Date post: | 31-Jul-2015 |
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Módulo de autoaprendizaje: Paralelogramos y Circunferencia
•Alumnos: -Jorge Martínez
-Claudio Vargas
-Felipe Vargas
Hola: Con este modulo queremos que
aprendaz de un manera poco tradicional lo relacionado con la circunferencia y los paralelogramos.
Ren y Stimpy te acompañaran durante el tiempo que uses el módulo, Ren es poco tolerante pero stimpy es más relajado.
Lo único que te podemos decir es que pongas bastante atención a las propiedades para que puededas resolver todos los problemas que te plantearemos.
Buena surte….
Definición de Circunferencia:Una circunferencia es un conjunto infinito de puntos que están a igual
distancia de un punto llamado centro de la circunferencia.
Ox
Punto O = centro de la circunferencia
Circunferencia:
Elementos de la circunferencia
A
B
OD
E
C
L1
L2
Ox = Centro de circunferenciaO x
OA = OB = OC = Radio de la circunferencia.
AB = Diámetro de la circunferencia
L1 = Recta Tangente de la circunferencia
L2 = Recta secante de la circunferencia
DE = Cuerda de la Circunferencia
Área y Perímetro de la circunferencia
a) Área : Es la superficie que la circunferencia cubre
A = . r 2r
b) Perímetro: es la medida del contorno de la circunferencia
rP = 2 . . r
O x
O x
Ángulos y Arcos en la circunferencia
a) Ángulo formado por dos radios:
O
A
B
Relación entre el ángulo y el arco:
= AB
A este ángulo se le llama también ángulo central
O x
Ángulos y Arcos en la circunferencia
b) Ángulo formado por dos cuerdas:
O
A
C
Relación entre el ángulo y el arco:
= AC
2
B
A este ángulo se le llama también ángulo inscrito
O x
Ángulos y Arcos en la circunferencia
c) Los dos ángulos anteriores en una misma circunferencia:
A
C
Relación entre los dos ángulos:
= 2
BO x
Ángulos y Arcos en la circunferencia
d) Varios ángulos inscritos formando el mismo arco:
O
A
C
Relación entre los ángulos:
= =
B
O x
Ángulos y Arcos en la circunferencia
e) Ángulo formado por dos cuerdas:
Medida del ángulo :
= AD + BC
2
A
D
B
C
O x
Ángulos y Arcos en la circunferencia
f) Ángulo formado por dos secantes:
O
Medida del ángulo :
= AC - BD
2
A
B
C
D
PO x
Ángulos y Arcos en la circunferencia
g) Ángulo formado por dos tangentes:
O
Medida del ángulo :
= ACB - ADB
2
A
B
C DP
O x
Ángulos y Arcos en la circunferencia
h) Ángulo formado por una cuerda y una tangente:
O
Medida del ángulo :
= AB
2
A
B
A este ángulo se le llama también ángulo semi inscrito
O x
Ángulos y Arcos en la circunferencia
i) Ángulos que forma una semicircunferencia:
O x Medida del ángulo :
= 90°
A
C
B
Ángulos y Arcos en la circunferencia
j) Ángulo formado por una secante y una tangente:
OMedida del ángulo :
= AC - AB
2
A
B
C
P
O x
Ángulos y Arcos en la circunferencia
k) Arcos formados por rectas paralelas que cortan la circunferencia:
O Relación entre arcos:
AB = CD
AD
BC
O x
Ángulos y Arcos en la circunferencia
l) Ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito:
ORelación entre ángulos:
+ = 180°
AD
B
C
O x
Ejercicios:
O X 46°
Hallar:
?
112
x
y
B
BAC
A
C
CA
B
x
y
Según la propiedad = 2, se puede invertir la propiedd para hallar en este caso que es igual a
232
46
2
B)34
Aplica las propiedades:
A)45
O x
Ejemplo:
Ejercicios:
A
?
?
y
x
?
?
y
x
A
D
C
B
yx 65°
B
C
D2x y
3x+10°
A)x=65;y=57,5 B)x=40;y=68,5
A)x=34;y=68 B)x=56;y=85O x
O x
Segmentos en la circunferencia1er Teorema: los dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior son congruentes y determinan ángulos iguales con el segmento que une el punto exterior al centro.
O x
A
B
P
AP , BP segmentos tangentes:
AP = BP , OPA = OPB
Segmentos en la circunferencia2do Teorema: si se trazan dos rectas secantes desde un punto
exterior a una circunferencia, entonces:
AB
P
AP . BP = PD . PC
C
D
O x
Segmentos en la circunferencia3er Teorema: si desde un punto exterior a una circunferencia se
traza una recta secante y una tangente, entonces:
O
A
P
AP 2 = PC . BP
B
C
O x
Segmentos en la circunferencia4to Teorema: si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de la
circunferencia, entonces:
A
AE . BE = CE . DE BC
D
EO x
Ejercicios:
B A
C
D
P
Si y15;6 BPAP 8PC Determinar PD
Si y determinar AP20PC5BPA
B
C
P
En este caso hay que aplicar el teorema 2 . Si tú lo aplicas bien te tendría que resultar 11.2
A)20 B)10
O x
O x
Ejercicios:
Si ; determinar 5DE
8OE AB
15;2 CDAEEB AE
A
B
C
D
E
10ODSi y determinar
A B
C
D
E 90AEC
A)5 B)10
A) 6 B)12
O x
O x
Ejercicios:3;6 ADABSi determinar AC
A
B
C
D
18;12 ACAB CDSi determina
A
BC
D
A)12 B)15
A)20 B)8
O x
O x
Ejercicios:
4;14; AEECDBAD ADSi determinar
A
B
C
D
EA)36 B)6
O x
Si determinar2)3:(;15 BPABBP PT
A)8.6 B)10O x
T
AB
P
Paralelogramos:
Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. Se pueden clasificar en:
• Rectángulos: tienen los cuatro ángulos rectos, pero dos pares de lados iguales.
• Rombos: tienen los cuatro lados iguales.
• Romboides: No tienen lados ni ángulos iguales.
Definición de paralelogramo:
Paralelogramos:
CuadradoCuadrado Lados iguales Ángulos iguales
Diagonales se bisecan y son perpendiculares entre si.
RectánguloRectángulo Lados peralelos iguales
Ángulos rectos
Sus diagonales se bisecan.
RomboRombo Lados iguales Águlos oblicuos
Sus diagonales se bisecan y son perpendiculares entre si.
RomboideRomboide Lados iguales Ángulos obicuos
Sus diagonales se bisecan.
Los ángulos interno y opuestos son congruentes; como los ángulos internos no puestos son suplementarios.
Ejemplos de Paralelogramos:
Rectangulo:
2 pares de lados iguales y todos sus angulos son rectos
(90°)
a a
b
b
Ejercicios
DA
B C
2x
20Perímetro: 40 Aquí hay que recordar que tiene todos sus
lados iguales, asi es que 2x=20
Por lo que resulta que x es igual a 10
DA
B C
E
DE = 15, BE = 3a , AC =6a, EC = 3a
Hallar las variables:
Rombo Perímetro: 40
A
A
B
B C
C
D
D
152
54
xCAD
xBAC
Hallar x:
4x-302x+10
Trapecio
y
Nota: los ángulos adyacentes de lados paralelos suman 180°.
Esperamos que hayas aprendido lo que se te presentó, y que lo puedas utilizar enel futuro.
Ren y Stimpy…
…Fin del módulo…
¡NO! ¿en qué piensas idiota?
Bueno, ya que le vamos a hacer, házlo otra vez.
¡¡Déjalo!!
Es solo un niño.
Una pista:
X se obtiene con la propiedad b): del ángulo formado por dos
cuerdas.
Mmm…Parece que haz aprendido algo
Pero te falta mucho.
¡Que bien eres muy inteligente¡
¡¡Eres super¡¡
¡¡Como es que eres tan tonto!!, eso es
BÁSICO.
Dale otra oportunidad po’.No seas malito
Observa bien. Pista: la cuerda AB divide a la
circunferencia en dos partes
iguales
Esó, muy bien.
Se resolvía observando que Y vale 144 y que X vale 90 por ser ángulo
inscrito compartiendo cuerdas con el ángulo central que vale 180.BOC
Me haz sorprendido, creí
que eras mas tonto.
Muy bien hecho amiguito,
demuestra que eres un matemático.
Me arrepiento de lo dicho anteriormente. ¿Cómo puede haber gente tan
incompetente?
No le hagas caso , sé que pudes
lograrlo, confío en ti.
Pista: usa la propiedad h): ángulo formado por una cuerda y una tangente.
2
AB
Se resolvía dividiendo 80:2, ya que se formaba un triángulo isósceles donde cada
ángulo basal vale 70 y el ángulo del vertice 40. En la circunferencia 2
segmentos valen 140 faltando 80 para completar 360, a los 80 se le aplicaba la
propiedad nombrada en la pista.
Pon atencion para que sepas como resolver otro parecido.
Eres un genio, ¡¡MAESTRO!!
Pista: x = 75º, y es un ángulo formado por dos cuerdas. Usa esa
propiedad.
No puede ser tan dificil!!
Piensa un poco
más…
Se resolvía dándose cuenta que x formaba un arco que vale 60º + y.
Además, x = 75º, por lo que el arco debe ser el doble de 75º, o sea
150º, y 150º – 60º = 90º.
Que bien uno bueno!!!
Así se hace, vamos
mejorando…
Pista: y = 115º, por lo que su arco es 230º. El total de la circunferencia es 360º
Eso no fue muy inteligente… Es un simple
ejercicio…piensa…
Se resolvía restando 230º a 360º, quedando el arco
del ángulo x. Lo que queda, que es 130º, se
divide por 2 y da 65º, que es la medida de x.
Parece que es tu dia de suerte…
Demuestra lo que puedes
hacer…
Pista: te dan el valor del ángulo y el de uno de los arcos.
Reemplaza los valores en la fórmula del teorema.
Eres un caso perdido…
Coloca más atención a lo que haces…
Se resuelve al reemplazar los valores del ángulo x y del arco que vale 241º. Al hacer
la operación debiera dar 119º.
Me haz sorprendido…
Muy bien sigue así…
Pista: usa el teorema del ángulo
formado por dos rectas tangentes.
Ja ja fallaste…Mira bien el ejercicio…
Se resolvía restando el doble del ángulo a 200º, y así sale
que y = 120º.
Que sorpresa…piensa..
Eres brillante
Pista: el semiperímetro de una circunferencia mide
180º.
Más aprende mi tortuga…
No grites que menos piensa…
Se resolvía haciendo 3x+10+2x=180º. De ahí
se saca que x=34º. Posteriormente se iguala 3x+10+y=180º, pero ya
se sabe el valor de x.
Bajo presión trabajas mejor.
Eres muy bieno para
esto
Pista: la cuerda BD divide a la
circunferencia en dos partes iguales..
¿sabes usar lo que tienes arriba
del cuello?
No le hagascaso
Se resolvía restando 180º - 65º= 115º, que es el arco que forma y.
Posteriormente se divide ese valor por 2, y sale el ángulo y.
Te felicito, primera y última
vez…
Muy bien…
Se resolvía haciendo 5 . 20 = x2. Se
resuelve y se obtiene x = 10º.
Si sabes usar la cabeza,
disculpa…
Ren está celoso, el no sabe…
Se resolvía haciendo 5 . 10 = 2x . x
No era tan dificil, tubiste
suerte…
Tu representas el magis
ignaciano…
Se resolvía haciendo 18 . 2 = x2.
De ahí se saca que x = 6.
Pon atencion para que sepas como resolver otro parecido.
Eres un genio, ¡¡MAESTRO!!
Se resolvía haciendo 62 = 3 . (x+3). Ahí sale que x = 9.
El lado entonces vale 12
Parece que es tu dia de suerte…
Así se hace, vamos
mejorando…
Pista: Usa el teorema 3, reemplaza los valores que
ya te dan.
No puede ser tan dificil!!
Dale otra oportunidad po’.No seas malito
El valor de x se hallaba al resolver la ecuación que resulta al reemplazar los valores en el teorema 3, quedando 122 = 18 . x .
Si sabes usar la cabeza,
disculpa…
Muy bien sigue así…
Pista: reemplaza los valores que te dan en el teorema 3.
Dale otra oportunidad po’.No seas malito
No sabes JA JA JA JA JA…
Se resolvía al hacer 18 . 4 = 2x . x . De ahí
se obtiene que x es igual a 6.
Si sabes usar la cabeza,
disculpa…
Muy bien sigue así…
Pista: reemplaza los valores en el teorema 2.
Dale otra oportunidad po’.No seas malito
No sabes JA JA JA JA JA…
Se resolvía haciendo 15 . 5 = x2. De ahí se obtiene que x = 8,6.
Tu representas el magis
ignaciano…
Bajo presión trabajas mejor.