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8/19/2019 Momento 2 – Trabajo Colaborativo Unidad 1 -Calculo Diferencial
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Calculo diferencial01/03/2016
Momento 2 – Trabajo colaborativo unidad 1
Presentado por:
Franklin Smith Galvis Da a
!liana "isel Garcia
#ose $uis Mari%o
Daniel Fernando &ecerra
"eimar 'ndres Gon ale
Grupo:
1(()1(*)2+
Presentado a:
,'-$.S !D/'-D. .T!-. M/-0$$.
/niversidad nacional abierta a distancia
,alculo Di erencial
,!'D Duitama
2(13
1
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Calculo diferencial01/03/2016
Fase 4o5 1 .
A continuación se presentan 12 problemas cada uno concerniente a las temáticas
de la unidad 1 del curso “Análisis de sucesiones y Progresiones”.
P-.&$!M' 1
Sergio ingresa a una dieta para subir de peso, esta dieta, le exige iniciar tomando
100mg de multi itam!nico el primer d!a e ir tomando " mg más cada d!a durante
los # d!as $ue el doctor le %a programado la dieta. 1 &g de multi itam!nico cuesta
2," Pesos. 'esponda las siguientes preguntas.
a6 7,u8nto multivitam9nico consumir8 Ser io en el total de su dieta (
)atos
*+ umero de -rupo 2"
p+ /alor en pesos de cada mga n + termino general
d+ cantidad de aumento del multi itam!nico por d!aa1+ cantidad del primer d!an+ total de d!as de consumo de multi itam!nico 2"
a n + a 1+(n− 1 ). d
a n + 100 mg+(425 − 1 ). 5 mg
a n + 2220 mg
-ta: n el total de su dieta Sergio consumirá 2220 mg de multi itam!nico.
b6 7,u8nto dinero astar8 comprando este multivitam9nico;
costo = a n . p
2
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Calculo diferencial01/03/2016
costo = 2220 mg . 2,5
costo = 5550 pesos
-ta5 -asto ""00 pesos.
c6 7$a pro resi
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Calculo diferencial01/03/2016
Pago + ":6:"0 = 2 + 26>0?, 2"
Al cancelar su eintea o 20 mes, sólo $uedan meses de pagosPara calcular el alor de la deuda restante, multiplicamos la cantidad demeses $ue 4altan por el alor del pago.
'estante + x 26>0?, 2"+ >"?2"
-ta: n el momento $ue Pedro se gana el c%ance, le $ueda por pagar >"?2" 5
b6 @$e alcan a a Pedro para pa ar la totalidad de la deuda restante en elmomento en >ue se ana el chance;
l alor $ue gano es de 12:"00 y el monto $ue le 4alta es de >"?2"
ntonces; 12:"00 >"?2" + 61B:"
-ta: Pedro si alcan*a a cubrir la deuda y le sobra dinero aun.
e6 @$a pro resiue -T': s una progresión aritm3tica, por$ue la di4erencia entre los t3rminos
sucesi os es constante.
6 7$a pro resiue-T' ; 5a progresión es descendiente, cada t3rmino es menor al inmediatamente
anterior.
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Calculo diferencial01/03/2016
P-.&$!M' ?
Cn rey le di8o a un caballero; DPuedes tomar %oy una moneda de oro, maEana 2
monedas, pasado maEana monedas y as! sucesi amente, cada d!a puedes
tomar el doble de monedas de las $ue tomaste el d!a anterior %asta $ue llenes
esta moc%ila con las monedas $ue d!a a d!a irás depositandoD y le entregó dic%a
moc%ila.
Suponiendo $ue cada moneda de oro pesa 2 gramos y $ue la moc%ila tiene una
capacidad máxima de carga de # Fg.
'esponda las siguientes preguntas.
)AGHS
#+ umero de -rupo 2"9apacidad de carga de la moc%ila + 2" Fg
a6 7,u8ntas monedas en total lo rar8 reco er el caballero;
5o primero $ue se debe %acer es con ertir 2" Fg peso de la moc%ila agramos;
ntonces+ 2" Fg < 1000g + 2"000 gramos1Fg
A%ora se di ide este alor en el peso de cada moneda 2 gr 2"000 gr = 2 gr + 212"00-ta: l caballero logra recoger 212"00 monedas.
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Calculo diferencial01/03/2016
b5 7,u8ntos d9as apro@imadamente se tardar8 en lo rarlo;
)!a 1+ 1.1 +1
)!a 2 + 2.1 +2
)!a 6+ 2.2 +
)!a + 2. +B
)!a "+ 2.B +1?
)!a ?+ 2.1? +62
)!a :+ 2.62 +?
)!a B+ 2.? +12B
)!a > + 2. 12B +2"?
)!a 10 + 2. 2"? +"12
)!a 11 + 2. "12 +102
)!a 12 + 2. 102 +20 B
)!a 16 + 2. 20 B + 0>?
)!a 1 + 2. 0>? +B1>2
6
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Calculo diferencial01/03/2016)!a 1" + 2. B1>2 +1?6B
)!a 1? + 2. 1?6B +62:?B
)!a 1: + 2. 62:?B +?""6?
)!a 1B + 2. ?""6? +1610:2
)!a 1> + 2. 1610:2 +2?21
Sn=n (a 1+a n)
2
S19=19 (1+262144 )
2 = 24.90375
Si le de8an ol er el d!a 1> a recoger %asta completar la moc%ila obtendrá 2?21
en 2 d!as
c5 @$a pro resi
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Calculo diferencial01/03/2016
P-.&$!M' )
n un laboratorio, un cient!4ico descubre un catali*ador para %acer $ue una solabacteria se reprodu*ca por tripartición cada media %ora, el cient!4ico re$uiere desarrollaren %oras un culti o de bacterias superior a 10.000 # . 'esponda las siguientespreguntas.
)AGHS;
#+ umero de -rupo 2"' + ra*ón 6
+ tiempo9antidad de bacterias a obtener 10000 2" + 2"0000
a6 7,u8l es el tama%o del cultivo de bacterias obtenidas lue o de las )horas;
3 ¿7 u 8= 6561u8= ar
n− 1= 3 ¿
si n + 1 60 min u1 + u0 J 6 1 + 6si n + 2 ?0 min u2 + u1 J 6 6 + >si n + 6 >0 min u6 + u2 J 6 > + 2:
8
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Calculo diferencial01/03/2016si n + 120 min u + u6 J 6 2: + B1si n + " 1"0 min u" + u J 6 B1 + 2 6si n + ? 1B0 min u? + u" J 6 2 6 + :2>
si n + : 210 min u: + u? J 6 :2> + 21B:si n + B 2 0 min uB + u: J 6 21B: + ?"?1
-ta5 l tamaEo de culti o de bacterias, despu3s de %oras es de ?"?1.
b6 7$o ra el cient9 ico cultivar la cantidad de bacterias >ue re>uiere;
S= Ur − ar− 1 =
6561 (3)− 32
= 9840
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Calculo diferencial01/03/2016
Problema +
Pedro tiene sobrepeso, su peso actual es de 1?: Kg y su peso ideal deber!a serde B2Kg. Cn m3dico le receta un tratamiento el cual le a a permitir ba8ar de pesoa ra*ón de 1=# Kg diariamente.
)atos
#+ nLmero de grupo 2"
7!n cu8nto tiempo pedro alcan ar9a su peso ideal;
l t3rmino general de la sucesión es
a n= a 1∗d (n− 1)
n este caso
a 1= 167
d= − 1425
a n= 167−n− 1425
o creo $ue mere*ca la pena simpli4icarse
/eamos en $ue d!a alcan*a los B2
82= 167 − n− 1425
n− 1
425
= 82
n− 1= 82∗425 = 34850
n= 34851 dias
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Calculo diferencial01/03/2016&ás de >" aEos MNN
7$a pro resi
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Calculo diferencial01/03/2016
d= z= 425
a n= a 1 +(n− 1)∗d
5a suma de los 10 primeros t3rminos
a 10= 425 +(10− 1)∗425
a 10= 4250
sn=a 1 +a n
2 ∗n
s10= 425 +42502 ∗10
s10= 3803750
l alor del eintea o termino
a 20= 425 +[20− 1 ]∗425
a 20= 8500
P-.&$!M' B
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Calculo diferencial01/03/2016Plantee el t3rmino general de una progresión geom3trica cuyo primer t3rmino es #
y la ra*ón comLn es #. Adicionalmente encuentre la suma de los primeros "
t3rminos y el alor del d3cimo t3rmino.
Germino general a n= a 1∗rn− 1
a 1= 425
r = 425
a 5= 425∗425 5− 1
a 5= 13865
sn=a 1 (r n− 1)
r − 1
s5=425 (425 5− 1)
425 − 1
s5= 32702
a 10= 425∗425 10− 1
a 5= 102260
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Calculo diferencial01/03/2016
Problema C5
ncuentre el primer t3rmino de una progresión cuya di4erencia comLn es 1= y lasuma de sus tres primeros t3rminos es #. Adicionalmente, plantee el t3rminogeneral.
a 1= ?
d= 14
a 3= 425
a 3= a 1 +(n− 1 )∗1
4
425 = a 1+(3− 1)∗1
4
a 1=425− (3+1)
14
a 1= 409
Problema
Se está exca ando un po*o para encontrar petróleo, el gerente de la obra re$uieresaber cuántos metros de exca ación an %asta el momento y solo conoce $ue elcosto del primer metro exca ado es de 1000 # , el costo por metro adicional es de10.000 y a la 4ec%a se %an in ertido 1.000.000 para la exca ación.
1000000 = 1000 (425 )+1000 ( x− 1)
1000000 = 425000 +1000 x− 1000
1000000 − 425000 +1000 = 1000 x
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576000 = 1000 x
576= x
-ta : %asta el momento an ":? metros exca ados
Problema 1(5
Se reparte un bono de a idad a los 10 me8ores endedores de una empresa. Sesabe $ue, a mayor enta mayor bono, y $ue la di4erencia entre 2 bonosconsecuti os es siempre constante y es de 10 # . Además el endedor 1 recibe elmenor bono y el endedor 10 recibe el mayor bono. Si el endedor 6 recibe unbono de 1000 # .
)atos
#+ nLmero de grupo 2"
5a di4erencia de dos bonos consecuti os es 10 2" + 2"0
l tercer endedor recibe + 1000 2" + 2"000
bn= b
1+(n− 1)d
bn= b1 +4250 (n− 1)
Sabemos $ueb3= 425000 luego
b3= b1 +4250 (3− 1)= 425000
b1+4250∗2= 425000
b1+8500 = 425000b1= 425000 − 8500 = 416500
b10= 416500 +4250 (10 − 1)= 454750
a6 7,u8nto recibe el mejor vendedor;
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b10= 416500 +4250 (10 − 1)= 454750
b10= 454750
b @,u8nto recibe el peor vendedor;b1= 425000 − 8500 = 416500
b1= 416500
c6 7$a pro resi
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a n= a 1∗r n− 1
)onde
a 1= primer terminno
r= razon,queesigual =a n +1a n
n= terminoenesimo dela progresion
ntonces
a z= a 1∗r z− 1
= 3∗3425 − 1
a 425= 59776881674 212
quees elnumerode abejasque nacieronel dia 425
7,u8ntas abejas hab9a despu=s de un mes Esabiendo >ue un mes es i ual a?( d9as;
Sn= an∗r − a 1r− 1
Pero primero debemos %allar a n
a 30= 3∗330− 1
a 30= 2058911 14
2058911(¿¿14∗3)− 3
3− 1S30= ¿
S30= 3088366 14 Que eslacantidad deabejas enel dia 30
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b6 7,u8l ser8 el total de dinero recibido en 22 meses de trabajo en la misma
empresa;
y despu3s usar la siguiente 4ormula
S +n(ua +u n)
2
ua= primer termino
un= terminohasta dondesedesea hacer la sumatoria
n = número de términos
S= 22 (42500 +60392 )2
S= 1 ´ 131 . 812
El total de dinero reci ido al ca o de 22 meses de tra a!o
F'S! 2
aciendo uso de la Aplicación -eogebra y siguiendo las indicaciones del ideo“Qase 2 Graba8o 9olaborati o 1”, -ra4icar los " primeros t3rminos de lassiguientes progresiones y determinar para cada progresión si es geom3trica oaritm3tica, su ra*ón o di4erencia comLn y si es creciente o decreciente.
a6 2 – ?
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5os t3rminos son;+ 1 un+ O+2 un+O2+6 un+0+ un+2
+" un+
• s una progresión aritm3tica por$ue cada termino se obtiene sumandoal anterior numero llamado di4erencia de la progresión
• Su di4erencia comLn es 2• I es una progresión creciente por$ue cada t3rmino es mayor $ue el
otro.
b6 C – 2n
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5os t3rminos son;+ 1 un+ ?+2 un+
+6 un+2+ un+0+" un+O2
• s una progresión aritm3tica por$ue cada termino se obtiene sumandoal anterior numero llamado di4erencia de la progresión
• Su di4erencia comLn es 2• I es una progresión decreciente por$ue cada termino es menor $ue el
otro
c6 2 H1
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Calculo diferencial01/03/2016
5os t3rminos son;+ 1 un+ 1+2 un+2+6 un++ un+B+" un+1?
• s una progresión geom3trica por $ue cada t3rmino se obtienemultiplicando el anterior por un nLmero 4i8o llamado ra*ón de laprogresión.
• Su ra*ón es 2• I es una progresión creciente por$ue cada termino es mayor $ue el
otro
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F'S! ?
5as progresiones
Aporte indi idual QranFlin -al is
5as progresiones, aritm3ticas son un con8unto de nLmeros, cuya di4erencia esconstante y a esa di4erencia contaste la llamamos ra*ón. n donde no me solicitanel siguiente t3rmino sino un t3rmino $ue está muc%o más ale8ado, a un t3rminoen3simo, en cambio a la progresión geom3trica es un con8unto de nLmeros cuyadi4erencia constante llamada ra*ón es un producto de tal 4orma $ue el t3rminoen3simo lo podemos encontrar a tra 3s de una 4órmula de multiplicación
)onde lo podemos aplicar, en las 4ases anteriores se aplicó de tal manera $uedebimos identi4icar si era aritm3tica o geom3trica, dependiendo su ra*ón.
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,onclusiones
• Cna progresión aritm3tica es una sucesión en la $ue se pasa de un t3rminoal Siguiente sumando un nLmero 4i8o positi o o negati o al $ue se llamadi4erencia y de la progresión y la representamos con la letra d, y Cnaprogresión geom3trica está constituida por una secuencia de elementos enla $ue cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por unaconstante denominada ra*ón o 4actor de la progresión.