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8/14/2019 No Existe Un Logro Que No Sea
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Leccin 9
Potencias
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Existe un alto
porcentaje depersonas quecreen no poder.
La buena
actitud,fortalece sus
creencias y las
ayuda a lograr
Las personas no nacen con talentoespecial para la matemtica. Necesitan
tener una buena actitud paracomprenderla.Concientzate de que mientras ms tenazsea tu paciencia, ms segura ser turecompensa.
HOLA
No existe un logroque no sea elresultado de untrabajo largo y una
espera paciente.La paciencia es amarga,pero su fruto es dulce yayuda a sobrevivir
cualquier derrota
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Repaso sobre potencias
Una potencia expresa la multiplicacin de uno o msfactores iguales.
3
5
EXPONENTE
BASE
Por ejemplo, la tercera potencia de 5, se expresa 53,
lo cual es igual a 5 5 5.
El 3 se llama exponente y el 5 base
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Escriba en forma exponencial
3 3 3 3 i) 7 7 7 7 7 ii)
Como el exponente indica el nmero de factores iguales,entonces:
3 3 3 3 =i)
7 7 7 7 7 =ii)
43
57
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Potencia de un nmero b
La potencia de un nmero b, indica el nmero de veces que
b aparecer como factor en una multiplicacin.
vecesnb b b b =142 43
n
b
Si b aparece como factorn veces, entonces:
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Base negativa y exponente par
Cuando el exponente es par y la base es negativa, elresultado es positivo. Veamos:
i) ii) ( )
6
2( )
4
3
El resultado lo obtenemos, as:
i)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6
2 2 2 2 2 2 2 = = 64ii)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )4
3 3 3 3 3 = = 81
Recordemos las leyes de signos para la multiplicacin
+
=
+
= +
+ = +
+ =
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Base negativa y exponente impar
Cuando el exponente es impar y la base es negativa, elresultado es negativo. Veamos:
i) ii) ( )
5
2( )
3
3
El resultado lo obtenemos, as:
i)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
2 2 2 2 2 2 = = 32ii)
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3 3 3 = = 27
Recordemos las leyes de signos para la multiplicacin
+
=
+
= +
+ = +
+ =
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Importancia de los parntesis
i) ( )4
3 =
ii) 43 =
De lo anterior deducimos que: ( )4 43 3
3 3 3 3 = 81
1 3 3 3 3 = 8141 3 =
la base es( ) 43 343
4 43 1 3 =
En la expresin mientras que en
la expresin la base es 3, el signo negativo no le
pertenece a la base, puesto que:
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Regla general
Si n es par se cumple que ( )n n
b b
Si n es impar se cumple que ( ) n nb b =
La expresin lase, as:
( )
n nb b
( ) es diferente den nb b
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Potencia unidad
La n-sima potencia de 1 es igual a 1, para cualquier
entero n. Esto en forma simblica, lo expresamos as:
1 1
n
= , para todo entero n
Veamos los siguientes ejemplos:
50
1 1=
71
1 1=
1003
1 1=
501 1
=71
1 1
=1003
1 1
=
Observe que, el valor numrico de npuede ser positivo o negativo y el
resultado siempre es 1
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Potencia de 1 con parntesis
( )1 1n
= , para todo entero par n.
Veamos ejemplos numricos:
( )
41 1 =
( )1 1n
= , para todo entero imparn.
Con exponente par ( )
401 1 =
( )5
1 1 = Con exponente Impar ( )13
1 1 =
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Potencia de 1 sin parntesis
1 1n = , para todo entero n.
Veamos los siguientes ejemplos:
41 1 = Con exponente par
401 1 =
51 1 = Con exponente impar 131 1 =
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Exponente 1
La primera potencia de cualquier nmero b es igual a b.
1b b=
Veamos ejemplos numricos:
1
5 5=
1
37 37=
( )1
7 7 = ( )1
62 62 =
Con base positiva
Con base negativa
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Multiplicacin de potencias
de igual base
Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base
y se suman los exponentes.
x y
b b =
Veamos ejemplos numricos:
4 13 3 =i)
125ii)
64iii)
x y
b
+
3 3 3 =33 =4 13 + = 27
4 75 5 =4 75 + = 35 = 5 5 5 =
( ) ( )2 4
2 2 =( )6
2 = 2 2 2 2 2 2 =
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Producto de n factores iguales
x x x x
n veces
b b b b =1 4 2 4 3nxb
Veamos ejemplos con exponente numrico:
4 4 4b b b =
4 4 4b
+ +
=3 4
b
=12
b
7 7 7 7 p p p p = 7 7 7 7p + + + = 4 7p = 28p
7 7 7 7 7 7 x x x x x x = 7x x x x x x+ + + + +
=67 x
i)
ii)
iii)
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Suma de potencias iguales
x x x x
n veces
b b b b+ + + + =1 4 442 4 4 43xnb
La expresin se lee: n veces b a la x.xnb
Veamos ejemplos numricos:
2 2 2 2n n n n+ + + = 4 2n = 22 2n = 22 n+i)
18 5 7 5x x + = ( )18 7 5x+ 25 5x=
25 5x= 2
5x+
=
ii)
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Divisin de potencias
de igual base
Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y
se restan los exponentes.
m n
b b =
m n
b
Veamos ejemplos numricos:
40 385 5 =40 385 = 25 = 25
8 107 7 =8 107 = 8 107 + = 27 =49
i)
ii)
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Potencia 0
Todo nmero entero diferente de cero elevado a la cero esigual a uno. En forma simblica, lo expresamos, as:
,b Z 0b 0 1b =
Veamos ejemplos numricos:
05 1=
07 1=
( )0
4 1 =
( )0
13 1 =
i)
ii)
iii)
iv)
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Demostracin de la potencia 0
0 n nb b
=
Sea b un nmero entero cualquiera, diferente de cero y n otro nmero
entero, entonces
Como 0 es igual a n n, entonces
podemos establecer la siguiente
igualdad
0 n nb b b= Como el segundo miembro, tiene
exponente una diferencia, entonces
lo podemos transformar en una
divisin, en la cual el dividiendo y
el divisor son bn
0 1b =
En una divisin en la cual el
dividendo y el divisor son iguales,
pero diferentes de 0 el cociente es 1
As, queda demostrado que:
0 1 ; con diferente de 0b b=
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Autoevaluacin 9
El esfuerzo que haga en la resolucin de lossiguientes problemas, le construir los modelos
mentales para que aumente su velocidad de
bl 1 A li l i i i i
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Problema 1. Analice las siguientes proposiciones
20
20
) 4 4 4 4veces
i =142 4320
) 3 3 3 20 3veces
ii = 1 2 3
De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la i)
D) Solo la ii)
C) Solo la i)
Analicemos la proposicin i)
Como el factor 4 se repite 20 veces, entonces laproposicin es verdadera
( )V
Analicemos la proposicin ii)
Como el factor 3 se repite 20 veces, entonces el
producto es 3 elevado a la 20, lo cual es diferentea 20 por 3. Por lo tanto, la proposicin es falsa
( )F
203 20 3
P bl 2 A li l i i i i
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7 7 7 7 7 7) 5 5 5 5 5 5 5i =
6 6 6 6 6 6 6) 7 7 7 7 7 5 7 35ii = =
De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la i)
D) Solo la ii)
B) Ninguna
Problema 2. Analice las siguientes proposiciones
Analicemos la proposicin i)
Como el cinco a la siete se repite cinco veces,
entonces el producto es cinco a la siete elevado a la
cinco, as:7 7 7 7 75 5 5 5 5 = ( )
575 355=
Por lo tanto, la proposicin i) es falsa
Analicemos la proposicin ii)Como siete a la seis se repite cinco veces, entonces
el producto es siete a la seis elevado a la cinco, as:
( )5
6 6 6 6 6 67 7 7 7 7 7 =307=
Por lo tanto, la proposicin ii) es falsa
( )F
( )F
P bl 3 A li l i i t i i
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4 7 5 6) 3 3 3 3i = 9 4 3 10) 6 6 6 6ii =
De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la i)
D) Solo la ii)
A) Ambas
Problema 3. Analice las siguientes proposiciones
Analicemos la proposicin i)
Como las bases son iguales en ambos miembros, entonces
al sumar los exponentes en ambos miembros se obtiene
11 como exponente. Por lo tanto, la proposicin es
verdadera
( )V
4 7 5 63 3 3 3 =
11 113 3=
Analicemos la proposicin ii)
Como las bases son iguales en ambos miembros,entonces al sumar los exponentes en ambos miembros se
obtiene 13 como exponente. Por lo tanto, la proposicin
es verdadera 9 4 3 106 6 6 6 =
13 136 6=
( )V
P bl 4 A li l i i t i i
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5 5 2) n n ni b b b+ = 5 5) 1n nii b b =
De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la i)
D) Solo la ii)
A) Ambas
Problema 4. Analice las siguientes proposiciones
Analicemos la proposicin i)
Como las bases son iguales, entonces conservamos la
base y sumamos los exponentes, as:
5 5 5 5n n n nb b b
+ + +
=2 0 2n n
b b+
= =
Por lo tanto, la proposicin i) es verdadera
( )V
Analicemos la proposicin ii)
Como las bases son iguales, entonces conservamos la
base y sumamos los exponentes, as:
5 5 5 5n n n nb b b
+
=0 1b= =
Por lo tanto, la proposicin ii) es verdadera
( )V
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7 5) 4 4 16n ni =10 11) 8 8 8x xii =
De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo lai)
D) Solo la ii)
A) Ambas
Problema 5. Analice las siguientes proposiciones
Analicemos la proposicin i)
Como las bases son iguales, entonces conservamos la
base y sumamos los exponentes, as:
7 5 7 54 4 4n n n n + = 24= 16=
Por lo tanto, la proposicin i) es verdadera
Analicemos la proposicin ii)
Como las bases son iguales, entonces conservamos la
base y sumamos los exponentes, as
10 11 10 118 8 8 x x x x + = 18= 8=
Por lo tanto, la proposicin ii) es verdadera
( )V ( )V
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( ) ( )7 12
) 1 1 0i + = ( ) ( )13 15
) 1 1 0ii =
De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la i)
D) Solo la ii)
A) Ambas
Problema 6. Analice las siguientes proposiciones
Resolvamos la suma aplicando la ley de potencias
correspondientes.
( ) ( )7 12
1 1 1 1 0 + = + =
Analicemos la proposicin i)
Por lo tanto, la proposicin i) es verdadera
( )V
Resolvamos la suma aplicando la ley de potencias
correspondientes
( ) ( ) ( )13 15
1 1 1 1 1 1 0 = = + =
Analicemos la proposicin ii)
Por lo tanto, la proposicin ii) es verdadera
( )V
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( ) ( )103 104
) 1 1 2i + = ( ) ( )0 0
) 1 1 0ii =
De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la i)
D) Solo la ii)D) Solo la ii)
Problema 7. Analice las siguientes proposiciones
Resolvamos la suma aplicando la ley de potencias
correspondientes
( ) ( )103 104
1 1 1 1 0 + = + =
Analicemos la proposicin i)
Por lo tanto, la proposicin i) es falsa
( )F
Resolvamos la suma aplicando la ley de potencias
correspondientes
( ) ( )0 0
1 1 1 1 0 = =
Analicemos la proposicin ii)
Por lo tanto, la proposicin ii) es verdadera.
( )V
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70 68) 9 9 81i = 80 81) 5 5 5ii =
De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la i)
D) Solo la ii)
A) Ambas
Problema 8. Analice las siguientes proposiciones
Analicemos la proposicin i)
Como las bases son iguales, entonces conservamos la
base y restamos los exponentes, as
70 68 70 689 9 9 = 29= 81=
Por lo tanto, la proposicin i) es verdadera
( )V
Analicemos la proposicin ii)
Como las bases son iguales, entonces conservamos la
base y restamos los exponentes, as
( )80 8180 815 5 5
=80 815 += 15= 5=
Por lo tanto, la proposicin ii) es verdadera
( )V
P bl 9 A li l i i i i
8/14/2019 No Existe Un Logro Que No Sea
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125 128) 3 3 27i =7 8) 4 4 4n nii =
De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la i)
D) Solo la ii)
A) Ambas
Problema 9. Analice las siguientes proposiciones
Analicemos la proposicin i)
Como las bases son iguales, entonces conservamos la
base y restamos los exponentes, as:
( )125 128125 1283 3 3
=125 1283 += 33 27= =
Por lo tanto, la proposicin i) es verdadera
( )V
Analicemos la proposicin ii)
Como las bases son iguales, entonces conservamos la
base y restamos los exponentes, as
( )7 87 84 4 4n nn n
=7 8
4n n +
=1
4 4= =
Por lo tanto, la proposicin ii) es verdadera
( )V
Problema 10 Analice las siguientes proposiciones
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8 12 2) 2 2 4n ni =13 11 2 2) 5 5 5n n nii =
De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo lai)
D) Solo la ii)
C) Solo lai)
Problema 10 Analice las siguientes proposiciones
Analicemos la proposicin i)
Como las bases son iguales, entonces conservamos la
base y restamos los exponentes, as
( )8 128 122 2 2n nn n
=8 122n n +=
4 22 16 4= = =
Por lo tanto, la proposicin i) es verdadera
( )V
Analicemos la proposicin ii)
Como las bases son iguales, entonces conservamos la
base y restamos los exponentes, as
( )13 1113 115 5 5n nn n
=13 115 n n += 25 25= =
Por lo tanto, la proposicin ii) es verdadera
( )F
P bl 11 A li l i i t i i
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0) 7 7 7n ni = 0) 5 4 4n nii = De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo lai)
D) Solo la ii)
A) Ambas
Problema 11. Analice las siguientes proposiciones
Analicemos la proposicin i)
Como las bases son iguales, entonces conservamos la
base y restamos los exponentes, as
07 7 7 7n n n n = =
Por lo tanto, la proposicin i) es verdadera
Analicemos la proposicin ii)
Como las bases son iguales, entonces conservamos la
base y restamos los exponentes, as:
0 04 4 4 4 1 5n n n n = = = =
Por lo tanto, la proposicin ii) es verdadera
( )V ( )V
P bl 12 A li l i i t i i
8/14/2019 No Existe Un Logro Que No Sea
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( )8 8) 7 7i ( )
13 13) 7 7ii =
De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la i)
D) Solo la ii)
A) Ambas
Problema 12. Analice las siguientes proposiciones
Analicemos la proposicin i)
Como la base negativa elevada a un exponente par da
como resultado un nmero positivo, entonces la
proposicin i) es verdadera
( )V
Analicemos la proposicin ii)
Como la base negativa elevada a un exponente impar da
como resultado un nmero negativo, entonces la
proposicin ii) es verdadera
( )V
Problema 13 Analice las siguientes proposiciones
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13 13 13 14) 7 7 5 7 7i + + = 201 201 201 202) 5 5 3 5 5ii + + =
De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la i)
D) Solo la ii)
A) Ambas
Problema 13. Analice las siguientes proposiciones
Analicemos la proposicin i)
13 13 13 13 1 13 147 7 5 7 7 7 7 7++ + = = =
Resolvamos la suma aplicando la ley de potencias
correspondientes
Por lo tanto, la proposicin i) es verdadera
( )V
Analicemos la proposicin ii)
201 201 201 201 1 201 2025 5 3 5 5 5 5 5++ + = = =
Resolvamos la suma aplicando la ley de potenciascorrespondientes
Por lo tanto, la proposicin ii) es verdadera
( )V
Problema 14 Analice las siguientes proposiciones
8/14/2019 No Existe Un Logro Que No Sea
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101 101 102) 4 9 5 9 9i + =105 105 109) 19 2 3 2 2ii =
De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la i)
D) Solo la ii)
A) Ambas
Problema 14. Analice las siguientes proposiciones
Analicemos la proposicin i)
101 101 101 1 101 1024 9 5 9 9 9 9 9+ + = = =
Resolvamos la suma aplicando la ley de potencias
correspondientes
( )V
Analicemos la proposicin ii)
105 105 105 4 105 4 105 10919 2 3 2 16 2 2 2 2 2+ = = = =
Resolvamos la suma aplicando la ley de potencias
correspondientes
Por lo tanto, la proposicin i) es verdadera
Por lo tanto, la proposicin ii) es verdadera
( )V
Problema 15 Analice las siguientes proposiciones
8/14/2019 No Existe Un Logro Que No Sea
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108 108 108 109) 13 13 15 13 13i + =
105 105 105 104
) 17 5 17 23 17 17ii + =
De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la i)
D) Solo la ii)
C) Solo la i)
Problema 15. Analice las siguientes proposiciones
Analicemos la proposicin i)
108 108 108 108
1 108
109
13 13 15 13 13 13
1 1313
+
+ =
=
=
Resolvamos la suma aplicando la ley de potenciascorrespondientes
Por lo tanto, la proposicini) es verdadera
( )V
Analicemos la proposicin ii)
105 105 105 105
105
1 105
106
17 5 17 23 17 17 17
1 17 171 17
17
+
+ =
=
=
=
Resolvamos la suma aplicando la ley de potenciascorrespondientes
Por lo tanto, la proposicinii
) es falsa
( )F
Problema 16 Analice las siguientes proposiciones
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107 107) 7 1 7i = 108 108) 1ii x x =
De estas, con certeza cules son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo lai)
D) Solo la ii)
C) Solo la i)
Problema 16. Analice las siguientes proposiciones
Analicemos la proposicin i)
107 1077 1 7 =
El 1 es un factor invisible. Por lo tanto, la proposicin
ii) es verdadera
Analicemos la proposicin ii)
108 1081x x =
El 1 es un factor invisible. Por lo tanto, la proposicini) es falsa
( )V ( )F
8/14/2019 No Existe Un Logro Que No Sea
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Remplace el pensamiento de no puedo por un puedo enrgico y
por un quiero ms enrgico an.
Para alcanzar la estabilidad emocional, tenemos
que abandonar todo pensamiento de miedo y de
odio.