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Colegio Particular a Distancia
“Continental” Acuerdo Ministerial Número Nº 0003701
Matemática- Octavo Año de Educación Básica 1
MÓDULO DE MATEMÁTICA
8vo DE BÁSICA
Nombre: ………………………………………………………
Curso: ………………………………………………………………
Especialidad: ………………………………………………………
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 2
CONTENIDOS
LECCIÓN Nº1. NÚMEROS ENTEROS “Z” (PAG. 7)
Definición
Números Opuestos
Representación Gráfica
Orden y Comparación
LECCIÓN Nº2. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS (PAG. 15)
Adición de Números Enteros
Sustracción de Números Enteros.
Supresión de Signos de Agrupación
LECCIÓN Nº3. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS (PAG. 22)
Multiplicación de Números Enteros.
- Propiedad Conmutativa
- Propiedad Distributiva
División de Números Enteros
- Propiedad Distributiva
LECCIÓN Nº4. POTECIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (PAG. 30)
Potenciación de los números enteros
- Reglas de cálculo de la potenciación
- Propiedad Distributiva
Radicación de los números enteros
- Propiedad Distributiva
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LECCIÓN Nº5. NÚMEROS RACIONALES “Q” (PAG. 38)
Definición
Fracciones propias e impropias
Representación en la recta numérica
Orden y Comparación
Transformación de fracciones a denominador común
LECCIÓN Nº6. AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES (PAG. 47)
Amplificación de fracciones
Simplificación de fracciones
Fracciones Irreducibles
LECCIÓN Nº7. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES (PAG. 54)
Adición de Números Racionales
Sustracción de Números Racionales
LECCIÓN Nº8. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES (PAG. 62)
Multiplicación de Números Racionales
- Propiedad Distributiva
División de Números Racionales
Fracciones Complejas
LECCIÓN Nº9. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES (PAG. 72)
Potenciación de Números Racionales
Radicación de Números Racionales
LECCIÓN Nº10. SISTEMA DE FUNCIONES (PAG. 801)
Par Ordenado
Producto cartesiano de dos conjuntos
Sistema Cartesiano de Coordenadas
Relaciones Binarias
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LECCIÓN Nº11. FUNCIÓN (PAG. 91)
Definición
- Dominio
- Contradominio
Gráfica de una función en un sistema cartesiano
LECCIÓN Nº12. EXPRESIONES ALGEBRAICAS (PAG. 99)
Definición
Tipos de expresiones algebraicas
Monomios
Polinomios
LECCIÓN Nº13. GEOMETRÍA Y MEDIDA (PAG. 108)
Figuras Geométricas
Figuras Geométricas más elementales
LECCIÓN Nº14. TRIÁNGULOS (PAG. 115)
Definición
Clasificación de los Triángulos
- Por las longitudes de sus lados
- Por la amplitud de sus ángulos
LECCIÓN Nº15. TEOREMA DE THALES (PAG. 124)
Definición
Propiedades del Teorema de Thales
LECCIÓN Nº16. RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO (PAG. 132)
Altura
Mediana
Bisectriz
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Mediatriz
LECCIÓN Nº17. CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS (PAG. 139)
Congruencia de Triángulos
- Postulados de Congruencia
Semejanza de Triángulos
- Casos de Semejanza
LECCIÓN Nº18. CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS ELEMENTALES (PAG. 146)
Construcción de un triángulo equilátero dado un lado
Perpendicular a una rectas por uno de sus puntos
Construcción de un cuadrado dado uno de sus lados
Trazar una bisectriz
LECCIÓN Nº19. PRISMA Y CILINDRO (PAG. 153)
Prisma
- Cálculo del área de un Prisma
- Cálculo del volumen de un Prisma
Cilindro
- Cálculo del área del Cilindro
- Cálculo del volumen del Cilindro
LECCIÓN Nº20. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD (PAG. 160)
Estadística
Frecuencias Absoluta y Relativa
Frecuencias Absoluta y Relativa Porcentual
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LECCIÓN Nº1
NÚMEROS ENTEROS “Z”
BLOQUE: SISTEMA NUMERICO
OBJETIVOS:
Comprender el concepto de los de los números enteros.
Conocer la forma de ordenar y de comparar los números enteros.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO:
Ubicar correctamente números enteros positivos y negativos en la recta numérica;
ordenar y comparar números enteros aplicando los conocimientos adquiridos.
DEFINICIÓN
En las operaciones con número naturales, se vio la imposibilidad de resolver una diferencia en la
que el minuendo es menor que el sustraendo; así por ejemplo, dad la diferencia
5 9 ?
Para poder resolver esta clase de diferencias, se crearon los llamados número enteros negativos,
que se representan por los números precedidos por el signo menos. Ejemplo: -5, -1, -124, -403.
En la vida real, hay algunas cantidades que toman valores positivos y negativos, por ejemplo
valores de temperatura 13°C, -10°C, por lo tanto se debe recurrir al conjunto de números enteros
“Z”.
Los números enteros corresponden al conjunto de números naturales y números enteros
negativos. A los números naturales con excepción del cero se los llama también números enteros
positivos. A la sucesión en orden que se muestra a continuación se llama sucesión de los números
enteros: ... 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,...Z
Se dice que esta sucesión es infinita, es decir que no tiene fin, puesto que dado un número hay
otro que le sigue en la sucesión.
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Números opuestos. Dos números enteros que tienen el mismo valor absoluto y distinto signo se
llaman opuestos. Son números opuestos:
7 7 ; 10 10y y
Representación gráfica. Los números enteros están representados gráficamente en una recta; los
positivos, a partir del punto 0 en un sentido, y los negativos, a partir del mismo punto en sentido
opuesto.
ORDEN Y COMPARACIÓN EN LOS NÚMEROS ENTEROS
Relación de mayor entre números enteros. Se dice que un número entero es mayor a es mayor
que otro b si:
1. Siendo ambos positivos, el valor absoluto de a es mayor que el valor absoluto de b.
Ejemplo:
17 5, 17 5pues
2. Siendo ambos negativos, el valor absoluto de a es menor que el valor absoluto de b.
Ejemplo:
9 12, 9 12pues
3. Siendo de distinto signo, es a positivo. Ejemplo:
2 8
4. El número 0 es mayor que cualquier número negativo.
Relación de menor entre números enteros. Se dice que un número entero a es menor que otro b
si:
1. Siendo ambos positivos, el valor absoluto de a es menor que el valor de b. Ejemplo:
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27 35, 27 35pues
2. Siendo ambos negativos, el valor absoluto de a es mayor que el valor absoluto de b.
Ejemplo:
15 3, 15 3pues
3. Siendo de distinto signo, es a negativo. Ejemplo:
16 5
ORDENAMIENTOS DE NÚMEROS ENTEROS.
Sea, por ejemplo, ordenar de mayor a menor los siguientes números:
2 ; 0 ; 5 ; 1; 8 ; 3
Como hay que ordenar de mayor a menor, primero deben considerarse los números positivos, en
el ejemplo son 5 y 8, y es inmediato que 8 > 5; consideramos que entre los números para ordenar
está el 0, que es menor que cualquier número positivo y es mayor que cualquier número
negativo. Por último se consideran los números negativos, donde el mayor de los cuales es el que
está más cerca del 0 en la recta numérica, es decir:
8 5 0 1 2 3
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LECCIÓN Nº 1
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Cuál es la definición de los números naturales?
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………
GLOSARIO:
Número:……………………………………………………………………………………………………………………………………….
Números Naturales:…………………………………………………………………………………………………………………..
Números Enteros: ……………………………………………………………………………………………………………………
Número Negativo: ………………………………………………………………………………………………………………….
Ordenamiento:………………………………………………………………………………………………………………………
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
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………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
RESUMO:
Conjunto de números enteros “Z"
Es la
De:
Los el y los
Relación de orden “Z"
Un número positivo es: Un número negativo es:
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Menor
Cualquier negativo
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CUESTIONARIO
1. En las sustracciones propuestas escribe un SI en las que son posibles en el conjunto de
los números naturales y el cero, y un NO en las que no son posibles.
18 9 ( ) 76 76 ( )
32 33 ( ) 1067 1146 ( )
84 125 ( ) 138 98 ( )
2. Representar en la recta numérica los siguientes números enteros: -7, 6, 1, -5, -3, 5, 2.
3. Escribe los opuestos de los siguientes números:
18 ..... 4 .....
2 ..... 6 .....
4 ..... 9 .....
y y
y m y
n y y
4. Escribe el valor absoluto de los siguientes números enteros: -6, 35, -235, 8, -12.
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5. Escribe entre los números planteados el signo “mayor que”, “igual”, o “menor que”,
según sea el caso.
8 1 4 ..... 5 98 ..... 98
2 ..... 3 13 ..... 13 123 ..... 123
6 ..... 7 10 ..... 9 78 ..... 79
6. Ordena de mayor a menor, los números enteros:
8, 12, 1, 0, 3 4 12
4, 0, 5, 19, 6 23 23
3, 2, 1, 0, 4 9
y
y
y
7. Ordena de menor a mayor, los siguientes número:
0, 3, 2, 11, 3 5, 0 100 11
8, 2, 14, 20, 3 19 19
3, 5, 9, 15, 20 4
y
y
y
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LECCIÓN Nº2
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS ENTEROS.
BLOQUE: BLOQUE NUMÉRICO
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos de la adición y sustracción de los números enteros.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la adición y
sustracción de números enteros.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO:
Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, con números enteros
ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
Para sumar dos números enteros de igual signo se suman sus valores absolutos y al resultado se le
asigna el mismo signo de los sumandos; pero si tienen signo diferente, se restan sus valores
absolutos y, al resultado, se le asigna el signo del sumando de mayor valor absoluto.
Ejemplo:
1. 8 ( 4) 4
2. ( 7) ( 8) 15
3. ( 11) 7 4
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
La sustracción de los números enteros a y b se define como: a – b = a + (– b). Ejemplo:
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1. 4 8 4
2. 7 ( 9) 7 9 16
3. ( 4) ( 9) ( 4) (9)
SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN.
En algunas operaciones matemáticas se manejan signos de agrupación, los cuales pueden
suprimirse desde los más interiores hasta los exteriores.
Todo signo (+) puede suprimirse, escribiendo a cada número que encierra con su propio signo,
mientras que todo signo (-) puede suprimirse, escribiendo los números que encierra con signo
cambiado.
Ejemplo:
8 4 6 3 8 4 6 3 8 4 6 3 9
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LECCIÓN Nº 2
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. Averiguar acerca de las propiedades conmutativa, asociativa y modulativa en la adición
de los números enteros Y ponga y un ejercicio de cada uno.
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Adición: ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
Sustracción o Diferencia: ……………………………………………………………………………………………………………..
Signo de Agrupación: …………………………………………………………………………………………………………………..
Paréntesis:…………………………………………………………………………………………………………………………….
Suprimir………………………………………………………………………………………………………………………………….
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
ADICIÓN
Para sumar 2 números enteros
De igual signo
Se restan
Sus valores absolutos
y al resultado se le asigna
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CUESTIONARIO
1. Realiza las siguientes adiciones:
( 54) (78) 86 ( 86)
( 318) ( 315) ( 60500) ( 10500)
(25) ( 125) 138 ( 138)
2. Realiza las siguientes sustracciones:
( 38) (53) ( 250) ( 200)
( 1234) ( 34) ( 420) ( 10)
(725) (125) ( 9870) ( 9870)
3. Suprime los signos de agrupación y halla el valor de la expresión:
21 3 18 12 8 9 15 19
13 17 6 4 13 5 8
3 4 6 ( 3) 5 5
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4 ( 3) 5 10 ( 20)
40 30 (100) 200 30
40 80 100 200 60 30 100
4. ¿Qué número debe restarse de -200 para obtener 600?
5. ¿Qué número debe adicionarse a 300 para obtener -300?
6. A qué distancia se hallan 2 ciclistas que salen de una misma estación y en la misma
dirección pero en sentido contrario, si el uno ha recorrió 530km y el otro 315km.
7. En cierta familia, el abuelo tiene 40 años más que el hijo, éste 2 años menos que su
esposa, y ésta 18 años más que su hija Ana. Si Ana tiene 17 años, determina la edad de
su abuelo.
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8. Un helicóptero vuela a 180m sobre el nivel del mar. En una plataforma submarina que se
encuentra a 420m del helicóptero, se ha depositado un tesoro, ¿A qué profundidad se
halla el tesoro?
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LECCIÓN Nº3
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS ENTEROS.
BLOQUE: BLOQUE NUMÉRICO
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos de la multiplicación y división de los números enteros.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la multiplicación y
división de números enteros.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división exacta
con números enteros.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
Para realizar la multiplicación entre números enteros de debe tomar en cuenta lo siguiente:
1. El producto de dos números enteros con signos iguales es un número entero positivo.
Ejemplo:
( 2) ( 6) 12
( 3) ( 5) 15
2. El producto de dos números enteros con signos diferentes es un número entero negativo.
Ejemplo:
( 2) ( 4) 8
( 3) (4) 12
Estas reglas de la multiplicación se pueden resumir en una regla general, llamada ley de los signos,
la misma que sirve para estandarizar y normalizar los signos de la multiplicación.
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Propiedad Conmutativa. Si se cambia el orden de los factores, el producto es el mismo. Ejemplo:
( 7) ( 5) 35
( 5) ( 7) 35
Propiedad Distributiva. La multiplicación de números enteros es distributiva con respecto a un
polinomio aritmético. Ejemplo:
(6) (3 2 4) (6)(3) (6)(2) (6)( 4) 18 12 24 6
DIVISIÓN EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS
Dividir un número entero a para otro b, siendo a múltiplo de b, es hallar un tercer número c tal
que multiplicado por b dé por resultado a. Ejemplo:
( 28)
4 ( 4) 7 287
porque
De la misma manera para la división entre números enteros se debe tomar en cuenta lo siguiente:
1. El cociente de dos números enteros de igual signo es un número entero positivo. Ejemplo:
( 15) (21)5 ; 3
( 3) (7)
+ + = +
- - = +
+ - = -
- + = -
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2. El cociente de dos números enteros de distinto signo es un número entero negativo.
Ejemplo:
( 24) (30)3 ; 5
(8) ( 6)
De igual manera para la división se tiene ley de los signos, la misma que sirve para estandarizar y
normalizar los signos de la división.
Propiedad Distributiva. La división de números enteros es distributiva con respecto aun polinomio
aritmético.
( 10 4 16) ( 2) ( 10) ( 2) (4) ( 2) ( 16) ( 2) 5 2 8 11
+ + = +
- - = +
+ - = -
- + = -
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Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. Averiguar acerca de la propiedad modulativa en la multiplicación de los números
enteros y ponga un ejemplo.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Producto: …………………………………………………………………………………………………………………………………….
Cociente: ……………………………………..……………………………………………………………………………………………..
Ley de Signos: ……………………………………………………………………………………………………………………………..
Propiedad:…………………………………………………………………………………………………………………………….
División exacta: ………………………………………………………………………………………………………………………
LECCIÓN Nº 3
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
RESUMO:
EL PRODUCTO Y LA DIVISIÓN
De 2 números enteros
Con signos diferentes
Es Es
Un número entero
Negativo
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CUESTIONARIO
1. Realiza el producto respectivo:
( 12)(9)
( 18)(5)
(10)( 6)(4)
(5)( 18)
(25)( 20)( 2)( 15)(1)
(25)( 36)( 105)(0)(124)( 36)
2. Aplica la propiedad distributiva y halla el producto:
( 15)( 4 3 2)
( 8 9 7)(9)
(10 6)(4 3)
(5 8)( 1 9 3)
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3. Realiza la operación y halla el cociente:
1728 32
78200 ( 25)
2000 125
77320 ( 98)
16488 ( 36)
43968 ( 64)
4. Aplica la propiedad distributiva y halla el valor:
(36 27 60) ( 3)
(64 96 24) ( 8)
(320 60 120 90) ( 10)
(150 250) 5 4(9 10) 80 (8)
5. Suprime los signos:
8( 5) 20 (5) 9( 2) 10
5(4 12) (40 5)
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10(12) 2 ( 84) ( 7) 36(2)
10 5 2 4 2 (8 2) 3 20 4
6. ¿En cuántos minutos puedes trozar una tela de cuatro metros en cuatro partes, si cortas
un metro de tela en cada minuto?
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LECCIÓN Nº4
BLOQUE: BLOQUE NUMÉRICO
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos de la potenciación y radicación de los números enteros.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la potenciación y
radicación de números enteros.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Simplificar expresiones de números positivos con la aplicación de las reglas de
potenciación y de radicación
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Para la multiplicación de factores iguales, se la puede representar de una manera mas
simplificada, esta nueva operación se llama potenciación. Ejemplo:
65 5 5 5 5 5 5
Por lo tanto se dice que la potencia enésima de un número entero a, es el producto de n factores
iguales a a. En la potencia a n, a es la base de la potencia y n es su exponente.
Es necesario tomar en cuenta la siguiente regla al momento de realizar la potenciación:
La potencia de exponente par lleva signo positivo, y la potencia de exponente impar lleva el
mismo signo de la base. Ejemplo:
3
4
( 2) ( 2)( 2)( 2) 8
( 3) (3)(3)(3)(3) 81
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La potencia de base diferente de cero y exponente cero es igual a la unidad: 012 1 .
REGLAS DE CÁLCULO DE LA POTENCIACIÓN:
Producto de potencias de igual base. El producto de potencias de igual base es otra potencia con
la misma base y su exponente igual a la suma de los exponentes.
Cociente de potencias de igual base. El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia
con la misma base y su exponente igual a la resta los exponentes.
Potencia de potencia. La potencia de potencia de igual base y exponente igual al producto de los
exponentes.
Propiedad Distributiva. La potenciación es distributiva únicamente en la multiplicación y en la
división. Ejemplo:
3 3 3[( 4)*(5)] ( 4) *(5)
4 4
4
5 ( 5)
12 ( 12)
RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
Raíz enésima de un número entero llamado radicando, es otro entero que elevado a la potencia
enésima, es igual al mismo radicando. En la operación:
n a b a = radicando, n = índice, b = raíz
Se debe tomar en cuenta que en la radicación:
1. Si el índice es impar, la raíz tiene el mismo signo del radicando.
2. Si el índice es par y el radicando es positivo, la raíz es un número positivo.
3. Si el índice es par y el radicando es negativo, la raíz no es posible en el conjunto de los
números enteros.
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Se debe aclarar que el índice (2) puede ser omitido:
2 16 16
Se debe puntualizar diciendo que la radicación es una operación inversa a la potenciación.
Ejemplo:
2
33
9 3 3 9
125 5 ( 5) 125
pues
pues
Propiedad Distributiva. La radicación de números enteros es distributiva únicamente en la
multiplicación y en la división. Ejemplo:
(4)*(9) 4* 9
3
33
64 64
9 9
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Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Quién fue Aristoff Rudolff y que aportó al estudio de la radicación?.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
GLOSARIO:
Exponente: ………………………………………………………………………………………………………………………………….
Radicando: …………………………………..……………………………………………………………………………………………..
Base: …………………………………………………………………………………………………………………………………………
Índice: ………………………………………………………………………………………………………………………………………
Potencia:………………………………………………………………………………………………………………………………………
LECCIÓN Nº 4
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
REGLAS DE LA POTENCIACIÓN
El producto de potencias El cociente de potencias
De igual base es
Otra potencia de igual base
y su exponente es la y su exponente es la y su exponente es el
Resta
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De los exponentes
CUESTIONARIO
1. Escribe el valor de cada potencia:
2
3
4
2
(3)
( 5)
( 10)
4
2. Aplica la regla de cálculo correspondiente halla el producto:
18 15
7
5
2 3
3 0 4
132
01712
( 5) ( 5)
( 3)
( 3)
(4) (4) (4)
(2) (2) (2) (2)
4
3290
3. Aplicar la propiedad distributiva de la potenciación:
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3
4
( 4) ( 3) (2)
( 20) ( 5)
4. Halla la raíz en caso de ser posible:
5
3
100
32
216
343
5. Aplica la propiedad distributiva de la radicación
5
3
(25) (4) (9)
1024
32
( 216) 27
6. Suprime los signos de agrupación y halla el valor de la expresión:
3 0 0 1( 4) 8 2 5( 4) (3) (5)
7. Encuentra un número cuyo cubo elevado al cuadrado es 15625.
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LECCIÓN Nº5
NÚMEROS RACIONALES “Q”.
BLOQUE: SISTEMA NUMÉRICO
OBJETIVOS:
- Comprender el concepto de los de los números racionales.
- Conocer la forma de ordenar y de comparar los números racionales.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Asimilar el concepto de números racionales; aplicándolo para realizar secuencias, orden y
transformaciones
DEFINICIÓN.
Un número racional se puede expresar de la forma: a
b
Donde a y b son números enteros y b ≠ 0. El número a se llama numerador y el número b se llama
denominador. Los números racionales, pueden denotarse mediante una fracción o mediante
expresión decimal. Por ejemplo:
5; 0,5
10
Para leer un número racional denotado como una fracción se nombra primero el numerador y
luego el denominador.
1 3 4 2
; ; ; int2 7 15 31
un medio tres séptimos cuatro quinceavos dos tre a y un avos
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Fracción propia. Una fracción propia es aquella en donde cuyo numerador es menor que el
denominador Ejemplo: 2
3
Fracción impropia. Los números fraccionarios cuyo numerador es mayor que el respectivo
denominador, se denomina fracción impropia. Ejemplo: 7
4se necesitan dos gráficas.
Representación en la recta numérica. A cada número racional le corresponde un único punto en
la recta numérica. Ejemplo: Representar 9 3
4 4y en la recta numérica:
ORDEN Y COMPARACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES
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En la recta numérica es mayor aquel número ubicado más hacia la derecha. Ejemplo: Tomando en
cuenta el ejemplo anterior podemos decir entonces que:
9 3
4 4
Ya que 9
4 está más a la derecha que
3
4 .
Cuando se tiene dos números fraccionarios, puede ocurrir que sean iguales o desiguales. Al ser
desiguales pueden presentarse los siguientes casos:
1. Que los dos números dados sean positivos, en cuyo caso es mayor el que tiene mayor
valor absoluto. Ejemplo:
4 2 4 2
4 3 5 25 3 5 3
porque dado que
2. Que los dos números dados sean negativo, en cuyo es mayor el que tiene menor valor
absoluto. Ejemplo:
2 1 2 12 4 13 1
13 4 13 4porque dado que
Transformación de fracciones a denominador común mínimo. Se procede de en el denominador
la siguiente manera:
1. Se halla el múltiplo común mínimo (m.c.m.) de los denominadores de todas las fracciones,
el cual se transforma en el denominador común.
2. Se divide el múltiplo común mínimo por el denominador de cada fracción, obteniendo
siempre un cociente exacto
3. El cociente obtenido se multiplica por el respectivo numerador y se obtienen los
numeradores de las fracciones equivalentes. Ejemplo: 7 3 5
, ,12 16 8
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12 2
6 2
3 3
1
16 2
8 2
4 2
2 2
1
8 2
4 2
2 2
1
3
4
3
12 2 3
16 2
8 2
Donde que el m.c.m. =42 3 48 , por lo que las fracciones equivalentes son:
7 28 3 9 5 30
; ;12 48 16 48 8 48
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Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Por qué razón surgió el conjunto de números racionales? Explique con un ejemplo:
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. ¿Qué son las fracciones equivalentes?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
LECCIÓN Nº 5
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GLOSARIO:
Fracción: ……………………………………………………………………………………………………………………………………..
Fracción Propia:……………………………………………………………………………………………………………………………
Fracción Impropia:………………………………………..……………………………………………………………………………
Transformación de fracciones: ……………………………………………………………………………………………………
Múltiplo: …………………………………………………………………………………………………………………………………
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Entre 2 números enteros iguales
Si los dos son positivos
Es Es
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MAYOR
el que el que
valor absoluto tenga
CUESTIONARIO
1. Escribe la lectura de las siguientes fracciones:
2
8
9
23
33
42
7
25
49
11
3
210
2. Indicar que fracción representan los siguientes gráficos:
3. Realiza la interpretación gráfica de las fracciones dadas, utiliza cualquier figura
geométrica.
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1
2
5
4
6
3
7
10
1
5
3
4
4. Determina si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes o no, si lo son
explique por qué:
12 4
9 3y
5 10
6 8y
14 2
47 7y
5. Escribe los signos <, > o =, según corresponda. Escriba su desarrollo:
2 4 6 3.... ....
7 28 4 2
1 3 1 7.... ....
4 12 5 3
2 1 8 4.... ......
9 3 3 5
6. Representa en la recta numérica los números dados, y luego ordénalos de mayor a
menor:
7 1 1 5, 3, , 4,
3 2 4 3y
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7. Transforma las siguientes fracciones dadas a otras equivalentes con mínimo común
denominador:
8 9 11 5 6 7 1 3; ; ; ;
9 6 3 4 5 2 3 4y y
1 20 9 7 4 1 5 2; ; ; ;
5 25 2 4 9 2 6 3y y
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LECCIÓN Nº6
AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
BLOQUE: SISTEMA NUMÉRICO
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos de la amplificación y simplificación de los números racionales.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la amplificación y
simplificación de fracciones, empleando la multiplicación y división de números enteros.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Conocer los conceptos y métodos de resolución de problemas relacionados con la
amplificación y simplificación de números racionales
AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Comparemos las fracciones 4 16
5 20y . Observamos que éstas fracciones son equivalentes, ya que
4 20 5 16 , y notemos que la segunda fracción 16
20 se obtiene a partir de la primera
4
5,
multiplicando por 4 tanto al numerador como al denominador.
Ahora tomemos la fracción 2
3. Al multiplicar por 3 a los dos términos de la fracción, se obtiene
2 3 6
3 3 9
, que es equivalente a
2
3 porque se cumple que 2 9 6 3 .
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Si se multiplican los dos términos de una fracción por un mismo número entero, tanto al
numerador como al denominador, se obtiene otra fracción equivalente a la primera.
Ejemplo: Por medio de amplificación, calculemos la fracción equivalente a la fracción dada, según
se indica:
7 7 7 ( 4) 28 284;
9 9 9 ( 4) 36 36por
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
En la fracción 20
15 observamos que los dos términos (20 y 15) tienen a 5 por divisor común. Al
dividir el numerador y el denominador por dicho divisor común, se obtiene 20 5 4
15 5 3
. Entonces
observamos que 20 4
15 3 puesto que 2 9 6 3 . Por lo tanto:
Si se dividen los dos términos de una fracción por un divisor común se obtiene una fracción
equivalente a la primera.
Ejemplo: Realicemos simplificaciones y hallemos tres fracciones equivalentes a 18
24:
Algunos divisores de 18 y 24 son 2, 3 y 6, por lo tanto:
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18 2 9 18 3 6 18 6 3; ;
24 2 12 24 3 8 24 6 4
18 9
24 12 puesto que 18 12 24 9
18 6
24 8 puesto que 18 8 24 6
18 3
24 4 puesto que 18 4 24 3
FRACCIONES IRREDUCIBLES
Si los términos de una fracción no tienen divisores comunes distintos a la unidad es decir, si el
numerador y el denominador son números primos entre sí, la fracción no puede ser simplificada.
Por ejemplo, la fracción 13
7 es irreducible por cuanto 13 y 7 no tienen divisores comunes
distintos de la unidad y la fracción no puede ser simplificada.
Se denomina fracción irreducible a la fracción que no puede ser simplificada
Ejemplo: Calculemos la fracción irreducible equivalente a 24
16
24 24 8 3
16 16 8 2
Donde 3
2es la fracción equivalente irreducible.
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Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Cuándo una fracción es irreducible y reducible? Escriba un ejemplo:
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
GLOSARIO:
Equivalente:………………………………………………………………………………………………………………………………..
Irreducible:…….……………………………………………………………………………………………………………………………
Ampliar:………………………………………………………..……………………………………………………………………………
LECCIÓN Nº 6
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Simplificar:………………………………………………………………………………………………………………………………….
Divisor Común: ……………………………………………………………………………………………………………………………
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN
En la amplificación se La fracción irreducible
Se divide a la fracción no puede ser
Por un mismo numero entero
al numerador
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y al determinador
CUESTIONARIO
1. Amplifica cada una de las fracciones dadas , multiplicando al numerador y al
denominador por el número que se indica:
12 26 3
13 3
3 45 4
7 5
1 36 2
3 7
1 32 6
4 2
por por
por por
por por
por por
2. Simplifica y halla la fracción irreducible equivalente a las fracciones dadas:
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36 72 336
48 180 384
2880 64 120
2160 72 160
3. Representa gráficamente en una misma recta numérica los siguientes números:
3 7 1,
4 8 2
2 5 1 11, ,
6 3 2 3
y
y
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LECCIÓN Nº7
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES.
BLOQUE: SISTEMA NUMÉRICO
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos de la adición y sustracción de los números racionales.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la adición y
sustracción de los números racionales.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Realizar ejercicios de números fraccionarios con operaciones combinadas de adición y
sustracción, aplicando los métodos de resolución correctamente.
ADICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.
La suma de dos o más fracciones homogéneas es otra facción cuyo numerador es la suma de los
numeradores mientras que el denominador es el mismo. Ejemplo:
2 5 1 2 5 ( 1) 6
9 9 9 9 9
2 ( 12) 3 2 ( 12) ( 3) 13 13
5 5 5 5 5 5
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Cuando se van a sumar fracciones heterogéneas, es necesario transformarlas a un denominador
común. Ejemplo:
1 1 3 5 4 ( 2) ( 12) 5 4 2 12 5 5
2 4 2 8 8 8 8
3 6 4 7 6 24 ( 32) ( 7) 6 24 32 7 9
8 4 2 16 16 16 16
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.
El concepto de la sustracción de dos números racionales es igual al concepto de sustracción de los
números enteros, es decir se fundamenta en la adición de los números racionales. Ejemplo:
1 5 4 5 9 9
2 8 8 8 8
1 1 6 1 1 2 36 10 5 120 990,6 2
6 12 10 6 12 1 60 60
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6 3 1 1 51 2
14 10 3 6 9
30 21 1 6 1 51
70 3 6 9
51 5 1 51
70 3 6 9
51 5 1 51
70 3 6 9
51 18 30 3 10 51 41 51 41 459 1435 976
70 18 70 18 70 18 630 630
488
315
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
03 – 04 Dic
1. Averiguar acerca de las propiedades asociativa, conmutativa, y modulativa en la adición de
números racionales, escriba un ejemplo de cada una.
LECCIÓN Nº 7
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…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Adición:……………………………………………………………………………………………………………………………………….
Sustracción: …………………………………………………………………………………………………………………………………
Homogéneo:………………………………………………………………………………………………………………………………..
Heterogéneo:….……………………………………………………………………………………………………………………………
Racional: ………………………………………………………………………………………………………………………………….
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
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ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
De 2 números racionales
Homogéneos es otra función cuyo: Heterogéneos es necesario
Es
En un
y el
CUESTIONARIO
1. Adiciona los siguientes número racionales:
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8 7 6 3
5 5 5 5
4 12 8 5
7 7 7 7
2 3
8 12
5 3 7
4 6 5
2 5 3
7 8 4
1 23 ( 0,2)
8 5
1 2 12 ( 1,2)
3 3 2
1 1 11 2 ( 1,5) 2 3
4 2 3
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2. Efectúa la sustracción, según se indica:
3 1
5 4
12 13e
5 15
7 9
4 7
7 1Re
9 4
De resta
R sta de
De resta
sta de
3. Calcula el valor de la expresión:
17
4
35
7
3 1 51
5 2 4
1 54 3 0,8
2 3
3 910 5 2
5 4
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4. Comprueba que el valor de la expresión es : 11
2
4 1 8 52 4 6
3 2 3 3
5. Grafica (pinta) la sustracción: 1 1 1
2 3 6
6. En una fiesta de aniversario, María se ha comido la tercera parte de la torta, Laura la
cuarta parte y Diana la sexta parte, y sobró 1/7 de la torta. ¿Es cierto? ¿Por qué?
7. En cierto instituto ecuatoriano, 5/12 de los alumnos estudian químico y el 30% estudian
matemáticas. ¿Qué asignatura tiene más acogida?
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LECCIÓN Nº8
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES.
BLOQUE: SITEMA NUMÉRICO
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos de la multiplicación y división de los números racionales.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la multiplicación y
división de números racionales.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
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Conocer los conceptos y métodos de resolución de problemas relacionados con la
multiplicación y división de números racionales.
Aplicación de las propiedades en cada operación.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.
El producto de dos o más números racionales es otro número racional, que tiene por numerador el
producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
correspondientes. Ejemplo:
3 5 3 5 15
2 7 2 7 14
En la multiplicación de fracciones, por conveniencia se acostumbra a simplificar los factores del
numerador con otros del denominador. Ejemplo:
1 2
33
3 10 3 10 1 2 2
15 9 15 9 3 3 9
Propiedad Distributiva. La multiplicación de números racionales es distributiva respecto a un
polinomio aritmético. Ejemplo:
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1 1 4 2 1 1 1 4 1 2
2 2 3 7 2 2 2 3 2 7
1 2 1
4 3 721 56 12
8465
84
La Fracción como operador. La expresión “dos quintos del segmento AB” quiere decir que al
dividir el segmento AB en cinco partes de igual longitud, sólo se toman esas dos de esas partes,
es decir, si AB mide 15cm, para determinar los dos quintos 2
5, se divide a 15 para 5 y el
resultado se multiplica por 2. Es decir, multiplicamos dos de esas partes.
215 6
5cm cm
Entonces 2
5transforman 15cm en 6cm, es decir
2
5 se convierte en un operador.
DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
El cociente de un número racional entre otro, es un tercer número racional tal que multiplicado
por el segundo, nos dé un producto igual al primero. Ejemplo:
2 2 5 5 2 2
:3 5 3 3 5 3
porque
En la práctica, la división de dos fracciones se efectúa multiplicando el dividendo por el inverso del
divisor. Ejemplo:
5 1 5 35
3 3 3 1
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FRACCIONES COMPLEJAS.
La división de dos a c
b d la podemos representar también como:
Extremos
aa dbMedios
c b cd
Para realizar la operación de fracciones complejas, aplicaremos el proceso de multiplicar extremos
con extremos y medios con medios.
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCIÓN Nº 8
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INVESTIGO:
1. ¿Qué es un polinomio aritmético? Escriba un ejemplo
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Fracción Compleja:……………………………………………………………………………………………………………………..
Fracción Simple:……………………………………………………………………………………………………………………………
Fracción como operador:……………………………………………………………………………………………………………..
Extremos:……………………………………………………………………………………………………………………………………
Medios:……………………………………………………………………………………………………………………………………….
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
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RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.
CUESTIONARIO
1. Aplica la propiedad distributiva y halla el valor de la expresión:
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3 5 2
2 3 6
4 7 1
3 2 5
1 1 7 83 2
4 2 6 5
6 1 1 5 1
5 2 3 6 3
1 1 3 8 1 11
2 2 2 3 2 5
2. Halla el cociente simplificado.
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 69
5 280
4 8
33 11
4 20
5 125
20 40
16 32
24 4
2 15 4
3 4
31 1,2
4
3. Aplica la propiedad distributiva y halla el valor:
7 1 5
3 6 6
2 3 1 7
3 4 2 4
7 1 3 1 32
2 4 2 4 5
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 70
2 1 7 1 1 13
5 3 4 4 2 4
4. Un grifo ha vertido 243 litros de agua en un depósito y otro grifo los 5
9
con respecto al
anterior. Determina el número de litros que faltan para llenarlo, si la capacidad del
depósito es de 500 litros.
5. Transforma las fracciones complejas a fracciones simples.
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 71
61
35
6
11 2
1341
315
6
11
12
23
223
22
1 3
2 42
13
21 3
1 322 42 1
1 5 212 12
Colegio Particular a Distancia
“Continental” Acuerdo Ministerial Número Nº 0003701
Matemática- Octavo Año de Educación Básica 72
42
31 1
23 6
11 3
2
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LECCIÓN Nº9
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
BLOQUE: SISTEMA NUMÉRICO
OBJETIVOS:
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- Comprender los conceptos de la potenciación y radicación de los números racionales.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la potenciación y
radicación de números racionales.
DESTREZAS CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Conocer los conceptos de potenciación y radicación de números racionales.
Comprender y dominar los métodos para la resolución de problemas relacionados con la
potenciación y radicación de números racionales.
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.
La potencia enésima de un número racional a
b, es el producto de n factores iguales a
a
b.
......
...
n n
n
a a a a a a a a
b b b b b b b b
Ejemplo:
32 2 2 2 8
3 3 3 3 27
Regla de los signos. La potencia de exponente par lleva signo positivo y la potencia de exponente
impar lleva el mismo signo de la base.
Ejemplo:
2
3
2 2 2 4
5 5 5 25
1 1 1 1 1
4 4 4 4 64
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Potencias con exponente negativo. Un número racional elevado a un exponente negativo, es igual
al inverso del número racional elevado al exponente dado pero con signo positivo.
n na b
b a
RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.
Raíz enésima de un número racional llamado radicando, es otro número racional llamado raíz que,
elevado a la potencia enésima es igual al mismo radicando. Ejemplo:
33
33
27 27 3 3 27
135 5 5 135135porque
Al igual que en los números enteros para la radicación de los números racionales se debe tomar en
cuenta lo siguiente:
1. Si el índice es impar, la raíz tiene el mismo signo del radicando.
2. Si el índice es par, y el radicando es positivo, la raíz es un número positivo.
3. Si el índice es par y el radicando es negativo, la raíz no es posible en es conjunto de
números racionales.
Ejemplos:
3 41 1 1 1
; 2 ;8 2 16 9
no es posible
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
LECCIÓN Nº 9
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Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
3. ¿Cuáles son las dos formas de realizar una división de fracciones?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
GLOSARIO:
Exponente:…………………………………………………………………………………………………………………………………..
Exponente negativo……………………………………………………………………………………………………………………..
Exponente par:…………………………………………………………………………………………………………………………….
Exponente impar:…………………………………………………………………………………………………………………………
Regla de signos en la radicación:….………………………………………………………………………………………………
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
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……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.
CUESTIONARIO
1. Halla el valor de la potencia:
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2 1
3 4
0 2
3 23
2 200
4 5
3 6
39432 6
26782 5
2. Halla el valor de las potencias con exponentes negativos:
3 4
35
2 6
5 13
2 2
80,2
9
6 2
7 5
3. Halla la raíz de ser posible:
3 5
4 4
8 1024
27 32
256 81
81 256
25 100
4 4
4. Determina el valor de x para que se cumpla la igualdad:
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3 2
4 2
9
100
121 11
x
x
x
5. Suprime los signos de agrupación y halla el valor.
0 2
3
21
0
3
1
0
16 3 5 1 12
25 4 9 2 64
1 1 1 4 1 812 3
4 3 2 3 9 25
25 9 1 1 13
9 25 2 4 8
21
4 1 1 13 2 32 5 2 2 323
6. Un señor tiene $5600. Si en la mañana gasta 3/8 del dinero y en la tarde gasta 1/5 de lo
que le queda, calcula el dinero que le sobra al señor.
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LECCIÓN Nº10
SISTEMA DE FUNCIONES
BLOQUE Nº1: RELACIONES Y FUNCIONES
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos relacionados con el sistema de funciones.
- Conocer y aplicar los métodos de resolución de los problemas del sistema de funciones.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Resolver relaciones de conjuntos cumpliendo las condiciones determinadas
Ubicar en el plano cartesiano pares ordenados.
PAR ORDENADO
Se dice que (a, b) es un par cualquiera, con (a ≠ b), será un par ordenado si (a, b) ≠ (b, a). Por lo
tanto dos pares ordenados son iguales si los elementos respectivos son iguales y están dados en el
mismo orden. Ejemplo:
(5,6) (5,6)
(5,6) (6,5)
PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS.
El producto cartesiano A x B es el conjunto formado por todos los pares ordenados, cuyas
primeras componentes pertenecen a un conjunto A, que es llamado conjunto de partida, y cuyas
segundas componentes pertenecen a un conjunto B llamado también conjunto de llegada.
Ejemplo: Realizar el producto cartesiano A x B, si:
2,4 0,1,5A y B
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- Simbólicamente: (2,0);(2,1);(2,5);(4,0);(4,1);(4,5)A B
Se podría denotar así:
(2,0);(2,1);(2,5);(4,0);(4,1);(4,5)/ (2,4) (0,1,5)A B A B
- Gráficamente: Podemos representar así:
SISTEMA CARTESIANO DE COORDENADAS.
Si tomamos dos sistemas de coordenadas en una dimensión (recta numérica), de tal manera que
el origen cero coincida y que sean perpendiculares entre sí (uno horizontal y otro vertical), se tiene
un sistema cartesiano.
Al plano horizontal lo llamamos el eje X y al
sistema vertical lo llamamos eje Y. Estos dos
sistemas, dividen al plano en cuatro regiones
que se llaman cuadrantes, los mismos que se
encuentran nominados en sentido contrario
a las manecillas del reloj (I, II, III, IV).
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Para la ubicación de un par ordenado en el sistema cartesiano, se coloca primera la componente
en el eje X, y la segunda componente en el eje de las Y.
Puntualicemos los signos de las componentes y sus cuadrantes:
En el I cuadrante, las coordenadas son positivas (+, +).
En el III cuadrante, las coordenadas son negativas (- , -).
En el II cuadrante, la primera es negativa y la segunda es positiva (- , +).
En el IV cuadrante, la primera es positiva y la segunda es negativa (+ , -)
Ejemplo: Representar en el sistema cartesiano de coordenadas, los pares ordenados del producto
P x Q, si P = {-2, 3} y Q = {4, -3}.
El producto ( 2,4);( 2,3);(3,4);(3, 3)P Q , luego la representación en el plano
cartesiano es:
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RELACIONES BINARIAS.
En la vida diaria se presentan situaciones en donde se comparan dos elementos, por ejemplo:
- Laura “es reina de” Cuenca.
- 3 “es menor que” 5
- Jaime “es profesor de” Matemática.
- 8 “es divisor de” 48.
Podemos notar que en todos los ejemplos planteados se relacionan dos elementos. En este tema
se estudian las relaciones entre lo elementos de dos conjuntos; de aquí parte una definición
acerca del conjunto llamado relación.
El conjunto relación R, está formado por los pares ordenados que validen cierta regla o condición
definida y cuyo primer elemento pertenece al primer conjunto.
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Entonces, para hallar el conjunto relación debemos considerar lo siguiente:
1. Un primer conjunto.
2. Un segundo conjunto (puede ser el mismo primer conjunto)
3. Una regla o condición definida.
4. Los pares ordenados del producto cartesiano entre los dos conjuntos.
Ejemplo:
Hallar simbólicamente el conjunto relación PRQ, si P = {1, 4, 9} y Q = {5, 7}, que valide la regla
“menor que”.
Primero realizamos las consideraciones para ver si tenemos los argumentos necesarios para una
relación:
1. Primer conjunto. P = {1 , 4 , 9}
2. Segundo conjunto. Q = {5 , 7}
3. La regla es: “menor que”
4. El producto PxQ es:
(1,5);(1,7);(4,5);(4,7);(9,5);(9,7)P Q
Por lo tanto el conjunto relación estará formado por los pares ordenados que cumplan con la
condición inicial, es decir:
(1,5);(1,7);(4,5);(4,7)RPQ
Gráficamente tenemos:
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Dominio de una relación. El dominio es el conjunto formado por las primeras componentes de
cada par ordenado del conjunto relación.
Para el ejemplo anterior el dominio se representaría:
Dom = {1, 4}
Contradominio de una relación. El contradominio es el conjunto formado por las segundas
componentes de cada par ordenado del conjunto relación.
Para el ejemplo anterior el contradominio se representaría:
Cont = {5 , 7}
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Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: ………………………………………
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Quién fue René Descartes?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
LECCIÓN Nº 10
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GLOSARIO:
Par Ordenado:……………………………………………………………………………………………………………………………..
Sistema Cartesiano:………………….….………………………………………………………………………………………………
Relación Binaria:………………………………………………………………………………………………………………………….
Dominio:……………………………………………………………………………………………………………………………………..
Contradominio:……………………………………………………………………………………………………………………………
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.
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CUESTIONARIO
1. Para los conjuntos P= {4, 6} y Q= {a, e, i, o, u}. Hallar simbólicamente el [producto
indicado:
P Q
Q P
2. Representa gráficamente el producto de F x G, si F = {-2, 0} y G = {1, 2, 3, 4}.
3. Halla simbólicamente el conjunto relación “mayor que” definido por los conjuntos:
H= {3, 6, -7, 8, 9} y G = {9, 4, 5}.
H G
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4. Halla simbólica y gráficamente el conjunto relación XRY dadas por las siguientes
relaciones, luego escribe el conjunto dominio y contradominio.
" " {1,3,5,7} {2,4,6}mayor que Si X y Y
" " {4,6,8} {1,2,3}el doble de Si X y Y
" " {2,3,4,6} {8,3,4}mitad de Si X y Y
" 2" { 2,0,1,2} { 1,0,2,4,5}x y Si X y Y
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" 6" { 3, 1,2} { 6, 2,0,3}xy Si X y Y
5. En las relaciones dadas determina el conjunto dominio y el conjunto contradominio:
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LECCIÓN Nº11
FUNCIÓN
BLOQUE: RELACIONES Y FUNCIONES
OBJETIVOS:
- Comprender el concepto de función.
- Identificar diferentes problemas de funciones y aplicar los métodos de resolución a las
mismas.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Reconocer el dominio y contradominio de una función.
Graficar correctamente una función en un sistema cartesiano.
DEFINICIÓN
En algunas relaciones, cada elemento del primer conjunto está relacionado con un sólo elemento
del segundo conjunto, en estos casos la relación toma el nombre específico de función. Una
función se denota generalmente así:
:f
f X Y o X Y
Que se lee: “f es una función de X en Y”.
Las funciones pueden ser escritas en el lenguaje simbólico y en el lenguaje coloquial, de la
siguiente manera:
1. ( , )/ 2 1f x y y x y se lee: “f es el conjunto de pares ordenados (x,y) tales que y es el
doble de x, más 1”
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32. ( , ) / 1f x y y x y se lee: “f es el conjunto de pares ordenados (x,y) tales que y es el
cubo de x, disminuido en 1”
Dominio de una función. El dominio de una función definida de X en Y es el conjunto de partida X.
Contradominio de una función. El contradominio de una función f es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen al conjunto Y que cumplan con ésta función.
Ejemplo: Si X = {1, 3, 5} y 2f x , el conjunto Y = {2 , 6 , 8 , 10}, entonces el Dom = {1 , 3 , 5} y en
Cont = {2 , 6 , 10}.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EN UN SISTEMA CARTESIANO
.Una función numérica definida en los números enteros, se acostumbra representarla como:
( , ) / ( ) ,f x y y f x x y Z
Donde el dominio estará formado por los números enteros que se asignen arbitrariamente a x; y el
conjunto del contradominio estará formado por los valores de y (y = f(x)) obtenidos al reemplazar
x en la regla dada. Ejemplo: Grafiquemos en un sistema cartesiano la función:
( , )/ 2 1 ,f x y y x x y Z
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Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. Averiguar que es una función Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Función:……….……………………………………………………………………………………………………………………………..
Lenguaje simbólico:………………….….………………………………………………………………………………………………
Lenguaje coloquial……………………………………………………………………………………………………………………….
Contradominio:……………………………………………………………………………………………………………………………
Dominio:………………………………………………………………………………………………………………………………………
LECCIÓN Nº 11
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.
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CUESTIONARIO
1. Representa los siguientes puntos en el sistema cartesiano:
A(2,-1) ; B(3,1) ; C(4-3) ; D(6,-2) ; E(4,-4) ; F(5,0)
2. En una función, ”x” representa:
a. ( ) Un elemento del Dom. y Cont.
b. ( ) Un elemento del Dom.
c. ( ) Un elemento del Cont.
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3. Grafica las funciones dadas por:
2 4y x
2 2 4y x x
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4. Grafica en un sistema cartesiano la siguiente función si el dominio es Dom={3,-2,-1,0-1,2}
( , ) / 2 2 ,f x y y x x y Z
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LECCIÓN Nº12
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
BLOQUE: RELACIONES Y FUNCIONES
OBJETIVOS:
- Comprender el concepto de un monomio y un polinomio.
- Relacionar los polinomios y los monomios asociados a las operaciones entre polinomios.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO.
Reconocer la estructura y características de un expresión algebraica
Relacionar los tipos de expresiones algebraicas para resolver ejercicios; conocer el grado
de un polinomio y monomio.
DEFINICIÓN.
En el lenguaje algebraico, los números reales se representan por medio de letras.
El uso de letras permite al álgebra expresar del modo más general, las magnitudes representativas
de diversas situaciones reales. En este sentido se dice que el lenguaje algebraico es una
generalización del lenguaje de la aritmética.
Por ejemplo, la base de un rectángulo es el doble de su altura. Si la altura mide x unidades, la base
mide entonces 2x unidades, por lo tanto, el área del rectángulo se expresa como:
2(2 ) ( ) 2
A b a
A x x x
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las
letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las
expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje
habitual.
Tipos de expresiones algebraicas. Hay distintos tipos de expresiones algebraicas.
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Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando) y polinomios
(varios sumandos).
Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos),
etc.
Dos expresiones algebraicas separadas por un signo se llama ecuación.
Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son
equivalentes.
MONOMIOS
Un monomio es una expresión algebraica que puede ser un número, una letra que representa una
variable o el producto de números y letras elevadas a potencias con exponentes enteros mayores
o iguales a cero.
Ejemplo:
2 4 3 55 ; 3 ; 24x xy x y z
A la parte numérica del monomio se le llama coeficiente numérico y al producto de las letras que
representas las variables de un monomio con sus respectivos exponentes se lo llama parte literal.
Ejemplo: En el monomio 35x , el coeficiente numérico sería -5, mientras que la parte literal la
conformaría 3x .
Grado de un monomio. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que
representan las variables. Ejemplo: El grado del polinomio 37x y es 4, ya que 3 3 17 7x y x y . En
este curso únicamente se analizaran los monomios de grado 2.
Monomios Semejantes. Se llaman semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal. Ejemplo: Son semejantes los monomios:
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Pues la parte literal de todos ellos es: .
Valor Numérico. El valor numérico de una expresión algebraica, y en particular de un monomio, es el valor que se obtiene al reemplazar las variables por sus respectivos valores.
Para conocer acerca de monomios homogéneos es necesario el siguiente concepto:
Polinomio. Un polinomio es la suma algebraica de dos o más monomios.
El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.
Polinomio homogéneo. Un polinomio se denomina homogéneo en una o varias variables si todos
sus términos son del mismo grado en dichas variables;
Ejemplo: 3xy+ 2x2 5y2 es un polinomio homogéneo de segundo grado en x e y.
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Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Cuál fue el origen de las expresiones algebraicas?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
GLOSARIO:
Monomio:….……………………………………………………………………………………………………………………………..
Semejante:…………………………….….………………………………………………………………………………………………
Homogéneo...…………………………………………………………………………………………………………………………….
Valor Numérico:………………………………………………………………………………………………………………………..
Polinomio:…………………………………………………………………………………………………………………………………
LECCIÓN Nº 12
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.
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CUESTIONARIO
1. Completa la siguiente tabla:
Elementos términos
Signo Coeficiente Factor Literal
-3x2 𝟏
𝟒𝒎𝒏
0,25a3by
27x4y6w12 𝟑
𝟒𝒏𝒙𝐰𝟑
2. Escribe los posibles exponentes de las variables para que cada término tenga el grado
indicado.
3
4 3
15
4
0,3 9
m n grado
x y z grado
a b grado
c d f grado
3. Escribe una expresión algebraica que cumpla cada grupo de condiciones.
a. Con un término, dos variables y cuyo grado con respecto de una de las variables sea 2.
b. De dos términos y de dos variables distintas.
c. Con tres términos y la variable “x”.
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4. Calcula el valor numérico de cada valor:
2
2
3
4 5 2
4 1
42
5
5 1, 3
1si 6
2
1, 2, 3
a si a
x si x
mn si m n
n n
x y z si x y z
5. Encuentra el valor numérico de la variable si se conoce el valor numérico de cada
monomio.
Monomio Valor numérico Del monomio
Valor numérico De la variable
3a 12 a=
5b2 5 b=
4c2 -32 c= 𝟏
𝟑𝒎
4 m=
12x -36 x=
6. Escribe dos monomios que sean semejantes a cada uno de los monomios dados:
2
3 3
2
5
14
93
55
0,7 3
4 2
a pq
x xyz
x y bc
n m abx
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7. Determinar si las siguientes expresiones son polinomios homogéneos, y si lo son
determinar su grado.
4 4 8 7
2 2
2 2 3
3 2
8 16 5
2 3
4 8
5 2
a b a c a
x xy y
ab a b a
x xz y x
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LECCIÓN Nº13
GEOMETRÍA Y MEDIDA
BLOQUE: GEOMETRIA
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos asociados a la geometría y medida.
- Conocer la clasificación de las figuras geométricas, desde las más elementales hasta las
más complejas.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Reconocer figuras geométricas según su superficie.
Asociar los conceptos con la aplicación de gráficos.
FIGURAS GEOMÉTRICAS
Una figura geométrica es un conjunto cuyos elementos son puntos. La Geometría es el estudio
matemático detallado de las figuras geométricas y sus características: forma, extensión, posición
relativa, propiedades.
La observación de la naturaleza nos muestra la existencia de variadas formas en los cuerpos
materiales que la componen y nos proporciona la idea de volumen, superficie, línea, y punto. Por
necesidades prácticas, el desarrollo de técnicas usadas para medir, construir o desplazarse,
llevaron al hombre a hacer uso de las diversas propiedades de las figuras geométricas.
FIGURAS GEOMÉTRICAS MÁS ELEMENTALES.
Las figuras geométricas más elementales son el punto, la recta y el plano. Mediante
transformaciones y desplazamientos de sus componentes generan diversas líneas, superficies y
volúmenes, que son objeto de estudio en matemáticas: geometría, topología, etc. A continuación
su muestran figuras geométricas que delimitan una superficie.
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Adimensional (sin dimensiones)
Punto
Unidimensional (lineales)
Recta o semirrecta o segmento
Curva
Bidimensional (superficiales)
Plano
Delimitan superficies (figuras geométricas en sentido estricto):
Polígono o triángulo o cuadrilátero
Sección cónica o elipse
circunferencia o parábola o hipérbola
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Describen superficies:
Superficie de revolución Superficie reglada
Tridimensional (volumétricas)
Delimitan volúmenes (cuerpos geométricos):
Poliedro
Describen volúmenes:
Sólido de revolución o cilindro o cono o esfera
N-dimensional (n dimensiones)
Politopo
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Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Cuál es el origen del término geometría?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Cilindro:….………………………………………………………………………………………………………………………………….
Poliedro:…………………………….….……………………………………………………………………………………………………
Polígono:..…………………………………………………………………………………………………………………………………..
Esfera:………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Elipse:………………………………………………………………………………………………………………………………………....
LECCIÓN Nº 13
Colegio Particular a Distancia
“Continental” Acuerdo Ministerial Número Nº 0003701
Matemática- Octavo Año de Educación Básica 113
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 114
CUESTIONARIO
1. Construir las siguientes figuras geométricas.
Cubo:
1.- Se trazan cuatro (4) cuadrados
iguales, de 10cm de lado uno
seguido del otro.
2.- Luego se dibujan dos (2)
cuadrados más a cada lado de
uno de los que hiciste
anteriormente.
3.- Recuerda que se deben trazar
sus respectivas pestañas para así
lograr pegar todo el cuerpo
geométrico y formar la figura.
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Cono:
1.- Se traza un círculo de radio 5cm que será la base.
2.- Luego se dibuja un triángulo cuya base debe ser en forma
de arco.
3.- Las pestañas debes hacerlas en la base del triángulo.
Pirámide Triangular:
1.- Se trazan tres (3) triángulos
isósceles iguales de base 3cm y
9cm de lado, uno a continuación
del otro.
2.- Luego se dibuja otro triángulo
más pequeño (equilátero) de 3cm
de lado, que servirá como base
debajo de alguno de los trazados
anteriormente.
3.- Recuerda dibujar las pestañas.
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LECCIÓN Nº14
TRIÁNGULOS
BLOQUE: GEOMETRIA
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos asociados a los triángulos y sus diferentes tipos.
- Conocer la clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Describir las características principales de un triangulo, mencionar su clasificación según
los distintos criterios logrando aplicarlos mediante gráficos.
DEFINICIÓN
Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en
tres puntos (que no se encuentran alineados).
Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados
son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.
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Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices
Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser
designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C,...
Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, nombrando sucesivamente sus
vértices, por ejemplo ABC.
En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6
maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro.
Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.
Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC, en
nuestro ejemplo.
Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto,
convertido a minúscula latina: a para BC, b para AC, c para AB.
La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten el extremo O es
POQ.
También podemos utilizar una letra minúscula, habitualmente griega, coronada por un acento
circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por
minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la
notación).
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En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia
de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento
circunflejo. En resumen, en nuestro ejemplo, podemos observar los ángulos:
a A BAC
b B ABC
c C ACB
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS.
Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la
amplitud de sus ángulos.
Por las longitudes de sus lados.
Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:
Triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos
miden 60 grados.)
Triángulo isósceles, si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a
estos lados tienen la misma medida.
Triángulo escaleno si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo
escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).
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Ejemplos:
Equilátero Isósceles Escaleno
Por la amplitud de sus ángulos.
Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que
conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por
ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.
Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°);
los otros dos son agudos (menores de 90°).
(Clasificación por amplitud de sus ángulos)
Triángulos
Rectángulos
Oblicuángulos
Obtusángulos
Acutángulos
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Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El
triángulo equilátero en caso particular de triángulo acutángulo.
Rectángulo Obtusángulo Acutángulo
Oblicuángulos
Importante: La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°
180
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Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿De qué manera, con la ayuda de un compás y una regla, podemos dibujar un
triángulo equilátero?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
GLOSARIO:
Triángulo Equilátero:..………………………………………………………………………………………………………………..
Triángulo Escaleno:…………………………….….……………………………………………………………………………………
Triángulo Isósceles:..……………………………………………………………………………………………………………………
Triángulo rectángulo:………………………………………………………………………………………………………………….
Triángulo acutángulo:………………………………………………………………………………………….………………………
LECCIÓN Nº 14
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 122
Triángulo obtusángulo:……………………………………………………………………………………………………………
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 123
CUESTIONARIO
1. Calcule en un triángulo el ángulo x teniendo en cuenta que los otros miden 43º y 105º. Seleccione una respuesta:
a) 60°
b) 32°
c) 42°
2. ¿Cuál es el tipo de triángulo que tiene tres ángulos agudos? Seleccione una respuesta:
a) Rectángulo
b) Acutángulo
c) Obtusángulo
3. Construye un triángulo equilátero ABC de 3cm de lado, escribe su simbología y halla el perímetro.
4. Construye un triángulo isósceles MNO, si su base mide 3 cm y sus lados congruentes 5cm, escribe su simbología y halla el perímetro.
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 124
5. Construye un triángulo escaleno KEM, cuyos lados miden 8cm, 6cm, y 5cm. Luego anota su simbología, mide sus lados y halla el perímetro.
6. Construye un triángulo acutángulo y anota la simbología respectiva, luego mide cada uno de los ángulos y comprueba que la sumatoria de sus lados es 180°.
7. Grafica en el sistema cartesiano los puntos P (4,-4), Q (4,-2), R (-3,-2). Une los puntos y forma un triángulo, mide los ángulos interiores comprobando que su suma sea 180°. Finalmente anota que tipo de triángulo es.
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LECCIÓN Nº15
TEOREMA DE THALES
BLOQUE: GEOMETRÍA
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos asociados con el Teorema de Thales.
- Conocer las propiedades relacionadas y aplicadas a los triángulos.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Ejecutar el Teorema de Thales y sus propiedades estudiadas en ejercicios de aplicación,
utilizando métodos de resolución adecuados.
La geométrica estudia las propiedades y medidas de las figuras geométricas. En la Geometría,
tenemos un teorema que es fundamental en su estudio, que fue planteado por el griego Thales de
Mileto (640 – 546 AC), el cual nos dice que:
Las paralelas que cortan a otras rectas, determinan en dichas rectas, segmentos correspondientes
proporcionales.
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Las rectas a, b, c y d, son paralelas, mientras que las rectas r y s son transversales.
Para entender el teorema tenemos que medir las distancias AB, BC, CD, AC, AC y BD, y luego
medimos los segmentos correspondientes A’B’, B’C’, C’D’, A’C’, A’C’ y B’D’.
Al dividir las medidas de los primeros segmentos entre las medidas de sus correspondientes, se
obtiene una constante y se dice que los segmentos son proporcionales.
( tan )' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
AB BC AC BD AB CDk cons te
A B B C A C B D A B C D
PROPIEDADES DEL TEOREMA DE THALES
Del teorema de Thales estudiado, podemos observar algunas propiedades al interior del triángulo:
o Propiedad.
Toda recta paralela al lado de un triángulo, divide a los otros lados en partes proporcionales.
PQ AB
AP PC AP BQo
BQ QC PC QD
o Propiedad.
Una recta paralela a un lado de un triángulo, determina con los otros dos un nuevo triángulo cuyos
tres lados son proporcionales al primero.
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 127
PQ AB
PQ PC CQ
AB AC CB
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 128
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Quién fue Thales de Mileto?.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Proporcional:…………....………………………………………………………………………………………………………………..
Teorema:………………..………………………….….……………………………………………………………………………………
Paralela:………………..……………………………………………………………………………………………………………………
Segmento:……………….………………………………………………………………………………………………………………….
Empíricamente:………………………………………………………………………………………………………………………….
LECCIÓN Nº 15
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 129
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.
Colegio Particular a Distancia
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 130
CUESTIONARIO
1. Traza 3 rectas paralelas que corten a las rectas m y n. Luego mide en cm y con mucha precisión los segmentos indicados, determina la constante k y comprueba empíricamente el teorema de Thales:
' '
' '
' '
' ' ' ' ' '
PQk
P Q
QR
Q R
PR
P R
PQ QR PR
P Q Q R P R
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2. En el triángulo propuesto, traza una recta PQ paralela a un lado y comprueba (mide) que los segmentos de recta en los otros dos lados, son proporcionales (primera propiedad del teorema de Thales).
:Comprueba
CP BQ
PA PQ
3. En el triángulo propuesto traza una recta PQ y comprueba (mide) la segunda propiedad del teorema de Thales.
:Comprueba
AQ AP PQ
AB AC BC
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 132
4. Traza tres rectas paralelas k, l, m que corten a las rectas dadas a y b. Luego mide en cm los segmentos indicados, determina la constante k y comprueba empíricamente el teorema de Thales.
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 133
LECCIÓN Nº16
RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
BLOQUE: GEOMETRÍA
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos asociados a las rectas notables de los triángulos.
Conocer los puntos que forman las distintas rectas notables de un triángulo, y que tipo de
construcciones se pueden realizar a partir de los mismos.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Definir y representar medianas, mediatrices, alturas y bisectrices de un triángulo en gráficos.
ALTURA.
Se llama altura de un triángulo a cada una de las tres rectas que pasan por un vértice del triángulo
y que son perpendiculares al lado opuesto del vértice.
Las 3 alturas de un triángulo se cortan en un punto único llamado ortocentro del triángulo.
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MEDIANA.
El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se llama mediana. Las
tres medianas de un triángulo concurren en un punto, G en la figura, llamado baricentro del
triángulo.
BISECTRIZ.
La bisectriz es aquella recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales, por lo que las
bisectrices de un triángulo son las tres bisectrices de sus ángulos internos. Las tres bisectrices de
un triángulo son concurrentes en un punto O llamado incentro.
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 135
MEDIATRIZ.
Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado trazada por su
punto medio. Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto equidistante de
los tres vértices. Este punto se llama circuncentro.
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 136
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Qué es y cómo se construye una circunferencia inscrita en un triángulo?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
GLOSARIO:
Mediana:…….…………....………………………………………………………………………………………………………………..
Bisectriz:..………………..………………………….….……………………………………………………………………………………
Mediatriz:….…………..……………………………………………………………………………………………………………………
Incentro:……………………………………………………………………………………………………………………………………...
Altura:………………………………………………………………………………………………………………………………………….
LECCIÓN Nº 16
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 137
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.
Colegio Particular a Distancia
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 138
CUESTIONARIO
1. En un triángulo acutángulo RST traza las tres alturas y halla el ortocentro.
2. En un triángulo obtusángulo ABC traza las tres medianas y halla el baricentro.
3. En un triángulo rectángulo EFG traza las tres bisectrices y halla el incentro.
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 139
4. En un triángulo obtusángulo XYZ traza las tres mediatrices y halla el circuncentro.
5. Trazar una circunferencia inscrita en un triángulo. (utiliza el incentro como origen de la circunferencia).
6. Trazar una circunferencia circunscrita en un triángulo. (utiliza el circuncentro como origen de la circunferencia).
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 140
LECCIÓN Nº17
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
BLOQUE: GEOMETRÍA
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos asociados a la congruencia y semejanza de triángulos y sus
diferentes aplicaciones.
- Conocer los diferentes postulados para la determinación de la congruencia o semejanza
entre triángulos.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Reconocer la congruencia y la semejanza de triángulos en la resolución de problemas.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el
ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los
del otro triángulo. Es decir dos triángulos son congruentes cuando tienen la misma forma y el
mismo tamaño.
Postulados de congruencia.
Triángulo Postulados de congruencia
Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado)
Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos
lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también
la misma medida.
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 141
Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)
Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre
ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre
dos ángulos es el lado común a ellos).
Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)
Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud
que los correspondientes del otro triángulo.
Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado)
Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los
ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
Como una aplicación del teorema de Thales tenemos la semejanza de triángulos, la misma que se
da cuando los triángulos tienen únicamente la misma forma. Simbólicamente la semejanza se
representa con “~”.
Primer caso de semejanza:
Dos triángulos son semejantes cuando tienen los tres ángulos iguales
~
A P
B Q
C R
ABC PQR
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 142
Segundo caso de semejanza:
Dos triángulos son semejantes cuando los tres lados de uno de ellos, son proporcionales
respectivamente a los tres lados del otro.
~
AC AB BC
PR PQ QR
ABC PQR
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 143
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿En qué caso de la vida real se puede observar la semejanza de triángulos?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Congruente:.…………....………………………………………………………………………………………………………………..
Semejante:……………..………………………….….……………………………………………………………………………………
Postulado:…………………………………………………………………………………………………………………………………..
Teorema:…………………………………………………………………………………………………………………………………….
Ángulo:………………………………………………………………………………………………………………………………………..
LECCIÓN Nº 17
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 144
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.
Colegio Particular a Distancia
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 145
CUESTIONARIO
1. Determina si los triángulos propuestos son congruentes. Mide los lados y el ángulo indicado.
A P
AC PR
AB PQ
Conclusión: ………………………………………………………………………………………………………………………………
2. Determina si los triángulos propuestos son congruentes. Mide los lados y los ángulos,
según sea el caso.
a. Aplica el postulado LAL
Explicación:………………………………………………………………………………………………………………………………………
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 146
b. Aplica el postulado LLL
Explicación:………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. Determina si los triángulos propuestos son semejantes. Aplica el primer caso.
4. Determina si los triángulos propuestos son semejantes. Aplica el segundo caso.
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 147
LECCIÓN Nº18
CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS.
BLOQUE: GEOMETRÍA
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos asociados a la construcción de figuras geométricas.
- Conocer los métodos de construcción de figuras geométricas utilizando la regla y el
compás.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Construir figuras geométricas con el uso de la regla y el compás siguiendo pautas específicas; aplicar métodos y técnicas adecuadas para graficar las figuras de forma exacta.
TRAZAR UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO DADO UN LADO
Empezamos trazando uno de sus lados que servirá de base para el triángulo: A B. Ahora trazamos
una circunferencia con centro en cada uno de los extremos del segmento que pase por el otro
extremo. Es decir, el radio de la circunferencia es igual a la longitud del segmento.
A B. El punto de intersección de las dos circunferencias es el tercer vértice del triángulo
equilátero. Trazamos los segmentos AC y BC para obtener el triángulo equilátero: A B C.
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 148
TRAZAR UNA PERPENDICULAR A UNA RECTA POR UNO DE SUS PUNTOS.
Empezamos dibujando la recta a la cual se le trazará la perpendicular: Con ayuda del compás
vamos a trazar dos arcos que corten la recta apoyándonos en el punto P, donde A y B son los
puntos de intersección del arco con la recta. Ahora vamos a trazar, con una mayor abertura del
compás, dos arcos que se corten, apoyándonos primero en el punto A y luego en B. El punto de
intersección de los arcos es Q. Ahora basta unir los puntos P y Q para obtener la recta
perpendicular a:
CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO DADO UNO DE SUS LADOS
Empezamos con uno de los lados del cuadrado A B. Construimos una perpendicular a cada
extremo del lado dado, luego trazamos una circunferencia con centro en A primero, luego en B y
con radio igual a la longitud del lado A B. Los puntos P y Q de intersección de cada circunferencia
con las perpendiculares son los otros vértices del cuadrado:
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 149
TRAZAR UNA BISECTRIZ
Empezamos mostrando el ángulo al cual trazaremos la bisectriz, primero abrimos el compás para
dibujar dos arcos de mismo radio que corten, uno a cada lado del ángulo, donde A y B son las
intersecciones. Ahora, apoyándonos en cada punto de intersección generados con estos trazos,
volvemos a trazar dos arcos de mismo radio, que se corten entre ellos. Ahora solo falta trazar la
recta que pasa por el vértice del ángulo y el punto Q:
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 150
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Cómo construir un triángulo isósceles utilizando la regla y el compás?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
GLOSARIO:
Segmento:…..…………....………………………………………………………………………………………………………………..
Perpendicular:………..………………………….….……………………………………………………………………………………
Radio de la circunferencia:………………………………………………………………………………………………………….
Intersección:………………………………………………………………………………………………………………………………..
Bisectriz:…………………………………………………………………………………………………………………………………….
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
LECCIÓN Nº 18
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 151
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.
Colegio Particular a Distancia
“Continental” Acuerdo Ministerial Número Nº 0003701
Matemática- Octavo Año de Educación Básica 152
CUESTIONARIO
1. Construir un triángulo equilátero dado un lado de 3cm.
2. Construir un triángulo isósceles dado su base AB de 3cm y uno de sus lados de 5cm.
3. Construir un triángulo escaleno dado sus tres lados 3cm, 4cm, 5cm.
Colegio Particular a Distancia
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 153
4. Construir un triángulo isósceles dado su base AB de 4cm y uno de sus ángulos de 60°.
5. Construir un cuadrado dado uno de sus lados, L = 3,5cm
6. Trazar la bisectriz en los ángulos siguientes: 40°, 60°, 90 y 75°
Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante Fecha
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 154
LECCIÓN Nº19
PRISMA Y CILINDRO
BLOQUE: GEOMETRÍA
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos asociados al prisma y al cilindro.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con el cálculo de área y
volumen de los prismas y cilindros.
DESTREZA CON CRITERIO DESEMPEÑO
Describir el concepto y características de un prisma y cilindro, obtener el área de las
figuras propuestas mediante la aplicación de fórmulas.
DEFINICIÓN.
Los cuerpos geométricos existen en el espacio y son, por tanto, objetos tridimensionales limitados
por una o varias superficies. Si todas las superficies que lo limitan son planas y de contorno
poligonal, el cuerpo es un poliedro, dentro de los cuales tenemos al prisma y al cilindro.
PRISMA.
Llámese prisma a una porción de espacio, limitada por dos polígonos iguales, puestos en planos
paralelos y por tantos paralelogramos cuantos son los lados de los polígonos.
Colegio Particular a Distancia
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Matemática- Octavo Año de Educación Básica 155
Este es un prisma pentagonal ya que tiene por bases dos pentágonos.
Tomamos en cuenta las siguientes definiciones en el prisma:
Caras laterales: Los paralelogramos que conforman el prisma.
Altura del prisma: Es la distancia entre los planos de las bases.
Área de un prisma: El área de un prisma se define como:
Á. Total = A Lateral + 2· A Base
Volumen de un prisma: El volumen de un prisma, se define como:
Volumen = A Base · Altura
Donde la Base = Polígono Regular.
CILINDRO.
Se llama cilindro circular recto o simplemente cilindro, al sólido producido por la rotación
completa de un rectángulo, alrededor de uno de sus lados.
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El cálculo del volumen y el área del cilindro son similares al cálculo en el prisma.
Área de un cilindro: El área de un cilindro se define como:
Á. Total = A. Lateral + 2· A. Base
Volumen de un cilindro: El volumen de un cilindro, se define como:
Volumen = A. Base · Altura
Donde A. Base = π.r2
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Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Qué es un prisma recto y Qué es un cilindro oblicuo?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Área:…………..…………....………………………………………………………………………………………………………………..
Volumen:………………..………………………….….……………………………………………………………………………………
Poliedro:………………………….………………………………………………………………………………………………………….
Paralelogramo:…………………………………………………………………………………………………………………………..
Polígono:……………………………………………………………………………………………………………………………………
LECCIÓN Nº 19
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.
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CUESTIONARIO
1. Hallar el volumen de un prisma pentagonal cuyos lados de la base tienen 3cm y la
apotema de 2cm, y cuya altura es de 10 cm.
2. Hallar el volumen de un cilindro recto, cuya base tiene un radio de 2cm, y una altura de
8cm.
3. Construir un prisma triangular y un cilindro y verificar el valor del volumen calculado.
Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante Fecha
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LECCIÓN Nº20
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos asociados a la probabilidad y estadística.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados la interpretación de
datos, gráficos y cálculo de frecuencias.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
Mencionar el concepto e importancia de la estadística dentro del estudio.
Calcular y contrastar frecuencias absolutas y acumuladas de una serie de datos gráficos.
Realizar gráficos estadísticos aplicando el estudio realizado.
ESTADÍSTICA.
Se denomina estadística, al conjunto de procedimientos que tienen que ver con la recolección,
organización e interpretación de datos, lo cual facilita la toma de decisiones.
Ejemplo: Observemos los siguientes cuadros:
ENCUESTA
Instrucción: Marca con
Una x tú cantante preferido.
( ) Cristian Castro
( ) Enrique Iglesias
( ) Ricky Martin
( ) Alejandro Sanz
( ) Luis Miguel
RESULTADOS
Cristian Castro 38
Enrique Iglesias 95
Ricky Martin 92
Alejandro Sanz 64
Luis Miguel 36
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De la observación de estos cuadros, podemos decir:
En el primer cuadro, tenemos una encuesta.
En el segundo cuadro, aparecen los resultados de la encuesta.
En el tercer cuadro, tenemos un gráfico representativo de los resultados de la encuesta.
En conclusión podemos observar que se ha recogido la opinión de las personas, luego se han
escrito organizados dichos criterios y finalmente, se han representado en un gráfico para una fácil
interpretación.
FRECUENCIAS.
En la mayoría de las investigaciones, podemos observar que los datos o valores se repiten, por lo
que al momento de elaborar una tabla, es necesario escribir una columna de frecuencias.
Se denomina frecuencia (f), al número de veces que se repite un dato.
Ejemplo: Construyamos una tabla con frecuencias en forma ascendente con los datos, los mismos
que corresponden a las edades en años de los alumnos de octavo año de básica.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Cristian Castro Enrique Iglesias Ricky Martin Alejandro Sanz Luis Miguel
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14 13 12 11 10
15 12 13 11 12
12 13 11 12 14
11 12 13 12 12
11 11 12 12 12
EDAD FRECUENCIA
(variable) (f)
10 1
11 6
12 11
13 4
14 2
15 1
TOTAL 25
En estadística se pueden distinguir hasta cuatro tipos de frecuencias, estas son:
Frecuencia absoluta (ni) de una variable estadística Xi, es el número de veces que aparece en el estudio este valor. A mayor tamaño de la muestra, aumentará el tamaño de la frecuencia absoluta; es decir, la suma total de todas las frecuencias absolutas debe dar el total de la muestra estudiada (N).
Frecuencia relativa (fi), es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra (N). Es decir,
Si multiplicamos la frecuencia relativa por 100 obtendremos el porcentaje o tanto por ciento (pi)
que presentan esta característica respecto al total de N, es decir el 100% del conjunto.
Frecuencia absoluta acumulada (Ni), es el número de veces ni en la muestra N con un valor igual o menor al de la variable. La última frecuencia absoluta acumulada deberá ser igual a N.
Frecuencia relativa acumulada (Fi), es el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el número total de datos, N. Es decir,
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Con la frecuencia relativa acumulada por 100 se obtiene el porcentaje acumulado (Pi), que al igual
que Fi deberá de resultar al final el 100% de N.
Ejemplo: Estos son las notas de un alumno de 2do grado de secundaria:
18, 13, 12, 14, 11, 08, 12, 15, 05, 20, 18, 14, 15, 11, 10, 10, 11, 13
Número de datos: N = 18
Frecuencia Absoluta de 11 es 3. (11 aparece 3 veces)
Frecuencia Relativa de 11 es 0,17. (Frecuencia absoluta/cantidad de datos) (En este caso es 3/18)
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Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. Tipos de gráficos estadísticos, conseguir un ejemplo de datos estadísticos reales
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Recolección:..…………....………………………………………………………………………………………………………………..
Organización:………..………….……………….….……………………………………………………………………………………
Interpretación:…………………………………………………………………………………………………………………………….
Frecuencia:…..……………………………………………………………………………………………………………………………..
LECCIÓN Nº 20
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Frecuencia relativa:…………………………………………………………………………………………………………………….
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.
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CUESTIONARIO
1. Realiza el ejemplo de una encuesta, y representa los datos obtenidos en la misma,
utilizando la gráfica de barras. Saca tus conclusiones acerca de la encuesta.
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2. Las edades de los alumnos de noveno, se proponen a continuación. Construye una tabla
en donde se observen las frecuencias absolutas, relativas y relativas porcentuales, así
también como las frecuencias absoluta acumulada, relativa acumulada y porcentual
acumulada.
16 15 14 14 12
13 15 14 13 12
12 15 13 14 14
14 13 14 13 13
13 14 15 14 14
12 15 14 13 14
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3. Realiza una encuesta acerca de preferencias al momento de comprar gaseosa,
representa los datos obtenidos utilizando una gráfica de barras. Saca tus conclusiones
acerca de la encuesta.
Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante Fecha