S1. Carga elctrica. Electrizacin de los cuerpos. Ley de Coulomb
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca1Movimiento peridicoEs aquel movimiento que se repite cada cierto tiempo T, denominado periodo.
En las figuras se muestran ejemplos de movimientos peridicos.
El movimiento de los planetas alrededor del Sol
El movimiento de un cilindro por una doble rampa inclinada8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca2Movimiento OscilatorioEs un movimiento peridico que se efecta alrededor de una posicin de equilibrio.Como ejemplo de movimiento peridico puede considerarse el que realiza un bloque que est unido a un resorte sobre una superficie horizontal sin friccin.
En la animacin, defina las caractersticas de las siguientes magnitudes:Amplitud APeriodo TFrecuencia fFrecuencia angular
Posicin de equilibrio
frecuenciaFrecuencia angular8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca3Ejemplo 13.19. Un transductor ultrasnico empleado para el diagnostico mdico oscila con una frecuencia de 6,7 MHz . Cunto tarda cada oscilacin y qu frecuencia angular tiene?
Solucin:
Ejercicio. Si un bloque tarda 4 segundos en dar 2 oscilaciones, cul de su periodo? Cul es su frecuencia? Cul es su frecuencia angular?
Solucin
Ejercicios8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca4Movimiento Armnico SimpleEs un movimiento oscilatorio, tal que la fuerza resultante que acta sobre el cuerpo es proporcional a su desplazamiento, como es el caso de un bloque que oscila libremente por accin de la fuerza recuperadora de un resorte. El bloque se mueve sobre una superficie sin friccin.
Vea la animacin: MA57_F1_S05_01_REC2_ley_hooke.swf
Observaciones del movimiento del bloque en el MASLa velocidad es mxima cuando el bloque pasa por el punto de equilibrio. Su velocidad es cero cuando alcanza su mxima elongacin (x = A).Por la segunda ley de Newton, la aceleracin es cero en el origen y mxima en el punto de mxima elongacin.
AAFxFxa mximaF- mximav = 0 a mximaF- mximav = 0 a = 0F = 0v mxima Reemplazando la expresin de la aceleracin, se obtiene una ecuacin diferencial de segundo orden respecto a la posicin y al tiempo.
La solucin de la ecuacin es:8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca5Ecuaciones del MASPor la Segunda Ley de Newton
Considerando que
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca6(b)
Ejercicio. Un objeto oscila con frecuencia angular = 8,0 rad/s . En t = 0 s, el objeto se encuentra en x0 = 4,0 cm con una velocidad inicial v0= -25,0 cm/s . (a) Determinar la amplitud y la constante de fase para este movimiento. (b) Escribir x en funcin del tiempo.Solucin
Analizar para t = 0 sEjemplo Un bloque de 2,00 kg, que se desliza sin friccin, se conecta a un resorte ideal con k = 300 N/m . En t = 0 s, el resorte no est estirado ni comprimido y el bloque se mueve en la direccin negativa a 12,0 m/s . Calcule: a) la amplitud; b) el ngulo de fase; c) escriba las ecuaciones de posicin, velocidad y aceleracinSolucin
(a)
Ejercicios
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca7Posicin, velocidad y aceleracin del MAS
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca8Ejemplo En la oscilacin descrita en el ejemplo 13.2, k = 200 N/m, m = 0,50 kg y la masa oscilante se suelta del reposo en x = 0,020 m . a) calcule las velocidades mxima y mnima que alcanza el cuerpo al oscilar. b) calcule la aceleracin mxima. c) Determine: la velocidad y aceleracin cuando el cuerpo se ha movido a la mitad del camino hacia el centro desde su posicin inicial.Solucinvmax = + 0,40 m/s y vmin = 0,40 m/samax = 8,0 m/s2c) v = -0,35 m/s y a = - 4,0 m/s2
Ejemplo Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo fijo. Conectando una balanza de resorte al extremo libre y tirando hacia la derecha, determinamos que la fuerza de estiramiento es proporcional al desplazamiento y que una fuerza de 6,0 N cusa una deformacin de 0,030 m . Quitamos la balanza y y conectamos un cuerpo de 0,50 kg de masa al extremo, tiramos de l hasta moverlo 0,020 m, lo soltamos y vemos como oscila. A) Determine la constante de fuerza del resorte. b) Calcula la frecuencia, la frecuencia angular y el periodo de la oscilacin.Solucin k = 200 N/m w= 20 rad/s f = 3,2 Hz T = 0,31 s
Ejercicio8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca9Volvamos al sistema de masa y resorte horizontal que consideramos en el ejemplo 13,2, con k = 200 N/m y m = 0,50 kg . Esta vez impartiremos al cuerpo un desplazamiento inicial de +0,015 m y una velocidad inicial +0,40 m/s . a) Determine: el periodo, la amplitud y el ngulo de fase del movimiento. b) Escriba ecuaciones para: el desplazamiento, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo. Solucin(a) T = 0,31 s A = 0,025 m = -53 = - 0,93 rad(b) x = (0,025 m) cos ((20 rad/s)t 0,93) v = -(0,50 m/s) sen ((20 rad/s)t 0,93 rad)a = -(10 m/s2) cos ((20 rad/s)t 0,93 rad)Ejercicio8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca10Energa potencial elsticaComo se estudi anteriormente, la fuerza elstica es conservativa, el trabajo realizado por dicha fuerza entre dos puntos no depende de la trayectoria, por lo que tiene una energa potencial asociada.Consideremos el siguiente caso: Un resorte es estirado desde x1 hasta x2. Determine el trabajo realizado por la fuerza que el resorte ejerce sobre el mvil.
Se define la energa potencial elstica U como:
x1x28/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca11Si no hay friccin, la energa mecnica del oscilador armnico se mantiene constante en todo momento.
De esta expresin se deduce que:
Energa mecnica del oscilador armnico
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca12Relacin entre la energa cintica y potencial elsticaLa energa mecnica se conserva, tiene el mismo valor en cualquier punto del movimiento.La energa potencial elstica es mxima en los extremos del MAS y nula en la posicin de equilibrio.La energa cintica es mxima en la posicin de equilibrio y nula en los extremos del MAS.
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca13Ejercicio 7.42 Pg. 272Un bloque de 2,00 kg se empuja contra un resorte con masa despreciable y constante elstica k = 400 N/m, comprimindolo 0,220 m . Al soltarse el bloque, se mueve por una superficie sin friccin que primero es horizontal y luego sube a 37,0 . (a) Qu rapidez tiene el bloque al deslizarse sobre la superficie horizontal despus de separarse del resorte? (b) Qu altura alcanza el bloque antes de pararse y regresar?Solucin Caso 1
Caso 28/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca14El pndulo simpleUn pndulo simple consta de una cuerda de longitud L y una lenteja de masa m. cuando la lenteja se deja en libertad desde un ngulo inicial con la vertical, oscila a un lado y otro con un periodo T.Cuando el ngulo es pequeo, el segmento de arco barrido por la lenteja es:
Si el ngulo se expresa en radianes.Por otro lado, por la segunda ley de Newton:
Reemplazando x y sustituyendo sen por
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca15La ecuacin diferencial del movimiento del pndulo simple es la que se muestra a la derecha.
De la ecuacin se deduce la expresin de la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo.
La solucin de la ecuacin es:
El pndulo simple
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca16EjerciciosEjemplo 13.8 . Calcule el periodo y frecuencia de un pndulo simple de 1,00 m de longitud en un lugar donde g = 9,80 m/s2.
Solucin: Sabemos que:
Luego: Ejercicio. Calcule la frecuencia de oscilacin de un pndulo simple de longitud 2,00 m si el pndulo del tem anterior se lleva a un lugar donde la aceleracin de la gravedad mide 9,77 m/s2.
Solucin: Sabemos que:
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca17Es cualquier cuerpo rgido que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de masa.
PNDULO FSICOOPNDULO COMPUESTO
Este pndulo real que usa un cuerpo de tamao finito, en contraste con el modelo idealizado de pndulo simple en el que toda la masa se concentra en un solo punto.
Un ejemplo del pndulo fsico es un bate de beisboll suspendido de un punto O,
Es un bate de beisboll suspendida del punto O,como se muestra en la figura .La fuerza de gravedad acta en el centro de gravedad (GG)del objeto localizado a una distancia h del punto pivote O. Al pndulo fsico conviene analizarlo usando las ecuaciones del movimiento rotacional. La torca sobre un pndulo fsico, calculada con respecto al punto O es : t = -mgh sen
Al pndulo fsico conviene analizarlo usando las ecuaciones del movimiento rotacional. La torca sobre un pndulo fsico, calculada con respecto al punto O es : t = -mgh sen
t = -mgh sen El signo negativo indica que el momento de torsin es horario si el desplazamiento es anti horario, y viceversa. si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posicin de equilibrio. El movimiento no es armnico simple porque por que el momento de torsin t es proporcional al sen no a pero si es pequeo podemos aproximar sen por en radianes, y el movimiento es aproximadamente armnico simple. Entonces, t =-(mgh)
Deduccin del periodoFigura 1El pndulo fsico es un sistema con un slo grado de libertad; el correspondiente a la rotacin alrededor del eje fijo ZZ (Figura 1).
La posicin del pndulo fsico queda determinada, en cualquier instante, por el nguloque forma el plano determinado por el eje de rotacin (ZZ) y el centro de gravedad (G) del pndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotacin.
Llamaremos a la distancia del centro de gravedad (G) del pndulo al eje de rotacin ZZ. Cuando el pndulo est desviado de su posicin de equilibrio (estable) un ngulo , actan sobre l dos fuerzas ( y ) cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ es un vector dirigido a lo largo del eje de rotacin ZZ, en el sentido negativo del mismo; i.e.,
Si es el momento de inercia del pndulo respecto al eje de suspensin ZZ y llamamos a la aceleracin angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuacin diferencial del movimiento de rotacin del pndulo:
que podemos escribir en la forma
que es una ecuacin diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para elPndulo Simple.
En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequea, podemos poner seny la ecuacin [3] adopta la forma
que corresponde a un movimiento armnico simple.
El periodo de las oscilaciones es
Ecuaciones del momento de inerciaLa m es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslacin y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin. As, por ejemplo, lasegunda ley de newton:
Tiene como equivalente la rotacin
Tiene como equivalente la rotacin
Donde; T= es igual al momento aplicado al cuerpo I= es el momento de inercia es la frecuencia angular
Ejemplo del pndulo fsico
Una manera fcil de medir el momento de inercia de un objeto con respecto a cualquier eje consiste en medir el periodo de oscilacin alrededor de ese eje. a) Considere que una vara no uniforme de 1.0 kg puede equilibrarse en un punto a 42 cm desde un extremo. Si es pivoteado con respecto a ese extremo oscilara con un periodo de 1.6 s. Cul es el momento de inercia con respecto a este extremo?
solucin
dadas T=1.6 s h= 0.42m despejamos el momento de inercia I de la ecuacin de el periodo;
