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UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
ESCUELA PROFESIONAL DE ARQUITECTURAS E INGENERIAS
DOCENTE: LIC. JESUS BURGA VARGAS
CURSO: CALCULO DIFERENCIAL
CICLO: CIVIL I-A
PRESENTADO POR:
TACNA – PERU2012
Matemática Básica - Ingeniería Civil I-A Página 1
1. RICHARD GOMEZ GUILLERMO
UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
INTRODUCCION
Las circunferencias son figuras de muy frecuente aparición en la vida cotidiana y que
desde el punto de vista de las matemáticas se prestan a multitud de razonamientos
que pueden servir para despertar la curiosidad y fomentar la creatividad de los
estudiantes ingeniería.
Después de la recta, la línea más familiar del estudiante es la circunferencia, pues la
conoce desde sus primeros estudios de geometría elemental. En esta exposición
haremos un estudio detallado de la ecuación de la circunferencia y deduciremos
algunas de sus propiedades especiales.
OBJETIVOS
Obtener un conocimiento preciso de la definición de Circunferencia.
Relacionar figuras y ecuaciones.
Familiarizarse con las distintas ecuaciones sobre circunferencias..
Divertirse mientras se aprende.
INDICE
Matemática Básica - Ingeniería Civil I-A Página 2
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CAPITULO I pág. 4
CONCEPTOS GENERALES:
1.1 La Circunferencia pág. 4
1.2 Ecuación de la circunferencia de forma ordinaria pág. 4
1.3 Ecuaciones de la Circunferencia de forma canónica pág. 5
1.4 Ecuaciones de la Circunferencia de forma general pág. 5
1.5 Familia de Circunferencias pág. 6
1.6 Recta tangente a una Circunferencia pág. 7
CAPITULO II pág. 9
2.1 Bibliografía pág. 23
2.2 Web grafía pág. 23
CAPITULO I
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CONCEPTOS GENERALES:
1.1 La circunferencia
Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que
equidistan de otro punto fijo del mismo plano.
El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la
constante se llama radio.
1.2 Ecuaciones de la Circunferencia de forma ordinaria
Se le conoce como ecuación o forma ordinaria de una circunferencia. En
general, designaremos como forma ordinaria aquella ecuación de una curva
que nos permita obtener más rápida y fácilmente sus características
importantes así como el centro y radio.
(X ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
1.3 Ecuaciones de la Circunferencia de forma canónica
Matemática Básica - Ingeniería Civil I-A Página 4
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Es el tipo más simple dela ecuación de ordinaria de una curva se denomina
frecuentemente Forma canónica por ser la forma más simple de una
circunferencia que se representa de esta forma
x ² + y ² = r ²
En general designaremos como forma ordinaria aquella ecuación de una
curva que nos permita obtener de forma más rápida y fácilmente sus
características más importantes
1.4 Ecuaciones de la Circunferencia de forma general
También llamada Ecuación Desarrollada para hallar sus elementos hay que
transformarlos a su forma ordinaria.
Deducción general de la circunferencia
-La ecuación ordinaria de la circunferencia es:
(x - h) + (y - k) = r
-Realizando las operaciones indicadas se transforman en:
x – 2hx + h + y - 2ky + k = r
-Transportamos r y ordenemos los términos:
x + y - 2hx – 2ky + h + k - r = 0
-Agrupamos:
x + y +(-2h)x + (-2k)y + (h + k - r ) = 0
-Se representa de la siguiente forma:
x + y + Dx + Ey + F = 0
1.5 Familia de Circunferencias
Definición:
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Cuando hablamos de familias de circunferencia hablamos de conjuntos de
circunferencias que cumplen cierta condición es decir que tienen cierto
parentesco; de ahí el termino de FAMILIA.
Mismo Centro
Mismo Radio y punto
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Mismo Radio y Abscisa del Centro
1.6 Recta tangente a una Circunferencia
Si el punto se encuentra dentro de la circunferencia se traza una tangente
si el punto se encuentra fuera de la circunferencia se traza dos tangentes
PROPIEDADES DE LA RECTA TANGENTE:
La recta tangente es perpendicular al radio de la circunferencia dibujado en el
punto de tangencia.
La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es igual al
radio de dicha
Circunferencia
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El punto pertenece a la circunferencia
El punto es exterior a la circunferencia
PROPIEDADx2 + y2 – 10 y = 0
CAPITULO II
EJERCICIOS RESUELTOS
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Ejercicio 1
Encuentre la ecuación general de la circunferencia cuyo centro está en las
coordenadas y que tiene un radio igual a
.
Resolución por desarrollo
En este caso podemos usar las fracciones o convertirlas a decimales:.
Como el centro no está en el origen vamos a usar la fórmula ordinaria para
llegar a la desarrollada:
Para hacerlo, partamos de aquí:
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
Nota:
Debemos recordar que x e y corresponden a las coordenadas de cualquier
punto en la circunferencia, P (x, y), distante un radio desde el centro.
Volvamos a la fórmula:
Reemplacemos los valores en las coordenadas del centro, C (a, b):
y aquí tenemos la ecuación ordinaria (formada por dos cuadrados de binomio)
la cual ahora desarrollaremos para llegar a la ecuación general:
Matemática Básica - Ingeniería Civil I-A Página 9
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Recordemos el cuadrado del binomio:
a2 + 2ab + b2
Primer término al cuadrado (x)2, más el doble del producto del primero por el
segundo término 2(x)(0,5), más el cuadrado del segundo término (0,5)2
Pongamos los valores de nuestros binomios al cuadrado:
(x)2 + 2(x)(0,5) + (0,5)2 + (y)2 + 2(y)(─1,25) + (─1,25)2 = 3
x2 + x + 0,25 + y2 ─2,50y + 1,56 = 3
ahora acomodamos los términos e igualamos a cero, para obtener la
ecuación general:
x2 + y2 + x ─ 2,50y + 0,25 + 1,56 ─ 3 = 0
x2 + y2 + x ─ 2,50y ─ 1,19 = 0
Resolución por el sistema de fórmulas conocidas
Tenemos:
Centro de la circunferencia (coordenadas)
Radio
r =
Y las fórmulas
D = ─2a
E = ─2b
F = a2 + b2 ─ r2
Recuerde que la ecuación general de la circunferencia tiene esta estructura:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Por lo que solo debemos calcular D, E y F
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Ahora que ya conocemos D, E y F los acomodamos en la fórmula general y
tendremos:
x2 + y2 + x + ─2,50y + ─1,19 = 0
x2 + y2 + x ─ 2,50y ─ 1,19 = 0 fórmula general de la circunferencia dibujada
arriba.
Importante
Los dos métodos utilizados aquí para encontrar la ecuación de la
circunferencia nos indican que si nos dan las coordenadas del centro de una
circunferencia distintas de cero y el radio de la misma conviene usar el
método de las fórmulas.
No obstante, si alguien quiere saber exactamente cómo se procede, puede
usar el sistema del desarrollo.
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Ejercicio 2
Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en C (1, 3) y radio
r = 4.
Resolución
Sabemos que debemos obtener un ecuación de la forma
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
por lo que necesitamos saber cuánto valen D, E y F
Para ello, recordamos que
D = ─2a
E = ─2b
F = a2 + b2 ─ r2
Sustituyendo en D y E los valores que nos entregan las coordenadas del
centro C (1, 3), donde
a = 1
b = 3
tendremos que
D = ─2(1) = ─2
E = ─2(3) = ─6
Y ahora sustituimos en
F = a2 + b2 ─ r2
F = (1)2 + (3)2 ─ (4)2
F = 1 + 9 ─ 16
F = ─6
Como ya tenemos los valores de
D = ─2
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E = ─6
F = ─6
Los usamos para sustituir en la ecuación
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
para quedar
y llegar finalmente a
x2 + y2 ─ 2x ─ 6y ─ 6 = 0 como la fórmula general de la circunferencia
dibujada arriba.
Ejercicio 3
Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto P (─3,
2) y cuyo centro es el punto C (1, 5)
Resolución
Debemos calcular el radio (ya que no lo conocemos), pero como tenemos las
coordenadas de un punto y del centro podemos calcularlo así:
El radio es la distancia de C a P, y como su fórmula para conocer dicha
distancia es
Hacemos
Ahora tenemos ubicado el centro C (1, 5) y el radio r = 5
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y acudimos a la fórmula ordinaria de la circunferencia
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
Desarrollamos los cuadrados de los binomios
(x2 + ─x + ─x + 1) + (y2 + ─5y + ─5y + 25 = 25
x2 ─ 2x + 1 + y2 ─ 10y + 25 = 25
x2 + y2 ─ 2x ─ 10y + 1 + 25 ─ 25 = 0
x2 + y2 ─ 2x ─ 10y + 1 = 0
Nota importante:
En este ejercicio conocemos las coordenadas de uno de los puntos de la
circunferencia, P (─3, 2) pero ese dato nos sirvió solo para calcular el radio.
Conocido éste, la fórmula general que obtendremos ahora servirá para todos
los puntos de la circunferencia equidistantes del centro, representados como
P (x, y), por eso en la fórmula ordinaria de la circunferencia reemplazaremos
solo los valores de a y de b como las coordenadas del centro C (1, 5)
Ejercicio 4
Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento
entre los puntos A(2, 3) y B(─4, ─9)
Resolución
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Como el segmento AB es el diámetro, el centro estará en la mitad de este
(radio), y hacemos
Ahora calculamos el radio, que es la distancia desde C(─1, ─3) hasta el
punto A(2, 3)
Conocemos ahora las coordenadas del centro C(─1, ─3) y el radio
Aplicamos la fórmula ordinaria
Desarrollamos los binomios
(x2 + x + x + 1)+ (y2 +3y + 3y + 9) = 45
(xsup>2 +2x +1) + (y2 + 6y + 9) = 45
x2 + y2 +2x +6y +1+ 9 ─45 = 0
x2 + y2 +2x +6y ─ 35 = 0 ecuación de la circunferencia graficada arriba.
Como un ejercicio probatorio de la efectividad de la fórmula analítica x2 + y2
+2x +6y ─ 35 = 0 reemplacemos los valores de las coordenadas de los
puntos A y B en x e y
Primero el A(2, 3) que sea x = 2, y = 3
22 + 32 + 2•2 + 6•3 ─ 35 = 0
4 + 9 + 4 + 18 ─ 35 = 0
Ahora el B(─4, ─9) que sea x = ─4, y = ─9
(─4)2 + (─9)2 + 2(─4) + 6(─9) ─ 35 = 0
16 + 81 ─ 8 ─ 54 ─ 35 = 0
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Ejercicio 5
Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, ─2) y de radio
3.
Resolución
Recordemos nuestra ecuación ordinaria de la circunferencia:
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
Conocemos a y b (5, ─2) y el radio (r = 3)
Entonces reemplacemos
(x ─ 5)2 + (y ─ ─2)2 = 32
(x ─ 5)2 + (y + 2)2 = 9
Desarrollemos lo binomios cuadrados:
(x ─ 5) (x ─ 5) + (y + 2) (y + 2) = 9
(x2 ─ 10x + 25) + (y2 + 4y + 4) = 9
ordenamos e igualamos a cero
x2 + y2 ─ 10x + 4y + 25 + 4 ─ 9 = 0
x2 + y2 ─ 10x + 4y + 20 = 0
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Ejercicio 6
Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al
punto (–2, 3).
Resolución:
Primero debemos conocer el radio
Entonces la ecuación ordinaria nos queda
x2 ─ 2x + 1 + y2 ─ 2y +1 = 13
x2 + y2 ─ 2x ─ 2y + 1 + 1 ─ 13 = 0
x2 + y2 ─ 2x ─ 2y ─ 11 = 0
Ejercicio 7:
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(2;6) y con radio r = 4
(x - 2)² + (y - 6)² = 4²
Solución:
Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4
(x - 2)² + (y - 6)² = 4²
x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²
x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16
x² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0
D = -4 , E = -12 , F = +24
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Ejercicio 8:
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es
tangente al eje de abscisas.
Ejercicio 9
Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de
intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.
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Ejercicio 10
Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación
, y que pasa por el punto (-3,4).
Por ser concéntricas tienen el mismo centro.
Ejercicio 11
Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(3,1) y
es tangente a la recta: 3x - 4y + 5 = 0.
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Ejercicio 12
Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1).
¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?
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Ejercicio 13
Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia
que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.
Ejercicio 14
Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(3,1) y es
tangente a la recta: 3x - 4y + 5 = 0.
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Ejercicio 15
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y
tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.
Matemática Básica - Ingeniería Civil I-A Página 22
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CAPITULO III
3.1 Bibliografía
Título: la circunferencia, libro: Geometría analítica plana, autor: Lehmann Editorial Limusa Ultima edición.
3.2 Web grafía
http://www.docstoc.com/docs/283879/geometria-analitica----circunferencia
http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/circunferencia.html
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