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Diplomado de estrategias para la enseñanza efectiva de las matemáticas

Módulo 5. Resolución efectiva del problema

Presentación

Uno de los de los dilemas de la enseñanza de las matemáticas ha sido si un ejercicio matemático debe llamarse problema. A esta inquietud Pólya (1965) responde con el

siguiente argumento:

Un problema es definido como tal cuando no tiene una solución inmediata, sin

embargo, hay infinidad de ejercicios matemáticos que no tienen una solución

inmediata y que requieren de más recursos metacognitivos para resolverse.

Por tanto, desde esta perspectiva, y para efectos del desarrollo de la serie de contenidos que se verán en el módulo se llamarán problemas a los ejercicios o planteamientos

que cotidianamente el alumno tiene que resolver en la clase de matemáticas.

Antes de que el profesor seleccione los problemas que resolverán sus alumnos es fundamental que considere algunos de los puntos que se han estudiado en los módulos anteriores tales como:

Seleccionar temas que sean significativos para los alumnos.

Asegurarse que el alumno active los conocimientos previos que

requiere.

Ofrecerle al alumno estrategias o tips para apoyarlos en la

resolución de los problemas.

Motivar al alumno constantemente por pequeños que sean sus

logros o progresos.

Construir un ambiente de aprendizaje propicio.

La intención del docente al seleccionar un problema determinado supone un claro entendimiento de lo que se pretende obtener, ya que de esta manera, es posible determinar claramente si se ha logrado el aprendizaje esperado.

A continuación se propone una clasificación y su jerarquía para la selección de

problemas:


Información correspondiente a cada uno de los botones interactivos:

1. Problemas entrenadores de procedimientos

¿Para qué sirven? ¿Cómo se desarrollan fuera y dentro del aula?

Fortalecen la comprensión

del procedimiento de

solución del problema.

1. El profesor selecciona un grupo de problemas

dosificados de menor a mayor nivel de dificultad para que

sean resueltos por el alumno en forma individual. Mientras

el alumno los desarrolla el profesor supervisa el

desempeño del alumno y atiende sus dudas.

2. Una vez que el alumno realizó la actividad anterior…

El profesor aplica otro ejercicio con problemas que

no estén ordenados de acuerdo a la complejidad,

con el propósito de que el alumno logre seguridad

al enfrentarse a cualquier tipo de problema.

El profesor supervisa el desempeño del alumno y

resuelve sus dudas.

Es posible que en este punto el profesor ya sepa

qué alumnos han tenido un mayor avance por lo

que puede realizar esta actividad en equipos donde

el líder sea un alumno avanzado, de esta manera la

supervisión y resolución de dudas será más

eficiente.

3. Es pertinente que el alumno lleve tarea a casa.

Se recomienda que la tarea no sea exhaustiva y que

esté dosificada con problemas de menor a mayor

nivel de dificultad, de esta manera se ayuda a

disminuir la frustración y ansiedad matemática.


También es relevante incluir las respuestas de los

problemas de las tareas, de esta manera se le

induce a que aprenda a monitorear su propio

aprendizaje.

2. Problemas analíticos y de contexto


Permiten monitorear el

grado de comprensión que,

sobre un tema, ha logrado

un alumno ya que lo

desafían a que haga la

transferencia de esos

conocimientos a contextos

cotidianos.

1. El profesor puede seleccionar o diseñar problemas

donde se apliquen los procedimientos ya aprendidos.

Por ejemplo , si un niño ya aprendió a sumar y restar

entonces es momento para que aplique estos

procedimientos en contextos cotidianos, tales como:

“Si Pedro tiene 50 pesos y Juan le pide 15 pesos, ¿Cuánto

le quedará? Y si después su papá le regala 23 pesos

¿Cuánto le quedará? ”

Si el alumno analiza y determina correctamente cuál

operación matemática realizará en cada situación del

problema, entonces podríamos concluir que no mecanizó

el tema, sino que hubo una comprensión del mismo, es

decir, el aprendizaje fue ¡ significativo !

Es conveniente que los problemas sean dosificados, de

menor a mayor nivel de dificultad.

2. Es pertinente que el alumno lleve tarea a casa.

Se recomienda que la tarea no sea exhaustiva y que

esté dosificada con problemas de menor a mayor

nivel de dificultad, de esta manera se ayuda a

disminuir la frustración y ansiedad matemática.

También es relevante incluir las respuestas de los

problemas de las tareas, de esta manera se le

induce a que aprenda a monitorear su propio

aprendizaje.


3. Ejercicios integradores


Permiten al alumno

clarificar y diferenciar los

procesos de los diversos

tipos de problemas

abordados en clase.

Una vez que se abordaron los temas de una unidad

didáctica es importante que el profesor diseñe un

ejercicio integrador donde los problemas

seleccionados incluyan la utilización de todos los

tipos de problemas que se estudiaron y que se

consideren diferentes niveles de dificultad.

Es deseable que el ejercicio incluya soluciones para

que el estudiante monitoree su propio aprendizaje.

También se recomienda que el ejercicio se realice

en parejas o en triadas conformadas de tal manera

que haya un alumno avanzado, de esta forma, el

profesor puede supervisar y ayudar más

eficientemente a los aprendices más atrasados.

4. Problemas de currículo integrado


Permiten al alumno la

aplicación de los temas

aprendidos, a otras

disciplinas.

El estudio de este tipo de problemas se revisará

más adelante en este módulo.

Antes de iniciar con el Tema 1 de este módulo es importante hacer énfasis en la información mencionada por Piaget (1989):

Es necesario:

estudiar los errores de los alumnos y ver en ellos un

medio de conocer su pensamientos matemático;

impulsar a la práctica del control personal y a la

autocorrección;

dar el sentido de la aproximación…;

dar prioridad a la reflexión y el razonamiento…

* Fuente: Piaget (1989), Oficina Internacional de Educación y UNESCO, sesión 1956, artículo 22, recomendación 43, p. 59.


Ahora bien, una vez seleccionado el tipo de problema es importante que el alumno reconozca qué estrategias puede seguir para resolverlo. Este tema será tratado en el

módulo que veremos a continuación.

Objetivos y temas

Objetivo del módulo

Al término del módulo el participante:

1 Comprenderá los lineamientos del pensamiento crítico aplicables en la enseñanza de las matemáticas.

2 Comprenderá los conceptos englobados en el constructo “Pensamiento Creativo” para utilizarlos como estrategias en la enseñanza efectiva de las matemáticas.

3 Analizará los elementos que se deben tomar en cuenta para plantear problemas en el aula.

4 Conocerá los principios del aprendizaje basado en problemas y del aprender haciendo.

5 Conocerá la metodología de Pólya para la resolución efectiva de problemas.

Los temas que permitirán cubrir el objetivo de este módulo son los siguientes:

Temas

Tema 1. Pensamiento crítico

1.1 Estándares intelectuales universales

1.2 Los pasos hacia el desarrollo del pensamiento crítico

Tema 2. Pensamiento creativo

2.1 La creatividad y su estimulación

2.2 El pensamiento creativo

2.3 Características esenciales del pensamiento creativo

2.4 Las etapas del proceso creativo

2.5 El método creativo

Tema 3. Planteamiento y resolución de problemas

3.1 Por qué y cómo formular un problema

3.2 Resolución de problemas en el aula

Tema 4. Pasos de Pólya

Conclusiones

http://www.cca.org.mx/ps/profesores/cursos/depeem/html/contenidos/modulo5/tema2.htm





Tema 1. Pensamiento crítico

Empecemos este tema explicando por qué es importante el Pensamiento crítico.

Se debe tomar el reto de explorar el origen del ser crítico y creativo en la actividad

consciente e intencional, y tratar de descubrir algunas implicaciones personales,

grupales y sociales del desarrollo de estas potencialidades en los alumnos.

El principal problema que se presenta al considerar el pensamiento crítico como una

herramienta de enseñanza-aprendizaje es que todo mundo piensa:

“es parte de nuestra naturaleza”


… y no se toma en cuenta que, mucho de nuestro pensar, por sí solo, es:

arbitrario,

distorsionado,

parcializado,

desinformado o

prejuiciado.

Hay que tomar en cuenta que

Veamos cómo se define pensamiento Crítico

Podemos definir pensamiento crítico de la siguiente manera:

El pensamiento crítico es ese modo de pensar – sobre cualquier tema,

contenido o problema – en el cual el pensante mejora la calidad de

su pensamiento al apoderarse de las estructuras inherentes del

acto de pensar y al someterlas a estándares intelectuales.

Es decir, permite el desarrollo de estructuras de pensamiento que consideran no sólo el conocimiento en sí mismo, sino que lo amplían en los aspectos que lo rodean desde su

generación hasta su evaluación.

Un pensador crítico:


Formula

problemas y

preguntas

vitales, con

claridad y

precisión.

Acumula y evalúa

información

relevante, y utiliza

ideas abstractas para

interpretar esa

información

efectivamente.

Llega a

conclusiones y

soluciones, probándolas con

criterios y

estándares

relevantes.

Piensa con una mente

abierta dentro de los

sistemas alternos de

pensamiento; reconoce y

evalúa, según es necesario,

los supuestos,

implicaciones y

consecuencias prácticas.

Al idear soluciones a

problemas complejos se

comunica

efectivamente.

En resumen, el Pensamiento crítico:

Es auto-dirigido, auto-disciplinado, autorregulado y auto-

corregido.

Supone someterse a rigurosos estándares de excelencia y a un

dominio consciente de su uso.

Implica comunicación efectiva y habilidades de solución de

problemas y;

Ayuda a superar el egocentrismo y socio centrismo natural del

ser humano.

A continuación veamos cómo funciona el mecanismo de acción del Pensamiento crítico.

Con la finalidad de ilustrar de una forma más sencilla el mecanismo de acción del Pensamiento crítico, utilizaremos una lista de cotejo para razonar:


Una vez estudiados los elementos que componen el mecanismo del Pensamiento crítico, veamos qué preguntas responden a cada uno de ellos.


1. Todo razonamiento tiene un PROPÓSITO:

Dé oportunidad al alumno de:

2. Todo razonamiento es un intento de solucionar un problema, resolver una

pregunta o explicar algo.

Dé al alumno el tiempo necesario para:

Tomarse el tiempo necesario para expresar su propósito con claridad.

Distinguir su propósito de otros propósitos relacionados.

Verificar periódicamente que continúa enfocado.

Escoger propósitos realistas y significativos.

Expresar la pregunta en cuestión.

Formular la pregunta de varias formas para clarificar su alcance.

Seccionar la pregunta en subpreguntas.

Identificar si la pregunta tiene sólo una respuesta correcta, si se trata de una

opinión o si requiere que se razone desde diversos puntos de vista.


3. Todo razonamiento se fundamenta en SUPUESTOS.

4. Todo razonamiento se hace desde una PERSPECTIVA.

5. Todo razonamiento se fundamenta en DATOS, INFORMACIÓN y EVIDENCIA.

6. Todo razonamiento se expresa mediante CONCEPTOS e IDEAS que,

simultáneamente le dan forma.

7. Todo razonamiento contiene INFERENCIAS o INTERPRETACIONES a través de

las cuales se llega a CONCLUSIONES que dan significado a los datos.

Permita al alumno identificar claramente los supuestos y determine si son

justificables.

Dé oportunidad para que considere cómo sus supuestos dan forma o

determinan su punto de vista.

Permita que el alumno identifique su punto de vista o perspectiva.

Propicie que busque otros puntos de vista e identifique sus fortalezas y sus

debilidades.

Motívelo a esforzarse por ser parcial al evaluar todos los puntos de vista.

Ayude al alumno a limitar sus afirmaciones a aquellas apoyadas por los datos

que tenga.

Rételo a que recopile información contraria a su posición tanto como

información que la apoye.

Asegúrese de que:

Toda la información usada es clara, precisa y relevante a la pregunta en

cuestión.

El alumno ha recopilado suficiente información.

Ayude al alumno a identificar los conceptos claves y rételo a que los explique

con claridad.

Propicie la consideración de conceptos alternos o definiciones alternas de los

conceptos.

Asegúrese de que el alumno usa los conceptos con cuidado y precisión.

Enseñe al alumno a inferir sólo aquello que se desprenda de la evidencia.


8. Todo razonamiento tiene un fin o tiene IMPLICACIONES y CONSECUENCIAS.

En un trabajo, actividad, lectura asignada o resolución de un problema los elementos del pensamiento utilizan las siguientes preguntas:

Elemento del pensamiento Preguntas que utiliza

Propósito

¿Qué trato de lograr?

¿Cuál es mi meta central?

¿Cuál es mi propósito?

Información

¿Qué información estoy usando para llegar a

esa conclusión?

¿Qué experiencias he tenido para apoyar

esta afirmación?

¿Qué información necesito para resolver esa

pregunta?

Inferencias/Conclusiones

¿Cómo llegué a esta conclusión?

¿Habrá otra forma de interpretar esta

información?

Conceptos

¿Cuál es la idea central?

¿Puedo explicar esta idea?

Verifique que las inferencias sean consistentes entre sí.

Identifique las suposiciones que lo llevan a formular sus inferencias.

Pida al alumno que esboce las implicaciones y consecuencias de su

razonamiento.

Permítale identificar las implicaciones positivas y negativas.

Motívelo a que considere todas las consecuencias posibles.


Supuestos

¿Qué estoy dando por sentado?

¿Qué suposiciones me llevan a esta

conclusión?

Implicaciones/

Consecuencias

Si alguien aceptara mi posición,

¿Cuáles serían las implicaciones?

¿Qué estoy insinuando?

Puntos de vista

¿Desde qué punto de vista estoy

acercándome a este asunto?

¿Habrá otro punto de vista que deba

considerar?

Preguntas ¿Qué pregunta estoy formulando?

Una vez visto esto, veamos qué papel juegan los Estándares intelectuales universales en el Pensamiento crítico.

1.1 Estándares intelectuales universales

Para ayudar a los estudiantes a aprenderlos, los profesores deben formular preguntas que:

Exploren su capacidad de pensar críticamente.

Provoquen que los estudiantes se responsabilicen por su pensamiento.


La meta final es que estas preguntas se fusionen en el proceso de pensar de

los estudiantes hasta que se conviertan en parte de su voz interior, lo que los

guiará a un mejor proceso de razonamiento.

Veamos cuáles son los Estándares intelectuales universales.

Algunos Estándares intelectuales universales y las preguntas que se pueden usar para aplicarlos son:


Al formularse con regularidad en el aula, se vuelvan parte de las preguntas que los

estudiantes necesitan formular.






Lograr integrar el Pensamiento crítico en el aula requiere de mucho trabajo, dominio

del tema y sobre todo de mucha paciencia. Por lo que constantemente surge la siguiente

pregunta:

A continuación veamos cuáles son los pasos hacia el desarrollo del Pensamiento crítico.

1.2 Los pasos hacia el desarrollo del Pensamiento crítico

Los expertos enumeran una serie de pasos que se debe seguir para llegar a ser un pensador maestro. Veamos el siguiente diagrama.


Lograr un nivel elevado de Pensamiento crítico requiere pensar críticamente en todos

los aspectos de la vida, desde los humanísticos hasta los matemáticos.

El verdadero valor del Pensamiento crítico estriba en las posibilidades de ampliar

la simple resolución de un problema a un horizonte de posibilidades en donde tiene

cabida la reflexión sobre las consecuencias e implicaciones de los procesos. Esto es

en sí mismo una gran ventaja que permite el desarrollo académico e intelectual de

los estudiantes.

Tema 2. Pensamiento creativo

En todos los momentos de la vida se presentan situaciones y problemas, los cuales requieren ser solucionados, y para que esto se dé...


El desarrollo de la creatividad es fundamental para enfrentar las situaciones cotidianas.

A lo largo de este tema abordaremos los aspectos, las características, las etapas del

Pensamiento creativo, así como algunas estrategias creativas para facilitar la interpretación

y el análisis de problemas.

Con la finalidad de entender el papel que juega el cerebro en el desarrollo de la creatividad veamos cómo trabajan los hemisferios cerebrales .

Los hemisferios cerebrales tienden a dividirse las principales funciones intelectuales; en

este sentido.

No obstante, investigaciones posteriores pudieron determinar que aunque cada lado del cerebro es dominante en actividades específicas, ambos están capacitados en todas las

áreas hallándose éstas distribuidas por toda la corteza cerebral.

2.1 La creatividad y su estimulación

La creatividad supone por lo menos tres condiciones:

Una idea o respuesta nueva debe ser producida.

Esta idea o respuesta debe resolver un problema o alcanzar cierta

meta, y

El conocimiento original debe ser mantenido y desarrollado al

máximo.

La creatividad se extiende en el tiempo en vez de limitarse en

un breve episodio, y se caracteriza por su originalidad ,

adaptación y realización.


También se considera la conducta creadora como la que es constituida por cualquier actividad en la que el hombre impone un nuevo orden sobre su medio ambiente , la

cual puede o no suponer la creación de una estructura organizada.

¿Cuáles son las características de una persona creadora?

Veámoslas a continuación.

En la Universidad de California han trabajado algunos investigadores durante muchos años en la estimación de aquellas características, que juntas, constituyen a la persona creadora.

Los resultados de estos estudios indican que la persona creadora raramente satisface el

estereotipo de ella hecho por el ego.

Otras características del individuo creativo son:

Conducta dominante. Alto nivel de energía que aporta a su trabajo. Inteligencia superior a la media, aunque la inteligencia sola no garantiza que se

tenga creatividad. Alto aprecio de los valores estéticos y teóricos. En los varones una falta de interés por representar el papel masculino. Introversión, en vez de extroversión. Independencia de pensamiento y acción. Trabajo académico superior al medio.

Veamos algunas definiciones de Pensamiento creativo.


2.2 El pensamiento creativo

El Pensamiento creativo se puede definir de varias maneras.

Halpern (1984) afirma que "se puede pensar de la creatividad como la habilidad de formar nuevas combinaciones de ideas para llenar una necesidad", incorporando las

nociones de pensamiento crítico y de pensamiento dialéctico.

Por su parte, Barron (1969) explica que:

Perkins (1984) destaca una característica importante del pensamiento creativo:

Perkins implica que para enseñar creatividad, el producto de los alumnos deber ser el

criterio último. Sin embargo, sin importar lo divergente del pensamiento de diferentes alumnos, éste da pocos frutos si no se traduce en alguna forma de acción.


En este sentido, los aspectos del pensamiento creativo son :

La creatividad tiene lugar en conjunto con intenso deseo y preparación.

Una falacia común acerca de la creatividad es que ésta no requiere trabajo y

pensamiento intenso. Harman y Rheingold (1984) notan que las precondiciones usuales

de la creatividad son un aferramiento prolongado e intenso con el tema. Citan al gran

compositor Strauss diciendo:

"Puedo decirte de mi propia experiencia que un deseo ardiente y un

propósito fijo, combinado con una intensa resolución traen resultados. El

pensamiento concentrado y determinado es una fuerza tremenda"

La creatividad incluye trabajar en el límite y no en el centro de la propia capacidad.

Dejando de lado el esfuerzo y el tiempo, los individuos creativos están prestos a correr

riesgos al perseguir sus objetivos y se mantienen rechazando alternativas obvias,

porque están tratando de empujar los límites de su conocimiento y habilidades.

Los pensadores creativos no se satisfacen simplemente con "lo

que salga". Más bien, tienen la necesidad siempre presente de

"encontrar algo que funcione un poco mejor, que sea más

eficiente, que ahorre un poco de tiempo."


La creatividad requiere un locus interno de evaluación en lugar de un locus externo.

Subyacente a la habilidad de la gente creativa para correr riesgos se encuentra una

confianza en sus propios estándares de evaluación.

Los individuos creativos buscan en sí mismos y no en otros la

validación y el juicio de su trabajo.

La persona creativa tolera y con frecuencia conscientemente busca

trabajar solo, creando una zona de tope que mantiene al individuo

en cierta manera aislado de las normas, las prácticas y las

acciones.

No es sorprendente entonces que mucha gente creativa no sea bien

recibida de inicio por sus contemporáneos.

Relacionada estrechamente con el locus de evaluación, está la cuestión de la motivación.

La creatividad incluye reformular ideas.

Este aspecto de la creatividad es el que más comúnmente se enfatiza, aunque los

teóricos lo abordan de diferentes maneras.

Para comprender cómo se reformula una idea, debemos considerar primero cómo se

estructura.


La gente usa esquemas para encontrar sentido al mundo.

La base de toda

nuestra

percepción y

comprensión del

mundo.

La raíz de

nuestro

aprendizaje.

La fuente de todas las

esperanzas y

temores,

motivos y

expectativas.

Característicamente, la persona creativa tiene la habilidad de mirar

el problema desde un marco de referencia o esquema y luego de

manera consciente cambiar a otro marco de referencia, dándole

una perspectiva completamente nueva. Este proceso continúa hasta

que la persona ha visto el problema desde muchas perspectivas

diferentes.

Cuando las tácticas analíticas o inferenciales directas fallan en producir una solución creativa, la persona creativa con frecuencia forja lazos con diferentes estructuras. En la medida que estas estructuras son elaboradas pueden salir nuevas y poderosas

soluciones. Por ejemplo:

Los científicos que desarrollaban la teoría de la electricidad lograron

un gran avance cuando descubrieron las similitudes existentes entre

la estructura de la electricidad y la de los fluidos.

La imaginería creativa de la poesía con frecuencia incluye el uso de

la metáfora y la analogía.

Si queremos desarrollar el pensamiento creativo de los

alumnos debemos plantear actividades que les posibiliten

descubrir similitudes entre eventos y entidades que

comúnmente no están relacionadas.


La creatividad algunas veces puede ser estimulada alejándose por un momento de la

involucración intensa para permitir que el pensamiento fluya con libertad.

Algunos teóricos han señalado las formas en que la gente creativa bloquea

distracciones externas, permitiendo que los insights lleguen a la conciencia. Por

ejemplo:

Stein (1974) señala que bajaba las persianas durante el día

para evitar la luz ;

A Proust le gustaba trabajar en un cuarto aislado con corcho;

Ben Johnson escribía mejor cuando bebía té y disfrutaba el

olor de las cáscaras de naranja.

Enseñar pensamiento creativo requiere el uso de actividades que fomenten

en los alumnos el ver las similitudes en eventos y entidades que comúnmente

no están unidos.

El principio de trabajo subyacente a todos estos esfuerzos era crear una atmósfera en la cual el pensamiento inconsciente pudiera llegar a la superficie.

Los grandes descubrimientos científicos han ocurrido durante períodos de

“pensamiento inconsciente”.

Las explicaciones a estos fenómenos son diversas.

Harman y Rheingold (1984) afirman que la mente inconsciente procesa mucha más información que lo que nos damos cuenta; tiene acceso a información imposible de

obtener a través del análisis racional.

Por implicación entonces, la mente inconsciente se enfrasca en una manera mucho más comprensiva y diferente de procesar que la mente consciente. Por lo tanto

deberíamos de tratar activamente de desarrollar técnicas (como la meditación) para tener acceso al inconsciente, ya que éste es una fuente de información que de otra manera es inaccesible.

Sin importar si la mente inconsciente realmente procesa información o si lo hace tan rápido que no nos damos cuenta, mucha gente creativa encuentra que cuando dejan de trabajar en un problema por un tiempo, algunas veces obtienen nuevas y útiles

perspectivas.

Una vez vistos los aspectos, veamos las características del Pensamiento creativo.


2.3 Características esenciales del pensamiento creativo

Es importante tomar en consideración que desarrollar la creatividad no es sólo emplear técnicas atractivas o ingeniosas por sí mismas; desarrollar la creatividad implica incidir sobre varios aspectos del pensamiento; las cuatro características más importantes del

pensamiento creativo son:


Fluidez

Se refiere a la capacidad de generar una cantidad considerable de ideas o

respuestas a planteamientos establecidos.

En este caso se busca que el alumno pueda utilizar el pensamiento divergente, con la intención de que tenga más de una opción a su problema; no siempre la primera respuesta es la mejor; estamos acostumbrados a quedarnos con la primera idea que se nos ocurre, sin ponernos a pensar si realmente será la mejor.

Por ejemplo: pensar en todas las formas posibles de hacer el festejo a Benito Juárez, no

sólo las formas tradicionales de eventos que siempre hemos practicado.

Flexibilidad

Considera manejar nuestras alternativas en diferentes campos o categorías de respuesta; es voltear la cabeza para otro lado buscando una visión más amplia o

diferente a la que siempre se ha visto.

Por ejemplo: pensar en 5 diferentes formas de combatir la contaminación sin requerir dinero; es posible que todas las anteriores respuestas sean soluciones que tengan como eje la compra de equipo o insumos para combatir la contaminación, y cuando se les hace esta pregunta los invitamos a ir a otra categoría de respuesta que nos da alternativas diferentes para seleccionar la más atractiva.

Originalidad:

Este es uno de los aspectos más característicos de la creatividad y consiste en pensar en ideas que no se le han ocurrido a nadie, o bien visualizar o resolver problemas de manera

diferente. La originalidad trae como consecuencia la innovación.

Por ejemplo: si se pide a los alumnos que sumen 125 y 432 puede ser que la gran mayoría haga la suma de manera directa y diga “es igual a 557; pero puede haber alguno que separe cada número en unidades, decenas y centenas para facilitar el cálculo:


100+20+5+400+30+2 = 500+50+7=557. Esta puede ser una manera original o diferente para resolver el mismo problema.

Elaboración

Consiste en añadir elementos a las ideas que ya existen, modificando alguno de sus

atributos. Esto se observa de manera notable en los avances tecnológicos e industriales.

Por ejemplo: la evolución de la computadora, desde las que usaban tarjetas perforadas, a las actuales, que son pequeñas y veloces.

Existen otras características del pensamiento creativo, sin embargo, las cuatro anteriores son las que más lo identifican.

Una producción creativa tiene en su historia de existencia momentos en los que se

pueden identificar las características antes descritas, aunque físicamente en el producto sólo podamos identificar algunas de ellas.

Esto significa que la creatividad no se da por generación espontánea, existe un camino en la producción creativa que podemos analizar cuando revisamos las etapas del proceso

creativo.

2.4 Las etapas del proceso creativo

El proceso creativo ha sido revisado por varios autores, encontramos que los nombres y el número de las etapas pueden variar entre ellos, pero hacen referencia a la misma categorización del fenómeno.

En este apartado tomaremos las etapas del proceso creativo más comunes, aquéllas

que en el trabajo con niños se han identificado plenamente:



Se identifica como el momento en que se están revisando y explorando las características de los problemas existentes en su entorno, se emplea la atención para pensar sobre lo

que quiere intervenir.

Algunos autores llaman a esta etapa de cognición, en la cual

los pensadores creativos sondean los problemas.

Se genera todo un movimiento cognoscitivo, donde se establecen relaciones de todo tipo entre los problemas seleccionados y las posibles vías y estrategias de solución ; se

juega con las ideas desde el momento en que la solución convencional no cubre con las

expectativas del pensador creativo.

Existe una aparente inactividad, pero en realidad es una de las etapas más laboriosas, ya que se visualiza la solución desde puntos alternos a los convencionales .

La dinámica existente en esta etapa nos lleva a alcanzar un porcentaje elevado en la consecución del producto creativo y a ejercitar el Pensamiento creativo, ya que se utilizan:

analogías

metáforas

la misma ingeniería

el empleo de imágenes y

símbolos

para encontrar la idea deseada.

Algunos autores denominan a esta etapa como de combustión de las ideas .

Perkins (1981 ), citado en Gellatly (1997) sugiere una visión alternativa de la incubación,


El objetivo fundamental de la combustión es aumentar las alternativas de

solución que se tiene; las personas creativas se caracterizan por la habilidad

que tienen de generar fácilmente ideas alternativas.

Es el momento crucial de la creatividad, es lo que algunos autores denominan la concepción.

Es el eureka de Arquímedes, en donde repentinamente se

contempla la solución creativa más clara que el agua.

Es lo que mucha gente cree que es la creatividad: ese insight que sorprende incluso al propio pensador al momento de aparecer en escena, pero que es resultado de las etapas anteriores.

Es cuando se "acomodan" las diferentes partes del rompecabezas y resulta una idea

nueva y comprensible.

Es la estructuración final del proceso en donde se pretende poner en

acción la idea, para ver si realmente cumple con el objetivo para el cual

fue concebida; es el parámetro para confirmar si realmente la idea

creativa es efectiva o sólo fue un ejercicio mental.


Es importante mencionar que este proceso ayuda a visualizar las fases de producción de las ideas creativas, pero también nos permite pensar en las etapas que podemos

trabajar en el aula para:

Identificar si se está gestando alguna idea que pueda

llegar a ser creativa.

Saber en qué momento del proceso se encuentra cada

uno de nuestros alumnos.

Reconocer las necesidades de apoyo requerido para

enriquecer el proceso y lograr que el Pensamiento

creativo en el aula sea cada vez más cotidiano y efectivo.

Después de conocer las etapas del proceso creativo es importante tomar en cuenta los factores que influyen en el desarrollo del talento creador. Veámoslos a continuación.

Cantidad considerable de pruebas de investigación sugieren que intervienen tanto factores genéticos como del medio ambiente en el desarrollo de la facultad creadora.

La conducta se puede alterar por medio de la modificación

del medio ambiente en que vive el individuo.

Por consiguiente, resulta de importancia comprender algo acerca del tipo del medio ambiente en que viven las personas que tienen capacidad creadora y en el que se

han desarrollado sus facultades creadoras.

No es fácil para el ego apreciar la gran importancia que tienen los factores del medio ambiente en el desarrollo de las facultades creadoras.

Por ejemplo: cuando examinamos los antecedentes vitales de algunos de nuestros más

grandes compositores, vemos que:

Mantel tocaba el clavecín cuando sólo era un niño y que

componía a la edad de seis años.

Mozart tocaba el clavecín a la edad de 3 años, componía a

los 4 y andaba ya en giras musicales a la edad de 6 años.

Indudablemente estos hombres tenían las características

hereditarias requeridas para tal precocidad, pero sin la

estimulación del medio ambiente habría sido dudoso que


llegaran a desarrollar ese talento.

Otro de los factores que influyen en el desarrollo del talento creador es la cultura.

El ambiente cultural tiende a fomentar o retardar el desarrollo de determinadas clases de

talento creador.

Para investigar la relación existente entre el grado de trabajo creador y el grado en que determinadas culturas honran el talento creador Torrance (1965) se valió de

niños del primero hasta el sexto año en 11 diferentes culturas:

A los niños se les hizo pasar una prueba de pensamiento creador y su calificación fue

comparada con dos medidas del grado en que esas culturas honran el talento creador.

De los datos de este estudio podemos ver que,

De esta manera, dice Torrance que "lo que es considerado como honorable en un

país es también cultivado en ese mismo país".

Según Torrance "una de las formas en que una cultura honra el

talento creador se refleja en los ideales de los maestros de esa

cultura y la clase de conducta que estos favorecen o tratan de

combatir entre los niños".

El desarrollo de la capacidad creadora en los niños es uno de los objetivos

primordiales en las escuelas.

Gold ha formulado algunas directrices que pueden ser utilizadas por el personal de

las escuelas para fomentar el esfuerzo creador, que son:

Se necesita un medio que estimule el pensamiento

creador, cosa que parece ser esencial.


Es importante el sostenimiento de considerable

espontaneidad.

Reconocer los esfuerzos creadores del niño y reforzar su

capacidad creadora. Para que así el niño sienta

satisfacción personal de tener un espíritu creador.

Deben estimularse las contribuciones de grupo a la

capacidad creadora individual. El estímulo interpersonal

del esfuerzo creador nos hace prever que pueden aparecer

nuevas síntesis como resultado de las empresas de grupo.

La importancia de la comunidad entera como estímulo

para el esfuerzo creador.

Una vez desarrollada la creatividad veamos El método creativo, como una estrategia para la solución de problemas.

2.5 El método creativo

Una estrategia creativa es un conjunto de métodos o herramientas para facilitar la

interpretación, el análisis o el estudio de problemas o temas determinados. El método creativo, que se explica a continuación, es una de estas estrategias.

El método creativo puede ser utilizado para enfrentar problemas tan diversos como lo

son:

Las relaciones humanas

la competencia entre productos ,

las restricciones de espacio y presupuestales

la percepción ciudadana

y ¿por qué no? en la resolución de problemas matemáticos

complejos

El método creativo está fuertemente orientado al trabajo en grupo pero cuando se enfoca al trabajo individual también se conoce como Pensamiento horizontal .

Los pasos del Método creativo son:


El resultado final del método creativo es una propuesta de solución que

ha de implantarse.

Es importante señalar que el método creativo es una invaluable herramienta para las situaciones en las que se piense que no hay una solución posible o que no se tiene la

capacidad para resolver el problema.

Veamos el siguiente ejemplo.

Un ejemplo de cómo el Pensamiento creativo se diferencia de otras formas de resolver problemas y en qué situaciones se puede aplicar es el desarrollo del teléfono celular.

Para crear el teléfono celular,


Ahora bien, ¿qué factores se deben tomar en cuenta en la solución de un problema?

Los siguientes factores son importantes para lograr una solución óptima del problema:

Saber relacionar el problema con otras situaciones que

se hayan presentado.

Aprender todos los factores importantes que se relacionen

con el problema.

Por ejemplo,

• ¿Cuándo se presenta el problema?

• ¿Por qué no se ha podido resolver?

• ¿Qué soluciones se han intentado?

• ¿Cuáles son los recursos disponibles?

Aplicar criterios claros, de ser posibles cuantitativos, para

evaluar las diversas propuestas de solución.

Para finalizar es importante recordar que el Pensamiento creativo,

Es un don que tienen todas las personas, aunque


algunas, más desarrollado que otras debido a factores

culturales y genéticos, entre otros.

Actúa en conjunto con el pensamiento crítico para

encontrar soluciones nuevas a los diferentes

problemas que se presenten.

En dicho pensamiento influye la creatividad, la cual

se puede aprender y desarrollar, todo depende del

nivel de importancia que le asigne cada quien a su

ampliación de pensamientos.

No está en función de ninguna técnica en

particular.

Para que las personas sean creativas deben…

• estar motivadas

• contar con espacios abiertos donde puedan

expresarse

• trabajar en equipo

• comentar ideas y

• descansar

Tema 3. Planteamiento y resolución de problemas

3.1 Por qué y cómo formular un problema

Tal vez les ha pasado que estando frente a grupo explicando algún tema, por ejemplo, las divisiones con tres o cuatro dígitos en el divisor, se escuchan comentarios de los alumnos como: “y eso, ¿para qué me va a servir?”, sobre todo en los adolescentes. Lo peor que se puede hacer es responder “para que pases la materia” porque el móvil para el

“aprendizaje” será ese y no aprender significativamente.

El abuso de la algoritmia en la enseñanza de las matemáticas suele desmotivar al alumno por que siente que lo que está aprendiendo no le va a servir; es cierto que existen temas que no tienen una aplicación directa en la vida cotidiana, por ejemplo, las factorizaciones algebraicas, aunque son herramientas que permiten simplificar procesos matemáticos

más complejos y que se estudiarán en cursos superiores.

Por otro lado, existen temas de matemáticas que sí pueden ser vinculados con la realidad y relacionados con diversas ramas del conocimiento.


Uno de los axiomas que propone Prado (1996) en su trabajo “ 10 axiomas para aprender las matemáticas con imaginación y disfrutándolas ”, afirma que las matemáticas

deben ser aplicadas y útiles y que cuando cumplen con este requisito se incrementa la motivación intrínseca del alumno. Las matemáticas están presentes a nuestro alrededor, desde la matemática simple que utilizamos para realizar cuentas, hasta aquéllas que sustentan la estadística o la mecánica cuántica, desde la geometría antigua cuando el rectángulo de oro fue utilizado por los griegos en su arquitectura, hasta aquélla que fundamenta la arquitectura moderna.

La idea es seleccionar o diseñar problemas para un currículum integrado, es decir, aquéllos que estén vinculados con otras áreas del conocimiento y/o con la vida cotidiana; de esta manera el aprendizaje tendrá sentido o significado para el alumno, y tal vez, con un poco de suerte, logremos que se enamore de las matemáticas. Murillo y Brenes (1994) han afirmado que la enseñanza de las matemáticas debe centrarse en la solución de problemas y que el papel del profesor se centre en buscar situaciones problemáticas y

significativas para el alumno.

Seleccionar y diseñar problemas para un tratamiento interdisciplinario o transversal no es una tarea fácil, la mayoría de los libros están más enfocados a la algoritmia y, en muchos casos, se desconoce de una metodología para diseñar problemas que tomados de situaciones reales puedan trabajarse en el aula desde diversas perspectivas científicas y académicas.

Por otro lado, diseñar problemas para un currículum integrado puede ser una labor

creativa e interesante.

Campistrous y Rizo (1996) ofrecen cuatro puntos básicos para formular un problema:

La búsqueda ¿Sobre qué vamos a hacer el problema?

El planteo de la situación inicial ¿Qué voy a considerar conocido?

La formulación de preguntas ¿Qué quiero saber de lo conocido?

La resolución del problema ¿Cómo llego de lo conocido a lo desconocido?

Para que un problema se pueda trabajar desde la perspectiva de un currículum integrado, debe contar con las siguientes características.



Ser creativo

Desarrollar problemas en contexto en los que el alumno se sienta familiarizado y que esté

relacionado a otras disciplinas y/o a la vida cotidiana.

Tener propósito

Cumplir con un objetivo de aprendizaje donde el alumno pueda aplicar los contenidos

aprendidos

Proporcionar información suficiente

Para que el alumno pueda echar a andar sus recursos metacognitivos y que no se sienta

frustrado.

Tener soluciones congruentes

Tener una o varias soluciones congruentes al contexto mismo del problema.

Resolverse en equipo

Y que preferentemente puedan resolverse en forma colaborativa utilizando la técnica didáctica de aprendizaje basado en problemas.


Por ejemplo, una vez abordados los contenidos sobre las funciones lineales y cómo

construirlas a partir de un conjunto de puntos en el plano.

Un problema para un currículum integrado puede ser el siguiente:

Situación:

La mala alimentación es un problema que determina el sano desarrollo de las

personas jóvenes.

Problema:

Construyan un modelo matemático para determinar si tanto el grupo de mujeres

como el grupo de hombres de la clase se encuentran dentro de los estándares

normales en la relación de peso y estatura.

Al analizar el problema identificamos las siguientes características:

Característica del problema ejemplo

Característica para

ser un problema

para un currículum

integrado

El problema está vinculado a otra disciplina,

como lo es la nutrición; está contextualizado

en un tema de interés para los adolescentes.

El propósito del problema es que los alumnos

apliquen el tema de funciones a una situación

real.

Hay suficiente información para que el alumno

pueda plantear un plan de acción.


La solución es única en el grupo, pero varía si

se aplica en diferentes grupos. Los alumnos

deberán obtener información sobre la estatura

y peso de ellos mismos, por un lado las

mujeres y por otro, los hombres, graficar los

puntos en el plano cartesiano y elaborar el

modelo o función lineal, además, deben

investigar tablas sobre pesos y estaturas ideales

avaladas por la medicina que les sirvan de

referencia para compararse.

La comparación puede realizarse por medio de

la construcción de un modelo para los pesos y

estaturas ideales para luego analizar las

pendientes entre cada función que les permita

llegar a una conclusión; otra manera puede ser,

que sustituyan los valores de la tabla de datos

ideales y revisar si la predicción coincide con

lo dispuesto en esa tabla.

Si el grupo es muy grande se recomienda

dividir tanto a las mujeres como a los hombres

en equipos de 3 ó 4 personas para realizar esta

actividad.

Como puede observarse, este problema integra a las matemáticas con el área de la salud específicamente, la nutrición. Así como este problema podemos diseñar más, nuestra imaginación es el límite.

3.2 Resolución de problemas en el aula

Para poder desarrollar de mejor forma las actividades de aprendizaje a partir de la resolución de problemas, explicaremos dos técnicas didácticas que pueden ayudar a ello:

el Aprendizaje basado en problemas y Aprender haciendo.

Primeramente debemos decir que una actividad de aprendizaje es una tarea que el

alumno realiza con el propósito de cubrir un objetivo de aprendizaje; Woolfolk la define como:


“el trabajo que un estudiante realiza en el que se incluye el

contenido que se cubre y las operaciones mentales que se

requieren (1996, p. 368).

Para diseñar actividades de aprendizaje es necesaria la creatividad, el espíritu de investigación y los conocimientos sobre la materia que se imparte. Además, al momento de diseñar, deben considerarse los siguientes puntos:

¿Cuál es el objetivo de aprendizaje que se desea cubrir?

¿Qué habilidades, actitudes y valores se desea fomentar y/o desarrollar en el

alumno?

Generar lluvia de ideas.

Definir la actividad.

¿Qué trabajo o actividades debe realizar el profesor antes y durante el desarrollo de

la actividad?

¿Qué trabajo o actividades debe realizar el estudiante en el desarrollo de la

actividad?

¿Cómo valorará que la actividad cumplió las expectativas pedagógicas

predeterminadas?

Veamos un ejemplo. Haga clic aquí.

Información correspondiente al botón interactivo (aquí):

Ejemplo del diseño de una actividad de aprendizaje

Actividad. Calcular el área de un círculo

¿Cuál es el objetivo de aprendizaje que se desea cubrir?

Que el alumno pueda aplicar a una situación real el concepto y cálculo del área de un

círculo.

¿Qué habilidades, actitudes y valores se desea fomentar y/o desarrollar en el

alumno?

Habilidad para aplicar el tema del área a situaciones reales, dominar el proceso del

cálculo del área, tener una actitud positiva en el desarrollo de la actividad y fomentar el

valor del respeto a sus compañeros, a través del trabajo en equipo.

Lluvia de ideas para aplicar el concepto

Utilizar:

Platos

http://www.cca.org.mx/ps/profesores/cursos/depeem/html/contenidos/modulo5/tema4-6-ejemplo.htm


Cancha de basketbol o futbol

Sartenes

Pizzas

Engranes

Relojes

Definición de la actividad

Determinar cuál marca de pizza es matemáticamente la más cara. ¿Cuál es la más

cara?

¿Qué trabajo o actividades debe realizar el profesor antes y durante el desarrollo

de la actividad?

Antes de la actividad Durante el desarrollo de la

actividad

Formar equipos de 3 o 4

personas

Por medio del azar asignar

la marca de pizza a cada

equipo

De manera democrática, es

decir por mayoría, asignar

los ingredientes de la pizza.

( no más de dos)

Solicitar a cada equipo que

lleve una pizza grande con

los ingredientes acordados y

una cinta métrica muy

limpia. Es muy importante

que cada equipo cumpla con

lo solicitado.

Solicitar a los alumnos que

se agrupen con su respectivo

equipo.

Verificar que los alumnos

hayan llevado el material

solicitado.

Supervisar que todos se

involucren con la actividad y

que haya un ambiente de

respeto.

Aclarar dudas.

Registrar los hallazgos en el

pizarrón.

¿Qué trabajo o actividades debe realizar el estudiante en

el desarrollo de la actividad?


Comprender el objetivo

de la actividad.

Medir el diámetro de la

pizza con y sin orilla.

Calcular el área con y sin

orilla.

Determinar el precio por

cm. cuadrado con y sin

orilla.

Comparar y concluir.

¿Cómo valorará que la actividad cumplió las expectativas pedagógicas

predeterminadas?

Al observar que:

El alumno pudo calcular el área de la pizza por sí solo.

El alumno pudo idear que calculando el área por cm. cuadrado se obtiene un

parámetro de comparación entre las diferentes marcas.

El alumno pudo hacer conclusiones.

Veamos entonces cómo se pueden diseñar las actividades con el apoyo de dos

herramientas/técnicas didácticas.



Aprendizaje basado en problemas

Descripción

Una técnica muy efectiva para la enseñanza de las matemáticas es la del Aprendizaje basado en problemas, conocida también como ABP o PBL (Problem based learning) por

sus siglas en español e inglés.

El ABP es una técnica didáctica cuya estrategia de enseñanza–aprendizaje está centrada en la actividad del alumno y el papel del docente es ser facilitador del aprendizaje.

El principio básico consiste en enfrentar a un grupo de alumnos a un escenario en el cual puedan definir la “situación problema”. La idea es que el alumno aprenda a identificar,

definir y resolver problemas, tal como sucede en la vida real.

Metodología

La técnica de basa en el desarrollo de 7 pasos:

1. Conocer la situación o escenario.2. Realizar hipótesis, ideas y/o teorías de lo que cree que sucede y se necesita (lluvia

de ideas)3. Listar lo que conocen.4. Listar lo que desconocen.5. Desarrollar un enunciado del problema que se estudiará-resolverá.6. Realizar un plan de acción.7. Reunir y analizar información para llegar a un resultado.

Aprender haciendo o Learning by doing

Descripción Esta es otra técnica o herramienta didáctica, donde se propone que el alumno ponga en práctica sus conocimientos a través de situaciones concretas, por ejemplo, cuando se realizan prácticas de laboratorio en clase de química o bien cuando un chef realiza un platillo especial cuyo proceso de elaboración se abordó en clase.

Algunas de sus ventajas son:

Favorece el desarrollo del pensamiento lógico. Fomenta el interés y el desarrollo de actividades de investigación. Desarrolla la capacidad para utilizar modelos matemáticos en la interpretación y

solución de problemas de la vida diaria, de la tecnología y de la ciencia. Incrementa la formación integral del alumno. Fomenta el aprender por aprender.

Desarrolla el pensamiento crítico reflexivo en el proceso de aprendizaje.

Un ejemplo de una actividad del tipo aprender haciendo sería la siguiente:


Nombre de la actividad: “La tiendita”

Objetivo: que el alumno aplique las operaciones de suma, resta,

multiplicación y división en una situación real.

Materiales: dinero y artículos de despensa de juguete.

Desarrollo: los alumnos deben formar equipos de 3 ó 4 integrantes a los

cuales se les repartirá cierta cantidad de dinero. Se simulará la venta de

juguetes, cada uno de ellos deberá tener un precio. El objetivo es realizar

la mejor compra, es decir, comprar el mayor número posible de artículos

con el dinero que previamente se les dio. El profesor puede ser el

tendero.

Tema 4. El método Pólya

Para entender la importancia que tiene George Pólya en la enseñanza de las

matemáticas empecemos con una pequeña biografía:

Información correspondiente al botón interactivo:

George Pólya (1887 – 1985)

George Pólya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad.

Fue maestro en el Instituto Tecnológico Federal en Zurich, Suiza. En 1940 llegó a la

Universidad de Brown en EUA y pasó a la Universidad de Stanford en 1942.

En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento de cómo es que se derivan los resultados matemáticos . Advirtió que para entender una teoría se debe

conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aun más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados.


Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas generalizó su método en

los siguientes cuatro pasos:

Las aportaciones de Pólya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de problemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15 idiomas introduce su método de cuatro pasos, junto con la heurística y estrategias específicas útiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de Pólya son: Descubrimiento Matemático, Volúmenes I y II, y Matemáticas y Razonamiento Plausible, Volúmenes I y II.

Después de leer la biografía de Pólya, conozcamos su Método de los Cuatro Pasos.

Este método está enfocado a describir las tareas que deben llevarse a cabo en el proceso de resolución de problemas matemáticos, por ello es importante señalar una distinción entre ejercicio y problema.

Esta característica de dar espacio a la experimentación y a la

búsqueda de soluciones creativas, es lo que distingue un problema

de un ejercicio

Esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental que cursa

la persona que se enfrenta a buscar una solución.

Por ejemplo:


Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las

matemáticas ya que ayudan a aprender conceptos, propiedades y

procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar

cuando se enfrenta la tarea de resolver problemas.

Veamos en qué consiste cada uno de los pasos del método de Pólya.

La más grande contribución de Pólya en la enseñanza de las matemáticas es su Método

de Cuatro Pasos para resolver problemas.



Comúnmente los problemas se enuncian usando palabras, ya sea en forma oral o escrita. Así, para resolver un problema se trasladan las palabras a una forma equivalente del problema en la que usan símbolos matemáticos, se resuelve y luego se

interpreta la respuesta para socializarla.

Este proceso es representado en el siguiente ejemplo donde ilustramos el Método de los Cuatro Pasos de Pólya.


Tema 4. El método Pólya

En el siguiente ejemplo, se muestra una aplicación práctica del Método de los Cuatro

Pasos de Pólya en un caso concreto con alumnos de sexto grado de primaria.

El profesor además de proporcionarles previamente la redacción del problema, les pidió a

los alumnos que trajeran cartón, tijeras, pegamento, regla y compás.


1.- Comprender el problema.

Maestro: ¿Entiendes todo lo que dice el enunciado? Alumnos: “Mmmm…si…bueno, no me acuerdo que es un cilindro” Maestro: un cilindro es un prisma, por ejemplo, una lata. ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? Alumnos: “Si, el señor quiere hacer latas de cartón y quiere saber cuánto necesita” Maestro: cilindros de cartón, ¿está bien? Alumnos: si, perdón,cilindros de cartón, jeje Maestro: ¿Cuáles son los datos? Alumnos: “Nos dan el radio y la altura del cilindro” Maestro: ¿Sabes a qué quieres llegar? Alumnos: “Nos piden el volumen”...”no, nos piden el área”,.”No, el volumen” Maestro: Mmm…díganme qué es un volumen y qué es un área. Alumnos: “El volumen es el líquido que le cabe al cilindro” “El área es la superficie de un objeto” Maestro: entonces, ¿qué le sirve al fabricante, un volumen o un área para construir los cilindros? Alumnos: “¡El área!” Maestro: entonces ya saben a dónde llegar.¿Hay suficiente información? Alumnos: “No sabemos la fórmula para calcular el área de un cilindro” Maestro: ¿Hay información extraña? Alumnos: “Si, nos dan los datos para calcular el volumen pero necesitamos calcular el área” Maestro: ¿Este problema es similar a algún otro que hayas resuelto antes? Alumnos: “Mmmm…se parece cuando calculábamos áreas de círculos, triángulos, rectángulos, cuadrados”

2.- Configurar un plan.

Maestro: ¿Cuál estrategia puede ayudarte? Alumnos: “Mmm, hacer un dibujo” “Buscar fórmulas de áreas” Maestro: ¿Qué tal si construyen un cilindro con la cartulina que trajeron de su casa? Alumnos: “¡Si, es buena idea!”

3.- Ejecutar un plan.

Alumno: “Ya hicimos el cilindro en dibujo, pero no tenemos fórmulas para calcular el área del cilindro” “Si, ya busqué en los apuntes y no tenemos esa fórmula” “No lo puedo resolver” Maestro: “Tranquilos, claro que sí pueden”, “Observen bien el dibujo que hicieron ahí está la respuesta” “Las fórmulas que ya conocen nos pueden servir”


Alumno: “Mmm…puedo tomar su lata” “Aquí hay dos círculos” Maestro: Muy bien, se acercan… Alumno: “lo demás es un…cuadrado?” “no…es un rectángulo” “ya se…si sumamos las áreas tenemos el área del cilindro” Maestro: Muy bien!! entonces, ¿qué figuras forman el cilindro? Alumno: “Dos círculos y un rectángulo” Maestro: ¡¡Correcto!! Alumno: “Yo calculo el área del círculo…es igual a 9 por pi...28.26 cm 2 ” “Yo calculo el área del rectángulo, es base por altura…la base es…mmm…la altura es 20, la base es…no tenemos la base…mmm” Maestro: Observen muy bien la lata, ¿qué es la base? Alumno: Mmmm…”ya sé ¡es la circunferencia!” Maestro: Claro que si, ¡muy bien! Alumno. “Entonces ya puedo…la base es pi por diámetro…si el radio es 3 entonces el diámetro mide 6…6 por pi es 18. 84 cm…el área del rectángulo es 18.84 por 20, es igual a 376.8 cm2” “El área del cilindro es 28.26+28.26+376.8…es igual a 433.51 cm 2

4.- Mirar hacia atrás.

Alumno: ¡La respuesta es 433.51 cm2! Maestro: ¿Están seguros? Alumno: “¿está mal?” Maestro: No del todo, lean el problema otra vez Alumno: “Nos piden el material para 10 cilindros” “Entonces multiplicamos el resultado por 10! Maestro: ¡Claro que si! Alumno: El fabricante necesita 4335.11 cm2 de cartón para construir 10 cilindros. Maestro: Aproximadamente 4335.11 cm2 , tal vez necesite un poco más para pegar las piezas, sin embargo, esta aproximación le dará una idea clara de cuanto material necesita, ¿están de acuerdo? Entonces, ¿qué van a hacer cuando les pidan el área de cuerpos geométricos? Alumno: “Mmm…calculamos el área de sus caras y luego las sumamos” Maestro: Excelente, muy bien.

El método de Pólya , ya sea en su versión original de cuatro pasos o en cualquiera de las distintas versiones que aparecen en los libros de texto, ha demostrado ser una técnica pedagógica efectiva a la hora de favorecer el desempeño de los alumnos en la

resolución de problemas (Pólya 1980).

Se ha animado a los profesores a que utilicen este método en sus clases, para ello se han expuesto numerosas formas de hacerlo.

Algunos investigadores han sugerido que los profesores…


Sea cual fuere la aplicación del método de Pólya en el salón de clases, es

importante que el profesor domine a la perfección los pasos, para así

orientar de manera más efectiva al alumno en la resolución de

problemas.

A continuación veamos los Diez Mandamientos de Pólya para los Profesores de Matemáticas.

Pólya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas. Una de sus grandes aportaciones fue la reflexión titulada: “Diez Mandamientos para los Profesores de Matemáticas”:

1. Demuestre interés por su materia.

Si el profesor se aburre, toda la clase se aburrirá.

2. Domine su materia.

Si un tema no le interesa personalmente, no lo enseñe, porque no será usted capaz de enseñarlo adecuadamente. El interés es una condición necesaria, pero no suficiente.

Cualesquiera que sean los métodos pedagógicos utilizados, no conseguiréis explicar algo claramente a vuestros estudiantes si antes no lo habéis comprendido perfectamente. De

ahí este segundo mandamiento. El interés es el primero, porque, con escasos conocimientos junto con una falta de interés, se puede uno convertir en un profesor

excepcionalmente malo.

3. Sea instruido en las vías del conocimiento: el mejor medio para aprender algo es

descubrirlo por sí mismo.

Se puede obtener gran provecho de la lectura de un buen libro o de la audición de una buena conferencia sobre la psicología del acto de aprender. Pero leer y escuchar no son

absolutamente necesarios y en todo caso no son suficientes: hay que conocer las vías del conocimiento, estar familiarizados con el proceso que conduce de la experiencia al saber,

gracias a la experiencia de vuestros propios estudios y a la observación de vuestros estudiantes.

4. Trate de leer en el rostro de sus estudiantes, intente adivinar sus esperanzas y

sus dificultades; póngase en su lugar.

Aunque uno se interese por el tema, lo conozca bien, se comprendan los procesos de adquisición de los conocimientos, se puede ser un mal profesor. Es raro, pero muchos

hemos conocido profesores que, siendo perfectamente competentes, no eran capaces de


establecer contacto con su clase. Ya que la enseñanza del uno debe acompañarse por el aprendizaje del otro, tiene que existir un contacto entre el Profesor y el estudiante. La

reacción del estudiante a vuestra enseñanza depende de su pasado, de sus perspectivas y de sus intereses. Por lo tanto, téngase en consideración lo que saben y lo que no

saben; lo que les gustaría saber y lo que no les importa; lo que deben conocer y lo que no importa que no sepan.

5. No les deis únicamente "saber", sino "saber hacer", actitudes intelectuales, el

hábito de un trabajo metódico.

El conocimiento consiste, parte en "información" y parte en "saber hacer". El saber hacer es el talento, es la habilidad para hacer uso de la información con un fin determinado; se

puede describir como un conjunto de actitudes intelectuales; es la capacidad para trabajar metódicamente. En Matemáticas, el "saber hacer" se traduce en una aptitud para resolver problemas, construir demostraciones, examinar con espíritu crítico soluciones y pruebas. Por eso, en Matemáticas, la manera cómo se enseña es tan importante como lo que se

enseña.

6. Enseñadles a conjeturar. Primero imaginar, después probar. Así es comoprocede el descubrimiento, en la mayor parte de los casos.

El profesor de Matemáticas tiene excelentes ocasiones para mostrar el papel de la conjetura en el campo del descubrimiento y hacer así que los estudiantes adquieran una

actitud intelectual fundamental. La conjetura razonable debe estar fundada en la utilización juiciosa de la evidencia inductiva y de la analogía, y encierra todos los

conocimientos plausibles que pueden intervenir en el método científico.

7. Enseñadles a demostrar.

"Las matemáticas son una buena escuela de razonamiento demostrativo". De hecho, la verdad va más allá: las matemáticas pueden extenderse al razonamiento demostrativo, que se infiltra en todas las ciencias desde que alcanzan un nivel matemático y lógico

suficientemente abstracto y definido.

8. En el problema que estéis tratando, distinguid lo que puede servir, más tarde, aresolver otros problemas - intentad revelar el modelo general que subyace en el

fondo de la situación concreta que afrontáis.

Cuando presentéis la solución de un problema, subrayad sus rasgos instructivos. Una particularidad de un problema es instructiva si merece ser imitada. Un aspecto bien señalado, en un problema, y vuestra solución puede transformarse en un modelo de

resolución, en un esquema tal que, imitándole, el estudiante pueda resolver otros


problemas.

9. No reveléis de pronto toda la solución; dejad que los estudiantes hagansuposiciones, dejadles descubrir por sí mismos siempre que sea posible.

He aquí una pequeña astucia fácil de aprender: cuando se empieza a discutir la solución de un problema, dejad que los estudiantes adivinen su solución. Quien tiene una idea o la ha formulado, se ha comprometido: debe seguir el desarrollo de la solución para ver si lo que ha conjeturado es exacto o no, con lo que no puede despistarse. Voltaire decía: "El

secreto para ser aburrido es decirlo todo".

10. No inculquéis por la fuerza, sugerid.

Se trata de dejar a los estudiantes tanta libertad e iniciativa como sea posible, teniendo en cuenta las condiciones existentes de la enseñanza. Dejad que los estudiantes hagan preguntas; o bien planteadles cuestiones que ellos mismos sean capaces de plantear.

Dejad que los estudiantes den respuestas; o bien dad respuestas que ellos mismos sean

capaces de dar.

Se trata de dejar a los estudiantes tanta libertad e iniciativa como sea posible, teniendo en cuenta las condiciones existentes de la enseñanza. Dejad que los estudiantes hagan preguntas; o bien planteadles cuestiones que ellos mismos sean capaces de plantear.

Dejad que los estudiantes den respuestas; o bien dad respuestas que ellos mismos sean capaces de dar

Antes de concluir el tema veamos algunas sugerencias más, hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas.


Conclusiones

En la resolución de problemas está la clave para superar una enseñanza puramente conceptual o mecanicista; si el docente maneja estrategias efectivas para diseñar y plantear en el aula situaciones que representen un desafío intelectual para sus alumnos y sabe cómo motivarlos para que pongan en juego todas sus potencialidades en el proceso de resolución, estará propiciando que construyan un aprendizaje significativo y consoliden

sus competencias para la vida.

El diseño o selección de problemas para un currículum integrado puede ser una actividad que requiere de tiempo y creatividad, sin embargo, poco a poco se puede ir construyendo un acervo de problemas que se pueda intercambiar con otros compañeros y así concretar

acciones hacia una educación matemática más significativa.

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Módulo 5. Resolución efectiva del problema - cca.org.mx · el tema, sino que hubo una...

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