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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN
ENRIQUE GUZMÁN Y VALLE
“Alma Mater del Magisterio Nacional”
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA
MONOGRAFÍA
EL SISTEMA DE NUMEROS NATURALES
Construcción de ℕ por Teoría de Clases. Sistemas axiomáticos de Peano y por
la axiomática usual. Operaciones Básicas. Orden en . Principio de Inducción.
PRESENTADO POR:
OLIVARES REYNA JAKELINNE TANIA
PARA OBTENER EL TÍTULO PROFESIONAL DE LICENCIADO EN EDUCACIÓN
ESPECIALIDAD: MATEMÁTICA
Lima –Perú
2017
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DEDICATORIA
Dedico este trabajo a mis padres, por confiar en mi
cuando nadie más confiaba, y a mis profesores que
me inculcaron durante 5 años sus enseñanzas.
3
ÍNDICE
DEDICATORIA……………………………………………………………….……….……….…...2
INTRODUCCIÓN……………………………………………………..…..…………….…….…....6
CAPÍTULO I: CONCEPTOS PREVIOS……………………………………………..……..….... 7
1.1.- NOCIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTO. RELACIÓN DE PERTENENCIA…………...... 7
1.2.-RELACIONES ENTRE CONJUNTOS……………………………………….…..…………… 8
1.2.1.-INCLUSIÓN DE CONJUNTOS (SUBCONJUNTOS)…………………….………....… 8
1.3.- OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS……………………………………….………..….... 8
1.3.1.- UNIÓN……………………………..……………………………………………….9
1.3.2.-INTERSECCIÓN……………………………………………………………...…....10
1.3.3.- DIFERENCIA………………………………………………………………..….…11
1.3.4.- DIFERENCIA SIMÉTRICA………………………………………………...….….12
1.3. 5.- COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO……………………………………........12
1.3.6.- CONJUNTO POTENCIA (CONJUNTO DE PARTES DE UN
CONJUNTO)…………………………………..………………………………………….13
1.4.-AXIOMAS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS……………………………..……………..… 13
1.4. 1.- AXIOMA DE EXTENSIÓN.………………………….………..………....…..13
1.4.2.-AXIOMA DE VACÍO……………………………………………………...……14
1.4.3.- AXIOMA DE SUSTITUCIÓN………………………………………….....…...14
1.4.4.- AXIOMA DE ESPECIFICACIÓN……………….……………………….........15
1.4.5.-AXIOMA DE UNIÓN DE CLASES……………………………………......…..15
1.4.6.-AXIOMA DE CONJUNTO POTENCIA………………………………..……...16
1.4.7.-AXIOMA DE REGULARIDAD………..………………..…….………..….......16
1.5.--PRODUCTO CARTESIANO…………………………………………………………..…......16
1.5.1.- PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO…………..….…....….16
1.5.2.- RELACIONES BINARIAS…………………………………………..….....17
1.5.2.1 CLASES DE RELACIONES BINARIAS………………….….17
1.6.- CLASE DE EQUIVALENCIA…………………………………………………..……............18
1.7.- PARTICIÓN……………………………………………………………………………….…..18
1.8.- CLASE COCIENTE……………………………………………………………………...……19
1.9.-RELACIÓN DE EQUIPOTENCIA………………………………………………………....…19
1.10.- AXIOMA DE INFINITUD………………………………………………………..............…20
4
1.11.-UNIÓN DISYUNTA…………………………………………………………………….……20
1.12.- CONJUNTO FINITO E INFINITO…………………………………………..………..….…21
CAPÍTULO II: CONSTRUCCIÓN DE ℕ POR TEORÍA DE CLASES…………………........21
2.1.- TEORÍA DE CLASES………………………………………………………………...………21
2.2.-CERO………………………………………………………………………………...…….…...23
2.3.- UNO………………………………………………………………………………….……..….23
2.4.- SUCESOR………………………………………………………………………………….….23
2.5.- CONJUNTO SUCESOR………………………………………………………………….…...23
2.6.- NÚMERO NATURAL…………………………………………….…………………….…….24
CAPÍTULO III: AXIOMATIZACIÓN DE PEANO………………………………………..…...24
3.1.-EL AXIOMA DE PEANO……………………………………… …………………..…….…..24
3.2.- OPERACIONES BÁSICAS EN SEGÚN PEANO……………………………………..…..29
3.2.1.- ADICIÓN: …………………………………………………………………29
3.2.1.1.-CONSIDERANDO EL UNO COMO PRIMER
NATURAL……………………………………………………………....29
3.2.1.2.-CONSIDERANDO EL CERO COMO PRIMER
NATURAL………………………………………………………….…....33
3.2.2.- MULTIPLICACIÓN:……………………………………………………...34
3.2.2.1..-CONSIDERANDO EL UNO COMO PRIMER
NATURAL……………………………………………………………...34
3.2.2.2..-CONSIDERANDO EL CERO COMO PRIMER
NATURAL……………………………………………………………...37
CAPÍTULO IV: OPERACIONES BÁSICAS EN ………………………………..………….38
4.1.-SUMA………………………………….……………..……………….……………………….38
4.2.- ADICIÓN………………………………..………………………….…..…….........................38
4.3.- PRODUCTO…………………………….…………………………………….…..…..………40
4.4.- MULTIPLICACIÓN…………………..…………………………........................…….......…40
4.5.-DIFERENCIA………………………….……………………………...…………………...….42
5
4.6.- SUSTRACCIÓN……………………………..…………..…………………….…………..….42
4.7.-COCIENTE……………………………….…………………….…………….…………….….42
4.8.-DIVISIÓN……………………..………………………………………………………..……...43
4.9.- POTENCIA…………………………………………..…………………………..………...….43
CAPÍTULO V: ORDEN EN ………………………………….………………….…….……..…43
5.1.-LEY DE TRICOTOMÍA………………………………………………………...………….…43
5.2.- PROPIEDAD TRANSITIVA…………………………………………………………….…....44
5.2. 1.-RELACIÓN MENOR……………………………………………….….…44
5.2.2.-RELACIÓN MAYOR…………………………………………………….44
5.3.- ELEMENTO MÍNIMO……………………………………………………………………..…44
5.4.- PRINCIPIO DE BUEN ORDEN……………………………………………..………….….…44
CAPÍTULO VI: PRINCIPIO DE INDUCCIÓN……………………………………….…….……45
6.1.- INDUCCIÓN MATEMÁTICA…………………………………………….........………..…...45
6.2.- SUMATORIAS………………………………………………….………………………….…46
APLICACIÓN DIDACTICA…………………………………..……………….…..……….….…47
SÍNTESIS………………………………………………………………..………………………....53
APRECIACIÓN CRÍTICA………………………………………….……………………….........54
BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………….…………….…….55
ANEXOS………………………………………………………………….……………….………..56
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INTRODUCCIÓN
Desde épocas remotas el ser humano tuvo noción del número natural.
En diversas culturas se usó diversos métodos para contar y establecer relaciones entre elementos
de conjuntos finitos, en la prehistoria usaron los dedos, marcas, conchas, palos para contar; más
con el avance de la historia diversas culturas crearon diversos métodos y símbolos para contar: los
incas usaron los quipus; los egipcios, los romanos, los hindúes y los griegos inventaron su propio
sistema de numeración
La notación de los números naturales como lo conocemos ahora (1, 2, 3, 4,5…) fue creado por los
hindúes y difundido a través de las relaciones comerciales por los árabes.
Luego aparecieron las nociones de agregar (adición), quitar (resta), repetir una cantidad cierto
número de veces (multiplicar) o repartir (dividir). Estas operaciones aunque no se habían definido
formalmente ya tenían una idea desde épocas prehistóricas.
Fue el comercio, lo que incentivo la necesidad de crear al número y a unificar un sistema de
numeración universal.
En este trabajo nos ocuparemos en definir las axiomatizaciones y la construcción de los números
naturales y sus diversas operaciones y relaciones, asimismo indicar el principio de inducción que
nos permite demostrar los diversos axiomas y propiedades tanto de la adición como la
multiplicación.
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CÁPITULO I: CONCEPTOS PREVIOS
1.1.- NOCIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTO. RELACIÓN DE PERTENENCIA
Se entiende por conjunto a la reunión de personas, animales, objetos, letras o números llamados
elementos que pueden ser determinados por extensión, cuando se mencionan entre llaves sus
elementos o por comprensión, cuando existe una propiedad en común entre todos estos elementos.
Un conjunto se representa con letras mayúsculas: A, B, C, D,….; y a sus elementos con letras
minúsculas a, b, c,…..
PERTENENCIA DE UN CONJUNTO
Se define una relación de pertenencia que relaciona los elementos con el conjunto mismo, si x es un
elemento de A se denota:
X ∈𝐴
Si x no es un elemento de A se denota por:
X ∉𝐴
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1.2.-RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1.2.1.-INCLUSIÓN DE CONJUNTOS (SUBCONJUNTOS)
Se dice que A esta incluido o es parte de B, si todos los elementos de A pertenecen a B
A⊂ 𝐵 = ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝐵
SUBCONJUNTO PROPIO
Diremos que A es un subconjunto propio de B, o parte de B, si:
Ejemplo:
A= {1, 2, 3,4} y B= {1, 2,3}
B A además existe 4 ∈ 𝐴 ∧ 4 ∉ 𝐵 por lo tanto B es un subconjunto propio de A
B ⊂ A además ∃ x/ x ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵
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PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
• ∀𝐴, ∅ ⊂ 𝐴,
• PROPIEDAD REFLEXIVA: A A
• PROPIEDAD TRANSITIVA : A B ∧ B ⊂ C A C
• PROPIEDAD ANTI SIMÉTRICA O IGUALDAD: A B ∧ B ⊂ A A = 𝐵
1.3. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1.3.1.- UNIÓN
La unión de dos o más conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos de A y todos
los elementos de B.
Se denota:
A ∪ 𝑩 ={ x ∈ 𝑨 ∨ x ∈ 𝑩}
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PROPIEDADES
• A ∪ 𝑨 = 𝑨
• A ∪ 𝑼 = 𝑼
• (A ∪ 𝑩) ∪ 𝑪 = 𝑨 ∪ (𝑩 ∪ 𝑪)
• B ⊂ 𝑨 ∪ 𝑩
• A ∪ ∅ = 𝑨
• A ∪ 𝑩 = 𝑩 ∪ 𝑨
• A ⊂ 𝑨 ∪ 𝑩
• A ⊂ 𝑪 ∧ 𝑩 ⊂ 𝑪 ⟹ 𝑨 ∪ 𝑩 ⊂ 𝑪
1.3.2.- INTERSECCIÓN
La intersección de dos o más conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos comunes
de A y B.
PROPIEDADES
• A ∩ 𝑨 = 𝑨
• A ∩ 𝑼 = 𝑨
• (A ∩ 𝑩) ∩ 𝑪 = 𝑨 ∩ (𝑩 ∩ 𝑪)
• 𝑨 ∩ 𝑩 ⊂ 𝐀
• 𝑨 ∩ 𝑩 ⊂ 𝐁
• Si A⊂ 𝐁 ⟹ 𝐀 ∩ 𝐁 = 𝐀
A ⋂𝑩 ={ x ∈ 𝑨 ∧ x ∈ 𝑩}
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• Si A⊂ 𝐁 ⟹ 𝐀 ∩ 𝐂 ⊂ 𝑩 ∩ 𝐂, ∀𝐂
• 𝑨⋃(𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨⋃𝑩) ∩ (𝑨 ∪ 𝑪)
• 𝑨 ∩ (𝑩 ∪ 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨 ∩ 𝑪)
• A ∩ ∅ = ∅
• A∩ 𝑩 = 𝑩 ∩ 𝑨
• A ⊂ 𝑪 ∧ 𝑩 ⊂ 𝑫 ⟹ 𝑨 ∩ 𝑩 ⊂ 𝑪 ∩ 𝑫
1.3.3.- DIFERENCIA
La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a
A pero no pertenecen a B
Se denota:
PROPIEDADES
• A - A=
• ∅ − 𝑨 = ∅
• 𝑨 ∩ (𝑩 − 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) − (𝑨 ∩ 𝑪)
• Si A⊂ 𝐁 ⟹ 𝐀 − 𝐂 ⊂ 𝑩 − 𝐂, ∀𝐂
• B ∩ (𝑨 − 𝑩) = ∅
• A - =
• A – B ≠ B-A
• A – B ⊂ 𝐀
• Si A ⊂ 𝐁 ⟹ A - B=
• Si A y B disyuntos ⟹ 𝑨 − 𝑩 =
A −𝑩 ={ x ∈ 𝑨 𝒑𝒆𝒓𝒐 x ∉ 𝑩}
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1.3.4- DIFERENCIA SIMÉTRICA
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos no
comunes de A y B
Se denota:
A ∆𝑩 = {x ∈ 𝑨 ∨ x ∈ 𝑩 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒙 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 }
PROPIEDADES
• A A=
• (A∆𝑩)∆𝑪 = 𝑨∆(𝑩∆𝑪)
• (A∆𝑩)⋂𝑪 = (𝑨⋂𝑪)∆(𝑩⋂𝑪)
• A B=𝑩∆𝑨
1.3.5.-COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
El complemento de un conjunto A es el conjunto A que contiene todos los elementos que no
pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
A C={ x ∈ 𝑼 ⋀ x ∉ 𝑨}
PROPIEDADES
• (AC)C =A
• A ∪ 𝑨𝑪 =U
• A∩ 𝑨𝑪 = ∅
• UC=
• A-B=A∩ 𝑩𝑪
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1.3. 6.- CONJUNTO POTENCIA (CONJUNTO DE PARTES DE UN CONJUNTO)
Dado el conjunto A llamamos conjunto potencia de A (P(A)) al conjunto formado por todos los
subconjuntos de A incluyendo al vacío
PROPIEDADES
1.4.-AXIOMAS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS
1.4. 1.- AXIOMA DE EXTENSIÓN
Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos
Sean dos conjuntos A y B, decimos que A= B:
Es decir:
•
•
Si A⊂ 𝑩 ⟺ 𝑷(𝑨) ⊂ 𝑷(𝑩)
Si A= 𝑩 ⟺ 𝑷(𝑨) = 𝑷(𝑩)
•
•
Si A⊂ 𝑩 ⟺ 𝑨 ⊂ 𝑷(𝑩)
P(A∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∩ 𝑷(𝑩)
• • 𝑷(𝑨) ∪ 𝑷(𝑩) ⊂ 𝑷(𝑨⋃𝑩)
∀𝑥(𝑥𝜖𝐴 ⟺ 𝑥𝜖𝐵)
A =B ⟺ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
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1.4.2.-AXIOMA DE VACÍO
Existe un conjunto representado por que no presenta elementos.
1.4.3.-AXIOMA DE SUSTITUCIÓN
P(x) es una proposición sobre x sea P(x) verdadera y x=w entonces se deduce que P (w) es
verdadera.
Ejemplo:
• 3x + 4y = 11 …….(1)
• 5x- y=3 ……………..(2)
Despejamos x en (1): x
Sustituimos el valor de x en (2):
, entonces y=2, sustituimos en (1):
3x+4.2=11 x=1
∃∅∀𝑎(𝑎⟺𝑥𝜖 ∉ 𝑎)
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1.4.4.-AXIOMA DE ESPECIFICACIÓN.
Dado el conjunto A y la función proposicional P(x) sobre x tal que x A entonces decimos que
existe un subconjunto B A cuyos elementos son todos los de A, tal que P(x)
Es decir a todo conjunto A y a toda condición P (x), corresponde un conjunto B cuyos elementos
son precisamente aquellos elementos de A que cumplen P(x)
Este axioma nos ayuda a construir subconjuntos a partir de un conjunto dado, considerando la
existencia del cero.
Como sabemos el vacío existe y lo consideráremos un número que llamaremos 0 apartir del cero
construimos el conjunto {0} y lo llamaremos uno denotado por 1, luego construiremos el conjunto
{0,1} y lo llamaremos dos denotado por 2, y así sucesivamente hasta llegar a construir los números
naturales.
1.4.5.-AXIOMA DE UNIÓN DE CLASES
Para toda colección de conjuntos existe un conjunto que contiene a todos los elementos que
pertenecen cuando menos a uno de los elementos de la colección dada.
Esto es si U es una colección de conjuntos entonces existe un conjunto B tal que ∀𝐴 ∈ 𝑈 y ∀𝑥 ∈
tenemos que x ∈ 𝐵
∃ 𝑼⁄𝐴 ⊂ 𝑈 ∧ 𝐵 ⊂ 𝐴
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1.4. 6.- AXIOMA DE CONJUNTO POTENCIA
P(A) = {x/x⊂ 𝐴}
Ejemplo: Sea A= {1, 2, 3,4] entonces:
P(A)={{1};{2};{3};{4};{1 ,2};{1,3};{1,4};{2,3};{2,4};{3,4};{1,2,3};{1,2,4};{1,
3,4};{2,3,4};{1,2,3,4};{ }}
1.4.7.- AXIOMA DE REGULARIDAD:
Para cada clase no vacía, siempre hay al menos un elemento que no contiene otros elementos de la
clase, es decir, que es disjunto con ella.
(∀a)(a ≠f→(∃x)(x ∈a ∧x I a =f)
1.5.--PRODUCTO CARTESIANO
1.5.1.- PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO
PAR ORDENADO
Sean a ∈ 𝐴 𝑦 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜 (𝑎, 𝑏)
(a, b) = {{a}, {a, b}]
Observación: (a,b)≠ (b,a)
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PRODUCTO CARTESIANO
Sean A y B dos conjuntos, se define el producto cartesiano de A por B y se indica A x B, al conjunto
de pares ordenados (a, b), donde a pertenece al conjunto A y b pertenece al conjunto B.
Simbólicamente:
Ejemplo:
Sean los conjuntos: S = {1, 2, 3}, T = {1, 2}, entonces:
S x T = {(1, 1); (1, 2); (2, 1); (2, 2); (3, 1); (3, 2)}
1.5.2.- RELACIONES BINARIAS
Subconjunto de un producto cartesiano. Es una regla de correspondencia entre los elementos del
primer conjunto (dominio) con los del segundo conjunto (rango).
Dónde: R ⊂ A x B
1.5.2.1 CLASES DE RELACIONES BINARIAS
• RELACIONES REFLEXIVAS
∀𝑎 ∈ 𝐴, (𝑎, 𝑎) ∈ R
• RELACIONES SIMETRICAS
∀(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⟹ (𝑏, 𝑎), ∈ 𝑅
AXB = [(a,b) /a ∈ A ∧ b ∈B}
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• RELACIONES TRANSITIVAS
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ∧ (𝑏, 𝑐) ∈ 𝑅 ⟹ (𝑎, 𝑐) ∈ 𝑅}
• RELACIONES EQUIVALENCIA
Una relación R es de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva
1.6.-CLASE DE EQUIVALENCIA
Sea un conjunto con una relación de equivalencia . Tomemos un elemento de nuestro
conjunto , es decir .
La clase de equivalencia de a, la cual denotaremos por |a|, es el subconjunto de formado por
todos los elementos b de X , que están relacionados con 𝑎,es decir
1.7.- PARTICIÓN
Una partición de A es una colección de subconjuntos no vacíos de A
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Donde:
• A1 A2 A3 A4∪ … ∪An =A
• Los subconjuntos de A son disyuntos
1.8.- CLASE COCIENTE
Conjunto formado por todas las clases de equivalencia
Ejemplo:
Sea el conjunto de los números naturales ℕ y consideremos el conjunto ℕ 𝑥 ℕ , que consiste
de todas las parejas ordenadas de números naturales
Sea X el subconjunto de ℕ 𝑥 ℕ de parejas cuyo segundo número es distinto de cero, es decir
Definamos la siguiente relación de equivalencia en : {(a, b) R(c, d) ad =bc}
Para simplificar analicemos la clase de equivalencia de la pareja | (1,2)|
| (1,2)|= { (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10),…]
Entonces la relación de equivalencia seria entonces el grupo cociente seria el conjunto
formado por todos los números que se puedan representar de la forma donde b y a sean
naturales, es decir los racionales.
1.9.- RELACIÓN DE EQUIPOTENCIA
Dos conjuntos A y B se dicen equipolentes si existe una función biyectiva f : A → B entre ellos.
Se denota como A ≈ B.
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Sea F la clase de todos los conjuntos finitos y C la clase de todos los conjuntos.
Se define sobre C la relación de equipotencia £:
Nos ayuda a definir que tienen el mismo cardinal, sin definir que es un número cardinal La
relación de equipotencia es una relación de equivalencia. En efecto:
• A~A
• A~B B~A
• (A~B) (B~C) A~C
1.10.-AXIOMA DE INFINITUD
La clase cociente de todas las clases de equivalencia de todos los conjuntos finitos por una relación
de equipotencia £: denotado por W0=F/ £ es un conjunto o existe un conjunto infinito. Existe un
conjunto inductivo, un conjunto que contiene al conjunto vacío .y al sucesor de cada uno de sus
elementos.
1.11-UNIÓN DISYUNTA
La unión disjunta de A y B se define como:
A~B ⟺ ∃£: A⟶ 𝐵 𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
A ∐ B = { A x |a | ∪ B x |b | }
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Ejemplo:
Los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 4}
A B = {A x |0| B x |1|}
A B = {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (1, 1), (2, 1), (4, 1)}
1.11.-CONJUNTO FINITO E INFINITO
Un conjunto finito es un conjunto bien ordenable, tal que cada subconjunto no vacío, además de
tener mínimo tiene máximo
Un conjunto infinito A es un conjunto que tiene un subconjunto propio (uno que no es el mismo A)
con el que puede ponerse en correspondencia biunívoca. En un conjunto finito existe una relación
de equipotencia.
CAPÍTULO II: CONSTRUCCIÓN DE POR TEORÍA DE CLASES
2.1.- TEORÍA DE CLASES
Clases es una colección arbitraria de objetos .Como el conjunto de los naturales es muy grande que
no permite considerar como conjuntos por lo cual se usa la teoría de clases para definirla usando
la terminología de la teoría de conjuntos
Definimos clase para cada fórmula f(x) en la que “y” no es libre en f(x) existe una sola clase de
los conjuntos que verifican f(x).
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Usando la teoría de clases podemos definir las operaciones de conjuntos, mencionando aquí solo
las principales:
• La clase unión de clases:
a Ub ={x /j(x) ≡x ∈a ∨x ∈b}
• La clase intersección de clases:
a Ib ={x /j(x) ≡x ∈a ∧x ∈b}
• La clase universal:
U ={x/x =x}
• La clase vacía:
∅ ={x/x ≠x}
• La clase diferencia de clases :
a –b= {x /x ∈a ∧ x ∉b}
• La inclusión de clases:
a ⊆b⟷(∀x)( x ∈a ⟷x ∈b )
• La clase unitaria:
{a} ={a /a = b ∨∼ ∁ 𝑏}
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• La clase par ordenado:
{a,.b} = {a}U {b}
• La clase Siguiente o sucesor :
o s(a)= a U{a}
2.2.-CERO
Se llama cero y se denota como 0 a la clase de equivalencia del conjunto
0= [ ], 0 W0 pues ∅ ∈ F
2.3.- UNO
Se llama uno y se denota como 1 a la clase de equivalencia del conjunto 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 [u] 1=
[|u|], W0 pues [𝑢] ∈ F
2.4.-SUCESOR
A = [a] se llama sucesor de a y se denota por [a+1] a la clase [A [U] ] ∈ W0
2.5.- CONJUNTO SUCESOR
S es un conjunto sucesor si:
• 0 S
• Si a S entonces a+1 a S
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2.6.- NÚMERO NATURAL
Se lama conjunto de los números naturales y denota como a la intersección de la familia
de todos los conjuntos sucesores
• 0 =[∅]
• 1=[{∅, 0}]
• 2=[{∅, 0,1}] 3=[{∅, 0,1,2}]
• .
• .
• ℕ = {0,1,2,3,4,5,6, , … . +∞}
CAPÍTULO III: AXIOMATIZACIÓN DE PEANO
3.1.-EL AXIOMA DE PEANO
Una de las teorías más conocidas sobre la construcción de los números naturales es la
axiomatización que Peano presento en 1889 en su obra Aritmetices principia, nova methodo
exposita, que se traduce por Nuevo método de exposición de los principios de la aritmética.
La axiomatización de Peano está basado desde la vista de un lenguaje normal, es decir desde la
lógica matemática, a otros como Dikend, que lo abordaron desde la teoría de conjuntos.
Los nueve axiomas que presento en ese año fueron:
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Conceptos previos
• El símbolo ℕ significa número (entero positivo)
• El símbolo 1 significa unidad
• El símbolo a + 1 significa sucesor de a, o a más 1
• El símbolo = significa es igual a
Axiomas
• 1 𝝐 ℕ
• Si a entonces a =a
• Si a entonces a =b si y solo si b = a
• Si a, b, c entonces a =b, b=c implica a=c
• Si a = 𝑏 𝑦 𝑏 𝝐 entonces a
• Si a entonces a+1
• Si a ℕ entonces a=b si y solo si a+1 =b+1
• Si a entonces a + 1 1
• Si k es una clase , 1 𝑘, 𝑦 𝑠𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝝐 : x 𝑘, 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 x+1
entonces k (INDUCCIÓN MATEMÁTICA)
Con el paso de los años y gracias al aporte de otros matemáticos se redujeron a solo 5 que
presentamos a continuación:
Se considera los siguientes términos primitivos.
• el conjunto de los naturales ( ) que es diferente del vacío
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• la función inyectiva s: como función sucesor de n, y denotada
como s(n) como el sucesor o siguiente de un número n.
Tenemos los siguientes axiomas:
A1: El 1es un número natural.
Obtenemos así nuestro primer elemento de nuestro conjunto de
A2: Si n es un número natural, entonces s(n) también es un número natural.
Como ya tenemos nuestro primer elemento, podemos empezar a formar el conjunto de números
naturales ya tenemos por el axioma anterior el número 1 que pertenece a ahora por este axioma
obtenemos s (1) que también pertenece a ℕ, luego obtenemos otro elemento s(s(n)) que también
pertenece a y así sucesivamente se logró formar todos los números naturales, más pudiese
suceder que s(s(s(s (… (s (1)...)))) = 1 entonces no se podría formar todos los números naturales
solo un número finito de naturales; esto se solucionaría con el siguiente axioma.
A3: El 1 no es el sucesor de ningún número natural
Estableciéndose así obtenemos el 1 es el primer número natural y como no es el sucesor de
ningún número no sucedería que s(s(s(s (… (s (1)...)))) = 1 por lo cual podrías obtener el conjunto
de los naturales que tendría un mínimo el 0 pero no existiría un máximo.
27
A4: Sea s(n) = s(m), entonces n=m
A5.- Sea un conjunto A, A⊂ ℕ, Si 1 ∈ A y n ∈ A, entonces s(n) 𝝐𝑨 ,A=
A este axioma se le conoce como inducción matemática. Este axioma es el más importante
pues nos permitirá demostrar todas las demás propiedades de los números naturales. Entonces sea
• A⊂ ℕ
• 1 A
• h A⟹ 𝒉 + 𝟏 ∈ 𝑨
En un principio Peano considero al 1 como primer número natural más luego con el avance de la
teoría de conjuntos estableció como 0 el primer número natural, en este trabajo consideraremos
ambos, con la respectiva demostración. Ahora consideraremos con el 0 como primer número
natural.
A = ℕ
ℕ
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A1: El 0 es un número natural.
A2:- Si n es un número natural, entonces s(n)
también es un número natural.
A3.- El 0 no es el sucesor de ningún número natural
A4.- Sea s(n) = s(m), entonces n=m
A5.- Sea un conjunto A,A⊂ ℕ, Si 0 A y n A, entonces s(n) 𝝐𝑨 ,
A= a este axioma se le conoce como inducción matemática.
Sea
• A⊂ ℕ
• 0 A
• h A⟹ 𝒉 + 𝟏 ∈ 𝑨
A = ℕ
Peano para los números naturales definió dos operaciones, la adición (+) y la multiplicación(x).
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3.2.- OPERACIONES BÁSICAS EN SEGÚN PEANO
3.2.1.- ADICIÓN:
3.2.1.1.-CONSIDERANDO EL UNO COMO PRIMER NATURAL
Dados m y n ∈ ℕ
m+1=s(m)………AXIOMA S1
m+ s(n) =s(m +n)………AXIOMA S2
Entonces.
o Si n=1
m +n = m+1…….POR HIPÓTESIS
s (m)……….. AXIOMA S1
o Si n ≠1
m+ S(s (n))= m+ s (n+1)………………….AXIOMA S1
m+ ((n+1) +1)….…………....AXIOMA S1
(m+ (n+1)) +1…..AXIOMA ASOCIATIVA
s ( m+(n+1))……………….. AXIOMA S1
s (m+ s(n))………………… AXIOMA S1
30
Propiedades de la adición
Para cualesquiera m, n N, m + n ∈ ℕ, se le llama propiedad de la cerradura
• Si n =1 m ∈ ℕ
m+1 = s (m)……… AXIOMA S1
s (m ) ∈ ℕ …………….A2
• Si n≠1 ∀𝑥 ∈ ℕ tal que x=s(n)
m+s (n) = s(m +n)………AXIOMA S2
s(m +n) ∈ ℕ ……………A2
• Para cualesquiera m, n, p N, (m + n) + p = m + (n + p) se le llama propiedad
asociativa de la adición
Primero se demuestra para p =1
m+ (n +1) = m +s(n)…………… AXIOMA S1
S (m+ n) …………. AXIOMA S2
(m+ n) +1………… AXIOMA S1
Sea X= {𝑝 ∈ N: (m + n) + p = m + (n + p) }
m+ (n +s (p)) = m +s(n+p) ………….… AXIOMA S2
s (m+(n+p)) ……………. AXIOMA S2
s ((m+n)+p) …………POR HIPOTESIS
(m+n) + s (p) …………… AXIOMA S2
31
• Para cualesquiera m, n N, m + n = n +m se le llama propiedad conmutativa de la
adición
Primero se demuestra Para n=1
1+n= n+1
1+s(n) =s (1+n)……………………………..AXIOMA S2
s(n+1)…………PROPIEDAD CONMUTATIVA
(n+1)+1…………………………. AXIOMA S1
S (n) +1 …………………………..AXIOMA S1
Sea X= {𝑛 ∈ N: n + m = m + n }
m + s (n) = s (m+ n)……………………….AXIOMA S2
s (n +m)………… PROP. CONMUTATIVA
(n+ m ) +1………. ……….….AXIOMA S1
n + (m +1)…………..PROP ASOCIATIVA
n +(1+m)………………..POR HIPÓTESIS
(n +1) + m……….…PROP. ASOCIATIVA
s (n) +m ……………..…… AXIOMA S1
• Para cualesquiera n,m,p N, 𝒎 + 𝒏 = 𝒎 + 𝒑 ⟹ 𝒏 = 𝒑 se le llama teorema de la
cancelación de la adición
Sea X= {m, n, p ∈ N: m + n = m + p ⟹ n = p }
1 X: Sea 1+n= 1+p ⟹ s(n)=s(p)………AXIOMA S1
n = p………….A4
32
s(m) + n = s(m)+p n + s(m)= p +s(m)……PROP. CONMUTATIVA
s(m +n) =s(p+ m)…………AXIOMA S2
n+ m = p+ m…………A4
n = p
Por lo tanto n, m,p N, 𝑚 + 𝑛 = 𝑚 + 𝑝 ⟹ 𝑛 = 𝑝
Para cualesquiera n, m, p N, si 𝒏 = 𝒑 ⟹ 𝒎 + 𝒏 = 𝒎 + 𝒑 se le llama teorema de
la igualdad de la adición
Primero se demuestra para p=1
1 X : Sea n= p
s (n)=s(p)…………………….…..A4
n + 1 = p + 1………..AXIOMA S1
Sea X= {m, n, p ∈ N: n = p ⟹ m + n = m + p }
n+ m=p+ m
s(m +n) =s(p+ m)……………………………………..A4
s(m) + n = s(m)+p………………….……..…AXIOMA S2
n + s(m)= p +s(m)……..PROPIEDAD CONMUTATIVA
Por lo tanto n=p n+m = p+ m m ∈ N
33
3.2.1.2- CONSIDERANDO EL CERO COMO PRIMER NATURAL
Dados m y n ∈ ℕ
Entonces.
m+0=m………AXIOMA S1´
m+ s(n) =s(m +n)………AXIOMA S2’
Tenemos que probar que n + 0 = n S(n) +0 = S(n)
n +0 =n………AXIOMA S1¨
s(n)+o= s(n)………….A4
Para demostrar el AXIOMA S2 primero definiremos S (0)=1 y demostraremos:
n+1= s(n)……..TEOREMA 1
n+1 =n+ s(0)…….POR DEFINICIÓN ANTERIOR
s(n+0)….. POR AXIOMA S2
s(n)……… POR AXIOMA S1¨
34
3.2.2.-MULTIPLICACIÓN
3.2.2.1.-CONSIDERANDO EL UNO COMO PRIMER NUMERO NATURAL
Dados m y n ∈ ℕ
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
• Para cualesquiera n, m, p N, m(n+p )= m.n+m.p se le llama axioma distributiva
Primero se demuestra para p=1
m(n+1)=m.n+m…………………POR AXIOMA M1
Sea X= {m, n, p ∈ N: 𝑚(𝑛 + 𝑝) = 𝑚𝑛 + 𝑚𝑝 }
Veamos s (p) = p+1 ∈ X
m(n+s(p)) =m(n+(p+1))………………………………..AXIOMA S1
m((n +p)+1)………………PROPIEDAD ASOCIATIVA
m (n +p)+m………………….…..……POR HIPOTESIS
m. n +m .p +m…………………………POR HIPOTESIS
m. n+(m .p +m)…………… PROPIEDAD ASOCIATIVA
m. n+ m(p+1)…………………..…….. POR AXIOMA M1
m.n+ m.s(p)…………………..……… POR AXIOMA S1
m.1=m………….AXIOMA M1
m(n+1)=m.n+m……....AXIOMA M2
35
Sea X= {𝑛 ∈ N: n. m = m. n }
m. s(m)=n(m+1)…………. ………AXIOMA S1
n. m+ n…………. ……....AXIOMA M2
m. n + n………………....HIPOTESIS
m.n + 1.n…………………AXIOMA M1
(m+1)n…………PROP DISTRIBUTIVA
S(m)n…………………….AXIOMA S1
• Para cualesquiera m, n, p N m. (n .p) = (m. n). p se le llama propiedad asociativa de
la multiplicativa
Primero se demuestra para p =1
m. (n .1) = m. n……… AXIOMA M1
( m. n).1……… AXIOMA M1
Sea X= {𝑝 ∈ N: (𝒎 . 𝒏) . 𝒑 = 𝒎 . (𝒏 . 𝒑) }
m. (n .s(p)) = m( n (p+1))…………………………. POR AXIOMA M2
m( n.p +n) ………………………… POR AXIOMA M2
m.n.p +m.n…………POR PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
m. n (p+1)…………POR PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
( m. n )(p+1) ………………………..…POR HIPOTESIS
(m. n). s(p) ……………………………POR AXIOMA S1
36
Para cualesquiera m, n, p N n .m = n.. p , n≠0 entonces m = p .se le llama propiedad
cancelativa de la multiplicación
Primero se demuestra para p=1
Sea 1.n= 1.p ⟹ n = p………….AXIOMA M1
Sea X= {m, n, p ∈ N: m. n = m. p ⟹ n = p }
s(m) . n = s(m).p n=p
Sabemos que s(m)≠0 existe k tal que s(k)=m
Si m≠1 y k ≠0, existe r tal que s(r)=k………HIPÓTESIS ADICIONAL
n. s(m) =n. k………………. POR HIPÓTESIS ADICIONAL
n. s(m) = n. s(r)…………….POR HIPÓTESIS ADICIONAL
n(m+1)=n(r+1)…………….POR AXIOMA S1
n. m +n=n. r+ n…………..POR AXIOMA S2
n. m=n. r……………….POR PROPIEDAD CANCELATIVA DE LA ADICIÓN
m = r …………………… POR HIPÓTESIS
S(m) = S(r)…………………….POR A4
s(m) = k…………………………POR HIPÓTESIS ADICIONAL
37
3.2.2.2 .CONSIDERANDO EL CERO COMO PRIMER NATURAL
Dados m y n ∈ ℕ
Entonces.
Tenemos que probar que n + 0 = n S(n) +0 = S(n)
n +0 =n………AXIOMA S1¨
s(n)+o= s(n)………….A4
Para demostrar el AXIOMA S2 primero definiremos S(0)=1 y demostraremos:
n+1= s(n)……..TEOREMA 1
n+1 =n+ s(0)…….POR DEFINICIÓN ANTERIOR
s(n+0)….. POR AXIOMA S2
s(n)……… POR AXIOMA S1¨
m.0=0…………AXIOMA M1’
m(n+1)=m.n+m………….AXIOMA M2’
38
CAPÍTULO IV: OPERACIONES BÁSICAS
4.1.-SUMA
Se denomina suma de a y b (a+b) a la clase de equivalencia [A B]
4.2.- ADICIÓN
Dados m y n ∈ ℕ
Se cumple la ley de composición interna:
+ : ℕ𝐱ℕ → ℕ
(m,n)⟶ +(𝒎,𝒏) = 𝒎 + 𝒏
Además se cumple los siguientes axiomas:
Sean m=[M] , n =[N] y p=[P]
• AXIOMA DE CERRADURA:
m,n m +n
• AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD :
m,n ℕ ⟹m +n = n+m
[ A ⊔ B]= |a| + |b|
39
• AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD:
m,n,p ℕ ⟹ (m +n ) + p =m+(n+p)
• AXIOMA DE IDENTIDAD ADITIVA:
m ℕ, ∃ 0 ∈ ℕ ∕ m +0 = 0 +m= m
TEOREMA DE LA CANCELACIÓN PARA LA ADICIÓN
• n,m,p N, 𝑚 + 𝑛 = 𝑚 + 𝑝 ⟹ 𝑛 = 𝑝
Demostración
𝑚 + 𝑛 = 𝑚 + 𝑝….POR HIPÓTESIS
[M] +[N] = [M] + [P]……POR NOTACIÓN
[M N] =[M ⊔ 𝑃]…….POR DEFINICIÓN
[N] =[P] …….POR A B=A ⊔ 𝐶 B⊔ 𝐶
n =p…………………………POR NOTACIÓN
TEOREMA DE LA IGUALDAD PARA LA ADICIÓN
n,m,p N 𝑛 = 𝑝, ⟹ 𝑚 + 𝑛 = 𝑚 + 𝑝
Demostración
𝑛 = 𝑝….POR HIPÓTESIS
[N] =[P] ……POR NOTACIÓN
[M N] =[M ⊔ 𝑃]…….POR B ∼ 𝐶 = A B=A ⊔ 𝐶
[M] +[N] = [M] + [P]……POR DEFINICIÓN
m+n = m + p……POR NOTACIÓN
40
4.3.- PRODUCTO
Se denomina producto de a y b (a. b) a la clase de equivalencia [A B]
4.4.- MULTIPLICACIÓN
Dados m y n ∈ ℕ
Se cumple la ley de composición interna:
. :ℕxℕ → ℕ
(m,n)⟶. (𝑚, 𝑛) = 𝑚. 𝑛
Además se cumple los siguientes axiomas:
Sean m=[M] , n =[M] y p=[P]
• AXIOMA DE CERRADURA:
m,n m . n
• AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD :
m,n ℕ ⟹m .n = n. m
[ A 𝑥 B] = |A|.|B|
41
• AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD:
m,n,p ℕ ⟹ (m .n ) . p =m.(n.p)
• AXIOMA DE IDENTIDAD MULTIPLICATIVA:
m ℕ, ∃ 1 ∈ ℕ ∕ m .1 = 1.m = m
TEOREMA DE LA CANCELACIÓN PARA LA MULTIPLICACIÓN
• n,m,p N, 𝑚. 𝑛 = 𝑚. 𝑝 ⟹ 𝑛 = 𝑝
Demostración
𝑚. 𝑛 = 𝑚. 𝑝….POR HIPÓTESIS
[M]. [N] = [M] .[P]……POR NOTACIÓN
[M N] =[M 𝑥𝑃]…….POR DEFINICIÓN
[N] =[P] ……POR A B A 𝑥𝐶 B𝑥𝐶
n =p……………………….POR NOTACIÓN
TEOREMA DE LA IGUALDAD PARA LA MULTIPLICACIÓN
n,m,p N 𝑛 = 𝑝, ⟹ 𝑚. 𝑛 = 𝑚. 𝑝
Demostración
𝑛 = 𝑝….POR HIPÓTESIS
[N] =[P] ……POR NOTACIÓN
[M 𝑥 N] =[M 𝑥 𝑃]…….POR B𝑥𝐶 A B A 𝑥𝐶
[M] .[N] = [M] .[P]……POR DEFINICIÓN
m.n = m .p……POR NOTACIÓN
42
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
m,n,p m( n+p) = mn + mp
m( n+p) = [M]. ([N] +[P] )…POR NOTACIÓN
= [M]x ([N] [P] )…POR DEFINICIÓN DE SUMA Y PRODUCTO
=[(M x N) (M x P) ]…….POR Ax(B⊔ 𝐶) = (𝐴 𝑥 𝐵) ⊔ (𝐴 𝑥 𝐶)
=[M] [N] [M] [ P ]…….POR DEFINICIÓN DE SUMA Y PRODUCTO
= m.n + m.p …….POR NOTACIÓN
4.5.- DIFERENCIA
Dados dos números a y b se define diferencia de a y b (a –b) tal que a b,es decir que exista un
número natural c tal que a=b+c
4.6.-SUSTRACCIÓN
Sea:
m, n ∈ ℕ, m ≥n, se define la ley de composición interna parcialmente definida:
- :ℕxℕ → ℕ
(m,n)⟶ − (𝑚, 𝑛) = 𝑚 −n = p
4.7.- COCIENTE
Dados dos números naturales a y b donde b 0se llama cociente a / b al número natural c tal que
a=b.c
43
4.8.-DIVISIÓN
Sea :
m, n, p ∈ ℕ, tal que m=n.p se define la ley de composición interna parcialmente definida:
./ :ℕxℕ → ℕ
(m,n)⟶. (𝑚, 𝑛) = 𝑚/𝑛 =p tal que m =np
4.9.- POTENCIA
Sea : M, n ∈ ℕ es un ley de composición interna parcialmente definida:
.pot :ℕxℕ → ℕ
(m,n)⟶. (𝑚, 𝑛) =mn
También se define aplicando inducción matemática:
1. a0 = 1
2. an+1 = an a.
CAPÍTULO V: ORDEN EN
5.1.-LEY DE TRICOTOMÍA
Para cualquiera m,n y p ∈ ℕ, decimos que se cumple una y solo una de las siguientes relaciones :
• m=n
• m>n
• m<n
44
5.2.- PROPIEDAD TRANSITIVA
5.2.1.-RELACIÓN MENOR
Adición
Si a <b a+c <b+c
Multiplicación
Si a <b a.c <b.c
5.2.2.-RELACIÓN MAYOR
Adición
Si a >b a+c >b+c
Multiplicación
Si a >b a.c >b.c
5.2.3- ELEMENTO MÍNIMO
m es un elemento mínimo de A si solo si m ≤ a , a ∈ 𝐴
5.2.4.- PRINCIPIO DE BUEN ORDEN
En cualquier conjunto de números naturales existe un subconjunto S (S N ) distinto del
conjunto vacío,(S ≠ ) existe un mínimo, es decir, un número n S menor o igual que cualquier
número de A.
n S tal que n ≤ x x S.
45
CAPÍTULO VI: PRINCIPIO DE INDUCCIÓN
6.1.- INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Como se recuerda ya hemos visto el principio de inducción matemática en el último axioma de
Peano , ahora lo hablaremos más ampliamente.
Una proposición P(x) es cierta para todo x N siempre que:
• P(1) sea cierto
• P( s(x)) sea cierto
Ejemplo:
1.- Demuestre que la suma de los primeros n impares positiva es n2.
Solución
Sea (hipótesis de inducción)
es cierta y que sea cierta. Entonces hay que demostrar que
Entonces, s(1) =1 = 12 es verdadera .
Por la formula sk +1 = (k+1)2, veremos si se cumple por inducción:
Por lo tanto la fórmula es cierta
46
6.2.- SUMATORIAS
Considerando m y n a dos números naturales de de tal manera que m n y una función definida
para cada i∈ ℕ, donde m i n.
Luego la notación nos representa la suma de los términos f(m), f(m+1), f(m+2),…f(n)
Ejemplo:
= nk
Demostramos para n=1 k=1.k
Demostramos para n+1
=( n+1)k =
n. k +k
k(n+1)
(n+1)k
47
APLICACIÓN DIDÁCTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN
ENRIQUE GUZMÁN Y VALLE
“Alma Mater del Magisterio Nacional”
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA-INFORMÁTICA
PLAN DE LECCIÓN
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES
Tema de clase: Construcción de ℕ por Teoría de Clases y axiomática de Peano.
Operaciones básicas en ℕ.: adición y multiplicación. Principio de inducción
BACHILLER: JAKELINNE TANIA OLIVARES REYNA
ESPECIALIDAD: MATEMÁTICA
Miembros del jurado:
• Presidente: LUIS ESTEBAN ROJAS GUEVARA
• Secretario: LUIS ALFONSO ZEGARRA HORNA
• Vocal: JORGE ENRIQUE QUIROZ QUIROZ
48
II.- OBJETIVOS:
2.1.- ORJETIVO GENERAL
Identificar y reconocer las propiedades de los números naturales. Resolver problemas
aplicando las operaciones en los naturales. Comprobar la inducción matemática.
2.2.-OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Definir el número natural
• Realizar las operaciones de adición y multiplicación, aplicando las propiedades
• Resolver problemas en naturales
• Probar inductivamente algunas fórmulas matemáticas
III ORGANIZACIÓN DE APRENDIZAJES
CONCEPTOS APRENDIZAJES ESPERADOS ACTITUDES
•
•
•
•
•
•
Axioma de
sustitución,
equivalencia
Conjunto finito
e infinito
Conjunto
cociente y
sucesor
Números
naturales
Operaciones en
Inducción
matemática
COMUNICACIÓN MATEMÁTICA
• Define relaciones de equivalencia
• Define sucesor
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN
• Compruebe inductivamente algunas
fórmulas matemáticas
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
• Resuelve problemas con adición y
sustracción
Respeta el lenguaje
matemático
Muestra
interés en
resolver
situaciones
problemáticas
49
IV.- SECUENCIA DIDÁCTICA EVALUACIONES
DE
APRENDIZAJES
ESTRATEGIAS RECURSOS EVALUACION TIEMPO
INICIO • Motivación
• Revisión de
conceptos
previos
• Exposición oral
• Papelógrafo
• Equipo
multimedia
• Plumones,
mota
CM 10 MIN
PROCESO • Define el
conjunto de los
números
naturales
• Prueba las
propiedades de
la adición y
multiplicación
• Prueba la
inducción
matemática
• Exposición
oral
• Papelógrafo
• Equipo
multimedia
• Plumones,
mota
CM
RP
20 min
SALIDA Resuelve la guía
practica
Hoja de ejercicios RP 30 min
50
V.- BIBLIOGRAFÍA
• AYRES FRANK JR (2003) ÁLGEBRA MODERNA México. Editorial Mc Graw-Hill
• ESPINOZA RAMOS, EDUARDO (2005) MATEMÁTICA BÁSICA Lima-Perú
Editorial Servicios Gráficos S.A.
• VENERO B. ARMANDO (2012) INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO
Lima Perú-Ediciones Gilmar
51
GUÍA DE PRÁCTICA
1.- Demostrar:
• a(b-c) = ab-bc
• a.0 =0
2.- resolver las ecuaciones:
• 2x +9= 15
• 5x- 3> 17
• 37< 4x+2<82
3.- resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
• y=2x
• x + y = 24
• −3x+y=−9
• 5x + 4y = 32
4.-Probar por inducción:
52
5.-resuelve los siguientes problemas:
• En el parque de atracciones, nos hemos montado en “La rueda loca”, que es muy divertida.
Nos ha dicho el vigilante que ha funcionado 40 veces y siempre llena, llevando 5 niños
cada viaje. Otra atracción, “El dragón púrpura”, ha llevado 3 veces más niños que “La
rueda loca”. ¿Cuántos niños se han montado en “El dragón púrpura”?
• En una fábrica de calzado confeccionan en un día 30 pares de botas, 58 pares de sandalias,
79 pares de zapatos y 63 pares de zuecos. Al finalizar el año, ¿cuantos calzados habrán
confeccionado en la fábrica?
53
SÍNTESIS
Hemos visto que para construir el conjunto de los naturales debemos tener algunas nociones
previas, para lo cual estudiamos primero las relaciones, axiomas de la teoría de conjuntos, relación
de equivalencia e equipotencia, conjunto cociente, entre otros.
Una vez consultado estos conceptos podemos construir el conjunto de los naturales, ya sea
mediante la teoría de clases o mediante el método axiomático en este caso el que estudiamos es el
de Peano, pero no es el único pues también tenemos a Pierce, Lawvere, Dikend entre otros. Una
vez construido podemos definir las operaciones que suceden en los naturales así como las
relaciones entre ellos mediante el método axiomático o de clases.
Luego basándonos en el principio de buen orden y en el de inducción matemática, introducido por
el último axioma de Peano podemos demostrar los diversos axiomas de la adición y multiplicación;
así como algunas fórmulas matemáticas
54
APRECIACIÓN CRÍTICA
• Es necesario que los profesores estudian la construcción axiomática de los números, ya
sean naturales, enteros o racionales para que puedan enseñar a los estudiantes, para que
aprendan no solo las diversas propiedades sino a demostrar esas propiedades.
• Es importante que los estudiantes dominen el método inductivo, para poder inducir, y así
formar su pensamiento creativo.
• Tratar de crear, así, el pensamiento refutador del estudiante, a tratar de que se pregunten
del porqué de las cosas y no aceptar algo sin saber porque es así.
55
BIBLIOGRAFÍA
• AYRES FRANK JR (2003) ÁLGEBRA MODERNA México. Editorial Mc Graw-Hill
• BEDOYA MEJIA, LINA (2003) PEANO, LAWVERE, PIERCE: TRES
AXIOMATIZACIONES DE LOS NÚMEROS NATURALES Bogotá
• ESPINOZA RAMOS, EDUARDO (2005) MATEMÁTICA BÁSICA Lima-Perú
Editorial Servicios Gráficos S.A.
• MARCA CASTROMONTE GUSTAVO (2011) TEORÍA DE LOS
CONJUNTOS NATURALES : LOS AXIOMAS DE PEANO
• QUEYSANNE MICHEL (1971) ÁLGEBRA BÁSICA Editorial Vicens-Vives
• ROJO, ARMANDO , ÁLGEBRA (1981) Editorial El Ateneo
• VENERO B. ARMANDO (2012) INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO
Lima Perú. Ediciones Gilmar
56
ANEXOS
MÉTODO ÁRABE PARA MULTIPLICAR.
Se presenta con una tabla de doble entrada. Basta con
efectuar las multiplicaciones que corresponden a cada
casillero. Separar las cifras de las unidades de las
decenas, trazando la diagonal de los casilleros
rectangulares. Para terminar el cálculo, sumar
respectivamente por diagonal (no olvidarse las
transformaciones "me llevo").Este es un método ideal para reafirmar las tablas de multiplicación
MULTIPLICACION MAYA
La técnica maya para la multiplicación consiste en la
representación de cada número presente en la operación por
una línea recta.
Las cifras del primer número (el "multiplicando") se
representarán con líneas horizontales, mientras que las del segundo (el "multiplicador") con
líneas verticales. Cada línea será una unidad.
Por ejemplo: si el número es 5, se colocarán cinco líneas.