metodos
para calcular primas en seguros generales y en reaseguros, el principio del maximo
o del percentil, es equivalente al VaR, el Valor en Riesgo.
2. De manera similar, el precio de una opcion de compra o de venta europea (call
option, put option) es muy similar a la prima de un seguro de vida por ejemplo, de
un dotal puro.
3. Muchas de las herramientas para modelamiento de la dependencia, como las copu
las, tuvieron su primera aplicacion en el area de los seguros. Adicionalmente, “no
ciones como la comonotonicidad de factores de riesgo tiene su origin en cuestiones
actuariales”.
4. El modelamiento de datos extremos, aunque con contribuciones importantes desde la
hidrologıa, ha sido tambien un area de desarrollo actuarial. En el contexto de ciertos
ramos, como incendio, inundaciones, terremoto, la ocurrencia de siniestros de baja
frecuencia y alto costo ha sido siempre el problema a enfrentar con desarrollos tales
como las distintas formas de reaseguros.
5. “En area de Gestion de Riesgo de Credito de Tıtulos Valores como Bonos, CDT,
etc, el modelo CreditRisk+ es un modelo actuarial”.
6
Un tema que se desarrolla en el curso son los metodos para calcular reservas o provisiones.
El concepto de Valor en Riesgo en el area de Gestion de Riesgo corresponde, o proviene,
del concepto de prima de riesgo, o prima de retencion en el area de Teorıa de Riesgo.
Las propiedades de las medidas de riesgo, por ejemplo, la subaditividad, se corresponden
con las propiedades de las primas de los seguros. Y los distintos tipos de primas corre
sponden a su vez con los distintos metodos para calcular provisiones. Es decir, variantes
del VaR. Por ejemplo, la inclusion de la asimetrıa y la curtosis en las formulas de ... son
similares a las formulas NP.
La actuarıa de seguros generales es un paradigma, un modelo matematico completo, en
el cual se pueden ver las tecnicas y las ideas para medir, controlar y diseminar el riesgo.
La metodologıa del reaseguro, coaseguro, retrocesiones, etc. son ideas que pueden
explotarse al tratar en la gestion de riesgo.
Una presentacion de la actuarıa de seguros generales, de los metodos y problemas ac
tuales, con mencion de algunos problemas de estimacion estadıstica esta en Embrechts
and Kluppelberg (1993). Estos autores afirman que actualmente estamos asistiendo al
surgimiento de una nueva rama de la ciencia que ellos denominan “Insurance Mathemat
ics”, la cual es el resultado de la amalgama de teorıas de diversos campos, entre los cuales
incluyen:
Teorıa de Riesgo
Matematicas del Seguro de Vida
Tarifacion de Primas
Teorıa de Credibilidad
Fondos de Pensiones
Criterios de Solvencia
Demografıa
Reservas
Teorıa matematica de Finanzas y Seguros
Reaseguros
Teorıa de Supervivencia
CAPITULO 2
Modelos Actuariales de Seguros Bienes
2.1. Introduccion.
Los objetivos generales en la elaboracion de un modelo de seguros son dos:
1. Establecer un balance entre los costos por indemnizacion mas los costos administra
tivos, por una parte, y la prima recaudada mas los rendimientos de las reservas, por
el otro. Este objetivo se desarrolla con argumentos probabilısticos porque la prima
se define mediante una condicion de minimizacion de la probabilidad de ruina. Una
formula clave es la expresion o principio de calculo de la prima. En los modelos de
gestion de riesgo el enfasis es en la prima que en muchos casos es la unica reserva
generada.
2. Repartir esta prima entre las distintas polizas que conforman un contrato. Este
problema se denomina el problema de la tarifacion.
7
8
2.2. Seguros de Bienes
El Ramo de los Seguros de Bienes (NonLife Insurance), o Seguros Generales, comprende
varios tipos de Seguros que tienen como objetivo proteger el patrimonio contra la perdida
de un bien materia sobre el cual exista un “interes asegurable”. Es decir, que su poseedor
sufra una perdida financiera si el bien se destruye o deteriora.
1. Incendio, Anegacion, Terremoto.
a) Un banco podrıa perjudicarse si un bien dado como garantıa en una hipoteca,
se incendia y se deteriora, porque esa propiedad es una garantıa para la deuda.
b) Los datos de pagos de siniestros en el ramo de incendio por parte de las
Aseguradoras son ejemplos de datos de distribuciones de colas pesadas.
c) Son un ejemplo de un principio fundamental del seguro: el interes asegurable
debe tener un maximo. Cuando los danos tienes distribuciones de cola pesada
determinar ese maximo es un problema de estimacion de un percentil. Y
da lugar a la figura del reaseguro.
2. Transportes de Mercancıa: robo, deterioro.
3. Vehıculos: robo, responsabilidad civil extracontractual (RCE) , perdida parcial.
a) En vehıculos por ejemplo, motos, se presenta un problema de alta frecuencia y
posible cola pesada. La RCE puede generar siniestros muy costosos, como la
indemnizacion por muerte. Calcular reservas para este tipo de polizas puede ser
difıcil o imposible porque los riesgos de alta frecuencia no cumplen con otro
principio de los seguros: la diseminacion del riesgo entre muchos asegurados.
4. Lucro Cesante. Una propiedad con un cultivo de flores se anega por causa de una
inundacion. Un amparo puede ser la cobertura de los danos como tales, pero tambien
el pago de salarios mientras se recupera la actividad productiva.
2.3. El Modelo de Riesgo Colectivo
El Modelo de Riesgo Colectivo es el modelo probabilıstico con base en el cual se desar
rollo la industria de los Seguros de Bienes. Con base en este modelo se desarrollan los
conceptos basicos del seguro como tal.
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1. Prima
2. Tarifacion
3. Deducibles
4. Sistemas de Bonificacion
5. Reservas
6. Probabilidad de Insolvencia o Ruina
7. Reaseguros
El Modelo de Riesgo Colectivo se basa en un tipo de variable aleatoria: la suma aleatoria
de variables aleatorias
S =N∑
j=1
Xj = X1 + . . .+XN , (2.1)
donde N ∈ 0, 1, . . . es una variable discreta, con fdp pn = P(N = n), y (Xj , j ∈ N)
es una sucesion de variables aleatorias iid, independientes de N . En las aplicaciones en
Seguros, las Xj se tomas no negativas.
En general, cuando se asume que Xj ∈ R la variable S se denota a veces SN , y se define
como una “marcha aleatoria detenida” (stopped random walk).
Segun Jewell (1980), el modelo (2.1) es un Paradigma Cientıfico, en el mismo sentido de,
por ejemplo, la ecuacion de calor o la ecuacion de la cuerda vibrante. Es un modelo que
se aplica en varias disciplinas. Por ejemplo, en Straub (1988), se menciona que (2.1) es
un modelo que se aplica en
i) Modelos para Represas Hidroelectricas.
ii) Teorıa de Colas.
iii) Confiabilidad.
iv) Teorıa de Inventarios Probabilıstica.
v) Modelos de Seguros Generales.
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vi) En el area de las finanzas un ejemplo es el modelo de difusion con saltos (jump
difussion), que permite incorporar “picos” aislados de magnitud aleatoria (positiva
o negativa) en el modelo de rendimientos. Uno de los “hechos estilizados” observados
en algunas series de precios. En particular, los rendimientos de fondos de fiducia
muestran picos por efecto de valoracion de bonos. Otro ejemplo importante consiste
en los precios de la electricidad, mas que todo en paıses con estaciones y que no
dependen tanto de la generacion hıdrica.
vii) Otro ejemplo en finanzas consiste en las opciones catastrofes. Es un mercado creado
por aseguradoras para enfrentar los siniestros generados por huracanes sobre todo en
el sur de los EUA.
Definicion del modelo de Riesgo Colectivo
El Modelo de Riesgo Colectivo consiste de los siguientes elementos.
i) Un proceso Poisson Homogeneo con tasa λ dado por (N(t), t ≥ 0). Representa el
numero de reclamos ocurridos en el intervalo (0, t]. Para el caso t = 1, N(1) es el
numero de casos de una vigencia anual.
ii) Una sucesion de aleatorias independientes e identicamente distribuıdas (Xj , j =
1, 2, . . .), no negativasXj ≥ 0, independientes deN(t), con fda F (x) = P (Xj ≤ x).
La sucesion de variables Xj son los pagos por reclamos de cada poliza. Por ejemplo,
los costos generados por atencion a usuarios en una especialidad medica en una EPS.
Por eso se asume independientes.
iii) Los pagos acumulados del los siniestros hasta t: S(t) =∑N(t)
j=1 Xj . Es una suma
aleatoria de variables aleatorias. En el caso t = 1 son los costos totales anuales. Por
ejemplo, los costos de odontologıa en 2010 de un EPS. O los pagos por RCE en una
Cıa de Seguros en el Seguro de Vehıculos.
iv) El Modelo de Riesgo Colectivo se define como el proceso
R(t) = R0 + Πt− S(t), t ≥ 0 (2.2)
donde R(0) = R0 > 0,Π > 0 son constantes dadas, Π es la prima total para la
vigencia de 1 ano y R0 es la reserva inicial. La interpretacion de (??) es:
Superavit = Reservas + Ingresos Gastos.
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v) En el Modelo (2.2) se asume que R0 esta invertida en, por ejemplo, un fondo de
fiducia, totalmente lıquido, excento de riesgo. Ademas, la prima tambien se coloca
en este fondo. Como es un modelo dinamico, los costos Xj tambien se ajustan por
inflacion. Igualmente, el proceso N(t) se puede modificar a un proceso Poisson no
homogeneo, con tasa λ(t) variable, por ejemplo, en seguros de vehıculos, adaptada a
los perıodos de lluvias y perıodos secos.
vi) La prima Π es el total recaudado por concepto de primas en 1 ano. Un prima Π muy
baja aumenta la probabilidad de insolvencia o superavit negativo: R(t) < 0, porque
atrae los riesgos altos y no permite una reserva adecuada. Una prima muy alta saca a la
Aseguradora del mercado. Definir formulas adecuadas para la prima es fundamental.
Definiciones y Propiedades Adicionales
Algunas definiciones y propiedades adicionales del Modelo de Riesgo Colectivo se re
quieren para los temas que siguen.
a) La funcion generadora de momentos (fgm) de S ∼ PC(λ, F ) esta dada por
MS(t) := E(etS) = eλ(MX(t)−1). (2.3)
donde MX(t) es la fgm de las variables Xj .
b) El Coeficiente de Ajuste. Se asume que la ecuacion en z siguiente
λ + Πz = λMX(z), (2.4)
tiene una solucion unica, positiva, z > 0, que se denomina “coeficiente de ajuste”. .
Requiere que la distribucion de lasXj no tenga cola derecha mas pesada que la de una
distribucion exponencial, o sea, las Xj son siniestros de baja severidad. La condicion
se expresa como ∃δ > 0,MX(t) <∞ para t < δ, y MX(t) → ∞ cuando t→ δ−.
c) Ruina o Insolvencia (en un horizonte infinito). Se define como el evento de un superavit
negativo en algun momento. Es decir, es el eventoRuina := (R(t) < 0, para algun t ≥0), para R(t) el superavit en (2.2).
d) Probabilidad de ruina (como funcion de la reserva inicial): ψ(R0) := P (Ruina).
12
Figura 2.1: Trayectoria de R(t) para 50 semanas
e) Cota CramerLundberg: con las condiciones anteriores sobre las Xj se cumple (ver
Cai (2004))
ψ(R0) ≤ e−zR0 . (2.5)
Por supuesto, a mayor reserva inicial, menor la probabilidad de insolvencia. Pero,
que sucede en el caso que el que los siniestros sean de alta severidad?. Como en el caso
de Riesgo Operativo?.
Ejemplo de un Evento de Ruina
La grafica (2.1) muestra una trayectoria del proceso R(t) = R0 + Πt − S(t),
S(t) =∑N(t)
j=1 Xj , con Xj ∼ Exp(5), N(t) ∼ Poisson(t), con λ = 1, con
R0 = 30, Π = 6, para t ∈ [0, 50].
Es este caso la probabilidad de ruina es ψ(30) = 0.306.
13
2.3.1. Distribuciones Compuestas
En las secciones siguientes se usa la notacion N(1) = N , S(1) = S. Y se usa X para
indicar una de las variables Xj. Ademas, se utiliza la notacion
γ1 = E((X − E(X))3)/V ar(X)3/2
γ2 = E((X − E(X))4)/V ar(X)2
para los coeficientes de asimetrıa y de curtosis, respectivamente, de X.
Definicion 2.3.1. (Distribucion Compuesta) La funcion de distribucion acumulada de
la variable S se llama una distribucion compuesta y se tiene, utilizando el teorema de
probabilidad total, la siguiente expresion:
FS(x) = P(S ≤ x)
=∞∑
n=0
P(N = n)P(S ≤ x|N = n)
=∞∑
n=0
pnP(X1 +X2 + ...+Xn ≤ x|N = n)
=
∞∑
n=0
pnF∗n(x)
donde pn = P(N = n) y F ∗n(x) = P (X1 +X2 + ...+Xn ≤ x) es la nesima convolucion
de F .
Por lo tanto, la distribucion compuesta puede ser expresada como una mezcla infinita de
distribuciones, o tambien, una serie de funciones. Este resultado es la principal motivacion
para introducir las aproximaciones a la distribucion compuesta FS(x), dadas en la seccion
siguiente.
Definicion 2.3.2. (Distribucion Compuesta Poisson) Si N ∼ Poisson(λ) entonces la
distribucion acumulada de S =∑N
j=1 Xj se denomina Poisson Compuesta. En este caso
pn = e−λλn
n!y
FS(x) =∞∑
n=0
e−λλn
n!F ∗n(x). (2.6)
14
Este caso se indica por S ∼ PC(λ, F ). Y se tienen las siguientes expresiones para los
primeros cuatro momentos de S, que son importantes en las formulas para las primas y
los metodos de aproximacion.
E(S) = λE(X), (2.7a)
V ar(S) = λE(X2), (2.7b)
E((S − E(S))3) = λE(X3), (2.7c)
γ1,s = E(X3)/√λE(X2)3, (2.7d)
γ2,s = E(X4)/(λE(X2)2). (2.7e)
Notese que
E(R(t)) = R0 + Πt− E(S(t)) = R0 + Πt− λE(X)t
= R0 + (Π − λE(X))t.
Se debe calcular la prima Π tal que Π > λE(X), es decir el ingreso por concepto de primas
debe ser superior al costo promedio anual. De otra forma, se genera una alta probabilidad
de insolvencia en una vigencia anual. Pero se debe decidir que valor debe tomar Π para
que no resulte demasiado cara la cobertura.
2.3.2. Modelamiento de las variables N y Xj
i) El modelamiento de los costos individualesXj. Los modelos mas utilizados, LogNor
mal, Gamma, Inversa Gaussiana, Pareto, Gumbel, se exponen en el Capıtulo 5, 71.
Una referencia muy completa sobre los modelos utilizados, con referencias historicas,
se puede encontrar en los capıtulos 3 y 4 de Seal(1969). Otra referencia muy completa
y actualizada es el texto de Hoog y Klugman(1990). Ver detalles y referencias en el
trabajo de Embrechts and Kluppelberg (1993).
ii) El modelamiento del proceso puntualN(t). El principal problema del proceso Poisson
homogeneo es ese, el ser homogeneo, es decir, la intensidad de reclamos permanece
constante en el perıodo considerado, por ejemplo, un ano. Pero una cartera con
varias polizas tiene nuevas entradas y salidas constantemente. Por esta razon se ha
introducido una generalizacion del proceso de riesgo con base en un proceso puntual
mas general, el llamado Proceso de Cox, en el cual la intensidad es tambien una
variable aleatoria. Para una vision de conjunto y referencias ver Embrechts and
Kluppelberg (1993).
15
Modelos Lineales Generalizados
En esta seccion se presenta una idea acerca de la posibilidad de modelar la variable de
costos totales anuales : S =∑N
n=1 Yn un modelo lineal generalizado. Para la definicion
y propiedades de estos modelos ver por ejemplo, Dobson (1990). Un modelo ası puede
incorporar el efecto de covariables en el costo total y ası, incorporarlo a la prima. Es decir,
se puede tarifar la cartera. Si se denota por X = (X1, . . . , Xk)′
el vector de covariables,
y se asume, por ejemplo, una distribucion de base tipo Gamma(α, λ) , con media αλ
con
varianza αλ2 , entonces un posible modelo lineal generalizado para S consiste en asumir
que S|N, X ∼ Gamma(N, (β0 + X′
β)−1), donde el vector β = (β0, β1, . . . , βk)′
es el
vector de coeficientes.
Ası se tendra que: E(S|N,X) = N(β0 + X′
β), pero, ademas, la prima con base en el
principio exponencial (ver la seccion 3.2 anterior), se podrıa expresar como una funcion
de N y las covariables X ′s, mediante la funcion generadora de momentos de la variable
S condicionada con N y las X ′s, ası:
c(N,X) =1
RlnMS|N,X(R) =
N
Rln
(1
1 − R(β0 +X′
β)
)
donde R en la expresion anterior, es el coeficiente de ajuste, ya mencionado en la seccion
3.2; es claro que R debe escogerse de tal forma que la expresion anterior tenga sentido.
Una idea similar pero mucho mas elaborada, basada en familias exponenciales con dis
persion, la desarrollaron Jørgersen y Paez de Souza(1992), con relacion a un modelo para
tarifacion de seguro de automoviles en Brasil.
2.4. Metodos de Aproximacion de Distribuciones Com
puestas
Esta seccion tiene partes de la Tesis de Maestrıa de Velasquez (2008, sec. 1.1).
La expresion para la distribucion de S, FS(x) =∑∞
n=0 pnF∗n(x) impide los calculos
de probabilidades, de cuantiles, etc.. Por eso se han desarrollado varios metodos para
aproximar el valor de FS(x).
Algunos de estos metodos se han aplicado en el calculo del VaR en Portafolios, y en el
calculo de las provisiones en Riesgo Operativo y en Riesgo de Credito.
16
Algunas de las aproximaciones que se definen a continuacion se encuentran implementadas
en la librerıa actuar, Dutang, Goulet, and Pigeon (2008), del lenguaje R.
En lo que sigue se denota E(S) = µs, V ar(S) = σ2s . Ademas, la asimetrıa de S se indica
por γ1,s y la curtosis por γ2,s.
1) Aproximacion Normal Es el metodo de aproximacion mas simple, con base en una
version del Teorema del Lımite Central para Distribuciones Compuestas, dado en
Kaas, Goovaerts, Dhaene, and Denuit (2008, Th. 3.7.1, pag. 58). Si λ toma valores
grandes entonces
P
(S − µs
σs≤ z
)≈ Φ
(z − µs
σs
). (2.8)
La aproximacion es buena, siempre y cuando la distribucion de las severidades Xj
no sea muy asimetrica o de colas muy pesadas.
2) Aproximacion Normal Power (NP) El metodo NP es una correccion de la aproxi
macion Normal, para incluır el efecto de la asimetrıa positiva que pueda presentar
la variable S =∑N
j=1 Xj al ser una suma de variables positivas, posiblemente con
asimetrıa positiva alta. Ver Kaas, Goovaerts, Dhaene, and Denuit (2008, pags.3336).
Si Z ∼ N(0, 1) indica una variable Normal Estandar, se propone la aproximacion
siguiente.S − µS
σS≈ Z +
γ1,s
6(Z2 − 1). (2.9)
Entonces usando la aproximacion (2.9)
P(S ≤ s) = P
(S − µS
σS≤ s− µS
σS
)
≈ P
(Z +
γ1,s
6(Z2 − 1) ≤ s− µS
σS
)
= P
(Z ≤ − 3
γ1,s+
√9
γ21,s
+6
γ1,s
(s− µS
σS
)+ 1
).
Y la aproximacion NP queda
P(S ≤ s) ≈ Φ
(− 3
γ1,s+
√9
γ21,s
+6
γ1,s
(s− µS
σS
)+ 1
). (2.10)
17
Segun Gendron and Crepaud (1989) la aproximacion (2.10) es superior a la Normal
si γ1,s ≤ 2.
La aproximacion NP se aplica para calcular la prima neta con base en la regla del
percentil. Y tambien para calcular la medida de severidad VaR en el contexto del
calculo de provisiones en Riesgo Operativo en el Capıtulo 5.
Tambien hay una aproximacion que incluye la curtosis γ2,s, calculada si restar 3. Se
denomina la aproximacion CornishFisher
S − µS
σS≈ Z +
γ1,s
6(Z2 − 1) +
1
24γ2,s(Z
3 − 3Z) − 1
36γ2
1,s(2Z3 − 5Z). (2.11)
3) Aproximacion Gamma Trasladada En este metodo, ver Seal (1977), se asume que
S se distribuye Poisson compuesta, S ∼ PC(λ, F ). Consiste en aproximar la
distribucion compuesta FS por medio de una Distribucion Gamma Transladada con
tres parametros, definida a continuacion.
Una variable aleatoria Y se dice que se distribuye Gamma Transladada, Y ∼GT (k, α, β), si su densidad esta dada por
f(x) =1
βαΓ(α)(x− k)α−1e−(x−k)/β, x ≥ k > 0, (2.12)
donde α > 0, β > 0. McNeil, Frey, and Embrechts (2005) plantean un sistema de
ecuaciones para establecer la aproximacion por medio de la distribucion Gamma
Trasladada, igualando la media, la varianza y el tercer momento de la distribucion
Gamma Trasladada a los correspondientes momentos de la distribucion Poisson
Compuesta PC(λ, F ):
k +α
β= λE(X),
α
β2= λE(X2),
2α
β3= λE(X3).
Resolviendo el sistema anterior se obtienen los parametros de la distribucion Gamma
Trasladada en funcion de los parametros de la distribucion Poisson Compuesta:
18
k = λE(X) − 2λE(X2)2
E(X3),
α =4λE(X2)3
E(X3)2,
β =2E(X2)
E(X3).
La aproximacion Gamma Trasladada consiste en utilizar la funcion de distribucion
correspondiente de la Gamma
P(S ≤ s) ≈ FG(α,β,k)(s) = FG(α,β)(s−k). (2.13)
Los valores estimados k, α, β se obtienen facilmente reemplazando los valores
esperados por los correspondientes estimadores de momentos. Por supuesto, es
necesario asumir que tales momentos son finitos, lo que puede no ser cierto en casos
de distribuciones de colas muy pesadas.
La aproximacion Gamma Trasladada no se encuentra implementada en el R, sin
embargo, sus formulas son simples y faciles de programar.
4) Aproximacion por el Metodo Recursivo de Panjer Es un metodo recursivo que aprox
ima las distribuciones compuestas, no es una formula sino un algoritmo que permite
la estimacion, mediante la discretizacion de la funcion de distribucion de F (x), ver
el trabajo original de Panjer, (Panjer 2006). Hay basicamente dos requisitos para
calcular la aproximacion a la distribucion compuesta:
El primer requisito es que la distribucion de N , pk, pueda escribirse de la siguiente
manera recursiva:
pk = (a + b/k)pk−1 (2.14)
donde pk es la probabilidad del evento k y a y b son parametros. Esta condicion la
cumplen las siguientes distribuciones: Poisson, Binomial Negativa y distribuciones
logarıtmicas. Por ejemplo, en el caso de seleccionar una distribucion o un proceso
Poisson, los parametros descritos anteriormente estarıan dados por: a = 0 y b serıa
igual al parametro de intensidad de la funcion, es decir, λ. El segundo requisito
es lograr discretizar la distribucion de las Xj. Ahora, la formula de recursion de
Panjer parte de las siguientes definiciones: sea qi el valor de la distribucion de las
Xj discretizada y evaluada en el punto muestral xi; f(xj) es la funcion de densidad
19
de probabilidad de xj, f0 es la probabilidad de no perdida y s es el ındice superior
para el punto muestral. La formula recursiva de Panjer es:
f(xj) =
min(j,s)∑
i=1
(a + ib/xi)qif(xj−i) (2.15)
La limitacion de este algoritmo radica en que solo es valido para distribuciones de
probabilidad discretas.
Notas sobre las Aproximaciones
Seal (1977) presenta las ventajas del ajuste de la distribucion Gamma aS comparado
con la aproximacion Normal Power. En el mismo ano T. Pentikainen (1977) hace
referencia al artıculo de Seal (1977) y mediante una evaluacion concluye que no se
encuentran diferencias en la exactitud entre los metodos Normal Power y Gamma,
ademas concluye que la aproximacion Normal es aceptable solo cuando el volumen
de los riesgos es alto y la distribucion de X no es muy heterogenea.
Diez anos despues, Pentikainen (1987) realiza una nueva evaluacion de posibles
aproximaciones a la funcion de distribucion del modelo de riesgo colectivo, las
aproximaciones utilizadas en el artıculo son: la aproximacion NP (Normal Power),
aproximacion de Haldane, la formula de Wilson Hilferty. Pentikainen concluye el
artıculo citado Pentikainen (1987) que los metodos aproximados y los exactos se
complementan satisfactoriamente. Los metodos exactos son mas apropiados para
modelos de riesgo colectivo pequenos y los metodos aproximados para los modelos
de riesgo colectivo grandes.
Gendron and Crepaud (1989) utilizaron las siguientes aproximaciones para el mode
lo de riesgo colectivo: la aproximacion Normal, aproximacion NP (Normal Power),
la aproximacion de Edgeworth, aproximacion de Esscher y la aproximacion Gamma;
en un estudio en el cual comparan la calidad de estas diferentes aproximaciones.
Chaubey and Trudeau (1998) proponen realizar un ajuste al modelo de riesgo
colectivo por medio de la distribucion Inversa Gaussiana y comparan sus resultados
con otras aproximaciones ya existentes. Ademas, proponen una mezcla entre las
distribuciones Gamma e Inversa Gaussiana.
20
Otros Metodos. En las referencias presentadas se pueden hallar otras aproximaciones
propuestas para las distribuciones colectivas, como la Aproximacion Esscher, la
Gamma, la Edgeworth, entre otras. La aproximacion en Chubey et al mediante la
distribucion Inversa Gaussian Transladada es muy similar a la Gamma Transladada.
Los metodos con base en la Transformada Rapida de Fourier, y con base en el
metodo de Stein. La simulacion intensive es posible y esta implementada en la
librerıa actuar de R, ver Dutang, Goulet, and Pigeon (2008).
Seal(1977b, 1978b) propuso una aproximacion tipo gamma que ha tenido mucha
aceptacion. (cf. Bowers et. al,(1986) cap. 11 y pag. 339 para notas sobre otras
aproximaciones). Se han inventado muchos metodos para aproximar la fda de S,
desde la serie de Edgeworth hasta la Transformada Rapida de Fourier y formulas
recursivas. Ver el texto de Gerber (1995, cap. 4) para una presentacion detallada.
Tambien ver Buhlmann (1984) y Panjer(1981).
2.5. Principios de Calculo de Primas
Un area muy activa de desarrollo de la teorıa de Riesgo ha sido el de expresiones para
el calculo de la prima c. (cf. Gerber (1995, cap.5)). Por ejemplo, el principio de "valor
medio", establece que c = E((1+)S1) = (1+). Otro principio, el "principio exponencial",
establece que c = ln(Ms(R))/R , donde Ms(t) es la funcion generadora de momentos de
S1 ( esta variable, costos totales anuales, se denota en lo que sigue por S. ).
La prima se define como un valor que compensa el costo de los siniestros de un seguro,
durante un perıodo de tiempo. En este caso se trata de la prima global, el recaudo total de
todas las polizas individuales.
Definicion 2.5.1. Si se denota por S los costos acumulados en una vigencia anual, una
prima es una aplicacion Π : S → (0,∞), que asigna a S un numero no negativo Π(S).
Principios de Calculo de Primas
En los textos de Goovaerts, deVylder, and Haezendonck (1983, cap. 2) y Gerber (1995,
cap. 5) aparecen los siguientes principios (reglas) para calcular una prima. La prima se
refiere a la prima total recolectada entre los titulares de los seguros. Es la prima neta que
luego se fracciona en primas individuales.
21
Se procede inicialmente sin establecer cotas maximas para los pagos, lo cual va en con
tradiccion con el principio de que la cantidad asegurada debe ser definida con anterioridad,
con el fin de establecer una prima inicial, que se entiende como la prima de donde se pagan
varias subprimas: la prima retenida y la prima cedida a los reaseguradores. Y para incluır
una parte a cargo del asegurado: el deducible.
1) Principio de Valor Esperado Segun este principio la prima neta se expresa como
Π = (1 + θ)E(S). (2.16)
donde θ ∈ (0, 1) es el recargo, definido como un porcenje que cubre las comisiones
para la fuerza de ventas, recargo de seguridad, costos de administracion, etc..
2) Principio de Perdida Maxima
Π = pE(S) + qMax(S). (2.17)
con p ∈ (0, 1), q = 1−p. Por tanto esta regla solamente se puede aplicar si los costos
totales S tienen un maximo. Esto es factible. Pero en los seguros se modelan las
variablesXj con valores en [0,∞) y, por tanto,S > 0 no esta acotada superiormente.
Es este caso la regla de Perdida Maxima se generaliza a la regla del Percentil.
3) Principio de Percentil Si se denota FS(x) la fda de la variable S y se toma una
probabilidad q se define la prima como el percentil q de S, por tanto, se cumple
P(S ≤ Π) = q (en el caso de ser Xj continuas, o P(S ≤ Π) ≥ q de ser discretas).
Π = Sq = Mins : FS(s) ≥ q. (2.18)
La prima es un valor que permite un balance entre la posible perdida que debe asumir
la Companıa y los recursos provenientes de los recaudos de primas individuales.En
este sentido, de ser una medida de la posible perdida que experimenta una Companıa,
es equivalente al concepto de VaR que se define en el Capıtulo 3, en el contexto de
Medidas de Riesgo en Portafolios.
Y tambien es la misma la interpretacion que se utiliza para calcular la Provision en
el Sistema de Administracion del Riesgo Operativo, en el Capıtulo 5, y en el Sistema
de Administracion del Riesgo de Credito en creditos de consumo, en el Capıtulo 6.
El Metodo de Aproximacion NP (2.9) permite una evaluacion de la Prima como el
percentil q de FS, Sq. Reenplazando S por Sq y zp por Z en la aproximacion NP
22
(2.9), se obtieneSq−µS
σS≈ zq +
γ1,s
6(z2
q −1), donde zq es el qpercentil de una Normal
estandar, con Φ(zq) = q. Luego, despejando Sq = Π se obtiene
Π = µS + σS(zq +γ1,s
6(z2
q − 1)). (2.19)
El Metodo de Aproximacion CornishFisher (2.11) permite tambien una expresion
de la Prima por el Principio del Percentil como el percentil Sq de FS. Reenplazando
S por Sq y zp por Z en la aproximacion NP (2.11), se obtiene
Sq − µS
σS≈ zq +
γ1,s
6(z2
q − 1) +1
24γ2,s(z
3q − 3zq) −
1
36γ2
1,s(2z3q − 5zq).
Y despejando Sq = Π, se tiene
Π = µS + σS(zq + ν). (2.20)
donde ν =γ1,s
6(z2
q − 1) + 124γ2,s(z
3q − 3zq) − 1
36γ2
1,s(2z3q − 5zq), es un factor de
correccion por asimetrıa y curtosis.
Esta expresion es la prima por el Principio del Percentil pero utilizando la aproxi
macion CornishFisher, que implica una correccion por asimetrıa y curtosis.
4) Principio Exponencial. Segun este principio la prima neta se expresa como
Π =ln(MS(a))
a, (2.21)
donde a es una constante positiva.
Algunas propiedades del Principio Exponencial son las siguientes Considerando Π
como funcion de a, Π(a) se tiene que lıma→0+ Π(a) = E(S), y lıma→∞ Π(a) = LS,
donde LS ≤ ∞ y P(S ≤ LS) = 1. A partir de esta propiedad se puede interpretar
el parametro a como una medida de aversion al riesgo del Asegurador.
La ecuacion que define el Coeficiente de Ajuste z, (2.23), λ + Π′z = λMX(z),
se puede escribir como Π′ = λ(MX(z) − 1)/z, para una prima particular Π′.
Como la fgm de S es MS(t) = exp(λ(MX(t) − 1)) entonces se puede escribir
Π′ = ln(MS(z))/z. Pero si se reemplaza en el Principio Exponencial a = z,
entonces Π(z) = ln(MS(z))/z.
Adicionalmente, a partir de la Cota CramerLundberg, (2.5), ψ(R0) ≤ e−zR0 , si
se coloca la igualdad (como una aproximacion), reemplazando ψ(R0) = ε, la
23
probabilidad de ruina por un valor ε dado (por ejemplo 0.001), se puede despejar
z = − ln(ε)/R0. Con lo cual, la prima por el Principio Exponencial incorpora el
valor de la Reserva y la Probabilidad de Ruina.
Si adicionalmente se utiliza el Metodo de Aproximacion mediante la Distribucion
Gamma trasladada, entonces la fgm de S se reemplaza por la fgm de la Gamma
trasladada, y se obtieneMS(t) = ekt(1− βt)α. Pero entonces la prima exponencial
utilizando este metodo de aproximacion quedarıa
Π = k − α
zln(1 − zβ). (2.22)
con z = − ln(ε)/R0. Para garantizar consistencia en los reemplazos se requiere que
ln(1/ε) < R0/β.
, (2.23)
Propiedades de los Principios de Calculo de Primas
Cualquier regla de calculo de una prima deberıa cumplir las propiedades siguientes
i) Tener un recargo de seguridad: Π > E(S).
ii) No exceder el maximo de S: Π < Max(S).
iii) Ser invariante por translaciones: Π(S + a) = Π(S) + a para cada a > 0.
iv) Ser invariante por cambios de escala: Π(aS) = aΠ(S).
v) Aditividad: Π(S1 + S2) = Π(S1) + Π(S2).
En el Cuadro (2.1), tomado de Gerber (1995, pag. 71), se puede ver una comparacion de
los principios de calculo de primas y sus propiedades.
2.6. Reaseguros
Variables para controlar la Ruina
Seleccion de riesgos: modificar la intensidad λ y/o la media µ.
24
Cuadro 2.1: Comparacion de las Propiedades de las Primas
Valor Esperado DE Percentil Exponencial
Recargo + +
No excede + +
Invarianza Transl. + + +
Aditividad +
Modificar la prima c. Al aumentarla puede disminuır λ, y al contrario.
Inversion de la reserva s y la prima ct para aumentar la reserva.
Reaseguros. Consiste en modificar µ. Transformar Xj en otra variable.
Combinacion de las anteriores.
Segun Carter (1979), pag. 23, “Entre 1880 y 1890, C. Heath, subscriptor de Lloyd’s,...introdujo
el reaseguro de exceso de perdida mediante el cual la Companıa cedente retiene por su
cuenta y riesgo cada perdida por los incendios hasta una cantidad determinada y reasegura
el exceso hasta el importe final” .
Objetivo: Repasar dos metodologıas clasicas para calculo de la retencion optima en rease
guro XL de E. Straub y H. Waters, basadas en el modelo de Riesgo Colectivo, asumiendo
siniestros de baja severidad ( = momentos exponenciales finitos de cualquier orden).
Y compararlas con la metodologıa basada en el control optimo estocastico, desarrollada
en 1994 en una tesis de posgrado de la Universidad Karlsruhe (Alemania) (hay otros
antecedentes de uso de control optimo en actuarıa).
Tipos de Reaseguros
Proporcionales
• Cuota parte o prorata
25
• Excedente
No Proporcionales
• Exceso de Perdida (XL)
• Excedente de Perdida (StopLoss)
• Ecomor
Combinaciones de las anteriores, incluyendo retrocesiones.
Reaseguros XL
Fijado el valor de la retencion w:
• la Cedente asume: min(w,Xj) = Xj ∧ w• la Re asume: Xj −min(w,Xj) = (Xj − w)+
funcion parte positiva de x: x+ = x si x > 0 y x+ = 0 si x ≤ 0
Prima neta = P = (1 + δ)λµ.
Prima reaseguro (cedida) = Pc(w) = (1 + α)λE((Xj −w)+).
Prima retenida = Pr(w) = P − Pc(w).
Superavit de la Cedente: Rw(t) = s+ Pr(w)t−∑N(t)j=1 Xj ∧ w.
Problema: dadosP , δ < α < 1, λ,Xj ∼ F (.), determinarw tal que la probabilidad
de ruina de la Cedente sea la menor posible.
Calculo de la Retencion: E. Straub
Las deducciones estan en Straub (1988, Chap. 4)
Coeficiente de Ajuste para la Cedente:A(w) tal que 1+A(w)Pr (w)/λ = E(eA(w)Xj∧w)
Aplica CramerLundberg: prob ruina cedente = ϕc(s) ≤ e−sA(w)
26
Reemplaza: ϕc(s) = ε, con ε dado.
Reemplaza: reservas = s = kµ, k > 0.
Hace varias aproximaciones asumiendo que w es grande, y obtiene la ecuacion para
w:
1
µ
∫ w
0
1 − F (x)dx =α − δ
α − δ′,
δ′ =ln(1/ε)E(X2
j )
2kµ2
Calculo de la Retencion: H. Waters
Las deducciones estan en Waters (1979)
Coeficiente de Ajuste A(w) para la Cedente:
1 + A(w)Pr(w)/λ = E(eA(w)Xj∧w)
Esta ecuacion equivale a:
H(w,A(w)) =
∫ w
0
(1 − F (x))eA(w)wdx+ (1 + α)
∫ ∞
w
1 − F (x)dx = P/λ
H(w,A(w)) = P/λ define la funcion implıcita w 7→ A(w)
H. Waters propone encontrar w∗ tal que MaxA(w) = A(w∗).
entonces ϕw∗(s) ≤ e−sA(w∗) ≤ e−sA(w), ∀w
Solucion: w∗ = A−1(1 + α), donde A cumple:∫ ∞
0
(1 − F (x))[eAx ∧ (1 + α)]dx = P/λ
2.6.1. Calculo de la Retencion: Control Estocastico Optimo
Si ϕ(s) es la probabilidad de ruina dada una reserva inicial s entonces se cumple la
siguiente ecuacion diferencialintegral:
ϕ′(s) =λ
Pϕ(s) − λ
PE(ϕ(s−Xj))
27
Si se considera la ruina de la Cedente en un Reaseguro XL, con una reserva s, serıa:
ϕ′w(s) =
λ
Pr(w)ϕw(s) − λ
Pr(w)E(ϕw(s−Xj ∧ w))
Esta ecuacion define para cada (s, w) una solucion ϕw(s).
La metodologıa de control optimo: fije s y minimice ϕ(s, w) con respecto a w.
Es decir, encontrarw∗(s) tal que ϕ(s, w∗(s)) ≤ ϕ(s, w), ∀w ≥ w, dondePr(w) ≤ 0
si w < w.
La ecuacion anterior
ϕ′w(s) =
λ
Pr(w)ϕw(s) − λ
Pr(w)E(ϕw(s−Xj ∧ w))
se transforma en
ınfw≥w
ϕ′w(s)Pr(w) − λϕw(s) + λE(ϕw(s−Xj ∧ w)) = 0
Esta ecuacion es un caso de la ecuacion HamiltonJacobiBellman, para un problema
de control estocastico, en donde el control es la retencion w.
Ejemplo
La ecuacion HJB se puede resolver de manera iterativa para cada s.
En el caso: µ = 1, λ = 1, c = 3.0, c− λµ = 2 Hipp and Vogt (2003) calcularon el
valor de la retencion optima para varios valores de la reserva inicial s.
Conclusiones
El metodo de E. Straub: fija el nivel de ruina (solvencia en horizonte infinito) y
determina el nivel de retencion, dado los recargos: neto y de reaseguro, ademas
requiere un nivel de reservas dado. Pero se basa en varias aproximaciones y en la
cota CramerLundberg.
28
El metodo de H. Waters: no fija el nivel de ruina sino que busca maximizar el coe
ficiente de ajuste, el cual depende funcionalmente de la retencion. Al maximizarlo
minimiza la probabilidad de ruina, pero solamente a partir de la aproximacion de la
cota CramerLundberg.
El metodo de control optimo estocastico: utiliza la ecuacion diferencialintegral de
la funcion de ruina y encuentra la retencion que la minimiza. Pero es difıcil de
resolver.
En Straub y Waters el modelo es muy simplificado, sin inflacion, sin reinversion
de primas, etc.. En control estocastico Hipp and Vogt (2003) incluyen dos modelos
mas realistas, pero no resuelven la ec. HJB.
En todos los casos se trataron siniestralidades de baja severidad: la funcion gener
adora de momentos deXj es finita en valores positivos, es decir,E(etXj) <∞ para
t < h, con h > 0 y tiende a infinito si t → h−. Hay desarrollos en el caso de alta
severidad es decir, cuando E(etXj) = +∞ para todo t > 0.
En estos modelos no se consideran la solvencia de la Reaseguradora. Hay modelos
para solvencia conjunta.
No consideran horizontes finitos (p.ej. 5 anos ) para solvencia.
Solamente se utiliza un principio de calculo de primas: el principio de valor esperado.
Principio introducido por S. Wang.
CAPITULO 3
3.1. Introduccion
El objetivo de este capıtulo es introducir el modelo de Markowitz para la determinacion
de un portafolio optimo de activos cuyos precios se determinan en el mercado.
Con la introduccion del mercado de capitales como principal medio de financiacion, la
teorıa de Markowitz se ha convertido en una piedra angular. Junto con la teorıa CAPM de
W.Sharpe.
Pero la conformacion optima de un portafolio no abarca todos los problemas relacionas
con las inversiones en el mercado de renta variables. En especial, el riesgo al cual estan
expuestos portafolios como los de ahorros pensionales.
i) La necesidad de medir el riesgo al cual esta expuesto un portafolio particular motivo la
regulacion de Basilea II. Su objetivo es la proteccion del inversionista.
ii) La metodologıas de Valor en Riesgo y afines, introducidas por el Banco J.P. Morgan
(RiskMetrics), y P. Jorion, son una respuesta a tal necesidad.
iii) En el diseno de las medidas de riesgo aparecen los problemas de la correlacion de
riesgos y la falla de la hipotesis de Normalidad Multivariada. Una alternativa reciente
29
30
es el calculo del Var uso de Copulas con Marginales de Cola pesada, por ejemplo,
Garch.
iv) La necesidad de tecnicas robustas para estimar la matriz de covarianzas a partir de
datos con observaciones extremas.
v) La cobertura financiera del riesgo. Dado el nivel de exposicion, mediante el VaR,
como mitigar un movimiento adverso, por ejemplo, en un portafolio de pensiones
obligatorias, con el fin de proteger el activo representado por los ahorros de los
pensionados?.
vi) Esa cobertura se ha implementado con las tecnicas de Seguro de Portafolios. In
cluyendo estrategias de coverturas dinamicas de fondos de inversion.
vii) Mediante las Opciones de Venta (put options) sobre Indices Bursatiles, con base en
portafolios que replican el Indice en cuestion.
viii) Lo cual ha desarrollado la estrategia de replicacion de Indices Bursatiles (estrate
gias pasivas de administracion de portafolios), incluyendo Metodos de Optimizacion
Avanzados, como los Algoritmos Geneticos y Evolutivos.
3.2. El Modelo de MediaVarianza de Markowitz
El objeto inicial en el planteamiento del modelo MV es un proceso estocastico positivo,
en tiempo discreto: (St , t = 0, 1, 2, . . .), que representa el precio de cierre de un activo
transado, en Bolsa o valorado a precios de mercado. Como ejemplos se pueden mencionar:
Bonos: por ejemplo bonos de deuda publica domestica TES, Certificados de deposito
a termino fijo, CDT, etc..Su precio diario se fija mediante un proceso interno de
valoracion a precios de mercado (una metodologıa que se basa en la estructura
temporal de las tasas de interes, que transfiere aleatoriedad a los precios).
Acciones: emitidas por companıas privadas o publicas.
Productos o Materias Primas (Commodidades): Cafe, Aluminio, Jugo de Naranja,
etc..
Derivados: futuros, opciones, etc..
31
El Caso de las Acciones
i) Se incluyen tambien: valor de la unidad de un fondo de inversiones, p.ej. una fidu
cia. Tambien los precios de productos agropecuarios, el precio de la energıa y de
comodidades (commodities), como materias primas, metales preciosos.
ii) Las unidades de t son dıas, semanas,etc. Normalmente no se reporta un solo precio
St sino varios precios: mınimo ( bid ) , maximo ( ask ) , medio y precio de cierre.
iii) El precio mınimo ( bid ) es el precio de compra y el maximo (ask) el de venta, lo que
genera una diferencia que representa una prima para el vendedor para compensar el
riesgo que asume de poseer el activo.
iv) El precio St puede ser por ejemplo el precio de cierre, su logaritmo ln(St), o tambien12(ln(Sask, t) + ln(Sbid, t)).
v) Se utiliza el precio de cierre St, sin tener en cuenta los dıas festivos. No siempre es la
mejor eleccion porque los precios despues de feriados resultan atıpicos.
El Caso de Bonos
Los precios de los bonos tambien presentan aleatoriedad, debida a los movimientos de las
tasas de interes de referencia del mercado, p.ej. las tasas de repos del BR, la DTF y mas
recientemente, el IBR. Pero los portafolios de bonos se conforman mediante aplicacion
de programacion lineal.
El Caso de Derivados
Los precios de los derivados, por ejemplo, las opciones de compra europeas, son pre
cios que reaccionan asimetricamente. Las distribuciones de los rendimientos no pueden
asumirse simetricas. Y los portafolios no pueden optimizarse mediante el metodo de
programacion cuadratica segun el modelo de Markowitz.
3.2.1. Rendimientos
Para cada intervalo [t− 1, t] se asume que se conoce la informacion hasta t− 1 del
precio St, denotada por Ωt−1 = σ(Ss, s ≤ t− 1), t ≥ 1.
32
Se define el rendimiento porcentual como Rt = St−St−1
St−1
= St
St−1
− 1 ≥ −1. Notese
que Rt esta acotado por −1.
Con el fin de definir las distribuciones en R se utilizara el rendimiento logarıtmico,
definido por
rt = ln(St/St−1). (3.1)
De manera equivalente St = St−1ert.
En adelante se utilizara el rendimiento logarıtmico, rt ∈ R. Y se asumira que
(rt, t ∈ Z) es un proceso estacionario estricto, lo cual implica momentos de todos los
ordenes constantes, aunque no necesariamente finitos. En caso de asumir V ar(rt) <
∞ entonces rt es estacionario en covarianza.
En caso de ser rt ≈ 0 la aproximacion ln(1 + x) ≈ x , −1 < x ≤ 1 es valida y por
tanto,
rt = ln( St
St−1
)= ln
(St − St−1
St−1+ 1)≈ St − St−1
St−1= Rt.
Utilizar (3.1) tiene ventajas. La serie ln(S(t)) usualmente esta integrada: tiene una
raız unitaria. En ocasiones es un ARIMA(0,1,q), q = 0,1.
Usar rt = ln(St) − ln(St−1) corresponde a una diferenciacion para eliminar la raız
unitaria.
Se considera un vector St = (S1,t, . . . , Sk,t)′, de precios de k activos.
Se define el vector de los k rendimientos, rt = (r1,t, . . . , rk,t)′.
3.2.2. Portafolios
Se definen las sucesiones de enteros Nj,t, j = 1, 2, . . . , k, t ≥ 1 como el numero
de unidades del activo numero j que se poseen en el intervalo [t− 1, t] y el vector
N t = (N1,t, . . . , Nk,t)′, como los totales de todas las unidades en un portafolio.
Los valores Nj,t se asumen enteros positivos, no aleatorios, con la posibilidad de
variar con t de acuerdo a alguna regla de decision, por ejemplo, la que se obtiene
de aplicar el modelo de Markowitz de portafolios optimos, o una regla similar, por
ejemplo, la estrategia de seguimiento de un ındice bursatil.
33
El valor del portafolio en t se define como el proceso Vt = N′
t St.
Se define el rendimiento neto del portafolio en [t−1, t] como rp(t) = (Vt−Vt−1)/Vt,
asumiendo que N t permanece constante en el intervalo [t− 1, t].
rp(t) =N
′
t St − N′
t St−1
N′
t St−1
=N
′
t(St − St−1)
N′
t St−1
=
∑kj=1 Nj,t(Sj,t − Sj,t−1)
N′
t−1 St−1
=
∑kj=1 Nj,tSj,t−1rj,t
N′
t−1 St−1
=k∑
j=1
(Nj,tSj,t−1
Vt−1
)rj,t =
k∑
j=1
wj,trj,t.
donde
wj,t =Nj,tSj,t−1
Vt−1, j = 1, 2, . . . , n, (3.2)
con wj,t > 0 y w′
t1 = 1, es es porcentaje invertido en el tıtulo jesimo en el tiempo
t− 1, y constante durante el intervalo [t− 1, t].
El vector wt = (w1,t, . . . , wk,t)′ representa el portafolio de inversion. Y se tiene
rp(t) = w′
t rt.
El objetivo de la teorıa de portafolios es encontrar un wt optimo, aunque la definicion
de optimo no es unica.
i) Minimiza volatilidad con rendimiento medio fijo (Markowitz).
ii) Maximiza rendimiento medio con volatilidad fija.
iii) Minimiza la diferencia de rendimientos con respecto a un Indice Bursatil.
iv) Supera los rendimientos de un Indice Bursatil.
v) Minimiza el Valor en Riesgo.
vi) Minimiza el Capital en Riesgo.
Sin embargo, se busca que wt permanezca estable durante varios perıodos, para
evitar tener que rebalancear frecuentemente, lo cual genera costos adicionales.
µ = E(rt) donde µ = (µ1, . . . , µn)′, con µj = E(rj,t), el vector de rendimientos
medios.
Σ = V ar(rt) = E((rt − µ)(rt − µ)′), la matriz de VarianzasCovarianzas de rt.
34
Las cantidades µ y Σ son independientes de t por el supuesto de ser rt un vector
estacionario en covarianza. Son estimables con la informacion hasta t− 1, Ωt−1.
Ademas, E(rp(t)) = E(w′t rt) = w′
t µ y V ar(rp(t)) = w′tΣwt.
3.2.3. Determinacion del Portafolio Optimo
Se define el portafolio wt optimo como la solucion en t−1 del problema de optimizacion,
ver Huang and Litzenberger (1988)
wt = argminw
1
2w′ Σw
(3.3)
sujeto a las condiciones
w′1 = 1,
w′µ = µp,
w ≥ 0. (3.4)
donde
µ, Σ son estimadores de los parametros correspondientes, con base en la informacion
hasta t− 1 de los k precios.
El coeficienteµp es la meta de rentabilidad del portafolio al final del perıodo [t−1, t],
escogida apriori en t− 1, con mınµj ,1≤k < µp < maxµj ,1≤k.
Es inmediato que wt es un estadıstico que depende de µ y Σ.
La condicion (3.4) excluye las ventas a corto, que corresponderıan a porcentajes
negativos.
Ejemplo: portafolio optimo con fondos de fiducia
1. En este Ejemplo el precio St consiste en el Valor de la Unidad de un Fondo de
Fiducia.
35
0 1 2 3 4 5
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
Volatilidad
Rent
abilid
ad
bbvasant
colm
prev
alian
pop
cafe
valle
occi
bog
helm
colp
fiducol
fiduagr
petro
EM
OGK
MCD
MVE
t.rob
Shrink
tangente
minvar
Figura 3.1: Fronteras optimas para el primer trimestre 2009
2. Se consideran k = 15 fondos: bbva, santander, colmena, previsora, alianza, pop
ular, cafetera, valle, occidente, bogota, helm, colpatria, fiducolombia, fiduagraria,
petrolera.
3. Los datos comprenden el perıodo 01/01/2001 31/03/2009. Los datos se obtuvieron
en la pagina web de la Super Intendencia Financiera de Colombia (1).
3.2.4. El Modelo CAPM y La propiedad de Diversificacion
Un modelo particular para los rendimientos rj,t, es el Modelo Unifactorial, o Modelo de
la Teorıa CAPM, de W. Sharpe (Capital Asset Pricing Model)
Es util para expresar el concepto de riesgo y diversificacion del riesgo en portafolios de
acciones.
Se hace depender rj,t de la tasa libre de riesgo del mercado, rf , y la tasa de rendimiento
del ındice bursatil, rI,t, asumida independiente de rj,t, de forma tal que
rj,t − rf = αj + βj(rI,t − rf) + εj,t, (3.5)
1http://www.superfinanciera.gov.co/Cifras/financiera/ef/sf/
36
donde la sucesion εj,t ∼ iidN(0, σ2ε,j), y el coeficiente βj mide la respuesta de la accion
jesima a los movimientos del mercado, descritos por el rendimiento del ındice bursatil.
Entonces se tienen la identidad siguiente.
σj =√β2
jσ2I + σ2
ε,j. (3.6)
El riesgo total de la accion jesima o volatilidad se expresa en (3.6) como
“riesgo total = riesgo sistematico + riesgo no sistematico”, donde β2jσ
2I es el riesgo
sistematico o riesgo de mercado, y σ2ε,j es el riesgo no sistematico.
Ademas se tiene σi,j = βiβjσ2I y σI,j = βjσ
2I . La propiedad de Diversificacion se puede
describir a partir de la extension del coeficiente beta de una accion al coeficiente beta de
un portafolio.
Reemplazando rj,t dado en (3.5) en la expresion rp(t) =∑k
j=1 wj,trj,t, se obtiene
rp(t) − rf = αp + βp(rI,t − rf) + εp,t, (3.7)
donde βp =∑k
j=1wj,tβj es el beta del portafolio.
La Hipotesis de Normalidad Multivariada de los Residuos
Si se hace el supuesto de Normalidad Multivariada de los Residuos
rt ∼ iidNk(µ,Σ), (3.8)
entonces los rendimientos del portafolio optimo se distribuyen a su vez normales.
rp(t) = w′t rt ∼ N
(w′
t µ,w′t Σwt
)(3.9)
Ademas, cuando se elimina la condicion w ≥ 0 y se permiten porcentajes negativos
wj,t < 0 se puede demostrar que la solucion del problema (3.3) tiene la expresion cerrada
wt = Σ−1
(c− bδt
d1 +
aδt − b
dµ
). (3.10)
donde a = 1′ Σ−1
1, b = 1′ Σ−1µ , c = µ′ Σ−1µ, y d = ac − b2 > 0. Entonces Jobson
and Korkie (1980) demuestran que wt en (3.10) se distribuye asintoticamente normal.
37
Sin embargo, la hipotesis de normalidad (3.8), no se asume cuando se plantea el problema
de programacion cuadratica.
Pero sı tiene que ver con la optimalidad de la solucion y con la medicion del riesgo del
portafolio con la mediada VaR, definida a continuacion.
Cuando hay evidencia de que no se cumple la hipotesis de normalidad (3.8), puede
deberse a una estructura de dependencia en la cual ademas de presentarse datos extremos
la correlacion entre rj,t y ri,t aumenta en perıodos en donde se presentan tales datos.
Que implica esto?. La propiedad de optimalidad se pierde. Porque la optimalidad se basa
en la diversificacion.La diversificacion consiste en escoger w′t tal que se minimice la
varianza del rendimiento del portafolio optimo, V ar(rp(t)).
V ar(rp(t)) =k∑
j=1
w2j,tσ
2j + 2
k−1∑
j=1
k∑
i=j+1
wj,twj,tCov(rj,t, ri,t). (3.11)
La diversificacion es optima cuando Cov(rj,t, ri,t) < 0, para cada par (i, j). Cuando hay
presencia de datos extremos y la estructura de dependencia no es Normal Multivariada,
esta covarianza puede cambiar a Cov(rj,t, ri,t) > 0.
Los datos extremos tambien generan otro problema: la necesidad de utilizar estimadores
robustos de Σ, µ, para garantizar que la solucion optima es estable y no se deteriora por
efectos de estos datos.
3.3. Medidas de Riesgos de Portafolios: el VaR
El concepto de Valor en Riesgo o VaR (Value at Risk) de un Portafolio de activos (wj,t, j =
1, . . . , k) se basa la idea de la peor perdida posible en el mismo.
Se trata de establecer una medida de la perdida mas extrema que pueda suceder en un
perıodo de tiempo, con una probabilidad dada.
El VaR de un portafolio con valor Vt−1 en el tiempo t− 1, para el intervalo [t− 1, t], con
una probabilidad q, se define como sigue.
Definicion 3.3.1. Si 0 < q 1/2 es una probabilidad pequena, se define el percentil
q100% de la distribucion de rp(t) como el valor ζq, t tal que P(rp(t) ≤ ζq, t) = q. Entonces
38
el valor en riesgo en el perıodo [t− 1, t], al nivel q, se define como
V aRt(q) = −ζq,tVt−1. (3.12)
Notese que en la definicion (3.12) se tiene V aRt(q) > 0. Pero es la medida de una perdida.
Por convencion se expresa la posible perdida como un valor positivo.
Si se define la perdida del portafolio en el perıodo [t−1, t] como la variableLt = Vt−Vt−1,
entonces la relacion con el VaR es:
P(Lt ≤ −V aRt(q)) = P(Vt − Vt−1 ≤ ζq, tVt−1) =
P(rp(t) ≤ ζq, t) = q.
Notese que se coloca −V aRt(q), con el signo cambiado. Con base en la identidad anterior
se puede interpretar el VaR como “la maxima perdida posible, en un intervalo de tiempo
dado, con una probabilidad dada”.
3.3.1. Metodos para el Calculo del VaR
1. VaR Normal. , luego
ζq,t = wt µ + zq
√w′
t Σwt, (3.13)
donde P (N(0, 1) ≤ zq) = q, por tanto, V aRt(q) = −ζq,tVt. Pero la formula (3.13)
anterior se la ha criticado con base en algunos hechos descubiertos recientemente y
reportados de manera repetida.
Un hecho observado es que los rendimientos rj,t tienen colas mas alargadas y
modas mas altas que las de la normal (leptocurtosis).
Tambien se ha observado que son incorrelacionados y, sin embargo, r2j,t son
autocorrelacionados (por ejemplo, con la prueba LjungBox).
Otro hecho es que los datos mas extremos de las colas de rj,t tienden a
agruparse en perıodos cortos de alta volatilidad, es decir, la varianza de los rj,t
no es constante.
2. Simulacion Historica
3. MonteCarlo
4. CornishFisher
39
5. Teorıa de Valores Extremos (ETV). En la formula (3.13) es definitivo que el segun
do momento y las covarianzas de los rendimiento rj,t sean finitos. Una alternativa
a esta formula es la utilizacion de la Teorıa de Valores Extremos mediante la cual
se puede estimar el percentil de los rendimientos sin asumir implıcitamente que los
segundos momentos y las covarianzas son finitas, y sin asumir que las distribuciones
son normales. La definicion del VaR con la Teorıa de Valores Extremos se hace en
la seccion (5.5.2) del Capıtulo 5, pag. 77, porque es un metodo que se aplica en el
Riesgo Operativo.
El supuesto i.i.d. se reemplaza por una dependencia “debil", que significa incor
relacion entre los rendimientos pero autocorrelacion en los cuadrados de los mis
mos, sin embargo, las consecuencias de este reemplazo para diferentes pruebas y
estadısticos no son bien conocidas.
3.3.2. Medidas Coherentes de Riesgo
Una medida de riesgo de un portafolio debe cumplir ciertas propiedades, con el fin de que
sea coherente, en el sentido introducido por Artzner, Delbaen, Eber, and Heath (1999). Es
tas propiedades son: subaditividad, invarianza bajo translaciones, homogeneidad positiva
y monotonicidad.
Definicion 3.3.2. Medidas Coherentes de Riesgo. Una medida de riesgo ρ se dice coher
ente si cumple
1. Si x ≥ 0 entonces ρ(x) ≤ 0.
2. Subaditividad: ρ(x+ y) ≤ ρ(x) + ρ(y).
3. Homogeneidad positiva: ρ(λx) = λρ(x).
4. Monotonicidad: Si x ≤ y entonces ρ(x) ≤ ρ(y).
5. Invarianza por translaciones: rf es la tasa libre de riesgo, ρ(x+αrf ) = ρ(x)−α.
La subaditividad es la propiedad que el VaR no cumple. La subaditividad es una propiedad
acorde con el principio de diversificacion de portafolios, mientras mas diversificacion
menor riesgo.
40
Ejemplo 3.3.1. (Tomado de Embrechts, Furrer, and Kaufmann (2009, pag. 734, example
1)). Sean X1 y X2 dos variables aleatorias independientes con distribucion comun dada
por FX(x) = 1− 1/√x, para x ≥ 1. Los riesgos X1 yX2 tienen media infinita, por tanto
su distribucion es de cola pesada. Se puede comprobar que V aRq(X) = (1 − q)−2. Y se
tiene el siguiente resultado.
FX1+X2(x) = P(X1 +X2 ≤ x) =
∫ x−1
1
FX(x− y)dFX(y)
= 1 − (2/x)√x− 1 < 1 −
√2/x = F2X(x),
donde F2X(u) = P(2X1 ≤ u), para u ≥ 2. Pero V aRq(2X) = V aRq(X1) + V aRq(X2),
porque se cumple P(2X ≤ V aRq(2X)) = 1 − q = P(X ≤ V aRq(2X)/2), luego
V aRq(X) = V aRq(2X)/2. Ademas, siFX1+X2(x) < F2X(x) esto implica queV aRq(X1+
X2) > V aRq(2X) = V aRq(X1)+V aRq(X2). Y esto es un contraejemplo de la aditividad
del VaR.
Como senalan Embrechts, Furrer, and Kaufmann (2009, pag. 734)), el VaR es subaditivo
para el caso de rendimientos distribuıdos normal multivariados. Y se cumple tambien la
subaditividad en el caso de distribuciones multivariadas de tipo elıptico, ver McNeil,
Frey, and Embrechts (2005, Theo. 6.8). En el caso bivariado la demostracion es simple.
Ejemplo 3.3.2. (Tomado de Embrechts, Furrer, and Kaufmann (2009, pag. 734, example
1)). Suponga que (X1, X2) son dos variables aleatorias distribuıdas Normal Bivariado,
con medias µi, varianzas σ2i , i = 1, 2, y correlacion ρ ∈ (−1, 1). Entonces, comoX1 +X2
se distribuye Normal, su VaR es V aRq(X1 + X2) = µ1 + µ2 + zq
√σ2
1 + σ22 + 2ρσ1σ2.
Entonces
V aRq(X1 +X2) = µ1 + µ2 + zq
√σ2
1 + σ22 + 2ρσ1σ2
≥ µ1 + µ2 + zq(σ1 + σ2) = V aRq(X1) + V aRq(X2)
Ya que se la desigualdad σ1 + σ2 ≤√σ2
1 + σ22 + 2ρσ1σ2 equivale a ρ ≤ 1. Luego el VaR
es subaditivo en Normales Bivariadas.
3.3.3. El Capital en Riesgo
Una medida coherente de riesgo es el CVaR, el Capital en Riesgo, tambien denominado
Valor en Riesgo Condicional, o en ingles, Expected Shortfall (ES), Tail VaR.
41
Definicion 3.3.3. Si 0 < q 1/2 es una probabilidad pequena, se define el percentil
q100% de la distribucion de rp(t) como el valor ζq,t tal que P(rp(t) ≤ ζq,t) = q. Entonces
el Capital en riesgo en el intervalo [t− 1, t], al nivel q, se define como
CV aRt(q) = −E(rp(t)|rp(t) ≤ ζq,t)Vt−1. (3.14)
Notese que el VaR es un nivel, mientras que el CVaR es una cantidad. El CVaR mide la
magnitud de la perdida, dado que el rendimiento cae por debajo del percentil ζq,t.
Para el caso rt ∼ iidNk(µ,Σ) se cumple rp(t) ∼ N(µp, σ2p) y entonces
E(rp(t)|rp(t) ≤ ζq,t) = µp − δσp, (3.15)
donde δ = e−z2
q /2
q√
2π, con P (N(0, 1) ≤ zq) = q, por la propiedad de la Normal siguiente. Si
X ∼ N(µ, σ2) entonces
E(X|X < a) = µ − σn((a− µ)/σ)
Φ((a− µ)/σ). (3.16)
donde n(x) es la densidad de Z ∼ N(0, 1). La identidad se conoce como “Inverse Mills
Ratio”.
42
CAPITULO 4
El Modelo de Marcha Aleatoria
4.1. El Modelo de Marcha Aleatoria
Como se menciono, la introduccion del mercado de capitales como vehıculo de finan
ciamiento de pensiones mediante los fondos mutuos genero la necesidad de entender la
dinamica de estos.
El objetivo es entender la dinamica de los rendimientos de cada activo que componen el
fondo y los del fondo. Se ha buscado capturar la dinamica de los rendimientos de activos
mediante varios tipos de modelos, con varios fines. Para poder valorar opciones sobre estos
activos, las cuales sirven como instrumentos de cobertura. Y para mejorar las medidas
de riesgo, mediante por ejemplo, copulas con modelos garch para calcular un VaR que
incluya efectos de correlacion de datos extremos..
La dinamica de los rendimientos de activos se ha buscado capturar mediante varios tipos
de modelos. Los hechos que han guiado la busqueda de estos modelos se han denominado
como “hechos estilizados”. Se definen como caracterısticas notables que se han descubierto
en los rendimientos de activos. A continuacion se hace una lista de tales hechos estilizados
y luego se describen varios tipos de modelos y sus relaciones con estos hechos.
43
44
Modelos para Rendimientos en Tiempo Discreto
La indentidad St = St−1ert del Capıtulo 3, 32, es el punto de partida para diferentes
modelos para precios, a partir del modelo correspondiente para los rendimientos. Algunos
modelos para rt
i) Marcha Aleatoria.
ii) Marcha Aleatoria LogNormal.
iii) Modelos tipo GARCH(p,q).
iv) Modelo CAPM de un Factor.
v) Modelos de Volatilidad Estocastica.
vi) Modelos de Regimen Cambiante.
vii) Modelos de Difusion con Saltos.
viii) Los Modelos ARIMA estan en conflicto con la Hipotesis de Mercados Eficientes
y la Hipotesis de Marcha Aleatoria. Porque permitirıan pronosticar rt. Y por tanto
pronosticar el precio St. Si esto pudiera hacerse con por ejemplo, un Indice Bursatil,
invalidarıa una serie de instrumentos financieros como por ejemplo las Opciones de
Venta sobre el Indice, que son seguros de portafolios.
4.2. Caracterısticas Empıricas de los Rendimientos de
Activos Financieros
Las variaciones en los precios, valores de unidad, ındices, etc. de distintos activos fi
nancieros tales como acciones, fondos de inversion, ındices bursatiles, materias primas,
energıa, productos agrıcolas, etc. comparten varias propiedades no triviales denominadas
“hechos empıricos estilizados” (stylized facts).
Estas propiedades son formulaciones de hechos empıricos, observados en datos reales. Es
tas propiedades son restrictivas tanto como para no ser facil exhibir un modelo estocastico
que las posea todas. O, de manera equivalente, el objetivo de la investigacion en esta area
es encontrar un modelo que reproduzca todas estas propiedades.
45
El conjunto de propiedades es el siguiente.
1. Ausencia de Autocorrelacion. Los rendimientos p.ej. logarıtmicos son incorrela
cionados, con varianza incondicional constante y media cero, es decir, son ruidos
blancos. Excepto para escalas de tiempo muy pequenas, de p.ej. 20 minutos.
2. Colas pesadas. Las distribuciones no condicionales de los rendimientos muestran
colas que decrecen a cero de manera potencial ( no exponencial ). Es decir, si
rt denota el rendimiento aleatorio entonces P(|rt| > x)/(cx−β) → 1, x → ∞,
para 0 < β < 4. Esta caracterıstica hace que rt tome valores extremos con mayor
probabilidad que en el caso normal.
Definicion 4.2.1. (Curtosis) Sea X una variable aleatoria con valores en R. La
curtosis de X se define como el valor γ1 = E((X − E(X))4)/V ar(X)2.
Cuando una distribucion tiene curtosis mayor que 3, la curtosis de una N(0,1), se
denomina “leptocurtica” . La curtosis de los rendimientos es mayor que la de la
normal debido a que presentan colas pesadas.
3. Asimetrıa. Los rendimientos negativos aparecen con valores mas extremos que los
positivos por lo que la distribucion de los mismos presenta una asimetrıa negati
va. Los modelo GARCH se pueden modificar para reproducir esta caracterıstica
cambiando la distribucion Normal por varias alternativas como la Normal Inversa
Gaussiana, dada en 4.20, 57, entre otras.
4. Heterocedasticidad de la Varianza. Varios estimadores de la varianza de los
rendimientos presentan autocorrelaciones positivas durante perıodos cortos. Por
ejemplo, la autocorrelacion muestral de los cuadrados de los rendimientos muestra
valores significativamente altos. Esto se interpreta como que los eventos de alta
volatilidad tienden a agruparse en el tiempo (volatility clusters). Esta caracterıstica
dio origen a los modelos condicionalmente heterocedasticos: todas las variaciones
del modelo GARCH inicial.
5. Efecto de la Escala de Tiempo. La distribucion de los rendimientos no es la misma
para diferentes escalas de tiempo. Los modelos en tiempo discreto no siempre se
pueden agregar. Este es un argumento a favor de los modelos en tiempo continuo,
p.ej. con base en ecuaciones diferenciales estocasticas.
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6. Intermitencia de la Volatilidad. Se observan choques irregulares en varios esti
madores de la volatilidad.
7. Decaimiento lento a cero de la autocovarianza. Se observa que
Cov(|rt+τ |, |rt|)/(cτ−β) → 1, x→ ∞, (4.1)
para 0.2 < β < 0.4. Es decir, la autocovarianza de los valores absolutos de los
rendimientos decae lentamente a cero (es una funcion de variacion regular en infini
to). Este fenomeno se denomina memoria larga (longrange dependence).
8. Asimetrıa de la volatilidad. Consiste en una relacion inversamente proporcional y
asimetrica entre los rendimientos y la volatilidad en el sentido de que los rendimien
tos extremos negativos tienen un efecto mayor en la volatilidad que los rendimientos
extremos positivos. Esta caracterıstica fue el motivo para la introduccion de modelos
tipo GARCH con asimetrıa en la volatilidad, como los modelos EGARCH y GJR,
entre otros.
4.3. Modelos para la Distribucion de los Rendimientos
4.3.1. Marcha Aleatoria
Todos los modelos empiezan con la definicion de rendimiento logarıtmico , dada en el
Capıtulo 3.
rt = ln(St/St−1). (4.2)
Y cada modelo se genera asumiendo una forma particular para r(t). Es importante observar
que se obtiene
S(t) = S(t− 1)er(t)
= S(t− 2)er(t)+r(t−1)
= S(0)er(t)+r(t−1)+...+r(1)
= S(0)ePt
j=1r(j).
Cuando la sucesion r(j), j = 1, 2, . . . se asume i.i.d.(0, σ2) entonces la sucesion M(t) =∑tj=1 r(j) se denomina Marcha Aleatoria .
47
El caso mas utilizado es cuando r(t) es i.i.d. Normal. Pero hay otros casos igualmente
importantes y aplicados, cuando se asume que r(t) es un ruido blanco, por ejemplo, de
tipo GARCH.
4.3.2. Marcha Aleatoria LogNormal
En el modelo de Marcha Aleatoria LogNormal, que se denomina tambien el Modelo
BlackScholes , se propone
r(t) = µ + σε(t), (4.3)
donde µ ∈ R, σ > 0, y ε(t) ∼ i.i.d.N(0, 1). En el modelo (4.3) se tiene
4.3.3. Modelos GARCH
El objetivo en esta seccion es ampliar los modelos para ruido blanco en los modelos
ARMA. Si se considera un proceso (Xn, n ∈ Z), ARMA(p,q) de media cero, dado por:
Xn = ϕ1Xn−1 + . . .+ ϕpXn−p + Zn + θ1Zn−1 + θ2Zn−2 + · · · + θqZn−q , (4.4)
donde Zn ∼ RB(0, σ2), se trata de definir modelos para Zn diferentes del caso de una
sucesion iid. Es decir, modelos en los que las Zn no sean independientes ni identicamente
distribuıdas pero aun sigan siendo incorrelacionadas de varianza constante y media cero.
Tales modelos se definen mediante ecuaciones recursivas no lineales.
Denote por Ωn−1 = σ(Zj, j ≤ n − 1) la sigma algebra generada por Zj , j ≤ n −1. Los modelos que se consideran en esta seccion satisfacen E(Zn | Ωn−1) = 0 y
V ar(Zn | Ωn−1) = σ2n. Es decir, son modelos para los cuales la varianza condicional,
dada la informacion hasta el tiempo n − 1, no es constante. Se denominan modelos
condicionalmente heterocedasticos.
El primer paso para definir estos modelos es asumir que Zn = σn εn, donde εn es una
sucesion de variables aleatorias i.i.d. y σn es una funcion de la informacion Ωn−1 =
σ(Zj, j ≤ n− 1). Dependiendo de la forma de esta funcion se definen varios modelos.
Los modelos considerados son: ARCH(p), GARCH(p,q), EGARCH(p,q), APARCH(p,q)
y GJR(p,q). Los analisis en esta seccion consisten en examinar las condiciones para que
sean estacionarios estrictos o estacionarios en covariaza, la existencia de momentos y la
caracterıstica de tener la funcion de distribucion de Zn colas mas pesadas que las de la
48
normal. Algunas referencias en donde puede consultarse mas sobre este tipo de procesos
son: Fan and Yao (2003) y Tsay (2002).
Procesos ARCH (AutoRegresivo Condicionalmente Heterocedastico) Este tipo de pro
ceso estocastico fue introducido por Robert Engle (Engle (1985)) para modelar la varianza
de la tasa de inflacion en el Reino Unido. La idea basica del modelo ARCH es que la no
independencia de Zn esta explicada por la autocorrelacion de Z2n.
Definicion 4.3.1. (Procesos ARCH(p)) Un proceso (Zn, n ∈ Z) se dice que es un
ARCH(p), p ≥ 1, si satisface el par de ecuaciones siguientes
Zn = σn εn,
σ2t = α0 + α1 Z
2t−1 + · · · + αp Z
2t−p, (4.5)
donde εt ∼ iid(0, 1), α0 > 0, y αi ≥ 0 para i = 1, . . . , p
Algunos autores, como Nelson (1991, pag. 352) y Tsay (2002, pag. 83), recomiendan
utilizar para la distribucion de εt, la distribucion de error generalizado, GED, la cual
incluye a la normal como un caso especial o una tStudent estandarizada, con υ grados de
libertad.
Definicion 4.3.2. La funcion de densidad de una variable aleatoria distribuıda GED(υ),
con media cero y varianza unidad, esta dada por:
f(z) =υ exp[−
(12
)| zλ|υ]
λ 2(1+ 1
υ ) Γ(
1υ
) , −∞ < z <∞, 0 < υ ≤ ∞, (4.6)
donde Γ(·) es la funcion gamma, υ es el parametro para el peso de la cola y
λ =
[2−
2
υΓ(
1υ
)
Γ(
3υ
)] 1
2
. (4.7)
Cuando υ = 2, se obtiene una distribucion normal estandar, para υ < 2, la distribucion
tiene colas mas pesadas que las de una normal, y si υ > 2 la distribucion tiene colas menos
pesadas que las de una normal. Con relacion a esta ultima afirmacion conviene recordar
el concepto de curtosis. El caso υ = 1 corresponde a una densidad Laplaciana o doble
Exponencial. .
49
Teorema 4.3.1. Una condicion necesaria y suficiente para que las ecuaciones (4.5) definan
un unico proceso estacionario estricto (Zn, n ∈ Z), con E(X2n) < ∞ es
∑pj=1 αj < 1.
Ademas, si E(ε4n) <∞ y Max(1,√
E(ε4n))∑p
j=1 αj < 1, entonces E(X4n) <∞.
Ver Fan and Yao (2003, pag. 143) para la demostracion. La suficiencia depende de un
resultado de Giraitis, Kokoszka, and Leipus (2000) y la necesidad, de un resultado de
Bollerslev (1987).
Las caracterısticas de este modelo estan dadas en el siguiente resultado.
Proposicion 4.3.1. Sea (Zn, n ∈ Z) un proceso ARCH(p), con∑p
j=1 αj < 1. Entonces
1. Zn ∼ RB(0, α0/(1 −∑p
j=1 αj)).
2. Si se cumplen las condiciones E(ε4n) < ∞ y Max(1,√
E(ε4n))∑p
j=1 αj < 1, en
tonces
a) Z2n es un proceso AR(p) estacionario, y si
∑pj=1 αj > 0, su funcion de auto
covarianza es positiva.
b) κ(Zn) ≥ κ(εn).
Demostracion. 1. Veamos que Zn es ruido blanco.
E(Zn) = E(σnεn) = E(E(σnεn|Ωn−1))
= E(σnE(εn|Ωn−1)) = E(σnE(εn)) = 0.
V ar(Zn) = V ar(E(Zn|Ωn−1)) + E(V ar(Zn|Ωn−1)) = E(V ar(Zj|Ωn−1))
= E(V ar(σnεn|Ωn−1)) = E(σ2nV ar(εn|Ωn−1))
= E(σ2nV ar(εn)) = E(σ2
n)
= α0 + α1E(Z2n−1) + · · · + αpE(Z2
n−p) = E(Z2n).
ComoZn es estacionario en covarianza se tiene E(Z2n) = E(Z2
n−1) = . . . = E(Z2n−p)
y por tanto E(Z2n) = α0/(1 −
∑pj=1 αj).
2.
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Procesos GARCH (AutoRegresivo Condicionalmente Heterocedastico Generalizado)
Este tipo de procesos estocasticos fue introducido por Bollerslev (1987) como una alterna
tiva a los modelos ARCH(p). En ciertos casos se requieren valores altos de p para describir
adecuadamente una serie con un modelo ARCH(p). Ademas, se deben garantizar las condi
ciones αj ≥ 0, ∀j, lo que puede generar valores sesgados en los parametros estimados.
Una alternativa son los procesos GARCH(p,q), con un numero menor de parametros, por
ejemplo, un GARCH(1,1).
Definicion 4.3.3. (Procesos GARCH(p,q)) Un proceso (Zn, n ∈ Z) se dice que es un
GARCH(p,q) si satisface el par de ecuaciones siguientes
Zn = σn εn,
σ2n = β0 + β1 σ
2n−1 + · · · + βp σ
2n−p + α1 Z
2n−1 + · · · + αq Z
2n−q , (4.8)
donde εn ∼ iid(0, 1), β0 > 0, βi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ p y αj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ q.
Como en el caso ARCH(p), la sucesion εn se puede modelar con una distribucionGED(υ),
o una tStudent estandarizada, con υ grados de libertad. El modelo (4.8) se reduce a
un modelo ARCH(q) si βi = 0, i = 1, . . . , p. Una condicion para tener un proceso
estacionario se expresa en el siguiente resultado.
Teorema 4.3.2. Una condicion necesaria y suficiente para que un procesoZn ∼ GARCH(p, q)
definido por las ecuaciones (4.8) sea estacionario estricto con E(Z2n) <∞ es
p∑
i=1
βi +
q∑
i=1
αi < 1. (4.9)
Si adicionalmente se cumple queMax(1,√
E(ε4n))∑q
i=1 αi/(1−∑p
j=1 βj) < 1 entonces
E(X4n) <∞.
La demostracion se basa en el Teorema 2.5 de Bollerslev (1987) (ver Fan and Yao (2003),
Teo 4.4, pag. 150).
Corolario 4.3.2.1. Si Zn ∼ GARCH(p, q) y se cumple la condicion (4.9) entonces Zn
es ruido blanco, y cumple:
1. E(Zn) = 0.
2. V ar(Zn) = α0/(1 −∑pi=1 βi +
∑qi=1 αi).
51
3. Cov(Zn, Zn+k) = 0, ∀k 6= 0.
4. κ(Zn) ≥ κ(εn).
Como V ar(Zn|Ωn−1) = σ2nE(ε2n|Ωn−1) = σ2
n, el proceso estocastico σ2n se denomina
“varianza condicional”, y V ar(Zn) es la “varianza incondicional”. La siguiente identidad
tambien es valida.
Proposicion 4.3.2. Si Zn ∼ GARCH(p, q) y se cumple la condicion (4.9) entonces
σ2n = α0/(1 −
p∑
j=1
βj) +∞∑
j=1
djZ2n−j , cp1, (4.10)
donde las dj ≥ 0 se calculan recursivamente.
Este resultado muestra que en un proceso GARCH(p,q) estacionario en covarianza la
varianza condicional depende de todos los valores anteriores del proceso. El resultado
siguiente establece una caracterizacion de Z2n en terminos de un proceso ARMA.
Proposicion 4.3.3. Si Zn ∼ GARCH(p, q) y se cumple la condicion (4.9) entonces Z2n
es un proceso ARMA(max(p,q),q)), causal e invertible.
Corolario 4.3.2.2. El proceso σ2n, n ∈ Z es estacionario en covarianza.
Bougerol and Picard (1992a), (1992b), encontraron condiciones necesarias y suficientes
para la existencia de una unica solucion estacionaria estricta de las ecuaciones (4.8), pero
sin garantizar que el segundo momento es finito. Las condiciones sin embargo, son difıciles
de chequear en la practica. Tambien, para el caso GARCH(1,1), Nelson (1991) establecio la
condicion necesaria y suficiente para que el proceso fuera estacionario estricto, sin segundo
momento finito necesariamente. La condicion es
E(ln(α1ε2n + β1)) < 0. (4.11)
Utilizando la desigualdad de Jensen (ver desigualdad No ??, pag. ??), se obtiene E(ln(α1ε2n+
β1)) ≤ ln(E(α1ε2n + β1)) = ln(α1 + β1), por lo que si α1 + β1 < 1 entonces se tiene
(4.11). Este resultado muestra que, en este caso GARCH(1,1), ser estacionario en covar
ianza implica ser estacionario estricto, pero no al contrario. Es decir, pueden darse casos
de procesos GARCH(1,1) estacionarios estrictos con E(Z2n) = +∞.
52
Ejemplo 4.3.1. Si se considera un proceso (Xn, n = 0, 1, . . .) ARMA(2,1)GARCH(1,1),
quedarıa definido por el siguiente sistema de ecuaciones.
Xn = ϕ0 + ϕ1Xn−1 + ϕ2Xn−2 + Zn + θ1Zn−1,
Zn = σn εn,
σ2n = β0 + β1 σ
2n−1 + α1 Z
2n−1.
Se asume aquı que εn ∼ iidGED(υ). Para garantizar que Xn sea estacionario en
covarianza, primero se escogen los parametros de la parte GARCH de tal forma que Zn
sea ruido blanco. Por ejemplo, 1 < υ < 2, β1, α1 > 0, β1 + α1 < 1, β0, ϕ0 ∈ R. Luego,
se escogen los parametros autorregresivos ϕ1, ϕ2 de tal forma que Xn sea estacionario
en covarianza. Las condiciones para estacionariedad en covarianza de un AR(2) son:
|ϕ1| < 1, ϕ2 + ϕ1 < 1, ϕ2 − ϕ1 < 1. (4.12)
(ver ec. (??), pag. ??). Sin embargo, al definirse el proceso Xn para n = 0, 1, . . . no se
garantiza que sea estacionario en covarianza. Ademas, se requieren los valores iniciales
X−1, X0, Z−1 y σ2−1. En vista del caracter estacionario de los procesos Xn y σ2
n se podrıa
tomar X−1 = X0 = E(Xn) = ϕ0/(1 − ϕ1 − ϕ2) y σ2−1 = V ar(Zn) = β0/(1 − β1 − α1),
Z0 = E(Zn) = 0. En el caso de simulacion de N datos del proceso Xn se calculan por
ejemplo, ademas de lasN buscadas, 500 observaciones mas y se toman los datos a partir
de la observacion 501, para eliminar el efecto de esta escogencia arbitraria de los valores
iniciales y muestrear el proceso en estado estacionario.
4.4. Procesos EGARCH
En los modelos GARCH el proceso de la varianza condicional σ2n depende linealmente del
cuadrado de la serie, Z2n, de manera que no se afecta segun el signo de Zn. En el modelo
GARCH exponencial, EGARCH, introducido por Nelson (1991), ln(σ2n) sigue un proceso
ARMA(p,q), con ruido blanco en funcion de Zn/σn, por lo que σ2n depende del signo de
Zn. El modelo se define ası (ver Tsay (2002, pag. 102)):
Definicion 4.4.1. Un proceso estocastico (Zn, n ∈ Z) es un EGARCH(p,q), p, q ≥ 0, si
satisface el siguiente par de ecuaciones.
Zn = σnεn,
53
ln (σ2n) = µ +
1 + θ1L+ · · · + θqLq
1 − ϕ1L− · · · − ϕpLpg(εn−1), (4.13)
donde (εn, n ∈ Z) una sucesion de variables aleatorias iid(0, 1) y g(εn) esta dado por:
g(εn) = αεn + γ [|εn| − E(|εn|)], para µ ∈ R, θi ∈ R, i = 1, ..., q, ϕj ∈ R, j = 1, ..., p,
α, γ ∈ R.
Por construccion, g(εn) es una sucesion de variables aleatorias iid, con media cero. Si la
distribucion de εn es simetrica las dos componentes de g(εn) son nocorrelacionadas pero
no son independientes. La variable g(εn) puede ser reescribirse ası:
g(εn) =
(α+ γ)εn − γE(|εn|) si εn ≥ 0,
(α− γ)εn − γE(|εn|) si εn < 0.
Si εn ∼ N(0, 1) entonces E(|εn|) =√
2/π. Para una distribucion tStudent con v grados
de libertad, se tiene:
E(|εn|) =2√v − 2 Γ((v + 1)/2)
(v − 1)Γ(v/2)√π
.
Para la estacionariedad y ergodicidad de un EGARCH(p,q) utilizamos el hecho de que
ln(σ2n) es un proceso lineal. Con relacion a la estacionariedad en covarianza y finitud de
momentos, se tiene el siguiente resultado.
Proposicion 4.4.1. Si 1 − ϕ1z − · · · − ϕpzp 6= 0, ∀z ∈ C, |z| ≤ 1, los procesos σ2
n y Zn
son estacionarios estrictos y ergodicos. Si εt ∼ GED(υ) con υ > 1 entonces los procesos
σ2n y Zn tienen momentos finitos de cualquier orden, lo que implica que son ademas,
estacionarios en covarianza.
Nelson (1991) hace notar que si εt ∼ tv, con tv una tStudent con v grados de libertad,
entonces σ2n y Zn no tienen momentos finitos. La condicion por ejemplo, 1 < υ < 2
indicarıa colas mas pesadas que la normal pero menos que una doble exponencial.
Procesos GARCH Asimetrico El modelo GARCH Asimetrico, AGARCH(p,q,) prop
uesto por Ding, Granger, and Engle (1993), es una generalizacion de los modelos GARCH(p,q).
Se define ası:
Definicion 4.4.2. Un proceso estocastico (Zn, n ∈ Z) es un AGARCH(p,q), si satisface
el siguiente par de ecuaciones.
Zn = σnεn,
54
σδn = α0 +
q∑
i=1
αi(|Zn−i| − γZn−1)δ +
p∑
j=1
βjσδn−j, (4.14)
donde (εn) es una sucesion de variables aleatorias iid con media cero y varianza uno,
α0 > 0, δ ≥ 0, −1 < γ < 1, αi ≥ 0, i = 1, . . . , q, βj ≥ 0, j = 1, . . . , p.
El modelo AGARCH(p,q) incluye los modelos ARCH(p) y GARCH(p,q) como casos
especiales. El modelo ARCH(p) se obtiene con δ = 2 y γ = 0, βj = 0, j = 1, . . . , p en
(4.14). El modelo GARCH(p,q) se obtiene con δ = 2 y γ = 0.
Proposicion 4.4.2. Una condicion necesaria y suficiente para la existencia de una unica
solucion estacionaria Zn para el modelo (4.14) esta dada por
E(
q∑
i=1
αi(|εn| − γεn)δ) +
p∑
j=1
βj < 1, (4.15)
Procesos GJR El modelo GJR(p,q) es un modelo alterno para los modelos EGARCH(p,q),
con caracterısticas similares a estos. fue propuesto por (Glosten, Ravi, and Runkle 1993),
y se define como:
Definicion 4.4.3. Un proceso estocastico (Zn, n ∈ Z) es un GJR(p,q), si satisface el
siguiente par de ecuaciones.
Zn = σnεn,
σ2n = α0 +
m∑
i=1
αiZ2n−i +
q∑
j=1
βjσ2n−j +
p∑
i=1
γiS−n−iZ
2n−i
donde εn es una sucesion de variables aleatorias i.i.d. con media cero y varianza uno,
α0 > 0, αi ≥ 0, βj ≥ 0, αi + γi ≥ 0 y S−n−1 es una variable indicadora de la forma
S−n−1 =
1 si Zn < 0,
0 si Zn ≥ 0,(4.16)
El modelo GJR(p,q) es un caso particular de un AGARCH(p,q), cuando δ = 2, lo cual se
puede comprobar de manera directa.
σ2t = α0 +
m∑
i=1
αi(|at−i| − γiat−1)2 +
s∑
j=1
βjσ2t−i
55
= α0 +m∑
i=1
αi(1 − γi)2a2
t−i +s∑
j=1
βjσ2t−j +
m∑
i=1
αi(1 + γi)2 − (1 − γi)
2S−t−ia
2t−i
= α0 +
m∑
i=1
αi(1 − γi)2a2
t−i +
s∑
j=1
βjσ2t−j +
m∑
i=1
4αiγiS−t−ia
2t−i,
donde
S−t−i =
1 si at−i < 0
0 en otro caso.
Si definimos
α∗i = αi(1 − γi)
2, (4.17)
γ∗i = 4αiγi, (4.18)
entonces tenemos,
σ2t = α0 +
m∑
i=1
α∗i a
2t−i +
s∑
j=1
βjσ2t−j +
m∑
i=1
γ∗i S−t−ia
2t−i
El cual es exactamente el modelo GJR de la ecuacion (4.16).
Teorema 4.4.1. Suponga que α0 > 0, αi, βj ≥ 0 y εt tiene una distribucion simetrica.
Entoncesm∑
i=1
αi +1
2
m∑
i=1
γi +s∑
j=1
βj < 1 (4.19)
es una condicion necesaria y suficiente de una solucion estacionaria de orden 2 de Znpara el modelo (4.16).
Prueba. El modelo GJR (4.16) es un caso particular del modelo ARCH asimetrico (??)
cuando δ = 2, por lo que la variable Zt dada por (??) se puede expresar como
Zt =m∑
i=1
αiε2n +
m∑
i=1
γiS−t ε
2t
Utilizando la parametrizacion dada por las ecuaciones (4.18) y (4.17).
En los supuestos del modelo se tiene que Eεt = 0 y Var(εt) = Eε2t = 1 por lo que
EZt =
m∑
i=1
αi + b
m∑
i=1
γi
56
Para distribuciones simetricas b = 1/2, ası la condicion (4.15) para distribuciones simetri
cas quedam∑
i=1
αi +1
2
m∑
i=1
γi +
s∑
j=1
βj < 1.
El teorema anterior es consistente con la condicion para la existencia del segundo momento
del GJR(1,1) planteado por Ling y McAleer (2002) ((?), pag. 112), ademas ellos encuentran
la condicion para la existencia del cuarto momento asumiendo que el termino aleatorio se
distribuye Normal con valor esperado cero y varianza uno o tiene una distribucion T con
v ≥ 5 grados de libertad.
Este modelo asume que el impacto de at−1 sobre la varianza condicional σ2t depende del
signo de at−1 ((Glosten, Ravi, and Runkle 1993), pag. 1787). La ecuacion (4.16) genera
valores mas altos en σ2t para los choques negativos, at−1 < 0, que en los positivos de igual
magnitud, si γ > 0. El modelo GJR(1,1) se expresa como
σ2t = α0 + α1a
2t−1 + β1σ
2t−1 + γS−
t−1a2t−1,
4.5. Analisis Estadıstico de Procesos GARCH
Una manera simple de construir un modelo GARCH, consiste en tres pasos:
1. Ajustar un modelo modelo ARMA para la serie, para remover cualquier dependencia
lineal en los datos, y usar los residuales del modelo para probar el efecto GARCH.
2. Especificar el orden del modelo GARCH y desarrollar la estimacion.
3. Revisar el modelo GARCH ajustado y refinarlo.
Modelamiento de la Media y Pruebas
Dada una serie, el primer paso es remover la correlacion serial en los datos, con un modelo
ARMA para la media muestral, si esta es significativamente diferente de cero. Luego se
evalua la heterocedasticidad por medio de a2t , donde el residual del modelo ARMA es
Zn = rt − µt. Hay dos pruebas disponibles para evaluar la heterocedasticidad de Zn. La
primera es realizar el estadıstico de LjungBox para Z2n. La segunda es realizar la prueba
57
de los multiplicadores de Lagrange o Test de Engle, el cual es equivalente al estadıstico
F para la hipotesis H0 : αi = 0 (i = 1, 2, · · · , m) en la regresion lineal:
Z2n = α0 + α1a
2t−1 + · · · + αma
2t−m + et, t = m+ 1, · · · , T,
donde et es el termino de error, m es un entero positivo, y T es el tamano muestral.
Determinar el orden del modelo ARCH
Si las pruebas anteriores de heterocedasticidad de Zn son significativas, el siguiente paso
es determinar el orden del modelo ARCH.
Para una muestra dada Z2n es un estimador insesgado de σ2
t . Se espera que Z2n este lineal
mente relacionado con a2t−1, · · · , a2
t−m de una manera similar a un modelo autorregresivo
de orden m. Con la PACF de Z2n se podra determinar el orden del modelo ARCH, cuando
la muestra no es pequena.
Chequeo del modelo
Se define el choque estandarizado, para un modelo ARCH, como:
at =Zn
σt
el cual es una variable aleatoria i.i.d., que se distribuye como una GED o una tStudent
estandar. Examinando la serie at se puede evaluar si el modelo es adecuado. Se puede
utilizar la prueba de LjungBox con at, si se quiere evaluar la validez de la ecuacion para
la media, y con a2t para evaluar la validez de la ecuacion de la volatilidad. Ademas se
utiliza at para chequear la suposicion de la distribucion.
4.5.1. Distribucion Normal Inversa Gaussiana NIG
Definicion 4.5.1. Una variable aleatoria X se dice que tiene una distribucion Normal
Inversa Gaussiana si su funcion de densidad de probabilidad esta dada por
f(x) =αδK1(α
√δ2 + (x− µ)2)
π√δ2 + (x− µ)2
eδγ+β(x−µ), −∞ < x <∞, (4.20)
donde los parametros son: α, δ > 0, µ ∈ R, 0 ≤ |β| < α, γ =√α2 − β2 y Kκ(.), κ ≥
0 es la funcion de Bessel modificada de tercera clase con ındice κ. Se escribe X ∼NIG(µ, α, β, δ).
58
Se tiene en esta caso que E(X) = µ + δβ/γ, V ar(X) = δα2/γ3, asimetrıa γ1 =
3β/(α√δγ), curtosis γ2 = 3(1+4β2/α2)/(δγ). La NIG se clasifica como una distribucion
de cola semipesada, con colas menos pesadas que las de las distribuciones estables no
gaussianas y mas pesadas que las de la normal. Si α tiende a cero la NIG converge a una
distribucion Cauchy con parametro de localizacion µ y escala δ. Si α y δ tienden a +∞,
tales que δ/α = σ2, entonces la NIG converge a una distribucion Normal N(µ, σ2). El
comportamiento asintotico de las colas de la NIG se expresa mediante la relacion siguiente.
f(x) ∼ |x|−3/2e(−α|x|+βx), |x| → ∞. (4.21)
Una variableXe con distribucionNIG(0, α, β, 1) se denomina NIG estandar, y se cumple
que para µ ∈ R, δ > 0, X = µ + δXe ∼ NIG(µ, α, β, δ).
Definicion 4.5.2. La funcion de densidad de una variable aleatoria distribuıda GED(υ),
con media cero y varianza unidad, esta dada por:
f(z) =υ exp[−
(12
)| zλ|υ]
λ 2(1+ 1
υ ) Γ(
1υ
) , −∞ < z <∞, 0 < υ ≤ ∞, (4.22)
donde Γ(·) es la funcion gamma, υ es el parametro para el peso de la cola y
λ =
[2−
2
υΓ(
1υ
)
Γ(
3υ
)] 1
2
. (4.23)
Cuando υ = 2, se obtiene una distribucion normal estandar, para υ < 2, la distribucion
tiene colas mas pesadas que las de una normal, y si υ > 2 la distribucion tiene colas menos
pesadas que las de una normal. Con relacion a esta ultima afirmacion conviene recordar
el concepto de curtosis. El caso υ = 1 corresponde a una densidad Laplaciana o doble
Exponencial.
4.5.2. Distribucion GED Asimetrica
La definicion de GED(v) es
f(z) =v exp
(−1
2| zλ|v)
λ21+1/vΓ(1/v)(4.24)
donde
λ =
[2−2/vΓ(1/v)
Γ(3/v)
]
59
La transformacion de una densidad simetrica a una asimetrica con factor de asimetrıa
γ > 0 es
f(z, γ) =2
γ + 1/γf(γ−sign(z)z) (4.25)
Se cumple f(z, 1) ≡ f(z). Ademas, P (Z ≥ 0, γ)/P (Z ≤ 0, γ) = γ2. Tambien se cumple
que
E(Zk, γ) = Mk
(γk+1 + (−1)k/γk+1
γ + 1/γ
), k = 1, 2, . . . (4.26)
donde Mk = 2∫∞
0skf(s)ds. Entonces
1. E(Z, γ) = (γ − 1/γ)M1.
2. V ar(Z, γ) = (γ2 + 1/γ2)(M2 −M21 ) + 2M2
1 −M2.
3. Identidad: ∫ ∞
0
xre−a−kxk
dx =1
kΓ
(r + 1
k
)ar+1
4. Con la identidad se comprueba Mk = Γ((k + 1)/v)λk2k/v/Γ(1/v).
5. Comprobacion: E(Z2, 1) = M2 = 1.
El paso final es estandarizar la densidad asimetrizada (4.25). Es decir, la densidad SGED.
Se hace ası
f(z, γ, v) = σγf(zγ , γ) (4.27)
donde zγ = σγz + µγ , y µγ = E(Z, γ) es la media con la densidad (4.25) y σ2γz =
V ar(Z, γ) es la varianza con esa densidad.
4.5.3. Distribucion t de Student Asimetrica
A continuacion se exponen algunas propiedades de la distribucion t de Student Asimetrica,
introducida por Hansen (1994).
La densidad se define de la manera siguiente.
60
Definicion 4.5.3.
g(z; η, λ) =
bc(1 + 1
η−2
(bz+a1−λ
)2)−(η+1)/2 z < −a/b,
bc(1 + 1η−2
(bz+a1+λ
)2)−(η+1)/2 z ≥ −a/b,
donde 2 < η < +∞, y −1 < λ < 1. Las constantes a, b, c se definen como by
a = 4λc
(η − 2
η − 1
),
b2 = 1 + 3λ2 − a2,
c =1√
π(η − 2)
Γ(
η+12
)
Γ(
η2
) .
Jondeau and Rockinger (2003) calcularon los momentos de la distribucion como sigue.
Defina X = bZ + a, entonces
E[X] = a
m2 = E[X2] = 1 + 3λ2
V [X] = b2
m3 = E[X3] = 16c λ(1 + λ2)(η − 2)2
(η − 1)(η − 3)if η > 3,
m4 = E[X4] = .3η − 2
η − 4(1 + 10λ2 + 5λ4) if η > 4.
E[Z3] = [m3 − 3am2 + 2a3]/b3,
E[Z4] = [m4 − 4am3 + 6a2m2 − 3a4]/b4
Tambien desarrollaron la fda y la fda inversa (es decir, la funcion cuantil) de la distribucion.
La fda de la distribucion t de Student simetrica (la t Student de uso corriente) esta dada a
continuacion.
A(t; η) =
∫ t
−∞
1√πη
Γ(
η+12
)
Γ(
η2
)(
1 +x2
η
)−(η+1)/2
dx
=
∫ qη−2
ηt
−∞
1√πη − 2
Γ(
η+12
)
Γ(
η2
)(
1 +x2
η − 2
)−(η+1)/2
dx
61
Y la fda de la t de Student asimetrica esta dada como sigue.
S(z; η, λ) =
(1 − λ)A
(√η
η−2bz+a1−λ
; η, λ)
z < −a/b,(1 + λ)A
(√η
η−2bz+a1+λ
; η, λ)
z ≥ −a/b,
Y la fda inversa
S−1(y; η, λ) =
1b
[(1 − λ)
√η−2
ηA−1
(y
1−λ, η)− a]
if y < 1−λ2,
1b
[(1 + λ)
√η−2
ηA−1
(y+λ1+λ
, η)− a]
if y ≥ 1−λ2..
4.6. Calculo del VaR con Modelos GARCH, y Copula
GARCH
62
CAPITULO 5
Modelos Actuariales para Riesgo Operativo
5.1. Introduccion al Riesgo Operativo
1. Mediante las circulares 048 y 049 de 2006 la Superfinanciera fijo las bases y los
lineamientos mınimos que deben ser implementados por las entidades sometidas a
su supervision y vigilancia, para el desarrollo de un Sistema de Administracion del
Riesgo Operativo SARO.
2. Riesgo Operativo (RO)
Se entiende por Riesgo Operativo, la posibilidad de incurrir en perdidas por defi
ciencias, fallas o inadecuaciones, en el recurso humano, los procesos, la tecnologıa,
la infraestructura o por la ocurrencia de acontecimientos externos.
3. Esta definicion incluye el riesgo legal y reputacional.
4. Segun el Comite de Regulacion Bancaria de Basilea II: Se define el RO como el
riesgo de perdidas que resultan de procesos internos inadecuados o fallidos, de
personas, de sistemas o de eventos externos, incluyendo el riesgo legal .
5. Nota: El Comite de Basilea no considero el riesgo reputacional como riesgo opera
tivo.
63
64
1. Riesgo Legal
Es la posibilidad de perdida en que incurre una entidad al ser sancionada u obligada
a indemnizar danos como resultado del incumplimiento de normas o regulaciones
y obligaciones contractuales.
El riesgo legal surge tambien como consecuencia de fallas en los contratos y transac
ciones, derivadas de actuaciones malintencionadas, negligencia o actos involuntarios
que afectan la formalizacion o ejecucion de contratos o transacciones.
2. Riesgo reputacional
Es la posibilidad de perdida en que incurre una entidad por desprestigio, mala
imagen, publicidad negativa, cierta o no, respecto de la institucion y sus practicas
de negocios, que cause perdida de clientes, disminucion de ingresos o procesos
judiciales.
Ejemplos:
1. Fraude Interno
Actos que de forma intencionada buscan defraudar o apropiarse indebidamente de
activos de la entidad o incumplir normas o leyes, en los que esta implicado, al
menos, un empleado o administrador de la entidad.
2. Fraude Externo
Actos, realizados por una persona externa a la entidad, que buscan defraudar, apropi
arse indebidamente de activos de la misma o incumplir normas o leyes.
3. Relaciones laborales
Actos que son incompatibles con la legislacion laboral, con los acuerdos internos
de trabajo y, en general, la legislacion vigente sobre la materia.
4. Clientes
Fallas negligentes o involuntarias de las obligaciones frente a los clientes y que
impiden satisfacer una obligacion profesional frente a estos.
5. Danos a activos fısicos
Perdidas derivadas de danos o perjuicios a activos fısicos de la entidad.
65
6. Fallas tecnologicas
Perdidas derivadas de incidentes por fallas tecnologicas.
7. Ejecucion y administracion de procesos
Perdidas derivadas de errores en la ejecucion y administracion de los procesos.
8. Las perdidas derivadas de decisiones administrativas como fusiones, nuevas sedes,
etc no se consideran RO.
Casos de Riesgos Operativos
1. Feb 2002: Banco Allied Irish Bank, perdida por USD $ 691 mill. Un corredor
deshonesto, John Rusnack, escondio perdidas en operaciones sobre tasa de cambio
Yen/USD en una subsidiaria en US, durante 3 anos. Dano en la reputacion del
Banco.
2. Feb 1995: Banco Barings, perdida por USD $ 1.3 bill. Nick Leeson, corredor de
derivados acumulo perdidas no reportadas por 2 anos. El Banco se declaro en
quiebra.
3. Sept 1995: Banco Daiwa, Japon, perdida por USD $ 1.1 bill. Un corredor de bonos,
Toshihide Igushi, escondio perdidas durante 11 anos en una filial de US. El banco
se declaro en quiebra.
4. Marzo 1997: Banco NatWest, perdida por USD $ 127 mill. Un corredor de swaps,
Kyriacos Papouis, manipulo los precios de las opciones para cubrir perdidas. El
Banco fue absorbido por Bank of Scotland.
5. Estos casos corresponden fraude interno. Es una falla de supervision.
5.2. SARO: Sistema de Administracion de Riesgo Oper
ativo
La definicion del SARO es: Un conjunto de elementos tales como polıticas, procedimien
tos, documentacion, estructura organizacional, registro de eventos de riesgo operativo,
organos de control, plataforma tecnologica, divulgacion de informacion y capacitacion,
66
mediante los cuales las entidades vigiladas identifican, miden, controlan y monitorean el
riesgo operativo.
En el SARO las entidades deben desarrollar las siguientes etapas:
1. Identificar
2. Medir
3. Controlar
4. Monitorear
Segun la Normatividad de la SuperFinanciera:
1. Una vez concluida la etapa de identificacion, las entidades deben medir la probabil
idad de ocurrencia de los riesgos operativos y su impacto en caso de materializarse.
2. Esta medicion podra ser cualitativa y, cuando se cuente con datos historicos, cuan
titativa.
3. Para la determinacion de la probabilidad se debe considerar un horizonte de tiempo
de un ano.
4. Notese que en ningun momento habla de APROVISIONAR o crear una RESERVA.
Segun las directrices de Basilea II , dadas por BIS, en el documento Basel (2003),
1. Los Bancos no solamente deben medir frecuencias y severidades de los riesgos op
erativos indentificados sino tambien generar una provision, un “colchon” (cushion),
para enfrentar perdidas anormales. Esta operacion se denomina “Pilar 1”.
2. El “Pilar 2” consiste en las operaciones de identificacion, control y monitoreo.
3. El “Pilar 3” requiere que las entidades hagan publica la informacion de perdidas y
los metodos de administracion del riesgo.
4. En el Comite de Basilea se propone que las Entidades cubran las perdidas medias
pequenas con recursos propios, como gastos.
67
5. En cambio, se propone calcular una reserva que sirva para enfrentar perdidas ex
tremas, inusuales.
6. La regulacion colombiana aparentemente no considera estos casos. Las Entidades
deben medir y cuantificar las perdidas mediante modelos internos y proveer planes
de contingencia y supervivencia.
7. Se asumira que las metodologıas para calcular provisiones, propuestas a partir de
los lineamientos del Comite de Basilea, se pueden aplicar para realizar la medicion
de las perdidas por RO.
5.3. El Calculo de las Provisiones en SARO
En Moscadelli (2004) se propone que el calculo de las provisiones para RO se divida en
dos enfoques:
1. No Avanzado: no incorpora analisis estadıstico, se basa en indicadores.
2. Avanzado. Varias metodologıas para modelamiento cuantitativo de perdidas de ries
go operativo como
3. Modelos causales y redes bayesianas
4. Modelos de confiabilidad.
5. Modelos actuariales (tomados del area de los seguros de ramos generales, ver
Capıtulo 2): LDA y EVTPOT
5.3.1. El enfoque No Avanzado
1. Esta recomendado para Bancos pequenos, que no tienen operaciones internacionales
muy amplias.
2. Para este enfoque hay dos alternativas: 1.1) Indicadores de Base, 1.2) Enfoque
estandar.
68
3. Formula para el Enfoque de Indicadores de Base: la provision es igual a un porcentaje
fijo del promedio de los ingresos netos anuales de los ultimos 3 anos. El porcentaje
recomendado por Basilea es 15 %.
4. Para describir la formula para la provision segun el enfoque estandar se requiere
dividir las lıneas comerciales del Banco en 8 categorıas.
5. Esta division es similar a la division del Seguro de Bienes en sus diferentes ramos.
Pero tiene otros objetivos como proporcionar una estrategia de recoleccion de datos
para su analisis.
6. La formula para la provision es el promedio de los ultimos 3 anos, de los ingresos
netos anuales, donde el ingreso neto de cada ano se calcula como la suma ponderada
de ingresos netos por lınea comercial, ponderados por los factores beta que se
definen en el Cuadro 5.1.
Cuadro 5.1: Lıneas Comerciales de un Banco y ponderaciones
No Lınea Comercial beta %
1 Finanzas Corporativas 18
2 Negociacion y Ventas 18
3 Banca Minorista (personas) 12
4 Banca Comercial 15
5 Compensacion y Liquidacion 18
6 Agencias de Servicios 15
7 Administracion de Activos 12
8 Corretaje 12
5.3.2. El Enfoque Avanzado: Modelos Actuariales
1. Moscadelli (2004) propone dos Modelos tomados de la literatura actuarial para la
cuantificacion de las perdidas en RO.
69
2. LDA : Modelo de Perdidas Agregadas (Loss Distribution Analysis). Se basa en un
modelo para la frecuencia anual y la severidad de las perdidas para conformar una
perdida agregada y con esta calcular una provision para las perdidas mas extremas.
El Modelo LDA es el Modelo de Riesgo Colectivo del Capıtulo 2. Las provisiones
se calculan con los mismos principios de calculo de primas en el Modelo de Riesgo
Colectivo. Por ejemplo, el principio del percentil del Capıtulo 2, pag. 21.
3. EVTPOT : Analisis de datos extremos superiores a un umbral (Peaks over Thresh
old). Se basa en el supuesto de que los datos extremos provienen de procesos het
erogeneos, por lo que es necesario no tomar todos los datos (medianos, pequenos,
extremos) sino solamente los mas extremos. La metodologıa EVTPOT esta tomada
del area de la Ingenierıa (Hidraulica, Civil) y la Actuarıa de Seguros de Bienes en
Reaseguros.
5.4. Metodo LDA (Loss Distribution Analysis)
El metodo LDA consiste en utilizar el mismo modelo para los costos acumulados en un
seguro de bienes, en una vigencia de un ano. Este modelo se introdujo en el Capıtulo 2.
1. Suponga que N una variable aleatoria con valores enteros no negativos, que repre
senta el numero de perdidas operativas total, en un perıodo de un ano. Por ejemplo,
en una lınea particular de operaciones de un Banco. Se denomina “la frecuencia”.
2. Suponga que X1, X2, . . . son variables aleatorias independientes e identicamente
distribuidas (i.i.d.) con funcion de distribucion acumulada dada porF (x) = P (X ≤x). Independientes de N . Entonces Xj es el valor de la perdida operativa jesima,
j = 1, 2, . . . , N . Se denomina “la severidad”.
3. En el Capıtulo 2, pag. 9 se definio la variable S como la suma aleatoria de variables
aleatorias. . S es el valor acumulado de las perdidas operativas en un perıodo.
S = X1 +X2 + ...+XN =N∑
j=1
Xj. (5.1)
La funcion de distribucion acumulada de la variable S =∑N
j=1Xj , FS(x), se definio en el
Capıtulo 2, pag. 13, como una distribucion compuesta . Una grafica teorica de FS esta en
70
la Figura (5.1). Muestra lo que es la region de perdidas esperadas, alrededor de la media,
y la region de perdidas extremas, por encima de un percentil alto (VaR).
Figura 5.1: Distribucion de Perdidas Totales Teorica
5.4.1. La Estimacion de las Distribuciones de Frecuencia y Severidad
de Perdidas Operativas
La estimacion de N y Xd= Xj se hace especificando distribuciones adecuadas para estas
variables.
Distribuciones para la variable aleatoria N
Algunas de las distribuciones sugeridas son:
La distribucion Poisson.
La distribucion Binomial Negativa.
En el caso Poisson, E(N) = V ar(N). En el caso Binomial Negativa E(N) < V ar(N).
Distribuciones para la variable aleatoria X
Las distribuciones para X se pueden clasifican en tres categorıas:
71
1. Colas livianas: Weibull
2. Colas medianas: Gamma, Gumbel
3. Colas pesadas: LogNormal, Pareto
La vida media residual es una caracterıstica asociada a X que permite definir las
categorıas anteriores. Se define mas adelante, ver (5.21). Ademas, el estimador de
la vida media residual permite decidir a cual categorıa pertenece una distribucion a
partir de una muestra, ver (5.22).
En Moscadelli (2004) se propone el analisis con distribuciones LogNormal y Gum
bel.
Chaubey and Trudeau (1998) propone ajustar la distribucion de severidad utilizando
distribuciones Gamma, Pareto, Weibull e Inversa Gaussiana.
Gendron and Crepaud (1989) utilizan la distribucion Inversa Gaussiana para la
distribucion de las severidades Xj.
Algunas de las distribuciones mencionadas se definen ası.
1) La distribucion Weibull. se define por su funcion de densidad (fdp) ası:
f(x) =τ
λ
(τλ
)τ−1
e−(x/λ)τ
, x ≥ 0, (5.2)
donde λ > 0 es el parametro de escala y τ > 0 es el parametro de forma.
2) La distribucion Gumbel. se define por su funcion de densidad (fdp) ası:
f(x) = exp
(− exp
(−x− µ
σ
)), (5.3)
para −∞ < x <∞.
3) La distribucion LogNormal. se define tambien por su fdp ası:
f(x) =1√
2πσxexp
(−(
ln(x) − µ
2σ
)), (5.4)
para x > 0.
72
4) La distribucion Inversa Gaussiana. La forma de la funcion de densidad de la IG
esta dada por:
f(x;µ, σ) =( σ
2πx3
) 1
2
exp
−σ(x− µ)2
2µ2x
, x ≥ 0, (5.5)
donde µ y σ son constantes positivas. La media y la varianza de la distribucion
Inversa Gaussiana estan dados por: E[X] = µ, V ar[X] = µ3
σ.
La distribucion IG tiene la propiedad reproductiva (infinitamente divisible), como
en la Normal y la Gamma, de que la suma de variables independientes que se
distribuyen Inversas Gaussianas es Inversa Gaussiana.
5) La distribucion Gamma. La forma de la funcion de densidad de la Gamma esta dada
por:
f(x) =1
βαΓ(α)xα−1e−x/β, x ≥ 0, (5.6)
donde α > 0, β > 0.
6) La distribucion Pareto. La forma de la funcion de densidad Pareto esta dada por
f(x) = αλα(λ+ x)−α−1, x ≥ 0, (5.7)
donde α > 0, λ > 0.
Ejemplo de Analisis en Moscadelli
En Moscadelli (2004) se presento un analisis en el cual se explica las ventajas de agrupar
los datos en categorıas, denominada la Estrategia de FraccionamientoAgrupamiento.
La estrategia consiste en la Division en Lıneas Comerciales por Tipos de Eventos, para
un total de 8x7 = 56 categorıas para producir un efecto de agrupamientofraccionamiento
que garantice independencia y poder sumar los VaR. El objetivo es generar un VaR para
cada combinacion de Lınea y Evento, para luego agrupar y obtener un VaR total. Ver el
Cuadro 5.2.
1. Al reunir datos de 89 Bancos por categorıa, resulta que en cada una estos pueden
verse como una muestra i.i.d., con lo cual se evita dependencias y se elimina el
caracter de norepetibilidad de ciertos eventos.
73
Cuadro 5.2: Lıneas Comerciales y Tipos de Eventos
No Lınea Comercial Tipo de Evento de Riesgo
1 Corporativa Fraude Interno
2 Ventas Fraude Externo
3 Banca Minorista Relaciones Laborales
4 Banca Comercial Clientes
5 Compensacion y Liquidacion Danos a Activos Fısicos
6 Agencias de Servicios Fallas Tecnologicas
7 Administracion de Activos Ejecucion y Administracion de Procesos
8 Corredores
2. Se encontro en este estudio que ciertas distribuciones tradicionales,la LogNormal
por ejemplo, ajustan las observaciones centrales, sin tomar en cuenta de manera
adecuada las perdidas extremas. Lo que impide la utilizacion de la metodologıa LDA.
Ver por ejemplo, la Figura (5.2), muestra el ajuste en las colas de las distribuciones
LogNormal y Gumbel, para el caso de Perdidas Operativas en el ramo de Banca
Corporativa.
3. En contraste, la teorıa EVT, en su version POTGPD, provee una estimacion ade
cuada de la cola de la distribucion a partir del percentil alto, por ejemplo, de 95 %,
confirmada a traves de 3 test de bondad de ajuste.
4. Se estimo que la Banca Corporativa es la que tiene mayor riesgo, con un VaR
al 99.9 % de 260e mill. Lo sigue la Banca Comercial con 151e mill. La Banca
personal con 17e mill y Corredores con 27e mill.
5. Las distribuciones Gumbel y LogNormal resultaron ser las que mejor ajuste pre
sentaron en los 8 grupos de datos. Sin embargo, no pasaron las pruebas de ajuste
KolmogorovSmirnov y AndersonDarlin.
6. Comentario: Por que no ajustaron los datos las distribuciones?. Que consecuencia
tendrıa para el calculo del VaR utilizar estos resultados de estimacion convencional?.
Es valido utilizar el modelo LDA?.
74
Figura 5.2: Prueba Grafica: comparacion en la cola derecha, en Moscadelli (2004), pag.23
Calculo de las provisiones en el sistema LDA
En Shevchenko (2010):“Estimation of the operational risk capital under the Loss Distri
bution Approach requires evaluation of aggregate (compound) loss distributions which
is one of the classic problems in risk theory. Closedform solutions are not available
for the distributions typically used in operational risk. However with modern computer
processing power, these distributions can be calculated virtually exactly using numerical
methods... In particular Monte Carlo, Panjer recursion and Fourier transformation methods
are presented and compared. Also, several closedform approximations based on moment
matching and asymptotic result for heavytailed distributions are reviewed.”
Si se denota FS(x) la fda de la variable S y se toma una probabilidad pequena q se define
la provision como el percentilq de S, por tanto, se cumple P(S ≤ Π) ≥ 1 − q.
Π = Sq = Mins : FS(s) ≥ 1 − q. (5.8)
La prima es un valor que permite un balance entre la posible perdida que debe asumir
la Companıa y los recursos provenientes de los recaudos de primas individuales.En este
sentido, de ser una medida de la posible perdida que experimenta una Companıa, es
equivalente al concepto de VaR que se define en el Capıtulo 3, en el contexto de Medidas
de Riesgo en Portafolios. Y tambien es la misma la interpretacion que se utiliza para
75
calcular la Provision en el Sistema de Administracion del Riesgo Operativo, en el Capıtulo
5, y en el Sistema de Administracion del Riesgo de Credito en creditos de consumo, en el
Capıtulo 6.
El Metodo de Aproximacion NP (2.9) permite una evaluacion de la Prima como el percentil
de (1− q)% de FS, Sq. Reenplazando S por Sq en la aproximacion NP De (2.9) se obtieneSq−µS
σS≈ zq + γ1,s
6(z2
q − 1), donde zq es el qpercentil de una Normal estandar, con
Φ(zq) = 1 − q. Luego, despejando Sq se obtiene
Π = µS + σS(zq +γ1,s
6(z2
q − 1)). (5.9)
5.5. Metodo EVTPOT (Extreme Value Theory Peaks
Over Threshold)
Se basa en una teorıa estadıstica: La Teorıa de Valores Extremos, EVT.
Esta teorıa se aplica para distribucion de datos extremos, en dos versiones: 1)
Distribucion de maximos por bloques y 2) POT = peaks over threshold = picos
sobre umbrales.
POT se basa de determinar un umbral por encima del cual los excedentes se dis
tribuyen de acuerdo a una distribucion Pareto Generalizada, GPD.
Un paso clave es determinar el umbral. La tecnica se base en un estimador de la
vida media residual. La vmr es E(X − u|X > u) para varios valores de u.
5.5.1. La Teorıa de Valores Extremos
La Teorıa de Valores Extremos la iniciaron Fisher and Tippett (1927), y ha tenido apli
caciones en varias areas, por ejemplo, en la hidrologıa, en la prediccion de eventos
inusuales, como inundaciones y desbordamientos de rios. Recientemente ha sido aplicada
en econometrıa financiera en la prediccion de perdidas catastroficas en portafolios de
inversiones, asociadas con movimientos extremos en las Bolsas.
Una definicion clave es la de funcion de variacion regular porque permite dar una forma
operativa a la idea de cola pesada, ademas de tener importantes aplicaciones en diferentes
76
areas, como Procesos de Ramificacion, Colas, Teorıa de Riesgo, etc.. Una revision de la
teorıa con un enfoque estadıstico esta en Beirlant, Teugels, and Vynckier (1996).
Definicion 5.5.1 (Variacion Regular).
Dada X ∼ F en [0,∞), defina F (x) = 1 − F (x). Si se cumple que
lımx→∞
F (tx)
F (x)= t−α
para cierto α > 0 y todo t > 0, entonces se dice que F (x) es de variacion regular de
ındice a y se denota por F ∈ Ra.
Una propiedad relativa a los problemas mencionados en el paragrafo anterior sobre la
existencia del momento de segundo orden de los rendimientos es: si k > α entonces
E(Xk)
= ∞, y si k < α entonces E(Xk)<∞.
Definicion 5.5.2 (Distribuciones de Valor Extremo).
La distribucion de valor estremo de parametros ζ , µ , β se define como
Hζ , µ , β(x) = exp(−(1 +
ζ(x− µ)
β
)− 1
ζ
)1 +
ζ(x− µ)
β≥ 0,
para ζ ∈ R , µ ∈ R , β > 0. El caso ζ = 0 se interpreta como ζ → 0. El caso ζ > 0 se
denomina distribucion tipo Frechet, el caso ζ < 0 se denomina Weibull y el caso ζ = 0 se
denomina Gumbel.
Teorema 5.5.1 (Teorema de FisherTippett).
Sea Xi , i = 1, 2, · · · una sucesion iid con distribucion F , tal que exista sucesiones
an > 0 , bn ∈ R que cumplan
max(X1, · · · , Xn) − bnan
d−→ Y , n→ ∞,
entonces existe ζ ∈ R , µ ∈ R , β > 0 tal que Y ∼ Hζ , µ , β.
La relacion entre las distribuciones de Frechet y la variacion regular esta dada por el
teorema siguiente.
Teorema 5.5.2 (Teorema de Gnedenko). Con el enunciado del Teorema anterior,
Y ∼ Hζ , 0 ,1 con ζ =1
α> 0 ⇐⇒ F ∈ Ra.
77
Definicion 5.5.3 (Distribucion Pareto Generalizada GPD). Se define la distribucion Pareto
Generalizada como
Gζ,β(x) = 1 − ln(Hζ,0,β(x) = 1 −(1 +
ζx
β
)− 1
ζ, (5.10)
para ζ 6= 0, y Gζ,β(x) = 1 − e−xβ si ζ = 0. Con x ≥ 0 si ζ > 0, y 0 ≤ x ≤ −β
ζsi ζ < 0.
5.5.2. Procedimiento de Calculo del percentil q de X
El paso clave para aplicar POT es definir la funcion Fu(y). Es la distribucion del exceso
sobre el umbral, definida como la variable Y = X − u|X > u, y esta dada por:
Fu(y) = P (X − u ≤ y|X > u) =FX(u+ y)− FX(u)
1 − FX(u), y > 0, (5.11)
Si la distribucion de una GPD se indica por G(y) entonces se esta asumiendo que se
cumple:
Fu(y) ≈ G(y), (5.12)
para u un percentil alto deX, p.ej. de 95 %. Este supuesto se justifica cuando se comprueba
que no es posible ajustar los datos con distribuciones de cola pesada. Quiere decir que la
cola de la distribucion obedece una distribucion GPD. Esta aproximacion esta apoyada en
el Teorema (5.5.3).
Teorema 5.5.3 (Teorema de PickandsBalkemade Haan). Suponga que F tiene distribu
cion de excesos Fu, u ≥ 0. Entonces, para ζ ∈ R
Y ∼ Hζ , 0 ,1 ⇐⇒ existe β(u) funcion positiva tal que
lımu→∞
supx≥0
∣∣ F u(x) − G ζ , β(u)(x)∣∣ = 0
La consecuencia es que se puede “reconstruır” la distribucion de las perdidas colocandole
una “cola” tipo GPD. La identidad FX(u+y) = (1−FX(u))Fu(y)+FX(u) se reemplaza
por FX(u+ y) = (1 − FX(u))G(y) + FX(u), para y > 0. Colcando x = u+ y > u, se
tiene FX(x) = (1 − FX(u))G(x− u) + FX(u).
Ahora se considera el percentil (1 − q)100% de X indicado por ζq. Se cumple FX(ζq) =
1 − q, luego, con FX(u) = 1 − FX(u),
FX(ζq) = 1 − q
78
= (1 − FX(u))G(ζq − u) + FX(u)
= FX(u)G(ζq − u) + 1 − FX(u)
= 1 + FX(u)(G(ζq − u) − 1)
= 1 − FX(u)
(1 +
ζ
β(ζq − u)
)−1/ζ
.
Cancelando y reorganizando la ultima expresion se obtiene, al despejar ζq
V aR(q) := ζq = u+β
ζ
((FX(u)
q
)ζ
− 1
)
. (5.13)
Notese que q y u deben escogerse de tal forma que se cumple FX(u) > q
Estimacion del Percentil q de X
Suponiendo que se tienen estimadores (ζ , β), se define nu =∑n
i=1 I(xi > u) y se
reemplaza FX(u) = 1 − F (u) por nu/n. Entonces, reemplazando en (5.13), se obtiene la
estimacion del percentil q de X siguiente.
ζq = u+β
ζ
((nu
nq
)bζ− 1)). (5.14)
5.5.3. Calculo del VaR por el Metodo POT
La provision dada por el percentil ζq (5.13) no es suficiente si no se considera la frecuencia
con que ocurren las perdidas extremas. Si se usara solamente por ejemplo, (5.14) se podrıa
sub o sobre estimar la provision dependiendo de si la probabilidad de ocurrencia anual de
perdidas con una magnitud mayor que el percentil de (1q) % de X sea mayor o menor de
q %, respectivamente.
En contraste, la provision calculada con el metodo LDA sı considera la frecuencia porque
la provision es una prima, Π calculada como una funcion de la distribucion compuesta
S =∑N
j=1 Xj . El metodo POT calcula una provision con base en la informacion de las
perdidas anuales Xj , pero se requiere incorporar la informacion de la frecuenciaN .
Definicion 5.5.4. Dado u > 0 se define la frecuencia de Perdidas Extremas como
Nu =n∑
j=1
I(Xi > u). (5.15)
79
Entonces se define la provision para los costos operativos totales, mediante el metodo
EVTPOT, utilizando el percentil q de X, como
Definicion 5.5.5.
V aR(S, q, u) = E(Nu)ζq. (5.16)
Considerando nuevamente nu =∑n
i=1 I(xi > u) y q ∈ (0, 1) tales que nu/n > q,
entonces se define la provision estimada es V aR(S, q, u) = nuζq .
Hay otras dos medidas de riesgo adicionales: el Capital en Riesgo CVaR o ES (expected
shortfall), y la MS (median shortfall), Capital en Riesgo Mediano (1). Definidas con
respecto a la variableX.
Definicion 5.5.6. El CVaR(q) con respecto a X es
CV aR(q) =ζq + β − ζu
1 − ζ. (5.17)
Definicion 5.5.7. El MS con respecto a X es
MS(q) = u+β
ζ(2ζ − 1). (5.18)
Y las correspondientes provisiones para el costo total con base en estas dos medidas son
Definicion 5.5.8. El CVaR con respecto a S es
CV aR(S, q, u) =E(Nu)(ζq + β − ζu)
1 − ζ. (5.19)
Definicion 5.5.9. El MS con respecto a S es
MS(S, q, u)) = E(Nu)(u+ β(2ζ − 1)/ζ). (5.20)
Los correspondientes estimadores de (5.19),(5.20) se obtienen reemplazando estimadores
(β, ζ) y E(Nu) = nu en esas expresiones.
1No es inmediato como traducir “expected shortfall”
80
5.5.4. Estadısticos para Analisis de Datos Extremos
Para realizar los analisis anteriores se requiere determinar a cual dominio de atraccion
pertenecen los datos (Frechet, Weibull, Gumbel). Ademas, las formulas de la seccion
anterior requieren el valor de u para determinar los valores xi − µ > 0 con los cuales
ajustar una distribucion generalizada Pareto Gζ,β(x). Algunos estadısticos de uso en
Analisis de datos extremo son:
1) La Vida Media Residual
Se define como la funcion
e(u) = E(X − u | X > u) , u ≥ 0, (5.21)
estimada mediante el estadıstico:
en(u) =
∑nj=1(xj − u)I(xj > u)∑n
j=1 I(xj > u)(5.22)
La aplicacion de (5.22) se puede hacer mediante las siguientes observaciones (ver
Hoog and Klugman (1984, pag.109), y Beirlant, Teugels, and Vynckier (1996, pag.
39):
a) Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendencia lineal creciente
entonces la distribucion puede pertenecer al dominio de atraccion de una
distribucion Pareto. Se basa en el resultado siguiente:
Proposicion 5.5.1. (ver Beirlant, Teugels, and Vynckier (1996, pag. 54) ) Si
X es de tipo Pareto con α =1
ζ, 0 < ζ < 1 entonces
e(u)
u−→ 1
α − 1, u→ ∞
b) Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendencia constante entonces
la distribucion es Exponencial.
c) Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendencia decreciente puede
ser una distribucion Weibull con τ > 1, o una Gamma con α > 1.
d) Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendencia decreciente y luego
creciente en lınea reacta puede tratarse de una Lognormal.
81
2) Estadıstico de Hill
ParaX en el dominio de atraccion de la distribucion Frechet con ζ > 0, el estadıstico
de Hill se define como:
ζk =1
k
k∑
j=1
ln(Xj , n ) − ln(Xk+1 , n )
donde k = k(n) debe escogerse de la grafica(k , ζk
)como un valor en el cual la
grafica se estabiliza.
Ejemplo de Estimacion de la Vida Media Residual
En la Figura (5.3) se muestran los estimadores de la vida media residual de los costos de
seis servicios medicos en el ano 1991 en la Caja de Prevision Social de la Universidad
Nacional de Colombia, en Medellın. Una Entidad que prestaba servicios medicos en 32
especialidades, en la epoca inmediatamente anterior a la implantacion de la Ley100/93.
Los datos estan en pesos de 2011.
0e+00 1e+06 2e+06 3e+06 4e+06
0e+0
01e
+06
2e+0
63e
+06
odontologia
Threshold
Mean
Exce
ss
0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05
040
0000
8000
0012
0000
0
laboratorio
Threshold
Mean
Exce
ss
0e+00 1e+06 2e+06 3e+06 4e+06 5e+06 6e+06
0e+0
02e
+06
4e+0
6
hospitaliza
Threshold
Mean
Exce
ss
0 500000 1000000 1500000 2000000 2500000
040
0000
8000
0012
0000
0
drogas
Threshold
Mean
Exce
ss
0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05
−500
000
5000
0015
0000
0
cir.general
Threshold
Mean
Exce
ss
4e+04 6e+04 8e+04 1e+05
−500
000
5000
0015
0000
025
0000
0
cardiologia
Threshold
Mean
Exce
ss
Figura 5.3: VMR de Seis Servicios Medicos en la Caja de Prevision Medellın 1991
82
La regla es que en donde la grafica empieza a presentar un segmento de recta se encuentra
el umbral. Sin embargo, no es tan inmediato visualizarlo. En el caso de Odontologıa podrıa
tomarse como unbral u = 1mill. De todas maneras se puede comparar con los percentiles
en el Cuadro 5.4.
Cuadro 5.3: Totales de seis servicios Ano 1991 CPSMedellın
No casos Suma (en mill de pesos de 2011)
odontologia 1071 260.208798
laboratorio 2118 93.249841
hospitaliza 353 261.997637
drogas 15686 859.921609
cir.general 57 19.801655
cardiologia 9 6.410000
Cuadro 5.4: Percentiles Costos de Odontologıa en 1991 CPSMedellın
75 % 85 % 95 % 99 %
228.522 345.363 728.954 3’377.363
Procedimiento para implementar la aproximacion
Una vez identificado el umbral ( o se decide cual es, p.ej. un percentil de 80 %), se calculan
los excedentes como ui = xi −u para las perdidas xi tales que xi > u. Con estos datos se
estima una distribucion GPD(y; ξ, 0, σ), por maxima verosimilitud (hay otros metodos
en la librerıa POT de R). Se obtienen ξ, σ. Se estima: ˆFX(u) := nu/n donde nu es el
numero de excedentes sobre u, y n es el total de perdidas operativas para el estudio. Se
obtiene finalmente
FX(x) = 1 − nu
n
(1 + ξ
(x− u
σ
))−1/ξ
83
Conclusiones
En vista de los resultados preliminares del estudio se pueden sacar algunas conclusiones:
Agrupar los datos segun lıneas comerciales y tipo de evento resulta una estrategia
conveniente si para remediar la falta de informacion se requiere conformar una base
con experiencias de distintas entidades.
El analisis convencional: usar la totalidad de los datos y usar distribuciones de uso
comun puede llevar a una estimacion deficiente en los extremos de las colas derechas
de las distribuciones que es la parte importante para el calculo de las provisiones.
Es necesario desarrollar una herramienta apropiada.
Una alternativa es: la teorıa de valores extremos.
Usar un Software apropiado. Por ejemplo: R tiene varias librerıas disenadas es
pecıficamente para los problemas de medicion de riesgo: de mercado, de credito y
operativo. ( Y es gratis...)
5.6. Ejemplo de Procedimiento en R para aplicar LDA y
POT
5.6.1. Analisis POT
El objetivo es decidir si los datos pueden analizarse con el modelo POT. En caso tal,
calcular la provision anual. Todos los pasos siguientes se pueden implementar con la
librerıa POT de R, Ribatet (2007).
Analisis exploratorio
Presente los resultados de las estadısticas basicas en una tabla:
length(v) numero de datos summary(v) resumen estadisticas basicas skewness(v) asimetria
kurtosis(v) curtosis
Que concluye inicialmente? Cual tiene mayor asimetrıa y curtosis?.
84
Grafique los 4 diagnosticos: histograma, boxplot, dotchart y densidad. El objetivo con
estos graficos es determinar si puede identificarse un umbral por encima del cual estarıan
las perdidas mas extremas. Reporte graficas. Y si es el caso, un posible valor para el
umbral.
Grafica de la vida media residual
El paso clave para aplicar el modelo POT es determinar el umbral u. La librerıa POT
provee la funcion mrlplot para la vida media residual. Reporte la grafica
par(mfrow = c(1,1))
mrlplot(x)
1) Si la grafica muestra una tendencia decreciente se recomienda realizar un analisis LDA
porque los datos no son extremos. 2) Si la grafica muestra una tendencia creciente se
recomienda un analisis POT. En este caso, determine si existe un posible umbral u, usando
la sugerencia del artıculo de Moscadelli: detecte una seccion de lınea recta en la grafica la
vida media residual. La abscisa donde comienza tal seccion es un posible valor del umbral.
Si no resulta la sugerencia, escoja como umbral uno de los percentiles altos, que se calculan
con:
quantile(v,probs=c(75,85,95,90)/100)
coloque, por ejemplo, u = quantile(v, probs = 90/100)
Frecuencias de casos
Determinar cuantos datos quedan por encima del umbral.escoja u tal que el numero de
datos no sea menor de 30.Genere los excedente yi = xi−u para xi > u, con la instruccion:
nu = sum(x >= u)
y = v[v > u]u
Ajuste de la distribucion Pareto Generalizada con los datos de exceso sobre el umbral
La librerıa POT tiene la funcion “fitgpd"para estimar el modelo Pareto Generalizado, a
partir de los datos de perdidas operacionales y del umbral escogido. Programe:
85
mle = fitgpd(v, u, "mle")$param
ad = fitgpd(v, u, "mgf", stat = "AD")$param
sigma = mle[1]
xi = mle[2]
si el valor de xi es negativo, usar la alternativa:
ad = fitgpd(v, u, "mgf", stat = "AD")$param
sigma = ad[1]
xi = ad[2]
Reporte el valor de los parametros de la distribucion GPD estimados: sigma y xi.
Examen del ajuste del modelo
Decida si el modelo GPD resulto adecuado para los excesos por encima del umbral.
1) Use las pruebas graficas:
Diagrama de cuantiles
par(mfrow=c(1,1))
x.teo<rgpd(n=length(y), loc = 0, scale =
mle[1], shape = mle[2])
qqplot(x.teo,y,main="QQplot distr. GPD")
abline(0,1)
Decision: si los puntos aparecen muy alejados de la lınea recta, no se acepta el modelo
GPD para los excedentes. En caso contrario, sı. La grafica de la funcion de distribu
cion acumulada estimada versus la distribucion acumulada empırica. (ver el artıculo de
Moscadelli en las Figuras 25 de las pags. 23,24 ).
par(mfrow=c(1,1))
ejex = seq(0,max(y),length.out = 100)
plot(ejex, pgpd(ejex,loc = 0, scale = mle[1], shape = mle[2]),
type="l", col="red", main="ECDF y GPD CDF")
plot(ecdf(y),add=TRUE,verticals= TRUE, do.points = FALSE)
86
Decision : si la lınea continua esta cercana de la lınea escalonada se acepta la distribucion
GPD para los excedentes. En caso contrario, se rechaza.
2) Use la prueba KS .
ks.test(y,"pgpd", list(loc = 0, scale = sigma, shape = xi), H = NA)
Decision: si el valor p es mayor de 0.05 se acepta que los datos son GPD. Si es menor se
rechaza. Reporte el resultado de las pruebas.
Calculo de las medidas de severidad
Calcule la medida de severidad para un nivel de confianza de (1q)100 %, con q = 0.05,
0.01. NOTA: para el VaR se requiere que q sea menor que el cociente n/nu . Chequee que
se cumple esta condicion y reporte las medidas:
V aR = u+ σ((nq/ν)−ζ − 1)/ζ (5.23)
ES = (V aR+ σ − ζu)/(1 − ζ) (5.24)
MS = V aR+ σ(2ζ − 1)/ζ (5.25)
Calculo de las frecuencias promedio
Se toman los datos y fechas por encima del umbral D1 = D[ which(v >u), ] attach(D1)
fc = years(fecha) tf = table(fc)
Reporte la grafica del numero de casos de RO por ano y el promedio anual barplot(tf)
(mean(tf))
Calculo del Capital en Riesgo, CaR
Reporte el capital en riesgo
CaR = mean(tf)*medida
con medida = ES y MS
87
5.6.2. Analisis LDA
Ajustar una distribucion LogNormal a las perdidas
mle = fitdistr(x, "lognormal")
mu = mle$estimate[1]
sigma = mle$estimate[2]
Decida si el modelo Lognormal resulto adecuado para los datos de perdidas operativas.
1) Use las pruebas graficas:
Diagrama de cuantiles
v.teo = rlnorm (n=length (v), meanlog = mu, sdlog = sigma)
qqplot (v.teo,v,main="QQplot distr.LogNormal")
abline(0,1)
Decision: si los puntos aparecen muy alejados de la lınea recta, no se acepta el modelo
Lognormal para los datos. En caso contrario, sı.
La grafica de la funcion de distribucion acumulada estimada versus la distribucion acu
mulada empırica. (ver el artıculo de Moscadelli (2004), las Figuras 25 de las pags. 23,24
).
xx = seq(mean(v),max(v),length.out=100)
plot(xx, plnorm(xx, meanlog = mu, sdlog = sigma),
type="l",col="red", main="distribucion LogNormal ")
plot(ecdf(v),add=TRUE,verticals= TRUE, do.points = FALSE)
Decision : si la lınea continua esta cercana de la lınea escalonada se acepta la distribucion
Lognormal para los datos. En caso contrario, se rechaza.
2) Use la prueba KS .
ks.test(v, "plnorm", list(meanlog = mu, sdlog = sigma), H = 10)
Decision: si el valor p es mayor de 0.05 se acepta que los datos son Lognormal. Si es
menor se rechaza. En caso de no ajustar una distribucion Lognormal los resultados de la
provision no resultan confiables.
88
Definir el modelo de perdidas agregadas
Defina el modelo de frecuencias con una distribucion Poisson con parametro igual al
promedio anual
model.freq = expression(data = rpois(mean(tf)))
Defina el modelo de severidad con una distribucion Lognormal
model.sev = expression(data = rlnorm( meanlog = mu, sdlog=sigma)
Calculo del Capital en Riesgo, CaR
Calcular la distribucion de perdidas agregadas
Fs = aggregateDist("simulation",model.freq, model.sev, nb.simul = 1000)
VaR(Fs)
CTE(Fs)
La librerıa actuar solamente tiene implementados el VaR y el CTE = conditional tail
expectation = esperanza condicional residual, que es igual al ES = expected shortfall.
CAPITULO 6
Modelos Actuariales para Riesgo de Credito
6.1. Introduccion: El Modelo de Riesgo Individual
En la primera parte de este capıtulo se introduce el modelo actuarial conocido como el
modelo de riesgo individual, que permite calcular las provisiones como la prima de un
portafolio de polizas de seguros. En caso de que la prima sea por el principio del percentil,
la provision es equivalente al VaR. Este modelo es la base para el SARC, el Sistema de
Administracion de Riesgo de Credito. Ademas, en la ultima parte, es tambien la base para
el modelo de CreditRisk+, una generalizacion del modelo para el SARC, en el cual la
probabilidad de default depende de variables exogenas.
Se asume una Entidad, por ejemplo, un Banco o una Cooperativa Financiera, que ofrece
creditos de consumo para personas naturales y jurıdicas, como pymes, incluyendo creditos
de vivienda. El problema asociado con un portafolio de creditos consiste en medir la
exposicion o monto de una posible perdida por incumplimiento en los pagos de los
deudores. Es decir, medir el riesgo de credito en los portafolios.
89
90
El Modelo de Riesgo Individual
El modelo se define a partir de las siguientes variables. (ver (Bowers, Gerber, Hickman,
Jones, and Nesbitt 1997, chap.2))
1. Un grupo de n variables Bj ≥ 0, j = 1, . . . , n. Las variables Bj pueden ser
aleatorias. Pero tambien pueden reducirse a constantes. En este caso representa el
saldo del credito jesimo en un tiempo determinado.
2. Un grupo de n variables aleatorias independientes Ij ∼ Bin(1, qj), distribuıdas
Binomiales con parametros (1, qj), donde qj ∈ [0, 1].
3. Las variables cumplen Ij ∈ 0, 1, donde Ij = 1 es el evento de presentar el credito
iesimo default o incumplimiento de pago en un perıodo de tiempo determinado.
4. Cada producto BjIj representa la perdida posible en el credito jesimo. Y la suma
S =
n∑
j=1
BjIj, (6.1)
representa el total de perdidas en el portafolio, en un perıodo de tiempo. La variable
S en (6.1) se denomina el Modelo de Riesgo Individual. .
Es inmediato que
µs = E(S) =n∑
j=1
qjµj, (6.2)
donde E(Bj) = µj .
σ2s = V ar(S) =
n∑
j=1
qj(1 − qj)µ2j +
n∑
j=1
qjσ2j , (6.3)
donde V ar(Bj) = σ2j .
El problema de calcular una provision se resuelve mediante la aproximacion Normal a la
distribucion de S y luego aplicando el principio del percentil, lo cual equivale a calcular
el VaR.
En Bowers, Gerber, Hickman, Jones, and Nesbitt (1997) se recomienda la aproximacion
Normal por aplicacion del Teorema del Lımite Central, si n es grande, como se propuso
para el caso del Modelo de Riesgo Colectivo, en el Capıtulo 2, pag. 16.
91
P(S ≤ z) ≈ Φ
(z − µs
σs
). (6.4)
Por tanto, el V aR(q) al nivel de (1 − q)% con base en la aproximacion normal queda
V aR(q) = µs + zqσs.
La alternativa de utilizar simulacion puede tambien ser practica, como se muestra en el
modelo CreditRisk+ mas adelante.
6.2. El Modelo SARC con Base en el Modelo de Riesgo
Individual
Uno de los objetivos del Sistema de Administracion de Riesgos Crediticios, SARC, es el
calculo de las provisiones.
La Institucion debe definir las polıticas de constitucion de provisiones gen
erales e individuales necesarias para absorber las perdidas esperadas derivadas
de la exposicion crediticia de la entidad y estimadas mediante metodologıas
y analisis desarrollados en el SARC...estas metodologıas, que pueden incluır
el desarrollo de modelos sofisticados, deben estar en capacidad de determinar
el valor mas probable de perdida en caso de incumplimiento de la contraparte
para cada uno de los portafolios de credito, tomando en cuenta la definicion de
incumplimiento que se utilice. (ver SuperBancaria (2002, pag 6. sec. 1.2.2),
Criterios de seguimiento y control).
1. Un credito a T meses tiene saldo a capital en el mes j = 1, 2, ..., T denotado por
Fj. El valor inicial del saldo es el valor del credito y el valor final en j = T debe
ser cero, aunque en la practica, debido a la posibilidad de mora en los pagos, no
necesariamente es cero.
2. El evento de incumplimiento de un pago en un mes cualquiera se denomina mora.
El evento de completar, por ejemplo, 181 dıas o mas de mora se denomina default.
El evento de cancelacion consiste en cancelar anticipadamente la obligacion o en la
cancelacion normal por terminacion de los pagos pactados.
92
3. Se asume que en cualquier mes del credito, j, se puede iniciar el proceso de no pago
que lleve el credito a un estado de default, independientemente del tiempo que falta
para el vencimiento de la obligacion, T − j.
4. Cuando un credito entra en default se asume que se inicia un proceso de cobro
jurıdico que puede durar un perıodo de tiempo arbitrario. Al final del proceso de
cobro se liquida el bien dado en garantıa, si el credito tenıa una garantıa hipotecaria.
Si tenıa una garantıa personal se procede a rematar los bienes ofrecidos en garantıa
por el fiador. En caso de un cobro de tipo administrativo en lugar del judicial se
asume que el total recuperado consisten en los cobros con base en el embargo del
salario del deudor.
5. Los creditos activos se clasifican en cada mes j en una de las 7 categorıas, segun los
dıas de mora. El estado 7 es el de default.
6. El modelo planteado en este capıtulo se basa en la definicion de las 7 categorıas o
estados de mora, dadas en el Cuadro 6.1 a continuacion. Es claro que se pueden
modificar estas categorıas a un conjunto equivalente con menos mas categorıas.
Cuadro 6.1: Categorıas de Mora e Intervalos de Tiempo
categorıa intervalo en dıas
A mora entre 0 y 30 dıas
B mora entre 31y 60 dıas
C mora entre 61 y 90 dıas
D mora entre 91 y 120 dıas
E mora entre 121 y 150 dıas
F mora entre 151 y 180 dıas
G mora mayor o igual a 181 dıas (default)
Un credito empieza en el estado A y puede avanzar al estado siguiente o permanecer
en A. Esta condicion implica que un credito no puede transladarse en un mes a una
categorıa superior distinta de la inmediatamente superior, excepto si esta en la G
93
(default) ya que puede abonar o cancelar la totalidad de la mora y colocarse en una
cualquiera de las categorıas anteriores.
Definicion del Modelo
El modelo consiste en la definicion de la variable S que representa la perdida en un
portafolio de N creditos, debidas a incumplimiento de pagos en algunos de los creditos,
lo que implica la perdida monetaria del saldo de los mismos, disminuıda en un porcentaje,
correspondiente a una tasa de recuperacion.
Se asume que los dıas acumulados de mora (morosidad) en un credito cualquiera evolucio
nan aleatoriamente segun una Cadena de Markov finita homogenea , (Xn, n = 0, 1, . . .),
con espacio de estadosE = 1, 2, . . . , 7, y con una matriz de transicionesP , denominada
“matriz de rodamiento”. La cadena es irreducible, y todos los estados se pueden acceder
desde otro cualquiera. El numero de estados en E no es restrictivo, y se puede colocar
E = 1, 2, . . . , d en general.
Definicion 6.2.1. Matriz de Rodamiento. Las probabilidades de transicion entre los
estados en E conforman una matriz de 7 filas por 7 columnas, denominada Matriz de
Rodamiento, indicada por P . La entrada o celda correspondiente a la fila i y la columna
j se denota por Pi,j . Por ejemplo, P1,2 = 0.034 se interpreta diciendo que un credito
cualquiera, que se clasifico al inicio del mes en el estado A, se clasificara, al final del
perıodo, en el estado B, con una probabilidad de 3.4 %.
Las entradas de cada fila de la matriz de rodamiento indican las probabilidades que tiene
un credito de pasar del estado correspondiente a esa fila a otro cualquiera de los estados
permitidos, incluyento aquel en el que estaba inicialmente.
Ejemplo 6.2.1. Un ejemplo de matriz P es (6.5) dada a continuacion. Notese que P7,7 =
0.9665, que se interpreta como que al alcanzar un credito mas de 180 dıas de mora hay
una probabilidad de 96.65 % de que no se recupere y pase a cobro jurıdico.
94
P =
0.9681 0.0319 0 0 0 0 0
0.4503 0.3271 0.2226 0 0 0 0
0.2229 0.1963 0.1984 0.3824 0 0 0
0.1307 0.0608 0.0805 0.0881 0.6398 0 0
0.0874 0.0122 0.0427 0.0488 0.061 0.748 0
0.0590 0.0047 0.0094 0.0142 0.0354 0.0519 0.8255
0.0209 0.0007 0.0014 0.0036 0.0021 0.0048 0.9665
(6.5)
Definicion 6.2.2. Probabilidad de Default. La probabilidad de default de un credito
clasificado en una de las categorıas k = 1, 2, ..., 6, se define como la probabilidad de que
este llegue a la categorıa G en un tiempo mınimo, y esta dada por:
qk = P 7−kk,7 , k = 1, 2, ..., 6. (6.6)
El exponente 7 − k indica que la probabilidad es la celda (k, 7) de la potencia 7 − k
de la matriz de rodamiento P . Para el caso k = 7 el exponente es cero lo cual implica
que q7 = 1.0. En lo que sigue s = 1, 2, ..., N denota uno cualquiera de los creditos, con
categorıa de mora ks = 1, 2, ..., 6, 7.
Definicion 6.2.3. Tasa de Recuperacion. Se supone que el credito s entro al estado 7, no
hace ninguna abono y se inicia el proceso de cobro jurıdico. Definimos:
i) La variable V Gs denota el valor recuperado al final del proceso, cuando hay una
garantıa sobre un bien o una hipoteca. Se asume que esta variable es aleatoria.
ii) La variable C es el costo del proceso judicial. No es aleatoria.
iii) La variable Tf es la duracion de la liquidacion de la garantıa. Se asume aletoria.
iv) La variable Fs,Tfes el saldo a capital despues del perıodo Tf .
entonces la tasa de recuperacion para el credito s se define como la variable aleatoria
Us ∈ [0, 1]
Us =V Gs − C
Fs,Tf
. (6.7)
Denotamos la media y la varianza de Us por w, σ2, respectivamente. La variable Tf es
aleatoria y define la duracion del proceso de cobro jurıdico. Por tanto, la variable Fs,Tf
95
tambien es aleatoria. Representa el saldo en Tf , incluyendo los abonos que se hayan hecho
durante el proceso de cobro jurıdico ya que, cuando ocurren, se abonan a intereses y luego
a capital. Por este motivo estos abonos no se incorporan en la variable Fs,Tfcomo se hace
en algunas propuestas alternas a esta.
Adicionalmente se definen las variables Is como variables indicadoras, con valores 1,0,
tales que Is = 1 si el credito s, con estado ks ∈ E, llega a default en 7−ks meses, e Is = 0
si no ocurre este evento. Note que debe tenerse qks = P(Is = 1).
Se asume adicionalmente que las variables Is y Us estan correlacionadas negativamente,
con correlacion ρ. Este supuesto de correlacion negativa entre estas variables esta propuesto
en Altman, Brady, Resti, and Sironi (2002) y en Frye (2000), y se basa en suponer
que cuando la economıa entra en un perıodo de recesion, las probabilidades de default
deben aumentar y las tasas de recuperacion deben bajar, e inversamente, en perıodos de
recuperacion. Frye (2000) utiliza un modelo complejo, ajustado a los datos de default y
tasas de recuperacion, con el cual comprueba que es valida esta suposicion.
Definicion 6.2.4. Total de Saldos a Capital en Riesgo de no pago. Denote Fs es saldo
del credito s en la fecha de evaluacion de la provision, en la cual este credito tiene
clasificacion ks. La variable
Ys = Fs(1 − Us)Is, (6.8)
se denomina el sesimo saldo a capital en riesgo de incumplimiento. El Total de Perdidas
del Portafolio se define como la variable S,
S =N∑
s=1
Ys =N∑
s=1
Fs(1 − Us)Is. (6.9)
El modelo en (6.9) no es un caso del Modelo de Riesgo Individual (6.1) porque Bs =
Fs(1 − Us) no es independiente de Is. Para E(S) se tiene
E(S) =N∑
s=1
E(FsIs(1 − Us))
=N∑
s=1
Fs(E(Is) − E(IsUs))
=N∑
s=1
(1 − w)qksFs − ρσ√qks(1 − qks)Fs. (6.10)
96
Si se asumiera que la tasa de recuperacion es una constante en lugar de una variable
aleatoria entonces se tendrıa σ = 0 y Us = w. La expresion (6.10) anterior quedarıa igual
a:
E(S) = (1 − w)N∑
s=1
qksFs. (6.11)
El factor 1 − w es la “perdida esperada de valor del activo en la eventualidad de default”
en terminos de la Superbancaria, ya que es igual a uno menos la tasa de recuperacion w,
es decir, es la “tasa de perdida esperada, dado el default” ( en la literatura en ingles, "loss
given default", LGD)
De acuerdo con la directiva de la Superintendencia Bancaria la expresion (6.12) es la
definicion de la provision. Sin embargo, la expresion (6.10) es mas exacta por cuanto
incorpora la desviacion estandar de la tasa de recuperacion. La expresion (6.12) subestima
la provision.
Comentarios adicionales
1. Hay que hacer claridad sobre la interpretacion de qks. No es la tasa de default. Es
la probabilidad de llegar al estado 7 desde el estado ks. La tasa de default para una
altura de mora determinada no se ha podido determinar. Una posible razon es que
las Entidades Crediticias buscan de manera prioritaria evitar el evento de default.
En caso de mora prolongada proceden a refinanciar modificando los terminos del
credito. La probabilidad qks es un reemplazo de la tasa default.
2. En los casos de los Capıtulos 2 y 5, la provision es equivalente a la prima. En el
caso de calcular esta por medio del principio del percentil la provision coincide con
el VaR(q). Utilizando una aproximacion Normal a la distribucion de S, la provision
como VaR(q) serıa entonces
V aR(q) = E(S) + zq
√V ar(S), (6.12)
donde, en el caso deUs constante e igual aw entoncesV ar(S) = (1−w)2∑N
s+1 qks(1−qks)F
2s . El valor zq es el percentil de probabilidad (1−q)% de una Normal Estandar
Z, con P(Z ≤ zq) = 1 − q.
3. En el caso de utilizar como provision (6.12), deberıa aplicarse un recargo, como en
el principio del valor esperado del Capıtulo 2, (2.16), pag. 21, entonces la provision
es Π = (1 + θ)E(S), con θ ∈ (0, 1).
97
4. En el documento de CreditMetrics, Gupton, Finger, and Bhatia (1997, cap.7,
sec.7.1.2, pag. 79) se reproducen los resultados del artıculo de Asarnow and Ed
wards (1995), sobre datos de prestamos bancarios en default con base en datos de
Moody’s. Con base en 831 prestamos comerciales en default se estudio la distribu
cion de la tasa de recuperacion, y se obtuvo el histograma que se reproduce en la
Grafica No 1 a continuacion:
Figura 6.1: Tasas de Recuperacion
La media de la tasa de recuperacion fue de 65.21 % y la desviacion estandar fue de
32.7 %. Con la notacion w = 0.6521, σ = 0.327, por tanto, 1 − w = 0.348. En el
estudio de CreditMetrics se hace enfasis en que no deberıan utilizarse estas cifras en
otras economıas, pero, mientras se inicia un proceso de recoleccion de informacion
para calcular adecuadamente la tasa de recuperacion, podrıa ser prudente tomar
un valor para la tasa de perdida 1 − w mayor de 0.34. Notese que asumiendo una
distribucion uniforme σ = 0.29.
6.3. El Modelo Credit Risk+
El modelo Credit Risk+ fue introducido por el Banco Credit Suisse en 1997, para cuan
tificar perdidas por riesgo de creditos en bonos y CDT, pero no de creditos bancarios.
Es un modelo que retoma un modelo utilizado en la industria del Seguro de Bienes o
98
danos, denominado el Modelo de Riesgo Individual.
El objetivo es modelar el costo total de un portafolio de m creditos de tal forma que la
probabilidad de incumplimiento de un credito cualquiera depende de factores globales,
o riesgo sistematico, y de un factor propio, o riesgo nosistematico. El modelo se describe
a continuacion. Esta seccion se basa en Gutierrez and Elizondo (2004, Cap. 4)
Variables Indicadoras de Default
a) Un vector de variables Gamma independientes de dimension p , X = (X1, . . . , Xp)′,
define el efecto de p factores sistemicos sobre la tasa de default o incumplimiento.
b) Se define la tasa de incumplimiento λi, del iesimo credito, de la forma, λi = λi(X) =
kiw′
i X , para ciertas constantes ki ∈ (0, 1), y vectores w′i = (wi1, . . . , wip)
′, satisfa
ciendo∑p
j=1wij = 1,
c) La variables Xi ∼ Gamma(αi, βi), independientes, con parametros αi = σ−2i , βi =
σ2i , luego E(Xi) = αiβi = 1 y V ar(Xi) = αiβ
2i = σ2
i , para ciertas σi > 0, con lo cual
se garantiza que E(λi(X)) = ki.
d) Se define Yi tal que Yi|X ∼ Bin(1, λi(X)) para i = 1, . . . , m, variables condicional
mente independientes, que describen el evento de incumplimiento Yi = 1 en el credito
iesimo. Entonces, P (Yi = 1) = E(Yi) = E(E(Yi|X)) = E(kiwi′X) = ki.
e) Se supone ademas que las tasas cumplen λi(X) ≈ 0.
f) SiY es una variable aleatoria discreta, se define la funcion generadora de probabilidades
(fgp) como F (z) = E(zY ) =∑
yizyiP(Y = yi).
g) La fgp de Yi|X es:
Fi(z|X) = 1 − λi(X) + λi(X)z
= 1 + λi(X)(z − 1).
h) Entonces, utilizando ln(1 + x) ≈ x para x ≈ 0, se tiene, asumiento (z− 1)λi(X) ≈ 0
que
Fi(z|X) = exp(ln(1 + λi(X)(z − 1)))
≈ exp(λi(X)(z − 1)),
es decir, Yi|X ∼ Poisson(λi(X)).
99
i) Defina Y =∑m
i=1 Yi. Los eventos de default Yi son condicionalmente independientes
dado X , luego se cumple :
Y |X =m∑
i=1
Yi|X ∼ Poisson
( m∑
i=1
kiwi′X
). (6.13)
j) Defina λ(X) =∑m
i=1 λi(X). Se tiene que:
λ(X) =m∑
i=1
kiwi′X =
m∑
i=1
ki
p∑
j=1
wijXj
=
p∑
j=1
Xj
(m∑
i=1
kiwij
)=
p∑
j=1
ajXj , con aj =m∑
i=1
kiwij
= a′X, con a = (a1, . . . , am)′.
Entonces Y |X ∼ Poisson(λ(X)
)= Poisson(a′X)
Calculo de la fgp de Y
Para encontrar la distribucion de la variable Y y otras se requiere la funcion generadora
de probabilidades.
Definicion 6.3.1. La fgp de una variable aleatoria S discreta con valores en 0, 1, . . . y
fdp P (S = k) = pk, se define como la serie de potencias
gS(z) =
∞∑
k=0
pkzk = E(zS). (6.14)
Como∑∞
k=0 pk = 1, se tiene que para |z| ≤ 1, la serie (6.14) es absolutamente convergente
y por tanto gS(z) es una funcion continua. Es decir, para cada pk, k ≥ 0, existe una fgp
gS(z) continua en [0,1].
1. La fgp es util porque se obtiene
pk =1
k!
dkgS(z)
dzk
∣∣∣∣z=0
, k = 0, 1, 2, . . .
Es decir, p0 = gS(0), p1 = g′
S(0), p2 = 12g
′′
S(0), . . .
100
2. Note que ademasdgS (z)
dz
∣∣∣z=1
= p1 + 2p2 + 3p3 + · · · = E(S) yd2gS (z)
dz2
∣∣∣z=1
=
E(S(S−1)) = E(S2)−E(S), con lo cual V ar(S) = E(S(S−1))+E(S)−E(S)2.
Se quiere encontrar la fgp de Y , gY (z) = E(zY ) = E(E(zY |X)).
Pero E(zY |X) = e(z−1)Pp
j=1ajXj . Entonces, como las Xj son independientes,
E(zY ) = E(e(z−1)Pp
j=1ajXj ) =
∏pj=1 E(e(z−1)ajXj)
=∏p
j=1
(1
1−σ2
j aj(z−1)
) 1
σ2j =
∏pj=1
(1−δj
1−δjz
) 1
σ2j , (6.15)
con δj = σ2jaj/(1 + σ2
j aj). Se concluye que Y es la suma de p variables aleatorias
independientes pues, si en general, se tiene una variable aletoria distribuıda Binomial
Negativa N ∼ BN(r, p) con P (N = k) =(
r+k−1k
)prqk, k = 0, 1, . . . , entonces su fgm
es MN (t) = ( p1−qet )
r, y su fgp es E(zN ) = ( 1−q1−qz
)r. En vista de (6.15) se puede expresar
Y =∑p
j=1 Nj donde Nj ∼ BN(σ−2j , 1 − δi) y las Nj son independientes.
Resumimos los resultados anteriores en la siguiente Proposicion.
Proposicion 6.3.1. Suponga que
1. Xj ∼ Gamma(σ−2j , σ2
j ), j = 1, . . . , p, independientes. Defina X = (X1, . . . , Xp)′.
2. wij ∈ (0, 1), i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p, con∑p
j=1 wij = 1.
3. aj =∑m
i=1 kiwij, j = 1, . . . , p, ki ∈ (0, 1) dados.
4. Yi|X ∼ Poisson(ki(w′i X)), condicionalmente independientes.
Si se define Y =∑m
i=1 Yi entonces se cumple
i) Y |X ∼ Poisson(a′X),
ii) Y =∑p
j=1 Nj, con Nj ∼ BN(σ−2j , (1 + σ−2
j aj)−1), independientes.
Definicion de las Perdidas Totales
Definicion 6.3.2. Si Yi es el evento default, la perdida en el credito i se define como viYi
y la del portafolio total es
S =
m∑
i=1
viYi, (6.16)
donde Yi|X ∼ Poisson(λi(X)), λi(X) = kiw′i X .
101
Los coeficientes vi se definen de tal forma que sean multiplos de un mismo coeficiente v0.
Es decir, los montos de las perdidas estan discretizados. Ademas, notese que es posible
colocar λi(X) = ki(w0,i + w′i X) tales que w0,i + w1,i + · · · + wp,i = 1, donde w0,i es
un efecto de riesgo idiosincratico, no sistematico, w0,i ≥ 0, y los wi son los pesos que
relacionan los factores sistematicos con el credito i.
Notese que, con base en Yi|X ∼ Poisson(λi(X)), se puede calcular el valor esperado
de la perdida total como E(S) =∑m
i=1 viE(Yi) =∑m
i=1 viE(E(Yi|X)) =∑m
i=1 viki.
La fgp de las Perdidas Totales
Se trata de obtener la fgp de S en (6.16), E(zS). Pero E(zS) = E(E(zS |X)). Ademas,
E(zS |X) = E(zPm
i=1viYi|X) =
∏mi=1 E(zviYi |X), por la independencia condicional de
las Yi dado X .
Utilizando un resultado de la distribucion Poisson, siY ∼ Poisson(λ), entonces E(zvY ) =
eλ(zv−1). Por tanto, E(zviYi|X) = exp (λi(X)(zvi − 1)).
Por tanto, E(zS |X) =∏m
i=1 exp (λi(X)(zvi − 1)). Luego
E(zS) = E
(m∏
i=1
exp (λi(X)(zvi − 1))
)
= E
(exp
( m∑
i=1
λi(X)(zvi − 1)))
= E
(exp
( m∑
i=1
ki
( p∑
j=1
wijXj
)(zvi − 1)
))
= E
(exp
( p∑
j=1
Xj
m∑
i=1
kiwij(zvi − 1)
))
= E
(exp
( p∑
j=1
aj(z)Xj
))
=
p∏
j=1
E(eaj(z)Xj).
Aplicando una propiedad de la distribucion Gamma, si X ∼ Gamma(α, β) entonces su
fgm es igual a MX(t) = (1 − βt)α para t < 1/β. Como las Xj ∼ Gamma(σ−2j , σ2
j )
102
entonces E(eaj(z)Xj) = (1 − σ2jaj(z))
−1/σ2
j . Se obtiene finalmente la siguiente expresion
para la fgp de S.
E(zS) =
p∏
j=1
(1 − σ2
j
m∑
i=1
kiwij(zvi − 1)
)−1/σ2
j
. (6.17)
Calculo de la Distribucion de Probabilidades de S
Como se definieron las cantidades vj como multiplos de una cantidad fija, entonces los
valores de S son multiplos tambien de esta cantidad, y es posible calcular P (S = k) como
la probabilidad de una perdida igual a k unidades basicas.
Ejemplo
Para implementar el calculo de p(S = k) = pk a partir de gS(z) se requieren los siguentes
parametros.
1. El total de creditos , m
2. La unidad base de perdidas, v0 y el maximo imax
3. El numero de factores de riesgo sistematico, p
4. Las varianza de los factores de riesgo sistematico , σ2k, k = 1, . . . , p
5. Las ponderaciones de cada credito wij, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p
6. Las probabilidades de default , ki, i = 1, . . . , m
7. Maximo valor de creditos
El siguiente programa en R muestra los resultados de una simulacion, de acuerdo a los
parametros siguientes.
1. No de creditos: m = 300.
2. No de factores sistematicos: p = 2.
103
3. Matriz de ponderaciones w ∈ (0, 1)300×2, tal que w[, 1] es la primera columna con
los m/2 primeros valores iguales a 0.7, y los restantes iguales a 0.4, y w[, 2], la
segunda columna, con losm/2 primeros valores iguales a 0.3 y los restantes iguales
a 0.6.
4. El vector k ∈ (0, 1)m es un vector de tasas aleatorias uniformes entre 0.001 y 0.01.
5. Los valores de los creditos se asumen multiplos de 1 mill, y los multiplos son enteros
entre 1 y 20, distribuıdos segun una Binomial con parametros (m, 0.36).
6. Las variables Gamma se escogen segun la parametrizacion de R: “The Gam
ma distribution with parameters shape = a and scale = s has density”: f(x) =
1/(saΓ(a))xa−1e−(x/s). Se esogieron los valores σ21 = 7/10, σ2
2 = 3/10.
7. Finalmente se calcula la distribucion de S las perdidas totales en un perıodo de
tiempo, mediante simulacion con N = 1000 replicas. Y los VaR correspondientes
a las probabilidades de 0.95% y 0.99%, que resultaron en 33 mill y 43 mill,
respectivamente.
Los resultados se pueden apreciar en la Figura (6.2).
# ejercicio de simulacion Monte Carlo del modelo CreditRisk+
# parametros
m = 300 # No de creditos
p = 2 # No de factores sistematicos
w = mat.or.vec(m,p)
c1 = 0.7
c2 = 0.3
c4 = 0.4
c5 = 0.6
w[,1] = c(rep(c1,m/2),rep(c4,m/2)) # primera columna de w
w[,2] = c(rep(c2,m/2),rep(c5,m/2)) # segunda columna de w
c3 = 0.001
c6 = 0.01
k = runif(m,c3,c6) # vector k mx1
a = t(w)%*%k # vector a px1
104
# los valores de los creditos
imax = 20
v0 = 1.0e+06
p = 0.36
vi = v0*(1+rbinom(m,imax1,p))
# el vector X de efectos sistemicos exogenos
sigma2.1 = 7/10
sigma2.2 = 3/10
X = mat.or.vec(2,1)
X[1] = rgamma(1,shape=1/sigma2.1,scale=1/sigma2.1)
X[2] = rgamma(1,shape=1/sigma2.2,scale=1/sigma2.2)
# generar las contingencias : si cada credito cumple o no
N = 10000
S = double(N)
Lj = k*w%*%X # vector de tasas default (mx1).(mxp)(px1)=mx1
for(j in 1:N)
Yj = rpois(m,Lj)
S[j] = sum(vi*Yj)
# mostrar resultados
par(mfrow=c(3,1))
barplot(table(vi),main = "Distribucion valores de los Creditos")
hist(Lj,50,main = "Distribucion de tasas de default")
hist(S[S > 0],50,main = "Distribucion de Perdidas")
(sum(vi)/1e+06)
(quantile(S,0.95)/1e+06)
105
3e+06 4e+06 5e+06 6e+06 7e+06 8e+06 9e+06 1e+07 1.1e+07 1.2e+07 1.3e+07
Distribución valores de los Creditos
010
2030
4050
Distribucion de tasas de default
Lj
Frequ
ency
0.002 0.004 0.006 0.008 0.010
02
46
810
Distribucion de Pérdidas
S[S > 0]
Frequ
ency
1e+07 2e+07 3e+07 4e+07 5e+07 6e+07
010
020
030
040
050
0
Figura 6.2: Resultados de Simulacion del Modelo CreditRisk+
106
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Indice alfabetico
Aproximacion CornishFisher, 17
Asimetrıa
Distribucion Poisson Compuesta, 14
Aversion al Riesgo, 22
Calculo del VaR
con el supuesto Normal, 38
por metodo CornishFisher, 38
por metodo MonteCarlo, 38
por simulacion historica, 38
usando Teorıa de Valores Extremos, 39
Cadena de Markov, 93
Capital en Riesgo, 41
Caracterısticas Empıricas de los Rendimien
tos, 44
Categorıas de Mora, 92
Coeficiente beta de una accion, 36
Coeficiente de Ajuste, 11
Coeficiente de Asimetrıa, 13
Coeficiente de Curtosis, 13, 45
Comite de Basilea II, 66
Curtosis
Distribucion Poisson Compuesta, 14
Distribucion
Gumbel, 71
LogNormal, 71
de error generalizado, 48
Frechet, 76
Gamma, 72
Gamma Transladada, 17
GED, 58
Gumbel, 76
Inversa Gaussiana, 72
leptocurtica, 45
NIG, 57
Pareto, 72
Pareto Generalizada, 77
t de Student Asimetrica, 60
Weibull, 71, 76
Distribucion Compuesta, 13, 69
Distribucion Compuesta Poisson, 13
Distribuciones de Valor Extremo, 76
Estadıstico de Hill, 81
Estimador de Hill, 81
Funcion de Variacion Regular, 76
funciones de variacion regular, 75
Hechos estilizados, 44
Hechos estilizados
112
113
Asimetrıa, 45
Asimetrıa de la volatilidad, 46
Ausencia de Autocorrelacion, 45
Colas pesadas, 45
Decaimiento lento a cero de la autoco
varianza, 46
Efecto de la Escala de Tiempo, 45
Heterocedasticidad de la Varianza, 45
Intermitencia de la Volatilidad, 46
Metodo de Aproximacion
Gamma trasladada, 17
Normal, 16
NP, 16
recursivo de Panjer, 18
Marcha Aleatoria, 46
Marcha Aleatoria Detenida, 9
Marcha Aleatoria LogNormal, 47
Matriz de Rodamiento, 93
Medida Coherente de Riesgo, 39
Modelo CreditRisk+, 100
Modelo de Riesgo Colectivo, 10
Modelo de Riesgo Individual, 90
Modelo SARC, 95
Modelos Lineales Generalizados, 15
Momentos
de la t de Student Asimetrica, 60
Momentos de la Distribucion Poisson Com
puesta, 14
Prima
Principio de Perdida Maxima, 21
Principio de Valor Esperado, 21
Principio del Percentil, 21
Principio Exponencial, 22
Prima de un Seguro General, 20
Principios de Calculo de Primas, 20
Principios de Calculo de Primas
propiedades, 23
Probabilidad de Default, 94
Proceso
ARCH(p), 48
EGARCH(p,q), 52
GARCH(p,q), 50
Rendimiento
logarıtmico, 32
porcentual, 32
Rendimiento Logarıtmico, 46
Rendimientos de un Portafolio, 33
Subaditividad, 39
Suma aleatoria de variables aleatorias, 9, 69
Teorıa CAPM, 35
Teorıa de Valores Extremos, 75
Teorema
de FisherTippett, 76
de Pickands Balkema de Haan, 77
Teorema de Gnedenko, 76
Valor de un Portafolio, 33
Valor en Riesgo
Definicion, 37
Varianza
Distribucion Poisson Compuesta, 14
Vida Media Residual, 80
Vida Media Residual Empırica, 80