Date post: | 15-Nov-2015 |
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE ELECTRNICA Y ELCTRICA
E.A.P. INGENIERA DE ELECTRNICA
SEMANA 05:
MOVIMIENTO CURVILNEO
MOVIMIENTO RELATIVO
LIC. FANNY E. MORI ESCOBAR
Cuando un mvil se mueve en una trayectoria curva, la direccin de su velocidad cambia.
Movimiento Circular Uniforme
Cuando una partcula se mueve con rapidez constante.
La aceleracin es exactamente perpendicular a la velocidad: si componente paralela.
Determinacin del cambio de velocidad, aceleracin media y aceleracin instantnea
S
O
O
R
R
Estos dos tringulos son similares
Ejemplo 01
En un juego mecnico, los pasajeros viajan con rapidez constante en un crculo de 5m. de radio, dando una vuelta completa cada 4s. Qu aceleracin tiene?
Movimiento Circular no Uniforme
A
B
C
D
E F
G
H
A Rapidez mnima: aceleracin radial mnima, aceleracin tangencial cero.
B-C-D Aumento de la rapidez: aceleracin tangencial en la misma direccin que la velocidad.
E Rapidez mxima: aceleracin radial mxima, aceleracin tangencial cero.
F-G-H Disminucin de la rapidez: la aceleracin tangencial es opuesta
Ejemplo 02
Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el
carro incrementa su rapidez a razn constante de 2,1
m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo
necesario para alcanzar una aceleracin de 2,4 m/s2.
Cul es su velocidad en ese instante.
Solucin Se sabe que la aceleracin
tangencial es constante e
igual a
La aceleracin normal ser
La aceleracin total ser
La velocidad en este instante ser
2
0
2,1 /
0 2,1
t
t
a m s
Entonces
v v a t
v t
2 22 2(2,1 ) 0.049 /
90n
v ta t m s
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2,1 0.049
2,1 [0.049 ]
2, 4 2,1 [0.049 ]
4,87
t t n
t n
va a e e
a e t e
a t
t
t
2.1 10.2 /v t m s
Ejemplo 03 Una caja parte del reposo en A
e incrementa su rapidez a razn de at = (0.2t) m/s
2 y
viaja a lo largo de la pista
horizontal mostrada. Determine
la magnitud y direccin de la
aceleracin cuando pasa por B
La posicin de la caja en
cualquier instante es S medida
a partir del punto fijo en A.
La velocidad en cualquier
instante se determina a partir de
la aceleracin tangencial, esto
es
0 0
2
0.2 (1)
0.2
0.1 (2)
t
v t
a v t
dv tdt
v t
Solucin
Para determinar la velocidad en
B, primero es necesario
determinar S = f(t), despus
obtener el tiempo necesario
para que la caja llegue a B. es
decir
De la geometra se tiene
sB = 3 + 2(2)/4 = 6.142 m.
Entonces tenemos
2
2
0 0
3
0.1
0.1
0,0333 (3)
S t
dsv t
dt
ds t dt
S t
36,142 0,0333
5,69
t
t s
Remplazando el tiempo en las ecuaciones (1) y (2) resulta
En el punto B el radio de curvatura
es = 2 m, entonces la aceleracin ser
La aceleracin total ser
Su modulo y direccin sern
2
2
( ) 0.2(5.69) 1.138 /
0.1(5.69) 3.238 /
B t B
B
a v m s
v m s
22( ) 5.242 /BB n
B
va m s
2
,
1,138 5,242
BB t B t n
B t n
va a e e
a e e
2 2 2
2
1,138 [5,242]
5,36 /
a
a m s
1 5.242[ ] 77,751,138
tg
Ejemplo 04
Una partcula se mueve en una trayectoria curva de
tal manera que en cierto instante tiene una velocidad
v y una aceracin a. Demuestre que el radio de
curvatura puede obtenerse a partir de la ecuacin
3
1 vxa
v
Ejemplo 04 Sabemos que la aceleracin en
cualquier instante es
Multiplicando ambos miembros
por la velocidad v tenemos
Debido a que la aceleracin
tangencial son colineales su
producto vectorial es nulo.
Entonces tenemos
Remplazado la aceleracin
normal tenemos
t na a a
t n
t n
t n
a a a
vxa vx a a
vxa vxa vxa
0
90
n
n n
n
n
vxa vxa
vxa vxa
vxa vxa va sen va
2
3
( )
1
vvxa v
vxa
v
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja
alrededor de una trayectoria circular de radio r = 50 m con una velocidad . Determine la magnitud de la velocidad y de la aceleracin del bote en t = 3 s.
Anlisis del movimiento relativo de dos partculas usando ejes en traslacin
Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una partcula usando un marco de referencia fijo.
Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del movimiento de una partcula es complicada, de modo que es ms factible analizar el movimiento en partes usando dos o ms marcos de referencia.
Por ejemplo, el movimiento de una partcula localizada en la hlice de un avin , mientras ste est en vuelo , es ms fcil describirlo si observamos primero el movimiento del avin a partir de un sistema de referencia fijo y despus se superpone vectorialmente el movimiento circular de la partcula medida a partir de un marco de referencia mvil unido al aeroplano.
Anlisis del movimiento relativo de dos partculas usando ejes en traslacin
En esta seccin nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a marcos de referencia en traslacin. El anlisis del movimiento
relativo de partculas usando marcos de referencia en rotacin se
tratar en el curso de Dinmica.
Movimiento relatico: posicin
Consideremos dos partculas A y B movindose en las trayectorias mostradas
Las posiciones absolutas de A y B con respecto al observador fijo en el marco de referencia OXYZ sern
El observador B slo experimenta traslacin y se encuentra unidos al sistema de referencia mvil Oxyz
La posicin relativa de A con respecto al observador B , es
Ar OA Br OB
/A B A Br r r
Movimiento relativo: Velocidad Derivando la ecuacin de la posicin relativa se tiene
/A B A Bv v v
Movimiento relativo: Aceleracin Derivando la ecuacin de la velocidad relativa se tiene
/A B A Ba a a
Ejemplo 01 Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza
una carretera, como se muestra en la figura. Si el automvil A est
viajando por la carretera con una velocidad de 67,5 km/h.
Determine la magnitud y direccin de la velocidad relativa del tren
con respecto al auto.
Solucin
La velocidad relativa es medida desde el observador ubicado en el
auto al cual se le asocial el sistema
de referencia OXY,
Como las velocidades de T y A son conocidas, entonces la velocidad
relativa se obtiene de
/
/
/
90 (67.5cos 45 67.5sin 45 )
{42.3 47.7 ) /
T A T A
T A
T A
v v v
i i j v
v i j km h
solucin
La magnitud de la velocidad relativa ser
La direccin de la velocidad relativa es
2 2 2
/ (42.3 47.7 ) 63.8 /T Av km h
/
/
47.7tan
42.3
48.40
T A y
T A x
v
v
solucin Dos aviones estn volando horizontalmente a la misma elevacin, como
se indica en la figura. El avin A est volando en una trayectoria recta, y
en el instante mostrado desarrolla una velocidad de 700 km/h y una
aceleracin de 50 km/h2. El avin B est volando en una trayectoria
curva circular de 400km de radio con una rapidez de 600 km/h y est
decreciendo su rapidez a razn de 100 km/h2. Determine la velocidad y
la aceleracin relativa de B medida por el piloto A
Solucin
Al avin A esta movindose rectilneamente y se asocia un
marco de referencia mvil Oxy.
La velocidad relativa de B respecto de A es
El avin B tiene aceleracin normal y tangencial pues se
mueve en una curva.
La aceleracin normal ser
Aplicando la ecuacin para determinar la aceleracin
relativa se tiene
/
/
/
600 700
100 / 100 /
B A B A
B A
B A
v v v
v
v km h km h
22900 /BB n
va km h
/
/
2
/
900 100 50
900 150 /
B A B A
B A
B A
a a a
i j j a
a i j km h
Solucin
En un determinado instante los carros A y B estn viajando con
velocidades de 18m/s y 12m/s,
respectivamente. Adems en
dicho instante la velocidad de A
est disminuyendo a razn de
2m/s2 y B experimenta un
incremento de su velocidad a
razn de 3 m/s2. Determine la
velocidad y la aceleracin de B
con respecto de A
Solucin El sistema de referencia fijo est
en tierra y el marco mvil en el
auto A. Por tanto se tiene
La direccin de la velocidad relativa ser
La aceleracin normal ser
La aceleracin relativa ser
Su direccin ser
/
/
/
2 2
/
12 18cos60 18sin 60
9 3.588 /
9 3.588 9.69 /
B A B A
B A
B A
B A
v v v
j i j v
v i j m s
v m s
/
/
3.588tan
9
21.7
B A y
B A x
v
v
221.440 /BB n
va m s
/
/
2
/
1.440 3 2cos60 2sin 60
2.440 4.732 /
B A B A
B A
B A
a a a
i j i j a
a i j m s
2
/ 5.32 /
62.7
B Aa m s
Ejemplo Los pasajeros que viajan en el
avin A que vuela horizontalmente a
velocidad constante de 800 km/h
observan un segundo avin B que
pasa por debajo del primero
volando horizontalmente. Aunque el
morro de B est sealando en la
direccin en la direccin
45noreste, el avin B se presenta
a los pasajeros de A como
separndose de ste bajo el ngulo
de 60 representado. Halle la
velocidad verdadera de B
Solucin El marco mvil est asociado al
avin A donde se efectan las
observaciones relativas
La velocidad de A es conocida en mdulo y direccin, el ngulo de
60 de la velocidad relativa de B
respecto de A es conocido y la
velocidad verdadera de B tiene
una direccin de 45. Entonces
tenemos.
Aplicando estas ecuaciones en la velocidad relativa se tiene
Resolviendo estas ecuaciones se obtiene
/B A B Av v v
/ / /
(800 ) /
[ cos 45 45 ]
[ cos60 60 ]
A
B B B
B A B A B A
v i km h
v v i v sen j
v v i v sen j
/
/
:
cos 45 800 cos60
:
45 60
B B A
B B A
componente i
v v
componente j
v sen v sen
/ 586 / ; 717 /B A Bv km h v km h