Número Especial Semiótica, Cultura y Pensamiento ... · Publicación Oficial de ... Informe...

Editores Invitados:Editores Invitados:

Luis RadfordLuis RadfordBruno D’AmoreBruno D’Amore

Semiótica, Cultura y Pensamiento MatemáticoSemiótica, Cultura y Pensamiento MatemáticoSemiotics, Culture and Mathematical ThinkingSemiotics, Culture and Mathematical ThinkingSémiotique, Culture et Pensée MathématiqueSémiotique, Culture et Pensée Mathématique

Número EspecialNúmero Especial

Núm

ero E

spec

ial, 2

006

Núm

ero E

spec

ial, 2

006

Publicación Oficial de Investigación delComité Latinoamericano de Matemática Educativa

Número Especial, 2006

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa

Editores Invitados:

Luis RadfordBruno D’Amore

Semiótica, Cultura y Pensamiento MatemáticoSemiotics, Culture, and Mathematical ThinkingSémiotique, Culture et Pensée Mathématique

DIRECCIÓN EDITORIAL

Rosa María Farfán([email protected])

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN, México

Luis Carlos ArboledaUniversidad del Valle, Colombia

Michèle ArtigueUniversité Paris 7, Francia

Luis CampistrousInstituto Central de Ciencias Pedagógicas, Cuba

Ricardo CantoralCinvestav – IPN, México

Fernando CajasUniversidad de San Carlos, Guatemala

Francisco CorderoCinvestav -IPN, México

Bruno D’ AmoreUniversità di Bologna, Italia

Ed DubinskyGeorgia State University, EUA

Enrique GalindoIndiana University, EUA

Ismenia GuzmánUniversidad Católica de Valparaíso, Chile

Carlos ImazCinvestav – IPN, México

Delia LernerUniversidad Nacional de Buenos Aires,

Argentina

Luis MontejanoUniversidad Nacional Autónoma de México,

México

León OlivéUniversidad Nacional Autónoma de México,

México

Luis RicoUniversidad de Granada, España

Luis RadfordUniversité Laurentienne, Canadá

Anna SierpinskaConcordia University, Canadá

COMITÉ DE REDACCIÓN

Juan Antonio AlanísITESM, México

Leonora DíazUniversidad Metropolitana de Ciencias de la

Educación, Chile

Crisólogo DoloresUniversidad Autónoma de Guerrero, México

Evangelina DíazUniversidad Nacional, Heredia, Costa Rica

Javier LezamaCicata – IPN, México

Gustavo MartínezUniversidad Autónoma de Guerrero, México

Martín SocasUniversidad de La Laguna, España

Marta ValdemorosCinvestav – IPN, México

Eréndira ValdezUniversidad Pedagógica Nacional, México

Coordinación técnica: María Guadalupe Cabañas, Mario Sánchez, Martha Maldonado, Iván Javier Maldonado, AbrahamEspinosa y José Canché

Diseño editorial: Patricia Sánchez

Portada: «Opus 1» de Oscar Reutersvärd en 1934. Reproducida con permiso de los herederos del artista.

Clame. Consejo Directivo: Presidente: Gustavo Martínez ([email protected]) – México; Secretario: Germán Beitía([email protected]) – Panamá; Tesorero: Joaquín Padovani ([email protected]) – Puerto Rico; Vocal Norteamérica: GiselaMontiel ([email protected]) - México; Vocal Caribe: Juan Raúl Delgado ([email protected]) – Cuba; VocalSudamérica: Cecilia Crespo ([email protected]) – Argentina.Derechos Reservados © Clame A.C., ISSN 1665-2436. Edición CLAME-México, R.F.C. CMM 040505 IC7. Impreso en México

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. Publicación oficial de investigación del Comité Latinoamericano de MatemáticaEducativa. Se publica en los meses de marzo, julio y noviembre. Número especial, 2006. Tiraje 2000 ejemplares. Para cualquier contribución omayor información, favor de dirigirse a la dirección electrónica: [email protected], o consulte la página http://www.clame.org.mx. Relime estádisponible en los siguientes índices: Conacyt – Índice de Revistas Mexicanas de Investigación Científica y Tecnológica:http://www.conacyt.mx/dac/revistas/revistas_catalogo2004.html; Índice de Revistas Latinoamericanas en Ciencia (Periódica): http://www.dgbiblio.unam.mx/periodica.html; SistemaRegional de Información en Línea para Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal (Latindex): http://www.latindex.unam.mx;Índice de Revistas de Educación Superior e Investigación Educativa (Iresie): http://www.unam.mx/cesu/iresie/; Red de Revistas Científicas deAmérica Latina y el Caribe (Red ALyC): http://www.redalyc.com/; EBSCO Information Services: http://www.ebsco.com/home/; IBZ – InternationalBibliography of Periodical Literature in the Humanities and Social Sciences: http://www.gale.com/; ZDM – Zentralblatt für Didaktik der Mathematik:http://www.fizkarlsruhe.de/fiz/publications/zdm/zdmp1.html; Dialnet: http://dialnet.unirioja.es/ ;Informe Académico: www.galeiberoamerica.com

Número Especial:Semiótica, Cultura y Pensamiento Matemático

COMITÉ CIENTÍFICO

Editores Invitados:Luis Radford

Bruno D’Amore

Editorial 6

Introducción. Semiótica y Educación Matemática 7

Luis Radford

Proof and Explanation from a Semiotical Point of View 23

Michael Otte

Quelle sémiotique pour l’analyse de l’activité et des productions 45mathématiques?

Raymond Duval

Socioepistemología y representación: algunos ejemplos 83

Ricardo Cantoral, Rosa-María Farfán, Javier Lezama y GustavoMartínez-Sierra

Elementos de una teoría cultural de la objetivación 103

Luis Radford

Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta 131

Juan D. Godino , Vicenç Font y Miguel R. Wilhelmi

Semiotic Objectifications of the Compensation Strategy: En Route to 157the Reification of Integers

Andreas Koukkoufis y Julian Williams

Objetos, significados, representaciones semióticas y sentido 177

Bruno D’Amore

Contenido

Are registers of representations and problem solving processes on 197functions compartmentalized in students’ thinking?

Athanasios Gagatsis, Iliada Elia y Nikos Mousoulides

Learning Mathematics: Increasing the Value of Initial Mathematical 225Wealth

Adalira Sáenz-Ludlow

Everyday and Mathematical Language 100 Years After the Publication 247of “On Denoting” by Bertrand Russell

Giorgio T. Bagni

Semiosis as a Multimodal Process 267

Ferdinando Arzarello

Conclusiones y perspectivas de investigación futura 301

Bruno D’Amore

Sugerencias y guía para la preparación de artículos 307

Editorial

Con gran placer presentamos nuestro primer número especial de Relimeque versa sobre una temática de actualidad e importancia para lainvestigación en matemática educativa: “Semiótica, Cultura y

Pensamiento Matemático”. Esta iniciativa ha sido posible gracias al grado deconsolidación actual de nuestra revista y a la participación entusiasta y profesionalde nuestros colegas Luis Radford y Bruno D’Amore quienes son nuestros editoresinvitados para este numero especial y a quienes les agradecemos suconocimiento, tiempo y trabajo para el logro de la empresa.

Todas las colaboraciones de este numero siguieron el proceso de revisión yarbitraje estricto usual en Relime y se presentan escritos en castellano, inglés yfrancés como un reflejo de la pluralidad y contribución de las diversas escuelasde pensamiento hacia la temática que convoca a los diversos especialistas dereconocimiento internacionall. Esta experiencia sin duda enriquecerá a nuestracomunidad, por lo que esperamos continuar con la edición de números especialesde Relime. Para que eso sea posible, invitamos a nuestros colegas a enviar suspropuestas.

Reiteramos las consideraciones de origen que guían la política editorial deRelime: nuestro objetivo es el de promover y fomentar la escritura de artículosde investigación de alta calidad en nuestra disciplina, como un paso necesariopara la construcción de la escuela latinoamericana de matemática educativa.Como siempre, expresamos nuestro reconocimiento a quienes nos acompañanen esta empresa: lectores, autores, árbitros y equipo técnico. A todos los colegasque cultivan nuestra disciplina les extendemos nuestra cordial invitación paraque remitan sus colaboraciones a Relime.

Rosa María FarfánDirectora de Relime

Introducción

Semiótica y Educación Matemática

Luis Radford 1

El creciente interés suscitado por la semiótica en el campo de la educación matemáticaen los últimos años se debe nos parece a razones de diferente índole.

Por un lado, ha habido una toma de conciencia progresiva del hecho de que, dada lageneralidad de los objetos matemáticos, la actividad matemática es, esencialmente,una actividad simbólica (D’Amore, 2001; Duval, 1998; Godino y Batanero, 1999; Otte,2003; Radford, 2004; Steinbring, 2005).

Por otro lado, el interés que suscitó en los años 1990 la comprensión de la comunicaciónen el salón de clase puso en evidencia la importancia que tiene, tanto para el investigadorcomo para el maestro, comprender la naturaleza del discurso matemático (Cobb, Yackel,y McClain, 2000; Steinbring, Bartolini Bussi, y Sierpinska, 1998). La semiótica, con suarsenal de métodos y conceptos, aparece como teoría apropiada para intentar dar cuentade la complejidad discursiva.

Otra razón parece ser el uso cada vez mayor de artefactos tecnológicos en la enseñanzay aprendizaje de las matemáticas (Arzarello, 2004; Borba y Villareal, 2006; Guzmán yKieran, 2002; Kaput y Hegedus, 2004; Kieran y Saldanha, 2005). La semiótica, de nuevo,parece ofrecer conceptos capaces de ayudar al didáctico en su tarea de entender elpapel cognitivo que desempeñan los artefactos.

Mencionemos, por último, el hecho de que los artefactos y los signos son portadores deconvenciones y formas culturales de significación que hacen a la semiótica un campomuy bien situado para entender las relaciones entre los signos a través de los cualespiensan los individuos y el contexto cultural (Radford, en prensa-1).

La semiótica se presenta con un amplio y ambicioso espectro de aplicaciones. Esto nodebe, sin embargo, dar la impresión de que la semiótica es una teoría nueva, unificadapor una serie de principios comunes. Hay, por lo menos, tres tradiciones semióticasclaramente diferenciadas. (1) La tradición Saussureana, iniciada por el suizo Ferdinandde Saussure (1857-1913) en una serie de cursos dictados entre 1907 y 1911, tradiciónque emplea el término semiología; (2) la tradición Peirceana, iniciada por elestadounidense Charles Sanders Peirce (1839-1914) quien acuñó el término semiótica;(3); la Vygotskiana, iniciada por el psicólogo ruso Lev S. Vygotski (1896-1934). Cadauna de esas tradiciones emergió y fue desarrollada dentro de problemáticas precisas ydiferentes.

7Relime, Número Especial, pp. 7-21

1 École des sciences de l’éducation. Université Laurentienne, Ontario, Canada.

Relime

La tradición Saussureana

El problema principal para Saussure era elde la comprensión de la lengua, que éldistinguía del lenguaje y de la palabra, unadistinción que reposa en la oposición entrelo social y lo subjetivo. Para Saussure, lapalabra es de orden subjetivo, mientras quela lengua es de orden social. “La lengua”,decía Saussure, “es un sistema de signosque expresan ideas, comparable a laescritura, al alfabeto de los sordomudos, alos ritos simbólicos, a las formas decortesía, a las señales militares, etc. etc.”(Saussure, 1995, p. 33)2. Para Saussure,la lengua no solamente se asemeja a esossistemas de signos, sino que es el másimportante de ellos. Fue en este contextoque Saussure propuso una nueva ciencia,que englobaría la lingüística y cuyo objetivosería el estudio general de los signos:

Podemos concebir, pues, unaciencia que estudie la vida de lossignos en el seno de la vida social;ésta sería parte de la psicologíasocial y, por consiguiente, de lapsicología general; la llamaremossemiología (del griego semeîon,“signo”). Ella nos enseñará en quéconsisten los signos (y) cuáles sonlas leyes que los rigen. (Saussure,–op. cit. p. 33; énfasis en el original).

Para Saussure, los signos no son simplesmarcas que representan cosas en elmundo. Esta idea, dice Saussure, reduceel papel de los signos a una meranomenclatura. El signo, Saussure sugiere,es la unión indisociable de dos elementosde naturaleza psíquica: el concepto(signifié, significado) y la imagen acústica

Excepto en los casos de obras mencionadas en español, en la lista de referencias, las traducciones al español son

nuestras.

2

asociada (signifiant, significante). Ellingüista suizo nos invita a imaginar aalguien que nos habla en una lenguadesconocida: “Cuando escuchamos unalengua desconocida, estamos en laimposibi l idad de decir cómo lossonidos que siguen deben seranalizados” (op. cit. p. 145). Lo queaparece ante nosotros es una cadenade sonidos sin significados. “Perocuando sabemos qué sentido y quépapel hay que atribuir a cada parte dela cadena, entonces vemos esaspartes desprenderse de las otras y esacinta (auditiva) amorfa dividirse enfragmentos” o signos con pleno sentido(op. cit. p. 145).

Como lo sugiere este ejemplo, lossignos significan en la medida en queson miembros de un sistema. Esto es,el signo tiene significado cuando estárelacionado con otros signos. Esgracias a este sistema que el signo essigno. Saussure ofrece la analogía conel juego de ajedrez. El caballo, porejemplo, no representa nada, en tantoque pieza material: “En su materialidadpura, fuera de su casilla y de las otrascondiciones del juego, el caballo norepresenta nada para el jugador” (op.cit. p. 153). Esta pieza material no seconvierte en elemento real y concreto,sino hasta cuando reviste el valor quele otorgan las reglas del juego. Lomismo ocurre con los signos.

En la aproximación estructuralista deSaussure, la manera de significar de lossignos reposa en su oposicióndiferencial. Esta idea fue continuada,entre otros, por (Hjelmslev, 1969) yluego por (Eco, 1976).

8

Introducción. Semiótica y Educación Matemática

La tradición Peirceana

Charles Sanders Peirce, matemáticodedicado a la lógica, concibió la semióticacomo la “doctrina formal de los signos”. Laorientación de su pragmaticismo (diferentede simple practicalismo como algunos lohan interpretado) no fue la investigaciónde cómo los signos significan en el senode la vida social, como fue el caso deSaussure, sino la manera en que unindividuo genérico utiliza signos paraformar nuevas ideas y nuevos conceptospara alcanzar la verdad. Su teoría depragmaticismo (es decir, la lógica deabducción) es la base de su semiótica. Poresa razón, la semiótica Peirceana semueve cerca de las esferas de la lógica,sin reducirse solamente a ésta.

En tanto que buen discípulo de Kant, Peircehabía notado, contra las ideas de losracionalistas de la antigüedad y del sigloXVII, que el pensamiento humano nopuede ser comprendido a la luz de la teoríade la inferencia o de la lógica formal. ComoKant, Peirce se propuso modificar lascategorías aristotélicas y abandonó, comolo haría Piaget unos años más tarde, elapriorismo Kantiano. Para ello, Peirceadoptó una postura ontológica alineadacon el Realismo escolástico, y elaboró unafenomenología en la cual la manera deconocer pasa por tres experienciasdistintas (Firstness, Secondness andThirdness).

Peirce definió el signo como algo que, paraalguien, toma lugar de otra cosa (el objetodel signo), no en todos los aspectos de estacosa, sino solamente de acuerdo con ciertaforma o capacidad (ver CP 2.2283). En

efecto, según Peirce, el objeto(Secondness) del signo es aprehendidosegún cierta cualidad (Firstnees) demanera tal que un nuevo signo esproducido: el intepretant (interpretante)(Thirdness). Siguiendo el mismo proceso,este interpretante puede convertirse enobjeto de otro nuevo signo y asíindefinidamente (ver CP 1.339).

Este proceso que va de signo en signo osemiosis ilimitada, como la llaman Eco yotros peirceanos, constituye la esencia delpensamiento, pues como dice Peirce enotras partes, “todo pensamiento es unsigno” (CP 1.538, 2.253, 5.314, 5.470). Elproblema es, pues, para Peirce, encontrarel método “correcto” para pensar:

si podemos encontrar el método parapensar y si podemos seguirlo elmétodo correcto de transformaciónde signos entonces la verdad puedeser ni más ni menos que el últimoresultado al cual el método delseguimiento de signos nos conduciríaultimadamente” (Peirce, CP 5.553).

El éxito de la empresa de Peirce reposa,sin embargo, en la adopción de doshipótesis fundamentales, cuyo preciopuede parecer muy elevado: primero, lahipótesis de una adecuación entre elmundo real y el mundo de las ideas, estoes entre ordo rerum y ordo idearum;segundo, la confianza en el razonamientocientífico como modelo metodológico deraciocinio (Radford, 2006).

Respecto a la primera hipótesis,señalemos, brevemente, que Peircesupone que, desde el punto de vistaontológico, la naturaleza es gobernada por

Siguiendo la tradición, en adelante indicaremos los Collected Papers de Peirce (1931-1958) con las siglas CP. El

número 2.228 significa el libro 2, entrada 228. En general, CP a.b significa los Collected Papers, libro a, entrada b).

3

9

Relime

leyes. Además, desde el punto de vistaepistemológico, Peirce supone que estanaturaleza es inteligible.

Respecto a la segunda hipótesis, lamencionada adecuación entre ordo rerumy ordo idearum, sostenida por el extremorealismo escolástico Peirceano (ver Parker,1994, p. 67), es suplementada por una idearacionalista de verdad. El resultado es quela actividad cognitiva del individuoencuentra un aliado incondicional en lanaturaleza. Los signos de la naturaleza yel pensamiento humano caminan juntos,tomados de la mano. Es por eso que Peircepuede decir con confianza que “El soloinmediato propósito del pensamiento esvolver las cosas inteligibles” (CP 1.405). Esgracias a esta idea racionalista de verdadque funciona como idea reguladora que,según Peirce, podemos estar seguroscontra la opinión de Kant y elconstructivismo al que el éste dio origende que en nuestras disquisiciones noestamos corriendo detrás de fantasmas,objetos nominales o simples invencionessubjetivas o ideas “viables” como ha dichoGlaserfeld (1995): al contrario, el “correcto”uso de signos, regulados por esa verdadtrascendental que se expresa en los signosde la naturaleza y que nos revela el métodocientífico, asegura el final feliz de lasemiosis ilimitada (Nesher, 1997; Radford,en prensa-2).

No obstante el precio a pagar por lashipótesis anteriores, la semiótica de Peirceofrece ricas topologías de signos quepueden ser muy útiles en la comprensiónde fenómenos didácticos (Otte, en prensa;Presmeg, 2005; Sáenz-Ludlow, 2003,2004, 2006). Una de las vías actualmenteexploradas dentro de la tradición peirceanaes la del razonamiento diagramático

(Dörfler, 2005; Hoffmann, 2002, 2005;Stjernfelt, 2000).

La tradición Vygotskiana 4

La semiótica Vygostkiana fue elaboradacomo respuesta al problema del estudio delpensamiento y de su desarrollo. Amparadoen la corriente Marxista de su época,Vygotski propuso una teoría del desarrollocognitivo en la cual los conceptos de labory de herramientas desempeñan un papelprimordial. En una conferencia dictada en1930 en la Academia de la educacióncomunista, Vygotski llamó la atenciónsobre el hecho de que el comportamientohumano está inmerso en una serie dedispositivos artificiales (artefactos). Una delas novedades de la teoría vygotskiana fuela de mostrar que en vez de ser simplesayudas, estos dispositivos alteran el cursodel desarrollo natural de los procesospsíquicos. Dichos dispositivos seconvierten en instrumentos psicológicos ysirven de base a la aparición de lasfunciones psíquicas superiores, funcionesque distinguen el reino humano del reinoanimal. Refiriéndose a los instrumentospsicológicos, dice Vygotski:

Los instrumentos psicológicos soncreaciones artificiales;estructuralmente son dispositivossociales y no orgánicos o individuales;están dirigidos al dominio de losprocesos propios o ajenos, lo mismoque la técnica lo está al dominio delos procesos de la naturaleza.(Vygotski, 1991, p. 65)

Para Vygotski y la escuela histórico-culturalde psicología, el problema del desarrollointelectual es planteado como problema

La transliteración del nombre de Vygotski se escribe diferentemente, según el idioma empleado. En inglés la traducción

es Vygotsky.

4

10


cultural. De acuerdo con la “ley genéticade desarrollo cultural” que proponeVygotski,

En el desarrollo cultural del niño,toda función aparece dos veces:primero, a nivel social, y más tarde,a nivel individual; primero entrepersonas (interpsicológicamente), ydespués, en el interior del propioniño (intrapsicológicamente). Estopuede aplicarse igualmente a laatención voluntaria, a la memorialógica y a la formación deconceptos. Todas las funcionessuperiores se originan comorelaciones entre seres humanos.(Vygotski, 1988, p. 94; cursivas enel original).

El signo desempeña una funciónmediadora entre el individuo y su contexto,y permite, además, ese pasaje entre lointerpsicológico y lo intrapsicológico queasegura la reconstrucción interna de laacción, esto es, de su internalización.Vygotski da como ejemplo la aparición delgesto:

Al principio, este ademán no es másque un intento fallido de alcanzar algo,un movimiento dirigido hacia ciertoobjeto que designa la actividadfutura… Cuando acude la madre enayuda del pequeño y se da cuenta deque su movimiento está indicandoalgo más, la situación cambiaradicalmente. El hecho de señalar seconvierte en un gesto para losdemás… Únicamente más tarde,cuando el niño es capaz de relacionarsu fallido movimiento de agarrar conla situación objetiva como un todo,comienza a interpretar dichomovimiento como acto de señalar…Como consecuencia de este cambio,el movimiento mismo queda

simplificado, y lo que de él resulta esla forma de señalar que llamamosgesto. (Vygotski, 1988, pp. 92-93)

La descripción que hace Vygotski de laaparición del gesto indicativo pone enevidencia el papel de lo social en lagénesis de la significación. El gesto estáprimero dirigido hacia alguien (planointersubjectivo) y se convierte en gestopara sí mismo (plano intrasubjetivo)solamente más tarde, en ese proceso deinternalización que es mediado por elcuerpo mismo. Más tarde, la actividadgestual se vuelve más compleja con laaparición de otras formas indicativas,como las lingüísticas (por ejemplo con lasexpresiones “aquí” “allí”, etc.) en las queel signo se mueve en una capa designificación auditiva o escrita, dando lugara una deixis compleja (ver Bühler, 1979;Radford, 2002).

A pesar de una orientación literaria,mostrada, sobre todo, en los primerostrabajos, como La psicología del arte(Vygotsky, 1971), publicado inicialmenteen 1925, Vygotski, como Peirce, adoptóuna ontología realista y, como éste, vio enla ciencia y la tecnología la forma porexcelencia de alcance del conocimiento.No obstante esto, la idea del signo comoobjeto cognitivo, inspirado de la idea deherramienta laboral, es, sin duda, una ideainteresante. Con ella, Vygotski rompió elesquema tradicional del idealismo y delracionalismo. El signo no es simplementepieza diferencial de un sistema deestructuras (Saussure) ni mero medio depensamiento y de formación de ideas(Peirce), sino, sobre todo, medio detransformación de las funciones psíquicasdel individuo.

La analogía del signo como herramientatiene, sin embargo, sus limitaciones. Así,van der Veer y Valsiner han sugerido que

11

Relime

dicha concepción del signo da a lapsicología de Vygotski un aspectodemasiado técnico y la convierte en unaespecie de “psicotecnología” (van der Veery Valsiner, 1991, p. 221). Vygotski parecehaberse dado cuenta de esta limitación. Enuna serie de notas tomadas por A. N.Leontiev durante un seminario internollevado a cabo en 1933 al que participaron,como de costumbre, los colaboradorescercanos de Vygotski y algunos psicólogosjóvenes que trabajaban bajo su dirección,seminario en el que Vygotski expuso ciertastesis sobre el problema de la conciencia,leemos:

En los primeros trabajos ignorábamosque el significado es propio del signo(...) Partíamos del principio de laconstancia del significado (…) Siantes nuestra tarea era mostrar locomún entre el “nudo” y la memorialógica, ahora consiste en mostrar ladiferencia que existe entre ellos. (cf.Vygotski, 1991, p. 121).

En las notas tomadas en la misma reunióndurante la reacción de Vygotski al reportepreparado por otro de sus colaboradores,A. R. Luria, leemos: “Para nosotros loprincipal es (ahora) el movimiento delsentido.” (cf. Vygotski, 1991, p. 125).

Es claro, pues, que al final de su vida,Vygotski vio la necesidad de continuar lareflexión sobre los signos del lado de lasignificación. Vygotski vio en el estudio delos significados verbales la pauta paraampliar dicho problema. Más tarde,Leontiev sugirió que la evolución de los

significados (verbales y otros) debe servista no solamente a la luz de la interacciónhumana, sino bajo el prisma de lasrelaciones siempre en movimiento de losindividuos y de la naturaleza, bajo laemergencia y desarrollo del trabajo y delas relaciones sociales (van der Veer,1996, p. 259), ideas que desembocaronel su Teoría de la Actividad (Leontiev,1993).

Entre los trabajos de investigaciónconducidos dentro del paradigmavygotskiano, se pueden mencionar los deBartolini Bussi y Mariotti (1999), BartoliniBussi y Maschietto (2006), Berger (2005),Boero, Pedemonte y Robotti (1997).

Piaget y la semiótica

En sus trabajos sobre el papel del símboloen el desarrollo cognitivo, Piaget introdujoel concepto de función semiótica, tratandode dar respuesta a la pregunta siguiente:¿es posible que el pensamiento sea unresultado del lenguaje? 5.

Para Piaget, que solía plantear laspreguntas en términos lógicos, el lenguajeera una condición necesaria, pero nosuficiente del pensamiento. Un tantoirritado por la posición del positivismo dela primera parte del siglo XX, que reducíatodo al lenguaje, Piaget sostuvo que: “Ellenguaje puede constituir una condiciónnecesaria de la terminación de lasoperaciones lógico-matemáticas sin ser,sin embargo, una condición suficiente desu formación.” (Piaget, 1978 p. 130). Para

La vigencia contemporánea de la pregunta de Piaget aparece claramente en una crónica periodística reciente sobre

el trabajo antropológico realizado sobre los Pirahã, una pequeña tribu brasileña con un lenguaje sin cláusulas subordinadas.

Una de las preguntas que los lingüistas se están haciendo es si es posible tener pensamientos para los cuales no hay

palabras en la lengua (ver Bredow, 2006). Estoy en deuda con Heinz Steinbring por llamar mi atención sobre este

artículo.

5

12


Piaget, era importante resolver el problemagenético que consiste en saber si las raícesde las operaciones lógico-matemáticas seencuentran en el campo mismo dellenguaje o, si por el contrario, sonanteriores a éste. La pregunta fundamentalera saber “si la formación del pensamientoestá relacionada con la adquisición dellenguaje como tal o con la funciónsimbólica en general” (op. cit., p. 131). Enresumen, según Piaget, había queinvestigar

si la transmisión verbal es suficientepara constituir en el espíritu del niñoestructuras operatorias o si estatransmisión es eficaz solamente acondición de ser asimilada graciasa estructuras de naturaleza másprofunda (coordinación deacciones), no transmitidas por ellenguaje. (Piaget, op. cit. p. 131)

Dentro de esta problemática, uno de losresultados más relevantes alcanzados porPiaget fue la puesta en evidencia de unainteligencia práctica previa a la aparicióndel lenguaje en el niño. “Conviene insistir”,decía Piaget, aludiendo a los resultadosexperimentales de la escuela de Ginebra,“en el hecho de que las operaciones, encuanto resultado de la interiorización de lasacciones y de sus coordinaciones,permanecen durante mucho tiemporelativamente independientes dellenguaje.” (op. cit. p. 134). En su libroEpistemología Genética, Piaget regresasobre el mismo problema y arguye que

El lenguaje no es ciertamente elmedio exclusivo de representación.Éste es solamente un aspecto de lafunción muy general que Head hallamado la función simbólica. Yoprefiero utilizar el término lingüístico:función semiótica. Esta funciónconsiste en la habilidad de

representar algo a través de unsigno o un símbolo o cualquierobjeto (Piaget 1970, p. 45)

En su libro “La formation du symbole chezl’enfant” [La formación del símbolo en elniño] Piaget sostuvo que el símbolo resultade un esquematismo no simbólico. Alprincipio del libro Piaget dice: “Vamos aintentar mostrar cómo la [emergencia del]símbolo es preparada por el esquematismono simbólico” (Piaget 1968, p. 8), esto es,un esquematismo armado de significantessensorimotores “índices” o “señales”, a loscuales hace falta todavía la independenciarespecto al objeto significado.

Según Piaget, la función semióticaempieza precisamente cuando hay unadiferenciación entre significado ysignificante, diferenciación que provee alsignificado (signifié) con una permanenciaespacio-temporal y abre la posibilidad deque un mismo significante pueda referir avarios significados. Para Piaget, la funciónsemiótica incluye la imitación diferida, eljuego simbólico, la imagen mental, losgestos y el lenguaje natural (Piaget en:Piattelli-Palmarini, 1982, p. 58).

La semiótica Piagetiana, que se enmarcadentro de la tradición Saussureanamencionada anteriormente, reposa en laidea de una continuidad entre lossignificantes sensorimotores y laemergencia de los primeros símbolos enlos niños. En otras palabras, la semióticaPiagetiana se apoya en un postuladosegún el cual la inteligencia sensorimotrizse prolonga, a través del signo, enrepresentación conceptual (Piaget 1968,pp. 68-69).

La solución que propuso Piaget al acertijodel desarrollo de la inteligencia fue, comoen el caso de Peirce, un intento serio deesquivar el apriorismo Kantiano. En el

13

Relime

fondo, la solución Piagetiana es unatematización sofisticada del compromisoque hace la filosofía del Siglo de las Lucesentre el racionalismo y el empirismo. Piagetretoma la posición epistemológica que Kantotorga al individuo en el acto delconocimiento y la lleva a sus máximasconclusiones. En lugar de contentarse conla deducción Kantiana de las categoríasescolásticas, deducción que limitaba alindividuo a un uso racionalista de la facultadde entendimiento, Piaget propuso unproceso genético que se eleva de losensual a lo conceptual a través del efectode una razón que se reconstruye,pacientemente, en cada individuo,independiente de su ubicación histórica ygeográfica. La razón renace y sereconstruye en el curso de la actividad delindividuo y llega, inevitablemente, atraídacomo el metal por el imán, a ese puntoculminante que es la Razón Occidental. Endefinitiva, la epistemología genética dePiaget es una de las expresiones másmodernas de la sensibilidad intelectualheredada del Siglo de las Luces.

Semiótica y Educación

Los trabajos incluidos en este númeroespecial de la Revista Latinoamericana deMatemática Educativa prolongan el interéspor la semiótica mostrado previamente ennuestro campo de investigación por otroscolegas. Varios han sido, en efecto, loseducadores y los psicólogos queempezaron a mostrar o sugerir hace variosaños el potencial de la semiótica en lasreflexiones didácticas. Así, la importanciade los signos matemáticos fue puesta enevidencia por Freudenthal al final de losaños 1960 (Freudenthal, 1968). En los años1980, Filloy y Rojano (1984) mostraron elpotencial del análisis semiótico en lacomprensión del desarrollo del lenguajealgebraico. Más tarde, Laborde, Puig y

Nunes (1996), entre otros, discutieronciertos aspectos ligados al lenguaje.Siguiendo otro camino, Jean-Blaise Grize,un colaborador de Piaget, había tambiénllamado la atención sobre los problemasdel lenguaje en el pensamiento lógico(Grize, 1996).

Los trabajos que constituyen este númeroespecial han sido agrupados en doscategorías. En la primera, el lectorencontrará artículos de corte teórico.

En el primer artículo, Michael Otte abordael tema de la demostración matemática yargumenta que es inútil buscar el sentidode los objetos matemáticos en una especiede estrato fundamental conceptual.Tomando una actitud anti-mentalista, quees compartida por varios autores delpresente número, Otte argumenta que esinútil seguir creyendo que el significado(meaning) de las cosas yace en nuestrascabezas y que es igualmente inútil seguirpensando que el saber (knowledge) es unaespecie de experiencia mental. Siguiendociertas ideas de Peirce, Otte sugiere queno hay separación entre idea y símbolo.Explicar, Otte sostiene, es exhibir elsentido de alguna cosa a través de signosy sentido vistos como procesos.

Raymond Duval discute el problema de laheterogeneidad semiótica, heterogeneidaden que subyace una de las dificultadesmayores del aprendizaje de lasmatemáticas, esto es, pasar de un tipo derepresentación a otro. Duval arguye queel análisis de las produccionesmatemáticas exige herramientas deanálisis semiótico complejas y adaptadasa los procesos cognitivos movilizados entoda actividad matemática y enuncia trespreguntas cruciales, las cuales sondiscutidas en el texto: una sobre lapertinencia de la distinción entresignificante y significado (que nos recuerda

14


la distinción introducida por Saussure), otraen torno a la clasificación de los signos, y,finalmente, otra referente a la comparaciónentre un análisis funcional y un análisisestructural de los signos.

En el tercer artículo, Cantoral ycolaboradores presentan ciertos elementosde la socioepistemología, una teoría quepretende ubicar la actividad matemáticaen el contexto de la práctica social. Elconcepto de práctica social hace referenciaa aquello que viene a normar la actividadmatemática. En su artículo, los autoresestudian algunas actividades como medir,predecir, modelar y convenir, y muestran,haciendo referencia a la historia de lasmatemáticas, escenarios sociales clavesde construcción social del conocimientomatemático.

En el cuarto artículo, Radford presentaciertos elementos de una teoría cultural dela objetivación, una teoría de la enseñanzay el aprendizaje de las matemáticas quese inspira de escuelas antropológicas ehistórico-culturales del conocimiento.Dicha teoría se apoya en unaepistemología y una ontología noracionalistas que dan lugar, por un lado, auna concepción antropológica delpensamiento y, por el otro, a unaconcepción esencialmente social delaprendizaje. De acuerdo con la teoría, loque caracteriza al pensamiento no essolamente su naturaleza semióticamentemediatizada, sino sobre todo su modo deser en tanto que praxis reflexiva.

En el quinto artículo, un artículo detransición entre los artículos de corteteórico y los de corte aplicado, Godino ycolaboradores presentan una aplicacióndel enfoque ontosemiótico al análisis detextos. Los autores buscan ilustrar latécnica de análisis de textos matemáticospropuesta por el enfoque ontosemiótico de

la cognición matemática e identificarcriterios de idoneidad de unidadesdidácticas (en particular la idoneidadepistémica y la cognitiva) para el estudiode las estructuras aditivas en la educaciónprimaria.

En el sexto artículo, Koukkoufis y Williamsaplican ciertos conceptos de la teoría dela objetivación para estudiar la manera enque jóvenes alumnos generalizan, en elaprendizaje de la aritmética, ciertasrelaciones numéricas. Los autoresexaminan en detalle el papel quedesempeña el ábaco como artefacto demediación y efectúan un análisis fino delpapel del lenguaje y los gestos enprocesos de reificación (en el sentido deSfard, 1994), procesos que preparan elcamino a conceptualizaciones numéricasclaves en las operaciones con númerosenteros.

En el séptimo artículo, D’Amore discute elproblema de la ontología y conocimientode los objetos matemáticos, centrándoseen particular en el problema de larepresentación del objeto y su sentido. Enla primera parte, D’Amore sintetiza algunasinvestigaciones recientes en torno alproblema de la ontología y elconocimiento; en la segunda parte, el autoranaliza un ejemplo concreto para poner enevidencia las dificultades de cambio desentido cuando cambia la representacióndel objeto.

En el octavo articulo, Gagatsis ycolaboradores presentan el fruto de variostrabajos de investigación sobre elproblema de cambios de representaciónde objetos relacionados con el conceptode función. El artículo torna alrededor delproblema de la compartimentación dediferentes registros de representación, asícomo de las dificultades que,generalmente, encuentran los alumnos

15

Relime

para utilizar representaciones adecuadasen contextos de resolución de problemas.Los autores sugieren pistas que puedenayudar a resolver el problema de lacompartimentación.

En el noveno articulo, inspirándose de lasemiótica de Peirce, Adalira Sáenz-Ludlowsugiere la existencia de una relacióntriangular entre interpretación, objetivación,y generalización. Luego de argumentarcómo el discurso matemático es un mediopotente en la objetivación semiótica, laautora discute la manera en que el discursomatemático en el salón de clase media elaumento del valor de lo que ella llama “lariqueza matemática del alumno”. En laultima parte, Sáenz-Ludlow discute cómomaestros, con diferentes perspectivasteóricas, influyen en la dirección deldiscurso matemático en el salón de clasey, en consecuencia, en el crecimiento dela riqueza matemática de sus estudiantes.

En el décimo artículo, Giorgio Bagniexamina cómo alumnos de 15 a 16 añostratan de dar sentido a una frase inspiradade un ejemplo célebre introducido porRussell, y de un aserto expresado enlenguaje matemático. Luego de discutir enla primera parte del artículo las posicionestomadas por matemáticos, filósofos yepistemólogos, como Frege, Russell,Quine y Brandom respecto al problema dela referencia y el significado, Bagni ofreceun análisis de datos experimentales quese aparta de los conceptos clásicos derealidad y de racionalidad, y propone unareflexion en la que la idea de práctica de lajustificación es vista en el interior de unacomunidad comunicativa, al estilo de J.Habermas.

En el onceavo artículo, FerdinandoArzarello presenta una discusión delparadigma multimodal y encarnado(embodied) que ha emergido en los últimos

años dentro del marco de investigacionesrealizadas en el campo de lapsicolingüística y la neurociencia. Luegode analizar los gestos desde unaperspectiva semiótica, Arzarello introducela noción de semiotic bundle, el cual esejemplificado a través de un estudio decasos.

Este número especial de la RevistaLatinoamericana de Matemática Educativase encuentra en la línea de esfuerzoshechos por otros colegas en intentarmostrar a la comunidad de educadoresmatemáticos las posibilidades (y laslimitaciones) de las aproximacionessemióticas. Este número continúa, demanera más modesta, cierto, lasdiscusiones sobre la representación (Hitt,2002; Janvier, 1987), la semiótica y laeducación (Anderson, Sáenz-Ludlow,Zellweger, y Cifarelli, 2003), el númeroespecial Representations and thepsychology of mathematics education delJournal of Mathematical Behavior (1998,Vol. 17(1) y 17(2)), editado por GeraldGoldin y Claude Janvier, el libro Activityand sign (2005) editado por MichaelHoffmann, Johannes Lenhard and FalkSeeger, asi como el reciente númeroespecial Semiotic perspectives onepistemology and teaching and learning ofmathematics de la revista EducationalStudies in Mathematics, (2006, vol. 61(1-2)), editado por Adalira Sáenz-Ludlow yNorma Presmeg.

Este número especial de la RevistaLatinoamericana de Matemática Educativaha sido posible gracias a la colaboraciónde muchas personas. Queremosagradecer en particular a su editora, RosaMaría Farfán. Queremos igualmenteagradecer a José Guzmán Hernández(Centro de Investigación y de EstudiosAvanzados [Cinvestav], México), HeatherEmpey (McGill University, Canadá),

16


Chantal Chivot (Laurentian University,Canadá) por su ayuda en la preparaciónde los textos.

También agradecemos al Social Sciences

and Humanities Research Council ofCanada / Le Conseil de recherches ensciences humaines du Canada (SSHRC/CRSH) por la subvencion que hizo posibleen parte esta publicación.

Referencias

Anderson, M., Sáenz-Ludlow, A., Zellweger, S., y Cifarelli, V. (Eds.). (2003). EducationalPerspectives on Mathematics as Semiosis: From Thinking to Interpreting to Knowing.Ottawa: Legas.

Arzarello, F. (2004). Mathematical landscapes and their inhabitants: perceptions,languages, theories. Plenary Lecture delivered at the ICME 10 Conference. Copenhagen,Denmark. July 4-11, 2004.

Bartolini Bussi, M. G., y Mariotti, M., A. (1999). Semiotic Mediation: from History to theMathematics Classroom. For the Learning of Mathematics, 19(2), 27-35.

Bartolini Bussi, M., y Maschietto, M. (2006). Macchine mathematiche: dalla storia allascuola. Milano: Springer.

Berger, M. (2005). Vygotsky’s theory of concept formation and mathematics education.Proceedings of the 29th Conference of the International Group for the Psychology ofMathematics Education, Bergen, Norway, 2, 153-160.

Boero, P., Pedemonte, B., y Robotti, E. (1997). Approaching theoretical knowledge throughvoices and echoes: a Vygotskian perspective. Proceedings of the XXI InternationalConference for the Psychology of Mathematics Education . Lahti, Finland, 2, 81-88.

Borba, M., y Villareal, M. (2006). Humans-with-Media and the Reorganization ofMathematical Thinking. New York: Springer.

Bredow, R. v. (2006). Living without Numbers or Time. Speigel on line, May 3 2006(http://service.spiegel.de/cache/international/spiegel/0,1518,414291,00.html).

Bühler, K. (1979). Teoría del lenguaje. Traducido del alemán por Julián Marías. Madrid:Alianza Editorial.

Cobb, P., Yackel, E., y McClain, K. (Eds.). (2000). Symbolizing and Communicating inMathematics Classrooms. Mahwah, NJ: Laurence Erlbaum.

D’Amore, B. (2001). Une contribution au débat sur les concepts et les objetsmathématiques: la position «naïve» dans une théorie «réaliste» contre le modèle«anthropologique» dans une théorie «pragmatique». En A. Gagatsis (Ed.), Learning inMathematics and Science and Educational Technology (Vol. 1, pp. 131-162).

17

Relime

Dörfler, W. (2005). Diagrammatic Thinking. Affordances and Constraints. En M. H. G.Hoffmann, J. Lenhard y F. Seeger (Eds.), Activity and Sign: Grounding MathematicsEducation (pp. 57-66). New York: Springer.

Duval, R. (1998). Signe et objet, I et II. Annales de didactique et de sciences cognitives,IREM de Strasbourg, 6, 139-196.

Eco, U. (1976). A theory of Semiotics. Indiana: Indiana University Press.

Filloy, E., y Rojano, T. (1984). La aparición del lenguaje Aritmético-Algebraico.L’Educazione Matematica, 5(3), 278-306.

Freudenthal, H. (1968). Notation Mathématique. Encyclopedia Universalis, 338-344.

Glasersfeld von, E. (1995). Radical Constructivism: A Way of Knowing and Learning.London, Wasington, D.C: The Falmer Press.

Godino, J. D., y Batanero, C. (1999). The meaning of mathematical objects as analysisunits for didactic of mathematics. Paper presented at the Proceedings of the FirstConference of the European Society for Research Mathematics Education.

Goldin, G. y Janvier, C. (Eds.) (1998). Representations and the psychology of mathematicseducation del Journal of Mathematical Behavior, Vol. 17(1) y 17(2).

Grize, J.-B. (1996). Logique naturelle et communications. Paris: Presses Universitairesde France.

Guzmán, J., y Kieran, C. (2002). The role of calculators in instrumental genesis: Thecase of Nicolas and factors and divisors. En A. D. Cockburn y E. Nardi (Eds.), Proceedingsof the 26th International Group for the Psychology of Mathematics Education. Norwich,UK, 3, 41-48.

Hitt, F. (Ed.). (2002). Representations and Mathematics Visualization. Mexico:Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN.

Hjelmslev, L. (1969). Prolegomena to a Theory of Language. Wisconsin: The Universityof Wisconsin Press.

Hoffmann, M. H. G. (2002). Peirce’s «Diagrammatic Reasoning» as a Solution of theLearning Paradox. En G. Debrock (Ed.), The Quiet Revolution: Essays on ProcessPragmatism (pp. 147-174). Amsterdam et al: Rodopi Press.

Hoffmann, M. H. G., Lenhard J. y Seeger, F. (Eds.) (2005). Activity and Sign: GroundingMathematics Education. New York: Springer.

Hoffmann, M. H. G. (2005). Signs as Means for Discoveries. Peirce and His Concepts of«Diagrammatic Reasoning», «Theorematic Deduction», «Hypostatic Abstraction», and

18


«Theoric Transformation». En M. H. G. Hoffmann, J. Lenhard y F. Seeger (Eds.), Activityand Sign: Grounding Mathematics Education (pp. 45-56). New York: Springer.

Janvier, C. (Ed.). (1987). Problems of representation in the teaching and learning ofmathematics. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.

Kaput, J., y Hegedus, S. (2004). An introduction to the profound potential of connectedalgebra activities: Issues of representation, engagement and pedagogy. Proceedings ofthe 28th Conference of the International Group for the Psychology of MathematicsEducation, Bergen, Norway, 3, 129-136.

Kieran, C., y Saldanha, L. (2005). Computer algebra systems (CAS) as a tool for coaxingthe emergence of reasoning about equivalence of algebraic expressions. Proceedingsof the 29th Conference of the International Group for the Psychology of MathematicsEducation, Melbourne, Australia, 3, 193-200.

Laborde, C., Puig, L., y Nunes, T. (1996). Language in Mathematics Education. En L. P.a. A. Gutiérrez (Ed.), Proceedings of the 20th Conference of the International Group forthe Psychology of Mathematics Education . University of Valencia, Valencia, Spain,1, 53-84.

Leontiev, A. N. (1993). Actividad, conciencia y personalidad. México: ASBE Editorial.

Nesher, D. (1997). Peircean Realism: Truth as the Meaning of Cognitive SignsRepresenting External Reality. Transactions of the Charles S. Peirce Society, 33(1),201-257.

Otte, M. (2003). Does mathematics have objects ? In what s ense ? Synthese, 134(1-2), 181-216.

Otte, M. (en prensa). A = B: a Peircean View. En Lafayette de Moraes and Joao Queiroz.Brazil: Catholic University of Sao Paulo.

Parker, K. (1994). Peirce’s Semeiotic and Ontology. Transactions of the Charles S. PeirceSociety, 30(1), 51-75.

Peirce, C. S. (1931-1958). Collected Papers, vol. I-VIII. Cambridge, Mass: HarvardUniversity Press.

Piaget, J. (1968). La formation du symbole chez l’enfant. Neuchatel: Delachaux et Niestlé.

Piaget, J. (1970). Genetic Epistemology. New York: W. W. Norton.

Piaget, J. (1978). Problemas de psicología genética. Barcelona: Ariel.

Piattelli-Palmarini, M. (Ed.). (1982). Théories du langage, théories de l’apprentissage :le débat entre Jean Piaget et Noam Chomsky. Paris: Seuil.

19

Relime

Presmeg, N. C. (2005). Metaphor and Metonymy in Processes of Semiosis in MathematicsEducation. En M. H. G. Hoffmann, J. Lenhard y F. Seeger (Eds.), Activity and Sign:Grounding Mathematics Education (pp. 105-115). New York: Springer.

Radford, L. (2002). The seen, the spoken and the written. A semiotic approach to theproblem of objectification of mathematical knowledge. For the Learning of Mathematics,22(2), 14-23.

Radford, L. (2004). Cose sensibili, essenze, oggetti matematici ed altre ambiguità[Sensible Things, Essences, Mathematical Objects and other ambiguities] (English versionavailable at: http://laurentian.ca/educ/lradford/essences.pdf). La Matematica e la suadidattica, 1, 4-23.

Radford, L. (2006). The Anthropology of Meaning. En A. Sáenz-Ludlow, y N. Presmeg(Eds.), Semiotic perspectives on epistemology and teaching and learning of mathematics,Special Issue, Educational Studies in Mathematics, 61, 39-65.

Radford, L. (en prensa-1). Semiótica cultural y cognición. En R. Cantoral y O. Covián(Eds.), Investigación en Matemática Educativa en Latinoamérica. Mexico.

Radford, L. (en prensa-2). Rescuing Perception: Diagrams in Peirce’s theory of cognitiveactivity. En Lafayette de Moraes and Joao Queiroz (Eds.), C.S. Peirce’s DiagrammaticLogic. Catholic University of Sao Paulo, Brazil.

Sáenz-Ludlow, A. (2003). A collective chain of signification in conceptualizing fractions.Journal of Mathematical Behavior, 22, 181-211.

Sáenz-Ludlow, A. (2004). Metaphor and numerical diagrams in the arithmetical activityof a fourth-grade class. Journal for Research in Mathematics Education, 1(35), 34-56.

Sáenz-Ludlow, A. (2006). Classroom interpreting games with an illustration. En A. Sáenz-Ludlow, y N. Presmeg (Eds.), Semiotic perspectives on epistemology and teaching andlearning of mathematics, Special Issue, Educational Studies in Mathematics, 61, 183-218.

Saussure, F. (1995). Cours de linguistique générale. Paris: Payot. (Primera edición, 1916).

Sfard, A. (1994). Reification as the birth of metaphor. For the Learning of Mathematics,14(1), 44-55.

Steinbring, H. (2005). Do Mathematical Symbols Serve to Describe or Construct«Reality»? En M. H. G. Hoffmann, J. Lenhard y F. Seeger (Eds.), Activity and Sign:Grounding Mathematics Education (pp. 91-104). New York: Springer.

Steinbring, H., Bartolini Bussi, M., y Sierpinska, A. (1998). Language and Communication

20


in the Mathematics Classroom. Reston, Virginia: National Council of Teachers ofMathematics.

Stjernfelt, F. (2000). Diagrams as Centerpiece of a Perican Epistemology.Transactionsof the Charles S. Peirce Society, 36(3), 357-384.

Van der Veer, R. (1996). The concept of culture in Vygotsky’s Thinking. Culture andPsychology, 2, 247-263.

Van der Veer, R., y Valsiner, J. (1991). Understanding Vygotsky. Oxford Uk and CambridgeUSA: Blackwell.

Vygotsky, L. S. (1971). The Psychology of Art. Cambridge and London: The M.I.T. Press(First published in 1925).

Vygotski, L. S. (1988). El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Barcelona:Grijalbo.

Vygotski, L. S. (1991). Obras Escogidas, Vol. 1 (Segunda edición,1997). Madrid:Visor.

21

Luis RadfordÉcole des sciences de l’éducationUniversité LaurentienneCanada

E-mail: [email protected]

Relime 22

RESUMEN

Una distinción entre pruebas que prueban y pruebas que explican es parte invariable delas discusiones recientes en epistemología y en educación matemática. Esta distinciónse remonta a la época de los matemáticos que, como Bolzano o Dedekind, intentaronrestablecer a las matemáticas puras como una ciencia puramente conceptual y analítica.Estas tentativas reclamaron, en particular, una eliminación completa de los aspectosintuitivos o perceptivos de la actividad matemática, sosteniendo que se debe distinguirde forma rigurosa entre el concepto y sus representaciones. Utilizando una aproximaciónsemiótica que refuta una separación entre idea y símbolo, sostenemos que lasmatemáticas no tienen explicaciones en un sentido fundamental. Explicar es algo asícomo exhibir el sentido de alguna cosa. Los matemáticos no tienen, sin embargo, comovamos aquí a intentar demostrarlo, sentido preciso, ni en el sentido intra-teóricoestructural, ni en comparación con la objetividad intuitiva. Los signos y el sentido sonprocesos, como vamos a sostenerlo inspirándonos de Peirce.

PALABRAS CLAVE: Peirce, Bolzano, Semiosis, Prueba, Explicación.

University of Bielefeld, Germany.

We saw that the exchange of commodities implies contradictory and mutually exclusive conditions. The differentiation

of commodities into commodities and money does not sweep away these inconsistencies, but develops a modus vivendi,

a form in which they can exist side by side. This is generally the way in which real contradictions are reconciled. For

instance, it is a contradiction to depict one body as constantly falling towards another, and as, at the same time, constantly

flying away from it. The ellipse is a form of motion which, while allowing this contradiction to go on, at the same time

reconciles it. Karl Marx (1906), Capital, vol I. chapter 3.

Proof and Explanation from a

Semiotical Point of View

Michael Otte 1

Man sah, dass der Austauschprozess der Waren widersprechende und einanderausschliessende Beziehungen beinhaltet. Die Entwicklung der Ware hebt dieseWidersprüche nicht auf, schafft aber die Form, worin sie sich bewegen können. Dies istüberhaupt die Methode, wodurch sich wirkliche Widersprüche lösen. Es ist z.B. einWiderspruch, dass ein Körper beständig in einen anderen fällt und ebenso beständig vonihm wegflieht. Die Ellipse ist eine der Bewegungsformen, worin dieser Widerspruch sichebensosehr verwirklicht als löst. K. Marx, Das Kapital, Band I, p.118f 2

ABSTRACT

A distinction between proofs that prove and proofs that explain has over and again playedan important role within recent discussions in epistemology and mathematics education.The distinction goes back to scholars who, like Bolzano or Dedekind, have tried to

23

Fecha de recepción: Enero de 2006/ Fecha de aceptación: Mayo de 2006

Relime, Número Especial, 2006, pp. 23-43.

1

2

Relime

reestablish pure mathematics as a purely conceptual and analytical science. Theseendeavors did in particular argue in favor of a complete elimination of intuitive or perceptualaspects from mathematical activity, arguing that one has to rigorously distinguish betweena concept and its representations. Using a semiotical approach which negates such aseparation between idea and symbol, we shall argue that mathematics has no explanationsin a foundational sense. To explain amounts to exhibiting the meaning of something.Mathematics has, however, as we shall try to show, no definite meanings, neither in thestructural intra-theoretical sense nor with respect to intuitive objectivity. Signs andmeanings are processes, as we shall argue along with Peirce.

KEY WORDS: Peirce, Bolzano, Semiosis, Proof, Explanation.

RESUMO

Uma distinção entre provas que demonstram e provas que explicam é parte invariáveldas discussões recentes na epistemologia e em educação matemática. Esta distinçãose remonta à época dos matemáticos que, como Bolzano o Dedekind, tentaram divisãoda matemática pura como uma ciência puramente conceptual e analítica. Estas tentativasreclamaram, em particular, uma eliminação completa de os aspectos intuitivos ouperceptivos da atividade matemática, sustentando que se deve distinguir de formarigorosa entre o conceito e suas representações. Utilizando uma aproximação semióticaque refuta uma separação entre idéia e símbolo, sustentamos que a matemática nãotem explicações em um sentido fundamental. Explicar é algo assim como exibir o sentidode alguma coisa. Os matemáticos não têm, contudo, como vamos aqui a intentardemonstrar, sentido preciso, nem o sentido intra-teórico estrutural, nem comparaçãocom a objetividade intuitiva. Os signos e o sentido são processos, como vamos a sustentarinspirados em Peirce.

PALAVRAS CHAVES: Peirce, Bolzano, Semiótica, Prova, Explicação.

RÉSUMÉ

Une distinction entre preuves qui prouvent et preuves qui expliquent est une partieinvariable des discussions récentes en épistémologie et en éducation mathématique.Cette distinction remonte à l’époque des mathématiciens qui, comme Bolzano ouDedekind, ont tenté de rétablir les mathématiques pures comme une science purementconceptuelle et analytique. Ces tentatives ont réclamé en particulier une éliminationcomplète des aspects intuitifs ou perceptuels de l’activité mathématique en soutenantqu’on doit distinguer de façon rigoureuse entre le concept et ses représentations. Enutilisant une approche sémiotique qui réfute une telle séparation entre idée et symbole,nous allons soutenir que les mathématiques n’ont pas d’explications dans un sensfondamental. Expliquer revient à exhiber le sens de quelque chose. Les mathématiques

24

Proof and Explanation from a Semiotical Point of View

Introduction

Before we can address the issue of proofand explanation we have to get rid oftraditional Bewusstseinsphilosophie(philosophy of consciousness), that is,popularly speaking, the belief that“meanings are in the head” and knowledgeis some sort of mental experience. AfterKant epistemology began to ramify andvarious new philosophies of mathematicsarose in which meaning, rather than mindplayed the central role. But the view thatthere exists an epistemologically autarkicor self-sufficient epistemic subject, whichserves itself from external sensations andinternal experiences or representations(Vorstellungen) to thereby constitute trueknowledge, is a myth and should also beabandoned.

In Part I of this paper we try to providesome pertinent arguments to this end,based on Peirce’s semiotics.“Consciousness is used to denote the Ithink, the unity of thought; but the unity ofthought is nothing but the unity ofsymbolization” (Peirce CP 7.585). Part IItreats the questions of proof andexplanation with respect to the ideas ofBolzano on the one hand and Peirce onthe other. Part III presents some examplesand tries to make a connection with currentdebates about the issue in mathematicaleducation and cognitive psychology.

I.To try to understand cognition andknowledge as semiotic processes webegin by conceiving of cognition as theresult of a dialectical contradiction

between cognitive subject and objectivereality. We feel or perceive something, butcannot turn it into cognition without asymbol and it thus remains as a mere non-categorized sensation or intuition. Or,differently: somebody might understandthe logic of an argument without seeinghow it applies in a particular situation andthus does not really follow it. It is futile andfruitless, for example, to expect that theobject of investigation would finally revealitself to us in plain clearness such thatknowing would then amount to reading offits relevant properties.

The symbol is to mediate betweenconscious feeling and objective reactionand should provide this interaction with acertain form or representation. This is theonly manner in which we can know, that is,by constructing a relevant representation ofsome kind. “A representation is thatcharacter of a thing by virtue of which, forthe production of a certain mental effect, itmay stand in place of another thing. Thething having this character I term arepresentamen, the mental effect, orthought, its interpretant, the thing for whichit stands, its object.” (Peirce, CP 1.564).In contrast to the traditional dyadic models,Peirce defines a sign as a triad. And thisimplies that a sign does not stand for itsobject in all respects, “but in reference toa sort of idea, which I have sometimescalled the ground of the representamen.‘Idea’ is here to be understood in a sort ofPlatonic sense, very familiar in everydaytalk” (Peirce, CP 2.228 and 4.536)).

25

n’ont pas cependant, comme nous allons tenter de le montrer, de sens précis, ni dans lesens intra-théorique structurel, ni par rapport à l’objectivité intuitive. Signes et sens sontdes processus, comme nous allons soutenir en nous inspirant de Peirce.

MOTS CLÉS: Peirce, Bolzano, Sémiosis, Preuve, Explication.

Relime

This implies that the sign is consciouslyrecognized by the cognitive subject andfor that purpose the subject has to createanother sign, which becomes aninterpretation of the first interpretant. AsRoman Jakobson, characterizing Peirce‘sthinking, once said:

“One of the most felicitous, brilliant ideaswhich general linguistics and semioticsgained from the American thinker is hisdefinition of meanings as the translationof one sign into another system of signs(4.127)” (Jakobson 1985, 251).

The flow of meaning thus expresses thecontradiction and it evolves by a recursiveinteraction between the objects (referents)and interpretants (senses) of signs.Objects and interpretants of signs are ingeneral signs themselves. We arguedelsewhere (Otte, 2003) in great detail that(mathematical) meaning has twocomponents, one of which refers toobjects, and which is called the extensionalcomponent of meaning; the other relatingto the interpretant of the sign and which itis suitable to call the intensional orcoherence component. The mostimportant consequence, to be applied inthe following paragraphs, consists in the factthat there never is a definite meaning; neitherin the structural or intensional sense nor withrespect to the extensions of theoreticalterms. A pragmatic perspective on thingsthus seems to always recommend itself.

All reasoning is an interpretation of signsof some kind. And the interpretation of asign is nothing but the construction of anew sign. As was said above, a merefeeling or consciousness, without arepresentation, is no interpretation and aninterpretation or reformulation of a text,which does not carry on the ideas and doesnot generalize, is futile also. All cognitionproceeds by means of the construction of

an adequate representation and thisconstruction provides nothing but thecontradiction between subject and objectwith a form. “It is a contradiction that a bodywill permanently fall into another and atthe same time will flee away from it. Theellipse is a form of development by whichthis contradiction is as much realized as itis resolved” (K. Marx, see above).

A symbol mediates between subjectivespontaneity and objective reaction and istermed a Third, by Peirce.

The object of knowledge, being nothing buta representation—something which Kanthad dubiously called an intuition—therefore is also not something given “out”there, it is not a Kantian “thing in itself,”but is established by the relation betweensubject and reality. It makes itself feltequally by the objectivity of this interactionprocess as well as through its breakingdowns.

Mathematical ontology, for example, isconstituted by a practice of mathematicalreasoning and application, not the otherway around. A mathematical object, suchas number or function, does not existindependently of the totality of its possiblerepresentations, but must not be confusedwith any particular representation, either.We have on a different occasionexpressed these facts in terms of aprinciple of complementarity (Otte, 2003).To see how a semiotic perspective mighthelp to better grasp that complementarityone should remind oneself of the followingcharacteristics of mathematics;

- Mathematics, on the one hand, has nomore concrete objects of its own thanpainting; it is therefore not possible to domathematics by simply considering certainkinds of objects, either constructed orgiven, abstracting what seems essential

26


about them. According to the Cantorianclaim that consistency is sufficient formathematical existence, there is so muchtruth that it is consistency which makes asign potentially meaningful.Consciousness “is sometimes used tosignify the (Kantian) I think, or unity inthought; but unity is nothing but consistency,or the recognition of it. Consistencybelongs to every sign, so far as it is a sign;therefore every sign, since it signifiesprimarily that it is a sign, signifies its ownconsistency” (Peirce, CP 5.313-15).

- On the other hand, mathematics is not amere logical language, nor is it ananalytical science from concepts, that is,definitions. Mathematics includes indexicalrepresentations and observationalactivities. “The best thinking, especially onmathematical subjects, is done byexperimenting in the imagination upon adiagram or other scheme,” says Peirce(Peirce, NEM I, 122).

Thus the idea of a sign might help us tobetter understand that these differentcharacterizations of mathematics are notas distinct as it might have appeared atfirst sight, but rather they representcomplementary aspects of mathematicalthinking, because signs are always usedreferentially as well as attributively. Thisis but another expression of the interactionbetween object and interpretant of thesign, as indicated above.

The semiotic approach to cognition andepistemology distinguishes itself from thephilosophy of consciousness (asdeveloped by Kant, for example) by itsradical break with the assumptions andprerequisites of reasoning characterizingthe latter. “All our thinking,” says Peirce,“is performed upon signs … External signsanswer any purpose, and there is no needat all of considering what passes in one’s

mind” (Peirce, NEM I, 122). Thinkingoccurs in signs and representations, ratherthan by means of imaginations orintuitions, which are to be looked for withinour heads. This does not mean thatconscious recognition and intuitive activityare dispensable. It only means that theyhave to be taken as means andinstruments of cognitive activity, rather thanas its foundations (Otte, 2005, 16f).

Insisting, when for example trying tointerpret a text, on the question “what didthe author really mean” has no more meritsto it than the idea that the reader, and notthe author, is the sole source of meaning.“Not even the author can reproduce hisoriginal meaning because nothing canbring back his original meaningexperience” (Hirsch, 1967, 16; and incontrast: Fish 1980, 359f). Andcorrespondingly, not any arbitraryreformulation of a text is an admissibleinterpretation. Neither the author nor thereader is the unique source of meaningbecause meaning is but the sign processitself. The reality of a text is itsdevelopment, the meaning of a propositionlies in its consequences and the essenceof a thing is the essence or meaning of arepresentation of that thing, and so forth.The semiotic approach fosters a geneticperspective on knowledge. Knowledge isessentially a process, a learning processor a process of growth and generalization,expressed in terms of a permanenttransformation of one representation intoanother one.

Imagining cognition as a contradictionbetween subject and object implies theconviction that neither subject nor objectcan dominate or even determine the otherpart of this relationship. We do not find finaland definite descriptions of things andmostly we do not even know what weknow. We apply it, we represent it, but we

27

Relime

cannot say or express it, nor describe whatwe are doing. “What can be shown cannotbe said,” Wittgenstein famously affirmed.The spirit of creative activity thus is moreor less the following.

Everything that we have formulated orconstructed is just done and is there in theplain light of day. It means nothing per se,it is just there. Everything we achieve, wesimply achieve. It neither needs nordeserves an interpretation or commentary,because it is, as we perceive it, real. Thecommentary would add nothing to thething created and given. The given is justthe given. What we have made, we havemade. It has no general symbolicsignificance nor can it be undone. Anaction is an action, a work of art is just awork of art, a theory is just a theory. It mustbe grasped as a form sui generis, andrecreated in its own terms, before we caninquire into its possible meanings orapplications. Any creative achievementremains imperfect as long as questionsabout its meaning dominate whenconsidering it. In artistic drawing what weachieve is a line, and the line does all thework, and if it fails to do so no philosophicalcommentary will rescue or repair a badwork of art. In literature or philosophy, it isthe word or the sentence, in mathematicsthe new concept or the diagram, whichcarry the entire weight, etc. etc. Mastery,Paul Valery, says, presupposes that “onehas the habit of thinking and combiningdirectly from the means, of imagining awork only within the limits of the means athand, and never approaching a work froma topic or an imagined effect that is notlinked to the means” (Valery, 40).

Everything just is and thus means itself:P=P! This principle of identity lies at theheart of art and likewise at that of logic orexact science and it is obviously directedagainst any idea of cognition as a mental

feeling or inner experience. P just meansP! No commentary and no psychologicalexperience or philosophical considerationshall be able to add anything to the matter.

A monotonous and perfect repetitionwould, however, destroy any creativity aswell. Any line in an artistic drawing is, infact, a continuum of lines; it fulfills itsdestination to represent something, at thevery same time indicating an indeterminateset of possible modifications and furtherdevelopments.

The creative process thus operates on theinterplay of variation and repetition. A theoryor a work of art, being an interpretation, isalso a process, namely the process ofcreating an interpretant of the representationgiven and so on. At this very moment weare developing the anti-thesis, that is,pointing to the fact that a work of art or atheory are not mere existents, but are signs,which have a meaning. And an interpretationof that meaning is nothing but anotherrepresentation. The sign is thus a thing aswell as a process, namely the process ofestablishing a relationship between objectand interpretant. It is a flow ofmeaningfulness. Peirce, in fact, definessemiosis as the action or process of a sign.“By ‘semiosis’ I mean”, Peirce writes, “anaction, or influence, which is, or involves, acooperation of three subjects, such as a sign,its object, and its interpretant, this tri-relativeinfluence not being in any way resolvableinto actions between pairs” (Peirce, CP5.484).

Evolutionary realism therefore means the co-evolution of reality and knowledge, that is,the evolution of symbolism. It is the symbolin movement.

II.Let us now try and spell out the problemto which we should like to apply oursemiotic view of mathematical activity. This

28


is in fact the problem of mathematicalexplanation.

There has been, for some time now, awidespread debate about mathematicalexplanation and rigorous proof inmathematics education as well as in thephilosophy of mathematics (for anoverview see Mancosu, 2000 and 2001;Hanna, 2000). In this discussion, adistinction between proofs that proveagainst proofs that explain has over andagain played an important part. GilaHanna, for example, presents the distinctionin psychological terms, but later on describesexplaining in this way: “I prefer to use theterm explain only when the proof reveals andmakes use of the mathematical ideas whichmotivate it. Following Steiner (1978), I willsay that a proof explains when it shows what‘characteristic property’ entails the theoremit purports to prove” (Hanna 1989, 47).

Hanna and Steiner, speaking about the“characteristic property” that entails the“theorem it purports to prove,” seem tofollow Bolzano respectively as well asAristotle in their ideas about mathematics.The “characteristic property” seemssomething like an essential cause in theAristotelian sense. Steiner’s view “exploitsthe idea that to explain the behavior of anentity, one deduces the behavior from theessence or nature of the entity” (Steiner1978, 143). Steiner, believing that allmathematical truths are necessary and arethus valid in “all possible worlds,” prefersto use the term “characterizing properties,”rather than the term “essence.” But hemakes very clear his belief thatmathematical proofs are exclusive likecalculations or numerical determinations,picking out “one from a family” (147),rather than being general proof schemesor general forms of argumentation anddemonstration. This view appears to bederived from an Aristotelian model of

science and mathematics and it stands inextreme contrast to modern axiomaticalmathematics in the sense of Hilbert orEmmy Noether, for example.

The proofs of modern mathematics are notglued to the particularities of individualpropositions and it is generality ofperspective and fertility of method thatrender them explanatory, because it is thiswhich opens up new possibilities formathematics. A proof is first of all a signor representation and, as such, is ageneral already. It is the objectivity ofgeneral relationships what matters. Evenif one were concerned with the subjectiveor educational aspects of the matter andtherefore interested in the intuitive insightsof a proof, this would primarily imply, aswe have indicated in Part I, the search fornew applications or representations of thebasic ideas.

The distinction Steiner and others havedrawn between proofs that explain andproofs that merely prove or verify makessense only with respect to an Aristotelianmodel of science, as it is exemplified, forinstance, by Euclid’s Elements ofgeometry. This Aristotelian model hasbeen described by E. Beth (1968) andmore recently by de Jong (2003). AnAristotelian science, according to thesedescriptions, is comprised of a system offundamental concepts such that any otherconcept is composed and is definable interms of these fundamental concepts; italso contains a system of fundamentalpropositions such that all otherpropositions are grounded in and areprovable from these fundamentalpropositions. And the fundamentalconcepts or propositions stand in closecontinuity with everyday thinking.Explanation in such a context meansreduction to the concrete foundations ofgeneral experience, rather than constructing

29

Relime

new theoretical contexts and searching fornew applications.

Bolzano, in fact, referring to Aristotle, seemsto have been the first modern authorpleading for demonstrations «that show theobjective connection and serve not justsubjective conviction.» His monumental“Wissenschaftslehre” (doctrine of science;1836/1929) was conceived of as a generalscience or logic in the service ofenlightenment and was organized like adidactical treatise. This work contains adistinction between proofs that merely prove,being intended to create conviction orcertainty, and others, which “derive the truthto be demonstrated from its objectivegrounds. Proofs of this kind could be calledjustifications (Begruendungen) in differenceto the others which merely aim at conviction(Gewissheit)” (Bolzano, Wissenschaftslehre,vol. IV, p.525, 261). In an annotation to thisparagraph Bolzano mentions that the originof the distinction goes back to Aristotle andthe Scholastics, who have, however,attributed an exaggerated importance to itby affirming that only justifications producegenuine knowledge, but that it had fallen intoneglect in more recent times.

On grounds of this distinction between proofsthat are merely certain and others which aregenuine justifications, Bolzano criticizedGauss’ proof of the fundamental theorem ofalgebra of 1799, for example, becauseGauss had on that occasion employedgeometrical considerations to prove analgebraic theorem. Bolzano did not, as isoften claimed (Volkert 1986), doubt thevalidity of Gauss‘ arguments and he did notquestion the certainty of our geometricalknowledge, but criticized the “impurity” ofGauss proof.

It is this spirit that led to the so-called rigourmovement and to the program ofarithmetization of mathematics and

Bolzano has in fact been one of thespiritual fathers of this program.Mathematics was to be established as ananalytical science from definitions, andnumbers were considered to be the mostimportant means of mathematicalanalysis.

One important effect of this program wasthe separation between pure and appliedmathematics and the reconstruction ofpure mathematics on completely logical,or rather, conceptual terms. Continuousmathematics, like geometry, for example,was considered applied mathematics. Allintuitions and objects were to be replacedby definitions and mathematical proof,becoming the central concern ofmathematicians, should be performed asa kind of linguistic activity. Although theconceptions of logic involved variedconsiderably, mathematical explanationsin the end amounted to nothing butrigorous deduction from first principles andbasic concepts.

One of Bolzano’s most importantmathematical achievements was the proofof the existence of the least upper boundof a bounded set of real numbers and,based on this, a completely analyticalproof of the intermediate value theoremfor continuous real functions. Both resultswere published in 1817 in Bolzano‘s “Reinanalytischer Beweis des Lehrsatzes, dasszwischen zwei Werten, die einentgegengesetztes Resultat gewähren,wenigstens eine reelle Wurzel derGleichung liege.” Bolzano‘s proof of theintermediate value theorem survivesnearly unchanged in today’s calculustextbooks, although one aspect haschanged fundamentally since Dedekind.Bolzano had based his proof on theArchimedean axiom, which says that givenany two real numbers A and B, there willalways be a natural number n such that

30


nA supersedes B. He had, however, takenthis axiom to be an obvious truth, ratherthan a postulate. It was Dedekind only, whorealized that nothing of such a kind couldbe proved or assumed as obvious. AsDedekind states it with respect to his owndefinition of continuity:

“The assumption of this property is nothingelse than an axiom by which we attributecontinuity to the line, by which we thinkcontinuity into the line. If space has realexistence at all it is not necessary for it tobe continuous” (Dedekind 1912, p.3, mytranslation).

The filling-up of gaps in the rationalnumbers through the creation of new point-individuals is the key idea underlyingDedekind’s construction of the domain ofreal numbers. Bolzano, in contrast, thoughtit obvious that these points, as exemplifiedby the incommensurability of certain linesegments, for example, existed objectively.Charles Sanders Peirce’s view of thecontinuum is, in a sense, intermediatebetween that of Dedekind and Bolzano. Heheld that the cohesiveness of thecontinuum rules out the possibility of itbeing a mere collection of discreteindividuals, or points, in the usual sense.“A continuum is precisely that every partof which has parts, in the same sense”(Peirce, W2, 256). The continuumrepresents the reality of the possibledetermination of points, rather than be anactual set of points; but this possibility isobjective, such that, differently fromDedekind, space could not be discrete,according to Peirce.

If one looks at the various proofs of theintermediate value theorem one might beinclined to ask: why not take this theoremitself as the essential continuity postulate?It seems as clear and obvious as any ofthe other candidates, the existence of the

limit of a bounded monotonous sequence,the Heine-Borel theorem, the existence ofa point of intersection of a nestedsequence of closed intervals of rationalnumbers with lengths tending to zero, etc.etc.

Mainly pragmatic reasons are responsiblefor the choice of axioms, reasons that arerelated to the development ofmathematical knowledge and theconstruction of theories. But what aboutthe problem of explanation then? Toexplain amounts to exhibiting the meaningof something. Mathematics has, however,no definite meanings, neither in thestructural intra-theoretical sense nor withrespect to intuitive objectivity. Signs andmeanings are processes, as we haveargued in paragraph I.

Resnik and Kushner do not consider theproof of the intermediate value theoremas explanatory in the sense of Steiner’scharacterization. They write:

“We find it hard to see how someone couldunderstand this proof and yet ask why thetheorem is true (or what makes it true).The proof not only demonstrates how eachelement of the theorem is necessary to thevalidity of the proof but also what role eachfeature of the function and the interval playin making the theorem true. Moreover, itis easy to see that the theorem fails to holdif we drop any of its conditions” (Resnik/Kushner 1987, 149).

Rigorous proofs in this sense do not admit“why”-questions any more than merecalculations do and it is hard to see howthey could be explanatory at all.Considering the question of how to choosethe relevant mathematical model mightperhaps change the situation. But thereader should remind herself that the term“explanation” had, for Bolzano, an

31

Relime

objective meaning, rather than apsychological one. And this objectivism ledto his error with respect to the foundationsof the real numbers and his ignorance ofthe fact that mathematics contains onlyhypthetico-conditional statements, ratherthan categorical ones. This, however,means that the foundations ofmathematical claims lie, so to speak, “inthe future”, in the use and application ofthe mathematical propositions. Amathematical proof must thereforegeneralize in order to be explanatory. Aswe have seen, however, with respect toBolzano and Steiner or Hanna, there is astrong foundational tendency involved intheir ideas of explanatory proofs. It is veryessential to Bolzano, for example, thatthere exist a hierarchy of truths inthemselves independent from ourknowledge or representation.

Cauchy had, at about the same time asBolzano, given a geometric argument forthe intermediate value theorem, beingmore concerned with certainty andconviction than with objective foundation(Cauchy 1821, 43f). Bolzano did considerproofs, like those by Gauss or Cauchy, assufficiently obvious and convincing, butobjected that they did not show the realfundamentals and thus were not truejus t i f i ca t ions , bu t ra ther meresubjective confirmations (subjektiveGewissmachungen) . I t i s c lear,Bolzano writes, “that it is an intolerableoffense against correct method to derivetruths of pure (or general) mathematics(i.e. arithmetic, algebra analysis) fromconsiderations that belong to a merelyapplied or special part, namely geometry.… For in fact, if one considers that theproofs of the science should not merelybe convincing arguments, but ratherjustifications, i.e. presentations of theobjective reason for the truth concerned,then it is self-evident that the strictly

scientific proof, or the objective reason ofa truth which holds equally for allquantities, whether in space or not, cannotpossibly lie in a truth which holds merelyfor quantities which are in space. On thisview it may on the contrary be seen thatsuch a geometrical proof is really circular.For while the geometrical truth to whichwe refer here is extremely evident, andtherefore needs no proof in the sense ofconfirmation, it nonetheless needsjustification” (Bolzano after the translationby Russ 1980, 160).

The term “justification” refers to theLeibnizian idea that every concept can bedecomposed into “atoms.” Unprovable orbasic propositions must, according toBolzano, be among those whose subjectsand predicates are completely simpleconcepts in the sense of Leibniz. Bolzanobelieved, for example, that different casesof one and the same issue should beformulated in terms of differentpropositions, like in Euclidean geometry.The law of cosine, for instance, in thecases of the acute- respectively obtuse-angled triangles signifies two differentcases requiring different arguments.“Euclid was right in formulating twodifferent propositions here,” writesBolzano (Bolzano 1810/1926, 61).

Bolzano not only emphasized thenecessity of “homogeneity” betweenmethod and object but he also conceivedof concepts in themselves, propositions inthemselves and representations(Vorstellungen) in themselves,independent of our thinking about them.This is sometimes emphasized by sayingthat Bolzano was the first to realize that“the proper prolegomena to any futuremetaphysics was the study of what we sayand its laws and that consequently theprima philosophia was not metaphysics orontology but semantics” (Bar-Hillel, 1967,

32


337f). Thus Bolzano‘s objective semanticsand the Platonic and hierarchicallystructured universe of objective meaningsis essential to his whole conception ofexplanation.

There are close parallels between Peirceand Bolzano and they are due to the factthat both their philosophies resemble thatof Leibniz very strongly indeed. Both did,however, modify classical ontologism,concentrating on how mathematicianscreate and communicate as well as on thesemantics of mathematical affirmations orcommunications. Both also considermathematics as the science of possibilityor of the possible states of affairs and bothunderstand that proofs do not existindependently from mathematical theories,but are parts of theories.

Finally, both Bolzano and Peirce wereconcerned with elaborating alternatives tothe philosophy of consciousness, asexemplified by Kant’s Critique and hisnotion of a priori intuition in particular;however, Bolzano denied the evolutionaryperspective, saying that Kant hadconfounded mathematics as such with theway in which humans develop mathematics,whereas Peirce, in contrast, sought toprovide evolutionism with an objective basis.The continuity of space and time isobjective, rather than subjective, as Kantand Leibniz had believed.

The essential difference between Bolzanoand Peirce lies in the way how possibilityis conceived. Bolzano thinks about thisquestion in terms of the difference betweenthe actual and the possible. This meansthat something like the set of allpossibilities exists a priori, waiting topossibly be actualized. For Peirce, incontrast, reality is an evolutionary processrealizing and producing objectivepossibilities as well as their conditions.

Peirce over and again stressed that wehave to explain not only phenomena butalso the laws that govern them (PeirceW4, 551f, see also Peirce, CP 1.175).Peirce, unlike Bolzano, did not considermathematics to be an analytical sciencefrom definitions. Reality is continuous andthus cannot be described or determined.This may even be interpreted on the levelof mathematics. Peirce in contrast toBolzano seems well aware of the fact thatthere may exist various models of thenumber line.

The main feature of mathematicalreasoning lies therefore in its perceptualcharacter and consists in the fact that all“deep” symbolic meanings must havebeen eliminated, in the same sense wehave described creative activity in Part Iabove. A proof must enlarge ourknowledge and all ampliative or syntheticreasoning is perceptual and inductive, oras Peirce sometimes calls it, “abductive.”This does not contradict the fact thatmathematical reasoning is necessary,because “no necessary conclusion is anymore apodictic than inductive reasoningbecomes from the moment whenexperimentation can be multiplied adlibitum at no more costs than a summonsbefore the imagination” (Peirce, CP4.531). Hence, it amounts to the same tosay that mathematics “busies itself indrawing necessary conclusions,” and tosay that it occupies itself with ideal orhypothetical states of things (Peirce, CP3.558).

Mathematical proofs in the sense of Peircedo not contain explanations. They consistof apodictic judgments, showing clearlythat something is necessarily the case,rather than explaining why that somethingis the case. They are examples of“knowledge that,” rather than “knowledgewhy” in the sense of the Aristotelian

33

Relime

distinction between proofs of the fact (hoti)and proofs of the reasoned fact (dioti). “Thephilosophers are fond of boasting of the pureconceptual character of their reasoning. Themore conceptual it is the nearer itapproaches to verbiage” (Peirce, CP 5.147-489). This would sound Kantian, were it notfor the reference to the importance of signs.

Already from the fact that a proof is a signand a sign is determined by its object andcombined with the requirement thatmathematical proofs are necessary andthus apodictic, it follows that a proof isessentially an icon and that its object isnothing but the form of that icon. Peirceaffirms that mathematical reasoningproceeds by means of the construction ofall kinds of diagrams and by experimentingwith them and observing what happens.“Since a diagram .... is in the main an Iconof the forms of relations in the constitutionof its Object, the appropriateness of it forthe representation of necessary inferenceis easily seen” (Peirce, CP 4.531).

Peirce took Leibniz’s theory of a continuumof representations from quite unconsciousand quasi imperceptible representations tothose most coercive to consciousness andsubsequently based his whole semioticepistemology on it. A realistic view mustsee reality above and beyond all laws,ideas and explanations as somethingoffering the possibility of understanding.Peirce’s metaphor for such a view of realityis the continuum. Reality is commonlyidentified with the totality of existing objectsand facts. Sometimes, in a flush ofenlightened insight, relations or laws areadded to the furniture of reality. But thisdoes not help much. The set of all laws, orpossibilities of things, is a no less anantinomical conception than the notion ofthe set of all sets, which lies at the bottomof Russell’s paradox. In a digital or discreteworld, with only 1 and 0, or perfectly right

and wrong, there would be no growth ofknowledge and therefore no knowledgeat al l . Synechism is above al l “aregulative principle of logic prescribingwhat sort of hypothesis is fit to beentertained and explained” (Peirce, CP6.173). Or, stated somewhat differently,only a continuous reality makes analysisand inductive generalization possible.According to Peirce relations are not tobe reduced to determinate relata, but arerelated to cont inua. This was asimportant to the geometrical illustrationsof the classical incommensurabil ityproofs as i t was important to thefoundations of the calculus. Leibniz hadalready emphasized theseepistemological insights, but hadremained bound to a substance ontologyin the Aristotelian sense.

What pr imari ly character izesmathematics is the peculiarity of itsgeneralizations by means of the formingof fertile hypotheses. A “hypothesissubstitutes, for a complicated tangle ofpredicates attached to one subject, asingle conception” (Peirce, W3 337).Such hypotheses are created by aninductive process which Peirce calledabduction or abductive inference, addingthat “abductive inference shades intoperceptual judgment without any sharpline of demarcation between them”(Peirce, CP 5.181). Abductive reasoninginvolves an element of intuition and“intuition is the regarding of the abstractin a concrete form, by the realistichypostatization of relations; that is theone sole method of valuable thought”(Peirce, CP 1.383). This real ist ichypostatization occurs by means of theconstruction and experimentation with allkinds of diagrams. From the abductivesuggest ion, which synthesizes amultitude of predicates, «deduction candraw a prediction» (Peirce, CP 5.171).

34


Thus the meaning and foundations of apiece of mathematical knowledge, atheory, for instance, are to be seen in theintended applications and newly createdpossibil it ies. Icons or images areparticularly well suited to make graspableand conceivable the possible and potentialrather than the actual and factual. It shouldalso be mentioned in this context thatpsychology and psychotherapy haveknown for some time that icons or imagesare particularly well suited to strengtheningwhat could be called “sense of possibility”and which seems indispensable to aperson’s mental health (see theproceedings of the 35th InternationalCongress on Psychoanalysis in SanFrancisco, 1995). Confining a person—astudent, for example—to a certaincharacterization of herself/himself wouldmutilate her/his personality. Mathematicalexplanation must therefore enlarge andwiden the perspective of the addressee ofthe explanation and the real is generallyto be conceived of as process andevolution.

III.It is rather common nowadays tocontrast subjective insight and explanationwith objective foundation and conviction(Hersh, 1993). Indeed, Hanna’s quest forinsight and understanding seemscompletely psychological and has nothingto do with objective concerns. Bolzano, incontrast, maintaining a strong anti-psychologistic attitude, conceives ofexplanation in purely objective or logicalterms and in reference to a world oftruths in themselves, independent of anyactual insight. When in the course of the19th/20th centur ies the humanit ies(Geisteswissenschaften) weredeveloped by W. Dilthey (1833-1911) andothers, it became common to contrastunderstanding and interpretation, as thebasis of the humanities, with scientific andmathematical explanation. This distinction

resulted later on in the notion of the “twocultures” (Snow). Snow’s basic thesis wasthat the breakdown of communicationbetween the sciences and the humanities(the «two cultures» of the title) was a majorhindrance to solving the world’s problems(see C.P. Snow, 1993)

How can both sides come together? Webelieve that these two different views canbe reconciled from a genetical perspectiveand that for this the semiotic view and theidea of mathematics as mathematizationare essential. The notion of interpretationshould be transformed as outlined in PartI of this paper and scientists andmathematicians should refrain from themetaphysical realism and logicalobjectivism that tends to identify reality withour knowledge of it, thus confusing objectand sign.

A mathematical proof is a type, a type ofrepresentation, rather than a token-construction. One has to grasp theintegrated whole of it, not merely follow theargument or the calculation. Or rather, onehas little choice here, as one will hardly beable to memorize a complex proceedingand repeat its application without analysisand generalization.

Still this does not commit us to Platonism,as an idea is not completely to bedissociated from its possible applicationsand the applications might affect ourconviction about what is essential or basic.And to understand the logic of anargument, one must not only follow itsconsequences in the abstract, but mustalso see how it applies in a particularsituation. Resnik and Kushner found ithard, as they wrote, to see how someonecould understand the proof of theintermediate value theorem “and yet askwhy the theorem is true (or what makes ittrue).” They are right. This kind of

35

Relime

insistence on more and more new why-questions seems to happen when oneseparates knowledge from i tsdevelopment and application. But themeaning resides in the applications.

In formal mathematics, facts areexplained by means of proofs and thenit has to be proved that the proof iscorrect and so on ad infinitum. Everyproof is faced with the prerequisite ofproving that the proof be correct. And theproof of the correctness of the proofagain meets the same requirement andthe proof of the correctness of thecorrectness of the proof also … etc. Thisdilemma is nicely described by LewisCarroll’s version of Zenon‘s paradox(Carroll, 1905; see also: Peirce, CP2.27).

As a rational being one cannot actcontrary to one’s own insights and thereis no insight without an application.Lewis Carroll ’s version of the racebetween Achilles and the Tortoise shows,albeit unintentionally, that one cannotreally have knowledge or an insight andkeep from applying it. There is nocomplete analysis without activity andapplication. Mathematics is just asconstructive as it is analytical. Hence, itis difficult to believe that mathematics ismeant “to explain,” in the usualreductionistic understanding of the term.

In a reader on the philosophy of sciencewe are told: “We can explain the lengthof the shadow by reference to the heightof the flagpole, and not vice versa”(Newton-Smith 2000, 129). It seemsnatural to ask, upon perceiving ashadow, whence it comes from. Nobody,however, would consider the shadow tobe the cause of the flagpole. But whatabout mathematics? Let us begin withKant.

A “new light,” says Kant, must have flashedon the mind of people like Thales, whenthey perceived that the relation betweenthe length of a flagpole and the length ofits shadow enables one to calculate theheight of the pyramid, given the lengthof its shadow. “For he found that it wasnot sufficient to meditate on the figureas it lay before his eyes,… and thusendeavor to get at knowledge of itsproperties, but that it was necessary toproduce these properties, as it were, bya positive a priori construction” (Kant,Critique of Pure Reason, Preface to theSecond Edition 1787). And indeed, thef lagpole as such has no posi t iverelationship whatsoever to the pyramid.

Now one might say that mathematics isnot concerned with flagpoles, pyramidsand the like. But such talk does not helpvery much, given that we havewitnessed, since Descartes‘arithmetization of geometry, a gradualdestruct ion of the pre-establ ishedharmony between method and object ofmathematical inquiry that Bolzanowanted to maintain (Boutroux 1920,193f). The history of mathematics mustbe seen as the history ofmathematizat ion, including themathematization of mathematics itself(Lenhard y Otte, 2005). Therefore,mathematics is characterized first of allby the manner in which it generalizes.Mathematicians as a rule do not seethings this way. They are either Platonistsor Intuitionists and they dislike the semioticapproach to mathematics (Hermann Weylis a noticeable exception to this: see:Werke, vol. IV, p. 334).

G. Cantor (Cantor 1966, 83), for example,believed that applied mathematics mustdeal with real explanations or foundationsof things and thus must be based on soundmetaphysics, whereas pure mathematics

36


is defined by its “freedom” to formconcepts as one pleases (given that theydo not result in logical contradictions).Kant, on the other hand, being confinedto an epistemology of consciousness,found it necessary to employ the ideathat mathematical concepts and relationsmust be “constructed in intuition.” Andpeople like Poincare or Brouwer followedhim in this conviction. This, however,imposes severe l imitat ions on theconception of mathematics, because itintroduces an absolute dist inct ionbetween concepts and intuitions andbetween analytical and syntheticalknowledge.

Peirce considered these distinctions asrelat ive and hence his bel ief thatabduction, as the source of mathematicalgeneralization, on the one hand, andempirical perception, on the other hand,are not as different as it may appear. Insemiotics, to explain means to represent.And a representation is just a perceptioncast into a certain form. In this context,Peirce develops the not ion of theperceptual judgment as an unconsciousinference. There is no sharp demarcationbetween mathematical and perceptualjudgments respectively. When making aperceptual judgment we simply cannotreally distinguish between what comesfrom the outside world and what stemsfrom our own interpretation. “On its side,the perceptive judgment is the result ofa process, although of a process notsufficiently conscious to be controlled, or,to state it more truly, not controllable andtherefore not fully conscious. If we wereto subject this subconscious process tological analysis … this analysis would beprecisely analogous to that which the

sophism of Achilles and the Tortoiseapplies to the chase of the Tortoise byAchilles, and it would fail to represent thereal process for the same reason”(Peirce, CP 5.181).

Within a perceptual judgment, theperception of generals (or ideal objects)and of part icular data seemsinseparable, or, stated differently, theprocesses of creation and of applicationof symbol ic representat ions areinseparable. Analysis and interpretationinteract. The relativity of the distinctionbetween our inner and outer world couldthus be interpreted as demanding itsconceptualization in interactive terms,like the concept of representation. Oncemore we have to conclude that a proofthat is supposed to explain mustgeneralize.

Let us consider a concrete example,given by Boulignand (1933), whichconcerns three different proofs of theTheorem of Pythagoras. The proofs ofthe Pythagorean Theorem are commonlyconsidered to be divided into three maintypes: proofs by shearing, which dependon theorems that the areas ofparallelograms (or triangles) on equalbases with equal heights are equal,proofs by simi lar i ty and proofs bydissect ion, which depend on theobservation that the acute angles of aright triangle are complementary. Amongthese proofs the proofs by similarity playa special role because they indicate theirembeddedness into the theoreticalstructure of axiomatized Euclideangeometry. The Pythagorean Theorem isequivalent to the Parallel Postulate, afterall.

37

Relime

The following diagrams representexamples of these three types of proofs.

1.

2.

3.

The first proves, the second explains andthe third is called intuitive but notexplanatory by Boulignand.

The first proof proceeds in the traditionalmanner that we have become accustomedto in school: Since the angles BAC andBAG are right it follows … Consider nowthe triangles ABD and FBC … Since thetriangles are congruent it follows that ….etc.etc.…

The second proof requires a relationalunderstanding of the notion of “area,”rather than an empiricist one. The area ofa figure is defined then as the relation ofthat figure to the unit square Q(1). We haveQ(x)=x2 Q(1). Therefore the areas of similarplane figures are to each other as thesquares of their corresponding sides. Sincewe have ADC+ADB=ABC, the generalizedtheorem of Pythagoras follows.

The third proof simply requires someplaying around with plane figures like in ageometrical puzzle and observing certainconcrete relationships of equality anddifference.

The interesting distinction seems to be thatbetween 2) and 3), whereas the distinctionbetween 1) and 2) is familiar and in someway refers to the well-known distinctionbetween the analytic and synthetic, orbetween corollarial and theorematicreasoning. Corollarial reasoning relies onlyon that which is enunciated in the premisesin a rather straightforward manner. If,however, a proof is possible only byreference to other things not mentioned inthe original statement and to be introducedby conceptual construction andgeneralization, such a proof is theorematic.

The first idea that comes to mind withrespect to the contrast between 2) and 3)is that it must be something modern,

38


because it has to do with relational thinkingand with the opposition betweentheoretical thought and commonknowledge, or between the exact sciencesand the humanities (Dilthey). We havetalked about this difference already andone should remember the fact thatEuclidean axiomatics and modernaxiomatics in the sense of Hilbert arerepresenting this difference (Otte 2003,204). What is more important still: inmodern axiomatic theory mathematicalobjects or facts are the objects and factsof a theory and proofs only make sensewithin the context of a theory? In traditionalEuclidean geometry all this is different. Theobjects are given by unaided intuition,independently of any theory, and the proofsdo not refer to an explicit and fixedtheoretical context as their base, but referto everyday rationality in the sense ofAristotelian demonstrative science.

Now, the second proof is modern in thedescribed sense, whereas the other twomore or less breathe in the spirit ofAristotelian science and traditional thinkingin terms of substances and their essentialproperties.

When classifying the second proof asexplanatory, we employ a dynamicconception of knowledge and explanation,as it has been described in semiotic termsabove. The proof indicates the possibilityof many relationships and thus makes usfeel the systemic and theoretical characterof knowledge. The other two proofs arefoundationalist, assuming a fixedhierarchical organization of knowledgebased on unaided intuition and everydayexperience.

Intuition seems forceful, but neither anabsolute insight or intuition nor adeterminate hierarchy of levels ofknowledge actually exist. This is very often

misunderstood. For example, the well-known Gestalt psychologist MaxWertheimer (1880-1943) comments on thepresentation and solution of Zeno’sparadoxes by means of a geometric seriesthat is current in present day mathematics.He himself comments on the current proofof the convergence of that series, which isaccomplished by multiplying the series bya and subtracting afterwards. Set S = 1 +a = a2 + ... Then S - aS = 1 or S = 1/(1 - a).

Wertheimer wri tes: “ I t is correct lyderived, proved, and elegant in itsbrevity. A way to get real insight into thematter, sensibly to derive the formula isnot nearly so easy; it involves difficultsteps and many more. While compelledto agree to the correctness of the aboveproceeding, there are many who feeldissatisfied, tricked. The multiplication of(1 + a + a2 + a3 + ...) by a together with thesubtraction of one series from the other,gives the result ; i t does not giveunderstanding of how the continuingseries approaches this value in itsgrowth.” (Wertheimer, 1945)

Wertheimer wants an intui t ivedemonstration. Intuition is essentially theseeing of the essence of a thought orobject as a form or object itself. Thingsdo not have, however, a unique anddemonstrable essence, as we haveargued before. The essence ofsomething cannot be anything but theessence of a representation of that thingand therefore the diagrammatic proofwhich Wertheimer does not accept assatisfactory, could be called an intuitiveproof, exactly like proof number 3 of thetheorem of Pythagoras above. Only, inthe present case, the intuition is directedtowards the diagrammatic representationitself and to its form. It is also moreadvanced, because it contains somegeneral methodological message.

39

Relime

If we could establish a direct authentic and“natural” relationship to the object ofknowledge then this relationship wouldalso exist in a mechanical form; it wouldbe a relation between reactive systemsrather than cognitive ones and thus wouldbe just a singular event without generalmeaning. The idea of sign marks thedifference at this point as it introduces ageneral element. Our intuitions serve tocreate expressive and illuminatingrepresentations. And in this way we learn toact within the world around us. To understandmeans exactly to create a representation, asthe very example that Wertheimer hascriticized shows. We therefore have torenounce searching for definite meaningsand absolute foundations of knowledge.

This we can learn from the fact that all ourthinking is by means of signs.

Classified in terms of Peirce’s categories, thethird or intuitive proof represents Firstness,

the first Secondness and the second, orexplanatory in our sense, Thirdness.Thirdness is, as Peirce says, a synonymof representation and evolution and thusof continuity (CP 6.202). But Thirdnesspresupposes Firstness and Secondness,or stated semiot ical ly, symbol icrepresentation depends on iconic andindexical elements. Thus a proof may bea symbol, but mathematical reasoning is,as was said, diagrammatic and as suchis based mainly on iconic signs withindexical elements as parts of the icon.As Peirce adds: “Firstness, or chance,and Secondness, or brute reaction, areother elements, without theindependence of which Thirdness wouldnot have anything upon which to operate”(CP 6.202). What primarily characterizesmathematics is the peculiarity of itsgeneralizations and this is a symbolicprocess operat ing by means ofhypostatic abstractions (Otte 2003,218f).

References

Bar-Hillel, Y. (1967). Bernard Bolzano, In Paul Edwards (ed.), The Encyclopedia ofPhilosophy, vol. II, p.337f

Beth, E. (1968). The Foundations of Mathematics: a Study in the Philosophy. of Science. - 2.,rev. ed., 2. print . - Amsterdam : North-Holland Publ. Co.

Bochner, S. (1974). Mathematical Reflections, American Mathematical Monthly, 830-859.

Bolzano, B. (1810/1926). Beiträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik,Paderborn: Schöningh.

Bolzano, B. (1817/1980). Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen zweiWerten, die ein entgegengesetztes Resultat gewaehren, wenigstens eine reelle Wurzelder Gleichung liege, Translation into English by S. Russ, Historia Mathematica, 7, 156-185.

40


Bolzano, B (1837/1981).Wissenschaftslehre, 4 vol. (Sulzbach). Ed. by Wolfgang Schultz.Reprint Scientia Verlag Aalen.

Boulignand, G. (1933). L’idée de causalité en mathematiques et dans quelques theoriesphysiques, Revue Scientifique, 71, 257-267.

Boutroux, P. (1920). L’Idéal Scientifique des Mathématiciens. Paris: F. Alcan.

Cantor, G. (1966). Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischenInhalts, Hildesheim : Olms.

Carroll, L. (1905). «What the Tortoise said to Achilles,»’Mind, N. S. vol. 4, p. 278; reprintedin: D. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach, Vintage N.Y.

Cauchy, A.L. (1821). Analyse algebrique, Paris.

Dedekind, R. (1912). Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig, Vieweg & Sohn,4th edition. de Jong, W.R. (2003). Bernard Bolzano, Analyticity and the Aristotelian Modelof Science, Kant Studien, 92, 328-349.

Dilthey, W. (1910/1981). Der Aufbau der geschichtlichen Welt in denGeisteswissenschaften, Frankfurt: Suhrkamp.

Fish, S. (1980). Is there a Text in this Class?, Harvard UP, Cambridge USA

Hanna, G. (1989). Proofs That Prove and Proofs That Explain. In: G. Vergnaud, J.Rogalski, and M. Artigue (Eds.), Proceedings of the International Group for the Psychologyof Mathematics Education, Paris, Vol II, pp. 45-51.

Hanna, G. (2000). Proof, explanation and exploration: An overview. Educational Studiesin Mathematics, Special issue on «Proof in Dynamic Geometry Environments», 44, 5-23.

Hersh, R. (1993). Proving is Convincing and Explaining, Educational Studies inMathematics, 24, 389-99.

Hirsch, E.D. (1967). Validity in Interpretation, Yale UP, Princeton.

Jakobson, R. (1985). Selected Writings, vol. VII, Berlin: Mouton.

Lenhard, J. y Otte, M. (2005). Grenzen der Mathematisierung – Von der grundlegendenBedeutung der Anwendung [Limits of Mathematization: the Constitutive Role ofApplication], Philosophia naturalis, 42(1), 15-47.

Mancosu, P. (2000). On Mathematical Explanation, in: E. Grosholz/H. Breger (eds.) TheGrowth of Mathematical Knowledge, Kluwer, 103-119.

41

Relime

Mancosu, P. (2001). Mathematical Explanation, Topoi 20: 97-117.

Marx, K. (1906). Capital. Edited by Frederick Engels. Revised and Amplified Accordingto the Fourth German Edition by Ernest Untermann. Translated by Samuel Moore andEdward Aveling, from the Third German Edition (of Das Kapital). Published: Chicago:Charles H. Kerr and Co. First published: 1867.

Newton-Smith, W.H. (ed.) (2000). A Companion to the Philosophy of Science, BlackwellOxford.

Otte, M. (2003). Complementarity, Sets and Numbers, Educational Studies inMathematics, 53, 203-228.

Otte, M. (2005). Mathematics, Sign and Activity. In M. Hoffmann et.al. (eds). Activity andSign (pp. 9-22). N.Y.: Springer.

Peirce, Ch. S.: CP = Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Volumes I-VI, ed. byCharles Hartshorne and Paul Weiß, Cambridge, Mass. (Harvard UP) 1931-1935, VolumesVII-VIII, ed. by Arthur W. Burks, Cambridge, Mass. (Harvard UP) 1958 (followed by volumeand paragraph)

NEM = Carolyn Eisele (ed.), The New Elements of Mathematics by Charles S. Peirce,Vol. I-IV, The Hague-Paris/Atlantic Highlands, N.J. (Mouton/Humanities Press)

W = Writings of Charles S. Peirce. Ed. by Peirce Edition Project. Bloomington: IndianaUniversity Press (1982-2000) (followed by volume and page).

Resnik, M./D. Kushner (1987). Explanation, Independence and Realism in Mathematics,British Journal for the Philosophy of Science, 38, 141-158.

Rota, G.-C. (1997). The Phenomenology of Mathematical Proof, Synthese, 111, 183-196.

Snow, C.P. (1993). The Two Cultures, Harvard UP, Cambridge/USA.

Steiner, M. (1978). Mathematical Explanation, Philosophical Studies, 34, 135-151.

Valery(no year).Leonardo, Insel Verlag Frankfurt.

Volkert, K. (1986). Krise der Anschauung, V.+R. Göttingen.

Wertheimer, M. (1945). Productive Thinking. New York: Harper.

Weyl, H. (1995). Topology and abstract Algebra as two Roads of MathematicalComprehension, American Math. Monthly, 453-460.

42

Proof and Explanation from a Semiotical Point of View 43

Michael OtteUniversity of BielefeldGermany


Relime44

Fecha de recepción: Febrero de 2006/ Fecha de aceptación: Abril de 2006

Université du Littoral Côte d’Opale(ULCO), France.

Quelle sémiotique pour l’analyse de

l’activité et des productions

mathématiques?

Raymond Duval 1

RESUMEN

Tanto en la enseñanza como en sus prácticas más avanzadas, las matemáticas son eldominio donde todas las formas de representación semiótica pueden ser utilizadas. Elloplantea el problema siguiente: ¿las diferentes teorías semióticas permiten analizar lautilización de imágenes, del lenguaje y de los símbolos en matemáticas? Para comprenderlos elementos del problema, se debe no solamente observar cómo estas teoríasdistinguen las relaciones que constituyen y diferencian los signos, sino también considerarlas exigencias matemáticas que demanda el recurso de las diferentes formas derepresentación semiótica. Su comparación muestra una diferencia considerable entrelas herramientas de análisis semiótico existentes y la complejidad semiótica de todaslas producciones matemáticas. Limitándose al caso de la representación de los números,se puede poner en evidencia que estas herramientas no permiten analizar laheterogeneidad semiótica de los diferentes sistemas utilizados. Ahora bien, estaheterogeneidad semiótica provoca una de las dificultades mayores del aprendizaje delas matemáticas: pasar de un tipo de representación a otro. El análisis de las produccionesmatemáticas exige herramientas de análisis semiótico más complejas y mejor adaptadasa los procesos cognitivos movilizados en toda actividad matemática. Para poder realizaresta investigación, tres preguntas son cruciales: una sobre la pertinencia de la distinciónentre significante y significado, otra en torno a la clasificación de los signos, y, finalmente,otra referente a la comparación entre un análisis funcional y un análisis estructural delos signos.

PALABRAS CLAVE: Condensación, designación, imagen, figura geométrica,relaciones constitutivas de signos, representaciones semióticas y no semióticas,sistema semiótico, transformación de representaciones.

ABSTRACT

Mathematics, whether in its teaching or in its more advanced practices, is a domainwhere all the forms of semiotic representation can be used. This entails the followingproblem: do different semiotic theories allow for the analysis of the use of images, languageand symbols in mathematics? To grasp the givens of the problem, we not only have to

45Relime, Número Especial, 2006, pp. 45-81.

1

Relime

see how these theories make the distinction between the relations that constitute anddifferentiate signs, but we also have to consider the mathematical demands whichnecessitate that we make recourse to different kinds of semiotic representation. Theircomparison reveals a considerable gap between existing semiotic tools and the semioticcomplexity found in all mathematical production. Limiting ourselves to the case of therepresentation of numbers, we can highlight the fact that these tools do not allow us toanalyze the semiotic heterogeneity of the different systems used. Moreover, this semioticheterogeneity brings up one the major difficulties in the learning of mathematics: goingfrom one type of representation to another. The analysis of mathematical productionsdemands semiotic tools of analysis that are more complex and better adapted to thecognitive practices mobilized in all mathematical activity. In order to undertake thisresearch, three questions seem to be crucial: that of the pertinence of the distinctionbetween signifier and signified, that of the classification of signs, and that of the connectionbetween the functional analysis and the structural analysis of signs.

KEY WORDS: Condensation, designation, image, geometrical figure, constitutiverelations of signs, semiotic and non semiotic representations, semiotic system,transformation of representations.

46

RESUMO

Tanto no ensino como nas práticas mais avançadas a matemática é o domínio ondetodas as formas de representação semiótica podem ser utilizadas. Coloca-se o problemaseguinte: As diferentes teorias semióticas permitem analisar a utilização de imagens, dalinguagem e dos símbolos em matemática? Para compreender os elementos do problema,se deve não somente observar como estas teorias distinguem as relações que constitueme diferenciam os signos, mas também considerar as exigências matemáticas quedemanda o recurso das diferentes formas de representação semiótica. Sua comparaçãomostra uma diferença considerável entre as ferramentas de análise semiótico existentese a complexidade semiótica de todas as produções matemáticas. Limitando ao caso darepresentação dos números, se pode colocar em evidência que estas ferramentas nãopermitem analisar a heterogeneidade semiótica dos diferentes sistemas utilizados. Assim,esta heterogeneidade semiótica provoca uma das dificuldades maiores da aprendizagemdas matemáticas: passar de um tipo de representação a outra. A análise das produçõesmatemáticas exige ferramentas de análise semiótico mais complexas e melhor adaptadasaos processos cognitivos, mobilizados em toda atividade matemática. Para poder realizaresta investigação, três perguntas são cruciais: uma sobre a pertinência da distinçãoentre significante e significado, outra em torno da classificação dos signos, e, finalmente,outra referente a comparação entre uma análise funcional e uma análise estrutural dossignos.

PALAVRAS CHAVES: Condensação, designação, imagem, figura geométrica,relações constitutivas de signos, representações semióticas e não semióticas,sistema semiótico, transformação de representações.

Quelle sémiotique pour l’analyse de l’activité et des productionsmathématiques? 47

L’attention portée au rôle des signes dansla pensée mathématique est à la foisancienne et récente. Elle est ancienne sil’on considère la création multiforme d’unsymbolisme mathématique qui aaccompagné le développement del’algèbre, de l’analyse et de la logique ditemathématique. Mais elle est très récentesi l’on considère les recherches sur lesproblèmes d’apprentissage qui, dans uncadre piagétien et constructiviste, ontprivilégié une problématique d’acquisitionde concepts.

Des raisons très différentes ont contribuéà la découverte de l’importance desreprésentations sémiotiques pour

comprendre la complexité desapprentissages en mathématiques. Il y a,bien sûr, l’introduction de l’algèbre. Il y aaussi l’analyse des productions des jeunesélèves dans le cadre des activités qui leursont proposées en classe. Il y a euégalement l’influence, tardive, de lapensée de Vygotski qui avait souligné,contre les explications de Piaget,l’importance du langage à travers ses troismodalités d’expression, intérieure, orale etécrite, dans le développement de lapensée de l’enfant. Mais la découverte del’importance et de la variété desreprésentations sémiotiques dans lesactivités mathématiques et pourl’apprentissage soulève un problème

RÉSUMÉ

Aussi bien dans l’enseignement que dans ses pratiques les plus avancées, lesmathématiques sont le domaine où toutes les formes de représentation sémiotiquepeuvent être utilisées. Cela pose le problème suivant : les différentes théories sémiotiquespermettent-elles d’analyser l’utilisation des images, du langage et des symboles enmathématiques ? Pour saisir les données du problème, il faut non seulement regardercomment ces théories distinguent les relations qui constituent et différencient les signes,mais il faut aussi considérer les exigences mathématiques qui commandent le recoursaux différentes formes de représentation sémiotique. Leur comparaison montre un écartconsidérable entre les outils d’analyse sémiotique existants et la complexité sémiotiquede toutes les productions mathématiques. En se limitant au cas de la représentation desnombres, on peut mettre en évidence que ces outils ne permettent pas d’analyserl’hétérogénéité sémiotique des différents systèmes utilisés. Or cette hétérogénéitésémiotique soulève l’une des difficultés majeures de l’apprentissage des mathématiques :passer d’un type de représentation à un autre. L’analyse des productions mathématiquesexige des outils d’analyse sémiotique plus complexes et mieux adaptés aux processuscognitifs mobilisés dans toute activité mathématique. Pour conduire cette recherchetrois questions semblent cruciales : celle de la pertinence de la distinction entre signifiantet signifié, celle de la classification des signes, et celle du rapport entre une analysefonctionnelle et une analyse structurale des signes.

MOTS CLÉS: Condensation, désignation, image, figure géométrique, relationsconstitutives des signes, représentations sémiotique et non sémiotique, systèmesémiotique, transformation de représentation.

Relime 48

considérable et souvent peu discuté :comment les décrire, comment lesanalyser et comment les situer par rapportaux démarches mathématiques ?

Le problème, en effet, n’est pas d’analyserla variété des représentations sémiotiquesen fonction des concepts et desconnaissances mathématiques qu’ellespermettent d’exprimer, de traduire, decontextualiser, etc. Cela conduit, en fait, àles dissoudre dans une analyse faite entermes de « savoirs » relatifs à descontenus mathématiques particuliers. Leproblème est d’abord de savoir déterminerce que sont des « signes », ce qu’ilsévoquent ou représentent et comment ilsle font, quelles fonctions ils remplissent oune remplissent pas dans une démarche deconnaissance. Certes, ces questionssemblent avoir trouvé une réponse clairedans les différentes théories sémiotiquesqui ont été élaborées depuis les Stoïcienset, plus particulièrement, avec Peirce,Saussure, et aussi Frege. Mais cetteapparente clarté s’évanouit vite si oncompare ces différentes théories entreelles et, surtout, si on considère la variétéconsidérable et hétérogène desreprésentations sémiotiques utilisées enmathématiques et dans l’enseignementdes mathématiques. Les quelques« concepts » et classifications élaborésdans les théories sémiotiques et auxquelsbeaucoup de travaux didactiques seréfèrent, apparaissent alors insuffisants etparfois non pertinents pour analyserl’activité mathématique et ses productions.Et c’est là que surgit la question suivante :quelle sémiotique pour analyser l’activitéet les productions mathématiques ?

Cette question est essentielle à un tripletitre. Tout d’abord, il s’agit de disposer d’unoutil d’analyse suffisamment adapté etdiscriminant pour étudier l ’activitémathématique et ses productions : celles

des experts, celles des enseignants et cellesdes élèves y compris ceux de l’enseignementprimaire. Car toutes les productionsmathématiques mettent en jeu desreprésentations sémiotiques. Or, les typesde représentations que l’on trouve chez lesuns ne sont pas ceux qui sont privilégiés parles autres. Peut-on les considérer comme àpeu près équivalents ou interchangeablestant du point de vue de leur fonctionnementsémiotique que du point de vuemathématique? En d’autres termes, peut-onou non passer facilement d’un type à unautre, ou au contraire ce passage de l’un àl’autre ne cache-t-il pas une rupture? Ensuite,il y a le problème du rôle des signes et desreprésentations sémiotiques dans lefonctionnement de la pensée. On peutl’aborder de manière très générale sans seréférer à aucun domaine particulier deconnaissance, c’est-à-dire à la manièrespécifique dont on a accès aux objets deconnaissance dans chaque disciplinescientifique. Mais on peut aussi l’aborder enprenant en compte les exigences propres audéveloppement de la connaissancemathématique. Dans ce cas, il faut tenircompte de la situation épistémologiqueparticulière des mathématiques par rapportaux autres domaines de connaissance. Lesreprésentations sémiotiques jouent-elle lemême rôle en mathématiques qu’enbotanique, qu’en géologie, qu’en géographie,qu’en astronomie, etc.? Enfin, cela concerneles variables cognitives à prendre en comptedans les apprentissages. Peut-on considérerque certains types de représentation facilitentl’entrée dans les démarches mathématiquesou, au contraire, en brouillent la visibilité ?Les changements de type de représentationconstituent-ils une variable didactiquecruciale ou au contraire une variablesecondaire ?

Le propos de cet article n’est pas deprésenter ici une autre approchesémiotique pour analyser l’activité et les


productions mathématiques, approche quenous avons développée dans d’autrestravaux (Duval 1995a, 1996, 2003, 2005,2006a, 2006b). Notre propos est de poserla question de la pertinence et des moyensd’une analyse sémiotique de l’activitémathématique et des problèmesd’apprentissage en mathématiques. Cettequestion exige que l’on commence paranalyser les différentes théoriessémiotiques dont on a importé endidactique les distinctions et les concepts,sans s’être vraiment interrogé sur leursfondements, sur leur portée réelle ainsi quesur les critères opératoires qu’elles offrentou n’offrent pas. Le résultat auquel nousespérons conduire le lecteur est qu’il voitpourquoi il faut se poser cette question. Sion ne s’est pas posé cette question,l’utilisation d’une théorie sémiotique, quellequ’elle soit, ne peut avoir de sens.

Nous commencerons donc par présenterles données du problème sémiotique,telles qu’elles ressortent des différentesthéories sémiotiques existantes. Nousverrons que les différentes théories ontconduit à expliciter cinq relationsfondamentales pour caractériser les signeset les représentations sémiotiques, mêmesi aucune ne prend en compte toutes lesrelations. Mais ce n’est là qu’une partie desdonnées pour la question dont nousvoulons montrer la nécessité et la priorité.Il nous faut aussi examiner les exigencesmathématiques concernant l’utilisation dessignes. Nous verrons alors que lesreprésentations sémiotiques ne sontmobilisées et développées que dans lamesure où elles peuvent être transforméesen d’autres représentations sémiotiques.Ce sont ces transformations possibles quisont importantes et non pas les relationsfondamentales explicitées dans lesdifférentes théories sémiotiques. Pourillustrer cela, nous prendrons l’exemple dela représentation des nombres. Nous

aurions pu aussi prendre un exemple engéométrie (Duval, 2005) ou un problèmedans lequel on ne peut pas distinguer sion est dans un cadre géométrique ounumérique (Duval, 2006b). L’intérêt de lareprésentation des nombres est que cetexemple permet de comparer plusieurstypes de représentation, dont celui dereprésentations «concrètes», ouiconiques, de marques unités que l’onutilise comme des pseudo objets et qui nefonctionnement pas du tout comme dessignes. Dans une troisième partie, nousverrons, en gardant le même exemple,comment le passage d’un type dereprésentation à un autre implique un sautsémiotique non seulement dans lefonctionnement de la relation de référencemais surtout dans le type d’opérationdiscursive à effectuer. La dernière partienous permettra de montrer comment laquestion, thème de cet article, se traduitet se diffracte en plusieurs questionscruciales. Nous en retiendrons trois. Ladistinction entre signifiant et signifié, est-elle pertinente en mathématiques ? Laclassification des représentations, se fait-elle en fonction des relationsfondamentales caractéristiques des signesou en fonction des systèmes producteursde représentations ? L’analyse desproductions peut-elle être entièrementsubordonnée à la fonction remplie dans uncontexte ?

I. LES DONNÉES DU PROBLÉMESÉMIOTIQUE

Les définitions des signes qui ont étéproposées dans les différentes théoriessémiotiques, mettent toutes en avant lafonction cognitive d’évocation, ou deremplacement, qu’un élément remplit àl’égard d’un autre élément, ces deuxéléments étant implicitement considéréscomme n’ayant pas le même statut

Relime 50

épistémologique. De ce point de vue, il n’y a pas de différence entre la définition dessignes et celle des représentations qui ne sont pas des signes, comme les imagesproduites sur une surface plane réfléchissante ou par un système optique.

Fonction cognitive:évoquer ou remplacer

(1)

(2)Exigence épistémologique:ne jamais prende l’un pour

l’autre

QUELQUE CHOSED’AUTRE

aliud aliquid (Augustin)something else (Peirce)

QUELQUE CHOSE

REPRÉSENTATION(S)NON sémiotique(s)

SIGNE (S)

Représentation

Les trois définitions suivantes en sont uneparfaite formulation :

— Le signe est une chose qui, outre la formeperçue par les sens, fait venir à partird’elle la pensée de quelque chosed’autre .... (Signum est enim res, praeterspeciem quam ingerit sensibus, aliudaliquid ex se faciens in cogitationemvenire). (Augustin 1997, p. 136 )

— Un signe ou représentamen estquelque chose qui tient lieu pourquelqu’un de quelque chose d’un certainpoint de vue ou realtivement à unecompétence (A sign, or representamen,is something which stands tosomebody for something in somerespect or capacity ). (Peirce 1978, p.121(2.228)).

— Les « représentations » sont« l’évocation d‘objets absents » (Piaget1968a, p.305 ; 1968b, p. 8).

Malgré une apparente évidence, toutes cesdéfinitions sont à la fois inutilisables etincomplètes. Elles sont tout d’abordincomplètes parce qu’elles laissent implicitel’exigence épistémologique fondamentale qui

Figure 1. Les deux éléments constitutifs caractérisant les signes et toutes les représentations

conduit à ne pas confondre unereprésentation avec ce qu’elle représente(Platon République, 509e-510b). Car, sansle respect de cette exigence, il n’y a plus designe ou de représentation. Le respect decette exigence peut sembler trivial ouimmédiat lorsqu’il s’agit de chosesmatérielles, comme, par exemple une chaise.On ne confondra jamais la chaise en boissur laquelle on peut s’asseoir et laphotographie de cette chaise ou encore undessin de cette chaise. Cela ne l’est plus pourles représentations sémiotiques utilisées enmathématiques, comme, par exemple lesmultiples représentations possibles desnombres, car on ne peut pas accéder à cesobjets mathématiques sans mobiliser desreprésentations sémiotiques (Duval 2006b).Mais, surtout, cette définition est inutilisablecar la fonction cognitive consistant à« évoquer » ou à « se tenir lieu de quelquechose » ne précise pas comment cettefonction cognitive peut être remplie.Autrement dit, cette définition, qui caractériseles signes par leur seule fonction, ne dit riende la relation qui, structuralement, permet àquelque chose d’évoquer quelque autrechose.


C’est pourquoi les différentes théories dusigne et de la représentation qui ont étédéveloppées ont été conduites à expliciterplusieurs relations fondamentales constitutivesdes signes ou des représentations. Nous enretiendrons cinq et il semble qu’il ne puisse pasen exister d’autres.

1. Une relation de « ressemblance »

La relation de ressemblance, à travers lesnotions de « copie » ou d’« image » (eikon) quilui sont associées, a été dégagée par Platon(République 476c, 509e, 510e). Peirce en a faitl’une des trois catégories des représentations :« Une icône est un represenamen dont laqualité représentative est la priméité durepresentamen...par conséquent n’importequelle chose peut être un substitut de n’importequelle chose à laquelle elle ressemble » (Peirce1978 p.14 7 (2.276) ; voir aussi 2.247).Cependant, ce qui permet de définir uneressemblance entre le contenu d’unereprésentation et ce dont ce contenu est lareprésentation reste flou comme Quine (1977)l’avait signalé. Comment déterminer s’il y a« ressemblance» ou non entre une

représentation et ce qu’elle est censéereprésenter, sans passer par un ensembled’opérations qui coûtent plus de temps que leseul fait de reconnaître quelque chose commeune image ?

Bresson a proposé un critère qui s’avère êtreun outil précieux à la fois pour décider si unereprésentation est, ou n’est pas « iconique » etpour pouvoir distinguer les différents typesd’images. La ressemblance se caractérise par« la conservation entre les éléments dureprésentant des relations de voisinage existantentre les éléments du représenté » ( Bresson1987, p. 940). Autrement dit, la ressemblancene se fonde pas sur la reproduction de formesmais sur la conservation de relationstopologiques des éléments qui composentl’ensemble d’une figure. Ainsi, dans l’exempleci-dessous, les éléments des deux premiersdessins sont homogènes (que des carrés oudes ronds !) et leur forme ne ressemble pasaux différentes parties du visage humain. Cesont leurs relations de voisinage qui les fontinterpréter comme des yeux, un nez, etc.Présentées simultanément à de jeunes enfants,ces formes sont généralement vues comme« un robot » et un « bonhomme ».

Figure 2. Deux images schématisées et une image figurative.

La comparaison du troisième dessin avec lesdeux premiers montre l’intérêt de la définitionde Bresson. Elle permet de voir ce qui fait ladifférence entre une image figurative (à droite),qui est une «copie » plus ou moins fidèle d’unvisage, et une image schématisée ou abstraite(à gauche) mais qui ressemble encore à unvisage. Dans l’image figurative, les élémentssont différents et ont chacun une ressemblancede contour avec une partie du visage. Une

image devient schématique lorsque tous leséléments composant l’image deviennenthomogènes et perdent donc tout caractèred’iconicité (Duval 2003, p. 39-40).

Regardons maintenant ces figures qui suivent.En quoi se distinguent-elles des premiersdessins ci-dessus ? Peut-on les considérercomme relevant de la même catégorie que lesimages ci-dessus ?

Relime 52

I Ia Ib II iiI Figure 3. Quatre ou cinq figures géométriques ?

On peut noter une première différence.Une figure géométrique ne se dessine pasà main levée mais se construit à l’aided’instruments, tandis qu’un dessin ne seconstruit pas mais se compose à mainlevée. Mais, d’un point de vue sémiotique,cette différence a peu d’importance. Laquestion suivante demeure : une foisconstruite ou dessinée, une figuregéométrique s’analyse-t-elle en termes deressemblance avec ce qu’ellereprésente ?

2. Une relation de « référence »

Cette relation, que Frege (1971) appelaitla Bedeutung (dénotation) des signes oude leur combinaison en une expression,exclut toute possibilité de ressemblanceentre les signes et ce dont ils sont lessignes. Elle concerne surtout deux typesde signes très différents : les symboles etles mots. La relation de référence d’unsigne ou d’une combinaison de signesà un objet résulte d’une opérationdiscursive de désignation . C’est decette manière que les lettres en algèbre,les mots, ou les constructionssyntagmatiques de mots dans un énoncé,réfèrent à un objet. Cette opération peutparaître simple lorsqu’il s’agit de lettres oude symboles, puisque généralement onles associe à quelque chose qui est visiblegraphiquement : les sommets ou les pointsd’intersection sur une figure géométrique,ou un ensemble de nombres que l’on se

donne : « Soit x... ». Dans ce type desituation on parle le plus souvent de« notation mathématique » (Freudenthal,2002).

L’opération de désignation est beaucoupplus complexe dès qu’elle se fait par desmots. Un mot, seul, ne désigne jamaisun objet, sauf si on lui assigne un statutde nom propre. La désignation d’un objetpar un nom commun exige toujours unequantification. Autrement dit, la désignationlinguistique se fait par la combinaison d’unnom commun et d’un déterminant. Mais,comme aucun lexique ne comporte jamaisautant de mots que d’objets à désigner, laconstruction syntagmatique doit articulerplusieurs noms en une seule expression :« le point d’intersection des hauteurs d’untriangle ... ». Russell considérait ce type deconstruction syntagmatique, comme une« description ». Il est caractéristique dulangage mathématique (Duval, 1995a). Eton le retrouve dans tous les énoncés dedéfinition ou de théorème ainsi que dansles énoncés des problèmes ! Cetteopération de désignation, qui crée laréférence à un objet, est soumise à unecondition d’unicité pour qu’il n’y ait pasd’ambiguïté dans la communication surl’objet qui est ainsi désigné (Ducrot, 1972).En mathématiques, les expressions quiintroduisent une notation articulent en faitdeux opérations discursives dedésignation : l’une littérale et l’autrelinguistique : « l’écriture a/b) désigne (lequotient de a par b ». ( Deledicq 1979, p.


48 ), ou encore « Soit A le pointd’intersection des hauteurs d’un triangle ».

3. Deux relations caractérisées entermes de causalité

Il s’agit ici d’une relation totalement différentedes deux précédentes. Ici la relation peut êtreprise de deux manières différentes : soit cequi fonctionne comme signe est un effet dece qu’il évoque, soit, au contraire, il agitcomme cause ou comme déclencheur d’uneaction.

3.1 La relation effet cause

Elle caractérise les phénomènes naturels quiinduisent la recherche de leur cause ou deleur origine : des reflets, des traces, desvestiges, des symptômes, des indices...Peirce a pris l’exemple de l’observation d’unefumée. On pourrait ici faire appel àl’abondante littérature qui, de Plotin àDerrida, a cherché, dans ce type de relation,le caractère premier et fondateur des signes.La trace est devenue la métaphoresémiotique de ce type de relation.

3.2 La relation cause effet

Elle ne concerne plus des phénomènesnaturels mais ce qu’on considère commeun signal. Ainsi les feux aux carrefours sontdes signaux qui doivent déclencher, demanière réflexe, une action de la part desconducteurs. Plus généralement, toutetransmission d’informations à l’intérieurd’un système physique ou organiquedépend de codes et de signaux.

4 . Une relation d’oppositionalternative ouvrant un choix d’emploi

Ici, les termes de cette relation ne sont plusentre un élément qui remplirait une fonction

d’évocation et un autre qui serait ce quiest évoqué; ils sont entre au moins deuxéléments qui s’opposent comme deuxsignes possibles pour évoquer ou pourdésigner quelque chose d’autre.Autrement dit, il n’y a pas de signes isolésqui fonctionneraient par eux-mêmes,comme une notation, mais il y a d’embléeun système de plusieurs signes. Cetterelation a été mise en évidence parSaussure (1915) :

La langue est un système dont tous lestermes sont solidaires et où la valeurde l’un ne résulte que de la présencesimultanée des autres..... Entre eux iln’y a qu’opposition. Tout lemécanisme du langage repose surdes oppositions de ce genre et sur lesdifférences phoniques et conceptuellesqu’elles impliquent. Ce qu’il y a d’idéeou de matière phonique dans un signeimporte moins que ce qu’il y a autourde lui dans les autres signes. (Saussure1973, p. 159, 166 )

Autrement dit, il n’y a pas de signes endehors du système où des élémentsprennent valeur de signe. Cette théorie aconduit aux méthodes d’analysestructurale des langues à basephonologique (Martinet, 1966) et de toutesles formes de discours produits(Benveniste, 1974). En dehors deslangues, les systèmes de numération deposition en fonction d’une base n sont uneparfaite illustration de ce qu’est unsystème sémiotique, selon la définitionstructurale et non pas purementfonctionnelle de Saussure. En effet, cessystèmes de numération sont, selonl’expression de Freudenthal (2002), un«compromis entre le système linguistiqueet celui de l’abaque ». Pour bien le mettreen évidence, il suffit de comparer les deuxtypes suivants de représentation desnombres.

→

→

Relime 54

Des MARQUES UNITÉS tenantlieu chacune d’un objet

Aucune valeur de position mais desarrangements configuraux possibles

|

| |

| | |

| | | | | | | | | |

ou ( | | | | | | | | | | )

Un SYSTÈME SÉMIOTIQUE

Principe positionnel de l’abaque: la valeur dépend dela colonne où se trouve la marque

Base «10» : lexique fondé surneuf valeurs d’opposition

pour chaque terme1

2

3

10

Base «2» : lexiqueréduit à une seule

valeur d’opposition1

10

11

100

Nous sommes ici en présence de deuxgenres radicalement différents dereprésentation. L’un consiste en desmarques unités qui sont indépendantes lesune des autres et qui ne peuvent êtreassemblées que sous forme d’unecollection. L’autre est un systèmesémiotique dans lequel les chiffres,analogues aux termes d’un lexique,dépendent les uns des autres selon deuxprincipes de composition.

— un principe organisationnel de positionqui permet de combinersystématiquement les chiffres entre euxpour écrire de nouveaux nombres.Chaque chiffre a ainsi une valeur deposition qui correspond à une élévation,à une puissance. Ce principe détermineun algorithme de calcul pour lesopérations arithmétiques.

— un principe de choix lexical quicorrespond à la base n. Cette basedétermine le nombre d’oppositionsalternatives pour le choix des signesnumériques.

A la différence des marques unités(colonne de gauche) qui sont constituées

Figure 4. Hétérogénéité sémiotique de deux types de représentation des nombres.

par leur seule trace matérielle, la réalitésignifiante des chiffes est déterminée parleur seule valeur d’opposition alternative àd’autres chiffres, et non pas par leur tracematérielle. En ce sens, il ne peut pas y avoirde lexique ne comportant qu’un seulterme : « 1 » ne fonctionne comme signed’un nombre que par son opposition soit à« 0 » dans le système binaire, soit à neufautres signes dans le système décimal,dont évidemment « 0 ». Par conséquent« 1 » ne représente le nombre UN, commela marque unité « l », que par sonopposition à « 0 », et sous la conditionqu’il occupe la première position en partantde la gauche.

Ces deux types de représentation desnombres sont hétérogènes. De l’une àl’autre, il y a un saut sémiotique et cognitif.Lorsque nous comparerons ces deux typesde représentations sous le point de vue desopérations qu’elles permettent, nousverrons que les marques unitésfonctionnent comme des pseudo objetsmanipulables concrètement et non pascomme des signes opératoires (infra 2.1).L’apparition du symbole « 0 », irréductible àtoute représentation concrète, c’est-à-dire


non représentable par des marques unités,traduit déjà la rupture qui se produit quandon passe d’un type de représentation àl’autre.

5. Quel est l’autre terme de cesrelations fondamentales ?

Ces relations fondamentales sont autant demodes différents par lesquels «quelquechose », appelé « signe» ou« représentation », peut remplir la fonctioncognitive d’évocation de « quelque chosed’autre » (Figure 1). Quel peut être cet autreterme que les définitions purementfonctionnelles désignent comme aliud aliquidou something else et qui, d’un point de vueépistémologique ne doit jamais être confonduavec son signe ou sa représentation ?

C’est cet « autre chose » du signe ou de lareprésentation qui est important. C’estpourquoi il a été considéré comme «l’étantvéritable » (Platon), comme la res, commela « chose elle-même», c’est-à-dire commel’objet de connaissance. La notion d’objet estcelle qui s’est imposée dans toutes lesanalyses philosophiques etphénoménologiques de la connaissancecomme la notion fondamentale (Duval 1998,p.167-168, 196). L’objet peut être soit unechose matérielle, accessible perceptivementcomme une chaise, comme les plantes dansune forêt ou comme le soleil que l’onreconnaît être « le même » qui se lèvechaque matin, soit une réalité idéaleaccessible uniquement par des démarchesde pensée mobilisant justement des signes,comme par exemple les nombres. Ainsi lesreprésentations « III », « 3 », « 39/13 », ouencore une configuration triangulaire depoints, renvoient au même nombre commeà un même objet. On ne parle jamais dunombre « trois » comme d’un concept et dunombre « quatre » comme d’un autreconcept. En mathématiques, on travaille

avec les nombres et non pas avec lenombre, c’est-à-dire avec une définition dunombre, celle donnée par exemple parPeano, ou celles qui ont été discutées lorsdu débat entre Poincaré et Russell. De cepoint de vue, l’ouvrage de Piaget sur Lagenèse du nombre chez l’enfant (1941) aintroduit des glissements terminologiquesqui ont été néfastes pour la réflexiondidactique concernant les processus de lapensée.

Un objet, réalité matérielle ou idéalité, peutêtre le terme de plusieurs relationssémiotiques fondamentales. Ainsi, unechaise peut être à la fois le terme d’unerelation de ressemblance dans unephotographie, d’une relation de référencedans un énoncé descriptif, et d’une relationd’effet à cause, s’il reste une trace de cettechaise, sur un sol meuble par exemple. Celapermet de composer des juxtapositionsparadoxales comme nous le verrons plusloin. Au contraire, à la différence d’une chosematérielle, une réalité idéale ne peut pas êtrele terme d’une relation de ressemblance.

Cependant, il y a des situations où les signesne tiennent pas à la place des objets qu’ilsévoquent, mais remplacent d’autres signes.C’est le cas, par exemple, des codesalphabétiques qui commutent l’émissionorale d’un discours en une suite visuelle decaractères, ou encore des lettres en algèbre,les lettres remplaçant une liste de valeursnumériques possibles. Dans le premier cas,les codes apparaissent comme unmarquage formel de signes, les marquesformelles appelant un décodage pourretrouver la réalité des signes, c’est-à-direl’une ou l’autre des cinq relationsfondamentales. Aristote, qui avait déjàremarqué cette situation, en avait conclu àune plus grande distance de l’écriture parrapport à la pensée que celle de la parole àla pensée (De l’interprétation, 16a 1-10). Lesecond cas est différent. Il répond à une

Relime 56

fonction d’abréviation et d’économiecognitive et soulève la question du caractère« aveugle » d’un symbolisme qui ne remplitplus la fonction d’évocation d’un objet (infra,2.13 et 4.3). Mais ces deux cas peuvent doncêtre ramenés à l’opposition entre signe etobjet, conformément à l’exigenceépistémologique sans laquelle la définitionpurement fonctionnelle des signesdeviendrait non pertinente. Rappelonsd’ailleurs que Peirce recourt lui aussi à cettenotion d’objet pour caractériser des différentstypes de representamen, c’est-à-dire troisdes cinq relations fondamentalesconstitutives des signes.

6. Qu’en est-il de la distinction entresignifiant et signifié ?

Cette distinction est évidemment ladistinction familière. Mais elle est aussi celledont l’emploi dans la littérature didactiqueest complètement équivoque.

Soit elle correspond à la distinction entrel’élément qui remplit une fonction d’évocationet cet autre chose qu’il évoque. Dans ce cas,la distinction est redondante par rapport auxdéfinitions classiques du signe (Figure 1) :« signifiant » est alors synonyme de signeet « signifié » synonyme de l’objet évoqué !Soit elle porte sur ce qui serait la structureinterne de l’élément qui remplit la fonctioncognitive d’évocation. Dans ce cas, la portéede cette distinction se limite aux langueshumaines qui remplissent une fonction decommunication orale, c’est-à-dire auxsystèmes linguistiques à basephonologique .

En effet, toute l’économie des langueshumaines, qui remplissent une fonction decommunication orale, repose sur ce queMartinet a appelé la « double articulation ».D’une part, il y a une première articulationde la parole en unités de sens (phrases,

mots, monèmes). D’autre part, les unités desens minimales (les monèmes) sont leproduit d’une articulation de plusieurs unitésphoniques (les phonèmes), ces deuxarticulations étant entièrement indépendantesl’une de l’autre :

« Si nous devions faire correspondre àchaque unité significative minima uneproduction vocale spécifique etinanalysable, il nous faudrait en distinguerdes milliers, ce qui serait incompatible avecles latitudes articulatoires et la sensibilitéauditive de l’être humain. Grâce à laseconde articulation, les langues peuventse contenter de quelques dizaines deproductions phoniques distinctes que l’oncombine pour obtenir la forme vocale desunités de première articulation» (Martinet1966, p. 19).

Les langues humaines se distinguent dulangage des animaux par cette doublearticulation.

Nous verrons plus loin (4.1) que cettedistinction n’a pas de sens pour les signespurement visuels, notamment pour lesnotations mathématiques.

7. Conclusion : le problème de l’analyseet du rôle des signes dans l’activité

cognitive.

Ce rapide panorama de la diversité desrelations constitutives de la « signifiance »des signes (Benveniste 1974, p .45, 51)permet de faire les trois observationssuivantes.

Tout d’abord, personne ne confondra lafonction cognitive d’évocation ou desubstitut d’autre chose avec les relationsde ressemblance, de référence, de causalitéou d’opposition alternative entre deuxéléments. Ce sont ces relations structurales


qui permettent qu’un élément remplisse lafonction d’« évocation ». Seule la relationcause effet, caractéristique du signal, neremplit pas cette fonction, mais une fonctiond’instruction ou de commande, comme onpeut le voir dans le fonctionnement de tousles systèmes automatisés ou non conscients.

Dans une approche sémiotique, on ne peutpas faire appel aux phénomènesd’association (Russell, 1969). Car celaconcerne un autre problème, celui del’apprentissage des signes et plusparticulièrement de celui d’une langue. Or,pour expliquer cet apprentissage le recoursau processus d’association relève d’unethéorie plus que discutable et démentie parles observations (Boysson-Bardies 1999).Nous verrons plus loin que ce qu’on appelleassociation relève en fait d’une opérationdiscursive de dénomination complexe.

Aucune théorie sémiotique existante nepermet de prendre en compte toutes cesrelations, mais chacune tend à en privilégierune ou deux. Autrement dit, aucune théoriene couvre la diversité et la complexité desphénomènes sémiotiques.

Maintenant la question n’est pas seulementde savoir quelles sont les relations les pluspertinentes pour analyser les activités et lesproductions mathématiques, elle est surtoutde savoir si les relations que l’on estimepertinentes sont suffisantes.

II. ÉXIGENCE ET PRATIQUEMATHÉMATIQUES CONCERNANT LES

SIGNES : LES POSSIBILITÉS DETRANSFORMATION DES

REPRÉSENTATIONS.

En mathématiques, une représentationn’est intéressante que dans la mesure oùelle peut se transformer en une autrereprésentation. Un signe n’est intéressant

que s’il peut être substitué à d’autres signespour effectuer des opérations (Condillac,1982). Ce ne sont donc pas lesreprésentations qui sont importantes, maisles transformations des représentations.Cette exigence a commandé ledéveloppement d’un symbolisme spécifiqueaux mathématiques, avec la représentationdes nombres, avec l’algèbre, avecl’analyse... Elle traduit le fait que la fonctionprimordiale des signes et desreprésentations, en mathématiques, n’est nila communication, ni « l’évocation d’objetsabsents », mais le traitement d’informations,c’est-à-dire la transformation intrinsèque deleurs représentations en d’autresreprésentations pour produire de nouvellesinformations ou de nouvellesconnaissances.

Ce serait cependant une erreur que de limitercette exigence au symbolismemathématique et donc au calcul. Cetteexigence mathématique concerne aussil’utilisation de tous les types de signesculturellement communs, comme leslangues naturelles ou les représentationsfigurales, lesquelles donnent, en géométriepar exemple, des possibilités purementvisuelles de transformation. L’originalité etla puissance de la pensée mathématiqueviennent de ce qu’elles jouent sur la variétédes registres sémiotiques et sur lespossibilités spécifiques de transformation quisont propres à chaque système. Pourillustrer cela, nous allons prendre deuxexemples : la variété sémiotique de lareprésentation des nombres et lesreprésentations figurales en géométrie.

2.1 Quel rapport entre les signes et lesopérations dans la représentation des

nombres et/ou des grandeurs ?

Nous avons analysé plus haut lesdifférences entre deux types dereprésentation des nombres (Figure 3).

→

Relime 58

Nous pouvons compléter cette comparaison en y ajoutant deux autre types dereprésentation : l’écriture littérale et algébrique, et les dessins schématisés d’objets(Belmas 2003) que l’on trouve dans les productions de jeunes enfants, ou dans cellesd’étudiants plus âgés (Hitt 2003), pour résoudre des problèmes de dénombrement.

Figure 5. Possibilités de transformations, ou de calcul en fonction du type de représentation.

TYPESDE

REPRÉSENTATIONDES

NOMBRES

OPÉRATIONSpossibles de

TRANSFORMATIONSdes

représentations

Les principesd’organisationsuivent les loisd’organisation

perceptive

I. Des dessinsschématisantdes d’objets

conservant lescorrespondances

topologiques(voitures, rouesd’un véhicule..)

Accentuer oueffacer l’iconicité

(ressemblanceavec l’objet

représenté) parajout ou

suppression detracés

Pas de principesd’organisationpour l’emploides marques

II.Des marques-

unitésformellement

indiscernablespouvant êtreagrégées encollections

( traits,points ...)

Support pourdes

manipulationslibres :

- comptage-regroupementsou séparation

en paquets- dispositionselon des

configurationspolygonales

Des principes d’organisation déterminentl’EMPLOI des signes et leurs

COMBINAISONS en unités de sens(expressions)

III. Des systèmesd’écriture de

positiondécomposant un

nombre selon unepuissance n et

exigeant n signes

algorithmes decalcul

fondés sur leprincipe : un

changement deposition

correspond à uneélévation à la

puissance

IV. Notationsalgébriques

articulant deuxtypes de symboles :

- variablesconventionnelles

pour unedésignationfonctionnelle- symboles

d’opérations et derelations

Substitutionsd’expressions

symboliquesfondées surdes règles

syntaxiques propresà chaque opération

- invarianceréférentielle dansles substitutions

Si on regarde ces quatre types dereprésentations sémiotiques enfonction des relations fondamentales,les types I et II peuvent être considéréscomme iconiques puisqu’ils ressemblentsoit aux objets représentés soit à descollections de jetons, de cailloux. Les typesIII et IV doivent être considérés commesymboliques bien qu’ils ne relèvent pas dela même relation fondamentale : III estdéterminé par une relation d’oppositionalternative (supra 1.4) et IV est déterminé

par une relation de référence (supra 1.3).Mais une telle analyse ne nous conduit pasloin et elle n’apporte pas grand chose. Enrevanche, tout change si on regarde cesquatre types de représentations desnombres en fonction des opérations detransformations qu’ils permettent (ligne2 du tableau). On voit alors qu’il fautdistinguer trois classes de représentations.Elles sont séparées par un trait doubleentre les colonnes. Chacune de ces troisclasses de représentation donne


respectivement lieu à trois typesd’opérations radicalement différentes : desmanipulations concrètes libres, desalgorithmes de calcul, des opérationsdiscursives de désignation et desubstitution salva veritate.

2.1.1 Représentations n’étant qu’unsimple support externe pour des

manipulations libres

Les opérations que l’on peut effectuer avecles représentations de type I ou II (Figure 5)sont totalement extérieures à cesreprésentations : on peut les compter en lespointant du doigt, les regrouper par paquets,ou les disposer sur deux rangées parallèlespour les mettre en correspondance, etc. Cesont ces opérations que Piaget apresqu’exclusivement considérées dans sonétude sur La genèse du nombre (1941).Dans les épreuves piagétiennes, les jetonssont le strict équivalent des marques unités.Celles-ci sont un simple support, matériel ougraphique, pour des opérations. Ellesfonctionnent plus comme des pseudo objetsque comme des signes. Les opérationseffectuées sur ce matériel n’entraînent àproprement parler aucune transformation deces représentations. Se pose alors laquestion de savoir s’il est utile de représenterles opérations faites et comment lesreprésenter.

Les marques auxquelles on recourtgénéralement dépendent entièrement duchoix de celui qui les utilise. Ainsi on peutjouer uniquement sur la disposition spatialedes marques unités (les séparer en paquetspuis les regrouper) comme l’a fait parexemple Wittgenstein (1983, p.143), ou bienles entourer comme dans les diagrammesde Venn. On peut également utiliser des traitsplus longs pour matérialiser des paquets, etc.De toute manière elles viennent se surajouteraux marques unités et elles ne sont que desindices des opérations faites.

Dans la pratique, les représentations detype I et II ne sont jamais employées sansque l’on recourt à un deuxième type dereprésentation sémiotique pour justementexpliciter ou pour effectuer les opérations :soit par exemple, une explication verbalequi, évidemment, s’oublie très vite, soitl’utilisation d’une écriture numérique quivient en quelque sorte représenter lesopérations (infra Figure 11).

Les dessins schématisant des objetsprésentent des caractéristiques qui lesrapprochent de ces marques unités. A ladifférence des marques unités, i lsprésentent l’inconvénient majeur de ne paspouvoir être répétés à loisir comme lesmarques unités. Cela devient vite tropcoûteux.

2.1.2. Représentation ou signesconstitués par un principe d’organisationinterne qui détermine des algorithmes de

calcul

Les écritures numériques (III, Figure 5) nepeuvent pas être considérées comme unsimple support pour des opérations decalcul. L’effectuation des opérations est icientièrement subordonnée aux possibilitéset aux contraintes des principesd’organisation du système numériqueutilisé. Pour l’écriture des nombres, lesalgorithmes des différentes opérationsarithmétiques dépendent à la fois duprincipe de position et de la base. Parexemple, les valeurs de position permettentun déplacement à droite ou à gauche,correspondant à une élévation ou à unediminution de la puissance de la base, et,pour chaque position, un dépassement despossibilités de choix offertes par la baseconduit à un déplacement à gauche avecreport. Ce système est évidementextensible avec l’adjonction d’unséparateur (virgule ou point), et cetteextension permet de calculer avec d’autres

Relime 60

nombres que les nombres entiers. Pour lesmêmes opérations sur les mêmes nombres,les algorithmes changent si, au lieu d’uneécriture décimale, on adopte une écriturefractionnaire.

2.1.3 Représentations ou signes ouvrant àl’intégration des calculs dans des

opÉrations DISCURSIVES : l’algèbre.

L’écriture littérale (IV, Figure 5) crée unenouvelle rupture sémiotique avec lesprécédentes représentations des nombreset elle ouvre la voie à de nouvellesopérations. Cette rupture apparaît sur deuxpoints. Tout d’abord, une différenciation entrela sémantique des signes (l’interprétation deslettres) et leur syntaxe (les règlesdéterminant l’ordre des opérations et leurportée sur les symboles associés dansl’expression) devient nécessaire. Avec cettedifférenciation, l’interprétation des lettres nedépend plus directement des choix offertspar un système sémiotique (supra 1.4) maisd’une opération discursive de désignation(supra 1.2). Ensuite, il y a la possibilité deconstruire des unités syntagmatiques parl’organisation de plusieurs signes autour d’unsymbole dominant (un symbole d’égalité oud’inégalité). Cette possibilité conduit à desopérations de substitution d’expressions oude transfert d’expressions salva veritate,c’est-à-dire salva suppositione. C’est ce quifait l’originalité du calcul algébrique.

Pour illustrer cette rupture, nous nouslimiterons à la seule émergence des lettresen rappelant comment, avec Viète etDescartes, elle s’est inscrite dans laconstitution de l’écriture algébrique (Serfati,1987).

L’émergence des lettres comme symbolesalgébriques a longtemps été réduite à ladésignation d’une quantité inconnue, laquellefut appelée res ou cosa pour faciliter larésolution d’un problème. On en retrouve

d’ailleurs la trace dans l’explication queLacroix donnait des signes algébriques :« ...la détermination du nombre inconnu parle moyen des nombres donnés » (Lacroix1820, p. 1). Cependant, c’est avec lasubstitution de lettres à des motsdésignant différents types de grandeursque les lettres comme signes se sontvéritablement constituées. Ainsi, pour necombiner dans le calcul que des grandeurshomogènes, Viète a classé les grandeursselon deux critères : le critère géométriquedes genres (planus, solidus..) et le critèrenumérique d’un produit scalaire (quadratus,cubus..). Et pour pouvoir définirsystématiquement et brièvement les règlesde composition des opérations selon lanature des grandeurs, Viète a abrégé pardes lettres les mots qui désignaient lesdifférents types de grandeur. Cettesubstitution systématique de lettres à desmots référant déjà à des types de grandeurconduit, chez Descartes, à l’écritured’équations et à la notation des puissances,lesquelles ont ouvert la voie à la notion depolynôme (Serfati, 1987). Et cela s’est faiten fonction d’une exigence cognitived’économie que Descartes a formulée dansla règle XVI des Regulae. Il faut condenseren un seul signe tout ce qui intervient dansla résolution d’un problème, c’est-à-dire toutce que Viète avait bien pris soin de séparerpour les calculs : les quantités connues ouinconnues (res) et les deux genres degrandeur, géométrique (solidus) ou scalaire(cubus).

L’autonomie sémiotique des signes qui s’estainsi imposée en algèbre s’est donc faite auprix d’une réduction-condensation desdifférents types d’objets représentés. End’autres termes, l’autonomie sémiotique dessignes en algèbre s’est faite au prix d’uneneutralisation de leur fonction cognitived’évocation (supra Figure 1) et, par la suite,de toutes les relations fondamentales. Seulimporte ce que Husserl a appelé leur


« signifié opératoire », c’est-à-dire les règlesd’emploi (règles de priorité, desubstitution...). On comprend alors laquestion du sens des signes algébriques queLeibniz soulève dans un texte de 1684, doncpeu après la constitution de l’écriturealgébrique moderne : «... cette pensée là,j’ai coutume de l’appeler aveugle ou encoresymbolique... ; c’est celle dont nous usonsen algèbre et en arithmétique.. » (Leibniz1972, p. 152-153).

2.2 Peut-il y avoir des transformationsfigurales purement visuelles ?

Il semble plus difficile d’associer desreprésentations figurales, que ce soit des« images », des schématisations ou desfigures géométriques, à des opérations.Bresson (1987) soulignait qu’une figurereprésente un état et que la représentationd’une transformation exige la représentationde deux états, l’un initial et l’autre final. Cesont les différences entre deux figures qui

« Deux rôles au moins, peuvent être attribués aux figures en géométrie : d’une part, elles illustrent les situations

étudiées, d’autre part elles servent de support à l’intuition au cours de la recherche en faisant apparaître sur un objet

visible des relations ou des hypothèses de relations qui ne sont pas clairement évidentes dans un énoncé verbal »

(Bessot 1983, p.35). La distinction entre dessin et figure reprend cette opposition entre ce qui est visuel, donc particulier,

et l’ensemble des propriétés qui le sous-tendent et qui en font un dessin parmi d’autres.

2

peuvent évoquer un mouvement, une actionou une opération. Et en ce qui concerne lagéométrie, les opérations sont généralementassociées à des propriétés qui ne peuventêtre mobilisées qu’en fonction d’hypothèses.Par conséquent, le contenu visuel d’unefigure géométrique ne remplirait que l’unedes fonctions suivantes : soit une fonctiond’illustration pour faciliter la compréhensiond’un énoncé soit un support pour desopérations commandées par leraisonnement et non pas par le contenuvisuel de la représentation2.

Cependant, et contrairement à cette opinioncommune, il est important de remarquer queles représentations figurales suggèrentou induisent des opérations qui sontinternes au contenu visuel de lareprésentation. Nous nous limiterons ici àun exemple très simple. Le dessin d’unquadrilatère concave induit plusieurstransformations visuelles possibles, commeon peut le voir ci-dessous :

C. Complémentation

figurative ou iconique

A. Deux complémentations

successives

B. Partage symétrique

Figure 6. Trois transformations visuelles possibles d’une forme polygonale concave

Relime 62

La transformation A se fait parcomplémentation. Cette transformation résulteautomatiquement des lois d’organisationperceptive qui conduisent à voir les formesconcaves dans leur enveloppe convexe.Ainsi un quadrilatère concave estspontanément transformable en unassemblage de trois triangles. Cettetransformation ne doit pas être confondueavec une règle essentielle pour lespropriétés affines d’une figure: joindre tousles points singuliers (sommets) d’une forme,règle dont la mise en œuvre visuelle n’estjamais évidente comme on peut le vérifieravec les quadrilatères convexes, surtout s’ils’agit de faire apparaître les droites qui sontles supports des segments tracés (Duval &Godin, 2005). La transformation B résultede la reconnaissance d’une organisationsymétrique.

On remarquera que ces deux types detransformation ne dépendent ni d’uneinterprétation fondée sur une ressemblancepartielle ou complète avec quelque chosed’autre, ni d’une interprétation en termesd’objets représentés. Le recours à des

propriétés mathématiques sert seulement àles justifier.

Il n’en va pas de même avec la transformationC. Elle se fait en fonction d’une ressemblancedu contenu avec un objet extérieur del’environnement : une flèche, une lance, laforme concave du quadrilatère étant ici miseen rapport avec celle d’une partie de la formetypique d’une lance. La transformation C se faitévidemment sur la base de connaissances.

Ce sont des transformations de type A ou Bqui constituent l’enrichissement intuitif desfigures en géométrie. Elles sontindépendantes de toute analyse des figuresen termes de propriétés . Elles dépendentd’abord de facteurs propres à lavisualisation. Il n’est peut-être pas inutilede rappeler ici que la géométrie fait appel àau moins deux types de représentationhétérogène et que chaque type dereprésentation y fonctionne indépendammentl’un de l’autre. Sinon pourquoi mobilisersimultanément deux représentationshétérogènes ?

Registre de la visualisation :un jeu de réorganisations

visuelles selon la forme ou selonle nombre de dimension desunités figurales reconnues

ARTICULATIONpar le codage dessommets avec des

lettres

Quels éléments desénoncés permettent

un ancrage dans lavisualisation ?

Quelle fonction rem-plit la figure par

rapport à l’énoncé et àla résolution du

problème :—illustration ?—heuristique ?

— objet support pourdes mesures ?

Registre du discours :mise en œuvre d’énoncés de

propriétés et de dérivation déductivedes énoncés

Enoncé du problème :

A’C’ et AC sont parallèlesA’B’ et AB sont parallèlesB’C’ e BC sont parallèles

Prouver que A est le milieu de B’C’

ABED et BCED sontdes parallélogrammes.

le théorème des milieux

Figure de départ

Figure 7. Analyse sémiotique des représentations géométriques (Duval 2005, p. 29)


L’un des points décisifs de l’enseignement dela géométrie porte sur la prise en compte desfacteurs qui favorisent l’entrée des élèves dansle jeu cognitif complexe de toutes lestransformations des représentations figurales(Duval 1995b, 2005).

2.3 Transformations sémiotiques etdémarches de pensée

Les théories du signe reposent, implicitementou explicitement, sur l’idée que les signesremplissent d’abord une fonction decommunication et qu’elles fournissentsecondairement une représentation d’appuipar rapport à la pensée et à ses démarches.Cette idée est d’ailleurs reprise dansbeaucoup d’études sur le rôle et l’usage dessignes en mathématiques (Kaput 1987). Or,c’est cette idée qu’il faut remettre en causesi l’on veut analyser et comprendre le rôledes signes en mathématiques. Enmathématiques, les signes ne remplissentpas d’abord et essentiellement une fonctionde communication mais une fonction detraitement. Condillac (1982) semble être lepremier dans l’histoire à avoir mis l’accentsur cette fonction fondamentale des signes.Et les mathématiques sont le domaine deconnaissances où l’on utilise le spectre leplus étendu et le plus hétérogène dereprésentations sémiotiques. Mais, commenous avons pu le voir avec les deuxexemples précédents, cela se fait toujours

en fonction des opérations de transformationque chaque type de représentation rendpossible. Et là, nous devons distinguer deuxgrands types d’opérations :

— celles qui sont externes aux élémentsutilisés, les représentations étant alors despseudo objets que l’on peut manipulerlibrement, et ce sont seulement le résultatd’une opération déjà faite qui peut êtremarqué. Ici on peut séparer et opposer lesreprésentations et les actions (« perceptivo-gestuelles » selon l’expression de G.Vergnaud), comme cela se fait dans lathéorie piagétienne.

— celles qui sont intrinsèques etspécifiques au système de représentationsémiotique, comme avec les écrituresnumériques de position, l’écriture algébriqueet ou les représentations figurales engéométrie. Ici on ne peut plus opposer lesreprésentations et les opérations. Car il y ades opérations sémiotiques et il y a desopérations qui ne sont possibles quesémiotiquement. Et toutes les opérations etles transformations mathématiques sont dece type. Les démarches de penséemobilisent toujours un type issu desmultiples types possibles de représentationsémiotique. En mathématiques, elles enmobilisent plusieurs à la fois, même si unseul occupe le devant de la scène.

On peut résumer cela dans le tableau suivant :

Figure 8. Les différents types de transformations sémiotiques.

Transformation d’une représentation en une autre du même genre par des OPÉRATIONS

Externes aux signes prisisolément

Marques unités

Opérations de reconfiguration portant surdes formes ou sur des positions

Spatialcontinu

Figures engéométrie

discret

Système numériquede position

Opérations discursives dans unelangue naturelle ou formelle

Sémantique(référence àdes objets)

Syntaxique Formationd’expression et

d’énoncésEcriture algébrique

(ouverte à l’intégration dequantificateurs)

Dépendant de principes d’organisation d’un système sémiotique

Relime 64

Lorsque les transformations sont externesaux signes utilisés, c’est-à-dire lorsque cesderniers ne remplissent qu’une fonction desupport, elles peuvent être réaliséesmatériellement d’une manière équivalenteà une transformation symbolique. Enrevanche, si certaines transformationssémiotiques peuvent être reproduitesmatériellement, elles deviennentcependant très vite impossibles à réaliser,non seulement pour des raisons de coûtmais surtout parce qu’elles ne sont pasconcevables en dehors de lareprésentation symbolique qui les permet.On peut d’ailleurs remarquer qu’il n’y asouvent aucune congruence entre laréalisation matérielle d’une opération et saréalisation symbolique. C’est l’une desdifficultés, dans la représentation desnombres, lors du passage des marquesunités au système décimal. Et c’est aussil’une des difficultés en géométrie oùl’articulation des énoncés avec les figuresexige la déconstruction dimensionnelle desformes visuelles reconnues (Duval, 2005).

De la représentation iconique ou matérielledes petits nombres à leur représentationsystématique dans une écriture décimale,binaire, etc., le saut sémiotique et cognitifà faire est considérable. Mais ce n’est làqu’un exemple parmi d’autres de ce quiconstitue l’obstacle spécifique àl’apprentissage des mathématiques :passer d’un type de représentationsémiotique à un autre.

III. LE PASSAGE D’UN TYPE DEREPRÉSENTATIONS SÈMIOTIQUES A

UN AUTRE : PROBLÈME CLÉ DEL’APPRENTISSAGE.

Le phénomène le plus importantconcernant les représentations est qu’il n’ya pas une seule représentation pour unobjet, comme pourrait le laisser croire la

définition fonctionnelle (Figure 1), mais unetrès grande diversité de représentationspossibles pour un même objet. On connaîtla célèbre photo intitulée « une et troischaises ». Celle-ci juxtapose, dans unmême montage, une chaise, une photo decette chaise et la description verbale decette chaise. Mais un autre montage auraitpu tout aussi bien permettre de faire unephoto « une et cinq chaises » en ajoutantdes schémas ou un plan de montage dela chaise à partir de morceaux livrés enkit. En réalité, i l y a autant dereprésentations possibles d’un objet qu’ily a de systèmes différents producteurs dereprésentations (Duval, 2006b). Et celavaut aussi bien pour les représentationsnon sémiotiques que pour lesreprésentations sémiotiques. Le problèmecognitif que pose cette diversité dereprésentations possibles est celui de lareconnaissance du même something else(ou aliud aliquid ), c’est-à-dire du mêmeobjet, dans les contenus différents dechacune de ses multiples représentationspossibles.

Ce problème est crucial pourl’apprentissage des mathématiques dontla situation épistémologique est totalementdifférente de celle des autres disciplines.En effet, dans les autres domaines deconnaissance, les objets et lesphénomènes étudiés sont accessiblesperceptivement ou à l’aide d’instruments(microscope, télescope, etc..) quiaugmentent soit le champ de la perceptionsoit les capacités de détection (les sondesspatiales pour cartographier la planèteMars). On peut alors ancrer chaque typede représentation dans une expérienceperceptive directe ou instrumentalementmédiatisée. Cela n’est pas possible pourles mathématiques. Car les objetsmathématiques ne sont pas accessiblesperceptivement et, en mathématiques,l’attention se porte toujours sur tous les cas


possibles et non pas seulement sur ceuxqui sont réellement observés ouobservables. L’accès aux objetsmathématiques passe nécessairement pardes représentations sémiotiques,rudimentaires ou complexes. C’est danscette situation épistémologique trèsparticulière que le problème cognitif dela diversité des représentationssémiotiques devient crucial .

Rappelons tout d’abord l’un desphénomènes les plus caractéristiques del’activité mathématique : la mobilisation,simultanée ou successive, de plusieurstypes de représentations sémiotiques y estconstante. D’une part, toute activitémathématique exige que l’on puisse passerd’un type de signe et de représentation àun autre type, c’est-à-dire que l’on puisseconvertir la représentation d’un objet enune autre représentation du même objetdans un autre système sémiotique, afin dese donner d’autres moyens de traitementou de contrôle. D’autre part, la pratique del’enseignement des mathématiques tend àjuxtaposer des représentationssémiotiques différentes comme si celadevait rendre l’accès aux objetsmathématiques plus facile. Il suffit d’ouvrirn’importe quel manuel à n’importe quellepage pour le constater. Et le recours àl’informatique permet de développer cettestratégie.

Or, tout cela présuppose que les élèvespuissent comprendre ce passage d’un typede représentation à un autre, et surtoutcomprendre comment il se fait. Car, commentreconnaître que deux représentations, dontles contenus sont différents , puissent être

deux représentations du même objet, si onn’a pas la possibil ité d’avoir uneexpérience de cet objet en dehors de cesdeux représentations? On peut se référerà une autre troisième représentationsupposée plus familière. Mais, c’estsimplement déplacer le problème. Là, setrouve le seuil de compréhension quebeaucoup d’élèves ne franchissent pas.

Il ne s’agit pas, ici, de présenter lesméthodes d’observation et les résultats quimettent en évidence la relation entre leséchecs pour passer d’un type dereprésentation à un autre et les difficultésrencontrées par les élèves enmathématiques (Duval 1996, 2006a).L’intérêt d’une approche sémiotique estplus théorique. Il est d’analyser commentfonctionne chacun des systèmessémiotiques utilisés en mathématiques etd’expliciter le saut cognitif considérableque le passage de l’un à l’autre exige. Celaest important pour comprendre lacomplexité des apprentissages. Car, quelsque soient les contenus et les objectifsvisés, l’enseignement des mathématiquesimplique nécessairement l’introduction denouveaux types de représentation et ilexige que les élèves puissent passerspontanément de l’un à l’autre.

Pour illustrer les sauts existant entre dessystèmes de représentation hétérogène,sauts qui sont au cœur des tâchesmathématiques demandées aux élèves,nous pouvons garder l’exemple desdifférents types de représentation desnombres (Figure 5). Ce qui est demandéaux élèves peut alors se traduire dans lestrois séries de flèches suivantes :

Relime 66

Figure 9. Ruptures sémiotiques dans la représentation des nombres et/ou des grandeurs.

3.1 Des dessins schématisant desobjets matériels jusqu’à l’écriture

algébrique : un ordre d’introductionprogressif aveugle aux ruptures ?

Les passages représentés par les flèches(1) (2) et (3) dans le tableau ci-dessus sontsouvent considérés comme un ordre, aussibien génétique qu’historique, d’apparition.C’est un tel ordre que l’enseignement suitde la Maternelle jusqu’au début du Collège.Or, c’est évidemment le passage (3) quiretient le plus l’attention en raison du passagede l’arithmétique à l’algèbre, tandis que lepassage (2), celui de marques unitésmanipulables comme des objets matériels àun système d’écriture de position, n’est pasconsidéré comme un saut sémiotiqueimportant parce qu’il s’agirait toujours desmêmes objets, les nombres entiers !Pourtant, ce changement de représentationaffecte le sens des opérations3, car il introduitdes algorithmes d’opérations qui n’ont plus

Il y a deux types d’interprétation des signes mathématiques qu’il est capital de ne pas confondre. L’un est interne aux

démarches mathématiques et l’autre concerne l’application d’opérations ou de modèles mathématiques à des situations

de la réalité physique, économique ou quotidienne, dont il faut sélectionner des données (Duval, 2003). En ce sens, il y a

une sémantique mathématique et une sémantique commune, celle correspondant à la pratique commune du langage et

à la culture d’un milieu ou d’une société. Pour pouvoir justifier les mathématiques, l’enseignement tend à rabattre la

sémantique mathématique sur la sémantique commune ! Cela se révèle catastrophique pour l’analyse des problèmes

d’apprentissage. Car nous sommes là devant deux types de problèmes très différents.

3

rien de commun avec des manipulationslibres sur des marques unités. Et il marquecomme une première ligne d’arrêt, souventmasquée par une fausse familiarité avecl’usage culturel du système décimal dansl’apprentissage des mathématiques.

Voici deux exemples de difficultés classiqueset récurrentes auxquelles l’apprentissage seheurte. Ceux-ci soulignent la complexitésémiotique, irréductible et trop souvent sous-estimée, de la représentation décimale desnombres.

Le premier exemple est emprunté à uneenquête d’évaluation nationale sur lesdécimaux chez des adultes et porte surdes situations de la vie courante (Leclère,2000 ) :

« Les adultes que nous avons observés ontentendu ou retenu : «multiplier par 10, c’estrajouter un zéro! »

TYPES DEREPRÉSENTATION

DESNOMBRES

Passages d’untype à un autre

Etcoordination

cognitive

I. Des dessinsschématisantdes d’objets

(1)

Pas de principesd’organisation pour

l’emploi des marques

II. Des marquesunités formellement

indiscernables

(2)

?

Des principes d’organisationdéterminent l’EMPLOI des

signes et leurs COMBINAISONSen unités de sens (expressions)

III. Des systèmesd’écriture de

position

(3)

(5)(5bis)

?

IV. Notationsalgèbriques

(4)

?


— 10 forets à 25,99 F cela fait combien ?

— Combien exactement ?

— Combien ?

— à peu près 300 balles!

— Je vais faire l’opération

— 250, 99 ! peut-être plus !

sait faire 25 x 10 et 30 x 10 maisne voit pas

25,9 proche de 26

(et donc ne fait pas 26 x 10)

Figure 10. Exemple d’incompréhension typique du système de la représentation décimale desnombres

Avant de résulter d’une incompréhensiondes nombres décimaux, cet exemplemontre une incompréhension du systèmede représentation des nombres. En effet,ce qui a été retenu par ces adultes reflèteune double déficience : d’une part, le nonaccès au principe d’organisation del’écriture, dont la règle retenue n’est qu’unedescription partielle et, d’autre part, la nonarticulation de l’écriture numérique avecl’énonciation orale des nombres, utiliséepar ailleurs sans erreur pour estimer lesordres de grandeur des prix familiers !

Le deuxième exemple montre que lerecours à un type de représentation plus

familier ne constitue pas nécessairementune aide pour entrer dans un autresystème. Car cela soulève deuxquestions. La première est celle de lacongruence entre les deux types dereprésentations. La seconde est celle desavoir si on peut articuler, par exemple,une représentation concrète ou iconiqueet une représentation symbolique. Dansle cadre de l ’apprent issage de lamultiplication, le problème suivant a étéprésenté : Madame Dubois a acheté 5tablettes de chocolat à 7 francs l’une.Combien a-t-elle dépensé ?». Les troistypes de réponses ont été observées(Brissiaud 1995 ,15).

Figure 11. Quelle articulation entre deux types de représentation ?

7f. 7f. 7f. 7f. 7f.

7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35

Elle a dépensé 35 F.

5

2

Elle a dépensé 7 Francs

Sébastien Mélanie Cécile

7 x 5 = 35

Elle a dépensé 35 F.

Relime 68

Les deux premières productions utilisentsimultanément des dessins schématisantdes objets et l’écriture décimale desnombres. Or, le recours à lareprésentation iconique d’une quantitéconduit à des productions différenteschez Sébastien et chez Mélanie.

Chez Sébast ien, la représentat ioniconique d’une quantité est mise encorrespondance avec les prix unités. Or,il est important de voir que ce type dereprésentation iconique impose quasinécessairement l’opération additive !Chez Mélanie, la représentation iconiqued’une quantité induit une opération deregroupement des images schématiséesde tablettes et cette opération estmarquée par un encerclement (2.1.1).Cela conduit à une impasse sémiotiquecar aucune correspondance pertinentene peut plus alors être établie avecl’écriture numérique des nombres.

Ces deux exemples montrent que lepassage d’une représentation iconiquedes nombres par des marques unités àla représentat ion par un systèmed’écriture de position constitue peut-êtreun saut analogue à celui del’apprentissage de la lecture. Et pour lesdifficultés qui apparaissent à travers cesexemples, on pourrait ici presque parlerde dif f icul tés d’alphabétisat ionnumérique . En revanche, les difficultésd’entrée dans l’algèbre sont d’une touteautre nature : elles concernent la maîtrised’un langage, à commencer par lesopérations discursives de désignation(Duval, 2002). Or, chacun sait que, dansle langage, ce ne sont pas les mots quiimportent mais les énoncés et, sous-jacentes aux énoncés, les opérationsdiscursives qui en construisent le sens(Duval,1995a).

3.2 De l’écriture algébrique auxdessins et aux marques unités : quelle

fonction et pour qui ?

La deuxième série de flèches (les flèchesinverses (4), (5), (5bis) de la Figure 9)correspond aux productions individuellesque l’on peut observer chez des étudiantsou dans des manuels. Celle-ci marque unretour vers des représentations pseudoconcrètes qui sont à la fois manipulableset qui correspondent à de petites quantitésque l’on peut « voir ». Ce retour peutrépondre à des besoins très différents.

Ce peut être pour des besoins de bricolage,lors d’une phase de recherche d’unproblème, ou pour des besoins devérification (Hitt, 2003). Ce peut-être aussipour un besoin de preuve. AinsiWittgenstein lui-même, voulant soulignercontre Russell la nécessité d’une synopsisdans un processus de preuvemathématique, n’hésite pas à dessiner:

||||||||||||||||||||||||||| ||||||||||||||||Puis il commente :

« Cette figure est-elle une preuve que 27+ 16 = 43 parce qu’on arrive à «27» encomptant les traits du côté gauche et à«16» quand on compte ceux du côtédroit , et à «43» quand on compte lasérie entière ?... A quoi tient l’étrange ici -quand on appelle la figure preuve de cetteproposition ? Eh bien à la façon dont ilfaut reproduire ou reconnaître cettepreuve : en ce qu’elle n’a pas de formevisuelle caractéristique... » (1983, p. 143).

Quel que soit le besoin ou la fonctionparticulière qui commande l’utilisation deces représentations qu’on peut manipulercomme des pseudo objets, cette utilisationmanifeste toujours le besoin de s’éloigner


de l’abstraction sémiotique, « aveugle »selon Leibniz, pour revenir aux chosesmêmes, ou du moins à ce qui aiderait àles apercevoir.

Cependant, il faut être ici extrêmementprudent dans l’ interprétation desutil isations faites de ce type dereprésentation. Outre la polyvalencefonctionnelle de leur utilisation, on peut sedemander si le recours à ce type dereprésentation correspond aux mêmesdémarches cognitives chez un expert etchez un élève du primaire. En d’autrestermes, le recours à ces représentationsrelève-t-il de la même compréhension chezcelui qui peut à loisir passer d’un type dereprésentation à un autre et chez celui quine peut travailler qu’avec desreprésentations pseudo concrètes ? Cettequestion est celle de la coordination entreles différents types de représentations et,donc, celle de la capacité des individus àpasser d’un type de représentation à unautre. Elle est marquée par la troisièmesérie de flèches sur la figure 9 ci-dessus.

3.3 Les difficultés intrinsèques à lacoordination des registres de

représentation et les passages d’untype de représentation à un autre.

C’est la situation épistémologique trèsparticulière des mathématiques qui rendle passage d’un type de représentation àun autre si difficile et si insaisissable pourles apprenants. En effet, enmathématiques comme dans les autresdomaines de connaissances l’exigenceépistémologique de ne jamais confondreles représentations avec les objetsreprésentés demeure (Figure 1). Mais,comment ne pas confondre lesreprésentations sémiotiques avec lesobjets représentés, lorsque ces objets nepeuvent pas être atteints en dehors de cesreprésentations?

Une chose en tout cas est certaine : lacapacité à passer d’un type dereprésentation sémiotique à un autre et lareconnaissance d’un même objetreprésenté dans deux représentations dontles contenus sont différents sont les deuxfaces d’un même processus cognitif. Deuxréactions interprétatives manifestent ceprocessus cognitif et sont d’ailleursnécessaires pour conduire une activitémathématique ou résoudre desproblèmes :

— reconnaître un même objet représentéà travers deux représentations dont lescontenus sont sans rapports entre eux,parce qu’elles dépendent de systèmesdifférents. Il s’agit ici d’unereconnaissance identifiante quipermet, par exemple pour uneprocédure de dénombrement, de jouersur au moins deux registres différents :les représentations figurales etl’établissement de suites numériques.

— reconnaître deux objets différents, àtravers deux représentations, dont lescontenus paraissent semblables, parcequ’elles relèvent du même système dereprésentation et que, d’unereprésentation à l’autre, la variation decontenu est faible. Il s’agit ici d’unereconnaissance discriminante quiconduit, par exemple, à la variation del’écriture algébrique d’une fonction linéairequand on varie la position d’une droite surun plan organisé selon des coordonnéescartésiennes, et inversement ! Mais onpourrait également prendre l’exemple desénoncés de problèmes additifs, de misesen équations, et plus généralement tousles énoncés verbaux d’application desavoirs mathématiques à des situationsnon mathématiques.

Un individu ne devient capable de ces deuxréactions que lorsqu’il a commencé à

Relime 70

développer des coordinations entre lesdifférents systèmes de représentations.

Or, il ne suffit pas que l’enseignement aitfait suivre aux élèves le parcours marquépar les flèches (1), (2), (3) dans la Figure 9et que l’on voit les élèves effectuer desretours du type (4) ou (5), pour que de tellescoordinations cognitives se soientdéveloppées et que les élèves aient acquisde réelles capacités de conversion (Duval,2006 b). Le problème qui se pose dansl’enseignement des mathématiques n’estpas de savoir de quel type dereprésentations, sémiotiques ou nonsémiotiques, seraient les productionsspontanées des élèves, ou encore quelserait le meilleur type de représentationpour les élèves, mais pourquoi les élèvesont tant de mal à passer d’un type dereprésentation sémiotique à un autre etcomment leur faire acquérir cettecapacité. Car un élève incapable de cespassages se trouve très vite durablementbloqué dans sa compréhension et sescapacités de recherche et de contrôle, pourles activités mathématiques qu’on peut luiproposer.

IV. QUELLE SÉMIOTIQUE POUR LESMATHÉMATIQUES ET POUR

L’ANALYSE DES PROBLÈMES QUESOULÈVE LEUR APPRENTISSAGE ?

Il pourrait paraître provoquant d’affirmerque la sémiotique comme science dessignes reste encore à fonder et que lesdifférentes théories des signes souffrentdes limitations du champ particulier dessignes qu’elles ont étudiés : la logique etl’interprétation adaptative des phénomènesobservés dans l’environnement avecPierce, la linguistique avec Saussure ou

encore les phénomènes de codage et detransmission d’informations avecJakobson, etc. Ces théories ont eu aumoins l’intérêt de définir cinq relationsfondamentales pour analyser ce qu’onconsidère comme eikon et non comme lecorps dont on voit le reflet (Platon,République 509e), comme signum et nonpas comme la res (Augustin, 1997), commerepresentamen et non pas simplementcomme l’objet dont il tient lieu (Peirce,1978). En réalité, chacune de ces relations,ou parfois leur composition, caractérise untype particulier de signes : image réfléchieou image imitée, signe logique oualgébrique, signe linguistique, trace, indiceou signal. La question est de savoir si toutcela constitue un apport utile et pertinentpour l ’analyse des signes enmathématiques et du rôle qu’ils jouent dansle fonctionnement de la pensée. Pourcerner cette question avec plusprécision, nous allons examiner troisquestions.

4.1 Comment situer la distinctionsignifiant-signifié par rapport à la

relation signe-objet ?

La distinction signifiant-signifié est souventprésentée comme une analyse de lastructure interne des signes. Un signeserait constitué de deux éléments : sonaspect matériel qui le rend perceptible etson aspect immatériel qui serait sasignification. Cette distinction ne doitévidemment pas être confondue avec lafonction cognitive d’évocation d’un objetabsent dont le signe tient lieu (Figure 1).Les stoïciens ont été les premiers à avoirexplicitement bien séparé les deux aspectsde la « signifiance » des signes: lasignification et la dénotation.


λεκτον

sηµαινοµενον l'entité manifestée par le signe matériel

t υγχανον la chose réelle, physique(immatériel )

σηµαινον {sonore)

Signification

Dénotation

la parole dite Figure 12. Schéma de l’analyse stoïcienne de la signifiance des signes

On peut tout de suite faire trois remarques :

— La distinction entre signifiant et signifiéne vaut que pour les signeslinguistiques, c’est-à-dire pour leslangues dont l’emploi est d’abord oralpour remplir une fonction sociale decommunication. Cela veut dire que ladistinction entre signifiant et signifiéne s’applique pas aux symbolesmathématiques ni d’ailleurs auxsignes purement graphiques, c’est-à-dire purement visuels. Car lessignes purement graphiques, à ladifférence des signes linguistiques,lesquels sont d’abord oraux avant d’êtrecodés graphiquement, ne relèvent pasd’une double articulation (supra I.6). Ilsrelèvent uniquement d’une relation deréférence qui lie un caractère à un objet,constituant ainsi ce caractère en signe.Or, cette relation de référence est établiepar une opération de désignation (supra1.2) et elle peut d’ailleurs répondre à desfonctions très différentes selon lecontexte particulier de la démarche oùcette opération de désignation esteffectuée. Il n’y a pas de signifiantalgébrique, mais seulement desnotations qui sont des signes par leurseule référence instituée à un objet

(Freudenthal 2002 ; Weyl 1994).

— La distinction signifiant-signifié nepermet pas de définir la nature dessignes comme Saussure (1973) l’amontré. On ne peut donc pas considérerle signifiant et le signifié comme deuxconstituants qui auraient chacun uneidentité ou une réalité par eux-mêmes.Les signifiants (phoniques) comme lessignifiés lexicaux ne sont déterminésque par des différences respectivementà d’autres signifiants phoniques et àd’autres signifiés à l’intérieur d’unelangue (supra 1.4). Ce n’est pas lesignifiant qui signifie mais le signe danssa totalité indivisible.

— Les signes, à la différence dessignaux ou des représentations nonsémiotiques, relèvent toujours d’unemploi intentionnel . Cela veut direqu’il ne faut pas confondre les imagesproduites intentionnellement, commepar exemple les dessins, et les imagesproduites automatiquement par le seulusage d’un appareil ou par le jeu deslois physiques (celles par exemple dela réflexion). Cela veut dire aussi que,parmi les cinq relations fondamentalespermettant de caractériser des signes,

Relime 72

la relation d’opposition alternative (1.4)et la relation de référence (1.2) sont lesrelations les plus appropriées à unemploi intentionnel. Cela estparticulièrement net pour la relation deréférence qui s’inscrit toujours dans uneopération discursive de désignation d’unobjet (individu, classe, relation, etc.).

Il apparaît donc qu’on ne peut pas mettresur le même plan la distinction signifiant-signifié, laquelle relève de la doublearticulation spécifique aux langues, et larelation signe-objet, laquelle relève d’uneopération discursive de désignation ou dedéfinition. Ce qu’on a présenté comme letriangle sémiotique (Eco 1990, p.31-33) estune illusion néfaste pour la compréhensionde ce qu’est un signe et de la manière dontil peut évoquer ou «tenir lieu». On ne peutpas fermer le schéma illustrant les deuxaspects, ou plus exactement les deuxniveaux de la signifiance des signes (Figure12) : le niveau du système sémiotiqueconstitutif d’un type de signes (par exempleune langue naturelle ou formelle) et leniveau du discours produit ou du traitementeffectué à l’aide de ce système sémiotique.

Il faut donc s’interroger sur la pertinencedu recours à la distinction signifiant-signifiéque l’on trouve dans beaucoup de travauxde didactique des mathématiques, danslesquels d’ailleurs le terme « signifié »devient vite synonyme de « concept » et leterme « signifiant » synonyme de « signe» ! Cette distinction induit un glissementd’idées qui conduit à des conclusionserronées : de l’immatérialité du signifié, onglisse à son caractère non sémiotique et,par la suite, à la nécessité de doubler lesreprésentations sémiotiques par desreprésentations mentales pures. Comme sila pensée était indépendante de tout lectonou de tout langage !

4.2 Comment distinguer, dans lavariété des signes, différents types oucatégories de signes : en fonction des

relations fondamentales ou enfonction des systèmes producteurs de

signes et de représentations ?

C’est certainement l’apport de Peirce qued’avoir mis cette question au centre del’étude des signes. Et c’est lui qui a proposéla première classification systématique dessignes. En fait, cette question de laclassification recouvre deux problèmesqu’il est important de ne pas confondre. Ily a tout d’abord celui du corpus de signeset de représentations, c’est-à-dire lechamp d’observation à partir duquel onétablit la classification. Il y a ensuite leproblème des critères ou des principes quel’on retient pour établir la classification.

4.2.1 Quelle diversité de signes et dereprésentations sert de base à l’étude

des signes et des représentations?

Il faudrait ici produire un corpusd’exemples. Nous ne pouvons iciqu’évoquer la variété des signes et desreprésentations que l’on met sous les mots« image » et « symbole », ce qui rendl’emploi de ces termes problématique ouéquivoque.

Ainsi le mot « image » peut recouvrir nonseulement des dessins schématisés oudes « copies » (Figure 2) mais égalementdes reflets dans un miroir ou encore lesproductions du rêve, les souvenirs visuels.C’est sur la base de ce type d’images quePlaton a élaboré son analyse de lareprésentation. Le développementtechnologique est venu élargir encore cettegamme avec les photos argentiques et lesphotos numériques. Quoi de commun entretous ces types d’images ?


Le mot « symbole » est employéégalement pour une variété considérablede signes : les notations mathématiques,les sigles, et même des fragments del’objet représenté. Peut-on aussi l’utiliserpour caractériser les mots de la langue ?L’opposition « antithétique », soulignéepar Benveniste (1974), entre l’approchede Peirce et celle de Saussure, vient dece que le premier avait cherché à prendreen compte la diversité des signes, aurisque de perdre la spécificité des languesnaturelles, et que le second s’était aucontraire limité à la langue en en faisantle système sémiotique par excellence,c’est-à-dire celui dont les autres pouvaientêtre dérivés. Mais qu’y a-t-il de communentre les mots d’une langue et lesnotations mathématiques ?

Si maintenant nous regardons lesmathématiques, nous sommes devant unesituation encore plus complexe, car lesmathématiques utilisent une gamme trèsétendue de signes et de représentations.

Il y a, d’une part, tous les types de signesprogressivement créés pour le calculnumérique et algébrique, mais il y aégalement les figures en géométrie, quipeuvent ressembler à des dessinsschématisés, mais qui ne le sont pas, et ily a aussi tous les graphes et enfin la languenaturelle qu’il ne faut pas oublier. Car lalangue naturelle continue de jouer un rôleessentiel en mathématiques: sans elle, ilne pourrait pas y avoir d’énoncés, c’est-à-dire de définitions, de théorèmes ou mêmed’énoncés de problème.

4.2.2 Selon quels critères distinguer etclasser la variété des signes et des

représentations ?

Pour classer la variété des signes, Peircea pris comme critères deux des cinqrelations fondamentales que nous avonsdistinguées plus haut : la relation deressemblance (1.1) et la relationcause effet (1.3.1 ). Avec ces deuxrelations, i l a établi la partit iontrichotomique suivante :

Contenu du

representamen

ICONES SYMBOLES INDICES

OUI NON

Objet

représenté

Effet

observéCause

RESSEMBLANCE CAUSALIT É

OUI

Figure 13. Partition trichotomique des signes selon Peirce

On remarquera qu’il n’y a pas de rapport entre les deux relations retenues par Peirce.En effet, dans la première relation, les signes et les représentations sont caractériséscomme étant des representamen à partir de leur seul contenu. Dans la seconde relation,les signes et les représentations sont considérés comme étant le résultat, ou l’effet duphénomène ou de l’objet qu’ils évoquent. Ce peut être un effet direct comme la fumée.Mais ce pourrait être aussi bien un effet indirect médiatisé par un système physique (un

→

Relime 74

appareil photo) ou neurophysiologique (lamémoire visuelle). De toute manière, laclassification de Peirce se limite àjuxtaposer ces deux relations hétérogènes.

Pour notre propos, la principale questionn’est cependant pas là. Elle est de savoirsi cette trichotomie est suffisammentdiscriminante pour être utilisée dansl’analyse des productions mathématiques.Par exemple, le recours à la notion d’icône,fondée sur la relation de ressemblance,permet-elle de distinguer les différencesentre les figures schématisées qui peuventévoluer vers des marques unités (Figure2, 4 et 5), les figures figuratives (Figure 2)et les représentations visuelles de lagéométrie (Figures 3, 6 et 7) ? Le recoursà la notion de symbole, permet-il dediscriminer entre les systèmes d’écrituredes nombres, les symboles algébriques oulogiques, et les mots d’une langue (Figure4, 5 et 12) ? D’une manière plus générale,cette partition trichotomique permet-elle deprendre en compte les signes quidépendent d’un système producteur, c’est-à-dire de principes d’organisation générantdes règles de formation et une syntaxe4, etles marques qui sont des supports pour desopérations libres ou encore qui sontseulement la trace d’une opération faite ?Cette question n’a rien de général et devague. Peut-on, par exemple, appliquer lacatégorie d’indice pour désigner le recoursà des lettres marquant une opérationdiscursive de désignation et répondant àune fonction d’abréviation (Radford,1998) ?

La tentative de la classification des signespermet donc de formuler un problèmethéorique fondamental pour la sémiotique :

4 Rappelons que le principe de position de l’abaque génère une règle de composition des signes qui permet de désigner

systématiques et sans confusion n’importe quel nombre entier, la seule limitation étant celle du coût temporel et spatial.

En ce sens le principe de position de l’abaque génère un ébauche de syntaxe.

les relations fondamentales pour l’analysedes signes, peuvent-elles être des critèrespertinents et discriminants pour établir uneclassification des signes utilisable enmathématiques ? Il semble qu’aucunethéorie sémiotique cohérente ne soitsusceptible d’articuler ensemble lesdifférentes relations fondamentales qui ontété mises en évidence de Platon àSaussure. Il semble en outre, que cesrelations ne permettent pas de prendre encompte ce qui est pourtant essentiel pourl’activité et la pensée mathématiques : latransformation des représentations (supra II).

En réalité, si l’on veut classer les signes, ilfaut partir d’un tout autre point de vue : celuides systèmes qui produisent lesreprésentations. La variété desreprésentations vient de la diversité dessystèmes producteurs de représentations,ainsi que nous l’avons déjà suggéré plushaut à propos de la photo intitulée « une etn chaises ». Car il y a autant de types dereprésentations possibles qu’il existe desystèmes différents pour les produire. Cesont donc moins les représentations qu’ils’agit de classer que les systèmespermettant de les produire (Duval, 1999).Ces systèmes peuvent être :

— de nature physique (reflets,photographies) ou neurophysiologique(images oniriques, souvenirs visuels...) :dans ce cas, la relation est une relationde causalité et le mode de production nedépend pas de l’intention du sujet maisdes propriétés du système qui produit lareprésentation. En retenant la relation effetobservé cause, Peirce s’en est tenuaux seuls systèmes physiques commesystèmes producteurs de représentation.

→


— de nature sémiotique : dans ce cas, larelation est une relation de référence etla production est une productionintentionnelle, c’est-à-dire opérant deschoix dans la production desreprésentations qui impliquent uneélaboration combinant des unités desens. Il est surprenant que l’on ait peuou pas du tout prêté attention au fait queles systèmes sémiotiques sont aussides systèmes producteurs dereprésentation. Cela est pourtantfrappant en mathématique, ne serait-cequ’avec les systèmes de numération !Mais, c’est aussi frappant avec leslangues naturelles. L’oublier, c’estoublier toute la création littéraire etpoétique.

En ce qui concerne les mathématiques, cesont évidemment les systèmessémiotiques qui sont intéressants, et nonpas les systèmes de nature physique ouorganique. On peut alors classer lessystèmes sémiotiques en prenant encompte deux aspects : d’une part, selonqu’ils permettent, ou non, des traitementsalgorithmiques et, d’autre part, selon qu’ilssont multifonctionnels ou monofonctionnels.Nous obtenons ainsi quatre grandesclasses de registres de représentationutilisées en mathématiques (Duval 2003 ;2006a p.110). Elles permettent, enparticulier, de voir que la géométriemobilise au moins deux types totalementdifférents de représentations. Cetteclassification permet de mettre enévidence les deux grands types detransformations des représentations, c’est-à-dire les conversions et les traitementsqui font la dynamique de toute activitémathématique (Figures 7 et 9) ainsi queles variables cognitives qui jouent dansl’apprentissage des mathématiques.

4.3 L’analyse des signes et dessystèmes sémiotiques, peut-elle être

entièrement subordonnée à lafonction remplie par les signes dans

un contexte déterminé ?

Cette question touche le problème desrapports entre une analyse fonctionnelledes signes et une analyse structurale. Ilfaut reconnaître que, dans la plupart destravaux, hormis ceux qui prennent encompte l’apport de Saussure, l’analysedes signes est faite en leur assignant uneou plusieurs fonctions, sans que ni uneanalyse structurale du fonctionnementpropre à chaque type de représentationni une étude systématique de leursfonctions possibles (Duval, 1999) n’aientréellement été faites. Ainsi, pour lalangue naturelle, c’est la fonction decommunication qui est immédiatementretenue. Mais, lorsqu’ i l s ’agi t desnotat ions algébriques, on fai tévidemment appel à d’autres fonctions :

— abréger, faire court, non seulement poursoulager la mémoire mais égalementpour appréhender le plus grand nombrede signes (et donc d’objets) dans unseul acte de pensée. En d’autrestermes, i l s’agit de transformerl’appréhension successive d’uneséquence en une appréhensionsimultanée. Cette fonctiond’économie cognitive, qui a étéexplicitée pour la première fois parDescartes, tient essentiellement comptedes limitations des capacités del’intuition et de la mémoire (supra 2.1.3).Mais, cette fonction d’économiecognitive ne peut réellement être miseen œuvre que dans une productionécrite des signes, et non pas dans laparole.

Relime 76

— pouvoir effectuer des substitutions designes entre eux. C’est la fonctionmathématique de traitement que lessignes doivent remplir pour permettred’effectuer des calculs. Et la puissancede calcul dépend évidemment dusystème sémiotique utilisé.

Il y a bien d’autres fonctions que nousn’allons pas prendre en compte ici. Celasuffit pour soulever les deux problèmessuivants en nous limitant aux seulesfonction de communication et detraitement.

4.3.1 Un même système sémiotiquepeut-il remplir des fonctions

hétérogènes ?

Le langage, c’est-à-dire l’expression dansun langue naturelle, répond prioritairementà une fonction sociale de communication.C’est à ce titre que l’on oppose souventles mathématiques et le langage.Cependant, la langue naturelle est aussiutilisée, par exemple en géométrie, poureffectuer des démarches mathématiquesqui vont permettre de remplir une fonctionde preuve : pour définir, pour énoncer desthéorèmes, pour déduire. Ce changementde fonction dans l’utilisation de la langueentraîne un changement, souvent nonremarqué, dans les opérations discursivesqui vont être privilégiées (Duval, 1995a).La difficulté de l’utilisation de la languenaturelle en mathématiques tient au faitqu’un changement de fonction dans sonutilisation entraîne un autre type defonctionnement du discours. Et, le plussouvent, ce changement de fonction nepeut se faire qu’en passant d’une modalitéd’expression orale à une modalitéd’expression écrite. Car la pratique oralede la langue ne permet pas de remplir lesmêmes fonctions que sa pratique écrite(Duval 2000, 2001). C’est là une sourceprofonde, et souvent niée, d’équivoques

dans l’enseignement des mathématiquesentre les enseignants et leurs élèves(Duval, 2003).

On pourrait faire des remarques analoguesà propos des fonctions très différentes quel’on fait remplir aux figures géométriques(Duval, 2005).

Au contraire, les systèmes que nous avonsappelés « monofonctionnels », comme lessystèmes de numération ou le symbolismemathématique constitutif des langagesformels, ne permettent de remplir qu’uneseule fonction, celle de traitement.

4.3.2 Quel est le degré de liberté del’interprétant dans la signification des

signes ?

Ce qui est le plus souvent cité, et retenu,de la définition des signes proposée parPeirce est la relation des signes à uninterprétant : « Un signe ou representamenest quelque chose qui tient lieu pourquelqu’un de quelque chose ». Cetterelation, que nous n’avons pas retenueparmi les relations fondamentales, est, eneffet, très générale et son utilisation dansl’analyse des productions requiert que l’onprenne en compte deux facteursimportants.

Le premier facteur est le type dereprésentation. Nous avons vu, parexemple, qu’il y avait deux grands types dereprésentation des nombres (Figure 4 etFigure 5). Lorsque la représentationdépend d’un système de numération,comme, par exemple, le système décimal,l’interprétant n’a aucun degré de liberté. Enrevanche, s’il s’agit de marques unités,l’interprétant dispose de tous les degrés deliberté qu’il souhaite puisque lesreprésentations lui servent seulement desupport externe pour des manipulationslibres.


Le deuxième facteur est la situation del’interprétant : est-il lui-même en situationde production, comme dans un travail derecherche, ou est-il en situation deréception, comme dans l’écoute ou lalecture d’une explication ? Dans lapremière situation, la relation del’interprétant aux signes varie selon qu’ilproduit les représentations pour lui-même,c’est-à-dire pour explorer, pour contrôler,pour mieux prendre conscience ou, aucontraire, selon qu’il produit lesreprésentations pour les autres, c’est-à-dire pour communiquer. Dans la premièresituation, c’est la fonction que l’interprétantassigne aux signes qu’il produit lui-mêmequi détermine leur critère d’interprétation.Dans la seconde situation, l’interprétant n’aque le contexte global de la communicationqui lui sert alors d’appui pour comprendre.C’est dans cette situation particulière qu’uneapproche pragmatique des signes devientplus essentielle qu’une approchesémantique ou syntaxique. Historiquement,l’intérêt de la relation à l’interprétant qui estmentionnée dans la définition de Peirce estd’avoir ouvert une approche pragmatiquedans l’analyse des productions sémiotiques.Mais, une telle approche peut-elle être miseau centre d’une analyse sémiotique del’activité et des productions mathématiques ?

CONCLUSION

L’analyse de signes se fait toujours parrapport au type d’activité pour lequel laproduction et la transformation dereprésentations sémiotiques s’avèrentnécessaires. Pour ne pas se trouver tropretreintes dans leur champ de validité etd’application, les théories du signe ontdonc cherché à s’appuyer sur les formesd’activités les plus communes et, donc lesplus générales : la communication,l’interprétation adaptative des phénomènesde l’environnement, ou, en psychologie, la

dualité de ces modes de la représentationque sont l’image et le langage, et plusrécemment les transmissions del’information avec leur traitementnumérique. Mais toutes ces théoriesrestent en deçà de la complexité et de lavariété des représentations sémiotiquesqui sont mobilisables dans l’activité et lesproductions mathématiques.

L’originalité de l’activité mathématique parrapport à tous les autres types d’activitéest double. D’une part, ce sont lesmathématiques qui utilisent le spectre leplus étendu de représentationssémiotiques et elles ont même contribué àl’enrichir. Mais, elles le font toujours avecla même exigence : utiliser les possibilitésde transformation que chaque type designes ou de représentation peut offrir demanière spécifique. Et cela, pour desraisons heuristiques, pour des raisons desimplification ou d’économie, pour desbesoins de contrôle, pour augmenter lapuissance de traitement, etc. D’autre part,les objets de connaissances mathématiquessont indépendants des représentationsutilisées pour y accéder ou pour les utiliser.Ce qui rend tel ou tel type de représentationsémiotique, localement ou momentanémentnécessaire, c’est la fonction que ce type dereprésentation permet de remplir : fonctionheuristique, fonction de contrôle, fonction detraitement. La variété des types de signesmobilisés dans les productionsmathématiques reflète la variété desdémarches de pensée à accomplir dans uneactivité mathématique. C’est pourquoi unesémiotique prenant en compte la variété desreprésentations sémiotiques mobilisées enmathématiques reste peut-être encore àfaire ! Mais, pourquoi alors une approchesémiotique ?

Nous touchons là au paradoxe cognitif desmathématiques. Les objets deconnaissances mathématiques ne sont

Relime 78

accessibles que par le moyen dereprésentations sémiotiques, mais ils nepeuvent jamais être confondus avec lesreprésentations sémiotiques qui permettentde les atteindre et de les utiliser. Commentalors reconnaître les mêmes objets dans lavariété de leurs représentations possibles ?C’est évidemment ce paradoxe qui est aucœur des difficultés que les élèvesrencontrent dans l’apprentissage desmathématiques, paradoxe qui n’existe pasdans les autres domaines de connaissance.

En outre, il faut rappeler que l’enseignementdes mathématiques ne se limite pas àintroduire des concepts selon uneprogression planifiée dans un curriculum. Ilintroduit aussi de nouveaux systèmes dereprésentations sémiotiques, en mêmetemps qu’il introduit une autre mode defonctionnement cognitif dans les systèmesculturellement communs des images et dulangage. L’analyse des différentes tâchesimpliquées dans les activités proposées aux

élèves et dans la résolution de problèmesne peut pas faire l’impasse sur la variété desreprésentations sémiotiques à mobiliser. Leparadoxe cognitif des mathématiques ne peutêtre résolu par les élèves que par unecoordination de tous les registres dereprésentation mobilisables dans l’activitémathématique. Les passages d’un registreà un autre, qui sont ce qu’il y a de plus difficile,ne deviennent possibles pour les élèvesqu’avec le développement d’une tellecoordination.

Ne prendre en compte dans l’enseignementni ce paradoxe cognitif ni la complexitécognitive d’une mobilisation simultanée ousuccessive de types de signes hétérogènes,qui est pourtant inhérente à l’activitémathématique, c’est prendre le risqued’égarer la plupart des élèves dans ce qu’onpourrait appeler, en prolongement desréflexions de Leibniz sur «ce qui embarrassenotre raison», le troisième « labyrinthe », celuides représentations sémiotiques.

REFERENCE LIST

Augustin, (saint) (1997). De Doctrina Christiana. Paris: Institut d’Etudes Augustiniennes.

Belmas, P. (2003). Apprentissage de la proportionnalité et symbolisations chez des élèvesen échec scolaire de SEGPA. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 8, 167-189.

Benveniste, E. (1974). Sémiologie de la langue. In Problèmes de linguistique générale,2, (pp. 43-66). Paris: Gallimard.

Bessot, D. (1983). Problèmes de représentation de l’espace. In Enseignement de laGéométrie, Bulletin Inter-IREM , 23, 33-40.

Boysson-Barides, B. (1999). Comment la parole vient aux enfants. Paris : Odile Jacob.

Bresson, F. (1987). Les fonctions de représentation et de communication. In J. Piaget,Mounoud & Bronckart (Eds.), Psychologie (pp. 933-982). Paris: Encyclopédie de laPléiade.


Brissiaud, R. (1995). J’apprends les maths, CE2. Paris : Retz.

Condillac (1982 (1798)). La langue des Calculs. Lille: Presses universitaires de Lille.

Deledicq, A. (1979). Mathématiques 4ème. Paris: Cédic.

Ducrot, O. (1972). Dire et ne pas dire. Paris: Hermann.

Duval, R. (1995a). Sémiosis et Pensée humaine. Berne: Peter Lang

Duval, R. (1995b) Geometrical Pictures : kinds of representation and specific processing.In R. Sutherland & J. Mason (Eds.), Exploiting Mental Imagery with Computers inMathematics Education (pp. 142-157). Berlin: Springer.

Duval, R. (1996) «Quel cognitif retenir en didactique des mathématiques ?», Recherchesen Didactique des Mathématiques, 16(3), 349-382.

Duval, R. (1998). Signe et objet : trois grandes étapes dans la problématique des rapportsentre représentation et objet. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 6, 139-163.

Duval, R. (Ed.) (1999). Conversion et articulation des représentations analogiques. Lille:I.U.F.M. Nord Pas-de-Calais, D.R.E.D.

Duval, R. (2000). Ecriture, raisonnement et découverte de la démonstration enmathématiques, Recherches en Didactique des Mathématiques, 20(2), 135-170.

Duval, R. (2001). Pourquoi faire écrire des textes de démonstration. In E.Barbin, R.Duval,I. Giorgiutti, J.Houdebine, C. Laborde (Eds.), Produire et lire des textes de démonstration(pp.183-205). Paris : Ellipses.

Duval, R. (2002). L’apprentissage de l’algèbre et le problème cognitif de la désignationdes objets. In Ph. Drouhard & M. Maurel (Eds.) Actes des Séminaires SFIDA 13-16,Volume IV 1901-2001 (pp.67-94) Nice: IREM.

Duval, R. (2003). Décrire, visualiser, raisonner : quels « apprentissages premiers » del’activité mathématique ? Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 8, 13-62.

Duval, R. (2005). Les conditions didactiques de l’apprentissage de la géométrie :développement de la visualisation, différenciation des raisonnements et coordination deleurs fonctionnements. ? Annales de Didactique et de Sciences cognitives, 10, 5-53.

Duval, R. (2006a). The cognitive Analysis of Problems of comprehension in the Learningof Mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, 103-131 .

Duval R. (2006b). Transformations de représentations sémiotiques et démarches depensée en mathématiques. Actes du XXXII ème Colloque COPIRELEM, 67-89.

Relime 80

Duval, R. & Godin, M. (2005). Les changements de regard nécessaires sur les figures.Grand N, 76, 7-27.

Eco, U. (1990 (1973)). Le signe ( tr.J-M. Klinkenberg). Paris: Labor.

Frege G. (1971). Ecrits logiques et philosophiques. Paris : Seuil.

Freudenthal, H. (2002). Notation Mathématique. Encyclopedia Universalis (pp. 338-344). Paris

Hitt, F. (2003). Le caractère fonctionnel des représentations. Annales de Didactique etde Sciences Cognitives, 8, 255-271.

Kaput, J. (1987). Towards a Theory of Symbol Use in Mathematics. In C Janvier (Ed.),Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 159-195). Hillsdale, New jersey/ London : Lawrence Erlbaum.

Lacroix, S.F. (1820). Eléments d’Algèbre. Paris : Mme Veuve Courcier.

Leclère, J.P. (2000). Faire des mathématiques à un public en situation d’illettrisme : lecontraire d’une utopie. Thèse Université Lille 1.

Leibniz, G.W. (1972). Oeuvres I (Editées par L. Prenant). Paris: Aubier Montaigne.

Martinet, A (1966). Eléments de linguistique générale. Paris : Armand Colin.

Piaget, J. (1968a). La naissance de l’intelligence chez l’enfant. Neuchatel : Delachaux etNiestlé.

Piaget , J. (1968b). La formation du symbole chez l’enfant. Neuchatel : Delachaux etNiestlé.

Peirce, C.S. (1978). Ecrits sur le signe ( tr. G. Deledalle) Paris: Seuil.

Radford L. ( 1998). On signs and Representations. A cultural Account. ScientiaPaedagogica Experimentalis, 35(1), 277-302.

Russell, B. (1969). Signification et Vérité (tr.Ph ;Delvaux). Paris : Flammarion.

Saussure, F. de (1973 (1915)). Cours de linguistique générale. Paris : Payot.

Serfati, M. (1987). La question de la chose. Mathématiques et Ecriture. Actes du colloqueInter IREM d’Histoire et d’Epistémologie des Mathématiques, (pp. 309-334). Strasbourg:IREM.

Quine, W.V. (1977). Relativité de l’ontologie et autres essais (tr. Largeault). Paris: Aubier.


Weyl, H. (1994 (1953)) Sur le symbolisme des mathématiques et de la physiquemathématique in L e continu et autres écrits (tr. Largeaut), (pp. 248-264). Paris: Vrin.

Wittgenstein, L (1983). Remarques sur les fondements des mathématiques (tr. M-A.Lescouret). Paris : Gallimard.

Raymond DuvalUniversité du Littoral Côte d’Opale(ULCO)France


Relime 82

83

Fecha de recepción: Marzo de 2006/ Fecha de aceptación: Mayo de 2006.

Centro de Investigación en Matemática Educativa (Cimate). Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de

Guerrero (en receso sabático 2005 – 2006). Departamento de Matemática Educativa – Cinvestav, IPN.

Área de Educación Superior. Departamento de Matemática Educativa – Cinvestav, IPN.

Programa de Matemática Educativa del Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del IPN.

Cimate. Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de Guerrero.

Socioepistemología y representación:

algunos ejemplos

Ricardo Cantoral 1

Rosa-María Farfán 2

Javier Lezama 3

Gustavo Martínez-Sierra 4

RESUMEN

Este artículo discute, en distintos planos y con el empleo de diversos ejemplos, un papelpara la noción de práctica social en la construcción de conocimiento matemático y decómo se articula con procesos de representación. Particularmente, estudiamos algunasactividades como medir, predecir, modelar y convenir, como escenarios de construcciónsocial de conocimiento matemático.

PALABRAS CLAVE : Socioepistemología, práctica social, representación.

ABSTRACT

In this article we discuss, at different levels and through several examples, one role thatthe notion of social practice can play in the construction of mathematical knowledge andits articulation with processes of representation. Particularly, we study some activitiessuch as measuring, predicting, modeling and agreeing as scenarios of social constructionof mathematical knowledge.

KEY WORDS: Socioepistemology, social practice, representation.

1


2

3

4

RESUMO

Este artigo discute, em distintos planos e com o emprego de diversos exemplos, um papelpara a noção de prática social na construção do conhecimento matemático e de como searticula com os processos de representação. Particularmente, estudamos algumas atividadescomo medir, predizer, modelar e ajustar, como cenários de construção social de conhecimentomatemático.

Relime 84

Introducción

En un sentido amplio, digamos quetradicional, la teoría del conocimiento haconsiderado a la Representación comouna imagen, una idea, una noción o másampliamente, un pensamiento expresado,formado al nivel mental y que estápresente de modo consciente. En estesentido la representación precisa deaquello que habrá de ser re-presentado –es decir, vuelto a presentar–, requiere portanto de un Objeto con existencia previacuya captación intelectual reproduzcamentalmente a través de traer al presentelas situaciones vividas, o de anticipareventos por venir que condensen laexperiencia adquirida. Bajo ese enfoque,la actividad semiótica no puede crear alobjeto, pues sólo lo re-presenta, es por elloque algunos autores han señalado críticasa su sustento epistemológico. Radford,(2004), por ejemplo, citando a Peirce,decía que el signo no crea al objeto: aquéles solamente afectado por éste. En pocaspalabras, en las diferentes escuelas depensamiento que adoptan una perspectivatrascendental respecto a los objetosmatemáticos (que sea el caso delidealismo o del realismo), los signosconstituyen el puente de acceso a esos

objetos conceptuales vistos como situadosmás allá de las peripecias de la acciónhumana y la cultura. Para Radford, es laactividad humana la que produce al objeto.El signo y la forma en que éste es usado(esto es, su sintaxis) –forma necesariamentecultural en tanto que inmersa en SistemasSemióticos Culturales de significación– sonconsiderados como constitutivos del objetoconceptual: éstos objetivan al objeto. (op.Cit., p. 14).

El enfoque socioepistemológico compartela tesis, de la semiótica cultural, queconfiere a la actividad humana la funciónde producción del objeto, aunque el énfasissocioepistemológico no está puesto ni enel objeto preexistente o construido, ni ensu representación producida o innata; sinomás bien se interesa por modelar el papelde la práctica social en la producción deconocimiento a fin de diseñar situacionespara la intervención didáctica. Claramente,ello exige de un posicionamiento sobre elsentido que adquiere la expresión prácticasocial, en este enfoque.

Se asume como tesis fundamental queexiste una profunda diferencia entre “la

PALAVRAS CHAVE: Socioepistemologia, prática social, representação.

RÉSUMÉ

Dans cet article nous discutons, sur des plans différents et à travers l’utilisation de plusieursexemples, d’un rôle que la notion de pratique sociale peut jouer dans la construction dusavoir mathématique et de son articulation avec des processus de représentation. Enparticulier, nous étudions quelques activités comme mesurer, prédire, modeler et conveniren tant que scénarios de construction social du savoir mathématique.

MOTS CLÉS : Socioépistémologie, pratique sociale, représentation.


realidad del objeto” –la llamada realidadimplicada– y “la realidad descrita” queproducen los seres humanos en su accióndeliberada para construir su “realidadexplicada”. La socioepistemología hatratado el problema de la representaciónde un modo singular, pues no buscadiscurrir teóricamente sobre la acción derepresentar al objeto mediante artefactos,herramientas o signos, sino que se ubica“a ras” de las prácticas y de la forma enque éstas son normadas por prácticassociales.

En primer término, es importante que sedistinga la noción de práctica en un sentidollano, de aquella que usamos en esteenfoque. La práctica social la entendemoscomo normativa de la actividad, más quecomo actividad humana reflexiva oreflexión sobre la práctica; o aun como seseñala en (Radford, 2004), como“interiorización reflexiva de prácticassociales históricamente constituidas”. Ahíradica una de las principales distincionesteóricas del enfoque socioepistemológico:“la práctica social no es lo que hace en síel individuo o el grupo, sino aquello queles hace hacer lo que hacen” (Covián,2005). De este modo, se pretende explicarlos procesos de construcción, adquisicióny difusión del saber matemático con baseen prácticas sociales. En susinvestigaciones, los socioepistemólogosreportan más bien caracterizaciones delejercicio de las prácticas que anteceden ala producción o construcción de conceptosy al desarrollo del saber.

Según este encuadre teórico, es precisomodificar el foco: “pasar de los objetos alas prácticas”. Los enfoquesreificacionistas centrados en objetos,buscan explicar el proceso mediante elcual se llega a la construcción del objeto yminimizan el papel que desempeña latriada: “herramientas, contextos y

prácticas”. El cambio de centraciónproducirá un deslizamiento de orden mayorhacia explicaciones sistémicas, holísticas,complejas y transdisciplinarias, en virtudde que la acción cognitiva no busca laapropiación de objetos a través de suspartes, sino que asume que éstos noexisten objetiva y previamente, “ahíafuera”, previos a la experiencia, sino que–más bien– los objetos son “creados” enel ejercicio de prácticas normadas (tesiscompartida con la semiótica cultural). Enconsecuencia, se cuestiona la idea de quela cognición se reduzca a la acción derecobrar el entorno inmediato mediante unproceso de representación, para asumirque la cognición sea así entendida comola capacidad de “hacer emerger” elsignificado a partir de realimentacionessucesivas entre el humano y su medioambiente próximo, tanto físico comocultural, a partir de una interacción“dialéctica” entre protagonistas. Estainteracción, socialmente normada, da a lapráctica, inevitablemente, una connotaciónde práctica social. El conocimientoentonces, como se ha señalado en (Varelaet al., 1997) depende de las experienciasvividas que, a su vez, modifica las propiaspercepciones y creencias.

1. La socioepistemología

Debemos señalar que la aproximaciónsocioepistemológica a la investigación enmatemática educativa busca construir unaexplicación sistémica de los fenómenosdidácticos en el campo de las matemáticas,no sólo discute el asunto de la semiosis oel de la cognición de manera aislada, sinoque busca intervenir en el sistema didácticoen un sentido amplio, al tratar a losfenómenos de producción, adquisición y dedifusión del conocimiento matemáticodesde una perspectiva múltiple, queincorpore al estudio de la epistemología del

Relime 86

conocimiento, su dimensión sociocultural,los procesos cognitivos asociados y losmecanismos de institucionalización vía laenseñanza (Cantoral & Farfán, 2003).

En este enfoque se pone énfasis el hechode que las aproximaciones epistemológicastradicionales, han asumido que elconocimiento es el resultado de laadaptación de las explicaciones teóricas conlas evidencias empíricas, ignorando, enalgún sentido, el papel que los escenarioshistóricos, culturales e institucionalesdesempeñan en la actividad humana. Lasocioepistemología, por su parte, se planteael examen del conocimiento matemático,social, histórica y culturalmente situado,problematizándolo a la luz de lascircunstancias de su construcción y difusión(Cantoral & Farfán, 2004).

La aproximación socioepistemológica a lainvestigación en matemática educativa seocupa entonces, específicamente, delproblema que plantea la construcciónsocial del conocimiento matemático y desu difusión institucional. Dado que esteconocimiento adquiere el estatus de sabersólo hasta que se haya constituidosocialmente, en ámbitos no escolares, sudifusión hacia y desde el sistema deenseñanza le obliga a una serie demodificaciones que afectan directamentesu estructura y su funcionamiento, demanera que afectan también a lasrelaciones que se establecen entre losestudiantes y su profesor. Bajo esteenfoque se han producido una grancantidad de investigaciones empíricas y delas cuales citamos algunas (Alanís et al,2000; Arrieta, 2003; Cantoral, 1990, 1999;Cantoral & Farfán, 1998; Cordero, 2001;Covián, 2005; Lezama, 2003; López, 2005;Martínez – Sierra, 2003; Montiel, 2005).

En su intento por difundir estos saberes,la socioepistemología sostiene que se

forman discursos que facil itan larepresentación en matemáticasalcanzando consensos entre los actoressociales. Nombramos a estos discursoscon el término genérico de discursomatemático escolar (Cantoral, 1990).Debemos aclarar que la estructuración dedichos discursos no se reduce a laorganización de los contenidos temáticos,ni a su función declarativa en el aula (eldiscurso escolar), sino que se extiende untanto más allá, al llegar al establecimientode bases de comunicación para laformación de consensos y la construcciónde significados compartidos; en estesentido se trata más bien de una unidadcultural en el sentido de Minguer (2004).

Para mostrar lo anterior, consideremos elsiguiente hecho. El tratamiento didácticode las distintas clases de funciones através de sus representaciones gráficasenfrenta dificultades serias al momento deevaluar los logros al nivel de lacomprensión por parte de los estudiantes.Si bien la mera clasificación visual de susrepresentaciones puede ser un elementode partida para distinguirlas en unaexplicación didáctica, habrá que explorarmás profundamente aquellos elementosque les permitan aproximarse a lanaturaleza de las distintas clases defunciones. Al poner en escena unasituación didáctica relativa al tratamientode la función 2x entre estudiantes debachillerato (15 – 17 años), a fin de que seapropiaran del concepto de funciónexponencial, se favoreció el empleo decriterios geométricos: localizar puntos enel plano, identificar regularidades paratransitar de la figura a sus propiedades.Para inducirles a construir, basados en lacoordinación de elementos geométricos ygráficos, una curva a partir de un atributoanalítico. Se propició también la inducciónde lo local a lo global, partiendo decasos particulares se les solicitaba que


argumentasen sobre la posibilidad delocalizar otros puntos más y de ahí, secuestionaba sobre la naturaleza específicade la función 2x.

Presentamos a cont inuación dosfragmentos realizados por equipos deestudiantes, para dotar de ciertaevidencia empír ica nuestrasafirmaciones. La secuencia propusoactividades para la localización depuntos en el plano que formasen partede la gráfica de la función 2x. Como sepuede observar en la Figura 1, losestudiantes ponen de manifiesto quetienen una imagen de la representacióngráfica de la función creciente con trazocontinuo. También se puede observarque la localización de los puntos sobrela gráfica (como pares ordenados) nocorresponde a la escala que se planteaen los ejes.

El haberles solicitado la obtención dedeterminados puntos sobre la gráfica,permitió que se iniciara una discusiónsobre el significado de “elevar a unapotencia”. En la figura se observa que leasocian, a la expresión 2x distintosvalores a la x lo que les lleva a explorarel significado de elevar a potencia paradistintas clases de números. (Potenciaentera, 3; potencia racional, ; y aun elcaso de una potencia irracional, þ. Anteesto úl t imo los estudiantes norepresentan nada).

El ubicar puntos específ icos parapotencias, enteras y racionales,problematiza entre los estudiantes elcarácter creciente de la función y sutrazo continuo, hay en el dibujo unapregunta tácita ¿cómo se eleva a lapotencia þ?

12

Figura 1

En la siguiente figura, de nueva cuenta, losestudiantes tienen una idea de la función2x mediante una representación gráfica,creciente y con trazo continuo,bosquejándola de manera general ypermitiéndonos ver que no reparan anteel caso de que la variable x tome el valorde cero o sea incluso negativa. Encontraste, observamos junto a ese trazo,la localización de los segmentos de valor21/4, 21/2, 21, etc., que fueron obtenidos através de la aplicación del algoritmogeométrico de la media geométrica en lasemicircunferencia. Podemos interpretar elempleo de dicho algoritmo, como unejercicio de medición, ya que es construidoa partir de la definición de una determinadaunidad de medida. En el caso del gráficode la izquierda las ordenadas tienen unsignificado concreto, explícito para losestudiantes: son segmentos de longitud21/4, 21/2, 21, etc. Este ejercicio de medirpermite comparar a los segmentos y conellos aproximarse a una idea específica de

Relime

crecimiento, ya no es arbitrario como en elgráfico siguiente, sino que sigue un patrónsusceptible de comparación y descripcióndetallada.

Figura 2

La representación gráfica, aun respetandolas escalas y dibujándola con granexactitud, no garantiza una comprensiónde la trama interna de la misma, es hastaque se agrega una acción, una prácticaconcreta, proveniente del cúmulo deexperiencias de los alumnos durante suvida, la de medir segmentos, lo que lespermite en principio entender la naturaleza

(P + PQ)m

n = Pm

n +mn

Pm

n Q +mn

m− n2n

Pm

nQ2 +mn

m− n2n

m− 2n3n

Pm

nQ3 + etc.

88

del crecimiento de la función 2x. Larepresentación no existe como tal hastaque algunas prácticas cotidianas comomedir, comparar, observar son llevadas acabo, son ejercidas. En este sentido, laaproximación socioepistemológica pone suénfasis en el papel de las prácticas socialesen la construcción del conocimiento. Restaaun discutir a mayor profundidad cuál esla práctica social que subyace al empleo ya la necesidad de la medición; sinembargo, dado que no es asunto de esteescrito puede consultarse (Lezama, 2003).

Una explicación más amplia sobre el papelque desempeñan las prácticas, tanto lasde referencia como las sociales, en laconstrucción de conocimiento, puedeobtenerse de los siguientes ejemplos.Cada uno de ellos obedece acircunstancias específicas y no haremosde ellos un estudio a profundidad.

2. La predicción, el binomio deNewton y la serie de Taylor

¿Por qué Newton representó por vezprimera a su binomio como (P + PQ)m/n yno, como es usual hoy día a (a + b)n? Lasexpresiones aunque matemáticamente

equivalentes, son distintas conceptualmente.

Una lectura ingenua de tales expresiones nos haría creer que se trata sólo de un asuntode la notación propia de la época; en nuestra opinión, ello no es así. Se trata de unaverdadera concepción alternativa del binomio, que se apoya en una epistemologíasensiblemente diferente de la que hoy enseñamos en clase. De hecho, obedece a unprograma emergente, alternativo en el campo de la ciencia y la filosofía, con el que se

(a + b)n = an + nan−1b+n(n−1)

2!an −2b2 +

n(n−1)(n − 2)3!

an− 3b3 + ...


buscaba modelar, anticipar, predecirfenómenos naturales con respaldomatemático. Un amplio programa dematematización de los fenómenossusceptibles de modelar con una fructíferametáfora del flujo del agua, metáfora quese aplicaría por igual a la evolución de muydiversas magnitudes.

La idea básica a la que nos referimosconsiste en la asunción de que con lapredicción de los fenómenos de flujocontinuo en la naturaleza, era posibleanunciar, anticipar, su estado ulterior. Puesconociendo ciertos valores iniciales de unsistema en evolución, sabríamos la formaen la que éste progresa. Centremos laatención en la cinemática de una partículaque se desplaza rectilíneamente; situaciónen la que se precisa de una predicción delargo alcance en ámbitos de variacióncontinua. Desde nuestro punto de vista,la predicción se construye socialmente apartir de las vivencias y experienciascotidianas de los individuos y de los grupossociales. Pues en ciertas situacionesnecesitamos conocer el valor que tomaráuna magnitud B con el paso del tiempo.Sabemos, por ejemplo, que B depende asu vez de otra magnitud P que fluyeincesantemente. Necesitamos saberentonces el valor que tomará B antes deque transcurra el tiempo, antes de que Ptransite del estado uno al estado dos. Perodada nuestra imposibilidad de adelantarel tiempo a voluntad debemos predecir. Ental caso, no disponemos de razones paracreer que en este caso, el verdadero valorde B esté distante de las expectativas quenos generan los valores de B y de P en unmomento dado, de la forma en la que P yB cambian, de la forma en la que cambiansus cambios, y así sucesivamente. Elbinomio de Newton (Newton, 1669), sepresenta como una entidad que emergeprogresivamente del sistema de prácticassocialmente compartidas ligadas a la

resolución de una clase de situaciones queprecisan de la predicción. De modo que siP evoluciona de cierta manera, la preguntacentral consiste en saber cómo será B(P)si conocemos el inicio de P, el cambio quesufre P, el cambio del cambio de P,etcétera. El binomio fue entonces, unarespuesta a la pregunta y una organizaciónde las prácticas sociales.

El caso de mayor interés se presenta,naturalmente, cuando no se dispone enforma explícita de la relación entre B y P.En ese caso, habrá que hacer emergerprogresivamente una nueva noción, unanoción que permita de algún modo lageneración de la solución óptima a unaclase de situaciones propias de lapredicción. Para el lo habrá queconsiderar tanto la diversidad decontextos en los que puede suceder lavariación, como la var iedad defenómenos estudiados con estrategiassimilares. En su momento, este programanewtoniano de investigación llevó alsurgimiento de una progresiva cadena deelaboraciones teóricas, cada vez másabstractas, que culmina, por así decirlocon el programa lagrangiano dondehabrá de emerger la noción de funciónanalítica. Los detalles de este estudiopueden consultarse en (Cantoral, 1990,2001).

Ejemplifiquemos esta situación en uncaso simple. Supongamos que tenemoslos valores iniciales (en el tiempo t = 0),tanto de la posición s(0) = s

0, como de la

velocidad v(0) = v0, y la aceleración

a(0) = a0 de una partícula que se desplaza

sobre una recta. Para cualquier instanteposterior t la posición s(t), la velocidadv(t) y la aceleración a(t) estarándadas mediante el instrumento parapredecir, a saber, la serie de Taylor,f(x) = f(0) + f ’ (0)x + f ’’ (0)x2 /2! + ... La seriedeviene en:

Relime 90

s(t) = s(0) + s’(0)t + s’’ (0)t2 /2! + ...v(t) = v(0) + v’(0)t + v’’ (0)t2 /2! + ...a(t) = a(0) + a’(0)t + a’’ (0)t2 /2! + ...

En notación usual:

s(t) = s0 + v

0t + at2

v(t) = v0 + at

a(t) = a

En este ejemplo, es el tratamiento de lapredicción de fenómenos de movimiento,lo que da lugar a un sucesivo proceso dematematización de una gran cantidad denociones y procesos matemáticos.Estrictamente hablando, no se buscórepresentar un objeto, ni construirlo a partirde su representación. Se intenta, segúnla visión de la ciencia del periodo,simplemente predecir el cambio. En estesentido, la predicción en tanto que no esun objeto matemático, tiene que entrar enla problemática teórica no como noción, orepresentación, sino como práctica social.Para la socioepistemología el foco delanálisis estará puesto no en el binomio ensí, en tanto signo o artefacto que mediatizala actividad, sino en la búsqueda de lapredicción como práctica social.

Veamos un segundo ejemplo en el cual, adiferencia del anterior, el fenómeno mismoque será tratado, el fenómeno natural queintentan describir con el método predictivo,estaba aun poco claro para losinterlocutores. El calor como noción, noemerge aun con la claridad requerida.¿Qué se representa entonces?

3. Teoría analítica del calor

El ejemplo de la propagación del calorresulta útil para mostrar de qué manera,antes que el objeto y su representación,está la praxis, y con ésta la significacióncultural. La propagación del calor resulta

un asunto desafiante, pues no trata de unobjeto matemático como tal, sino de uncontexto en que habrían de ejercer ciertasprácticas los científicos e ingenieros de unaépoca y de una circunstancia específica. Fueuna cuestión a la que tanto la MecánicaRacional como el Análisis Matemático delsiglo XVIII no dieron respuesta cabal, y deello da cuenta la histórica controversiasuscitada a raíz de la cuerda vibrante. Al ladode este desarrollo, encontramos elsurgimiento de la ingeniería matemáticasobre la práctica tradicional y el papelsustantivo que una institución de educaciónsuperior, la École Polytechnique, tuvo parasu posterior consolidación. Así pues, elasunto matemático que estaremosejemplificando, el del estudio de laconvergencia de series infinitas, se inscribeen el ambiente fenomenológico de laconducción del calor, en estrecha relacióncon la práctica de la ingeniería, dio a luz,gracias a la conjunción de, por supuesto,innumerables variables, de entre las cualesdestacamos como antecedentes al cálculoalgebraico y al surgimiento de la ingenieríaen el siglo XVIII. Es decir, una práctica socialque normaba el quehacer de los científicosy tecnólogos de la época: Predecir elcomportamiento de lo que fluye, fuese elcalor, el movimiento o los flujos eléctricos,la intención última de este programarenovador era el de mostrar el papel delsaber como la pieza clave de la vida futurade esa sociedad. Es importante ubicar queesto se da en el marco de laprofesionalización de una práctica dereferencia, la práctica de la ingeniería y porende en el seno de la comunidad politécnica.La cuestión entonces no se redujo a conocerun objeto matemático, sino el mostrar quela práctica de la ingeniería podría sercientífica. La función normativa de la prácticasocial haría su aparición en forma dediscurso matemático y enseguida, casi almismo tiempo, como una forma dediscurso matemático escolar.

12


El surgimiento del concepto deconvergencia, que data del siglo XIX seda en un ambiente fenomenológico desingular relevancia para la IngenieríaMatemática; la propagación del calor endonde la variación está presente y laecuación en la que tal variación sesignifica:

En los inicios del desarrollo de lahumanidad, cuando las diversasexperiencias se examinan por vez primera,se recurre de entrada a la intuición reinantedel fenómeno, ya sea de lo calórico parael caso que nos ocupa, del ímpetu o deléter, en otros. De este modo, es con localórico que se realiza mejor laconducción, o con el ímpetu que se da elmovimiento. Se precisó de una revolucióndel conocimiento científico para agruparen una unidad fundamental alconocimiento y la manera de percibirlo.

Con la obra de Biot (1774 - 1802) laexperiencia se dirige hacia la medida y elcálculo, y se desecha la explicación delfenómeno mediante la noción de calórico,valiéndose de las indicacionessuministradas por termómetros, y seobtiene así la primera ecuación diferencialque rige al fenómeno. Sin embargo, loscoeficientes constantes no fueronanalizados, no se distinguió entre lo quees propio del cuerpo específico, de aquelloque persiste independientemente de él. Enespecial, los parámetros deconductibilidad, de densidad, de calorespecífico, permanecen en un únicocoeficiente empírico. La tarea constructivaculmina con la Théorie Analytique de laChaleur (1822) de Fourier, en donde seanaliza el problema de la propagación delcalor en los sólidos, que consiste endescribir el comportamiento del fenómeno

de propagación, buscando aquello establey permanente, que se conserva inalterablecon el fluir del tiempo. Esto es, la ecuaciónque gobierna el comportamiento delsistema.

Como Fourier llega finalmente a la ecuacióndiferencial de Biot, que ha recibido la sanciónde la experiencia, se puede decir que elmétodo de Fourier ha logrado la construcciónmatemática completa del fenómeno. Depaso, se rompen o, mejor aún, se niegan,los conceptos fundamentales del análisismatemático del siglo XVIII, como: el defunción, el papel del álgebra, el continuo real,así como la interpretación física de lassoluciones, y se inicia el estudio de laconvergencia de series infinitas, pilarfundamental del Análisis Matemáticomoderno. Salta a la vista la importanciasingular de la obra de Fourier, tanto para laingeniería como para el análisis matemáticomismo. De suerte tal, que determinar elestado estacionario del sistema conduce,necesariamente, a un estudio de laconvergencia de una serie trigonométricainfinita. La búsqueda de la predicción y lapredicción como práctica, antecede alproceso de significación y de representaciónde objetos. Es decir, son las prácticas y nosus representaciones las que forman enprimera instancia al saber matemático.

En este ejemplo, ¿qué objeto matemáticose representa?, no hay objetopreestablecido, ni preexistente, estos sonconstruidos por los actores con elejercicio de sus prácticas y normados porsu búsqueda de la predicción. Se pasadel oficio a la profesión gracias al logrode la función normativa de la prácticasocial.

A fin de mostrar el problema particularcon el que Fourier inicia este estudio,entresacamos algunas notas de supublicación original:

dvdt

=KCD

d2vdx2 +

d2vdy2 +

d2vdz2

Relime 92

Suponemos que una masa sólidahomogénea está contenida entredos planos verticales B y Cparalelos e infinitos, y que se hadividido en dos partes por unplano A perpendicular a los otrosdos (ver figura); consideraremoslas temperaturas de la masa BACcomprendida entre los tresplanos inf initos A, B, C. Sesupone que la otra parte B’AC’del sólido infinito es una fuenteconstante de calor, es decir, quetodos esos puntos permanecencon temperatura 1, la cual nopuede llegar a ser jamás menorni mayor. En cuanto a los dossól idos laterales, unocomprendido entre el plano C yel plano A prolongado y el otroentre el plano B y el Aprolongado, todos los puntos deambos tienen una temperaturaconstante 0, y una causa exteriorlos conserva siempre a la mismatemperatura; en f in, lasmoléculas del sól idocomprendido entre A, B y Ctienen la temperatura inicial 0. Elcalor pasará sucesivamente dela fuente A al sólido BAC; él sepropagará en el sentido de lalongitud inf inita y, al mismotiempo, se desviará hacia lasmasas fr ías B y C, quienesabsorberán una gran cantidad.Las temperaturas del sólido BACse elevarán más y más; peroellas no podrán pasar ni aunalcanzar un máximo detemperatura, que es diferentepara los distintos puntos de lamasa. Tratamos de conocer elestado final y constante al cualse aproxima el estado variable.

Temperatura constante igual a 1

Así, el problema consiste endeterminar las temperaturaspermanentes de un sólidorectangular infinito comprendidoentre dos masas de hielo B y C yuna masa de agua hirviendo A; laconsideración de los problemassimples y primordiales es uno delos medios más seguros para eldescubrimiento de leyes defenómenos naturales, y nosotrosvemos, por la historia de lasciencias, que todas las teorías sehan formado siguiendo estemétodo. (Fourier, 1822; traducciónlibre al español por los autores )

Para el caso particular propuesto, laecuación general se reduce a

pues se omite tanto la coordenada z comosu correspondiente derivada parcial (elgrosor se considera infinitesimal). Dadoque se trata de determinar el estadoestacionario, independiente del tiempo (esdecir, constante respecto del tiempo),deberá tenerse que:

∂v

∂t=

KCD

∂2v

∂x2 +∂2v

∂y2


.

Así que la ecuación por resolver es:

.

Si una función satisface la ecuación,deberá cumplir con las siguientescondiciones:

i) Anularse cuando se sustituye o

en lugar de y, cualquiera que sea, por otrolado, el valor de x.

ii) Ser igual a la unidad si se supone x=0y si se le atribuye a y un valor cualquiera

comprendido entre y .5

Es necesario añadir que esta función debellegar a ser extremadamente pequeñacuando se da a x un valor muy grande, yaque todo el calor surge de una sola fuenteA, condiciones que hoy nombramos defrontera. Fourier encuentra la solución porun método de separación de variables,considerando que la temperatura v se puedeexpresar como el producto de una funciónde x por una función de y, v = F(x) f(y),obteniéndose:

v = a e-x cos y + b e-3x cos 3y + c e-5x cos 5y +...(b)

…en este punto Fourier hace notar: “... No

Esto es debido a que la longitud del lado finito BAC es þ. Nótese que, en el trabajo de Fourier, la abscisa la denota por y,

mientras que a la ordenada por x (ver figura).

La consideración de los valores de una función en un intervalo es nueva; recuérdese que en el siglo XVIII eso carecía de

significado.

Pero, a diferencia de Bernoulli que presenta argumentos físicos para la demostración del problema, aquí Fourier nos

muestra que la solución matemática es coherente con la situación física, pero la demostración se inserta en la matemática

misma, sin alusión a argumentos que no pertenecen a ella. Así, se inicia la separación entre la física y las Matemáticas, que

desde la antigüedad caminaban estrechamente ligadas una de la otra.

5

6

7

∂v∂t

= 0

∂2v∂x2 +

∂2v∂y2 = 0

−π2

+π2

−π2

≤ ≤π2

−π2

+π2

−π2

+π2

se puede inferir nada para los valores quetomaría la función si se pone en lugar deuna cantidad que no esté comprendida

entre y ...” 6

Así, (b) se convierte en

1 = a cos y +b cos 3y + c cos 5y + d cos 7y +...

para y ; ahora sólo resta

calcular la infinidad de coeficientesa,b,c,d,... . A nuestros ojos, la solución yaestá dada (salvo por dicho cálculo); paraFourier, en cambio, es necesario justificarla solución físicamente7 antes de realizartal cálculo y añade:

Supongamos que la temperatura fija dela base A, en lugar de ser igual a launidad para todos los puntos, sea tantomenor entre más alejado esté el punto0 de la recta A, y que sea proporcionalal coseno de esta distancia; seconocerá fácilmente, en ese caso, lanaturaleza de la superficie curva cuyaordenada vertical expresa latemperatura u, o f(x,y). Si se corta estasuperficie por el origen con un planoperpendicular al eje de las x, la curvaque determina la sección tendrá porecuación

v = a cos y ;

los valores de los coeficientes serán lossiguientes

a = a, b = 0, c = 0, d = 0,

Relime 94

y así sucesivamente, y la ecuación dela superficie curva será

v = ae-x cos y.

Si se corta esa superficieperpendicularmente al eje de las y, setendrá una logarítmica cuya convexidades devuelta hacia el eje; si se le cortaperpendicularmente al eje x, se tendráuna curva trigonométrica que tiene suconvexidad hacia el eje. Se sigue de ahí

que la función tiene siempre

un valor positivo, y que el de es

∂2v∂x2

∂2v∂y2

siempre negativo. Ahora bien (art. 1 3),la cantidad de calor que una moléculaadquiere, de acuerdo con su lugar entreotras dos en el sentido de las x, es

proporcional al valor de ; por∂2v∂x2

tanto, se tiene que la moléculaintermedia recibe, de la que precede enel sentido de las x, más calor del queella le comunica a la que le sigue. Pero,si se considera esta misma moléculacomo colocada entre otras dos en elsentido de las y, siendo negativa la

función , se ve que la molécula∂ 2v∂y2

intermedia comunica a la que le siguemás calor que lo que recibe de laprecedente. Se llega así, que elexcedente de calor que ella adquiereen el sentido de las x se compensaexactamente con lo que pierde en elsentido de las y, como lo expresa laecuación

Se sabe así la ruta que sigue el calorque sale de la fuente A. Él se propagaen el sentido de las x, y al mismo tiempose descompone en dos partes, una sedirige hacia uno de los ejes, mientrasque la otra parte continúa alejándosedel origen para descomponerse comola anterior, y así sucesivamente hastael infinito. La superficie que

∂2v∂x2 +

∂2v∂y2 = 0

consideramos es engendrada por lacurva trigonométrica que responde a labase A, y se mueve perpendicularmenteal eje de las x, siguiendo este eje,mientras que cada una de susordenadas decrece al infinito,proporcionalmente a las potenciassucesivas de una misma fracción.

Se obtendrán consecuencias análogas silas temperaturas fijas de la base A fueranexpresadas por el término b cos 3y, o unode los términos siguientes c cos 5y...; yse puede, después de esto, formarseuna idea exacta del movimiento delcalor en el caso general; ya que se verá,por lo que sigue, que ese movimientose descompone siempre en unamultitud de movimientos elementales,en donde cada uno se comporta comosi fuese solo. (Fourier, 1822; traducciónlibre al español por los autores )

En el episodio anterior, tanto Fourier comoBiot y los ingenieros egresados de laPolytechnique, están interesados enanticipar el comportamiento de la naturaleza,en modelarla, su búsqueda no podríaentonces ser reducida a la acción derepresentar un objeto preexistente, unanoción, un concepto o un procedimiento, sinodebe ampliarse al nivel de la práctica: ¿cómoserá posible confundir en este caso, al objetocon su representación?, ¿tiene, en estecontexto, sentido tal pregunta?

Para finalizar este artículo, mostramos cómolas prácticas sociales a las que nos hemosreferido, no están exclusivamente ligadas ala actividad inmediata. Desarrollamos unejemplo relativo al proceso de convenir enmatemáticas.

4. El proceso de convenciónmatemática

La acepción que util izamos paraconvención, es la de “aquello que es


2, 3, 4, 5, 6,4, 8, 16, 32, 64,

conveniente para algún fin específico”;entonces una convención matemática esuna conveniencia para las matemáticas.El análisis socioepistemológico de losexponentes no naturales muestra lapresencia de una manera común, entre lossiglos XIV y XVIII,para posibilitar laconstrucción de cuerpos unificados ycoherentes de conocimiento matemático, esdecir para la integración sistémica deconocimientos. Designamos sintéticamentea este proceso de construcción deconocimiento con la expresión convenciónmatemática. Las formas de estemecanismo pueden ser varias: unadefinición, un axioma, una interpretación,o una restricción. La elección depende delos objetivos teóricos. Convenir enmatemáticas, puede entenderse comoproceso de búsqueda de consensos alseno de una comunidad que se norma porla práctica social relativa a dar unidad ycoherencia a un conjunto deconocimientos (Martínez – Sierra, 2005).Por su naturaleza esta práctica seencuentra en el plano de la teorización.Este proceso de síntesis, conlleva elsurgimiento de propiedades emergentesno previstas por los conocimientosanteriores. Las convenciones matemáticasserían una parte de tales propiedadesemergentes.

En el plano de la historia de las ideas, almenos dos tipos de formulacionesemergen para significar a los exponentes

no naturales. El primer tipo deformulaciones fue hecho en el contexto delo algebraico y el segundo en el ámbito dela formulación de coherencia entre loalgebraico y lo gráfico. En el contextoalgebraico, la noción de exponente nonatural surge de la intención de preservarla relación entre las progresionesaritmética y geométrica, a fin de unificarun algoritmo para la multiplicación demonomios. En el contexto algebraico–gráfico, la construcción de significadosemerge como organizador de las fórmulasde cuadraturas de ciertas curvas.

En el marco de las formulacionesalgebraicas, los convencionalismos tienenpor finalidad el incluir nuevos objetosalgebraicos a la estructura operativaconformada por los diferentes caracterescósicos 8.

Primera formulación algebraica. Encuanto a la multiplicación, la regla de Aurel(1552) se basa en el comportamientoespecial de las sucesiones: la relaciónentre la progresión aritmética y progresióngeométrica (relación PA–PG) 9. Con estemarco de referencia se determinan losconvencionalismos para incluir al númeroen la estructura operativa del conjunto{ x, x2, x3, x4, x5,...}, que en la notación deMarco Aurel (1552) corresponde alconjunto . Deesta manera el número 5 es representadocomo 5 y es multiplicado con los demás

En el lenguaje moderno se puede identificar estos caracteres cósicos con la segunda potencia, la tercera potencia…

de la incógnita.

Es decir, si se coloca la progresión aritmética que representa el número de multiplicaciones de la base y la progresión

geométrica que representa las potencias, se tiene que la adición (resta) en la parte superior (la serie aritmética) corresponde

a la multiplicación (división) de la serie de abajo (geométrica):

A la relación expresada en el enunciado anterior la abreviaremos, en lo sucesivo, como la relación entre la progresión

aritmética y geométrica (relación PA-PG).

8

9

ϕ,x,ξ,ζ,ξξ,β,ξζ,bβ,ξξξ,ζζ ,...{ }

ϕ

Relime 96

a través de una nueva tabla de caracterescósicos que tienen la misma regla operativareferente a la relación entre la progresiónaritmética y geométrica. Lo anterior estáexpresada en los siguientes términos: “Ycuando tu querras multiplicar vna dignidad,grado, o carácter con otro, mira lo que estaencima de cada uno y junta lo simplemente,y aquello que verna, mira encima de qualcarácter estara: tal diras que procede detal multiplicacion” (Op. Cit.). Así al utilizarla Tabla 1 se pueden hacer, por ejemplo,las multiplicaciones contenidas la Tabla 2.

ϕ x ξ ζ ξξ β ξζ bβ ξξξ ζζ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tabla 1. Caracteres cósicos de Aurel y la relaciónPA-PG

Notación de Aurel

8ξ2χ

23β4ϕ

16ζ 92β

13ξξ2ξξ

50ϕ6ξ

26ξξξ 300ξ

----- -----

----- -----

Tabla 2. Multiplicaciones en la notación de Aurel

En el marco de esta primera formulaciónalgebraica los cocientes del tipo x5/x7, esdecir, donde el grado del dividendo esmenor que el del divisor, no son incluidoscomo caracteres cósicos; ya que sóloconsidera para la división el caso en queel dividendo y el divisor son monomios,distinguiéndose dos posibilidades: 1) el

grado del dividendo es menor que el deldivisor y 2) el grado del dividendo es mayorque el del divisor. En la primera posibilidadtal partición no se podrá partir y quedarácomo quebrado; en la segunda, la reglade Aurel coincide con la actual(am/an=am-n con m>n).

Segunda formulación algebraica, seencuentra en un contexto donde elprogreso en la operatividad con losnúmeros negativos y el cero hace posiblela inclusión de los cocientes 1/x, 1/x2,....entre los caracteres cósicos y suoperatividad. La formulación surge dehaber admitido la operatividad decantidades negativas para despuésenmarcarlas en la estructura algorítmicade la relación entre las progresionesaritmética y geométrica. En La triparty enla Science des Nombres, Chuquet, (1880/1484) construyó una noción de exponentecero y negativo (al parecer no utilizóexponentes fraccionarios). Explica quecada número puede considerarse comocantidad estricta, y así para indicarlo, sepuede añadir un cero en la parte superiordel número, como por ejemplo, 120, 130

para indicar 12 o 13. Pero cada númeropuede considerarse como número primerode una cantidad continua, también dichonúmero lineal, indicando así: 121, 131... obien número superficial cuadrado: 122, 132

... y así, sucesivamente, hasta el orden quese quiera (120 quiere decir doce; 121 indica12x; 122 significa 12x2,...).”

Es importante señalar que el superíndicecero que util iza Chuquet significa“ausencia de variable”. En este sentidoopta por abandonar las distintasnomenclaturas para designar el orden delas raíces, así como el de las potenciasde la incógnita, para exponer una formade denominación unificadora, que facilitelas operaciones entre estas entidades.


El contexto de la formulación está relacionada con las soluciones negativas que resultan de la resolución formal de

ecuaciones lineales. Es por ello que al parecer uno de los objetivos de la aceptación de los exponentes negativos era dar

legitimidad a los números negativos y su operatividad, pues eran usados para la operatividad consistente con los monomios.

Por ejemplo es bien conocida la forma en que Galileo estableció su ley de caída de los cuerpos a través de entender

el área determinada por una gráfica velocidad-tiempo como la distancia recorrida por el cuerpo.

En términos modernos la noción de razón característica se apoya en que

Así se opera como sigue10, Chuquet utiliza.71.ñ. para denotar 7/x.

Formulaciones algebraicas–gráficasAl parecer los convencionalismosalgebraicos descritos, fueron marginalesa la sintaxis algebraica o al estudio de lacosa; dado que carecía de sentido fueradel contexto algebraico. Podemos decirque la aceptación de las potenciasmayores a tres fue posible gracias a laintroducción de la representacióncartesiana de las variables. En el marcode las formulaciones algebraicas–gráficas,los convencionalismos tienen por finalidaddotar de coherencia a ambos elementos,lo algebraico y lo gráfico.

Primera formulación algebraico–gráfica . Hacia finales del XVI se sabía quelas curvas y = kxn (n = 1, 2, 3, 4,…), llamadasde índice n, tenían una propiedad llamada“razón característica”. Este conocimiento,según Bos (1975), era propio de la épocadel cálculo de áreas determinadas pordistintas curvas, tanto mecánicas comoalgebraicas, y al significado que se asociaa las áreas en contextos de variación11.Tomando como ejemplo la curva y = x2 sedecía que ésta tiene razón característicaigual a 1/3; ya que si tomamos un punto Carbitrario de la curva (Figura 1) el área deAECBA guarda una proporción de 1:3respecto del área del rectángulo ABCD,es decir, el área de AECBA es la mitaddel área AECDA . En general, se sabía deque la razón característica de la curva de

10

11

12 (a > 0) xndx0

a

∫

:a

n+1 = 1:(n +1)

índice n es 1/(n +1) para todos los enterospositivos n .12

Figura 1. Razón Característica de la curva y = x2

En sus investigaciones acerca de lacuadratura de las curvas, Wallis utilizó loanterior para convenir que el índice de

debe ser igual a 1/2 a fin deunificar la noción de razón característicacon la noción de índice. Lo mismo puedeverse para ,cuya razón característicadebe ser 3/4=1/(1+1/3) por lo que su índiceserá 1/3. A continuación Wallis afirma(según Confrey & Dennis, 2000) que elíndice apropiado de debe ser p/q yque su razón característica es 1/(1+p/q);pero al no tener manera de verificardirectamente la razón característica detales índices, por ejemplo de ,retoma el principio de interpolación el cualafirma que cuando se puede discernir unpatrón de cualquier tipo en una sucesión deejemplos, uno tiene el derecho de aplicar esepatrón para cualesquiera valoresintermedios. En el caso que interesa, él hacela siguiente tabla de razones característicasconocidas (R(i/j ) denota la razóncaracterística, desconocida, de índice i/j):

y = x2

y = x3

y = x pq

y = x 23

Relime 98

q/b123456789

01=1/11=2/21=3/31=4/41=5/51=6/61=7/71=8/81=9/9

21/32/4

R(2/3)2/3=4/6R(2/5)3/4=6/8R(2/7)

4/5=8/10R(2/9)

31/4

R(3/2)1/2=3/6R(3/4)R(3/5)2/3=6/9R(3/7)R(3/8)

3/4=9/12

41/5

1/3=2/6R(4/3)1/2=4/8R(4/5)R(2/3)R(4/7)

2/3=8/12R(4/9)

51/6

R(5/2)R(5/3)R(5/4)

1/2=5/10R(5/6)R(5/7)R(5/8)R(5/9)

61/7

1/4=2/81/3=3/9R(3/2)R(6/5)

1/2=6/12R(6/7)R(3/4)R(2/3)

71/8

R(7/2)R(7/3)R(7/4)R(7/5)R(7/6)

1/2=7/14R(7/8)R(7/9)

Al aplicar el principio de interpolaciónsobre la fila 5 se puede conjeturar, porejemplo, que R(3,5)=5/8 y sobre la columna3 que R(3,5)=5/8. Razonamientosemejante se puede hacer sobre la fila 10para establecer que R(3,5)=10/16 y sobrela columna 6 que R(3,5)=10/16.

Wallis también interpreta a los númerosnegativos como índices13. Define el índicede 1/x como –1, el índice de 1/x2 como –2,etc. A continuación él intenta darcoherencia a estos índices y a la nociónde razón característica. En el caso de lacurva y = 1/x la razón característica debe

ser 14. Aceptó este cociente1

−1+1=

10

= ∞

Deseamos aclarar que a través de la literatura consultada no fue posible determinar claramente los motivos que tuvo

Wallis para dar tales definiciones; pero es de suponer que fueron tomadas de las convenciones de los exponentes que

ya se trabajaban en esa época en el contexto algebraico (Martínez, 2003).

Lo que hoy se entiende por fracciones, en la época de Wallis se concebía como proporcionalidad por lo que 1 es 0

(nada) como es a 1.

13

14

∞

E

A B

C

F

E

A B

C

F

D

como razonable debido a que el área bajola curva 1/x diverge; el cual, al parecer, eraun hecho conocido en la época. Lo anterior

puede ser interpretado como que laproporción entre el área de ABCEFA (Figura2) y el área del rectángulo ABCD es de 1:0.Cuando la curva es y=1/x2 la razóncaracterística debe ser 1/(-2+1)=1/-1. Aquí,la concepción de Wallis sobre la razón difierede la aritmética moderna de númerosnegativos. Él no utiliza la igualdad 1/-1 = -1,más bien él construye una coherencia entrediversas representaciones; que es enesencia una convención matemática.Debido a que el área sombreada bajo lacurva y=1/x2 es más grande que el área bajola curva 1/x, concluye que la razón 1/-1 esmayor que infinito (ratio plusquam infinita).Continúa concluyendo que 1/-2 es inclusomás grande. Esto explica el plural en el títulode su tratado Arithmetica Infinitorum, de lacual, la traducción más adecuada sería LaAritmética de los Infinitos.

Figura 2. Razón Característica de la curva y = 1/x


Lo anterior nos motiva a enfocar nuestraatención en los procesos de integraciónsistémica de un conjunto deconocimientos. Teóricamente, desde unprincipio, esta búsqueda de integración,que es una búsqueda de relaciones,puede tener dos salidas: 1) La rupturaocasionada por dejar a un lado unsignificado por otro que eventualmente esconstruido para la tarea de integración; esdecir, cambiar la centración de significadoy 2) La continuidad al conservar unsignificado en la tarea de integración.Entonces, la convención matemáticapuede ser interpretada como unapropiedad emergente para establecer unarelación de continuidad o de ruptura designificados.

En nuestros ejemplos respecto a lasformulaciones de Wallis, la búsqueda decoherencia entre la noción de índice y derazón característica (en donde la razón/proporción posee significados específicosque difiere de considerarla como número)provoca dos convencionalismos: el índicede como 1/2 y diversos tipos deinfinito representados por 1/0, 1/-1, 1/-2,etc. Esto señala el carácter conveniente yrelativo de la convención matemáticarespecto a la integración de las nocionesde índice y razón característica y lasrepresentaciones algebraicas y gráficas.Hoy en día la convención de considerar alas proporciones 1/0, 1/-1, 1/-2 comodiversos tipos de infinitos no es coherentecon la interpretación numérica de lasproporciones como números.

De este modo, la convención, o labúsqueda de consensos, al igual que enlos ejemplos descritos anteriormente,adquiere una dimensión socialfundamental que no podría ser captada sil imitáramos nuestra mirada a laconstrucción de objetos o a surepresentación, pues aspectos como

y = x2

creencias, ideología y matemáticasestarían excluidos al momento de teorizarsobre la construcción de conocimientomatemático.

Reflexiones finales

Con los ejemplos mostramos el papel dealguna práctica: medir al construir lafunción “2x”, predecir en el caso de lacinemática y las funciones analíticas,modelar bajo fenomenologías deingeniería y, finalmente, convenir en elcaso de los exponentes no naturales. Losejemplos muestran la diversidad desituaciones que habrían de considerarsellevando la mirada hacia lasocioepistemología.

Este artículo ha querido mostrar cómoopera el enfoque socioepistemológico alcentrar su atención en prácticas más queen objetos. Su centración en las prácticasarroja una luz distinta de aquella queproduce la centración en objetos, procesoso mediadores. El artículo mostró, medianteejemplos, el papel que juega la prácticasocial en la construcción del conocimientomatemático y de cómo se articula con losprocesos de representación.

Este artículo si bien pretende posicionar ala Socioepistemología a través deejemplos, busca sobre todo discurrir sobreel papel de la noción de práctica social enla formación de conocimiento. No seabordan las relaciones decomplementariedad o contraposición decara a otros enfoques teóricos, aunquebien sabemos que existen relaciones conla Semiótica Cultural de Radford, o con elenfoque Ontosemiótico de Díaz–Godino,o aun con la Teoría Antropológica de laDidáctica de Chevallard y colaboradores,o con la Etnomatemática de D’Ambrosio ycolaboradores, pero más bien quisimos

Relime 100

aportar un elemento adicional, unaparticular interpretación de la noción depráctica social que juzgamos prometedorapara la investigación en matemáticaeducativa. En el futuro inmediato, el

enfoque socioepistemológico estaráintentando construir elementos dearticulación entre los enfoques señaladosanteriormente, aunque esa sea otrahistoria…

Referencias

Alanís, J. et al. (2000). Desarrollo del Pensamiento Matemático. México: Trillas.

Arrieta, J. (2003). Las prácticas de modelación como proceso de matematización en elaula. Tesis doctoral no publicada. México: Cinvestav.

Aurel, M. (1552). Libro Primero de Arithmetica Algebraica. Valencia: J. Mey.

Bos, H. (1975). Differentials, Higher-Order Differentials and the derivative in theLeibnizian Calculus. Archive for History of Exact Sciences, 14, 1 – 90.

Cantoral, R. (1990). Categorías Relativas a la apropiación de una base de significacionespara conceptos y procesos matemáticos de la teoría elemental de las FuncionesAnalíticas. Simbiosis y Predación entre las nociones de “el Prædiciere y lo Analítico”.Tesis doctoral. México: Cinvestav.

Cantoral, R. (1999). Approccio socioepistemologico a la ricerca in matemática educativa.La matemática e la sua didattica, 3, 258 – 273.

Cantoral, R. (2001). Matemática Educativa: Un estudio de la formación social de laanaliticidad. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Cantoral, R. & Farfán, R. (1998). Pensamiento y lenguaje variacional en la introducciónal análisis. Espsilon, 42, 14(3), 353 – 369.

Cantoral, R. & Farfán, R. (2004). La sensibilité à la contradiction: logarithmes de nombresnégatifs et origine de la variable complexe. Recherches en Didactique desMathématiques, 24 (2.3), 137 – 168.

Chuquet, N. (1880/1484). Le Triparty en las science des nombres. En A. Marre (Ed.)Bullettino di Bibliografia e di Storia delle scienze matematiche et fisiche, (volume 13,pp. 555 – 659, 693 – 814; volume 14, pp. 413 – 460).

Confrey, J. & Dennis, D. (2000). La Creación de Exponentes Continuos: un estudiosobre los métodos y la epistemología de John Wallis. Revista Latinoamericana deInvestigación en Matemática Educativa, 3(1), 5 – 31.


Cordero, F. (2001). La distinción entre construcciones del cálculo. Una epistemología através de la actividad humana. Revista Latinoamericana de Investigación en MatemáticaEducativa 4(2), 103 – 128.

Covián, O. (2005). El papel del conocimiento matemático en la construcción de la viviendatradicional: El caso de la Cultura Maya. Tesis de maestría no publicada. México: Cinvestav.

Farfán, R. y Cantoral, R. (2003). Mathematics Education: A Vision of its Evolution.Educational Studies in Mathematics 53(3), 255-270.

Fourier, J. (1822). Théorie Analytique de la Chaleur. Chez Firmin Didot. Pere et Fils.Libraires pur les Mathématiques. France.

Lezama, J. (2003). Un estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas. Tesis doctoralno publicada. México: Cinvestav.

López, I. (2005). La socioepistemología. Un estudio sobre su racionalidad. Tesis demaestría no publicada. México: Cinvestav.

Martínez – Sierra, G. (2003). Caracterización de la convención matemática comomecanismo de construcción de conocimiento. El caso de de su funcionamiento en losexponentes. Tesis de doctorado. México: Cicata – IPN.

Martínez – Sierra, G. (2005). Los procesos de convención matemática como generadoresde conocimiento. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa,8(2), 195 – 218.

Minguer, L. (2004). Entorno sociocultural y cultura matemática en profesores del nivelsuperior de educación. Un estudio de caso: El Instituto Tecnológico de Oaxaca. ActaLatinoamericana de Matemática Educativa, 17(2), 885 – 889.

Montiel, G. (2005). Estudio Socioepistemológico de la función trigonométrica. Tesisdoctoral. México: Cicata – IPN.

Newton, I. (1669). De Analysi per equationes infinitas (june 1669). En D.T. Whiteside(1967) (Ed.), The mathematical papers of Isaac Newton. Vol. II (1667 – 1700) (pp. 206 –247). Gran Bretaña: Cambridge University Press.

Radford, (2004). Semiótica cultural y cognición. Conferencia dictada en la ReuniónLatinoamericana de Matemática Educativa. Tuxtla, Chiapas México. [En red] Disponibleen http://laurentian.ca/educ/lradford/Tuxtla3.pdf

Varela, F. et al. (1997). De cuerpo presente. Barcelona: Gedisa.

Relime102

Ricardo CantoralDepartamento de Matemática EducativaCINVESTAVMéxico


Rosa María FarfánDepartamento de Matemática EducativaCINVESTAVMéxico


Gustavo Martínez-SierraCimate de la UAGMéxico


Javier LezamaPrograma de Matemática EducativaCICATA del IPNMéxico


Elementos de una teoría cultural

de la objetivación 1

Luis Radford 2

RESUMEN

En este artículo se presentan los lineamientos generales de una teoría cultural de laobjetivación –una teoría de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas que seinspira de escuelas antropológicas e histórico-culturales del conocimiento. Dicha teoríase apoya en una epistemología y una ontología no racionalistas que dan lugar, por unlado, a una concepción antropológica del pensamiento y, por el otro, a una concepciónesencialmente social del aprendizaje. De acuerdo con la teoría, lo que caracteriza alpensamiento no es solamente su naturaleza semióticamente mediatizada sino sobretodo su modo de ser en tanto que praxis reflexiva. El aprendizaje de las matemáticas estematizado como la adquisición comunitaria de una forma de reflexión del mundo guiadapor modos epistémico-culturales históricamente formados.

PALABRAS CLAVE : Objetivación, pensamiento matemático, semiótica,sentido, significado, significación cultural, signos.

ABSTRACT

In this article, we present the general bases for a cultural theory of objectification. Thetheory in question deals with the teaching and learning of mathematics and takes itsinspiration from some anthropological and historico-cultural schools of knowledge. Thistheory relies on a non-rationalist epistemology and ontology which give rise, on the onehand, to an anthropological conception of thought, and on the other, to an essentiallysocial conception of learning. According to the theory of objectification, thought is notonly characterized by its semiotically mediated nature but more importantly by way of itsexistence as a reflexive praxis. The learning of mathematics is thematized as theacquisition, by the community, of a form of reflection on the world guided by epistemic-cultural modes which have been historically formed.

KEY WORDS: Objectification, mathematical thinking, semiotics, meaning,signification, cultural signification, signs.

103


An English translation of this article is available at: http://laurentian.ca/educ/lradford/PUBLIC.HTML. Este artículo es

resultado de un programa de investigación subvencionado por The Social Sciences and Humanities Research Council of

Canada / Le Conseil de recherches en sciences humaines du Canada (SSHRC/CRSH).

Université Laurentienne, Ontario, Canada.

1


2

Relime

RESUMO

Este artigo apresenta as linhas gerais de uma teoria cultural da objetivação uma teoriada ensino e a aprendizagem das matemáticas que se inspira de escolas antropológicase histórico-culturais do conhecimento. Tal teoria se apóia em uma epistemologia e umaontologia não racionalistas que dão lugar, por um lado, a uma concepção antropológicado pensamento e, por outro, a uma concepção essencialmente social da aprendizagem.De acordo com a teoria, o que caracteriza o pensamento não é somente sua naturezasemióticamente mediatizada, mas sobre todo seu modo de ser como praxis reflexiva. Aaprendizagem das matemáticas é tematizado como a aquisição comunitária de umaforma de reflexão do mundo guiada por modos epistémico-culturais historicamenteformados.

PALAVRAS CHAVES: Objetivação, pensamento matemático, semiótica, sentido,significado, significação cultural, signos.

RÉSUMÉ

Dans cet article, on présente les bases générales d’une théorie culturelle de l’objectivation.Il s’agit d’une théorie de l’enseignement et de l’apprentissage des mathématiques quis’inspire de certaines écoles anthropologiques et historico-culturelles du savoir. Cettethéorie s’appuie sur une épistémologie et une ontologie non rationalistes qui donnentlieu, d’une part, à une conception anthropologique de la pensée et, d’autre part, à uneconception essentiellement sociale de l’apprentissage. Selon la théorie de l’objectivation,ce qui caractérise la pensée n’est pas seulement sa nature sémiotiquement médiatiséemais surtout son mode d’être en tant que praxis réflexive. L’apprentissage desmathématiques est thématisé comme étant l’acquisition communautaire d’une forme dereflexion du monde guidée par des modes épistémo-culturels historiquement formés.

MOTS CLÉS: Objectivation, pensée mathématique, sémiotique, sens ,signification, signification culturelle, signes.

Introducción

Incluso para los empiristas, todoaprendizaje supone la actividad delpensamiento. El pensamiento aparece comoel sustrato del aprendizaje, aquello a travésdel cual se establece la relación entre el sery el mundo. Curiosamente, a pesar de suimportancia, y aun si se habla del

pensamiento numérico, geométrico, etc.,el pensamiento como concepto en sí noforma parte de las teorías didácticasactuales. Sin duda, una de las razonestiene que ver con la idea popular de que elpensamiento es inobservable. Como afirmael fundador del Constructivismo Radical,

104

Elementos de una teoría cultural de la objetivación

Entre las actividades humanas másintrigantes que no pueden serobservadas, está pensar (thinking)o reflexionar. A veces puedeninferirse los pensamientos o lasreflexiones … pero el proceso realdel pensamiento queda invisible asícomo los conceptos que éste usa yel material crudo del cual estácompuesto. (von Glasersfeld, 1995,p. 77)

Esta idea de la inobservabilidad delpensamiento es parte de la influencia dela filosofía racionalista y su concepto delser. Así,

El ser cartesiano habita un mundoen el que la actividad material esimposible, pues el pensamiento esconcebido como una relación entreel ser y las entidades mentales, lasideas, que no son objetos posiblesde actividad material. (Bakhurst,1988, p. 35)

A estos dos elementos –el sujeto y el objeto–que une el pensamiento, las teorías delaprendizaje añaden otro elemento: elprofesor, que viene a completar el famosotriángulo didáctico. A menudo, sin embargo,el profesor es revestido de un papel menor:literalmente el de facilitador delaprendizaje. En las medida en que lasteorías didácticas conceptualizan alindividuo como sujeto auto-regulado y autoequilibrante, desarraigado de su contextosocio-cultural, capaz de reflexionar comocientífico que explora los alrededores enbusca de fenómenos que confirmen laviabilidad de su saber, en la medida en queel individuo es visto –como lo apunta Martiny sus colaboradores– en tanto que individuoque parece llevar de alguna manera en su

propio interior las condiciones de sucrecimiento, un ser que solamente necesitaun entorno facilitador para alcanzar, através de la experiencia personal, su plenasocializacion y potencial intelectual3, elprofesor aparece, contra la abrumadoraevidencia de la constatación cotidiana,como simple catalizador del encuentroentre el alumno y el objeto del saber.

La teoría de la objetivación que seesbozará aquí parte de presupuestosdiferentes. En oposición a las corrientesracionalistas e idealistas, ésta aboga poruna concepción no mentalista delpensamiento y por una idea de aprendizajetematizado como adquisición comunitariade formas de reflexión del mundo guiadaspor modos epistémico-culturaleshistóricamente formados.

En las dos primeras partes del artículo sediscuten las bases epistemológicas yontológicas que dan sustento a la teoría,así como el concepto de pensamiento ysu significado antropológico. En las dosúltimas partes se aborda el problema de laenseñanza-aprendizaje, en particular a laluz del concepto fundamental de sala declase como comunidad de aprendizaje.

1. Una concepción no mentalista delpensamiento

En una clase de primer grado de primaria,los alumnos debían resolver un problemasobre una secuencia numérica. La maestraintrodujo el problema a través de unahistoria en la cual una ardilla, al final delverano, lleva cada día dos nueces a sunuevo nido en preparación al invierno quese acerca. En una parte del problema losalumnos debían encontrar el número de

3 Martin (2004), Martin, Sugarman y Thompson (2003).

105

Relime

nueces almacenadas por la ardilla en sunido al final del décimo día, sabiendo quecuando la ardilla encuentra el nido habíaya 8 nueces y que la ardilla no come nuecesde su provisión de invierno. Cristina, unade las alumnas, empezó a contar de dosen dos: diez, doce, catorce, dieciséis.Como notó que no había pensado en elnúmero del día, decidió empezar el conteo.Sin embargo, hacer las dos cosas al mismotiempo resultó una tarea muy difícil.Dirigiéndose a Miguel, su compañero deequipo, Cristina dijo: “¡vamos a hacerlojuntos!” Mientras que el resto de la clasecontinuaba su trabajo en pequeñosgrupos, Cristina y Miguel fueron al frentedel pizarrón y utilizando una regla largade madera, Cristina empezó a contar dedos en dos, mientras que Miguel contabalos días en voz alta. En la figura 1,Cuando Miguel dice “nueve”, Cristinaseñala con una regla de madera elnúmero 26 sobre una recta numéricacolocada arriba del pizarrón, que es elnúmero de nueces acumuladas hasta eldía 9. En la figura 2, Miguel, que continuócontando los días, dice “diez”, mientrasque Cristina desplaza la regla hacia laderecha y señala el número 28, que esla respuesta a la pregunta.

Figura 1. Miguel dice 9 y Cristina señala elnúmero 26.

Figura 2. Miguel dice 10 y Cristina señala elnúmero 28.

Es usual que por pensamiento se entiendauna especie de vida interior, una serie deprocesos mentales sobre ideas que lleva acabo un individuo. De acuerdo con estaconcepción, a partir de los datos dados porla maestra, Cristina y Miguel, habríanrecuperado de su memoria la informaciónpertinente para producir una representaciónmental del problema. Con la ayuda de estarepresentación, el pensamiento de Cristinay Miguel se hubiese movido a lo largo de losestados de un espacio-problema,procesando informaciones codificadasquizás bajo la forma de representacionesproposicionales, a través de reglas lógicas ode inferencia.

Esta concepción del pensamiento, como“actividad mental” (de Vega, 1986, p. 439),proviene de la interpretación de la filosofíagriega por parte de San Agustín a fines delsiglo IV, interpretación que operó, enparticular, una transformación del significadoinicial del término griego eidos. Mientras queHomero, entre otros, utilizaba el términoeidos en el sentido de algo externo, no mental-“lo que uno mira”, por ejemplo la figura, laforma, la apariencia4- para San Agustín eidosse refiere a algo que está dentro delindividuo5. Influenciados por esta

Por ejemplo, en la traducción al inglés del Libro VIII, líneas 229-30, de la Ilíada, Homero dice: “ Argives, shame on you

cowardly creatures, brave in semblance [eidos] only”. (Homer, ca. 800 A.-C.). Estoy en deuda con Eva Firla por su ayuda

en la etimología del término eidos.

Una discusión sobre la manera en que ocurre esta transformación en la concepción del pensamiento en las matemáticas

renacentistas se encuentra en Radford (2004).

4

5

106


transformación, los racionalistas del sigloXVII, como Descartes y Leibniz considerabanque las matemáticas pueden practicarsehasta con los ojos cerrados, pues la menteno necesita el concurso de los sentidos nide la experiencia para alcanzar las verdadesmatemáticas: los principios que necesitamospara entender los objetos o para percibir suspropiedades, las leyes eternas de la razón,son “principios internos”, es decir que estánen nuestro interior (Leibniz, 1966, pp. 34-37).

Antropólogos como Geertz han puesto enevidencia las limitaciones de la concepciónde las ideas como “cosas en la mente” y delpensamiento como proceso exclusivamenteintracerebral:

La idea comúnmente aceptada segúnla cual el funcionamiento mental esun proceso intracerebral que puedeser sólo asistido o amplificado ensegundo término por los variosdispositivos artificiales que dichoproceso ha permitido al hombre crear,resulta estar completamenteequivocada. Al contrario, siendoimposible una definición adaptativa,completamente específica de losprocesos neuronales en términos deparámetros intrínsicos, el cerebrohumano es completamentedependiente de recursos culturalespara su propia operación; y esosrecursos no son, en consecuencia,[objetos] añadidos a la actividadmental sino constituyentes de ésta.(Geertz, 1973, p. 76)

La teoría de la objetivación parte de unaposición no mentalista del pensamiento yde la actividad mental. Dicha teoría sugiereque el pensamiento es una praxis cogitans,esto es una práctica social (Wartofsky,

1979). De manera más precisa, elpensamiento es considerado una reflexiónmediatizada del mundo de acuerdo con laforma o modo de la actividad de losindividuos.

En el resto de esta sección serán discutidoslos diferentes aspectos de esta definición.

1.1 Mediación semiótica

El carácter mediatizado del pensamientose refiere al papel, en el sentido deVygotsky (1981a), que desempeñan losartefactos (objetos, instrumentos, sistemasde signos, etc.) en la realización de lapráctica social. Los artefactos no sonmeras ayudas al pensamiento (como loplantea la psicología cognitiva) ni simplesamplificadores, sino partes constitutivas yconsustanciales de éste6. Se piensa con ya través de los artefactos culturales, demanera que hay una región externa que,parafraseando a Voloshinov (1973),llamaremos el territorio del artefacto. Es eneste territorio donde la subjetividad y laobjetividad cultural se imbricanmutuamente y en el que el pensamientoencuentra su espacio de acción y la mentese extiende más allá de la piel (Wertsch,1991).

De acuerdo con la teoría de la objetivación,el pensamiento de Cristina y Miguel no es,pues, algo que transcurre solamente en elplano cerebral de los alumnos. Elpensamiento también ocurre en el planosocial, en el territorio del artefacto. La reglade madera, la recta numérica, los signosmatemáticos sobre la hoja que sostieneMiguel mientras lee detrás de Cristina, sonartefactos que mediatizan y materializan elpensamiento. Esos artefactos son parteintegral del pensamiento.

6 Una crítica a la concepción de artefactos como amplificadores se encuentra en Cole (1980).

107

Relime

1.2 La naturaleza reflexiva delpensamiento

La naturaleza reflexiva del pensamientosignifica que el pensamiento del individuono es simple asimilación de una realidadexterna (como proponen las escuelasempiristas y conductistas), ni tampococonstrucción ex nihilo (como proponenciertas escuelas constructivistas). Elpensamiento es una re-flexión, es decir, unmovimiento dialéctico entre una realidadconstituida histórica y culturalmente y unindividuo que la refracta (y la modifica) segúnlas interpretaciones y sentidos subjetivospropios.

En el ejemplo anterior, el pensamiento delos alumnos se desarrolla a lo largo de unacompleja coordinación de actividadperceptual y de acciones semióticamentemediatizadas según la interpretación y lossentidos subjetivos de los alumnos (porejemplo, reinterpretar el problema sobre unarecta numérica, contar de dos en dos, etc.).Al mismo tiempo, el problema sobre el cuallos alumnos reflexionan es parte de unarealidad históricamente constituida.Problemas sobre secuencias de números(progresiones aritméticas) se encuentran enla matemática babilónica y fueron teorizadosluego por los pitagóricos y las diferentesescuelas numerológicas griegas (Robbins,1921). No sólo dicha realidad no se presentade manera directa o inmediata, comopensaban los empiristas, sino que tampocopuede ser reconstruida a través de la solaexperiencia personal, pues

Ninguna experiencia personal, porrica que sea, puede llegar a pensarde manera lógica, abstracta omatemática, e individualmenteestablecer un sistema de ideas. Para

hacer esto se requeriría no una vida,sino de miles. (Leontiev, 1968, p. 18)

Uno de los papeles de la cultura (sobre elcual vamos a detenernos en la siguientesección) es sugerir a los alumnos formas depercibir la realidad y sus fenómenos, formasde apuntar (viser), como diría Merleau-Ponty(1945), o formas de intuición, como diríaHusserl (1931).

En resumen, dicho de manera más general,la re-flexividad del pensamiento consiste enque, desde el punto de vista filogenético, losindividuos dan lugar al pensamiento y a losobjetos que éste crea. Pero al mismo tiempo,desde el punto de vista ontogenético, en elacto de pensar, un individuo concretocualquiera es subsumido por su realidadcultural y la historia del pensamiento humano,las cuales orientan su propio pensamiento.“El ser social”, dice Eagleton, “origina elpensamiento, pero al mismo tiempo esabarcado por éste”7.

1.3 La dimensión antropológica delpensamiento

En la sección precedente se dijo que elpensamiento es considerado como una re-flexión mediatizada del mundo de acuerdocon la forma o modo de la actividad de losindividuos. ¿Qué significa que la re-flexiónque constituye el pensamiento se realice deacuerdo con la forma o modo de la actividadde los individuos? Esto significa que lamanera en que llegamos a pensar y conocerlos objetos del saber está enmarcada porsignificados culturales que van más allá delcontenido mismo de la actividad en cuyointerior ocurre el acto de pensar. Estossignificados culturales actúan como enlacesmediadores entre la conciencia individual yla realidad cultural objetiva, y se constituyen

7 Eagleton (1997,p.12).

108


Leontiev no teorizó la dimensión de la superestructura simbólica que estamos poniendo en evidencia aquí y que es,

sin embargo, fundamental para entender el pensamiento en su dimensión antropológica. En la prolongación de la Teoría

de la Actividad de Leontiev, hecha por Engeström (1987), dicha superestructura no fue tampoco tomada en cuenta.

8

en prerrequisito y condición de la actividadindividual mental (Ilyenkov, 1977, p. 95).Dichos significados culturales orientan laactividad y le dan cierta forma. Es por esoque pensar no es algo que simplemente nosponemos a hacer, de forma más o menosantojadiza, en el transcurso del cual derepente encontramos una buena idea. Si bienes cierto que la actividad práctica sensual,mediatizada por los artefactos, entra en losprocesos del pensamiento, en su propiocontenido, la manera en que esto ocurre estásujeta a los significados culturales en los quese sostiene la actividad.

He aquí un ejemplo. La diferencia entre elpensamiento del escriba babilónico y el delgeómetra griego no se reduce únicamente alos tipos de problemas de los que cada unode ellos se ocupó, ni en los artefactosutilizados para pensar matemáticamente, nial hecho de que el primero reflexionaba enun contexto ligado con la administraciónpolítica y económica, mientras que elsegundo lo hacia dentro de un contextoaristocrático-filosófico. La diferencia entre el

pensamiento matemático babilónico y elgriego tiene que ver con el hecho de que laforma de las actividades que enmarcaronesos pensamientos está igualmentesubtendida por una superestructurasimbólica que, a pesar de su importancia,no ha sido tomada en cuenta en lasteorizaciones contemporáneas sobre elconcepto de actividad8. Estasuperestructura simbólica, que en otrostrabajos hemos llamado SistemasSemióticos de Significación Cultural(Radford 2003a), incluyen significadosculturales tales como concepciones entorno a los objetos matemáticos (sunaturaleza, su modo de existencia, surelación con el mundo concreto, etc.) ypatrones sociales de producción designificados. El pensamiento del escribababilónico está enmarcado por unpragmatismo realista en el que cobranvigencia los objetos matemáticos“rectángulo”, “cuadrado”, etc., objetos queel geómetra griego del tiempo de Euclidesconcibe en término de formas platónicas oabstracciones aristotélicas (ver Figura 3).

Figura 3. Las flechas muestranla interacción entre losSistemas Semióticos deSignificación Cultural con laactividad y el territorio delartefacto. Dicha interaccióngeneral los modos de laactividad y del saber, modosque, en un movimientodialéctico, vienen a su vez aalimentar a los vértices deltriángulo.

109

Relime

En interacción con las actividades (susobjetivos, acciones, distribución del trabajo,etc.) y con la tecnología de la mediaciónsemiótica (el territorio del artefacto), losSistemas Semióticos de SignificaciónCultural dan lugar, por un lado, a formas omodos de actividad y, por otro lado, amodos específicos del saber o epistemes(Foucault, 1966). Mientras que la primerainteracción da lugar a maneras particularesen que las actividades son realizadas enun momento histórico, la segundainteracción da lugar a modos de saberespecíficos que permiten una identificaciónde los problemas o situaciones“interesantes” y demarcan los métodos,argumentos, evidencias, etc. que seránconsideradas válidas en la reflexión que selleva a cabo sobre los problemas ysituaciones en una cultura dada9.

El triangulo mostrado en la figura 3 ilustrala complejidad de la actividad y lanaturaleza diversa de la misma.

La diversidad cultural en las formas de laactividad humana explica, en nuestraperspectiva, la diversidad de formas quetoma el pensamiento matemático, y que lahistoria nos muestra. En vez de ver esasformas históricas como versiones“primitivas” o estados “imperfectos” de unpensamiento que marcha hacia la formaacabada que presenta el pensamientomatemático actual (etnocentrismo), ladimensión antropológica de la teoría de laobjetivación considera esas formas comopropias de las actividades humanas que laenmarcan y renuncia así a privilegiar laracionalidad occidental como laracionalidad par excellence.

De allí que no es solamente la acción del sujeto que constituye el esquema del concepto (Piaget) o su sello o

emblema (Kant) sino sobre todo el significado de la acción en tanto que momento de la actividad socio-cultural misma

(Radford, 2005).

9

Como Spengler (1948, p. 68 y p. 70)sugería hace muchos años, lasmatemáticas de una cultura no son sino elestilo de la forma con que el hombrepercibe su mundo exterior y que, contrarioa la idea común, la “esencia” de éstas noes culturalmente invariable. Esprecisamente la diversidad cultural la queexplica la existencia de universos denúmeros tan diferentes como irreduciblesunos a otros (ibid. p. 68).

La manera en que el escriba babilónico, elgeómetra griego y el abaquista Renacentistallegan a pensar y a conocer los objetos delsaber, la manera en que plantean susproblemas y los considera resueltos, estáenmarcada por el modo mismo de laactividad y la episteme culturalcorrespondiente (Radford, 1997, 2003a,2003b).

2. Las bases epistemológicas yontológicas de la Teoría de la

objetivación

Cualquier teoría didáctica debe en unmomento u otro (a menos de confinarsevoluntariamente a una especie de posicióningenua) clarificar su posición ontológicay epistemológica. La posición ontológicaconsiste en precisar el sentido en que lateoría aborda la cuestión de la naturalezade los objetos conceptuales (en nuestrocaso, la naturaleza de los objetosmatemáticos, su forma de existencia, etc.).La posición epistemológica consiste enprecisar la manera en que, según la teoría,esos objetos pueden (o no) llegar a serconocidos.

110


Las teorías didácticas contemporáneasque parten de una aplicación de lasmatemáticas abrazan a menudo, aun si noes mencionado explícitamente, unaontología realista, y plantean el problemaepistemológico en términos deabstracciones. Claro, la situación no es tansimple, como el propio Kant lo reconoció.

Para el realismo, que en un sentidoimportante es la versión platonista de laracionalidad instrumental (Weber, 1992)que emerge en el renacimiento, laexistencia de los objetos matemáticosantecede y es independiente de laactividad de los individuos. Al igual que elplatonista, el realista considera que losobjetos matemáticos son independientesdel tiempo y la cultura. La diferencia es que,mientras los objetos platónicos no semezclan con el mundo de los mortales, losobjetos del realista gobiernan nuestromundo. Según la ontología realista, estoexplica el milagro de la aplicabilidad de lasmatemáticas a nuestro mundo fenomenal(Colyvan, 2001). Naturalmente, para lograresto, el realismo hace un acto de fe queconsiste en creer que el ascenso de laabstracción hacia los objetos es ciertamenteposible. La fe que Platón ponía en el discursosocial razonado (logos) y que Descartesponía en la cogitación consigo mismo, elrealismo la pone en el experimento científico.

La posición ontológica y epistemológica dela teoría de la objetivación se aparta de laontología platonista y realista, y suconcepción de los objetos matemáticoscomo objetos eternos, anteriores a laactividad de los individuos. Al alejarse de laontología idealista, la teoría se aleja de laidea de que los objetos son productos deuna mente que opera replegada sobre símisma o según las leyes de la lógica(ontología racionalista). La teoría de laobjetivación sugiere que los objetosmatemáticos son generados históricamente

en el curso de la actividad matemática delos individuos. De manera más precisa, losobjetos matemáticos son patrones fijos deactividad reflexiva (en el sentido explicadoanteriormente) incrustados en el mundo encambio constante de la práctica socialmediatizada por los artefactos.

El objeto círculo, por ejemplo, es un patrónfijo de actividad cuyos orígenes resultan node la contemplación intelectual de los objetosredondos que los primeros individuosencontraron en su entorno, sino de laactividad sensual que llevó a dichosindividuos a notar o a darse cuenta de ella:

Los hombres pudieron ver el Solredondo solamente porqueredondearon barro con sus manos.Con sus manos dieron forma a lapiedra, pulieron sus bordes, le dieronaspecto plano. (Mikhailov, 1980, p.199)

Esa experiencia sensual laboral queda fijadaen el lenguaje, el cual encarna así lossignificados originales, de manera que

el significado de la palabra “borde”,“plano”, “línea” no viene de unaabstracción de los aspectosgenerales de las cosas en el procesode contemplación (Mikhailov, ibid.)

sino de la actividad laboral que se pierde enlos orígenes de la humanidad. Lejos deentregarse de lleno a nuestros sentidos,nuestra relación con la naturaleza y el mundoestá filtrada por categorías conceptuales ysignificados culturales que hacen que

El hombre moderno puedacontemplar la naturaleza solamentea través del prisma de todas lashabilidades sociales de trabajo quehan sido acumuladas por suspredecesores. (Mikhailov, ibid.)

111

Relime

Terminemos esta sección con unaobservación general sobre la evolución delos objetos matemáticos que seránecesaria para nuestra discusión sobre elaprendizaje. En el curso del tiempo, laactividad laboral va dejando su sello en susproductos conceptuales (Leontiev, 1993, p.100). Como todo objeto matemático, elconcepto de círculo, en tanto que reflexióndel mundo en la forma de la actividad delos individuos, ha sido expresado de otrasformas a lo largo de la historia. Por ejemplo,a través de una palabra, un dibujo, unafórmula, una tabla numérica. Cada una deesas expresiones ofrece un significadodiferente, que se amarra a los anteriores yviene a constituir como diría Husserl capasnoéticas del objeto. Como es la actividadde los individuos la que forma la raíz genéticadel objeto conceptual, el objeto posee unadimensión expresiva variada que va más alláde un simple contenido conceptual“científico”. Esta dimensión expresivaencierra igualmente aspectos racionales,estéticos y funcionales de su cultura.

3. Aprendizaje como objetivacióncultural del saber

3.1 Dos fuentes de elaboración designificados

En las secciones anteriores hemos visto que,desde el punto de vista filogenético, laactividad humana es generadora de losobjetos conceptuales, los cuales setransforman a raíz de cambios en lasactividades mismas. Desde el punto de vistaontogenético, el problema central es explicar

cómo se realiza la adquisición del saberdepositado en la cultura: este es un problemafundamental de la didáctica de lasmatemáticas en particular y del aprendizajeen general.

Las teorías clásicas de la didáctica de lasmatemáticas plantean el problema entérminos de una construcción o re-construcción del saber cultural por parte delalumno10. La idea de construcción del sabertiene su origen en la epistemología elaboradapor Kant en el siglo XVIII. Para Kant, elindividuo no es solamente un pensadorensimismado cuya actividad mental, si esbien realizada, lo llevará a las verdadesmatemáticas como sostenían losracionalistas (Descartes, Leibniz, etc.);tampoco es un individuo pasivo que recibelas informaciones sensoriales para formarideas, como proponían los empiristas (Hume,Locke, etc.). Para Kant el pensador es unser en acción: el individuo es el artesano desu propio pensamiento (esta idea kantianaes analizada en Radford, 2005). En realidadKant expresa de manera coherente yexplícita el cambio epistemomólogico que sevenía formando paulatinamente desde laaparición de la manufactura y la emergenciadel capitalismo en el Renacimiento y queArendt (1958) resume de la manerasiguiente: la era moderna es marcada porun desplazamiento en la concepción de loque significa saber; el problema central delconocimiento yace en un desplazamientoque va del qué (el objeto del saber) al cómo(el proceso), de suerte que, a diferencia delhombre del medioevo, el hombre modernopuede entender solamente aquello que élmismo ha hecho.

10 Naturalmente, hay matices diferentes, según la concepción que la teoría se hace del sujeto que aprende (esto es, del

alumno). Partiendo de una posición extrema, el constructivismo radical va más lejos que todas las formas de constructivismo.

Brousseau (2004) resume las dificultades a las que se enfrenta dicha teoría afirmando que “En didactique, le constructivisme

radical, est une absurdité”, y adopta un constructivismo piagetiano más moderado que, inevitablemente, lleva la teoría de

situaciones a una serie de paradojas.

112


Para la teoría de la objetivación, elaprendizaje no consiste en construír oreconstruír un conocimiento. Se trata dedotar de sentido a los objetos conceptualesque encuentra el alumno en su cultura. Laadquisición del saber es un proceso deelaboración activa de significados. Es loque llamaremos más adelante un procesode objetivación. Por el momento, nosinteresa discutir dos fuentes importantesde elaboración de significados quesubtienden la adquisición del saber.

El saber depositado en los artefactos

Una de las fuentes de adquisición del saberresulta de nuestro contacto con el mundomaterial, el mundo de artefactos culturalesde nuestro entorno (objetos, instrumentos,etc.) y en el que se encuentra depositadala sabiduría histórica de la actividadcognitiva de las generaciones pasadas. Sibien es cierto que ciertos animales llegana utilizar artefactos, para el animal elartefacto no llega a adquirir unasignificación durable. El palo de maderaque el chimpancé utiliza para alcanzar unafruta pierde su significado luego que laacción ha sido ejecutada (Köhler, 1951).Es por eso que los animales no conservanartefactos. Además –y este es un elementofundamental de la cognición humana– alcontrario de los animales, el ser humanoes afectado profundamente por el artefacto:al contacto con éste, el ser humanoreestructura sus movimientos (Baudrillard,1968) y forma capacidades motrices eintelectuales nuevas, como la anticipación,la memoria, la percepción (Vygotsky yLuria, 1994).

El mundo de artefactos aparece, pues,como una fuente importante en el proceso

de aprendizaje, pero no es el único. Losobjetos no pueden hacer clara lainteligencia histórica encarnada en ellos.Para esto se requiere de su uso enactividades y del contacto con otraspersonas que saben “leer” esa inteligenciay ayudarnos a adquirirla. El lenguajesimbólico-algebraico quedaría reducido aun conjunto de jeroglíficos. La inteligenciade la que es portador dicho lenguajequedaría sin ser notada sin la actividadsocial realizada en la escuela. Es en estadimensión social que constituye para lateoría de la objetivación la segunda fuenteesencial del aprendizaje11.

La interacción social

Aunque la importancia de la dimensiónsocial ha sido subrayada por una infinidadde estudios recientes sobre la interacciónen el salón de clases, hay diferenciassutiles en cuanto a su aporte cognitivo(Cobb y Yackel,1996; Sierpinska, 1996;Steinbring, Bartolini Bussi y Sierpinska,1998;). A menudo, la interacción es vistacomo negociación de significados o comosimple ambiente que ofrece los estímulosde adaptación que requiere el desarrollocognitivo del alumno. El problema es queel individuo en general y el alumno enparticular no encuentran en la sociedad yen el salón de clases solamente unaespecie de muro con el que se topan y sefrotan para adaptarse; no se tratasolamente de condiciones “externas” a lasque el sujeto debe acomodar su actividad.El punto crucial es que las actividades, losmedios materiales que las mediatizan y susobjetivos están impregnados de valorescientíficos, estéticos, éticos, etc. quevienen a recubrir las acciones que realizanlos individuos y la reflexión que estas

La escuela histórico-cultural de Vygotsky ha expresado este punto de manera contundente. Ver por ejemplo Leontiev,

1993, pp. 58-59; 1968, pp. 27-29; Vygotsky, 1981b.

11

113

Relime

acciones exigen. Tal como fue discutido enla primera parte de este artículo, las accionesque los individuos realizan están sumergidasen modos culturales de actividad. Es por esoque el salón de clases no puede verse comoun espacio cerrado, replegado en sí mismo,en el cual se negocian las normas del saber,pues esas normas tienen toda una historiacultural y como tal pre-existen a la interacciónque ocurre en el salón de clases. Tampocopuede verse como una especie de ambientebiológico en el que el individuo opera segúnsus mecanismos invariables de adaptacióngeneral.

En la perspectiva que estamos sugiriendo,la interacción desempeña un papel diferente.En lugar de desempañar una funciónmeramente de adaptación, de catalizadorao facilitadora, en la perspectiva teórica queestamos esbozando la interacción esconsustancial del aprendizaje.

Vemos, pues, que hay dos elementos quedesempeñan un papel básico en laadquisición del saber que son el mundomaterial y la dimensión social. La asignaciónde significados que reposa sobre esasdimensiones tiene una importanciapsicológica profunda en la medida en quees, a la vez, toma de conciencia de conceptosculturales y proceso de formación de lascapacidades específicas del individuo. Es poreso que, dentro de nuestra perspectiva,aprender no es simplemente apropiarse dealgo o asimilar algo, sino que es el procesomismo en que se forman nuestrascapacidades humanas.

3.2 La actividad de aprendizaje

Un elemento central en el concepto deactividad es el objetivo de la misma (Leontiev,1993). El objetivo puede ser, por ejemplo, quelos alumnos elaboren una fórmula algebraicaen el contexto de una generalizaciónaritmética, que aprendan un método

algebraico de resolución de problemas, queaprendan a demostrar proposicionesgeométricas, etc.. Aunque el objetivo es claropara el profesor, en general éste no lo espara los alumnos. Si el objetivo fuese claropar estos últimos, no habría nada poraprender.

Dentro del proyecto didáctico de la clase,para que dicho objetivo se pueda realizar, elprofesor propone a los alumnos una seriede problemas matemáticos. Resolver esosproblemas se convierte en fines que guíanlas acciones de los alumnos. Estosproblemas -cargados desde el principio conun contenido cultural y conceptual- formantrayectorias potenciales para alcanzar elobjetivo.

Debemos subrayar que, desde la perspectivade la teoría de la objetivación, hacermatemáticas no se reduce a resolverproblemas. Sin quitarle méritos al problemaen la formación del conocimiento (ver porejemplo Bachelard, 1986), para nosotros laresolución de problemas no es el fin sino unmedio para alcanzar ese tipo de praxiscogitans o reflexión cultural que llamamospensamiento matemático. De manera, pues,que detrás del objetivo de la lección, yaceun objetivo mayor y más importante, elobjetivo general de la enseñanza y elaprendizaje de las matemáticas, que es laelaboración por parte del alumno de unareflexión definida como relación común yactiva con su realidad histórico-cultural.

En otras palabras, aprender matemáticas noes simplemente aprender a hacermatemáticas (resolver problemas) sinoaprender a ser en matemáticas. La diferenciaentre hacer y ser es inmensa y, comoveremos más adelante, tiene consecuenciasimportantes no solamente en el diseño delas actividades sino en la organización mismade la clase y el papel que allí juegan alumnosy profesores.

114


3.3 La objetivación del saber

En forma sucinta, el objetivo mayor de laenseñanza de las matemáticas es que elalumno aprenda a reflexionar de acuerdo conciertas formas culturales de pensamientohistóricamente constituidas que la distinguende otras formas de reflexión (por ejemplo detipo literario o musical) en la medida en queen la reflexión matemática, la relación delindividuo con el mundo enfatiza ideas entorno a la forma, el número, la medida, eltiempo, el espacio, etc. Es este énfasis el quedistingue el pensamiento matemático deotras formas de pensamiento.

Para conseguir ese objetivo, debemosrecurrir a la práctica, por la sencilla razón deque no disponemos de un lenguaje quepueda enunciar y capturar en el enunciado(en el sentido clásico del término, es decir,como conjunto articulado de sonidos vocales)el pensamiento matemático. No hay, enefecto, una formulación lingüística posible delpensamiento matemático de cuya lectura -por atenta que sea- pueda resultar lacomprensión de éste. El pensamiento, ya lohemos dicho (Radford, 2003b), está más alládel discurso: es una praxis cogitans, algo quese aprende haciendo.

La teoría de la objetivación no ve, sinembargo, dicho aprendizaje como simpleimitación o participación conforme a unapráctica ya establecida, sino como la fusiónentre una subjetividad que busca percibir eselingüísticamente inarticulable modo dereflexionar y este último que no puede sinomostrarse a través de la acción.

Sin duda, hay una relación estrecha entre elpensamiento matemático y sus objetos enel sentido en que estos objetos no puedenser percibidos sino a través de unpensamiento, el cual, a su vez, en elmomento de su constitución ontogenética,debe apuntar hacia uno o más de esos

objetos. ¿Pero cómo es esto posible? Paraconstituirse, el pensamiento parece suponerla existencia del objeto. Por otro lado, elobjeto no puede llegar a ser sin elpensamiento (entendido como praxiscogitans) que lo produce.

El misterio de esta relación se disuelve siregresamos a lo dicho en la primera partede este artículo. El objeto matemáticoconcebido como patrón o patrones fijosde actividad reflexiva incrustados en elmundo constantemente en cambio de lapráctica social no podrá ser percibido,sino es a través de la actividad reflexivamisma.

De allí que para llegar a conocer los objetosy productos del desarrollo cultural es“necesario realizar en torno a los mismosdeterminada actividad, es decir, unaactividad que produzca los rasgosesenciales de aquélla, encarnada,‘acumulada’ en dichos objetos.” (Leontiev,1968, p. 21)

La enseñanza consiste en poner y manteneren movimiento actividades contextuales,situadas en el espacio y el tiempo, que seencaminan hacia un patrón fijo de actividadreflexiva incrustada en la cultura.

Ese movimiento, que podría expresarsecomo el movimiento del proceso al objeto(Sfard, 1991; Gray y Tall, 1994), posee trescaracterísticas esenciales. Primero, el objetono es un objeto monolítico u homogéneo.Es un objeto compuesto de laderas degeneralidad (Radford, en prensa-1).Segundo, desde el punto de vistaepistemológico, dichas laderas serán máso menos generales de acuerdo con lascaracterísticas de los significados culturalesdel patrón fijo de actividad en cuestión (porejemplo, el movimiento kinestésico queforma el círculo; la fórmula simbólica que loexpresa como conjunto de puntos a igual

115

Relime

distancia de su centro, etc.). Tercero, desdeel punto de vista cognitivo, dichas laderas degeneralidad son notadas de maneraprogresiva por el alumno. El “¡Aha!” que seconvirtió tan popular en parte gracias a lateoría de la Gestalt es a lo sumo cierto entanto que punto final de un largo proceso detoma de conciencia.

El aprendizaje consiste en aprender a notaro percibir esas laderas de generalidad. Comoel aprendizaje es re-flexión, aprender suponeun proceso dialéctico entre sujeto y objetomediatizado por la cultura, un proceso en elque, a través de su acción (sensorial ointelectual) el sujeto nota o toma concienciadel objeto.

La objetivación es, precisamente, eseproceso social de toma de concienciaprogresiva del eidos homérico, esto es, dealgo frente a nosotros una figura, una formaalgo cuya generalidad notamos gradualmente,al mismo tiempo que la dotamos de sentido.Es ese notar que se desvela en el gesto quecuenta o que señala, notar que se descubreen la intención que se plasma en el signo oen el movimiento kinestésico que mediatizael artefacto en el curso de la actividad prácticasensorial, algo susceptible de convertirse enacción reproducible, cuyo significado apuntahacia ese patrón eidético fijo de accionesincrustadas en la cultura que es el objetomismo12.

4. El salón de clases como comunidadde aprendizaje

4.1 Ser-con-otros

El salón de clases es el espacio social en

donde el alumno elabora esa reflexióndefinida como relación común y activa consu realidad histórico-cultural13. Es aquí endonde ocurre el encuentro del sujeto y elobjeto del saber. La objetivación que permitedicho encuentro no es un proceso individual,sino social. La sociabilidad del proceso,empero, no debe ser entendida como simpleinteracción de negocios, una especie dejuego entre adversarios capitalistas en el quecada uno invierte bienes con la esperanzade terminar con más. La sociabilidad significaaquí el proceso de formación de laconciencia, que Leontiev caracterizaba comoco-sapiencia, es decir, saber en común osaber-con-otros.

Naturalmente, estas ideas implican unareconceptualización del alumno y su papelen el acto de aprendizaje. En la medida enque las teorías contemporáneas de ladidáctica de las matemáticas se amparan delconcepto de individuo formulado por Kant yotros filósofos del Siglo de las Luces, laeducación se justifica en tanto que éstaasegura la formación de un sujeto autónomo(entendida en el sentido de ser capaz dehacer algo por sí mismo, sin ayuda de losdemás). La autonomía es, en efecto, un temacentral de la educación moderna que haservido de fundamento a las teorizacionesdel socioconstructivismo (ver, por ejemplo,Yackel and Cobb, 1996) y de la teoría desituaciones (Brousseau, 1986; Brousseau yGibel, 2005, p. 22). El racionalismo que pesasobre este concepto de autonomía viene desu alianza con otro concepto clave kantiano:el de la libertad. No puede haber autonomíasin libertad, y la libertad significa el usoconveniente de la Razón según sus propiosprincipios, pues “no vemos los principios sinoa través de la razón” (Kant, 1980, p. 119).

Ver Radford, 2002, 2003c, 2004.

El término elaborar debe ser entendido en su sentido etimológico medieval, como –labMrtus (de ex-labMrre), es decir

de labor o trabajo sensual conjunto.

12

13

116


Como el Siglo de las Luces no se planteóla posibilidad de una multiplicidad derazones, sino que postuló la razónoccidental como la razón, la convivenciaen comunidad implica el respeto a un deberque, en el fondo, no es sino unamanifestación de esa razón universal, cuyoepitome son las matemáticas. Es esasupuesta universalidad de la razón la quelleva a Kant a fusionar las dimensionesética, política y epistemológica, y a afirmarque “hacer algo por deber es obedecer ala razón.” (Kant, 1980, p. 129).

Para la teoría de la objetivación, elfuncionamiento del salón de clases y elpapel del profesor no se limitan a buscarel logro de la autonomía. Más importantees aprender a vivir en la comunidad quees el salón de clases (en un sentidoamplio), aprender a estar con otros, abrirsea la comprensión de otras voces y otrasconciencias, en pocas palabras, a ser-con-otros (Radford, en prensa-2).

Como “lo social es irreducible a losindividuos, por muy numerosos que éstossean” (Todorov, 1984, p. 19), la sociabilidaddel salón de clases significa una unión através de vínculos y relaciones que sonprerrequisitos de esa reflexión que hemosmencionado anteriormente, definida comorelación común y activa que elabora elalumno con su realidad histórico-cultural.Esa sociabilidad no solamente deja suhuella en el contenido conceptualperseguido, sino que es consustancial deéste.

La naturaleza intrínsicamente social delsaber y del pensamiento matemático nosha llevado, pues, a concebir la sala de clasecomo una comunidad de aprendizaje, cuyofuncionamiento está orientado a laobjetivación del saber. Sus miembrostrabajan de forma que:

• la comunidad permite la realizaciónpersonal de cada individuo;

• cada miembro de la comunidad tienesu lugar;

• cada miembro es respetado;

• cada miembro respeta los otros y losvalores de su comunidad;

• la comunidad es flexible en las ideasy sus formas de expresión;

• la comunidad abre espacio a lasubversión a fin de asegurar:

– la modification,

–el cambio

–y su transformación

Ser miembro de la comunidad no es algoque va de sí. Para ser miembro, losalumnos son alentados a:

• compartir los objetivos de lacomunidad;

• implicarse en las acciones del salónde clases;

• comunicar con los otros.

Queremos insistir en que los lineamientosanteriores no son simplemente códigos deconducta, sino, al contrario, son índices deformas de ser en matemáticas (y porconsiguiente de saber matemáticas) en elsentido más estricto del término.

Para resumir las ideas anteriores,subrayemos el hecho de que, para la teoríade la objetivación, la autonomía no essuficiente para dar cuenta de la forma deser en matemáticas. El alumno queresuelve con éxito problemas, pero que esincapaz de explicarse o de entender ointeresarse en las soluciones de los otroso de ayudar a los otros a comprender lasuya está apenas a medio camino de lo

117

Relime

que entendemos por éxito en matemáticas.Es por eso que el profesor dispone de unaserie de acciones de inclusión. Estasacciones son concebidas de manera queel alumno que resuelve correctamenteproblemas matemáticos sin poder atendera la dimensión interpersonal de lacomunidad gane poco a poco su espacioen la misma14. La idea de autonomía comoser autosuficiente es remplazada por laidea de ser-con-otros. En vez de concebirla clase como espacio de negociaciónpersonal de significados o como medio queenfrenta al alumno, la clase colabora ycoopera con el alumno para que éste seconvierta en parte de la comunidad.

4.2 Tres fases de la actividad del salónde clases

El trabajo en pequeños grupos

Para implementar la comunidad deaprendizaje, el profesor favorece el trabajoen pequeños grupos, los cuales pueden,en el curso de la lección de matemáticasintercambiar ideas con otros grupos. Deesa cuenta, la ingeniería didáctica(Artigue, 1988) no se limita al diseño delos problemas matemáticos sino incluyeuna gest ión del salón de clasesoperacional con los principios comunitariosmencionados anteriormente.

En cada pequeño grupo, los alumnos seapoyan mutuamente para alcanzar lasolución de los problemas que se les hadado. Los alumnos y el profesor estánconscientes de que hay diferenciasindividuales que llevan a formas diferentesde participación. Incluso participaciones

Ver nuestro libro, Communication et apprentissage (Radford y Demers, 2004).14

que parecen “menos profundas” (como lasparticipaciones periféricas, en el sentidode Lave y Wenger, 1991) sonbienvenidas, a condición de que elalumno en cuestión esté-con-su-grupo,esto es, que el alumno por ejemplo estéatento a lo que el grupo está discutiendo,solicite explicaciones que le permitanseguir la discusión y las acciones,colabore con su grupo, etc.

El profesor debe proponer tareas yproblemas que conlleven a la objetivacióndel saber. Ciertas condiciones deben sercumplidas. Por ejemplo, para manteneruna ref lexión sostenida entre losmiembros del grupo, con el profesor yluego con otros grupos, los problemasdeben ser suficientemente complejospara favorecer la aparición de diversasformas de abordar el problema yengendrar así la discusión.

En nuestro modelo, el profesor circula entrelos grupos y discute con los alumnos.Aunque en general el profesor deja a losalumnos discutir entre ellos sin intervenirinnecesariamente, éste va intervenir enmomentos en que, por ejemplo, cree quela discusión se ha estancado o que losalumnos no han ido suficientemente lejoscomo se esperaba.

Para ilustrar estos principios, veamos unextracto de una lección sobre lainterpretación del movimiento en unaclase de décimo grado (15-16 años). Lalección incluía un artefacto que mide ladistancia a un objeto a través de la emisión-recepción de ondas (Calculador BasedRanger o CBR; ver figura 4).

118


Figure 4. El Calculator Based Ranger® (a laizquierda) es un artefacto concebido paraestudiar los objetos en movimiento: a través dela emisión de ondas, el CBR recoge datos desu distancia al objeto en cuestión. Al conectarsea una calculadora gráfica (por ejemplo, TI-83+®,mostrada a la derecha), es posible obtenergráficas espacio-tiempo, velocidad-tiempo, etc.

Los alumnos habían empezado a utilizarel CBR en noveno grado. El enunciado deuno de los problemas dado a los alumnosfue el siguiente:

Dos alumnos, Pierre et Marthe, secolocan a una distancia de un metroy empiezan a caminar en línea recta.Marthe, que está detrás de Pierre,lleva una calculadora conectada a unCBR. El gráfico obtenido se encuentrareproducido abajo. Describan cómoPierre y Marthe han podido hacer paraobtener ese gráfico.

t

d

A

B C

D

En el problema que seguía en el diseñode la actividad, los alumnos debíanverificar su hipótesis, efectuando lamarcha en uno de los corredores de laescuela.

Como de costumbre, los alumnostrabajaron en pequeños grupos de 3. Enlos problemas anteriores, los alumnoshabían sido confrontados con situacionesde movimiento en las que uno de los dos,el CBR o el objeto, quedaban fijos. Eneste caso, los dos están en movimiento.Como esperábamos, las dificultadesconceptuales fueron importantes. Engeneral, los alumnos transformaban elenunciado del problema en uno que podíanresolver: los alumnos suponían que Martheno se mueve. Esto queda ilustrado a travésde la discusión que tuvieron Samuel, Carlay Jenny de la cual reproducimos acontinuación algunas partes:

1.Samuel: Ok, Pierre se mueve despaciode « A » a « B » … Se detuvo algunossegundos (ver figura 5, foto 1), luegocorrió a D (figura 5, foto 2).

2.Carla: Ah, Sí! caminó, se detuvo, corrió.

3.Jenny: Mm-hmm.

4.Samuel: Espera, espera un segundo…[Pierre] regresó verdaderamenterápido.

5.Carla: Es cierto. Empezó despaciodespués (inaudible) luego se detuvo,luego corrió.

6.Samuel: Sí, hacia atrás.

7.Jenny: (dirigiéndose a Carla) Sí, haciaatrás, porque [el segmento] baja(haciendo un gesto hacia abajo con lamano; ver figura 5, foto 3).

119

Relime

Foto 1: …Se detuvo algunossegundos …(línea 1).

Foto 2: … luego corrió a D (línea 1).

Foto 3: porque [el segmento] baja.

Figura 5. Fotos 1 a 3.

Nuestro interés aquí no es entrar en unanálisis de errores, sino de mostrarelementos del proceso social deobjetivación del saber. Conviene notar, aese respecto, que no consideramos laintervención de Carla en la línea 2 comosimple réplica o imitación de la preposiciónenunciada por Samuel en la línea 1. Desde

la perspectiva de la objetivación, Carla seapropia la interpretación del fenómeno quele es ofrecida por Samuel. La apropiaciónpasa por una verbalización que Carlareformula en términos más breves (porejemplo, no hay alusión a las letras A, B.etc.). La preposición de Samuel y elmovimiento gestual hechos con la plumasobre el gráfico son para Carla la materiaprima a partir de la cual ella alcanza a veralgo que antes no veía.

Si Samuel ofrece a Carla acceso a unaprimera interpretación del problema (porrudimentaria que ésta sea), a su vez, lareformulación de Carla permite a Samueldarse cuenta de que hay algo importanteque ha quedado sin atenderse: que, paradar cuenta de la diferencia de inclinacionesde los segmentos, en la historia delproblema Pierre ha debido regresar“verdaderamente rápido” (línea 4). Carlareformula de nuevo la idea y, en la línea 6,Samuel insiste en que Pierre nosolamente ha debido correr más rápido,sino en cierta dirección (“hacia atrás”).En la línea 7, haciendo un gesto con lamano (ver Figura 5, foto 3), Jennypropone una razón.

Los alumnos continúan discutiendo por unbuen momento. La interpretación obtenidano convence a Carla y a Jenny, pues éstaasume que Marthe no camina.

La discusión continúa entre ellos:

8.Jenny: No … heuu… ¡(los dos) tienenque caminar!

9.Samuel: Si ella hiciera eso [es decir,caminara] exactamente a la mismadistancia [de Pierre] … como si ellahiciera esto (ver el gesto en la figura6), sería una línea plana [es decirhorizontal] (…) por lo tanto ¡ella debequedarse quieta y él debe moverse!

120


10.Jenny: ¡Pero eso [el enunciado delproblema] dice que los dos caminan!(…)

11.Samuel: (después de un momento desilencio) Talvez ella camina, pero élcamina un poco más rápido que ella.

Figura 6. Para simular el caso en que Pierrey Marthe caminan,Samuel desplaza en formacontinua las manos de derecha a izquierda,

dejándolas a la misma distancia.

En este momento, la descripción delmovimiento deja de ser la descripciónrespecto a un punto fijo y alcanza ladescripción del movimiento relativo. Através de ese intercambio, los alumnosconsiguen acercarse un poco más a laforma cultural de reflexión vehiculado porla actividad. Será necesaria la expresióncorporal con el CBR y simbólica delmovimiento (a través de la experiencia

física en el corredor de la escuela y luegoel cálculo de las ecuaciones de lossegmentos) para que los alumnosalcancen una objetivación mayor.

Intercambio entre pequeños grupos

Las ref lexiones producidas por lospequeños grupos son, a menudo, objetode intercambio. Un grupo puedeintercambiar sus soluciones con otrogrupo con el fin de entender otros puntosde vista y mejorar los propios. La figura7 muestra el encuentro de dos grupos dealumnos sobre el problema de Pierre yMarthe. Los grupos llegaron a un puntoen que un acuerdo era imposible. Marc ysu grupo planteaban la explicación entérminos de cambios de velocidad. Porel contrario, Dona y su grupo afirmabanque la velocidad de Pierre con relación aMarthe es constante. Ante laimposibi l idad de poder l legar a unconsenso, los alumnos optaron porllamar a la profesora. En la figura 7, Marc(a la izquierda) explica su razonamientoa la profesora (de píe, detrás de losalumnos):

1.Marc: ¿Y si los dos comienzan a lamisma velocidad, luego él empieza acorrer más rápido? (Marc apoya suargumento con un gesto de manos)

2.Profesora: ¿Tú supones que elmuchacho [Pierre] camina cada vezmás rápido?

3.Dona: (oponiéndose a la idea) ¡Lavelocidad es constante! (…)¡No haycurvas! Eso quiere decir que él [Pierre]camina la misma distancia porsegundo.

121

Relime

Figura 7. Arriba, la discusión entrelos Grupos. Abajo, Marc explica la

solución de su grupo a la profesora,que aparece en la foto de píe, entre

Marc y Dona.

La profesora sugiere a los alumnos pensaren la situación de dos móviles que viajan a80 k/h y 100 k/h. Marc se da cuenta de queel aumento de distancia no significanecesariamente un aumento de velocidad.La profesora se cerciora de que los otrosalumnos del grupo de Marc hayan entendidola diferencia (dice, por ejemplo: “tú, Edgar¿qué piensas ahora?”) y aprovecha lascircunstancias para hacer reflexionar a losalumnos sobre el efecto en las gráficas quetendría un movimiento de velocidad queaumenta, como Marc proponía en la línea 1.

En este caso, los alumnos notan lasdiferencias entre los argumentos einterpretaciones. Sin embargo, muchasveces los alumnos no se dan cuenta de quelos argumentos presentados son diferenteso tienden a minimizar las diferencias. Unade las dificultades en la adquisición deformas de reflexión matemática es el de

notar las diferencias entre los argumentos.Naturalmente, tanto en un caso como en elotro, el profesor desempeña un papel crucial.En los dos casos, el profesor entra en la zonade desarrollo próximo del grupo. Lo que esmás importante es que el profesor no entraa esa zona de manera neutra, sino con unproyecto conceptual preciso.

Discusiones generales

La discusión general es otra manera deintercambiar ideas y discutirlas. Es otromomento que posee el profesor para lanzarla discusión en puntos que requieren mayorprofundidad de acuerdo con los estándarescurriculares. Por ejemplo, durante ladiscusión general del problema de Pierre yMarte, la profesora aprovecha para subrayaralgo sobre lo cual no todos los grupos habíanrecapacitado, a saber que la posición delsegmento BC no significa necesariamenteque Pierre y Marthe están detenidos ni quela posición del segmento CD significanecesariamente que Pierre camina en ladirección de Marthe. En la figura 8, dosalumnos ejecutan la marcha frente a toda laclase, mientras Susan, la tercera alumna deese grupo (no visible en la foto), explica atoda la clase:

1.Susan : Hem, la persona que estabaenfrente caminaba más rápido que la queestaba atrás, eso lograba una distanciamayor entre el CBR y el punto objetivo.Luego … hem… en seguida B y C ennuestro diagrama [Pierre y Marthe]caminaban a la misma velocidad, portanto había la misma distancia entre ellos.Luego, … ¿tú?

2.Profesora :Sí, ¡continua!

3.Susan: luego … hem … al final, lapersona que estaba atrás camina másrápido para acercarse a la persona queestaba adelante (ver figura 8).

122


Figura 8. El alumno que camina atrás se

acerca al otro alumno

Síntesis

Algunas teorías de la didáctica de lasmatemáticas han excluido intencionalmentelos aspectos psicológicos del aprendizaje yse han ocupado de las situacionesmatemáticas que pueden favorecer laemergencia de razonamientos matemáticosprecisos. Tal es el caso de la teoría desituaciones. Por el contrario, otras teorías sehan detenido en los mecanismos denegociación de significados en el aula y lamanera en que esa negociación explica laconstrucción de representaciones que sehace el alumno del mundo. Tal es el casodel socio-constructivismo. La deudaintelectual que tiene la teoría de laobjetivación con esas teorías es inmensa,y nuestras referencias a ellas no deben servistas negativamente. Dichas teoríasaparecen sustentadas por principiosfundamentales y operacionales claros queles confieren una solidez impecable. Sinembargo, la teoría de la objetivación partede otros principios. Por un lado, ésta partede la idea de que la dimensión psicológicadebe ser objeto de estudio de la didácticade las matemáticas. Por otro lado, sugiereque los significados que circulan en el aula

no pueden ser confinados a la dimensióninteractiva que ocurre en el aula misma,sino que tienen que ser conceptualizadosen el contexto de su dimensión histórico-cultural.

De esa cuenta, la teoría de la objetivaciónpropone una didáctica anclada enprincipios en los que el aprendizaje es vistoen tanto que actividad social (praxiscogitans) arraigada en una tradicióncultural que la antecede. Sus principiosfundamentales se articulan alrededor decinco conceptos relacionados entre sí.

El primero es un concepto de ordenpsicológico: el concepto de pensamiento,elaborado en términos no mentalistas.Hemos propuesto que el pensamiento essobre todo una forma de re-flexión activasobre el mundo, mediatizada porartefactos, el cuerpo (a través de lapercepción, gestos, movimientos, etc.), ellenguaje, los signos, etc. Este concepto dere-flexión difiere del concepto idealista yracionalista en el que la reflexión “no esotra cosa que una atención a aquello queya está en nosotros” (Leibniz, 1966, p. 36),y que la psicología cognitivacontemporánea llama a menudo meta-cognición. Para la teoría de la objetivación,la re-flexión es un movimiento dialécticoentre una realidad constituida histórica yculturalmente y un individuo que la refracta(y la modifica) según las interpretacionesy sentidos subjetivos propios. Dichaconcepción se inscribe en una

forma peculiar de cognición en laque el acto del conocimiento alteralo que busca. Al tratar deentenderme yo mismo y micondición, no puedo nuncaquedarme idéntico a mí mismo,pues el yo que estaba entendiendoal igual que el yo entendido sonahora diferentes de lo que eran

123

Relime

antes. Y si quisiera entender todoesto, todo este proceso sería denuevo puesto en marcha (…) Comoeste saber también mueve a la gentea cambiar sus condiciones demanera práctica, éste se vuelve unaespecie de fuerza política y social,una parte de la situación materialexaminada y no mera reflexion[contemplativa] sobre algo.(Eagleton, 1997, p. 4)

El segundo concepto de la teoría es deorden socio-cultural. Es el concepto deaprendizaje. El aprendizaje es visto comola actividad a través de la cual los individuosentran en relación no solamente con elmundo de los objetos culturales (planosujeto-objeto) sino con otros individuos(plano sujeto-sujeto o plano de lainteracción) y adquieren, en el seguimientocomún del objetivo y en el uso social designos y artefactos, la experiencia humana(Leontiev, 1993).

Este concepto socio-cultural se imbricainmediatamente con otro –el tercerconcepto de la teoría– de naturalezaepistemológica. Como toda actividad, elaprendizaje está enmarcado por sistemassemióticos de significación cultural que“naturalizan” las formas de cuestionamientoy de investigación del mundo. Aristóteleshubiese probablemente incitado a nuestrosalumnos a plantear y a estudiar el problemade Pierre y Marthe en términos diferentes,dado que dentro del marco aristotélico dereferencia, no son el tiempo y el espaciolos que describen al movimiento sino, alcontrario, el tiempo es un derivado delmovimiento15. Nuestros alumnos

“We take cognizance of time, when we have defined the movement by defining the before and after; and only then we

say that time has been (has elapsed) when we perceive the before and after in the movement…for, when we think

[noesomen] that the extremities are other than the middle, and the soul pronounces the present/instants [nun] to be two,

the one before, the other after, it is only then that we say that this is time” (Physics IV, 11, 219a 22-25; 26-29).

15

pertenecen a una cultura en donde lamedida del tiempo se ha vueltoomnipresente, midiendo no sólo elmovimiento sino la labor humana, elcrecimiento del dinero (tazas de interés),etc., una cultura en donde

La temporalidad de la experiencia–esta noción del tiempo como elmarco dentro del cual las formas devida se encuentran inmersas yllevan su existencia– es lacaracterística del mundo moderno.(Bender y Wellbery, 1991, p.1)

Los conceptos anteriores permitenreformular, en términos generales, elaprendizaje de las matemáticas como laadquisición comunitaria de una forma dereflexión del mundo guiada por modosepistémico-culturales históricamenteformados.

Ahora bien, como el aprendizaje essiempre acerca de algo, los conceptosanteriores vienen a ser completados porun cuarto concepto de naturalezaontológica –el de objetos matemáticos, quehemos definido como patrones fijos deactividad reflexiva incrustados en el mundoconstantemente en cambio de la prácticasocial mediatizada por los artefactos.

Para volver operacional la teoría en suvertiente ontogenética, fue necesariointroducir un quinto concepto de naturalezasemiótico-cognitiva –el de objetivación otoma de conciencia subjetiva del objetocultural. En este contexto, y a la luz de losconceptos fundamentales anteriores, elaprendizaje se define como proceso social

124


de objetivación de esos patrones externosde acción fijos en la cultura.

Desde el punto de vista metodológico,nuestro concepto no mentalista niracionalista del pensamiento nos conducea prestar atención a los medios semióticosde objetivación que utiliza el alumno en unesfuerzo que es, a la vez, elaboración designificados y toma de conciencia de losobjetos conceptuales. Las fotos que hemosincluido no tienen como fin “embellecer eltexto” sino, precisamente, mostrar algunosde esos medios semióticos de objetivación,como los gestos, el lenguaje, los símbolos.Gestos, lenguaje, símbolos, se conviertenasí en constituyentes mismos del actocognitivo que posiciona el objetoconceptual no dentro de la cabeza sino enel plano social. Los cortos ejemplos del

Ejemplos detallados pueden encontrarse en Radford, 2000, 2003c; Radford, Bardini y Sabena, 2005; Sabena, Radford

y Bardini, 2005.

16

Referencias

Arendt, H. (1958).The Human Condition: The University of Chicago Press.

Artigue, M. (1988). Ingénierie Didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques,9(3), 281-308.

Bachelard, G. (1986). La formation de l’esprit scientifique. Paris: Vrin.

Bakhurst, D. (1988). Activity, Consciousness and Communication. The QuarterlyNewsletter of the Laboratory of Comparative Human Cognition, 10(2), 31-39.

Baudrillard, J. (1968). Le système des objets. Paris: Gallimard.

Bender, J. y Wellbery, D. E. (1991). Chronotypes: The Construction of Time. Palo Alto:Stanford University Press.

Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.Recherches en Didactique des Mathématiques, 7(2), 33-115.

salón de clases mencionados al inicio y alfinal del artículo, dan una idea de lamanera en que la teoría indaga esaobjetivación del saber que se mueve a lolargo de los planos de la interacción y dela acción mediatizada (el territorio delartefacto)16.

Finalmente, nuestra posición teóricarespecto al aprendizaje conlleva a unreplanteamiento del concepto del individuoque aprende. Como lo hemosmencionado, el concepto de individuo dela era moderna que aparece con laemergencia del capitalismo en los siglosXV y XVI, está fundamentado en elconcepto de autonomía y de libertad. Lateoría de la objetivación parte de otro puntoy ofrece un concepto diferente: el individuoes individuo en tanto que es ser-con-otros.

125

Relime

Brousseau, G. (2004). Une modélisation de l’enseignement des mathématiques.Conferencia plenaria presentada en el Convegno di didattica della matematica, 24-25de Septiembre, Locarno, Suiza.

Brousseau, G. y P. Gibel (2005). Didactical handling of students’ reasoning processes inproblem solving situations. Educational Studies in Mathematics, 59, 13-58.

Cobb, P. y Yackel, E. (1996). Constructivist, Emergent, and Sociocultural Perspectivesin the Context of Developmental Research. Educational Psychologist, 31(34), 175-190.

Cole, M., y Griffin, P. (1980). Cultural amplifiers reconsidered. In D. R. Olson (Ed.), TheSocial Foundations of Language and Thought, Essays in Honor of Jerome S. Bruner(pp. 343-364). New York/London: W. W. Norton & Company.

Colyvan, M. (2001). The miracle of applied mathematics. Synthese, 127, 265-277.

de Vega, M. (1986). Introduccion a la psicologia cognitiva. Mexico: Alianza EditorialMexicana.

Eagleton, T. (1997). Marx. London, Phoenix.

Engeström, Y. (1987). Learning by Expanding: An Activity-Theoretical Approach toDevelopmental Research. Helsinki, Orienta-Konsultit Oy.

Foucault, M. (1966). Les mots et les choses. Paris: Éditions Gallimard.

Geertz, C. (1973). The Interpretation of Cultures. New York: Basic Books.

Gray, E. y Tall, D. (1994). Duality, Ambiguity and Flexibility: A Proceptual View of SimpleArithmetic. Journal for Research in Mathematics Education, 26 (2), 115– 141.

Homer (ca. 800 A.-C.). The Iliad. The Internet Classics, translated by Samuel Butler.http:// classics.mit.edu/Homer/iliad.html.

Husserl, E. (1931). Ideas. General Introduction to Pure Phenomenology. London, NewYork: George Allen & Unwin.

Ilyenkov, E. (1977). The Concept of the Ideal. Philosophy in the USSR: Problems ofDialectical Materialism (pp. 71-99). Moscow: Progress Publishers.

Kant, E. (1980). Réflexions sur l’éducation. Paris: Vrin.

Köhler, W. (1951). The Mentality of Apes. New York: The Humanities Press / London:Routledge and Kegan Paul.

Lave, J. y E. Wenger (1991). Situated learning; legitimate peripheral participation.Cambridge: Cambridge University Press.

126


Leibniz, G. W. (1966). Nouveaux essais sur l’entendement humain. Paris: GarnierFlammarion.

Leontiev, A. N. (1968). El hombre y la cultura. En El hombre y la cultura: problemastéoricos sobre educación (pp. 9-48). México: Editorial Grijalbo.

Leontiev, A. N. (1993). Actividad, conciencia y personalidad. México: ASBE Editorial.

Martin, J. (2004). The Educational Inadequacy of Conceptions of Self in EducationalPsychology. Interchange: A quarterly review of Education, 35, 185-208.

Martin, J., Sugarman, J. y Thompson, J. (2003). Psychology and the Question of Agency.New York: SUNY.

Merleau-Ponty, M. (1945). Phénomenologie de la perception. Paris: Gallimard.

Mikhailov, F. T. (1980) The Riddle of the Self. Moscow: Progress Publishers.

Radford, L. (1997). On Psychology, Historical Epistemology and the Teaching ofMathematics: Towards a Socio-Cultural History of Mathematics. For the Learning ofMathematics, 17(1), 26-33.

Radford, L. (2000). Signs and meanings in students’ emergent algebraic thinking: Asemiotic analysis. Educational Studies in Mathematics, 42(3), 237-268.


Radford, L. (2003a). On Culture and Mind. A post-Vygotskian Semiotic Perspective, withan Example from Greek Mathematical Thought. En M. Anderson, A. Sáenz-Ludlow, S.Zellweger and V. Cifarelli (Eds.), Educational Perspectives on Mathematics as Semiosis:From Thinking to Interpreting to Knowing (pp. 49-79). Ottawa: Legas Publishing.

Radford, L. (2003b). On the epistemological limits of language. Mathematical knowledgeand social practice in the Renaissance. Educational Studies in Mathematics, 52(2), 123-150.

Radford, L. (2003c). Gestures, speech and the sprouting of signs. Mathematical Thinkingand Learning, 5(1), 37-70.

Radford, L. (2004). Cose sensibili, essenze, oggetti matematici ed altre ambiguità[Sensible Things, Essences, Mathematical Objects and other ambiguities], La Matematicae la sua didattica, 2004, no. 1, 4-23. [Traducción al inglés en: http://laurentian.ca/educ/lradford/essences.pdf]

127

Relime

Radford, L. (2005). The semiotics of the schema. Kant, Piaget, and the Calculator. En M.H. G. Hoffmann, J. Lenhard y F. Seeger (Eds.), Activity and Sign. Grounding MathematicsEducation (pp. 137-152). New York: Springer.

Radford, L. (en prensa-1). Algebraic Thinking and the Generalization of Patterns – Asemiotic Perspective. Proceedings of the 28th North American Chapter of the InternationalGroup for the Psychology of Mathematics Education (PME-NA), Mérida, Yucatán, México.

Radford, L. (en prensa-2). Semiótica cultural y cognición. En: R. Cantoral y O. Covián(Eds.), Investigación en Matemática Educativa en Latinoamérica. México.

Radford, L., Bardini, C., y Sabena, C. (2005). Perceptual semiosis and the microgenesisof algebraic generalizations. Fourth Congress of the European Society for Research inMathematics Education (CERME 4), 17 - 21 February 2005, Sant Feliu de Guíxols, Spain.[http://laurentian.ca/educ/lradford/cerme4.pdf]

Radford, L. y Demers, S. (2004). Communication et apprentissage. Repères conceptuelset pratiques pour la salle de classe de mathématiques. Ottawa: Centre franco-ontariendes ressources pédagogiques.

Robbins, F. E. (1921). The Tradition of Greek Arithmology. Classical Philology, 16(2), 97-123.

Sabena, C., Radford, L. y Bardini, C. (2005). Synchronizing gestures, words and actionsin pattern generalizations. In H. L. Chick, J. L. Vincent (Eds.), Proceedings of the 29thConference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education,University of Melbourne, Australia, Vol. 4, pp. 129-136.

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processesand objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22,1-36.

Sierpinska, A. (1996). Interactionnisme et théorie des situations : Format d’interaction etContrat didactique. En D. Grenier (Ed.), Didactique et technologies cognitives enmathématiques, Séminaires 1996 (pp. 5-37). Grenoble: Université Joseph Fourier.

Spengler, O. (1948). Le déclin de l’Occident. Paris: Gallimard.

Steinbring, H., Bartolini Bussi, M. y Sierpinska, A. (Eds.) (1998). Language andCommunication in the Mathematics Classroom. Reston, Virginia: National Council ofTeachers of Mathematics.

Todorov, T. (1984). Mikhail Bakhtin: The Dialogical Principle. Minneapolis, London:University of Minnesota Press.

Von Glasersfeld, E. (1995). Radical Constructivism: A Way of Knowing and Learning.London, Wasington, D.C: The Falmer Press.

128


Voloshinov, V. N. (1973). Marxism and the Philosophy of Language. CambridgeMassachusetts, London, England: Harvard University Press.

Vygotsky, L. S. (1981a). The instrumental method in psychology. En J. V. Wertsch (Ed.),The concept of activity in Soviet psychology (pp. 135-143). Armonk, N. Y.: Sharpe.

Vygotsky, L. S. (1981b). The development of higher mental functions. En J. V. Wertsch(Ed.), The concept of activity in Soviet psychology (pp. 144-188). Armonk, N. Y.: Sharpe.

Vygotsky, L. S. y A. Luria (1994). Tool and symbol in child development. En R. van derVeer y J. Valsiner (Eds.), The Vygotsky Reader (pp. 99-174). Oxford: Blackwell.

Wartofsky, M. (1979). Models, Representation and the Scientific Understanding.Dordrecht: D. Reidel.

Weber, M. (1992). The Protestant Ethic and the Spirit of Capitalism. London New York,Routledge.

Wertsch, J. V. (1991). Voices of the Mind. A Sociocultural Approach to Mediate Action.Cambridge, Ma: Harvard University Press.

Yackel, E. y Cobb, P. (1996). Sociomathematical norms, argumentation, and autonomyin mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 27(4), 458-477.

129

Luis RadfordUniversité LaurentienneCanada


Relime130

131

Análisis ontosemiótico de una lección

sobre la suma y la resta

Juan D. Godino 1

Vicenç Font 2

Miguel R. Wilhelmi 3

RESUMEN

En este trabajo aplicamos algunas nociones del enfoque ontosemiótico de la cognicióne instrucción matemática al análisis de una lección sobre la suma y la resta de un librode 5º grado de educación primaria del estado español. La finalidad es doble: (1) ilustrarla técnica de análisis de textos matemáticos propuesta por el enfoque ontosemiótico dela cognición matemática y (2) identificar criterios de idoneidad de unidades didácticaspara el estudio de las estructuras aditivas en educación primaria. Los resultados obtenidospueden ser de utilidad para la formación de profesores de matemáticas.

PALABRAS CLAVE: Idoneidad didáctica, conflictos semióticos, análisis textosmatemáticos, formación profesores.

ABSTRACT

In this paper, we apply some theoretical notions of the onto-semiotic approach tomathematical cognition and instruction to analyse a lesson on addition and subtractiontaken from a Spanish textbook directed to the fifth grade in primary education. Our aimsare: (1) to illustrate a technique for analysing mathematics textbooks based on the onto-semiotic approach, and (2) to identify suitability criteria for developing didactical units tostudy the additive structures in primary education. The results obtained might be usefulin the training of prospective mathematics teachers.

KEY WORDS: Didactical aptitude, semiotic conflicts, analysis of mathematicaltexts, teachers training.

Fecha de recepción: Enero de 2006/ Fecha de aceptación: Mayo de 2006

Universidad de Granada.

Universidad de Barcelona.

Universidad Pública de Navarra.

Relime Número, Especial, 2006, pp. 131-155.

1

2

3

RESUMO

Neste trabalho aplicamos algumas noções do enfoque ontosemiótico da cognição einstrução matemática al análise de uma lição sobre a soma e a divisão de um livro do

Relime

ensino fundamental do estado espanhol. A finalidade é dupla: (1) ilustrar a técnica deanálise de textos matemáticos proposta pelo enfoque ontosemiótico da cogniçãomatemática e (2) identificar critérios de idoneidade de unidades didáticas para o estudodas estruturas aditivas na educação fundamental. Os resultados obtidos podem ser deutilidade para a formação de professores de matemáticas.

PALAVRAS CHAVE: Idoneidade didática, conflitos semióticos, análise textosmatemáticos, formação professores.

RÉSUMÉ

Dans cet article nous appliquons quelques notions théoriques de l’approche onto-sémiotique à la cognition et à l’instruction mathématique pour analyser une leçon surl’addition et la soustraction tirée d’un manuel scolaire espagnol de la cinquième année.Nos objectifs sont : (1) d’illustrer une technique pour analyser des textes scolaires baséesur l’approche onto-sémiotique; et (2) d’identifier des critères souhaitables pour ledéveloppement d’unités didactiques pour l’étude des structures additives dans l’éducationprimaire. Les résultats obtenus pourraient être utiles dans la formation des futursenseignants en mathématiques.

MOTS CLÉS: Aptitude didactique, conflits sémiotiques, analyse textesmathématiques, formation des enseignants.

132

1. Introducción

Como afirman Hiebert, Morris y Glass(2003), un problema persistente eneducación matemática es cómo diseñarprogramas de formación que influyansobre la naturaleza y calidad de la prácticade los profesores. La ausencia de efectossignificativos de los programas deformación de profesores en dicha prácticase puede explicar, en parte, “por la faltade un conocimiento base ampliamentecompartido sobre la enseñanza y laformación de profesores” (p. 201). El saberdidáctico que progresivamente vaproduciendo la investigación en educaciónmatemática queda reflejado en diversasfuentes dispersas y heterogéneas(revistas, monografías de investigación,etc.), pero de manera más accesible a losprofesores se refleja en los libros de textoescolares. Los libros de texto escolares

constituyen la fuente inmediata donde seacumula la experiencia práctica de losprofesores y, en cierta medida, losresultados de la investigación. Enconsecuencia, el análisis crítico de lostextos escolares, la evaluación de supertinencia, idoneidad, adecuación, etc.debe ser un componente importante en losprogramas de formación de profesores dematemáticas.

La preparación de programas deformación puede ser más efectivacentrándola en ayudar a los estudiantesa que adquieran las herramientas quenecesitarán para aprender a enseñar,en lugar de competencias acabadassobre una enseñanza efectiva. (Hiebert,Morris y Glass, 2003, p. 202)

Pensamos que entre estas herramientas


deben figurar los criterios para analizar lapropia práctica docente y las lecciones delos textos escolares como fuente próximapara el diseño de unidades didácticas.

Dado que el uso de las leccionespropuestas en los libros de texto (o en unformato virtual multimedia) es una decisiónimportante, ya que en gran medidacondiciona el proceso de estudio del tema,los profesores deben tener conocimientosbásicos que les permitan evaluar lascaracterísticas de las lecciones paraseleccionar (o elaborar) las másadecuadas y adaptarlas al nivel educativocorrespondiente. Consideramosimportante introducir en la formación(inicial y continua) de profesores dematemáticas criterios para valorar laidoneidad de los procesos de estudiomatemático, tanto si son basados en el usode libros de texto, como si se trata deprocesos apoyados en el uso de materialesy documentos de trabajo elaborados porel propio profesor.

En este artículo vamos a utilizar algunasherramientas del “enfoque ontosemióticode la cognición e instrucción matemática”(EOS) desarrollado por Godino ycolaboradores (Godino y Batanero, 1994;Godino, 2002; Godino, Batanero y Roa,2005; Contreras, Font, Luque y Ordóñez,2005; Font y Ramos, 2005; Godino,Contreras y Font, en prensa; etc.) paravalorar la idoneidad de un textomatemático escolar. En este marco teóricose postula que la idoneidad global de unproceso de enseñanza-aprendizaje sedebe valorar teniendo en cuenta los cincocriterios siguientes (Godino, Contreras yFont, en prensa):

Idoneidad epistémica se refiere algrado de representatividad de lossignificados institucionalesimplementados (o pretendidos),respecto de un significado dereferencia4. Por ejemplo, laenseñanza de la adición en laeducación primaria actual puedelimitarse al aprendizaje de rutinas yejercicios de aplicación de algoritmos(baja idoneidad), o tener en cuentalos diferentes tipos de situacionesaditivas e incluir la justificación de losalgoritmos (alta idoneidad).

Idoneidad cognitiva expresa el gradode proximidad de los significadosimplementados respecto de aquéllosque son personales iniciales de losestudiantes o, de maneraequivalente, la medida en que el“material de aprendizaje” esté en lazona de desarrollo potencial(Vygotsky, 1934) de los alumnos yalumnas.

Un proceso de enseñanza-aprendizaje con un alto grado deidoneidad cognitiva sería, en elestudio las operaciones aritméticascon números de tres o más cifras, queel profesor realizara una evaluacióninicial para saber si los alumnosdominan los números de uno y doscifras y, en caso de no ser así,comenzara el proceso de instruccióntrabajando dichos números.

Idoneidad semiótica. Un conflictosemiótico es cualquier disparidad odiscordancia entre los significadosatribuidos a una expresión por dos

Chevallard (1991) considera que todo proceso de enseñanza-aprendizaje comporta la transposición del saber: Saber

sabio Saber a enseñar Saber enseñado. La noción de idoneidad epistémica puede ser reinterpretada en términos

transpositivos de la siguiente forma: grado de representatividad del saber enseñado respecto del saber a enseñar.

4

→ →

Relime134

sujetos (personas o instituciones) eninteracción comunicativa. Unproceso de enseñanza-aprendizajees idóneo desde el punto de vistasemiótico si las configuraciones ytrayectorias didácticas (Godino,Contreras y Font, en prensa)permiten, por una parte, resolverconflictos semióticos potenciales(que se puedan detectar a priori), ypor otra parte permitan resolver losconflictos que se producen duranteel proceso de instrucción (mediantela negociación de significados). Porejemplo, un proceso de estudiorealizado de acuerdo con unasecuencia de situaciones de acción,formulación, validación einstitucionalización (Brousseau,1997) tiene potencialmente mayoridoneidad semiótica que un procesomagistral que no tenga en cuenta lasdificultades de los estudiantes.

Idoneidad mediacional, grado dedisponibilidad y adecuación de losrecursos materiales y temporalesnecesarios para el desarrollo delproceso de enseñanza-aprendizaje.Si el profesor y los alumnos tuvierana su disposición medios informáticospertinentes al estudio del tema encuestión (Cabri-géomètre, p.e., parala geometría plana), el proceso deestudio que se apoye en estosrecursos tendría mayor idoneidadmediacional que otro tradicionalbasado exclusivamente en la pizarra,lápiz y papel. Asimismo, un ejemplode un proceso de enseñanza-aprendizaje con un alto grado deidoneidad mediacional con relacióna los medios temporales sería unaclase magistral, donde el profesorreproduce de manera íntegra y sininteracción con los estudiantes elsignificado pretendido.

Idoneidad emocional, grado deimplicación (interés, motivación, …)del alumnado en el proceso deestudio. La idoneidad emocional estárelacionada tanto con factores quedependen de la institución como deaquéllos que dependen básicamentedel alumno y de su historia escolarprevia. Por ejemplo, tendránidoneidad emocional alta losprocesos basados en el uso desituaciones-problemas que sean deinterés para los estudiantes.

Como se puede deducir de los ejemplospropuestos, la idoneidad de una dimensiónno garantiza la idoneidad global delproceso de enseñanza-aprendizaje. Estasidoneidades deben ser integradasteniendo en cuenta las interacciones entrelas mismas, lo cual requiere hablar de laidoneidad didáctica como criterio sistémicode adecuación y pertinencia respecto delproyecto educativo global (Godino,Wilhelmi y Bencomo, 2005).

En la siguiente sección presentamosbrevemente algunos de los constructos delEOS que nos permitirán fundamentar loscriterios de análisis y valoración de unalección de un libro de texto. Estos criteriosserán aplicados al análisis de una lecciónsobre la suma y la resta de un libro de textopara 5º grado de educación primaria(Ferrero y cols., 1999).

2. Herramientas teóricas delenfoque ontosemiótico

Para poder valorar la idoneidad epistémicade un proceso de instrucción realmenteimplementado, o bien de un proceso deinstrucción planificado en un libro de texto,es necesario establecer un “significado dereferencia” que sirva de comparación. Este


significado de referencia se interpreta enel EOS en términos de sistemas deprácticas (operativas y discursivas)compartidas en el seno de una instituciónpara la resolución de una cierta clase desituaciones-problemas.

Para la realización y evaluación decualquier práctica es necesario activar unconglomerado formado por algunos (otodos) de los siguientes elementos:lenguaje, situaciones, reglas (conceptos,proposiciones, procedimientos) yargumentos. A este conglomerado deobjetos se le llama configuración. Estasconfiguraciones pueden ser cognitivas(conglomerado de objetos personales) oepistémicas (conglomerado de objetosinstitucionales) según que se considerela práctica desde la perspectiva personalo institucional. A su vez, estasconfiguraciones son emergentes de lasprácticas realizadas para resolver uncampo de problemas.

Los objetos matemáticos que intervienenen las prácticas matemáticas y losemergentes de las mismas, según el juegode lenguaje en que participan(Wittgenstein, 1953) pueden serconsiderados desde las siguientesdimensiones duales: personal-institucional,elemental-sistémico, expresión-contenido,ostensivo-no ostensivo y extensivo-intensivo (Godino, 2002).

Personal-institucional: si los sistemasde prácticas son compartidos en elseno de una institución, los objetosemergentes se consideran “objetosinstitucionales”, mientras que si estossistemas son específicos de unapersona se consideran como “objetospersonales” (Godino y Batanero, 1994).

Ostensivo-no ostensivo.Los objetosinstitucionales y personales se pueden

considerar como objetos no-ostensivos. Ahora bien, cualquiera deestos objetos se usa en las prácticaspúblicas por medio de sus ostensivosasociados (notaciones, símbolos,gráficos, …). Se entiende por ostensivocualquier objeto que es público y que,por tanto, se puede mostrar a otro. Estaclasificación entre ostensivo y noostensivo es relativa al juego delenguaje en que participan. El motivoes que un objeto ostensivo puede sertambién pensado, imaginado por unsujeto o estar implícito en el discursomatemático (por ejemplo, el signo demultiplicar en la notación algebraica).

Extensivo-intensivo: un objeto queinterviene en un juego de lenguajecomo un caso particular (un ejemploconcreto, la función y = 2x + 1) y unaclase más general o abstracta (p.e., lafamilia de funciones y = mx + n).

Elemental-sistémico: en algunascircunstancias los objetos matemáticosparticipan como entidades unitarias(que se suponen son conocidaspreviamente), mientras que otrasintervienen como sistemas que sedeben descomponer para su estudio.En el estudio de la adición ysustracción, en los últimos niveles deeducación primaria, el sistema denumeración decimal (decenas,centenas,…) se considera como algoconocido y en consecuencia comoentidades elementales. Estos mismosobjetos, en el primer curso, tienen queser considerados de manera sistémicapara su aprendizaje.

Expresión-contenido: antecedente yconsecuente de cualquier funciónsemiótica.

La actividad matemática y los procesos

Relime136

de construcción y uso de los objetosmatemáticos se caracterizan por seresencialmente relacionales. Losdistintos objetos no se deben concebircomo entidades aisladas, sino puestosen relación unos con otros. Ladistinción entre expresión y contenidonos permite tener en cuenta el carácteresencialmente relacional de laactividad matemática. La relación seestablece por medio de funcionessemióticas, entendidas como unarelación entre un antecedente(expresión, significante) y unconsecuente (contenido, significado)establecida por un sujeto (persona oinstitución) de acuerdo con un ciertocriterio o código de correspondencia.

Estas facetas se presentan agrupadas enparejas que se complementan de maneradual y dialéctica. Se consideran comoatributos aplicables a los distintos objetosprimarios y secundarios, dando lugar a

distintas “versiones” de dichos objetos. EnGodino, Batanero y Roa (2005) sedescriben los seis tipos de entidadesprimarias y los cinco tipos de dualidadescognitivas mediante ejemplos relativos auna investigación en el campo delrazonamiento combinatorio.

En la Figura 1 se representan lasdiferentes nociones teóricas que se handescrito sucintamente. En el EOS laactividad matemática ocupa el lugarcentral y se modeliza en términos desistema de prácticas operativas ydiscursivas. De estas prácticas emergenlos distintos tipos de objetos matemáticos,que están relacionados entre sí formandoconfiguraciones. Por último, los objetosque intervienen en las prácticasmatemáticas y los emergentes de lasmismas, según el juego de lenguaje enque participan, pueden ser consideradosdesde las cinco facetas o dimensionesduales.

Figura 1. Herramientas teóricas del EOS


Por último, dentro del “enfoqueontosemiótico” se están introduciendonuevas herramientas teóricas quepermiten abordar el estudio de losfenómenos de instrucción matemática.Godino, Contreras y Font (en prensa)proponen, como unidad primaria deanálisis didáctico, la configuracióndidáctica, constituida por las interaccionesprofesor-alumno a propósito de una tareamatemática y usando unos recursosmateriales específicos. El proceso deinstrucción sobre un contenido o temamatemático se desarrolla en un tiempodado mediante una secuencia deconfiguraciones didácticas, cada una delas cuales incorpora una determinadaconfiguración epistémica.

3. Configuraciones epistémicasasociadas con las situacionesaditivas. Reconstrucción del

significado de referencia

Para poder valorar la idoneidad epistémicade un proceso de instrucción realmenteimplementado (significado implementado)o bien de un proceso de instrucciónplanificado en un libro de texto (significadopretendido) es necesario establecer elsignificado de referencia que sirva decomparación. En esta sección describimosde manera sintética los principaleselementos del significado de referenciapara las estructuras aditivas, agrupandodichos elementos en los seis tipos deentidades que propone el EOS: lenguaje,situaciones, acciones, conceptos,propiedades y argumentos y losorganizaremos en configuracionesepistémicas.

El primer tipo de configuración epistémicaque consideraremos son las “formales”. Endichas configuraciones se usa el método

axiomático, es decir, se eligen ciertosenunciados de la teoría como axiomas yse exige que todos los demás seanprobados a partir de ellos.

3.1 Configuraciones formales

Las entidades matemáticas que se ponenen juego en las situaciones aditivascontextualizadas son analizadas demanera formal o estructural en el marcointerno de las matemáticas. Para ello, losnúmeros dejan de ser considerados comomedios de expresión de cantidades demagnitudes (números de personas ocosas, papel que cumplen en unasituación, etc.) y son interpretados biencomo elementos de una estructuracaracterizada según la teoría de conjuntos,bien según los axiomas de Peano. En estecontexto de formalización matemática seplantean preguntas tales como:

- ¿Cómo se debería definir la adición,a partir de los axiomas de Peano?

- ¿Cómo se debería definir la adición,cuando los números naturales sondefinidos como los cardinales de losconjuntos finitos?

- ¿Qué tipo de estructura algebraicatiene el conjunto N de los númerosnaturales dotado de la ley decomposición interna de adición?

- ¿Es la sustracción una ley decomposición interna? ¿Quépropiedades cumple?

La respuesta a estas preguntas requierede la elaboración de recursos lingüísticosespecíficos, técnicas operatorias(recursión, operaciones conjuntistas),conceptos (definiciones conjuntistas deadición y sustracción; definicionesrecursivas; definición algebraica de

Relime138

sustracción), propiedades (estructura desemigrupo de N) y argumentaciones(deductivas), en definitiva unaconfiguración epistémica con rasgos ocaracterísticas específicas, adaptadas a lageneralidad y rigor del trabajo matemático.Estos tipos de configuraciones formales noson las que nos pueden resultar útiles paradeterminar la idoneidad epistémica de unproceso de instrucción planificado para unainstitución escolar de enseñanza primaria.Para este tipo de institución necesitamos unaconfiguración, que llamaremos intuitiva (ocontextualizada), que presuponga una ciertaconcepción empírica de las matemáticas. Esdecir, una concepción que considere que lasmatemáticas son (o se pueden enseñarcomo) generalizaciones y formalizaciones dela experiencia; una concepción de lasmatemáticas que suponga que, al aprendermatemáticas, recurrimos a nuestro bagajede experiencias sobre el comportamiento delos objetos materiales.

3.2. Configuración empírica

Las operaciones aritméticas de la adición yde la sustracción se construyen inicialmentecomo medio de evitar los recuentos ensituaciones que incluyen distintascolecciones parcialmente cuantificadas. Lassituaciones concretas o contextualizadasponen en juego un proceso de modelizaciónque produce, como etapa intermedia, unasituación aditiva formal; esto es, unasituación en la que se requiere realizar unasuma o una resta, cuyo resultado debe serinterpretado según el contexto inicial. Elaprendizaje de la suma y la resta implica,

La clasificación de los problemas aditivos contextualizados ha sido objeto de numerosas investigaciones, ya que

cada tipo comporta subconfiguraciones puntuales específicas que deben ser tenidas en cuenta en los procesos de

enseñanza-aprendizaje. Verschaffel y De Corte (1996) presentan una síntesis de estas investigaciones y mencionan los

tres tipos básicos de problemas aditivos: cambio, combinación y comparación.

En la Figura 7 mostramos otro ejemplo de configuración puntual correspondiente a una página del libro que analizamos

en las secciones 4 y 5 donde explicitamos dichas relaciones.

5

6

por tanto, el dominio de las situacionesformales y de los algoritmos de sumar yrestar.

La resolución de los problemas aditivos poneen funcionamiento diversos recursosoperatorios, lingüísticos, conceptuales,proposicionales y argumentativos que debenser dominados progresivamente para lograrcompetencia en dicha resolución. La Figura2 resume los principales elementos ocomponentes de la configuración epistémicaempírica formada por el sistema de objetosy relaciones implicadas en la solución delos problemas aditivos5 en el nivel deeducación primaria (significadoinstitucional de referencia). Por razones deespacio, los componentes de laconfiguración se muestran de maneratabular. Sin embargo, hay que tener encuenta que dichos elementos estánrelacionados entre sí6.

El lenguaje (verbal, gráfico, simbólico)describe las situaciones-problemas;representa a las entidades conceptuales,proposicionales (adición, sustracción,sumandos, commutativa, asociativa, …) yprocedimentales (algoritmos). Lasnotaciones, disposiciones tabulares,diagramas, etc., sirven de herramientas parala realización de los algoritmos y laelaboración de argumentos justificativos. Lasdefiniciones y proposiciones relacionan losconceptos entre sí y hacen posible eldesarrollo de algoritmos de cálculo eficaces.Los argumentos justifican las propiedadesy permiten la realización de lasoperaciones.


LENGUAJE

Verbal- Juntar, añadir, sacar, suma, resta, “cuánto falta”, más menos, adición, sustracción, sustraendo, minuendo, diferencia, paréntesis, operación, propiedad conmutativa, propiedad asociativa, etc.Gráfico- Dibujos en los que se presentan situaciones contextualizadas de adición y sustracción (se representan con objetos los cardinales de los dos conjuntos y en algunos casos también el cardinal del resultado)- En la recta numérica se representan sumas y restas- Etc.Simbólico: +, – , 24 + 30, 45 – 23, a + b, a – b, a – b = c, “(” , “)” …

SITUACIONES

- Problemas contextualizados en los que: se añade, hay que seguir contando, se saca, se cuenta hacia atrás , se pide “cuánto falta” , se compara, etc.- Problemas descontextualizados de sumas y resta

CONCEPTOS

Previos

- Sistema de numeración decimal- Suma y resta

Emergentes-Adición; Sustracción; Sumandos- Sustraendo; Minuendo; Diferencia- Sumas y restas equivalentes

PROCEDIMIENTOS

- Descontextualización del enunciado del problema;- Contextualización de enunciados descontextualizados- Aplicar los algoritmos de la suma y de la resta- Comprobación de los resultados de una resta- Cálculo mental de sumas y restas- Utilización de las propiedades conmutativa y asociativa para realizar las operaciones más fácilmente-Cálculo de sumas y resta con calculadora.- Resolución de problemas de sumas y restas- Etc.

PROPIEDADES

- La suma es una operación interna (la resta no)- Elemento neutro- Conmutativa (suma)- Asociativa (suma)- El total de una suma siempre es mayor que los sumandos (si estos son diferentes de cero)- (a + c) – (b + c) = a – b- La diferencia siempre es menor que el minuendo (si el sustraendo es diferente de cero)- Relación entre diferencia, sustraendo y minuendo:S – M = D; S = D + M; S – D =M

ARGUMENTOS- Comprobación de las propiedades en casos particulares (casi siempre extra matemáticos)- Justificación de las propiedades, utilizando elementos genéricos- Justificación de los algoritmos a partir de las características del Sistema de Numeración Decimal

Figura 2. Configuración epistémica “empírica” de la adición y de la sustracción

Relime140

Se trata de una configuración epistémicaen la que los conceptos y las propiedadesque se introducen se intentan justificar porsu acuerdo con una realidad extramatemática. Este intento topa con unadificultad que se convierte en el origen deimportantes conflictos semióticos, que noes otra que el carácter convencional dealgunas reglas matemáticas. Nopretendemos entrar aquí en la discusiónde si todas las reglas en matemáticas sonconvencionales, puesto que no se puedenjustificar por su acuerdo con la experiencia;nos limitamos a señalar que, incluso en elsupuesto de que la mayoría de las reglasmatemáticas se pudieran justificar por suacuerdo con situaciones extramatemáticas, hay ciertas reglas, como porejemplo, la prioridad de las operaciones,que indiscutiblemente son convencionalesy que, por tanto, difícilmente se puedenjustificar con base en su acuerdo consituaciones extra matemáticas.

4. Análisis global de la lección

El análisis ontosemiótico de una lección debeabordarse primero desde una perspectivaglobal que identifique su objetivo y estructuraen configuraciones didácticas, para pasardespués, en un segundo nivel, a un estudiodetallado de cada una de ellas (en estetrabajo nos centraremos, sobre todo, en lasconfiguraciones epistémicas asociadas y enlos conflictos semióticos potenciales). Estesegundo análisis lo haremos en la sección5, centrándonos sobre todo en las funcionessemióticas (dualidad expresión-contenido)que relacionan objetos que pueden serextensivos o intensivos (dualidad extensivo-intensivo).

A continuación comenzamos el análisisglobal de la lección de Ferrero y cols.(1999)7. La lección sobre la suma y la restaincluida en este libro de texto escolar seinterpreta en el EOS como el significadopretendido en clases de 5º grado deeducación primaria (alumnos españoles de10 años de edad).

El estudio comienza recordando el usoconcreto de la suma y la resta:

Sumamos cuando reunimos o juntamosvarias cantidades en una sola. Restamoscuando separamos, quitamos una parte deotra o hallamos la diferencia entre doscantidades. (p. 18)

Sigue con la presentación de una situaciónintroductoria general donde se presentauna escena de clase con grupos de niñosjugando diversos juegos mediante loscuales consiguen puntos. Se planteanproblemas cuya solución requiere realizaruna suma o una resta. El tipo de situación-problema que se presenta al inicio de launidad tiene un objetivo que se puededescribir del siguiente modo: ¿Cómodiscriminar las situaciones de suma y restay cómo resolverlas? Esta pregunta generalque guía el desarrollo de la lección sedescompone en sub-preguntas que sonabordadas en las distintas secciones en quese estructura. La Figura 3 muestra laestructura global de la lección, centrando laatención en la secuencia de configuracionesligadas a los tipos de problemas planteados(figuras hexagonales); una de dichasconfiguraciones (config. 1) será analizada enla sección 5.1., teniendo en cuenta losinstrumentos teóricos introducidos por elEOS.

El libro de texto de Ferrero y cols. (1999) es un ejemplar prototípico de los que en la actualidad se utilizan en el

sistema educativo español (actualizados en euros como unidad monetaria) y, por lo tanto, el estudio que realizamos no

sólo representa un modelo para el análisis de otros libros de texto, sino que determina una “pauta genérica” para la

valoración de libros de texto del mismo grado y contexto.

7


Figura 3. Estructura global de la lección

Las seis primeras secciones (sobre lasque centraremos el anál is isontosemiótico) tienen una estructurasimilar:

-Planteamiento de una situación-problema.

-Un apartado titulado “Observa”, dondese describe la solución del problema,se presentan las definiciones y seexplican las técnicas.

-Una colección de 4 o 5 ejercicios yaplicaciones.

Las seis primeras secciones se titulan:(1) La suma. Signif icados, (2) Laspropiedades de la suma, (3) La resta.Significados, (4) Relaciones entre lostérminos de la resta, (5) Restasequivalentes y (6) Sumas y restascombinadas. Uso del paréntesis. En ellasse desarrolla el tema y los algoritmos queaparecen son con lápiz y papel. En lasección siguiente, cuyo título es (7)Conoce tu calculadora, se introducen dostécnicas alternativas a los algoritmos con

lápiz y papel: el cálculo estimado y elcálculo con calculadora. En la siguientesección, cuyo título es (8) Recuerda, losautores presentan a los alumnos aquelloque es esencial recordar de lo que se haestudiado anteriormente. A continuaciónse propone una sección deautoevaluación, cuyo título es (9) ¿Te lohas aprendido? En la sección siguiente,cuyo título es (10) Cálculo mental, seintroduce otra técnica alternativa a losalgoritmos con lápiz y papel: el cálculomental exacto. A continuación, en lasección titulada (11) Arco iris se proponeun problema cuyo contexto es “la comprade comida para el hogar” en la quetambién se introducen los valores deigualdad entre el hombre y la mujer a lahora de participar en las tareas delcuidado de la casa. Como sección finalse propone una sección de consolidaciónde conocimientos, cuyo título es (12)Resolución de problemas en la queademás se introduce la estrategiaheurística “descomposición del problemaen partes”.

Relime142

5. Análisis ontosemiótico deconfiguraciones parciales

En esta sección vamos a realizar un análisisdetallado de la primera configuracióndidáctica dedicada al estudio de la suma.

Figura 4. Problema introductorio

B. La explicación de la solución del problema que sirve como sistematización de lossignificados de la suma y del algoritmo de sumar en columna (Figura 5).

C. También incluyen cuatro actividades de ejercitación y aplicación (Figura 6).

5.1. Sección 1: La suma. Significados

Los autores de la lección han organizadoun proceso de estudio puntual paraexplicar los significados de la adición,incluyendo los siguientes apartados:

Figura 5. Explicación del problema introductorio

Figura 6. Ejercicios y aplicaciones

A.Un problema introductorio (Figura 4).


La Figura 7 describe la configuración epistémica asociada a esta sección.

Realizamos a continuación un análisisdetallado del texto, mostrando losconflictos semióticos que se puedenpresentar para los lectores potenciales.Dividimos el fragmento del texto en trespartes correspondientes al enunciado delproblema introductorio (A), la explicaciónde los significados y el algoritmo de sumar(B), y el enunciado de 4 ejercicios (C).

PARTE A: Situación introductoria

En esta parte se propone el enunciado deun problema, el cual se acompaña con undibujo que no tiene ninguna relación conel texto. El objetivo de este problemacontextualizado es que sirva de ejemplopara definir el concepto de “suma” y“recordar” el algoritmo de la suma (ambosconceptos se suponen conocidos decursos anteriores). Los autores suponen

Figura 7. Configuración epistémica de la “La suma. Significados”

que las consideraciones hechas sobre elejemplo particular son suficientes para quelos alumnos comprendan (o recuerden) elconcepto de “suma” y su “algoritmo”. Esteejemplo es utilizado implícitamente por losautores como un “elemento genérico” delos problemas que se resuelven mediantesumas, ya que implícitamente se suponeque lo que se dice para este caso particulares válido para todos los problemas que seresuelven “sumando”. Dicho de otramanera, el objetivo de este problema noes su resolución, sino activar la dualidadextensivo-intensivo en los párrafosposteriores.

Sin embargo, no parece que este problemasea un buen representante del tipo deproblemas aditivos que se pretendeabordar. La situación se describe demanera incompleta y ficticia. No se dice el

Relime144

nivel educativo a que corresponden losnuevos alumnos, por lo que se tiene unaprimera operación de unión de dosconjuntos de elementos disjuntos (niños deinfantil y de primaria), y después otraoperación de unión de elementos de otroconjunto cuya naturaleza no distingue elnivel escolar de los niños. Parece que lainformación del nivel escolar a quecorresponden los niños introduce unadistinción innecesaria que puede confundira los alumnos. Otro elemento contextualque influye en la solución está el hecho deque no se informa sobre los alumnos delcurso anterior que no continúan en elcentro; de hecho, una respuesta razonablepara el problema puede ser: No se puedesaber.

Lo dicho no tiene que suponernecesariamente un “fracaso generalizadoen la realización de la tarea”. Es muyposible que los alumnos acepten elenunciado y realicen la suma requerida,pero por razones de “contrato didáctico” ypor la observación de la palabra clave“total” que previamente habrán asociado asumar los números que intervienen. Entodo caso, la realización exitosa de la tareapor la mayor parte de la clase no esatribuible al problema, sino a reglaspreviamente establecidas y conocimientosculturales aceptados en la institución.

PARTE B: Observa

Se comienza diciendo que para hallar elnúmero total de alumnos y alumnas serealiza una suma. A continuación, se definequé es sumar:sumar es reunir, juntar,añadir, aumentar, incrementar, … . Ahorabien, se trata de una definición incompletaya que no se dice que la suma es el“número de elementos” (cardinal) delconjunto unión (dados dos conjuntosdisjuntos). Si el alumno se guía sólo poresta definición puede considerar como

situaciones de “suma” muchas que no loson. Por ejemplo, “reunir” mis regalos conmis libros (cuando algún libro es unregalo); “juntar” dos bolas de plastilina dacomo resultado una bola de plastilina(¿1 + 1 =1?); al “juntar” todos los númerosde teléfono de mis amigos, en el mejor delos casos, obtengo una agenda, pero deninguna manera una “suma”; …

De hecho, al tratarse de verbos de accióntransitivos que se aplican sobre loselementos de dos o más conjuntos elreconocimiento de las situaciones en lasque es pertinente sumar no estará exentode dificultades dada la generalidad de lasacciones que se mencionan comoequivalentes a sumar, las cuales ademásno agotan todas las posibilidades ycircunstancias de uso. Asimismo, no seespecifica de manera explícita o implícitala necesidad de que los conjuntos debenser disjuntos.

El conflicto semiótico que se podríaproducir es que los alumnos identificasencomo situaciones de suma algunas que nolo son. Ahora bien, es de suponer quedicho conflicto no se va a producir dadoslos conocimientos previos de los alumnossobre la adición de números naturales (hayque recordar que esta unidad estápensada para alumnos de 10 años).

En el EOS se considera que cadadefinición se debe entender como unadefinición-regla que, de entrada, no pareceque indique que haya algo que sea precisohacer. A partir de las definiciones-reglaspodemos atribuir valores veritativos(verdadero y falso) a ciertas proposiciones.Ahora bien, de una definición-reglatambién se puede deducir una reglapráctica que nos da instrucciones para“realizar una práctica”. Esta práctica sepuede dar en diferentes situaciones, porlo que se puede afirmar que una definición

Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta

genera un conjunto de prácticas. A su vez,otra definición equivalente generará otrosubconjunto de prácticas. Por tanto, si ladefinición de suma fuese completa yespecificara que la suma es el cardinal dela unión, de ella se podría deducir unapráctica para hallar la suma (por ejemplocontar el número de elementos delconjunto unión) y a partir de la necesidadde buscar un método más ágil para hallardicho cardinal aparecerían otras técnicas(tabla de sumas elementales, cálculomental, algoritmo escrito, uso de lacalculadora, etc.).

La situación que presenta el libro es que,por una parte, da una definición incompletade la cual no se puede deducir una reglapara calcular la suma y, por otra parte, acontinuación pasa a explicar el algoritmode la suma (con dos registros diferentes:enunciado y simbólico). El registro verbales deliberadamente incompleto, ya quesupone que el algoritmo es conocido porlos alumnos. El registro simbólico no es elalgoritmo habitual, sino que es un pre-algoritmo que se suele usar como pasoprevio al algoritmo habitual para facilitar sucomprensión. Es al final de este algoritmocuando la suma se identifica con el “total”(es decir, implícitamente como el cardinaldel conjunto unión). Puesto que los autoresconsideran conocido este pre-algoritmo, esel lector quien tiene que interpretar eldiagrama tabular y sagital de la izquierda.La descripción del algoritmo contienediversos convenios que el lector debieraconocer previamente, ya que no se aportainformación al respecto. Las letras C, D, Ucolocadas encima de los datos significanCentenas, Decenas y Unidades y evocanlas reglas del sistema de numeracióndecimal. Los números escritos comosuperíndices y las flechas inclinadasresumen el algoritmo de sumar con“llevadas” de cifras de un orden alsiguiente. El esquema incluye tres

definiciones implícitas: sumandos (cadauno de los tres números que se suman),suma (resultado de la adición), total (quesignifica lo mismo que suma). Se evita, enesta parte del texto, distinguir entre laadición como operación aritmética y lasuma como resultado de la adición.

Diagrama lineal

Se supone que el lector está familiarizadocon los convenios de representación delos números en la recta numérica: elecciónde un origen y de un segmento que se usacomo unidad de medida; lo que permiteasignar a cada número natural unsegmento de recta que será su medida conel segmento tomado como unidad (o unadistancia desde el origen). En este caso,como los números son grandes no sepuede mostrar la unidad por lo que sepierde el carácter discreto de los conjuntosrepresentados (aunque hay que resaltarque, en este caso, el dibujante haprocurado que las longitudes de lossegmentos mantengan aproximadamentela misma proporción entre ellas que lossumandos). El diagrama lineal se incluyeaquí como medio de explicación de laoperación de sumar tres sumandos. Ladefinición de suma que se da de maneraimplícita se basa en el recuento: sumar ay b es “seguir contando b a partir de a”.Se pone así en juego un significado parcialde suma distinto del dado anteriormente,basado en el cardinal de un conjunto.

La técnica de sumar sugerida por eldiagrama lineal es difícil de poner enpráctica, en el sentido de que no se puedeaplicar efectivamente cuando los númerosson grandes. La faceta dual ostensivo-noostensivo es aceptada implícitamentecomo transparente, no problemática. Sepresupone que el diagrama lineal(ostensivo), como recurso didáctico, esuna expresión gráfica de la adición que

145

Relime

transmite “de forma automática” elsignificado de la adición (no ostensivo)basado en la aplicación sistemática (y porsupuesto, implíc i ta) de la funciónsiguiente que se introduce en laaxiomática de Peano.

La parte B concluye con una explicaciónque pretende dar a entender que “sumares una operación que a partir de ciertosnúmeros (sumandos) obt iene otronúmero (suma)” para ello introduce lostérminos valor y parte (¿Por qué usaraquí una terminología de procedenciaeconómica?):

“En una suma se conoce el valor decada parte y se calcula el total” (p.19).

En esta sección el alumno se encuentracon una gran complejidad semiótica, yaque en media página se le presentanmezcladas diferentes interpretaciones dela “suma”: como una acción (reunir,juntar, etc.), como el cardinal del conjuntounión, como “seguir contando” y comooperación. Además, aparecen diferentesregistros: verbal, simbólico y gráfico. Estagran complejidad semiótica podría ser lacausa potencial de numerosos conflictossemiót icos que, en la mayoría dealumnos, no se producen gracias a susconocimientos previos sobre la suma. Elprofesor que use este libro como apoyode sus clases debe ser consciente de losconflictos semióticos potenciales quehemos descrito.

PARTE C (Ejercicios)

En el primer problema se proponen hacercuatro sumas de cuatro sumandos denúmeros hasta de 5 cifras. Se tratan desumas descontextualizadas que, comoprincipal novedad respecto del ejemploresuelto, se presentan dispuestos en fila.

Parece que el elevado número de cifrasde los sumandos tienen por objetivoconseguir que los alumnos los disponganen columnas y apliquen el algoritmo dela suma que se ha recordadoanteriormente.

En el segundo, se espera que losalumnos realicen el planteamiento yresolución de un enunciado de problemaa partir de sumandos expresados en undiagrama lineal. El objetivo es que losalumnos apliquen la dualidad extensivo-intensivo y confeccionen el enunciado deun problema cuya descontextualizaciónse corresponda con el diagrama lineal.

El tercero es un problemacontextual izado de sumar con tressumandos sin que se indique ningunapalabra clave alusiva a las “acciones desumar”. Incluso, admite como respuestacorrecta repetir los datos de visitantes encada día, o decir que no se puede saberya que no se dicen los visitantes de losotros días en los que se podía visitar laexposición.

El cuarto es un problema concreto de dossumandos. Tampoco se incluye términosalusivos a las acciones de sumar. Lainferencia de hacer una suma se derivade un conocimiento práct ico de lasituación. Es de destacar que mientrasel enunciado hace referencia a un sololibro en el dibujo aparecen dos libros.

5.2. Algunos conflictos semióticosidentificados en las secciones 2-6

Sección 2: Las propiedades de la suma

El problema introductorio (Figura 8)pretende motivar las propiedadesconmutativa y asociativa de la suma.

146


En primer lugar, la Figura 8 presenta unconflicto semiótico entre los códigos detransmisión: en el marco gráfico, el númerode fichas es 30 (11 fichas en cada caja y 8sobre la mesa); en el marco semántico, elnúmero de fichas es 580 (24 y 36 en lascajas, respectivamente, y 520 sobre lamesa). Se supone, por lo tanto,transparente el código de comunicaciónque identifica el “número en una tarjeta”con el “número de fichas”. ¿Por qué nointerpretar que en la caja “24” hay 11fichas?, máxime cuando sobre la mesa hayclaramente menos fichas que en las cajasy, en todo caso, no parece admisible quehaya 520 fichas. De esta forma, la tareaprecisa de aclaraciones del tipo “el número24 representa el número de fichas que hayen la caja de la izquierda”.

En segundo lugar, la primera pregunta,“¿cuántas fichas hay en las dos cajas?”,impide que los alumnos se planteen por símismos las distintas posibilidades derealizar la suma de los tres sumandos ycomprobar que el resultado es el mismo.Una manera de conseguir este propósitosería suprimir la primera pregunta yplantear directamente “¿cuántas fichashay en total?” De esta manera la situaciónqueda más abierta a la exploración personaldel lector. Asimismo, habrá que tener encuenta que muchos potenciales lectoresdarían por finalizada la actividad, obtenidauna respuesta. Una opción es planificar unasesión de interacción en aula, que conlleveresponder a preguntas del tipo:

Figura 8. Situación introductoria. Propiedades de la suma

-¿Cambia el resultado, si cambias elorden en que se hacen las sumas delos números?

-¿Ocurre igual si los números defichas en cada caja y sobre la mesason diferentes?

-¿Da igual que sumemos primero lasfichas de las cajas y luego las de lamesa o, por ejemplo, primero las deuna caja con las de la mesa ydespués las de la otra caja?

En el apartado “Observa” que sigue alenunciado se ve con claridad que elobjetivo del problema no es que losalumnos descubran por si mismo lapropiedad asociativa. La primera preguntaestá pensada para poder explicar con elejemplo de las dos cajas la propiedadconmutativa y la segunda para explicar laasociativa. En efecto, en la sección“Observa” (Figura 9) se presenta lasolución del problema y los enunciadosgenerales de las propiedades conmutativay asociativa. Nos parece unageneralización prematura, basada en lacomprobación de un solo ejemplo. Por otraparte, bajo el epígrafe “Propiedadasociativa” se da, en realidad, elenunciado de una técnica de cálculo parasumar tres números: “Para sumar tresnúmeros, sumamos dos cualesquiera deellos y el resultado se suma con el tercero”.De esta forma, se confunde el enunciadode una técnica, con el de una propiedad.

Relime148

Además, la técnica de cálculo es enmuchos casos interpretada como: si secambia el orden en que hacemos lassumas el resultado no varía, donde la voz“orden” es polisémica: por un lado, “elorden en que se suman tres sumandosdados en una lista” (primero a más b y elresultado sumarlo a c o bien sumar primerob y c y al resultado agregarle a), por otrolado, “el orden en que se colocan lossumando dados, que supone unageneralización de la propiedad conmutativaa tres números” (a+b+c = a+c+b =b+a+c = b+c+a = c+a+b = c+b+a ).

Sección 3: La resta. Significados

La presentación de la resta (Figura 10) se hacede manera similar a la de la suma. Primero sepresenta un problema contextualizado en el quese pide cuánto falta para llegar a 9.450 puntossi tenemos 6.750. Contrariamente al caso dela suma, el problema escogido sí se puedeconsiderar un buen representante de losproblemas de resta.

Figura 9. Propiedades de la suma

Figura 10. La resta. Significados

Se comienza diciendo que para hallar elnúmero de puntos que falta se realiza unaresta. A continuación se define qué es restar:restar es quitar, separar, disminuir, comparar,etc. Ahora bien, como en el caso de la suma,se trata también de una definición incompletaya que no se dice, por ejemplo, que la restaes el número de elementos que quedan enel conjunto después de quitar algunos. Si elalumno se guía sólo por esta definiciónpuede considerar como situaciones de“resta” muchas que no lo son. Al igual queen el caso de la suma de esta definición deresta no se puede inferir una regla pararealizar la resta.

La situación que presenta el libro es que, poruna parte, da una definición incompleta dela cual no se puede deducir una regla paracalcular la resta y, por otra parte, acontinuación pasa a explicar el algoritmo dela resta (con dos registros diferentes:enunciado y simbólico). El registro verbal esdeliberadamente incompleto, ya que suponeque el algoritmo es conocido por los alumnos.El registro simbólico que se presentadescribe el pre-algoritmo previo al algoritmode restar “tomando prestado”, que no es elque habitualmente se enseñan en España(que suele ser el algoritmo de “restarllevándose”). Puesto que los autoresconsideran conocido este pre-algoritmo, esel lector quien tiene que interpretar eldiagrama tabular de la izquierda. Ladescripción del algoritmo contiene diversosconvenios que el lector debiera conocerpreviamente, ya que no se aportainformación al respecto. El esquema incluyetres definiciones implícitas: minuendo,sustraendo y diferencia. Se evita, en estaparte del texto, distinguir explícitamente entrela resta como operación aritmética y la restacomo resultado de la sustracción(diferencia).

Es de resaltar la alta “densidad semiótica”del esquema de sustracción presentado.


A diferencia del caso de la suma, seintroducen abreviaturas lingüísticas paralas palabras minuendo (M), sustraendo (S)y diferencia (D) (la letra D también significaaquí decena, lo que produce un nuevofenómeno de polisemia), que son referidasmediante flechas a los númeroscorrespondientes a la sustracción delproblema propuesto. Estas abreviaturasnotacionales serán usadas en el siguienteapartado para enunciar, de manerageneral, las relaciones entre los tresnúmeros que definen una sustracción. Elalgoritmo de restar “tomando prestado” sesupone conocido y, por ello, sólo se describetachando las cifras correspondientes delminuendo y anotando encima del mismo lanueva cifra con los incrementos de unidadescorrespondientes. Hay que resaltar que losautores seguramente han tenido en cuenta,aunque sea sólo de manera implícita, lacomplejidad semiótica del algoritmo de“restar llevándose” ya que han optado, encursos anteriores, por explicar un algoritmode menor complejidad semiótica: elalgoritmo de restar “tomando prestado”.

Se incluye también un diagrama lineal quepone en juego un significado parcial deresta distinto del dado anteriormente.Ahora la resta se entiende en términos de“sumando desconocido”: 6.795 + (?) =9.450. Se concluye con una explicaciónque pretende dar a entender que “restares una operación que a partir de ciertosnúmeros (total y parte) obtiene otro número(otra parte)”, pero se deja a cargo delalumno la identificación de “total” con“minuendo”, de “parte” con “sustraendo” yde “otra parte” con “diferencia”.

En esta sección el alumno se encuentracon una gran complejidad semiótica, yaque en media página se le presentanmezcladas diferentes interpretaciones dela “resta”: como una acción (quitar,

comparar, etc.), como “sumandodesconocido” y como operación.Además, aparecen diferentes registros:verbal, simbólico y gráfico. Esta grancomplejidad semiótica podría ser lacausa potencial de numerosos conflictossemiót icos que, en la mayoría dealumnos, no se producen, al igual queen el caso de la suma, gracias a susconocimientos previos sobre la resta. Porotra parte, es de destacar que no se daa la resta el significado parcial de “contarhacia atrás”.

Sección 4: Relaciones entre los términosde la resta

Esta sección comienza con el siguienteproblema introductorio:

“Para pagar la carpeta, Jaime entregómil pesetas y le devolvieron 165 pesetas(en un dibujo se indica que la carpetacuesta 835 pta). Comprueba si soncorrectas las vueltas” (Ferrero y cols,1999, p. 22).

Puesto que se trata de relacionar la sumay la resta sería más conveniente formularla pregunta de manera más abierta.

Una consigna alternativa podría ser: ¿Decuántas maneras dist intas podríascomprobar si la vuelta (es decir, el dinerodevuelto) es correcta?”

A continuación, en el apartado “Observa”(Figura 11) se explican tres manerasalternativas de resolver el problema.Cada una de ellas se simboliza medianteuna expresión algebraica en forma deigualdad. De la segunda igualdad sederiva una técnica para comprobar si laresta está bien hecha: “Para comprobarsi una resta está bien hecha se suma elsustraendo con la di ferencia y elresultado debe ser el minuendo”. (p. 22)

Relime

165→ D

150

Figura 11. La prueba de la resta

En este apartado también se observa unacomplejidad semiótica importante, ya quelos autores dejan a cargo de los alumnosla aplicación de las funciones semióticasque relacionan extensivos con intensivos(faceta extensivo-intensivo). Esperan quesean los alumnos quienes conviertan enintensivos los símbolos M, S y D.Consideran que la flecha será interpretadapor los alumnos como el paso de un valora una variable:

Y también esperan que sean los alumnosquienes establezcan la relación entre lastres igualdades obtenidas, ya que losautores evitan entrar en la explicación depropiedades de las expresionesalgebraicas (por ejemplo, que sumando elmismo término a cada miembro de laigualdad ésta se mantiene, o bien que untérmino de uno de los miembros de laigualdad pasa al otro miembro con el signocambiado). Ahora bien, sólo si el alumnorelaciona M–S= D con S+D=M se puedeentender que de la segunda igualdad sederiva una técnica general para comprobarel resultado de una resta (primeraigualdad).

Esta sección del libro de texto terminacon cinco ejercicios. En el primero, seproponen seis restas (por ejemplo,2.500–865 =1.635) y se pide a los alumnosque comprueben si los resultados soncorrectos. En el segundo, se les presentan9 igualdades en las que falta uno de lostres números (el minuendo, el sustraendo

1.000→ M 835→ S

o bien la diferencia) y se les pide que hallenel término que falta. En el tercero, se lespresenta una resta descontextualizada yse les pregunta que confeccionen unenunciado que se resuelva mediante dicharesta. En el cuarto y quinto, se lespresentan dos de los tres términos por sunombre (el minuendo, el sustraendo o bienla diferencia) sin que en ellos aparezca lapalabra resta o bien el signo de restar y seles pide que hallen el término que falta.

Sección 5: Restas equivalentes

Esta configuración se genera para estudiaruna propiedad de la sustracción:

“En una resta, la diferencia no varíacuando se suma o se resta un mismonúmero al minuendo y al sustraendo”.(p. 23)

Para llegar a esta propiedad se comienzacon un problema contextualizado sobre ladiferencia de precio entre dos gafas(primero sin funda y después con funda).A continuación, en el apartado “Observa”(Figura 12) se explica la solución delproblema. También se simbolizan mediantelos símbolos M, S y D, aunque en este casolas letras intervienen como antecedentesy los números como consecuentes.Además, las letras M, S y D sólo se utilizanpara el cálculo de la diferencia “sin funda”.Si en el apartado anterior los alumnostenían que ir del extensivo al intensivo, eneste caso tienen que seguir el caminoinverso, tienen que ir del intensivo (M, S y D)al extensivo (los números correspondientes).Los autores consideran que la flecha seráinterpretada por los alumnos como laasignación de valores a las variables M, Sy D:

Por otra parte, la flecha se utiliza tambiénpara expresar la suma de un mismonúmero al minuendo y al sustraendo. Siantes la flecha relacionaba intensivos con


extensivos, ahora relaciona extensivoscon extensivos. También hay que destacarque el signo + se usa como operador(+1.000) y que el resultado se generalizano sólo a la suma (el ejemplo utilizado) sinotambién a la resta (el caso másproblemático)

Figura 12. Restas equivalentes

Podemos observar que para obtener unresultado general: (M ± A) – (S ± A) = M–S,los autores comienzan con un caso general(sugerido por las letras, M, S y D) paradespués hacer intervenir un caso particular:(12.700 + 1.000) – (9.500 + 1.000) =12.700 – 9.500 para concluir finalmente unresultado general que expresan medianteun enunciado: “En una resta, la diferenciano varía cuando se suma o se resta unmismo número al minuendo y alsustraendo” (p. 23). Se observa que losautores han tenido muy presente lacomplejidad semiótica asociada y hanbuscado (1) una explicación que la reduzcaconsiderablemente y (2) una formulaciónde la propiedad que permita obviar el usode paréntesis y el doble uso del signomenos (como símbolo de la resta y comosímbolo del “opuesto de un número”). Apesar de ello, en este apartado tambiénse observa una complejidad semióticaimportante, ya que los autores vuelven adejar a cargo de los alumnos la aplicaciónde las funciones semióticas que relacionanextensivos con intensivos (facetaextensivo-intensivo).

Esta sección del libro de texto termina contres ejercicios. En el primero, se proponendos casos en los que se suma el mismo

número al minuendo y al sustraendo y doscasos en los que se resta el mismo númeroy se les pide que comprueben que elresultado no varía. En los otros dosproblemas se les proponen dossituaciones contextualizadas en las quehan de aplicar la propiedad explicadaanteriormente.

Sección 6: Sumas y restas combinadas.Uso del paréntesis

La situación contextualizadora propuestapara motivar el uso de los paréntesis en larealización de las operaciones se puederesolver mediante la realización de dosrestas sucesivas:

“En el quiosco había 3.000 periódicos.Por la mañana se vendieron 1.948 y porla tarde, 896. ¿Cuántos periódicosquedaron sin vender? (p. 24)

La solución presentada (Figura 13) pareceforzada, ya que no se pide como pasointermedio hallar la cantidad de periódicosvendidos. ¿Por qué no operar sin usar losparéntesis, primero 3.000 – 1.948 ydespués al resultado restarle 896?

Figura 13. Uso de paréntesis

En este apartado, podemos observar unconflicto semiótico potencial ya que elalumno puede entender, implícitamente,que se hace lo mismo que en los otrosapartados, es decir, que a partir de unejemplo particular se obtiene un resultadogeneral. Sin embargo, lo que se estáhaciendo es introducir una convención:

Relime152

“el paréntesis indica la operación quetenemos que hacer en primer lugar” (p.24). Además, esta convención,implícitamente, puede entrar encontradicción con lo que se ha dicho alexplicar anteriormente la propiedadasociativa. Según dicha propiedad, si seha de efectuar, por ejemplo, (30 + 50) +25, no es necesario sumar primero 30 con50, puesto que, si se quiere se puedesumar primero 50 con 25.

6. Consideraciones finales

Con relación a la idoneidad epistémica dela lección analizada, nuestra conclusión esque su grado de idoneidad esmoderadamente elevado, si tomamoscomo referencia la configuración empíricadescrita en el apartado 3.2.

En cambio, la idoneidad semiótica esbastante más discutible. Basándonos,sobre todo en dos de las cinco facetasduales (expresión-contenido y extensivo-intensivo), hemos mostrado una variedadde conflictos semióticos potenciales,algunos de los cuales se pueden resolvermediante ciertos cambios en las tareas yen las explicaciones proporcionadas. Dehecho, la identificación de conflictossemióticos lleva consigo, en algunasocasiones, la posibilidad de establecercondiciones de control de posiblesprocesos de estudio con relación a losobjetos matemáticos que se ponen enfuncionamiento en la lección.

Sin embargo, ciertos conflictos semióticosidentificados tienen difícil solución (si nosatenemos a los conocimientos didáctico-matemáticos actuales). Un tipo de estosconflictos semióticos son aquellosoriginados por configuraciones didácticasque presuponen que las matemáticas son(o se pueden enseñar como)

generalizaciones de la experienciaempírica. En este tipo de configuracioneslos conceptos y las propiedades seintentan justificar por su acuerdo con unarealidad extra matemática. Este intentotopa con una dificultad que se convierteen el origen de importantes conflictossemióticos, que no es otra que el carácterconvencional de algunas reglasmatemáticas. Este tipo de conflictos hanaparecido en la lección en el momento deintroducir la regla “el paréntesis indica laoperación que tenemos que hacer enprimer lugar” a partir de una justificaciónbasada en su acuerdo con situacionesextra matemáticas. Para solucionar estetipo de conflictos semióticos es necesarioque los autores de los textos seanconscientes de las limitaciones que tienela concepción que considera que “lasmatemáticas son (o se pueden enseñarcomo) generalizaciones de la experienciaempírica”.

Otro tipo de conflictos semióticospotenciales de difícil solución son losrelacionados con el intento de soslayarciertas características del razonamientoalgebraico. Los autores, por una parte,pretenden el inicio de una reflexión sobrela estructura algebraica de los conjuntosy operaciones con números; tal es el casode los enunciados generales de laspropiedades conmutativa, asociativa, o dela relación entre el minuendo, elsustraendo y la diferencia. Por otra parte,conscientes de la complejidad semióticaque ello representa intentan soslayarciertas características del razonamientoalgebraico, en especial la consideraciónde que los símbolos no estáncondicionados por la situación queinicialmente representaban y que, portanto, son objetos sobre los cuales sepueden realizar acciones. En la lecciónanalizada, los símbolos substituyen anúmeros y su función es representarlos,


los símbolos representan objetos, accionessobre objetos o relaciones entre objetos,pero ellos mismos no se consideran objetossobre los cuales se pueden realizaracciones. Este tipo de conflictos semióticoshan aparecido en la lección en el momentode introducir la relación entre los términosde una resta.

Un problema didáctico de mayor alcance,relacionado con el criterio de idoneidad“mediacional” expuesto en la introducción,se pone de manifiesto cuando relacionamoslas situaciones introductorias de las distintasconfiguraciones y las prácticas operativas ydiscursivas asociadas. Se supone que talessituaciones deben permitir lacontextualización de los conocimientospretendidos y crear las condiciones para laexploración personal de los alumnos. Sinembargo, el texto presenta inmediatamentela solución y las generalizacionespretendidas, lo que convierte de hecho alproceso de estudio en una presentaciónmagistral. Se trata de un problema relativoa la gestión del tiempo didáctico(cronogénesis) y a la gestión de lasresponsabilidades del profesor y de losalumnos en el proceso de aprendizaje(topogénesis) (Chevallard, 1991).

Para terminar, queremos resaltar que elanálisis de textos se revela como un

componente importante del análisis didácticode los procesos de enseñanza y aprendizajede las matemáticas. Con frecuencia, lostextos y documentos de estudio asumen unaparte sustancial de la dirección del procesode enseñanza y aprendizaje. Es cierto queen los niveles de educación primaria elalumno no afronta solo el estudio de loscontenidos curriculares, usando el libro demanera personal y autónoma. El profesordesempeña un papel de mediador entre ellibro y el alumno. Pero un libro de textoescolar que tenga una baja idoneidadepistémica y semiótica implicará una mayorcarga para el profesor y menor autonomíapara los alumnos.

La metodología de análisis descrita puedeser una herramienta útil para la preparaciónde profesores. El diseño y desarrollo deunidades didáctica debe tener en cuenta lasexperiencias e investigaciones previasrealizadas, las cuales se concretanhabitualmente en las lecciones elaboradaspor equipos de expertos. Una pregunta clavepara el profesor es: ¿cómo puedo adaptar ami contexto y circunstancias la unidaddidáctica que me ofrece este libro de texto yen la medida de lo posible optimizarla? Pararesponder esta pregunta es necesarioadoptar unos criterios de mejora oidoneidad de un proceso de estudiomatemático.

Reconocimiento:

Trabajo realizado en el marco del proyecto MCYT – FEDER: SEJ2004-00789, Ministeriode Ciencia y Tecnología, Plan Nacional de Investigación Científica, Desarrollo eInnovación Tecnológica. Madrid.

Referencias

Brousseau, B. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics. Dordrecht: Kluwer.

Chevallard, Y. (1991). La transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseigné.Grenoble: La Pensée Sauvage.

Relime154

Contreras A., Font, V., Luque, L. y Ordóñez, L. (2005). Algunas aplicaciones de la teoríade las funciones semióticas a la didáctica del análisis. Recherches en Didactique desMathématiques, 25(2), 151–186.

Ferrero, L. y cols. (1999). Matemáticas 5. Serie Sol y Luna. Anaya.

Font, V. y Ramos, A. B. (2005). Objetos personales matemáticos y didácticos delprofesorado y cambio institucional. El caso de la contextualización de funciones en unaFacultad de Ciencias Económicas y Sociales. Revista de Educación, 338, 309-346.

Godino, J. D. y Batanero, C. (1994). Significado institucional y personal de los objetosmatemáticos. Recherches en Didactique des Mathématiques, 14(3), 325–355.

Godino, J. D. (2002). Un enfoque ontológico y semiótico de la cognición matemática.Recherches en Didactique des Mathématique, 22(2/3), 237–284.

Godino, J. D., Batanero, C. y Roa, R. (2005). An onto-semiotic analysis of combinatorialproblems and the solving processes by university students. Educational Studies inMathematics, 60, 3–36.

Godino, J. D., Wilhelmi M. R. y Bencomo, D. (2005). “Suitability criteria for a mathematicalinstruction process. A teaching experience with the function notion”. Mediterranean Journalfor Research in Mathematics Education, 4.2, 1–26.

Godino, J. D., Contreras, A. y Font, V. (en prensa). Análisis de procesos de instrucciónbasado en el enfoque ontológico-semiótico de la cognición matemática. Recherches enDidactique des Mathématiques (aceptado).

Hiebert, J., Morris, A. K., y Glass, B. (2003). Learning to learn to teach: An “experiment”model for teaching and teacher preparation in mathematics. Journal of MathematicsTeacher Education, 66, 201–222.

Verschaffel, L. y De Corte, E. (1996). Number and arithmetic. En A. J. Bishop et al.(eds.), International Handbook of Mathematics Education (pp. 99-137): Dorchecht: KluwerA. P.

Vygotski, L.S. (1934). El desarrollo de los procesos psicológicos superiores, 2ª edición.Barcelona, ESP: Crítica-Grijalbo, 1989.

Wittgenstein, L. (1953). Philosophical investigations. N. York, Macmillan.


Juan D. GodinoDepartamento de Didáctica de la MatemáticaUniversidad de GranadaEspaña


Vicenç FontDepartament de Didáctica de les Ciències Experimentals i la MatemàticaUniversitat de BarcelonaEspaña


Miguel R. WilhelmiDepartamento de Matemáticas e InformáticaUniversidad Pública de NavarraEspaña


Semiotic Objectifications of the

Compensation Strategy:

En Route to the Reification of Integers

Andreas Koukkoufis 1

Julian Williams 1

RESUMEN

Reportamos aquí el análisis de una experiencia que reproduce el trabajo de investigación“Object-Process Linking and Embedding” (OPLE) en el caso de la enseñanza de laaritmética de los enteros, desarrollada por Linchevski y Williams (1999) en la tradiciónde la Educación Matemática Realista (realistic mathematics education (RME)). Nuestroanálisis aplica la teoría de la objetivación de Radford, con el propósito de aportar nuevaspistas sobre la forma en que la reificación tiene lugar. En particular, el método de análisismuestra cómo la generalización factual de la estrategia llamada de compensaciónencapsula la noción de “agregar de un lado es lo mismo que quitar del otro lado”; unabase fundamental de esto que será, más tarde, las operaciones con enteros. Discutimos,de igual modo, otros aspectos de la objetivación susceptibles de llegar a ser importantesen la cadena semiótica que los alumnos ejecutan en la secuencia OPLE, secuencia quepuede llevar a un fundamento intuitivo de las operaciones con los enteros. Sostenemosque es necesario elaborar teorías semióticas para comprender el papel vital de losmodelos y de la modelación en la implementación de las reificaciones en el seno de laEducación Matemática Realista (RME).

PALABRAS CLAVE: Enteros, semiótica, teorías del aprendizaje.

ABSTRACT

We report an analysis of data from an experimental replication of “Object-Process Linkingand Embedding” (OPLE) in the case of integer arithmetic instruction originally developedby Linchevski and Williams (1999) in the realistic mathematics education (RME) tradition.Our analysis applies Radford’s theory of semiotic objectification to reveal new insightsinto how reification is achieved. In particular the method of analysis shows how thefactual generalization of the so-called compensation strategy encapsulates the notionthat “adding to one side is the same as subtracting from the other side”: a vital groundingfor symbolic integer operations later. Other aspects of objectification are discussed thatare considered likely to be important to the semiotic chaining that students achieve inthe OPLE sequence that can lead to an intuitive grounding of integer operations. We

157Relime, Número Especial, pp. 157-175.


School of Education, the University of Manchester.1

Relime

argue that semiotic theory needs to be elaborated to understand the vital role of modelsand modelling in leveraging reifications in RME.

KEY WORDS: Integers, Semiotics, Theories of Learning.

RESUMO

Reportamos aqui o análise de uma experiencia que reproduce o trabalho de investigação“Object-Process Linking and Embedding” (OPLE) en o caso da ensino da aritmética dosinteiros, desenvolvida por Linchevski e Williams (1999) na tradição da EducaçãoMatemática Realista (realistic mathematics education (RME)). Nossa análise aplica ateoria da objetivação de Radford, com o propósito de surgir novas pistas sobre a formaem que a reificação tem lugar. Em particular, o método de análise mostra como ageneralização factual da estratégia chamada de compensação encapsula a noção de“agregar de um lado é o mesmo que quitar do outro lado”; uma base fundamental dissoque será, mais tarde, as operações com inteiros. Discutimos, de igual modo, outrosaspectos da objetivação suscetíveis de chegar a ser importante na cadeia semióticaque os alunos executam na seqüência OPLE, seqüência que pode levar a um fundamentointuitivo das operações com os inteiros. Sustentamos que é necessário elaborar teoriassemióticas para compreender o papel vital dos modelos e da modelação naimplementação das reificações no seio da Educação Matemática Realista (RME).

PALAVRAS CHAVE: Inteiros, Semióticos, Teoria de Aprendizagem.

RÉSUMÉ

Nous rapportons ici l’analyse d’une expérience qui vise à reproduire le travail de recherche“Object-Process Linking and Embedding” (OPLE) dans le cas de l’enseignement del’arithmétique des entiers développé par Linchevski et Williams (1999) dans la traditionde l’Éducation Mathématique Réaliste (realistic mathematics education (RME)). Notreanalyse applique la théorie de l’objectivation sémiotique de Radford afin d’apporter denouveaux éclairages sur la façon dont la réification est accomplie. La méthode d’analysemontre, en particulier, comment la généralisation factuelle de la stratégie appelée decompensation encapsule la notion que « ajouter d’un côté, c’est la même chose qu’enleverde l’autre côté » : une base fondamentale de ce que sera plus tard les opérations avecdes entiers. Nous discutons également d’autres aspects de l’objectivation susceptibles dedevenir importants dans la chaine sémiotique que les élèves accomplissent dans la séquenceOPLE, séquence qui peut mener à un fondement intuitif des opérations sur des entiers.Nous soutenons qu’il est nécessaire d’élaborer des théorisations sémiotiques pourcomprendre le rôle vital des modèles et de la modélisation dans l’implémentation desréifications au sein de l’Éducation Mathématique Réaliste (RME).

MOTS CLÉS: Entiers, sémiotique, théories de l´apprentissage.

158

Semiotic Objectifications of the Compensation Strategy:En Route to the Reification of Integers

The Need for a Semiotic Analysis

Based on the instructional methodology ofObject-Process Linking and Embedding(OPLE) (Linchevski & Williams, 1999;Williams & Linchevski, 1997), the dicegames instruction method for integeraddition and subtraction showed howstudents could intuitively construct integeroperations. This methodology, underpinnedby the theory of reification (Sfard, 1991;Sfard & Linchevski, 1994), was developedwithin the Realistic Mathematics Education(RME) instructional framework. Until veryrecently, the dice games method had notbeen analysed semiotically. We believe asemiotic analysis of students’ activities inthe dice games will illuminate students’meaning-making processes. It will alsoprovide some further understanding of thereification of integers in the dice games inparticular and more generally of the theoryof reification, which does not explain “whatspur[s] the students to make the transitionsbetween stages” (Goodson-Espy, 1998, p.234). Finally, it will contribute to thediscussion of the semiotic processesinvolved in RME, which are currentlyinsufficiently investigated (Cobb,Gravemeijer, Yackel, McClain, &Whitenack, 1997; Gravemeijer, Cobb,Bowers, & Whitenack, 2000). In this paperwe focus on the compensation strategy(Linchevski & Williams, 1999), a dice gamestrategy on which integer addition andsubtraction are grounded, and begin toaddress the following questions:

1. What are the students’ semioticprocesses of the compensation strategyin the reification of integers through theOPLE teaching of integers in the dicegames method?

2. What is the semiotic role of the abacusin the OPLE teaching of integers

through the dice games and what canwe generally hypothesise about thesignificance of models and modelling inthe RME tradition?

We found Radford’s semiotic theory ofobjectification (Radford, 2002, 2003) to bea particularly useful theoretical frameworkfor analysing students’ semiotic processesin the dice games, despite the very differentcontext in which it was developed.

The Object-Process Linking andEmbedding Methodology

Sfard (1991) reported as follows:

But here is a vicious circle: on theone hand, without an attempt at thehigher-level interiorization, thereification will not occur; on theother hand, existence of objects onwhich the higher-level processesare performed seemsindispensable for the interiorization– without such objects theprocesses must appear quitemeaningless. In other words: thelower-level reification and thehigher-level interiorization areprerequisites of each other! (p. 31)

In order to overcome this ‘vicious circle’,the Object-Process Linking andEmbedding (OPLE) pedagogy(Linchevski & Wil l iams, 1999) wasdeveloped: “children a) build strategiesin the situation, b) attach these to the newnumbers to be discovered, and finally c)embed them in mathematics byintroducing the mathematical voice andsigns” (Linchevski & Williams, 1999, p.144). The pedagogy can be bestunderstood through the dice gamescontext in which i t was developed(Linchevski & Williams, 1999), which

159

Relime

aimed at overcoming the paradox ofreification described above for the caseof arithmetic of the integers.

The dice games instruction method(Linchevski & Williams, 1999) is an intuitiveinstruction of integer addition andsubtraction in the RME instructionalframework aiming at the reification ofintegers. The transition from the narrowerdomain of natural numbers to the broaderdomain of integers in the method isachieved through emergent modelling(Gravemeijer, 1997a, 1997b, 1997c;Gravemeijer et al., 2000) and takesadvantage of students’ intuition of fairness(Liebeck, 1990) for the cancellation ofnegative amounts by equal positiveamounts (Dirks, 1984; Linchevski &Williams, 1999; Lytle, 1994). Practically,the model – the double abacus (see figure1) – affords the representation andmanipulation of integers as objects beforethey are abstracted and symbolised assuch by the students (Linchevski &Williams, 1999):

The integer is identifiable in thechildren’s activity first as a processon the numbers already understoodby the children, then as a ‘report’ orscore recorded (concretised by theabacus). The operations on theintegers arise as actions on theirabacus representations, thenrecorded in mathematical signs.Finally, the operations on themathematical signs are encounteredin themselves, and justified by theabacus manipulations and gamesthey represent. Thus the integers areencountered as objects in socialactivity, before they are symbolisedmathematically, thus intuitively fillingthe gap formerly considered a majorobstacle to reification. (Linchevski &Williams, 1999, p. 144)

Figure 1: The abacus

Therefore, in the games the situatedstrategies are constructed in a realisticcontext which allows intuitions to arise.In this process the abacus model isutilized which “affords representation ofthe two kinds of numbers, and allowsaddition and subtraction (though clearlynot multiplication and division) of theintegers to be based on an extension ofthe children’s existing cardinal schemes”(Linchevski & Williams, 1999, p. 135).These strategies are linked to objects(yellow and red team points, see nextsection), thus allowing object-processlinking. Later, the formal mathematicallanguage and symbols enter the games.In the following section we present thegames more analytically.

The Dice Games Instruction

The method involves 4 games in eachof which two teams of two children arethrowing dice (e.g. a yellow and a reddie in game 1) and recording team pointson abacuses: the points for the yellowteam are recorded by yellow cubes onthe abacuses and those for the red teamare red cubes on the abacuses. Thestudents sit in two pairs, each having amember of each team and an abacus

160


(see figure 2). On each pair’s abacus,points for both teams are being recordedand the team points on the two abacusesadd up. The students in turn throw thepair of dice, recording each time thepoints for the two teams on their abacus.When the two abacuses combine to giveone team a score of 5 points ahead oftheir opponents, that team wins thegame. For instance in game 1, if theyellow team at a certain point is 2 aheadand they get a score on the pair of dice,say 4 yellows and one red, then they canadd 3 yellows to their existing score of 2and so get 5 ahead, and they win. Butnote the complication that because wehave two abacuses for the two pairs, a‘combined score of 2 yellows’ mightinvolve, say 1 red ahead on the oneabacus and 3 yellows ahead on the otherabacus: so there are mult iple‘compensations’ of reds and yellowsgoing on in var ious combinat ions.Therefore, the important thing in thegames is not how many points a teamhas, but how many points ahead of theopponent: hence the nascent directivityof the numbers.

Figure 2: Students playing one of the dice games

In the first game (game 1) two dice areused, a yellow and a red one, giving pointsto the yellow and red team in each throw.Shortly after the beginning of game 1, oftenwith the urging of the researcher, thestudents intuitively understand that theycan cancel the team points on the dice,thus introducing an important gamestrategy, the cancellation strategy (notexamined in this paper). For example,according to this strategy, if a throw of thepair of dice shows 3 points for the yellowteam and 1 for the red team, this isequivalent to just giving 2 points for theyellow team. The rationale is that thedirected difference of the points of theyellow and red team (i.e. the amount ofpoints that the yellows are ahead or behindthe reds) will be the same anyway. As theabacus columns have only space for 10points for each team, a team column willoften be full before a team gets 5 pointsahead of the opponent. In order for thegame to go on, the compensation strategyis formulated, that is, if you can’t add pointsto one team, subtract the same amount ofpoints from the other, so as to maintain thecorrect directed difference of team points.

161

Relime

This strategy is the second important gamestrategy and it is the one focused upon inthis paper. By the end of the games, thisstrategy will lead to the intuitive constructionof equivalences like: and .

Game 2 is similar to game 1, and isintroduced as soon as (and not before) thechildren are able to cancel the pair of diceinto ONE score quite fluently. In this gamean extra die is now thrown whose faces aremarked ‘add’ and ‘sub’ (subtract). From nowon this will be called the add/sub die. Theintroduction of this die allows for subtractionto come into play, instead of just addition,as in game 1. In analogy to game 1,according to the compensation strategy, ifyou have to subtract points from a teambut there are none on the abacus tosubtract, you can add points to the otherteam instead.

In game 3, formal mathematical symbolsfor integers are introduced. The add/sub dieis not used and the yellow and red die arereplaced with an integer die giving oneof the following results on each throw:–1, –2, –3, +1, +2, +3. Positive integers arepoints for the yellow team and negativeintegers are points taken from the yellows,thus they are points for the reds (for moredetails see Linchevski & Williams, 1999).Here the mathematical voice isencouraged, so that the children say “minus3” and “plus 2” etc.

In the final game (game 4), the add/sub dieis back into the game, allowing again forsubtraction to be concerned. In these twogames the cancellation strategy is nolonger needed and the compensationstrategy is transformed into a formalsymbolic, though still verbal, form: “addminus 3” etc. Once the students becomefluent in game 4, they begin recording thegames for a transition from verbal to written

+(+2) ≡ −(−2)+(−2)≡ −(+2)

use of formal mathematical symbols, butwe are not going to discuss this transitionfurther in this paper.

Some Earlier Analyses: Reification inthe Dice Games

Linchevski and Williams (1999) haveanalysed the dice games in terms ofreification. Through the instructionalmethodology of Object-Process Linkingand Embedding, they achieved the intuitivereification of integers and the constructionof processes related to integer addition andsubtraction through the manipulation ofobjects on a model (i.e. the yellow and redteam points). However, they did not providea semiotic-analytical account of thereification processes – their main concernwas to show that reification of integers waspossible through their method. We willdiscuss here the reifications taking placein the dice games, as we understand them,so that we can better appreciate the needfor a semiotic analysis of students’processes.

In relation to the reification of integers,according to Linchevski & Williams (1999),the object-process linking allows the intuitivemanipulation of integers as objects from thevery beginning of the dice games. As a resultof this methodological innovation, someelementary processes are obvious from thebeginning. These are, that if a team getspoints (or points are subtracted from it), thenew points add-up to (or are subtractedfrom) the points the team already has.These processes are intuitively obviousfrom the introduction of game 1 (and game2 respectively). However, one may arguethat the students still operate at the levelof natural numbers, not integers.

Integer processes begin to be constructed,though integers are not yet introduced

162


explicitly, once the students focus on thescore of the game, that is, which team isahead and by how many points. Thecalculation of the score as the directeddifference of the piles of cubes of the pointsof the two teams is the first object-processlink to be constructed. The second object-process link to be achieved in the gamesis the cancellation of the team points onthe dice: i.e. if in a throw the yellows get 2points and the reds 1 point, you might aswell just give 1 point to the yellows. Thusthis link is possible through theestablishment of the so called cancellationstrategy. Further, the compensation strategy– according to which adding to one side ofthe abacus is the same as subtracting fromthe other side – needs to be introduced asan object-process link. Up to this point, allthe necessary object-process links are inplace. Next, at the beginning of game 3,integers are introduced into the games: theformal mathematical voice enters the games.Through the manipulation of the formalmathematical symbols of integers in theabove object-process links, integers arebeing reified and the addition and subtractionof integers are being established.

However, in the above analysis thefollowing significant question arises: Whatare the meaning-making processes(semiotic) involved in students’ integerreification in the dice games? We certainlydo not claim that we will exhaust this issuehere, but we will begin to address it throughthe vital component of the compensationstrategy.

Semiotics are Needed to ComplementReification Analyses

The theory of reification, drawing supportfrom a cognitivist/constructivist view oflearning, is mainly interested in the internalprocesses of students’ abstraction of

mathematical objects. It does not generallyrefer to the social semiotic means studentsused to achieve the abstraction of theseobjects, (e.g. in the dice games, the integers).The analysis of Linchevski & Williams (1999)did in fact go some way in providing a socialanalysis of the context as a resource forconstruction of the compensation strategy:they were excited mainly here by theaccessing of the socio-cultural resource of‘fairness’ in the games as a basis for anintuitive construction of compensation.Semiotic chaining was adduced to explainthe significance of the transition to the‘mathematical voice’, so that “two points fromyou is the same as two points to us” slidesunder a new formulation like “subtract minustwo is the same as adding two… plus two”.However, we will complement Linchevski &Williams’ (1999) study with a more detailedsemiotic analysis of the way that the abacus,gesture and deictics mediate children’sgeneralisations (after Radford’s, 2003, 2005methodology).

We wish to clarify at this point that we do notreject the reification analyses. Instead, weagree with Cobb (1994) who takes anapproach of theoretical pragmatism,suggesting that we should focus on “whatvarious perspectives might have to offerrelative to the problems or issues at hand”(p. 18). We propose that in this sensesemiotic social theories can becomplementary to constructivist ones. Moreprecisely, we propose that Radford’s theoryof objectification (Radford, 2002, 2003) canbe seen as complementary to the theory ofreification (Sfard, 1991; Sfard & Linchevski,1994): while Sfard (1991) provides a modelfor the cognitive changes taking place,Radford (2002, 2003) provides the meansto analyse these changes on the social,‘intermental’ plane.

Radford addresses the issue of semioticmediation through his theory of

163

Relime

Radford’s Semiotic Theory ofObjectification

Objectification is “a process aimed at bringingsomething in front of someone’s attention orview” (Radford, 2002, p.15). It appears inthree modes of generalization: generalizationthrough actions, through language andthrough mathematical symbols. These arefactual, contextual and symbolicgeneralization (Radford, 2003).Objectification during these generalizationsis carried out gradually through the use ofsemiotic means of objectification (Radford,2002):

…objects, tools, linguistic devices,and signs that individuals intentionallyuse in social meaning-makingprocesses to achieve a stable form ofawareness, to make apparent theirintentions, and to carry out theiractions to attain the goal of theiractivities, I call semiotic means ofobjectification. (Radford, 2003, p. 41)

Factual generalization, a generalization ofactions (but not of objects), is described asfollows:

… A factual generalization is ageneralization of actions in the formof an operational scheme (in a neo-Piagetian sense). This operationalscheme remains bound to theconcrete level (e.g., “1 plus 2, 2 plus3” …). In addition, this schemeenables the students to tackle virtuallyany particular case successfully.(Radford, 2003, p. 47)

The formulation of the operational schemeof factual generalization is based on deicticsemiotic activity, e.g. deictic gestures, deicticlinguistic terms and rhythm. The students rely

objectification (Radford, 2002, 2003). Thistheory, presented in some detail in thefollowing section, analyses students’dependence on the available semioticmeans of objectification (SMO) (Radford,2002, 2003) to achieve increasinglysocially-distanced levels of generality.Radford explains this reliance on SMOthrough reference to Frege’s triad: thereference (the object of knowledge), thesense and the sign (Radford, 2002). TheSMO refer to Frege’s sense, that is, theymediate the transition from the referenceto the sign. Moreover, Radford extended thePiagetian schema concept to include asensual dimension, as Piaget’s emphasison the process of reflective abstraction canlead to an inadequate analysis of the roleof signs and symbols (Radford, 2005).

The schema …is … both a sensualand an intellectual action or a complexof actions. In its intellectual dimensionit is embedded in the theoreticalcategories of the culture. In its sensualdimension, it is executed or carried outin accordance to the technology ofsemiotic activity… (Radford, 2005, p.7)

Given this extended schema definition, theprocess of abstraction of a newmathematical object needs to beinvestigated in relation to the semiotic activitymediating it. This investigation shouldexpose students’ meaning makingprocesses in the objectifications takingplace in the dice games, which allow theconstruction of integers as newmathematical objects, i.e. their reification inSfard’s sense.

In the next section we present analyticallyRadford’s theory of objectification (Radford,2002, 2003), which will then be applied inthe section following it to some of our datafrom the instruction through the dice games.

164


on the signification power provided by deicticsto refer to actions on non-generic physicalobjects. These are perceivable, non-abstractobjects which can be manipulatedaccordingly. In the example from Radford(2003) below, the students had to find thenumber of toothpicks for any figure in thefollowing pattern.

The elaboration of the operational schemein this case can be seen in the followingsection of an episode provided by Radford(2003).

1. Josh: It’s always the next. Look! [andpointing to the figures with the pencil hesays the following] 1 plus 2, 2 plus 3 […].(Radford, 2003, p. 46-47)

Josh constructed the operational scheme forthe calculation of the toothpicks of any figurein the form “1 plus 2, 2 plus 3”, while pointingto the figures. Moreover, he used the linguisticterm always to show the general applicabilityof this calculation method for any specificfigure and the term next which “emphasizesthe ordered position of objects in the spaceand shapes a perception relating the numberof toothpicks of the next figure to the numberof toothpicks in the previous figure” (p. 48).Hence, in factual generalization:

…the students’ construction of meaninghas been grounded in a type of socialunderstanding based on implicitagreements and mutual comprehension

that would be impossible in a nonface-to-face interaction. … Naturally, somemeans of objectification may be powerfulenough to reveal the individuals’intentions and to carry them through thecourse of achieving a certain goal.(Radford, 2003, p. 50)

In contextual generalization the previouslyconstructed operational scheme isgeneralised through language. Its generativecapacity lies in allowing the emergence ofnew abstract objects to replace the previouslyused specific concrete objects. This is thefirst difference between contextual andfactual generalization: new abstract objectsare introduced (Radford, 2003). Its seconddifference is that students’ explanationsshould be comprehensible to a “genericaddressee” (Radford, 2003, p. 50): relianceon face-to-face communication is excluded.Consequently, contextual generalizationreaches a higher level of generality. Morespecifically, in Radford (2003) the operationalscheme “1 plus 2, 2 plus 3” presented abovebecomes “You add the figure and the nextfigure” (p. 52). Therefore, the pairs of specificsucceeding figures 1, 2 or 2, 3 become thefigure and the next figure. These two linguisticterms allow for the emergence of two newabstract objects, still situated, spatial andtemporal (Radford, 2003). Reliance on face-to-face communication is eliminated, anddeictic means subside. However, thepersonal voice, reflected through the wordyou, still remains.

Figure 3: First three ‘Figures’ of the ‘toothpick pattern’, labelled ‘Figure1’, ‘Figure 2’, ‘Figure 3’ byRadford (the picture in the box was taken from Radford, 2003, p. 45)

165

Relime

In symbolic generalization, the spatial andtemporal limitations of the objects ofcontextual generalization have to bewithdrawn. Symbolic mathematical objects(in Radford’s case algebraic ones) shouldbecome “nonsituated and nontemporal”(Radford, 2003, p.55) and the students loseany reference point to the objects. Toaccomplish these changes, Radford’s(2003) students excluded the personalvoice (such us you) from theirgeneralization and replaced the genericlinguistic terms the figure and the nextfigure with the symbolic expressions and correspondingly. Hence, theexpression you add the figure and the nextfigure became . Still, Radford(2003) points out that for the students thesymbolic expressions n and (n+1)remained indexed to the situated objectsthey substituted. This is evident in students’persistent use of brackets and their refusalto see the equivalence of the expressions

and . Summarising,the mathematical symbols of symbolicgeneralization were indexes of the linguisticobjects of contextual generalization, whichin turn were indexes of the actions onconcrete physical objects enclosed in thefactual generalization operational scheme.

The Compensation Strategy – FactualGeneralization

In this section we analyse the objectificationof the compensation strategy in terms offactual, contextual and symbol icgeneralization. We present excerpts ofthe discourse contained in the games,which we analyse in terms of theircontr ibut ion to the progressiveabstraction of integers through the meansof objectification. We also discuss theSMO involved in students’ processes. Theanalyses of factual, contextual andsymbolic generalization are presented

n(n +1)

n + (n +1)

(n + n) +1n + (n + 1)

separately, but first we provide someinformation about the students and theepisodes in this paper.

The study, part of an ongoing PhDresearch, involves year 5 students inGreater Manchester, who had not yet beentaught integer addition and subtraction.The PhD involves two experimentalmethods (respectively containing 5 and 6groups of 4 students) from 2 separateclasses and a control group from a thirdclass. In each experimental method classthe students were arranged by theirteacher in mixed gender and abilitygroups, which were taught for three one-hour lessons. In this paper we focusedon a microanalysis of one group of oneof the methods – the dice games asoriginally applied by Linchevski andWilliams (1999).

Radford’s factual generalization is quitea clear-cut process based on action onphysical objects formulated into anoperational scheme through deictic activity.However, in our investigation of thecompensation strategy, we find a multi-stepprocess of semiotic contraction happeninginside it. The three following episodes co-constitute in our view the factualgeneralization. In these episodes, occurringduring game 1 (in lesson 1), the studentswere faced with a situation where they hadto add cubes/points to one of the two teams,but there was no space on the abacus. As aresult, a breakthrough was needed for thescoring to continue.

Episode 1 (Minutes 14:30-14:50, lesson 1):Umar had to add 1 yellow cube on theabacus but, as there was no space in therelevant column, he got stuck. Fayproposed taking away 1 red cube instead.““…” indicates a pause of 3 sec or more,and “.” or “,” indicate a pause of less than3 sec” (Radford, 2003, p. 46).

166


Fay: You take 1 off the reds [pointing tothe red column on her abacus]. […]Because then you still got thesame, because you’re going backdown [showing with both her handsgoing down at the same level]‘cause instead of the yellowsgetting one [raising the right handat a higher level than her left hand]the red have one taken off [raisingher left hand and immediatelymoving it down, to show that thistime the reds decrease].

Fay’s proposal for the subtraction of a redcube instead of the addition of a yellow oneis the first articulation of the compensationstrategy in the games for this group ofstudents. We especially noticed theanalytical explanation of the proposedaction, which allows the process ofcompensation to be introduced for the firsttime. Deictic activity was associated bothwith the proposed action of taking away ared cube and with the justification followingit. Fay used pointing to the red cubes onthe abacus, as well as a gesture with bothher hands indicating the increase/decreaseof the pile of cubes in each team’s column.Moreover, the names “the yellows” and “thered” have a deictic role. We also notice thephrase “you still got the same”, stressingthat something (obviously important)remains unaltered: either we add a yellow

point/cube or subtract a red point/cube.This signi f icant unaltered gamecharacteristic, which we call the directeddifference of the points of the yellow andred team, still cannot be articulated as ithas not yet acquired a name.

Episode 2 (Minutes 20:15-20:43, lesson1): The yellows’ column was full and thereds’ only had space for 1 cube.Compensation was needed and as Zenoncould not understand, Jackie explainedas follows.

Jackie: It’s still the same, like … [a verycharacteristic gesture (see figure4): she brings her hands to thesame level and then she begins tomove them up and down inopposite directions, indicating thedifferent resulting heights of thecubes of the two columns of theabacus] because it’s still 2, theyellows are still 2 ahead [she doesthe same gesture while she talks]and the reds are still 2 below, soit’s still the same… [again thegesture] … em like… [closing hereyes, frowning hard] … I don’tknow what it’s called but it’s still thesame… score [the gesture ‘same’again before and while articulatingthe word “score” – indicating ‘same’score on her abacus].

Figure 4: Jackie’s gesture (this sequence of action performed fast and repeated several times)

167

Relime

In episode 2, we noticed the repeated useof the phrase “it’s still the same”, the word“still” followed by the difference in teampoints (i.e. “still 2”, “still 2 ahead”), as wellas the accompanying characteristicgesture. The gesture, too, emphasized theimportance of the unaltered directeddifference of the cubes of the two teams.We also noticed Jackie’s difficulty in findinga proper word for this important unalteredgame characteristic: “em like… [closing hereyes, frowning hard] … I don’t know whatit’s called but it’s still the same… score”(extract from episode 2 above). We believethe articulation of the word score, meaningwhat we call the directed difference of teampoints, as well as Jackie’s gesture werevery important for the factual generalizationprocess, because they achieved thesemiotic contraction (Radford, 2002) of theprocess originally established in episode 1.From this point onward, the students do notneed to provide an analytical semioticjustification of the proposed action, as Fayneeded to in episode 1. Just saying thatthe score will be the same is enough. Asimilar effect was accomplished by the worddifference in a different group (Koukkoufis& Williams, 2005).

Episode 3 (Minutes 21:27-21:57, lesson 1): There’s only space for 2 yellow cubes, butFay has to add 3 yellows and 1 red.

Fay: Add 2 on [she adds 2 yellowcubes] and then take 1 of theirs off[she takes off a red cube] and thenfor the reds [pointing to the reddice] you add 1, so you add the redback on [she adds 1 red cube].

Researcher: […] Does everybody agree?(Jackie and Umar say“Yeah”).

Finally, in the above episode furthersemiotic contraction took place. In fact, no

justification of the proposed action wasprovided, as it seemed to be unnecessary– indeed Jackie and Umar agreed with Faywithout further explanation. We argue thatthe further semiotic contraction happeningin episode 3 completed the factualgeneralization of the compensationstrategy.

To sum up, we see in the three episodesprovided up to this point a continuum asfollows: in episode 1 Fay presented aproper action and an analytical process tojustify it; in episode 2 again a proper actionwas presented but the process justifying itwas contracted; finally in episode 3 thepresentation of the proposed action wassufficient, therefore further semioticcontraction took place and the process forresulting in this proposed actiondisappeared.

The Compensation Strategy –Contextual Generalization

Contextual generalization, in whichabstraction of new objects throughlanguage takes place, has not yet beencompleted in this case. If we had had acontextual generalization of thecompensation strategy, we would have ageneralization like this: if you can’t add anumber of yellow/red points, you cansubtract the same number of red/yellowpoints instead. Similarly for subtraction, thegeneralization would be similar to this: ifyou can’t subtract a number of yellowpoints/red points, you can add the samenumber of red/yellow points instead.However, our students did notspontaneously produce such ageneralization, neither does theinstructional method demand it; thereforewe did not insist that the students produceit. We believe that the lack of articulationof the compensation strategy through

168


generic linguistic terms, and thus theincompleteness of the production of acontextual generalization, has to do withthe compensation strategy being toointuitively obvious. On the contrary, in thecase of the cancellation strategy(Linchevski & Williams, 1999) which wasnot so obvious, the same studentsproduced a contextual generalization asfollows (Fay, minutes 38:17-38:40, lesson1, 5 reds and 2 yellows): “you find thebiggest number, then you take off thesmaller number”. In the case of thecontextual generalization of thecancellation strategy, we notice that newabstract objects (“the biggest number”, “thesmaller number”) enter the discourse, asin Radford (2003). However, we will notdiscuss the contextual objectification of thecancellation strategy here.

The Compensation Strategy –Symbolic Generalization

Despite the incompleteness of the contextualgeneralization, we found that symbolicgeneralization was not obstructed! In thissection we discuss the symbolicgeneralization of the compensation strategy,which presents some differences from thatof the case presented by Radford (2003).

To begin with, in Radford (2003) symbolicgeneralization remained indexical throughoutthe instruction. In our case, the studentsbegan using symbolic generalization non-indexically. For convenience, we presentindexical and non-indexical symbolicgeneralization separately.

Indexical Symbolic Generalization

The elaboration of a symbolicgeneralization for the compensationstrategy demands the replacement of pre-symbolic signs with symbolic ones.

Therefore, the reference to yellow and redteam points has to be substituted byreference to positive and negative integers.According to the dice games method, thisis achieved in the beginning of game 3,when the red and the yellow die arereplaced by the integer die. Analytically, thenumbers +1, +2 and +3 (on the integer die)are points for the yellow team. Further, –1,–2 and –3 (on the integer die) are pointstaken away from the yellow team, thus theyare points for the red team. Of course,similarly one can say that +1, +2 and +3are point taken away from the red team.Conclusively, when it is “+” it is yellowpoints, while when it is “–” it is red points.In the following episode we witness thetransition from the pre-symbolic signs of“yellow team points” and “red team points”to the symbolic signs of “+” and “–” (positiveand negative integers).

Episode 4: Minutes: 20:45-21:55, lesson 3.

Researcher: +1. Who is getting points?Jackie: The yellowsResearcher: […] Who is losing points?Jackie, Umar: The redsFay: […] reds are becoming

called minuses and then the yellows are becoming

called plus.

As a result of the above introduction of theformal mathematical symbols for integers,positive integers are used to indicate yellowteam points and negative integers are usedto indicate red team points. Here lies thefirst difference from Radford’s symbolicgeneralization, which is soon to becomeevident.

In Radford (2003), the symbolic signs/expressions used in symbolicgeneralization were indexes of thecontextual abstract objects of contextualgeneralization. Hence, the expressions n

169

Relime

and n +1 indicated the generic linguisticterms the figure and the next figure.Instead, in the dice games the formalmathematical symbols of integers wereindexes not of the generic linguistic termsof contextual generalization (which wasnever completed), but of the concreteobjects of factual generalization. Forexample, +2 is an index of “2 more foryellows” as well as of “2 yellow points”, asin episode 5.

Episode 5 (Minutes: 33:15-33:53, lesson 3)

Researcher: […] you get –2. What wouldyou do? (Fay takes 2 yellowcubes off) […] What if youhad +3?

Umar: You take away 3 of the reds.Zenon: … or you could add 3 to the

yellow.Fay, Jackie: … add 3 to the yellow.Researcher: Oh, 3 off the reds or 3 to the

yellows. (All the studentsagree)

Indeed, the students read +2 on the die,the researcher articulates it as “plus 2”,but then the students’ discussion is interms of reds and yellows. If symbolicsigns were being used non-indexically atthat point, Umar would have said “minus3” instead of saying “3 of the reds” (as inthe phrase “take away 3 of the reds”).Also the others would have said “plus 3”instead of “3 to the yellow” (as in thephrase “add 3 to the yellow”). It becomesclear that in our case, we witnessed adirect transition from factual to indexicalsymbolic generalization, without thecompletion of contextual generalizationbeing necessary. This transition wasafforded due to the RME context and theabacus model.

In indexical symbolic generalization, thoughthe operational scheme of factual

generalization is reconstructed through theuse of symbolic signs instead of concretephysical objects, i t is not a simplerepetition of factual generalization insymbolic terms that takes place. Nosemiotic contraction needs to take placefor the establ ishment of thecompensation strategy in symbolic terms.The students know right away thatinstead of adding +2 (2 yellow points)they can subtract 2 red points.

Non-indexical Symbolic Generalization

Up to now the formal symbolic signs forintegers are being used indexically, but theintended instructional outcome is thatstudents will eventually be using thesesymbols non-indexically. We do not implythat the symbols should drop theirconnection to the context though. Indeedit is essential that students can go back tothe contextual meanings of these symbolsin the dice games, so as to draw intuitivesupport regarding integers. We justemphasize that the students shouldbecome flexible in using the formal symbolsof integers either indexically or non-indexically. A non-indexical use of integersymbols would mean explicit referencesolely to pluses and minuses (i.e. +2, –3etc). Therefore, the compensation strategyshould be constructed only based on theformal symbols of integers, excluding thepre-symbolic signs of yellow and red teampoints.

In order to target non-indexical symbolicgeneralization, we encouraged students toarticulate the symbols on the dice as “+”(plus) and “–” (minus), in an attempt tofacilitate the connection of the verbalizationplus/minus to the symbolic signs +/–.Though in the beginning most studentsneeded to be reminded to use the “proper”names of the signs, by the time the studentshad played game 4 for a while they were

170


able to refer to integers in a formal manner,as can be seen in the following examplesof student verbalizations. We believe thatthe introduction of the add/sub die in game4 obliged the students to refer correctly tothe integers with their formal names, so asto be able to perform the actions of additionand subtraction on these symbols. Forexample (brackets added), Fay said: add[minus 3], subtract [2 of the minuses];Zenon said: add [2 to the pluses]; Jackiesaid: add [minus 2]. Umar was stil lstruggling with the verbalization andsometimes said [minus 1] add or add[subtract 2] etc.

Finally, we checked if students hadspontaneously produced a more generalverbalization in a form like “if you can’t addpluses/minuses, you can subtract minuses/pluses” or the other way around. In thisgroup, such a generalization did not takeplace. We believe, however, that this willnot necessarily be the case for other groupsof students, and indeed that it may bedesirable to encourage this in the teaching.

The Semiotic Role of the Abacus Model

As may be clear by now, the abacus modeland the RME context of the dice games arevery significant for the reification of integersand the instruction of integer addition andsubtraction through the dice gamesmethod. Up to now we have referred to thesemiotic processes, but we have notreferred to the abacus model: thoughRadford’s theory of objectification has beencrucial in the analyses so far, we contendit needs to be complemented by an analysisof the role of the abacus in affording thesesemiotics. We claim that analysing thecontribution of the model in students’semiosis will afford some primarydiscussion of phenomena such as (i) theembodiment of semiotic activity, (ii) the

incompleteness of the contextualgeneralization and (iii) the direct transitionfrom factual to symbolic generalization.

The abacus model in the games seems inmany ways to be the centre of the activity:the abacus is in the centre of a ‘circle ofattention’, as we are all sitting around theabacuses (see figure 2 again); it affordsthe representation of the yellow and redteam points through their red and yellowcubes; it is the constant point of referenceabout which team is ahead. It was onlynatural that the abacus, being in the centreof the spatial arrangement and creditedwith allowing the students to keep thescore, became the focus of semioticactivity. What is even more important: theabacus mediated in some cases thesemiotic activity.

This can be seen in several features of thegames. To begin with, the team pointsreferred to the above episodes as “pointsfor the yellow/red” (or as “yellow/redpoints”) were concretized or ‘objectified’from the start: they were yellow and redcubes. That is, the points were embodiedinto the cubes. This allows, as Linchevskiand Williams (1999) point out, for integersto be introduced in the discourse as objectsfrom the very beginning: the studentsspeak about the general categories ofyellow and red points from the beginning.Additionally, the directed difference wasembodied on the abacus, as the differenceof yellow and red points can be seen witha glance at the abacus, and the sign isevidently that of the larger pile of cubes:i.e. in figure 1 the yellows on that abacusare 2 points ahead. This convenientreference to the directed difference in thetwo piles of cubes afforded the associationof semiotic activity to it, which made theestablishment of the compensationstrategy possible. Such semiotic activity isFay’s gesture in episode 1 in which the

171

Relime

movements of her hands were matchedwith a verbal manipulation of the differenceof the two piles of cubes (i.e. “you’re goingback down”) to show that the directeddifference remained the same. AlsoJackie’s quick movement of her hands upand down in episode 2 again indicates thedifference in the two piles of cubes, in otherwords it points to the directed differenceas it is embodied on the abacus. Wesuggest that this embodiment is crucialbecause it mediates the emergence ofdeictic semiotic activity such as that of Fayand Jackie in episodes 1 and 2 and henceallows the objectification to take place. Wemay even consider the toothpick figures inRadford (2003) to afford the same role.

As we noted above, the embodiment of theyellow and red team points through thecubes allowed the introduction of points forthe yellow and points for the red as generalabstract categories. We mentioned earlierthat the students did not complete thecontextual generalization of thecompensation strategy to produce ageneralization like “if you can’t add anumber of yellow/red points, you cansubtract the same number of red/yellowpoints instead”. However, the embodimentof the yellow and red team points of theabacus had already introduced genericsituated objects into the discourse, eventhough this was not achieved throughlanguage. Consequently, the studentscould obviously see that the operationalscheme of the factual generalization canbe applied for any number of points for ateam. This is an additional reason to the onepresented earlier for the incompleteness ofcontextual generalization. Hence, thisembodiment of the team points in a senseshapes the semiotic activity in thecompensation strategy, providing one morereason why the completeness of contextualgeneralization was unnecessary in thiscase.

Further, the semiotic role of the abacus wascrucial in the direct transition from factualto symbolic generalization. As we haveseen in episode 4, the yellow pointsbecame “plus” and the red points are now“minuses”. We say that this direct transitionwas afforded through the construction of achain of signification (Gravemeijer et al.,2000; Walkerdine, 1988), in the form of atransition from the embodiment of yellowand red points through the abacus cubesto the embodiment of positive and negativeintegers. As a consequence of thistransition, the formal symbols could beembedded into the operational scheme forthe compensation strategy establishedthrough the factual generalization. Quitenaturally then, the embedding of the formalsymbols in the operational schemeperformed on the abacus produced thesymbolic generalization directly fromfactual generalization.

Conclusion

Beginning with a presentation of the OPLEmethodology and the dice games instruction,we argued the need for a finer grained,semiotic analysis of objectifications to explainhow reification is accomplished.

We have applied Radford’s theory ofobjectification to fill this gap in understandingthe case of the compensation strategy, a vitallink in the chain of significations necessaryto OPLE’s success: thus we were able toidentify relevant objectifications applyingRadford’s semiotic categories ofgeneralisation. This work began to revealthe significance of the abacus itself, whichaffords, and indeed shapes the semiosisin essential ways. We have also shownhow the effectiveness of the pedagogybased on OPLE can be explained assemiotic chaining using multiple semioticobjectifications and begun to discuss the

172


significance of models and modelling in thedice games, and hence in the OPLEmethodology. Finally, we suggest that ourdiscussion over the semiotics of the abacusmodel might be the route to understandingthe significance of models and modellingin the RME tradition more generally. Wesuggest that the role of the abacus as amodel in this case might be typical of othermodels in RME. Indeed, Williams & Wake(in press) provide an analysis of the role ofthe number line in a similar vein.

In applying Radford’s theory in a very

different context we are bound to point outcertain differences in the two cases: forinstance, the differing roles of contextualgeneralisation in the two cases. Though theadaptation of the theory was necessary atsome points, we have shown that thistheory can be a powerful tool of analysis.The question arises as to whether theinstruction method adopted here gains orperhaps loses something by elidingcontextual generalisation: thus we suggestthat Radford’s categories might in fact beregarded as raising design-related issuesas well as providing tools of analysis.

References

Cobb, P. (1994). Where Is the Mind? Constructivist and Sociocultural Perspectives onMathematical Development. Educational Researcher, 23(7), 13-20.

Cobb, P., Gravemeijer, K., Yackel, E., McClain, K., & Whitenack, J. (1997). Mathematizingand Symbolizing: The Emergence of Chains of Signification in One First-Grade Classroom.In D. Kirshner & J. A. Whitson (Eds.), Situated Cognition. Social, Semiotic, andPsychological Perspectives (pp. 151-233). Mahwah, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates.

Dirks, M. K. (1984). The integer abacus. Arithmetic Teacher, 31(7), 50–54.

Goodson-Espy, T. (1998). The roles of reification and reflective abstraction in thedevelopment of abstract thought: transitions from arithmetic to algebra. EducationalStudies in Mathematics, 36(3), 219-245.

Gravemeijer, K. (1997a). Instructional design for reform in mathematics education. In K.P. E. G. M. Beishuizen, and E.C.D.M. van Lieshout (Ed.), The Role of Contexts andModels in the Development of Mathematical Strategies and Procedures (pp. 13-34).Utrecht: CD-ß Press.

Gravemeijer, K. (1997b). Mediating Between Concrete and Abstract. In T. Nunez & P.Bryant (Eds.), Learning and Teaching in Mathematics. An International Perspective (pp.315-345). Sussex, UK: Psychology Press.

Gravemeijer, K. (1997c). Solving word problems: A case of modelling? Learning andInstruction, 7(4), 389-397.

Gravemeijer, K., Cobb, P., Bowers, J., & Whitenack, J. (2000). Symbolising, Modellingand Instructional Design. Perspectives on Discourse, Tools and Instructional Design. In

173

Relime

P. Cobb, E. Yackel & K. McClain (Eds.), Symbolizing and Communicating in MathematicsClassrooms (pp. 225-273). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Koukkoufis, A., & Williams, J. (2005). Integer Operations in the Primary School: A SemioticAnalysis of a «Factual Generalization». Paper presented at the British Society for Researchin to the Learning of Mathematics Day Conference November 2005, St. Martin’s College,Lancaster.

Liebeck, P. (1990). Scores and forfeits – an intuitive model for integer arithmetic.Educational Studies in Mathematics, 21(3), 221–239.

Linchevski, L., & Williams, J. (1999). Using intuition from everyday life in ‘filling’ the gapin children’s extension of their number concept to include the negative numbers.Educational Studies in Mathematics, 39(1-3), 131-147.

Lytle, P. A. (1994). Investigation of a model based on neutralization of opposites to teachintegers. Paper presented at the Nineteenth International Group for the Psychology ofMathematics Education, Universidade Federal de Pernambuco, Recife, Brazil.


Radford, L. (2003). Gestures, speech, and the sprouting of signs. Mathematical Thinkingand Learning, 5(1), 37-70.

Radford, L. (2005). The semiotics of the schema. Kant, Piaget, and the Calculator. In M.H. G. Hoffmann, J. Lenhard & F. Seeger (Eds.), Activity and Sign. Grounding MathematicsEducation (pp. 137-152). New York: Springer.

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections onprocesses and objects as different sides of the same coin. Educational Studies inMathematics, 22, 1-36.

Sfard, A., & Linchevski, L. (1994). The gains and pitfalls of reification: the case of algebra.Educational Studies in Mathematics, 26, 87–124.

Walkerdine, V. (1988). The mastery of reason. London: Routledge.

Williams, J. & Wake, G. (in press). Metaphors and models in translation between Collegeand workplace mathematics. Educational Studies in Mathematics.

174

Semiotic Objectifications of the Compensation Strategy:En Route to the Reification of Integers 175

Andreas KoukkoufisSchool of EducationThe University of ManchesterUK


Julian WilliamsSchool of EducationThe University of ManchesterUK


Relime 176

177

Fecha de recepción: Enero de 2006/ Fecha de aceptación: Marzo de 2006

NRD, Departamento de Matemática, Universidad de Bolonia, Italia. Facultad de Ciencia de la Formación, Universidad

de Bolzano, Italia. Alta Escuela Pedagógica, Locarno, Suiza. MESCUD, Universidad Distrital “F. José de Caldas”, Bogotá,

Colombia

Objetos, significados, representaciones

semióticas y sentido

Bruno D’Amore 1

RESUMEN

En este artículo intento mostrar una consecuencia que algunas veces se evidencia enlas transformaciones semióticas de tratamiento y conversión de una representaciónsemiótica a otra, cuyo sentido deriva de una práctica compartida. El pasaje de larepresentación de un objeto matemático a otra, por medio de transformaciones, de unaparte conserva el significado del objeto mismo, pero, en ocasiones, puede cambiar susentido. Este hecho está aquí detalladamente evidenciado por medio de un ejemplo,pero insertándolo en el seno de un amplio marco teórico que pone en juego los objetosmatemáticos, sus significados y sus representaciones.

PALABRAS CLAVE : Registros semióticos, sentido de un objeto matemático,objeto matemático, cambio de sentido.

ABSTRACT

In this paper, I want to illustrate a phenomenon related to the treatment and conversionof semiotic representations whose sense derives from a shared practice. On the onehand, the passage from one representation of a mathematical object to another, throughtransformations, maintains the meaning of the object itself, but on the other hand,sometimes can change its sense. This is shown in detail through an example, insertedwithin a wide theoretical framework that takes into account mathematical objects, theirmeanings and their representations.

KEY WORDS: Semiotic registers, sense of a mathematical object, mathematicalobject, change of sense.

1


Relime 178

RESUMO

Neste artigo intento mostrar uma conseqüência que algumas vezes se evidencia nastransformações semióticas de tratamento e conversão de uma representação semióticaa outra, cujo sentido deriva de uma pratica compartida. A passagem da representaçãode um objeto matemático a outra, por meio de transformações, de uma parte conservao significado do objeto mesmo, mas, em ocasiões, pode mudar seu sentido. Este fatoestá aqui detalhadamente evidenciado por meio de um exemplo, pero inserindo-o emum amplo marco teórico que trabalha os objetos matemáticos, seus significados e suasrepresentações.

PALAVRAS CHAVES: Registros semióticos, sentido de um objeto matemático,objeto matemático, mudança de sentido.

RÉSUMÉ

Dans cet article, je montre un phénomène relié au traitement et à la conversion desreprésentations sémiotiques dont le sens provient de pratiques partagées. D’une part,le passage de la représentation d’un objet mathématique à une autre représentation, àtravers des transformations, conserve le sens de l’objet lui-même. D’autre part, cepassage peut entraîner quelquefois une modification du sens. Ce phénomène est icimis en évidence à travers un exemple inséré dans un cadre théorique ample qui met enjeu les objets mathématiques, leurs significations et leurs représentations.

MOTS CLÉS: Registre sémiotique, sens d´ un objet mathématique,objetmathématique, changement de sens.

Este trabajo está dividido en dos partes.En la primera parte se discuten aspectosde carácter epistemológico, ontológico ysemiótico desarrollados en algunosmarcos teóricos de investigación endidáctica de la matemática.

En la segunda, a través de la narración deun episodio de sala de clase, se proponeuna discusión sobre la atribución desentidos diversos de variasrepresentaciones semióticas en torno a unmismo objeto matemático.

Primera parte

1. Un recorrido

1.1. Ontología y conocimiento

En diversos trabajos de finales de los años80 y 90 se declaraba que, mientras elmatemático puede no interrogarse sobre elsentido de los objetos matemáticos que usao sobre el sentido que tiene el conocimiento


matemático, la didáctica de la matemáticano puede obviar dichas cuestiones (verD’Amore, 1999, pp. 23-28). En un trabajoreciente, Radford resume la situación de lamanera siguiente:

Se puede sobrevivir muy bien haciendomatemática sin adoptar una ontologíaexplícita, esto es, una teoría sobre lanaturaleza de los objetos matemáticos. Espor eso que es casi imposible inferir de unartículo técnico en matemáticas la posiciónontológica de su autor. (...) La situación esprofundamente diferente cuando hablamosdel saber matemático. (…) Cuestionesteóricas acerca del contenido de ese sabery de la manera como dicho contenido estransmitido, adquirido o construido nos hallevado a un punto en el que no podemosseguir evitando hablar seriamente deontología. (Radford, 2004, p. 6)

El debate es antiguo y se puede señalarcomo punto de partida la Grecia clásica.Como he señalado en trabajos anteriores,dicho debate está enmarcado por unacreencia ontológica que parte del modo quetienen los seres humanos de conocer losconceptos (D’Amore, 2001a,b; 2003a,b).Radford retoma el debate y se detiene, enparticular, en el trabajo de Kant quien diceque los individuos tienen un conocimiento

conceptual a priori gracias a una actividadautónoma de la mente, independiente delmundo concreto (Radford, 2004, pp. 5-7).

Como Radford pone en evidencia, el apriorismokantiano tiene raíces en la interpretación de lafilosofía griega hecha por San Agustín y suinfluencia en los pensadores del Renacimiento.Refiriéndose al matemático Pietro Catena(1501-1576), por mucho tiempo profesor de laUniversidad de Padua y autor de la obraUniversa Loca (Catena, 1992), Radford afirmaque, para Catena, “los objetos matemáticoseran entidades ideales e innatos” (Radford,2004, p. 10). El debate se vuelve moderno, entodo el sentido de la palabra, cuando, con Kant,se logra hacer la distinción entre los “conceptosdel intelecto” (humano) y los “conceptos deobjetos”. Como Radford observa:

[Estos] conceptos del intelecto puro noson conceptos de objetos; son más bienesquemas lógicos sin contenido; sufunción es hacer posible unreagrupamiento o síntesis de lasintuiciones. La síntesis es llevada a cabopor aquello que Kant identificó como unade nuestras facultades cognitivas: elentendimiento. (Radford, 2004, p. 15)

El siguiente gráfico presenta las ideas desentido y de comprensión en el lugar adecuado:

Objeto

Presentación 1 Presentación 2 Presentación 3

Síntesis de presentación en relación con conceptos de razón

sentido

comprensión

Objeto conocido

La relación entre los sentidos y la razón en la epistemología Kantiana (tomado de Radford, 2004, p. 15)

Relime180

1.2. Aproximación antropológica

La línea de investigación antropológicaparece fundamental en la comprensión delpensamiento matemático (D’Amore,2003b). Dicha línea de investigación debeatacar ciertos problemas, entre ellos el deluso de signos y artefactos en la cultura.En la aproximación antropológica alpensamiento matemático que proponeRadford, el autor sugiere que

una aproximación antropológica nopuede evitar tomar en cuenta el hechode que el empleo que hacemos de lasdiversas clases de signos y artefactoscuando intentamos llegar a conoceralgo está subsumido en prototiposculturales de uso de signos yartefactos. (...) Lo que es relevante eneste contexto es que el uso de signosy artefactos alteran la manera en quelos objetos conceptuales nos sondados a través de nuestros sentidos(…) Resumiendo, desde el punto devista de una epistemologíaantropológica, la manera en que meparece que puede resolverse elmisterio de los objetos matemáticos esconsiderando dichos objetos comopatrones (patterns) fijados de actividadhumana; incrustados en el dominiocontinuamente sujeto a cambio de lapráctica social reflexiva mediatizada.(Radford, 2004, p. 21).

En esta línea de pensamiento, existe unaaceptación general de consenso:

Los objetos matemáticos deben serconsiderados como símbolos deunidades culturales, emergentes de unsistema de usos ligados a lasactividades de resolución deproblemas que realizan ciertos grupos

de personas y que van evolucionandocon el tiempo. En nuestra concepción,es el hecho de que en el seno deciertas instituciones se realizandeterminados tipos de prácticas lo quedetermina la emergencia progresiva delos “objetos matemáticos” y que el“significado” de estos objetos estéíntimamente ligado con los problemasy a la actividad realizada para suresolución, no pudiéndose reducir estesignificado del objeto a su meradefinición matemática. (D’Amore &Godino, 2006, p. 14).

1.3. Sistema de prácticas

Tal acuerdo viene ulteriormente clarificadopor proposiciones explícitas:

La noción de “significado institucionaly personal de los objetos matemáticos”implica a las de “práctica personal”,“sistema de prácticas personales”,“objeto personal (o mental)”,herramientas útiles para el estudio dela “cognición matemática individual”(Godino & Batanero, 1994; 1998).Cada una de tales nociones tiene sucorrespondiente versión institucional.Es necesario aclarar que con estasnociones se trata de precisar y haceroperativa la noción de “relaciónpersonal e institucional al objeto”introducida por Chevallard (1992).(D’Amore & Godino, 2006, p. 28)

Aquello que nosotros entendemos por“sistema de prácticas personales” está enla misma línea de la aproximaciónsemiótica antropológica (ASA) de Radford:

En la aproximación semióticaantropológica (ASA) a la queestamos haciendo referencia, la


idealidad del objeto conceptual estádirectamente ligada al contextohistórico-cultural. La idealidad de losobjetos matemáticos es decir deaquello que los vuelve generales escompletamente tributaria de laactividad humana. (Radford, 2005, p.200).

Los aspectos sociológicos de esta adhesióna la actividad humana y a la práctica socialson así confirmados:

Considero que el aprendizajematemático de un objeto O por partede un individuo I en el seno de lasociedad S no sea más que laadhesión de I a las prácticas que losotros miembros de S desarrollanalrededor del objeto dado O.(D’Amore, en D’Amore, Radford &Bagni, 2006, p. 21)

De igual manera, “la práctica de sala de clasepuede considerarse como un sistema deadaptación del alumno a la sociedad”(Radford, en D’Amore, Radford & Bagni,2006, p. 27).

1.4.Objeto y objeto matemático

Se necesita, sin embargo, dar una definiciónde este “objeto matemático”. Para lograrlapreferimos recurrir a una generalización dela idea de Blumer sugerida por (Godino,2002): Objeto matemático es todo lo que esindicado, señalado, nombrado cuando seconstruye, se comunica o se aprendematemáticas. Esta idea es tomada deBlumer (Blumer 1969, ed. 1982, p. 8): unobjeto es “cualquier entidad o cosa a la cualnos referimos, o de la cual hablamos, seareal, imaginaria o de cualquier otro tipo.

En un trabajo anterior hemos sugeridoconsiderar los siguientes tipos de objetosmatemáticos:

• “lenguaje” (términos, expresiones,notaciones, gráficos, ...) en sus diversosregistros (escrito, oral, gestual, ...)

• “situaciones” (problemas, aplicacionesextra-matemáticas, ejercicios, ...)

• “acciones” (operaciones, algoritmos,técnicas de cálculo, procedimientos, ...)

• “conceptos” (introducidos mediantedefiniciones o descripciones) (recta,punto, número, media, función, ...)

• “propiedad o atributo de los objetos”(enunciados sobre conceptos, ...)

• “argumentos” (por ejemplo, los que seusan para validar o explicar losenunciados, por deducción o de otro tipo,...).

A su vez estos objetos se organizan enentidades más complejas: sistemasconceptuales, teorías,... (D’Amore &Godino, 2006, p. 28-29).

En el trabajo citado, se aprovecha la ideade función semiótica:

se dice que se establece entre dosobjetos matemáticos (ostensivos ono ostensivos) una funciónsemiótica cuando entre dichosobjetos se establece unadependencia representacional oinstrumental, esto es, uno de ellosse pone en el lugar del otro o unoes usado por otro. (D’Amore &Godino, 2006, p. 30).

Y, más allá:

Los objetos matemáticos que intervienenen las prácticas matemáticas y losemergentes de las mismas, según eljuego de lenguaje en que participan,pueden ser considerados desde lassiguientes facetas o dimensionesduales:

Relime182

• personal – institucional : como yahemos indicado, si los sistemas deprácticas son compartidos en el senode una institución, los objetosemergentes se consideran “objetosinstitucionales”; mientras que si estossistemas son específicos de unapersona los consideramos como“objetos personales”;

• ostensivos (gráficos, símbolos, ...), noostensivos (entidades que se evocan alhacer matemáticas, representados enforma textual, oral, gráfica, gestual, ...);

• extensivo – intensivo: esta dualidadresponde a la relación que se estableceentre un objeto que interviene en unjuego de lenguaje como un casoparticular (un ejemplo concreto: lafunción y=2x+1) y una clase másgeneral o abstracta (la familia defunciones, y = mx+n);

• elemental – sistémico: en algunascircunstancias los objetos matemáticosparticipan como entidades unitarias(que se suponen son conocidaspreviamente), mientras que otrasintervienen como sistemas que sedeben descomponer para su estudio;

• expresión – contenido: antecedente yconsecuente (significante, significado)de cualquier función semiótica.

Estas facetas se presentan agrupadas enparejas que se complementan de maneradual y dialéctica. Se consideran comoatributos aplicables a los distintos objetosprimarios y secundarios, dando lugar adistintas “versiones” de dichos objetos.(D’Amore & Godino, 2006, p. 31).

Pero, si se hace referencia a la prácticade representación lingüística: “Creo quese deben distinguir dos tipologías deobjetos en el ámbito de la creación de lacompetencia matemática (aprendizajematemático): el objeto matemático mismo

y el objeto lingüístico que lo expresa”(D’Amore, en D’Amore, Radford & Bagni,2006, p. 21).

En los siguientes partes de este articulo,será discutido lo referente a larepresentación, de forma especifica.

1.5. Aprendizaje de objetos

En los intentos hechos por sintetizar lasdificultades en el aprendizaje de conceptos(D’Amore, 2001a, b, 2003a) he recurridoen varias ocasiones a la idea que seencuentra en la paradoja de Duval (1993):

de una parte, el aprendizaje de losobjetos matemáticos no puede sermás que un aprendizaje conceptual y,de otra, es sólo por medio derepresentaciones semióticas que esposible una actividad sobre los objetosmatemáticos. Esta paradoja puedeconstituir un verdadero círculo viciosopara el aprendizaje. ¿Cómo sujetos enfase de aprendizaje no podrían noconfundir los objetos matemáticos consus representaciones semióticas siellos sólo pueden tener relación conlas representaciones semióticas? Laimposibilidad de un acceso directo alos objetos matemáticos, fuera de todarepresentación semiótica, vuelve laconfusión casi inevitable. Y, por elcontrario, ¿cómo pueden ellos adquirirel dominio de los tratamientosmatemáticos, necesariamente ligadoscon las representaciones semióticas,si no tienen ya un aprendizajeconceptual de los objetosrepresentados? Esta paradoja es aúnmás fuerte si se identifican actividadesmatemáticas y actividadesconceptuales y si se consideran lasrepresentaciones semióticas comosecundarias o extrínsecas. (Duval,1993, p. 38)


Estas frases reclaman fuertemente nosolamente un cierto modo de concebir laidea de semiótica sino también su relacióncon la epistemología. Como apuntaRadford: “El problema epistemológicopuede resumirse en la siguiente pregunta:¿cómo llegamos a conocer los objetosgenerales, dado que no tenemos accesoa éstos sino a través de representacionesque nosotros mismos nos hacemos deellos?” (Radford, 2005, p. 195).

1.6.La representación de los objetos

A propósito de la representación de losobjetos, Radford menciona que

En una célebre carta escrita el 21 defebrero de 1772, Kant pone en duda elpoder de nuestras representaciones.En esta carta, enviada a Herz, Kantdice: “¿sobre qué fundamento reposala relación de lo que llamamosrepresentación y objetocorrespondiente?”. En esa carta, Kantcuestiona la legitimidad que tienennuestras representaciones pararepresentar fielmente al objeto. Entérminos semióticos, Kant cuestiona laadecuación del signo. (…) La dudakantiana es de orden epistemológico.(Radford, 2005, p. 195)

Todo esto pone en juego, de formaparticular, la idea de signo, dado que parala matemática esta forma derepresentación es específica; el signo esde por sí especificación de lo particular,pero esto puede ser interpretado dandosentido a lo general; al respecto Radfordnota que: “Si el matemático tiene derechoa ver lo general en lo particular, es, comoobserva Daval (1951, p. 110) ‘porque estáseguro de la fidelidad del signo. El signoes la representación adecuada delsignificado (signifié)’ ”. (Radford, 2005, p.199).

Pero los signos son artefactos, objetos asu vez “lingüísticos” (en sentido amplio),términos que tienen el objetivo derepresentar para indicar:

[La] objetivación es un proceso cuyoobjetivo es mostrar algo (un objeto)a alguien. Ahora bien, ¿cuáles sonlos medios para mostrar el objeto?Esos medios son los que llamomedios semióticos de objetivación.Estos son objetos, artefactos,términos lingüísticos y signos engeneral que se utilizan con el fin devolver aparente una intención y dellevar a cabo una acción. (Radford,2005, p. 203)

Estos signos tienen múltiples papeles,sobre los cuales no entro en detalle paraevitar grandes tareas que ligan signo -cultura - humanidad: “la entera cultura esconsiderada como un sistema de signosen los cuales el significado de unsignificante se vuelve a su vez significantede otro significado o de hecho elsignificante del propio significado”. (Eco,1973, p. 156)

No último en importancia, es el “papelcognitivo del signo” (Wertsch, 1991;Kozoulin, 1990; Zinchenko, 1985) sobre elcual no profundizo con el fin de abreviar,pero, no sin antes reconocerlo, en lasbases mismas de la semiótica general:“todo proceso de significación entre sereshumanos (...) supone un sistema designificaciones como propia condiciónnecesaria” (Eco, 1975, p. 20; el cursivo esdel Autor), lo que quiere decir un acuerdocultural que codifica e interpreta; es decir,produce conocimiento.

La elección de los signos, también ybásicamente cuando se componen enlenguajes, no es neutra o independiente;esta elección señala el destino en el cual

Relime184

se expresa el pensamiento, el destino de lacomunicación; por ejemplo:

El lenguaje algebraico impone unasobriedad al que piensa y se expresa,una sobriedad en los modos designificación que fue impensable antesdel Renacimiento. Impone lo quehemos llamado en otro trabajo unacontracción semiótica. Presuponetambién la pérdida del origo. (Radford,2005, p. 210)

La pérdida del origo (es decir del origen, delinicio) fue discutida por Radford también enotros trabajos (2000, 2002, 2003).

Y es propio sobre este punto que se cierrami larga premisa, que es también el puntode partida para lo que sigue.

Segunda parte

2. Objeto, su significado compartido,sus representaciones semióticas: la

narración de un episodio

2.1.El episodio

Estamos en quinto de primaria y el docenteha desarrollado una lección en situación a-didáctica sobre los primeros elementos dela probabilidad, haciendo construir a losalumnos, por lo menos a través de unosejemplos, la idea de “evento” y de“probabilidad de un evento simple”. Comoejemplo, el docente ha hecho uso de un dadonormal de seis caras, estudiando losresultados casuales desde un punto de vistaestadístico. Emerge una probabilidadfrecuencial, pero que es interpretada ensentido clásico. En este punto el docentepropone el siguiente ejercicio:

Calcular la probabilidad del siguiente evento:lanzando un dado se obtenga un número par.

Los alumnos, discutiendo en grupo ybásicamente compartiendo prácticas bajola dirección del docente, alcanzan a decidirque la respuesta se expresa con la fracción

porque “los resultados posibles al36lanzar un dado son 6 (el denominador)mientras que los resultados que hacenverdadero el evento son 3 (el numerador)”.

Después de haber institucionalizado laconstrucción de este saber, satisfecho dela eficaz experiencia, contando con queeste resultado fue obtenido más bienrápidamente y con el hecho de que losalumnos han demostrado gran habilidaden el manejo de las fracciones, el docentepropone que, dada la equivalencia de

y , se puede expresar esta50100

36probabilidad también con la escritura 50%,que es mucho más expresiva: significa quese tiene la mitad de la probabilidad deverificarse el evento respecto al conjuntode los eventos posibles, tomado como 100.Alguno de los alumnos nota que “entonces

es válida también [la fracción] ”; la12

propuesta es validada a través de lasdeclaraciones de quien hace la propuesta,rápidamente es acogida por todos y, unavez más, institucionalizada por el docente.

2.2. Análisis semiótico

Si se analizan las representacionessemióticas diferentes que han emergidoen esta actividad, relativas al mismoevento: “obtener un número par al lanzarun dado”, son encontradas, por lo menos,las siguientes:

• registro semiótico lengua natural:probabilidad de obtener un número paral lanzar un dado


• registro semiótico lenguaje de las

fracciones: , ,

• registro semiótico lenguaje delporcentaje: 50%.

2.3. El sentido compartido por diversasrepresentaciones semióticas

Cada una de las representacionessemióticas precedentes es el significante“aguas abajo” del mismo significado“aguas arriba” (Duval, 2003). El “sentido”compartido a propósito de aquello que seestaba construyendo estaba presenteidénticamente y por tanto la prácticamatemática efectuada y así descrita hallevado a transformaciones semióticascuyos resultados finales fueron fácilmenteaceptados:

• conversión: entre la representaciónsemiótica expresada en el registro

lenguaje natural y

• tratamiento: entre , y

• conversión: entre y 50%.

50100

36

12

36

50100

36

12

50100

2.4. Conocimientos previos necesarios

Entran en juego diversos conocimientos,aparentemente cada uno de estos bienconstruido, que interactúan entre ellos:

• conocimiento y uso de las fracciones

• conocimiento y uso de los porcentajes

• conocimiento y uso del evento: obtenerun número par lanzando un dado.

Cada uno de estos conocimientos semanifiesta a través de la articulación en

un todo unitario y la aceptación de lasprácticas en el grupo clase.

2.5. Continuación del episodio: lapérdida del sentido compartido a causa

de transformaciones semióticas

Terminada la sesión, se propone a los

alumnos la fracción y se pide si,

siendo equivalente a , también esta

48

36

fracción representa el evento exploradopoco antes. La respuesta unánime yconvencida fue negativa. El mismodocente, que antes había dirigido con

seguridad la situación, afirma que “ 48

no puede representar el evento porque lascaras de un dado son 6 y no 8”. Elinvestigador pide al docente de explicarbien su pensamiento al respecto; eldocente declara entonces que “existen nosólo dados de 6 caras, sino también dadosde 8 caras; en tal caso, y sólo así, la

fracción representa el resultado

obtener un número par al lanzar un dado”.

Examinaré lo que está sucediendo en elaula desde un punto de vista semiótico;pero me veo obligado a generalizar lasituación.

3. Un simbolismo para las bases de lasemiótica

En esta parte, son util izadas lasdefiniciones usuales y de la simbologíaintroducida en otros trabajos (D’Amore,2001a, 2003a,b):

semiótica =df representación realizadapor medio de signos

48

Relime

nueva representación en elmismo registro semiótico rm

transformación de registro CONVERSIÓN

nueva representaciónen otro registro semiótico(m, n, i, j, h = 1, 2, 3, …)

4. Volvamos al episodio

• Existe un objeto ( significado)matemático O

1 por representar:

probabilidad de obtener un número paral lanzar un dado;

• se le da un sentido derivado de laexperiencia que se piensa aceptada, enuna práctica social construida encuanto compartida en el aula;

• se elige un registro semiótico rm y enéste se representa O

1: Rm

i(O

1);

• se realiza un tratamiento: ;

• se realiza una conversión: ;

• se interpreta Rmj(O

1) reconociendo en

esto el objeto (significado) matemáticoO

2;

• se interpreta Rnh(O

1) reconociendo en


3.

¿Qué relación existe entre O2, O

3 y O

1?

Se puede reconocer identidad; y estosignifica entonces que existe unconocimiento previo, en la base sobre lacual la identidad puede ser establecida.

Rmi(O1) → Rn

h(O1)

Rmi(O1) → Rm

j(O1)

186

características de la semiótica

concepto A para representar

elección de los rasgos distintivos de A

REPRESENTACIÓN de A: Rmi(A) en un

registro semiótico dado rm

transformaciones de representaciónTRATAMIENTO

2

noética =df adquisición conceptual de

un objeto2.

Se indica, de ahora en adelante:

rm =df

registro semiótico m-ésimo

Rmi(A) =

dfrepresentación semiótica

i-ésima de un concepto A en el registrosemiótico rm (m = 1, 2, 3, …; i = 1, 2, 3, …).

Se puede notar que, si cambia el registrosemiótico, cambia necesariamente larepresentación semiótica, mientras que noes posible asegurar lo contrario; es decir,puede cambiar la representación semióticamanteniéndose aún el mismo registrosemiotico.

Uso un gráfico para ilustrar la situación,porque me parece mucho más eficaz3:

Para Platón, la noética es el acto de concebir a través del pensamiento; para Aristóteles, es el acto mismo de

comprensión conceptual.

Hago referencia a Duval (1993).3

representacióntratamientoconversión

(i ≠ j):Rmj(A)

(h≠ i,h ≠ j):Rnh(A)

r n (n ≠ m)

( imp l i canactividadescognitivasdiversas)

Objetos, significados, representaciones semióticas y sentido

Rmi(O1) → Rn

k (O1)

Rmi(O1) → Rm

k (O1)

Rmi(O1) → Rm

j(O1)

187

De hecho, se puede no reconocer la identidad, en el sentido que la“interpretación” es o parece ser diferente, y entonces se pierde el sentido delobjeto (significado) de partida O

1.

Un esquema como el siguiente puede resumir lo que ha sucedido en el aula desde un puntode vista complejo, que pone en juego los elementos que se desea poner en conexión entreellos: objetos, significados, representaciones semióticas y sentido:

objeto-significado O1

sentido

representación: Rmi (O

1)

conflicto entre elsentido de O

1 y el

sentido de O2 / O

3

conversión tratamiento

Rnh (O

1) Rm

j (O

1)

interpretación

O3

O2

En el ejemplo aquí discutido:

• objeto - significado O1: “probabilidad de

obtener un número par al lanzar undado”;

• sentido: la experiencia compartida comopráctica de aula en situación a-didácticay bajo la dirección del docente, lleva aconsiderar que el sentido de O

1 sea el

descrito por los alumnos y deseado porel docente: tantos resultados posibles y,respecto a estos, tantos resultadosfavorables al verificarse el evento;

• elección de registro semiótico rm:números racionales Q expresados bajoforma de fracción ; representación:

Rm

i(O

1): ;

• tratamiento: , es decir,

de a ;

• tratamiento: , es decir,

de a ;

• conversión: ,es decir,

de a 50%;

• se interpreta Rmj(O

1) reconociendo en


2;

• se interpreta Rmk(O

1) reconociendo en


3;

• se interpreta Rnh(O

1) reconociendo en


4.

¿Qué relación existe entre O2, O

3, O

4 y O

1?

En algunos casos (O2, O

4), se reconoce

36

36

12

36

48

36

Relime188

5. Otros episodios

En seguida, son propuestos algunosejemplos de interpretación solicitados aestudiantes que están cursando los últimossemestres en la universidad, programa dematemática; aquellos indicados como“sentidos” son mayormente compartidosentre los estudiantes entrevistados:

1)

sentido: de “una circunferencia” a “unasuma que tiene el mismo valor de surecíproca”; Investigador: “Pero, ¿es o no

identidad de significantes; y esto significaque existe de base un conocimiento yaconstruido que permite reconocer el mismoobjeto; el sentido está compartido, esúnico;en otra situación (O3), no se lereconoce la identidad de significante, enel sentido que la “interpretación” es oparece ser diferente, y entonces se pierdeel sentido del objeto (significado) O1.

La temática relativa a másrepresentaciones del mismo objeto estápresente en Duval (2005).

No está dicho que la pérdida de sentidose presente sólo a causa de la conversión;en el ejemplo aquí dado, tal como ya fuediscutido, se presentó a causa de un

tratamiento (el pasaje de a ).

La interpretación de dada por el docente

no admitía como objeto plausible el mismoO1 que había tomado origen del sentidocompartido que había llevado a la

interpretación .

36

48

36

48

x2 + y2 + 2xy−1= 0 x + y =1

x + yTRATAMIENTO

es una circunferencia?”; A: “Absolutamenteno, una circunferencia debe tener ”;B: “Si se simplifica, ¡si!” [es decir, es latransformación semiótica de tratamientoque da o no cierto sentido];

2)

sentido: de “la suma de tres naturalesconsecutivos” a “el triple de un número más3”; Investigador: “Pero, ¿se puede pensarcomo suma de tres naturalesconsecutivos?”; C: “No, ¡no entra nada!”;

3)

x2 + y2

n + (n +1)+ (n + 2) 3n + 3

n −1( )+ n + (n +1) 3n

sentido: de “la suma de tres enterosconsecutivos” a “el triple de un númeronatural”; Investigador: “Pero, ¿se puedepensar como suma de tres enterosconsecutivos?”; D: “No, así no, así es lasuma de tres números iguales, es decir ”.

6. Representaciones de un mismoobjeto dado por el docente de

primaria, consideradas apropiadaspara sus alumnos

En un curso de actualización para docentesde primaria, fue discutido el tema: Primeroselementos de probabilidad. Al final de launidad, se pidió a los docentes representarel objeto matemático: “obtener un númeropar al lanzar un dado”, usando un simbolismooportuno que fuese el más apropiado, segúnellos, a los alumnos de primaria. Fuerondadas a conocer todas las representacionespropuestas y se sometieron a votación. Enseguida se muestran los resultados obtenidosen orden de preferencia (del mayor al menor):

n


36

12

•••ooo

ooo6

ooo•••• ••

2 ⋅ 4 ⋅61⋅2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅5 ⋅6

50% (tres y tres)

(tres sobre seis) (tres sobre seis)

(2, 4, 6 respecto de 1, 2, 3, 4, 5, 6)

(figural-operativa) 1 2 3 4 5 6

OK OK OK

La importancia de tomar en consideraciónel análisis de la producción de los alumnoses subrayada así por Duval (2003):

No se puede subrayar la importanciade las descripciones, en la adquisiciónde conocimientos científicos así comoen las primeras etapas de losaprendizajes matemáticos, sin afrontarotra cuestión fundamental tanto parala investigación como para losdocentes: el análisis de lasproducciones de los alumnos. Pues esen el cuadro del desarrollo de ladescripción, que se obtienen lasproducciones más personales y másdiversificadas, dado que éstas puedenser hechas verbalmente o con la ayudade diseños, de esquemas ... En estecaso se trata, para la investigación, deuna cuestión metodológica y, para losdocentes, de una cuestión diagnóstica.Veremos que cada análisis de lasproducciones de los alumnos requiereque se distinga con atención en cadaproducción semiótica, discursiva o nodiscursiva, diversos niveles dearticulación del sentido, que no revelanlas mismas operaciones. (p. 16)

En el ejemplo discutido en este parágrafo6, los “alumnos” son docentes de escuelaprimaria que frecuentan el curso, mientraslos “docentes” son los profesoresuniversitarios que impartían las lecciones .4

Diversos pueden ser los análisis de lasprecedentes producciones de los alumnos- docentes, evidenciadas al inicio de esteparágrafo, pero se prefiere seguir labipartición que, de nuevo, se encuentra enDuval (2003):

[N]o se debe confundir aquello quellamaremos una tarea “real” dedescripción y una tarea “puramenteformal” de descripción. (...). Una tareade descripción es real cuandorequiere una observación del objetode la situación que se desea describir(...). Aquí, el alumno tiene acceso acada uno de los dos elementos de lapareja {objeto, representación delobjeto}, independientemente uno delotro. Al contrario, una tarea dedescripción es puramente formalcuando se limita a un simple cambiode registro de representación:descripción verbal a partir de undiseño o de una “imagen” o viceversa.El alumno sólo tiene un accesoindependiente al objeto representado.Las descripciones formales sonentonces tareas de conversión quebuscan respetar la invarianza deaquello que representan. (p. 19)

Creo que esta distinción de Duval ayuda aexplicar, por lo menos en parte, el episodionarrado en los parágrafos 2 y 5 de esteartículo:

4 Que este “cambio de rol” pueda ser concebido como plausible es ampliamente demostrado por la literatura internacional;

por brevedad me limito a citar sólo el amplio panorama propuesto en el ámbito PME por Llinares & Krainer (2006), con

abundante bibliografía específica.

Relime

horas a a$ cada hora, más el costo fijode b$ ; los alumnos y el docente llegan ala representación semiótica: ;se sigue la transformación de tratamiento

36

714

190

Respecto a un objeto matemáticoobservable, conocido sobre la base deprácticas compartidas, la “descripciónreal” responde plenamente a lascaracterísticas del objeto, es decir dela práctica realizada alrededor de éstey con éste, y por tanto del sentido quetodo esto adquiere por parte de quiendicha práctica explica. Pero el uso detransformaciones semióticas a veceslleva a cambios sustanciales de dichasdescripciones, convirtiéndose en una“descripción puramente formal”,obtenida con prácticas semióticas sícompartidas, pero que niegan unacceso al objeto representado o, mejor,le niegan la conservación del sentido.(Duval, 2003, p. 18)

7. Otros episodios semióticostomados de la práctica matemática

compartida en aula

7.1.Probabilidad y fracciones

He repetido el experimento descrito en elparágrafo 2, con estudiantes que hanaprobado cursos más avanzados dematemática y con estudiantes en formacióncomo futuros docentes de escuela primariay de secundaria. Si la conversión que haceperder el sentido en el pasaje de

tratamiento de a es un ejemplo fuerte

de pérdida de sentido, lo es aún más el de

pasar de a ; mientras lo es en menor

medida la conversión de a 0.5.

36

48

36

7.2. Un ejemplo en el primer año deescuela secundaria superior

Objeto matemático: El gasto total de y$para el alquiler de algún instrumento por

x

y = ax+ b

x −ya

+ba

= 0que lleva a , que se representa

como:

Figura 1

y es interpretada universalmente como“una recta”.

Dicha representación semiótica obtenidapor tratamiento y conversión, a partir de larepresentación inicial, no se le reconocecomo el mismo objeto matemático departida; ésta asume otro sentido.

7.3. Un ejemplo en un curso paradocentes de escuela primaria en

formación

Objeto matemático: La suma (de Gauss)de los primeros 100 números naturalespositivos; resultado semiótico finaldespués de sucesivos cambios operativoscon algunas transformaciones deconversión y tratamiento: 101•50; estarepresentación no se reconoce comorepresentación del objeto de partida; lapresencia del signo de multiplicación dirigea los futuros docentes a buscar un sentidoen objetos matemáticos en los cualesaparezca el término “multiplicación (otérminos similares).

b

O

−ba


7.4. Un primer ejemplo en un curso(postgrado) de formación para futuros

docentes de escuela secundaria

Objeto matemático: La suma de doscuadrados es menor que 1; representaciónsemiótica universalmente aceptada:

; después de cambios derepresentación semiótica, siguiendooperaciones de tratamiento:

y de conversión:

x2 + y2 < 1

(x + iy )(x − iy) < 1

1

Figura 2

hasta llegar a: .

No obstante que las diversastransformaciones se efectúen con totalevidencia y en forma explícita, discutiendocada uno de los cambios de registrosemiótico, ninguno de los estudiantesfuturos docentes, está dispuesto a admitirla unicidad del objeto matemático en juego.La última representación es interpretadacomo “desigualdad paramétrica en C”; elsentido fue modificado.

7.5. Un segundo ejemplo en un curso(postgrado) de formación para futuros

docentes de escuela secundaria

A) Objeto matemático: Sucesión de losnúmeros triangulares; interpretación yconversión: 1, 3, 6, 10, …; cambio derepresentación por tratamiento: 1, 1+2,1+2+3, 1+2+3+4,….; esta representaciónes reconocida como “sucesión de lassumas parciales de los naturalessucesivos”.

ρ2 + i 2 < 0

B) Objeto matemático: Sucesión de losnúmeros cuadrados; interpretación yconversión: 0, 1, 4, 9,…; cambio derepresentación por tratamiento: 0, (0)+1,(0+1)+3, (0+1+3)+5,…; estarepresentación es reconocida como “sumade las sumas parciales de los imparessucesivos”.

En ninguno de los casos precedentesdescritos brevemente, los alumnospudieron aceptar que el sentido de larepresentación semiótica obtenidafinalmente, después de transformacionessemióticas evidenciadas, coincide con elsentido del objeto matemático de partida.

8. Conclusiones

No parecen necesarias largas conclusiones.Urge sólo evidenciar cómo el sentido de unobjeto matemático sea algo mucho máscomplejo respecto a la pareja usual (objeto,representaciones del objeto); existenrelaciones semióticas entre las parejas deeste tipo:

(objeto, representación del objeto) –(objeto, otra representación del objeto),

relaciones derivadas de transformacionessemióticas entre las representaciones delmismo objeto, pero que tienen el resultadode hacer perder el sentido del objeto departida. Si bien, tanto el objeto como lastransformaciones semióticas son elresultado de prácticas compartidas, losresultados de las transformaciones puedennecesitar de otras atribuciones de sentidogracias a otras prácticas compartidas. Loque enriquece de mayor interés todo estudiosobre ontología y conocimiento.

Los fenómenos descritos en la primera partede este artículo pueden ser usados para

Relime192

completar la visión que Duval ofrece delpapel de las múltiples representaciones deun objeto en la comprensión de dichoobjeto, y también para “romper el círculovicioso” de su paradoja. En realidad cadarepresentación lleva asociado un“subsistema de prácticas” diferentes, dedonde emergen objetos diferentes (en elparágrafo anterior denominados: O1, O2, O3

y O4). Pero la articulación de estos objetosen otro más general requiere un cambiode perspectiva, el paso a otro contexto enel que se plantee la búsqueda de laestructura común en el sistema deprácticas global en el que intervienen losdistintos “objetos parciales”.

Sin duda, el uso de distintasrepresentaciones y su progresiva articulaciónenriquecen el significado, el conocimiento,

la comprensión del objeto, pero también sucomplejidad. El objeto matemático sepresenta, en cierto sentido, como único,pero en otro sentido, como múltiple.Entonces, ¿cuál es la naturaleza del objetomatemático? No parece que haya otrarespuesta que no sea la estructural, formal,gramatical (en sentido epistemológico), yal mismo tiempo la estructural, mental,global, (en sentido psicológico) que lossujetos construimos en nuestros cerebrosa medida que se enriquecen nuestrasexperiencias.

Es obvio que estas observaciones abrenlas puertas a futuros desarrollos en loscuales las ideas que parecen diversas,confluyen por el contrario en el intento dedar una explicación a los fenómenos deatribución de sentido.

Reconocimientos

Este trabajo fue desarrollado dentro del programa estratégico de investigación: Aspettimetodologici (teorici ed empirici) della formazione iniziale ed in servizio degli insegnantidi matematica di ogni livello scolastico, con fondos de la Universidad de Bologna.Traducción de Martha Isabel Fandiño Pinilla, con la colaboración de Juan Díaz Godino.

Referencias

Blumer, H. (1969). Symbolic interactionism. Perspective and method. Englewood CliffsNJ: Prentice Hall.

Catena P. (1992). Universa loca in logicam Aristetolis in mathematicas disciplinas. (EditorG. Dell’Anna). Galatina (Le): Congedo.

Chevallard, Y. (1992). Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apportéespar une approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 12(1), 73-112.

D’Amore, B. (1999). Elementi di didattica della matematica. Prefazione di Colette Laborde.Bologna: Pitagora. [Versión en idioma español: D’Amore, B. (2006). Didáctica de laMatemática. Con una carta de Guy Brousseau. Prefacio a la edición en idioma españolde Luis Rico. Bogotá: Editorial Magisterio].


D’Amore, B. (2001a). Concettualizzazione, registri di rappresentazioni semiotiche enoetica. La matematica e la sua didattica, 2, 150-173. [Versión en idioma español:D’Amore, B. (2004). Conceptualización, registros de representaciones semióticas ynoética: interacciones constructivistas en el aprendizaje de los conceptos matemáticose hipótesis sobre algunos factores que inhiben la devolución. Uno, 35, 90-106].

D’Amore, B. (2001b). Un contributo al dibattito su concetti e oggetti matematici: laposizione “ingenua” in una teoria “realista” vs il modello “antropologico” in una teoria“pragmatica”. La matematica e la sua didattica, 1, 4-30. [Versión en idioma español:D’Amore, B. (2001). Una contribución al debate sobre conceptos y objetos matemáticos.Uno, 27, 51-76].

D’Amore, B. (2003a). La complexité de la noétique en mathématiques ou les raisons dela dévolution manquée. For the learning of mathematics, 23(1), 47-51. [Versión preliminarreducida en idioma español: D’Amore, B. (2002). La complejidad de la noética enmatemáticas como causa de la falta de devolución. TED. Bogotá, Universidad PedagógicaNacional, 11, 63-71].

D’Amore, B. (2003b). Le basi filosofiche, pedagogiche, epistemologiche e concettualidella Didattica della Matematica. Bologna: Pitagora. [Versión en idioma español: D’Amore,B. (2005). Bases filosóficas, pedagógicas, epistemológicas y conceptuales de la Didácticade la Matemática. Prefacio de Guy Brousseau. Prefacio a la edición en idioma españolde Ricardo Cantoral. Traducción de Martha Isabel Fandiño Pinilla. México DF, México:Reverté-Relime.]. [Versión en idioma portugués: D’Amore, B. (2005). As bases filosóficas,pedagógicas, epistemológicas e conceituais da didáctica da matematica. Prefácio daedição italiana: Guy Brousseau. Prefácio: Ubiratan D’Ambrosio Tradução: Maria CristinaBonomi Barufi. Escrituras: São Paulo].

D’Amore, B., & Godino, D. J. (2006). Punti di vista antropologico ed ontosemiotico inDidattica della Matematica. La matematica e la sua didattica, 1, 7-36.

D’Amore, B., Radford, L., & Bagni, G.T. (2006). Ostacoli epistemologici e prospettivasocio-culturale. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, 29B, 1,11-40.

Daval, R. (1951). La métaphysique de Kant. París: PUF.

Duval, R. (1993). Registres de représentations sémiotiques et fonctionnement cognitifde la pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 5, 37-65.

Duval, R. (2003). Décrire, visualiser ou raisonner: quels ‘apprentissages premiers’ del’activité mathématique? Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 8, 13-62.

Duval, R. (2005). Transformations de représentations sémiotiques et démarche de penséeen mathématiques. Colloque COPIRELEM, Strasbourg, 30 mayo - 1 junio 2006. Actasen curso de impresión.

Relime194

Eco, U. (1973). Segno. Milano: ISEDI.

Eco, U. (1975). Trattato di semiotica generale. Milano: Bompiani.

Godino, J. D. (2002). Un enfoque ontológico y semiótico de la cognición matemática.Recherches en Didactique des Mathématiques, 22(2/3), 237-284.

Godino, J. D., & Batanero, C. (1994). Significado institucional y personal de los objetosmatemáticos. Recherches en Didactique des Mathématiques, 14 (3), 325-355.

Godino, J. D., & Batanero, C. (1998). Clarifying the meaning of mathematical objects asa priority area of research in mathematics education. En A. Sierpinska, & J. Kilpatrick(Eds.), Mathematics Education as a Research Domain: A Search for Identity (pp. 177-195). Dordrecht: Kluwer A. P.

Kozoulin, A. (1990). Vygotsky’s psychology. Cambridge, MA: Harvard Univ. Press.

Llinares, S., & Krainer, K. (2006). Mathematics (student) teachers and teacher educatorsas learners. In A. Gutierrez, & P. Boero (Eds.), Handbook of Research on the Psychologyof Mathematics Education. Past, Present and Future. Rotterdam /Taipei: Sense Publishers429-460.

Radford, L. (2000). Signs and meanings in students’ emergent algebraic thinking: asemiotic analysis. Educational studies in mathematics, 42(3), 237-268.

Radford, L. (2002). The seen, the spoken and the written. A semiotic approach to theproblem of objectification of mathematical knowledge. For the learning of mathematics,22(2) 14-23.

Radford, L. (2003). Gestures, speech and the sprouting of signs. Mathematical thinkingand learning, 5(1), 37-70.

Radford, L. (2004). Cose sensibili, essenze, oggetti matematici ed altre ambiguità. Lamatematica e la sua didattica, 1, 4-23.

Radford, L. (2005). La generalizzazione matematica come processo semiotico. Lamatematica e la sua didattica, 2, 191-213.

Wertsch, JV. (1991). Voices in the mind. A sociocultural approach to mediate action.Cambridge, MA: Harvard Univ. Press.

Zinchenko, VP. (1985). Vygotsky’s ideas about units for the analysis of mind. In J.V.Wertsch(Ed.), Culture, communication and cognition: Vygotskian perspectives. Cambridge, MA:Harvard Univ. Press.


Bruno D’AmoreDipartimento di MatematicaUniversità di BolognaItalia


Relime196

Are registers of representations and problem

solving processes on functions

compartmentalized in students’ thinking?

Athanasios Gagatsis 1

Iliada Elia 1

Nikos Mousoulides 1

RESUMEN

El objetivo de este artículo es doble. En primer lugar, se hace un resumen superficial deinvestigaciones sobre la compartimentación de diferentes registros de representación,así como de las aproximaciones de resolución de problemas, relacionadas con elconcepto de función. En segundo lugar, se aportan elementos que clarifican las posiblesmaneras que permiten superar el fenómeno de la compartimentación. Investigacionesprecedentes muestran que la mayoría de los alumnos de secundaria e, incluso deuniversidad, tienen dificultades para cambiar, de forma flexible, los sistemas derepresentación de funciones, de seleccionar y de utilizar aproximaciones apropiadas deresolución de problemas. Los resultados de dos estudios experimentales previos, llevadosa cabo por miembros de nuestro equipo de investigación, centrados sobre la utilizaciónde aproximaciones no tradicionales de enseñanza y sobre el empleo de softwarematemático, proveen pistas preliminares, en cuanto a la manera de cómo puedesuperarse con éxito el fenómeno de la compartimentación.

PALABRAS CLAVE: Aproximación algebraica, compartimentalización, función,aproximación geométrica, resolución de problemas, registros de representación,transformación de representaciones.

ABSTRACT

The purpose of the present study is twofold: first, to review and summarize previousresearch on the compartmentalization of different registers of representations and problemsolving approaches related to the concept of function; second, to provide insights intopossible ways to overcome the phenomenon of compartmentalization. To this extent,previous research shows that the majority of high school and university studentsexperience difficulties in flexibly changing systems of representations of function and inselecting and employing appropriate approaches to problem solving. Two previousexperimental efforts, by the authors, focusing on the use of non-traditional teachingapproaches and on the use of mathematical software respectively, provided some initialstrategies for successfully overcoming the phenomenon of compartmentalization.

197

Fecha de recepción: Febrero de 2006/ Fecha de aceptación: Mayo de 20061


Department of Education, University of Cyprus. Nicosia, Cyprus.

Relime

KEY WORDS: Algebraic approach, compartmentalization, function, geometricapproach, problem solving, registers of representation, transformation ofrepresentations.

RESUMO

O objetivo deste de artigo é duplo. Primeiro, é feito um resumo superficial de investigaçõessobre a compartimentação de diferentes registros de representação, e aproximaçõesde resolução de problemas, apostas em relação ao de conceito de função. Em segundolugar, traz elementos que clarificam as possíveis maneiras que permitem superar ofenômeno da compartimentarão. Investigações precedentes mostram que a maioria dosalunos do ensino médio e, mesmo de universidade, tem dificuldades para alterar, demaneira flexível, os sistemas de representação de funções, de escolher e utilizaraproximações adequadas à resolução de problemas. Os resultados de dois estudosexperimentais prévios, levados a efeito por membros do nosso grupo de pesquisa,centrados no utilização de aproximações não tradicionais de ensino e sobre ou empregode «software» matemático, fornecem pistas preliminares, quanto à maneira como podeser superar com sucesso o fenômeno da compartimentação.

PALAVRAS CHAVE: Aproximação algébrica, compartimentação, função,geométrica aproximação, solução de problema, registros de representação,transformação de representações.

RÉSUMÉ

Le but de cet article est double. En premier lieu, il s’agit de faire un survol et une synthèsedes recherches sur la compartimentation de différents registres de représentation et desapproches de résolution de problèmes reliées au concept de fonction. En deuxième lieu,il s’agit d’apporter un éclairage sur les manières possibles de surmonter le phénomènede compartimentation. Des recherches antérieures montrent que la majorité des élèvesde l’école secondaire et de l’université ont de la difficulté à changer de façon flexible lessystèmes de représentation des fonctions ainsi qu’à sélectionner et à utiliser desapproches appropriées de résolution de problèmes. Deux efforts expérimentauxpréalables, menés par les auteurs, centrés sur l’utilisation des approches non-traditionnelles d’enseignement et sur l’emploi de logiciels mathématiques, fournissentdes indications préliminaires quant à la manière de surmonter avec succès le phénomènede compartimentation.

MOTS CLÉS: Approche algébrique, compartimentation, fonction, approchegéométrique, résolution de problèmes, registres de représentation, transformationde représentations.

198

Are registers of representations and problem solving processes on functions compartmentalized in students’ thinking? 199

1.INTRODUCTION

During the last decades, a great deal ofattention has been given to the concept ofrepresentation and its role in the learningof mathematics. Nowadays, the centralityof multiple representations in teaching,learning and doing mathematics seems tohave become widely acknowledged (D’Amore, 1998). Representational systemsare fundamental for conceptual learningand determine, to a significant extent, whatis learnt (Cheng, 2000). A basic reason forthis emphasis is that representations areconsidered to be “integrated” withmathematics (Kaput, 1987). Mathematicalconcepts are accessible only through theirsemiotic representations (Duval, 2002). Incertain cases, representations, such asgraphs, are so closely connected with amathematical concept, that it is difficult forthe concept to be understood and acquiredwithout the use of the correspondingrepresentation. Any given representation,however, cannot describe thoroughly amathematical concept, since it providesinformation regarding merely a part of itsaspects (Gagatsis & Shiakalli, 2004).Given that each representation of aconcept offers information about particularaspects of it without being able to describeit completely, the ability to use varioussemiotic representations for the samemathematical object (Duval, 2002) is animportant component of understanding.Different representations referring to thesame concept complement each other andall these together contribute to a globalunderstanding of it (Gagatsis & Shiakalli,2004). The use of different modes ofrepresentation and connections betweenthem represents an initial point inmathematics education at which pupils useone symbolic system to expand andunderstand another (Leinhardt, Zaslavsky,

& Stain, 1990). Thus, the ability to identifyand represent the same concept throughdifferent representations is considered asa prerequisite for the understanding of theparticular concept (Duval, 2002; Even,1998). Besides recognizing the sameconcept in multiple systems ofrepresentation, the ability to manipulate theconcept with flexibil ity within theserepresentations as well as the ability to“translate” the concept from one system ofrepresentation to another are necessary forthe acquisition of the concept (Lesh, Post,& Behr, 1987) and allow students to seerich relationships (Even, 1998).

Duval (2002) assigns the term “registers”of representation to the diverse spaces ofrepresentation in mathematics andidentifies four different types of registers:natural language, geometric figures,notation systems and graphicrepresentations. Mathematical activity canbe analyzed based on two types oftransformations of semioticrepresentations, i.e. treatments andconversions. Treatments aretransformations of representations, whichtake place within the same register thatthey have been formed in. Conversions aretransformations of representations thatconsist in changing the register in whichthe totality or a part of the meaning of theinitial representation is conserved, withoutchanging the objects being denoted. Theconversion of representations isconsidered as a fundamental processleading to mathematical understanding andsuccessful problem solving (Duval, 2002).A person who can easily transfer herknowledge from one structural system ofthe mind to another is more likely to besuccessful in problem solving by using aplurality of solution strategies andregulation processes of the system forhandling cognitive difficulties.

Relime200

2. THE ROLE OF REPRESENTATIONSIN MATHEMATICS LEARNING:

EMPIRICAL BACKGROUND

Students experience a wide range ofrepresentations from their early childhoodyears onward. A main reason for this is thatmost mathematics textbooks today makeuse of a variety of representations moreextensively than ever before in order topromote understanding. However, areasonable question can arise regardingthe actual role of the use of representationsin mathematics learning. A considerablenumber of recent research studies in thearea of mathematics education in Cyprusand Greece investigated this question fromdifferent perspectives. In an attempt toexplore more systematically the nature andthe contribution of different modes ofrepresentation (i.e., pictures, number line,verbal and symbolic representations) onmathematics learning, Gagatsis and Elia(2005a) carried out a review of a numberof these studies, which examined theeffects of various representations on theunderstanding of mathematical conceptsand mathematical problem solving inprimary and secondary education. Manyof these studies identified the difficultiesthat arise in the conversion from one modeof representation of a mathematicalconcept to another. They also revealedstudents’ inconsistencies when dealingwith relative tasks that differ in a certainfeature, i.e. mode of representation. Thisincoherent behaviour was addressed asone of the basic features of thephenomenon of compartmentalization,which may affect mathematics learning ina negative way.

The research of Gagatsis, Shiakalli andPanaoura (2003) examined the role of thenumber line in second grade Cypriot

students’ performance in executing simpleaddition and subtraction operations withnatural numbers. By employing implicativestatistical analysis (Gras, 1996), theydetected a complete compartmentalizationbetween the students’ ability to carry outaddition and subtraction tasks in thesymbolic form of representation and theirability to perform the same tasks by usingthe number line. A replication of the studyby Gagatsis, Kyriakides and Panaoura(2004) with students of the same age inCyprus, Greece and Italy, and this timeusing a different statistical method, namelystructural equation modelling, resulted incongruent findings. This uncovers thestrength of the phenomenon ofcompartmentalization despite differencesin curricula, teaching methods,mathematics textbooks and even culture.

Michaelidou, Gagatsis and Pitta-Pantazi(2004) have examined 12-year-old students’understanding of the concept of decimalnumbers based on the threefold model ofthe understanding of an idea, proposed byLesh et al. (1987). To carry out the study,three tests on decimal numbers weredeveloped. These tests aimed atinvestigating students’ abilities to recognizeand represent decimal numbers with avariety of different representations and theirability to transfer decimal numbers from thesymbolic form to the number line and viceversa. The application of the implicativestatistical method demonstrated acompartmentalization of students’ abilities inthe different tasks and this signifies that therewas a lack of coordination betweenrecognition, manipulation within arepresentation and conversion amongdifferent representations of decimalnumbers. This finding means that somestudents who can recognize decimalnumbers in different representationscannot use the representations torepresent the decimal numbers by


themselves and, what is more important,fail to transfer from one representation ofdecimal numbers to another. In otherwords, students have not developed aunified cognitive structure concerning theconcept of decimals since their ideasseemed to be partial and isolated. Giventhe three aspects of the understanding ofmathematical concepts related torepresentations, namely, recognition,flexible use and conversion, it can besuggested that in this study students didnot understand the concept of decimalnumbers.

Finally, Marcou and Gagatsis (2003)examined 12-year-old students’understanding of the concept of fractionsand more specifically the equivalence andthe addition of fractions. The researchersdesigned three types of tests on fractions,which involved conversions among thesymbolic expressions, verbal expressionsand the diagrammatic representations offractions (area of rectangles). Students’responses to the tasks werecompartmentalized with respect to thestarting representation of the conversions,as indicated by the implicative analysis ofthe data. In line with the afore mentionedstudies’ results, this finding means thatstudents had a fragmentary understandingof fractions.

In the present paper, four recent studiesare combined and discussed to exploresecondary school and university students’abilit ies to use multiple modes ofrepresentation for one of the mostimportant unifying ideas in mathematics(Romberg, Carpenter, & Fennema, 1993;Mousoulides & Gagatsis, 2004), namelyfunctions, and to flexibly move from onerepresentation of the concept to another.The main concern of this paper is twofold;first to identify and further clarify theappearance of the phenomenon of

compartmentalization in students’ thinkingabout the particular concept and secondto examine possible ways for succeedingat de-compartmentalization in registers ofrepresentations and problem solvingprocesses in functions.

3. REPRESENTATIONS AND THECONCEPT OF FUNCTION

The concept of function is central tomathematics and its applications. It emergesfrom the general inclination of humans toconnect two quantities, which is as ancientas mathematics itself. The didacticalmetaphor of this concept seems difficult,since it involves three different aspects: theepistemological dimension as expressed inthe historical texts; the mathematics teachers’views and beliefs about function; and thedidactical dimension which concernsstudents’ knowledge and the restrictionsimposed by the educational system(Evangelidou, Spyrou, Elia, & Gagatsis,2004). On this basis, it seems natural forstudents of secondary or even tertiaryeducation, in any country, to have difficultiesin conceptualizing the notion of function. Thecomplexity of the didactical metaphor and theunderstanding of the concept of function havebeen a main concern of mathematicseducators and a major focus of attention forthe mathematics education researchcommunity (Dubinsky & Harel, 1992;Sierpinska, 1992). An additional factor thatinfluences the learning of functions is thediversity of representations related to thisconcept (Hitt, 1998). An importanteducational objective in mathematics is forpupils to identify and use efficiently variousforms of representation for the samemathematical concept and to move flexiblyfrom one system of representation of theconcept to another. The influence of differentrepresentations on the understanding andinterpretation of functions has been examined

Relime202

by a substantial number of research studies(Hitt, 1998; Markovits, Eylon, & Bruckheimer,1986).

Several researchers (Evangelidou et al.,2004; Gagatsis, Elia & Mougi, 2002;Gagatsis & Shiakalli 2004; Mousoulides &Gagatsis, 2004; Sfard 1992; Sierpinska1992) indicated the significant role ofdifferent representations of function and theconversion from one representation toanother on the understanding of the conceptitself. Thus, the standard representationalforms of the concept of function are notenough for students to be able to constructthe whole meaning and grasp the wholerange of its applications. Mathematicsinstructors, at the secondary level, havetraditionally focused their instruction on theuse of algebraic representations offunctions. Eisenberg and Dreyfus (1991)pointed out that the way knowledge isconstructed in schools mostly favours theanalytic elaboration of the notion to thedetriment of approaching function from thegraphical point of view. Kaldrimidou andIconomou (1998) showed that teachers andstudents pay much more attention toalgebraic symbols and problems than topictures and graphs. A reason for this is that,in many cases, the iconic (visual)representations cause cognitive difficultiesbecause the perceptual analysis andsynthesis of mathematical informationpresented implicitly in a diagram often makegreater demands on a student than anyother aspect of a problem (Aspinwall, Shaw,& Presmeg, 1997).

In addition, most of the aforementionedstudies have shown that students tend tohave difficulties in transferring informationgained in one context to another (Gagatsis& Shiakalli, 2004). Sfard (1992) showed thatstudents were unable to bridge the algebraicand graphical representations of functions,while Markovits et al. (1986) observed that

the translation from graphical to algebraicform was more difficult than the reverse.Sierpinska (1992) maintains that studentshave difficulties in making the connectionbetween different representations offunctions, in interpreting graphs andmanipulating symbols related to functions. Apossible reason for this kind of behaviour isthat most instructional practices limit therepresentation of functions to the translationof the algebraic form of a function to itsgraphic form.

Lack of competence in coordinating multiplerepresentations of the same concept can beseen as an indication of the existence ofcompartmentalization, which may result ininconsistencies and delays in mathematicslearning at school. This particularphenomenon reveals a cognitive difficultythat arises from the need to accomplishflexible and competent translation back andforth between different modes ofmathematical representations (Duval, 2002).Making use of a more general meaning ofcompartmentalization which does not refernecessarily to representations, Vinner andDreyfus (1989) suggested thatcompartmentalization arises when anindividual has two divergent, potentiallycontradictory schemes in her cognitivestructure and pointed out that inconsistentbehaviour is an indication of thisphenomenon.

The first objective of this study is to identifythe phenomenon of compartmentalization insecondary school students and universitystudents’ strategies for dealing with varioustasks using functions on the basis of thefindings of four recent research studies (Elia,Gagatsis & Gras, 2005; Gagatsis & Elia,2005b; Mousoulides & Gagatsis, 2006;Mousoulides & Gagatsis, 2004). Althoughthese studies explored the students’ abilityto handle different modes of therepresentation of function and move flexibly


from one representation to another, there isa fundamental difference between themathematical activities they proposed. Thestudy of Elia et al., (2005) investigatedstudents’ understanding of function basedon their performance in mathematicalactivities that integrated both types of thetransformation of representations proposedby Duval (2002), i.e. treatment andconversion. The study of Mousoulides andGagatsis (2004) investigated students’performance in mathematical activities thatprincipally involved the second type oftransformations, that is, the conversionbetween systems of representation of thesame function, and concentrated onstudents’ approaches to the use ofrepresentations of functions and theconnection with students’ problem solvingprocesses. The studies of Gagatsis et al.,(2004) and Mousoulides and Gagatsis(2006) introduced two approaches thatmight succeed at de-compartmentalization,namely a differentiated instruction and theuse of a computerized environment forsolving problems in functions. Thus, what isnew in this review is that students’understanding of function is explored fromtwo distinct perspectives (which will befurther clarified in the next section), butnevertheless based on the same rationale,that is, Duval’s semiotic theory ofrepresentations. The second objective of thereview is to discuss strategies forovercoming compartmentalization infunctions.

4. CAN WE “TRACE” THEPHENOMENON OF

COMPARTMENTALIZATION BY USINGTHE IMPLICATIVE STATISTICAL

METHOD OF ANALYSIS?

Previous empirical studies have notclarified compartmentalization in acomprehensive or systematic way. Thus,

we theorize that the implicative relationsbetween students’ responses in theadministered tasks, uncovered by Gras’simplicative statistical method (Gras, 1996),as well as their connections (Lerman, 1981)can be beneficial for identifying theappearance of compartmentalization instudents’ behaviour. To analyze the collecteddata of both studies, a computer softwarecalled C.H.I.C. (Classification HiérarchiqueImplicative et Cohésitive) (Bodin, Coutourier,& Gras, 2000) was used.

We assume that the phenomenon ofcompartmentalization in the understandingof function as indicated by students’performance in tasks integrating treatmentand conversion (Gagatsis & Elia, 2005b)appears when at least one of the followingconditions emerges: first, when studentsdeal inconsistently or incoherently with tasksinvolving the different types of representation(i.e., graphic, symbolic, verbal) of functionsor conversions from one mode ofrepresentation to another; and/or second,when success in using one mode ofrepresentation or one type of conversion offunction does not entail success in usinganother mode of representation or in anothertype of conversion of the same concept. Asregards students’ ways of approaching tasksrequiring only conversions amongrepresentations of the same function(Mousoulides & Gagatsis, 2004), ourconjecture is that compartmentalizationappears when students deal with all of thetasks using the same approach, eventhough a different approach is more suitablefor some of them.

4.1. Secondary school students’abilities in the transformation of

representations of function (Study 1)

Recent studies (Gagatsis & Elia, 2005b;Elia et al., 2005) investigated secondaryschool students’ ability to transfer

Relime

students were asked to translate eachrelation from its verbal representation to itsgraphical and symbolic mode. For eachtype of translation , the following typesof algebraic relations were examined:

based on a relevant study by Duval (1993).

The former three tasks corresponded toregions of points, while the latter three taskscorresponded to functions. Each testincluded an example of an algebraic relationin graphic, verbal and symbolic forms tofacilitate students’ understanding of whatthey were asked to do, as follows:

204

mathematical relations from onerepresentation to another. In particular, thesample of the study consisted of 183 ninthgrade students (14 years of age). Two tests,namely A and B, were developed andadministered to the participants. The tasksof both tests involved conversions of thesame algebraic relations, but with differentstarting modes of representation. Test Aconsisted of six tasks in which students weregiven the graphic representation of analgebraic relation and were asked to translateit to its verbal and symbolic forms respectively.Test B consisted of six tasks (involving thesame algebraic relations as test A) in which

y < 0, xy> 0, y > x, y = −x, y = 3 / 2, y = x − 2

Table 1: An example of the tasks included in the test

Graphic representation Verbal representation Symbolic representation

y

y’

x’ x

It represents the regionof the points havingpositive abscissa.

x>0

It is apparent that the tasks involved conversions, which were employed either as complexcoding activities or as point-to-point translations and were designed to correspond toschool mathematics. However, a general use of the processes of treatment and conversionwas required for the solution of these tasks. For instance, the conversion of the function from the algebraic expression to the graphical one could be accomplished bycarrying out various kinds of treatment, such as calculations in the same notation system.It is evident that in this kind of task the process of treatment cannot be easily distinguishedfrom the process of conversion. According to this perspective, these tasks differ from thetasks proposed by Duval (1993).

The results of the study revealed that students achieved better outcomes in theconversions starting with verbal representations relative to the conversions of the

y = x− 2


corresponding relations starting withgraphic representations. In addition, all ofthe conversions from the graphic form ofrepresentation to the symbolic form ofrepresentation appeared to be moredifficult than the conversions of thecorresponding relations from the graphicform of representation to the verbal formof representation. Students perceived thelatter type of conversion more easily at alevel of meta-mathematical expressionrather than at a level of mathematical

v11a

v12a

v22a

v51a

v52a

v31a

v61a

v41a

v32a

v42a

v62a

v21a

v11b

v12b

v22b

v21b

v31b

v41b

v51b

v61b

v42b

v52b

v62b

v32b

Responses in Test B Responses in Test A

expression. In fact, students were askedto describe verbally (in a text) a propertyperceived by the graph. On the contrary,the conversions from the graphical form tothe symbolic form entailed masteringalgebraic concepts concerning equality ororder relations as well as using thealgebraic symbolism efficiently.

Figure 1 presents the similarity diagram ofthe tasks of Test A and Test B based onthe responses of the students.

Figure 1: Similarity diagram of the tasks of Test A and Test B according to Grade 9 students’responses

Note: The symbolism used for the variables of this diagram (and the diagram that follows)is explained below.

1. “a” stands for Test A, and “b” stands for Test B

2. The first number after “v” stands for the number of the task in the test i.e.,

3. The second number stands for the type of conversion in each test, i.e., for Test A, 1:graphic to verbal representation, 2: graphic to symbolic representation; for Test B, 1:verbal to graphic representation, 2: verbal to symbolic representation.

1: y < 0, 2:xy > 0, 3:y > x, 4:y = −x, 5:y = 3 / 2, 6:y = x − 2

Relime206

The similarity diagram allows for thegrouping of students’ responses to thetasks based on their homogeneity. Twodistinct similarity groups of tasks areidentified. The first group involves similarityrelations among the tasks of Test A, whilethe second group involves similarityrelations among the tasks of Test B. Thisfinding reveals that different types ofconversions among representations of thesame mathematical content wereapproached in a completely distinct way.The starting representation of aconversion, i.e., graphic or verbalrepresentation, seems to have influencedthe students’ performance, even thoughthe tasks involved the same algebraicrelations. Thus, we observe a completeseparation of students’ responses to thetwo tests even in tasks that were similarand rather “easy” for this grade of students.The similarity relations within the group ofvariables of the tests are also of greatinterest since they provide someindications of the students’ way ofunderstanding the particular algebraicrelations and further support the likelihoodthat the phenomenon ofcompartmentalization was present.

For example, the similarity group of Test Bis comprised of three subgroups. The firstsubgroup contains students’ responses tothe tasks v11b and v12b (y<0) and thetasks v21b and v22b (xy>0), that is, thetwo conversions from verbal to graphicrepresentation and from verbal to symbolicrepresentation of the first two tasks of TestB. These two tasks involve relations thatrepresent “regions of points” and they arethe easiest tasks of the test. The secondsubgroup is formed by the variables v31b(y>x), v41b(y=-x), v51b (y=3/2) and v61b

( y = x-2) that is the conversion from verbalto graphic representation of four relationsof “functional character,” as the relation oftask 3 corresponds to a region of pointsrelated to the function y=x, while therelations of tasks 4, 5 and 6 are functions.The third subgroup is comprised by thevariables v42b (y=-x), v52b (y=3/2) andv62b (y=x-2), that is, the conversion fromverbal to algebraic representation of thetasks that involve functions.

To sum up, the formation of the first subgroupseparately from the other two is of a“conceptual nature,” since it is due to theconceptual characteristics of the relationsinvolved, whereas, the distinction betweenthe third subgroup and the forth subgroup isof a “representational character,” since it is aconsequence of the target of the conversion.To summarize, one can observe two kinds ofcompartmentalization in the similaritydiagram: one “first order”compartmentalization (between the tasks ofthe two tests) and one “second order”compartmentalization (between the tasks ofthe same test).

The implicative diagram in Figure 2 wasderived from the implicative analysis of thedata and contains implicative relations,indicating whether success at a specifictask implies success at another task relatedto the former one. The implicative relationsare in line with the connections in thesimilarity diagram and the above remarks.In particular, one can observe the formationof two groups of implicative relations. Thefirst group involves implicative relationsamong the responses to the tasks of TestB and the second group involves implicativerelations among the responses to the tasksof Test A.


The fact that implicative relations appearonly between students’ responses to thetasks of the same test indicates thatsuccess at one type of conversion of analgebraic relation did not necessarily implysuccess at another type of conversion ofthe same relation. For example, studentswho accomplished the conversion from agraphical representation of a mathematicalrelation to its verbal representation werenot automatically in a position to translatethe same relation from its verbalrepresentation to its graphical formsuccessfully. This is the first ordercompartmentalization that appearsbetween students’ responses to the tasksof the two tests. Additionally, evidence isprovided for the appearance of the secondorder compartmentalization, that is,between students’ responses to the tasksof the same test. The implicative chain“v61a-v31a-v41a” of Test A and theimplicative chain “v61b-v51b-v11b” of Test

Figure 2: Implicative diagram of 14-year-old students’ responses to the tasks of Test A andTest B

B can be taken as examples of the secondorder compartmentalization, probably dueto the same “target” representations of theconversions.

Other useful information can also beobtained by this implicative diagram. Forexample the simplest tasks in both testsare the tasks which involve the relation y<0(v11), corresponding to a region of points.The students’ failure in the tasks involvingthe particular relation (v11a or v11b) alsoimplies failure at most of the other tasks inboth tests. This inference is tenable as theimplicative diagram was constructed byusing the concept of “entropy.” This meansthat for every implication where “a impliesb” the counter-inverse “no a implies no b”is also valid.

Overall, based on the relations included inthe similarity and the implicative diagramsfor secondary school students, it can be

Responses in Test B Responses in Test A

Relime208

inferred that there was acompartmentalization between students’responses to the tasks of the first test andthe tasks of the second test, which involvedconversions of the same algebraic relationsbut different starting modes ofrepresentation (i.e., graphic and verbalrespectively). Students’ higher successrates at the tasks of Test B, i.e., conversionsstarting with graphic representations,relative to the tasks of Test A, i.e.,conversions starting with verbalrepresentations, provide further evidencefor their inconsistent behaviour in the twotypes conversions. Another kind ofcompartmentalization was also uncoveredwithin the same test, indicating students’distinct ways of carrying out conversiontasks with reference to their conceptual(kind of mathematical relation) orrepresentational (target of the conversion)discrepancies.

4.2. Student teachers’ approaches tothe conversion of functions from the

algebraic to the graphicalrepresentation (Study 2)

In this section, we present some elementsfrom a study of Mousoulides and Gagatsis(2004) that used a different approach toexplore the idea of the conversion betweenrepresentations and the phenomenon ofcompartmentalization. The researchersinvestigated student teachers’ approachesto solving tasks of functions and theconnection of these approaches withcomplex geometric problem solving. Thetheoretical perspective used in their studyis related to a dimension of the frameworkdeveloped by Moschkovich, Schoenfeldand Arcavi (1993). According to thisdimension, there are two fundamentallydifferent perspectives from which a functionis viewed, i.e., the process perspective andthe object perspective. From the processperspective, a function is perceived of as

linking x and y values: For each value of x,the function has a corresponding y value.Students who view functions under thisperspective can substitute a value for x intoan equation and calculate the resultingvalue for y or find pairs of values for x andy to draw a graph. In contrast, from theobject perspective, a function or relationand any of its representations are thoughtof as entities - for example, algebraicallyas members of parameterized classes, orin the plane, as graphs that are thought ofas being “picked up whole” and rotated ortranslated (Moschkovich et al., 1993).Students who view functions under thisperspective can recognize that equationsof lines of the form y = 3x + b are parallel orcan draw these lines without calculationsif they have already drawn one line or theycan fill a table of values for two functions(e.g., f(x) = 2x, g(x) = 2x + 2) using therelationship between them (e.g.g(x) = f(x) + 2) (Knuth, 2000).

Mousoulides and Gagatsis (2004) haveadopted the terms “algebraic approach”and “geometric approach” in order toemphasize the use of the algebraicexpression or the graphical representationsby the students in the conversion tasks andin problem solving. The algebraic approachis relatively more effective in making salientthe nature of the function as a process,while the geometric approach is relativelymore effective in making salient the natureof function as an object (Yerushalmy &Schwartz, 1993).

Data were obtained from 95 sophomorepre-service teachers enrolled in a basicalgebra course at the University of Cyprus.A questionnaire, which consisted of fourtasks and two problems, was administeredat the beginning of the course. Each taskinvolved two linear or quadratic functions.Both functions were in algebraic form andone of them was also in graphical


representation. Functions in each task were related in a way such as f(x), g(x)=f (x) + c, orh(x)= -f(x), etc. The four particular tasks were as follows:

1. y=2x and y= -2x (T1)2. y= x2 and y= x2+3 (T2)3. y=x2 +3x-2 and y= x2 - 3x - 2(T3)4. y=x2 +x and y=x2+2x +1(T4)

Students were asked to sketch the graph of the second function. An example of the formin which the four tasks were proposed is as follows:

The following diagram presents a graph of the function y=x2 +x. Sketch the graph of thefunction y=x2+2x +1.

It is obvious that obtaining the correctsolution of the tasks did not necessarilyrequire carrying out a treatment in the samesystem of representation. What wasrequired was the conversion of thealgebraic representation of a function to thegraphical one, on the basis of its relationwith the corresponding representations ofa given function.

Additionally, students were asked to solvetwo problems. One of the problems

Figure 3: The graph of the function y=x2+x (Task 4)

consisted of textual information about atank containing an initial amount of petroland a tank car filling the tank with petrol.Students were asked to use the informationto draw the graphs of the two linearfunctions, i.e. the graph of the amount ofpetrol in the tank with respect to time andthe graph of the amount of petrol in the tankcar with respect to time and to find the timeat which the amounts of petrol in the tankand in the car would be equal. The otherproblem involved a function in a general

Relime210

form f(x) = ax2+bx +c. Numbers a, b and cwere real numbers and the f(x) was equalto 4 when x=2 and f(x) was equal to -6 whenx=7. Students were asked to find how manyreal solutions the equation ax2+bx +c hadand explain their answer.

In light of the above, this study differs fromthe previous one in the following two basiccharacteristics:

• First the proposed conversions can becarried out geometrically by payingattention to the graphical representationof a given function in order to constructthe representation of a second functionor algebraically.

• Second, the study attempts toinvestigate how students’ approaches tothe conversions between differentregisters of functions are associated withtheir processes in problem solving onfunctions.

The results of this study indicated that themajority of students responded correctly inthe first two tasks (T1: 73.2% and T2: 80%).Their rate of success was radically reducedin tasks involving quadratic functionsinvolving complex transformations (T3:41.1% and T4: 45.3%) and especially insolving complex geometric problems. Morespecifically, only 27.4% and 11.6% of the95 participants provided appropriatesolutions.

As regards students’ approaches, morethan 60% of the students that provided acorrect solution followed a processperspective or the algebraic approach,which involved the construction of thefunction graph by finding pairs of values xand y. The other students used an objectperspective or the geometric approach byobserving and using the relation betweenthe two functions. It is noteworthy that

students who chose the algebraic approachapplied it even in situations in which ageometric approach seemed easier andmore efficient than the algebraic.Furthermore, in the second problem, mostof the students (88.4%) failed to recognizeor suggest a graphical solution as an optionat all, even though the problem could notbe solved algebraically.

For the similarity diagram and theimplicative analysis of the data, students’answers to the tasks were codified asfollow: (a) «A» was used to represent“algebraic approach – function as aprocess” to tasks and problems; (b) «G»stands for students who adopted a“geometric approach – function as anentity.” The similarity diagram of students’responses to the tasks in Figure 4 involvedtwo distinct clusters with reference tostudents’ approaches. The first clusterrepresents the use of the algebraicapproach (process perspective), while thesecond cluster refers to the use of thegeometric approach (object perspective)and solving geometric problems. It is thusdemonstrated that students who used thegeometric approach in one task were likelyto employ the same approach in all theother tasks. Similarly, students who usedthe algebraic approach employed itconsistently in the tasks of the test. It canalso be observed that the second clusterincludes the variables corresponding to thesolution of the complex geometric problemsalong with the variables representing thegeometric approach. This means thatstudents who effectively used the geometricapproach for simple tasks on functions alsosucceeded in solving complex geometricproblems on function. In line with thesimilarity diagram, success rates indicatedthat students who were able to use ageometric approach achieved betteroutcomes in solving complex functionproblems, probably because they were able


to observe and use the connections andthe relations in the problems flexibly. Theformation of the two clusters reveals thatstudents tended to solve tasks andproblems in functions using the same

approach, even in tasks where a differentapproach was more suitable, providingsupport for the emergence of thephenomenon of compartmentalization instudents’ processes.

T1

AT

2A

T4

AT

3A

T1

GT

2G

P1

GP

2G

P1

AT

3G

T4

G

Algebraic appro ach Geometr ic appr oach

Figure 4: Similarity diagram of student teachers’ approaches to the tasks

Note: The symbolization of the variables that were used to represent students’ responsesto the tasks are presented below.

1. Symbols “T1A”, “T2A”, “T3A” and “T4A” represent a correct algebraic approach to thetasks and “P1A” to the first problem (second problem could not be solved algebraically)

2. Symbols “T1G”, “T2G”, “T3G” and “T4G” represent a correct geometric approach tothe tasks and “P1G” and “P2G”, correct graphical solutions to the two problems

The hierarchical tree in Figure 5 involves the implicative relationships between thevariables. Three groups of implicative relationships can be identified. The first group andthe third group of implicative relationships include variables concerning the use of thegeometric approach – object perspective and variables concerning the solution of thegeometric problems. The second group involves links among variables standing for theuse of the algebraic solution-process perspective. These relations are in line with the

Relime212

findings derived from the similarity diagram.The establishment of these groups of linksprovides support once again for theconsistency that characterizes students’provided solutions towards the functiontasks and problems. Furthermore, theimplicative relationships of the third groupindicate that students who solved thesecond problem by applying the correctgraphical solution have followed the object

perspective – graphical representation forthe other problem and the other two simpletasks. A possible explanation is thatstudents who have a solid and coherentunderstanding of functions can recognizerelations in complex geometric problemsand thus can flexibly connect pairs ofequations with their graphs and then easilyapply the geometric approach in solvingsimple tasks on functions.

Figure 5: Hierarchical tree illustrating implicative relations among student teachers’ approachesto the tasks

Note: The implicative relationships in bold colour are significant at a level of 99%

1st group 2nd group 3rd group


5. CAN WE SUCCEED AT DE-COMPARTMENTALIZATION?

Since an important aspect of this paper isto examine whether the registers ofrepresentations and the problem solvingcognitive processes in functions arecompartmentalized in students’ thinking,we will present data from two currentinvestigations. These studies (study 3 andstudy 4) are related to the previouslypresented studies, with their objectivebeing to replicate previous results andsupport further findings for accomplishingde-compartmentalization in functions.

5.1. First effort to succeed at de-compartmentalization (Study 3)

In an attempt to accomplish de-compartmentalization, an experimentalstudy was designed by Gagatsis, Spyrou,Evangelidou and Elia (2004). Theresearchers developed two experimentalprograms for teaching functions touniversity students based on two differentperspectives, which are presented below.Two similar tests were administered pre-and post- the intervention in order toinvestigate students’ understanding offunctions and to compare the effectivenessof each experimental design.

One hundred fifty-seven universitystudents participated in this study. Theparticipants were second year students ofthe Department of Education (prospectiveteachers) who attended the course“Contemporary Mathematics” at theUniversity of Cyprus. The students wererandomly assigned to two groups whichwere taught by two different professors.Experimental Group 2 was comprised of68 students and Experimental Group 2 wascomprised of 81 students. The students inboth groups differed in the level and length

of the mathematics courses that they hadattended in school. Nevertheless, all of thestudents who participated in this study hadreceived a similar curriculum on functionsduring the last three grades of high school.

The study was carried out in three stages.In the first stage, a pre-test wasadministered to both groups of students inorder to investigate their initialunderstanding of the construct of functionbefore the instruction. In the second stage,the two groups received instructionalsessions spread over a period of the sameduration for both groups. To compare thetwo groups, in the third stage, a post-testsimilar to the pre-test was used to assessstudents’ understanding of functions.

The two experimental programs, conductedby two different university professors(Professors A and B), approached theteaching of the notion of function from twodifferent perspectives.

Experimental Program 1 started byproviding a revision of some of the functionsthat were already known to the studentsfrom school mathematics, physics andeconomics. Professor A reminded studentsabout the difference between an equationand a function, which typically appear in asimilar symbolic form. Different types offunctions were presented next, starting fromthe simple ones and proceeding to the morecomplicated ones. At first, the programintroduced different kinds of linear functionsand described the various representationsof functions in the form: y=ax+b. Functionswith a disconnected domain were alsopresented. Discrete functions described bydiscrete types of range and thecharacteristic function of a set were alsopresented. Arrow diagrams were alsointroduced in order to demonstrate to thestudents a way to examine the ideas of one-to-one and many-to-one types of

Relime214

correspondence as a condition for thedefinition to be held. Next, the quadraticpolynomial function of the form ax2+bx+cwas taught. Special attention was given tothe main features of the graph of thepolynomial function (e.g., maximum andminimum points, possible roots, symmetryaxis, possible qualitative manipulation offunctions in the form ax2). Various specialcases and the general form of the rational

function were also examined.y =cx

Trigonometric functions and theircomposition were studied next. The basicfeatures and properties of the exponentialfunctions were also discussed as well asthe ill-defined functions of Weierstrass orDirichlet without any reference to thegeometrical representation. Reference wasmade to the inverse functions and to whichfunctions can be inversed. The programended by giving the set-theoreticaldefinition of a function. The definition wasthen applied in order to identify whethereach of the aforementioned types ofrelations as well as others, such as theformula of the circle, were functions or not.

Experimental Program 2 encouraged theinterplay between the different modes of therepresentation of function in a systematicway. The instruction that was developed byProfessor B on functions was based on twodimensions. The first dimension involvedthe intuitive approach and the definition offunction. The second dimensionemphasized the different representations offunction. The instruction began with issuesthat are related to sets, the elements of aset and the operations of sets. Thecoordinate pairs and the Cartesian productwere also discussed. The concept ofcorrespondence was introduced, andequivalence and arrangement relationswere defined. Then the activities for thestudy of the concept of function were basedon the different relations between two sets,

namely A and B, and examples of arrowdiagrams, coordinate pairs and graphswere presented.

The second dimension of the instructionconcerned representations. It included thefollowing elements: theoretical models andinteresting empirical studies on theconnection of representations withmathematics learning, theories on the useof semiotic representations in the teachingof mathematics and the pedagogicalimplications as well as the concept offunction. Then the solution of tasks ingraphical and algebraic representationsand examples of conversion of functionsfrom one representation to another werepresented.

In the light of the above, an essentialepistemological difference can be identifiedbetween the two experimental programs.Experimental Program 1 involvedinstruction of a classic nature, widely usedat the university level. In contrast,Experimental Program 2 was based on acontinuous interplay between differentrepresentations of various functions.

The pre- and the post-tests involvedconversion tasks that were similar to thetasks of the test used in the study 1described above (Gagatsis & Elia, 2005b).In addition, another two questions askedwhat a function is and requested twoexamples of functions from their applicationin real life situations. The tests also includedtasks asking students to identify, byapplying the definition of the concept,whether mathematical relations in differentmodes of representation (verbalexpressions, graphs, arrow diagrams andalgebraic expressions) were presentingfunctions.

Comparing the success percentages of thestudents before and after instruction


indicated great improvement with regardsto the definition of function. In particular,while only 19% of the students gave anapproximately correct definition (i.e. (i)accurate set-theoretical definition, (ii)correct reference to the relation betweenvariables but without the definition of thedomain and range, (iii) definition of a specialkind of function, e.g. real, bijective, injectiveor continuous function) before theinstruction, 69% of the students gave thecorresponding definition after instruction.Students’ success rates after instructionwere also radically improved in most of therecognition and conversion tasks of thetests. For instance, the graph of the straightline y=4/3 was recognized as a function onlyby 26% of the students before instruction,while the graph of the line y=-3 wasidentified as a function by 82% of thestudents after instruction.

Analysis of the data gave four similaritydiagrams. Two of the similarity diagramsinvolved the answers of the twoexperimental groups of students separatelyto the tasks of the test before instruction.The other two similarity diagrams includedthe answers of the two experimental groupsof students separately, after instruction.Within the former two similarity diagramsdistinct groups or subgroups of variablesof students’ responses in recognition tasksinvolving the same mode of representationof functions, i.e., in verbal form, in graphicalform, in an algebraic form, in an arrowdiagram, were formed separately. Theparticular finding revealed the consistencywith which students dealt with tasks in thesame representational format, but withdifferent mathematical relations. However,lack of direct connections betweenvariables of similar content, but differentrepresentational format, indicated thatstudents were able to identify a function ina particular mode of representation (e.g.,algebraic form), but not necessarily in

another mode of representation (e.g.,graphical). This inconsistent behaviouramong different modes of representation wasan indication of the existence ofcompartmentalization. This phenomenonalso appeared in the similarity diagramreferring to the students of ExperimentalGroup 1, especially in the cases of thegraphical representations and arrowdiagrams. The compartmentalization waslimited to a great extent, though, in thesimilarity diagram involving the responses ofstudents of Experimental Group 2. Similarityconnections were formed between students’performance in recognizing functions indifferent forms of representation, indicatingthat students dealt similarly with tasksirrespective of their mode of representation.In other words, success was independentfrom the mode of representation of themathematical relation. This finding revealedthat Experimental Program 2 was successfulin developing students’ abilities to flexibly usevarious modes of representations of functionsand thus accomplished the breach ofcompartmentalization, i.e. de-compartmentalization, in their behaviour. Theresearch in this direction, described brieflyabove, is still in progress.

5.2. Second effort to succeed at de-compartmentalization (Study 4)

Mousoulides and Gagatsis (2006) conducteda study exploring the effectiveness ofcomputer based activities in de-compartmentalized registers ofrepresentations and problem solvingprocesses in functions. A considerablenumber of research studies have examinedthe effects of technology usage on manyaspects of students’ mathematicalachievement and attitudes, theirunderstanding of mathematical concepts,and the instructional approaches in teachingmathematics. Despite this, only a limitednumber of researchers focused on the effects

Relime216

of using appropriately different modes ofrepresentations and making the necessaryconnections between them by usingtechnological tools (Mousoulides & Gagatsis,2006). The investigation presented herefollows the investigation presented in Section4.2. Researchers in the aforementioned studyexamined whether students’ work with the aidof a mathematical software package couldassist students in adopting and implementingeffectively the “geometric approach” to solvingproblems in functions and therefore promotethe de-compartmentalization of registers ofrepresentations in students’ thinking.

The participants were ninety sophomorestudents in the Department of Education.Students were attending an undergraduatecourse on introductory calculus. Of these,18% were males and 82% were females. Thestudy was conducted in three phases. In thefirst phase, a questionnaire similar to the onethat was developed in the second study,reported here, was administered at thebeginning of the course. The second phaseof the study was conducted over the courseof the subsequent two weeks. During thisperiod, forty of the 90 students were randomlyselected to participate in four two-hour

sessions. During these sessions students,working individually or in pairs, were askedto solve problems in functions usingAutograph and to present and discuss theirresults in discussions with the whole class.Autograph (www.autograph-math.com), avisually compelling mathematical software,was used for the purposes of the study.Autograph and other similar softwarepackages have various features which canfacilitate a constructive approach to learningmathematics (Mousoulides, Philippou &Hoyles, 2005). Autograph allows the user to“grab and move” graphs, lines and points onthe screen whilst observing changes inparameters, and vice versa. Additionally, withits multiple representation capabilities, itallows the user to switch easily betweennumeric, symbolic and visual representationsof information. A sample problem that wasdiscussed during the second phase ispresented below:

The following is the graph of the functionf(x) = ax2+bx+c. Suggest possible values fora,b,c and explain your answers. Pose arelated problem for the other students of yourclass that could be solved using yourworksheet in Autograph.

Figure 6: The graph of the function f (x) = ax2+bx+c presented in one problem


A second test, involving a second set of fourtasks and two problems in functions wasadministered ten days after the completionof the second phase. All items in the secondtest were similar to the ones of the first testadministered in the first phase.

Similar to the study presented in Section4.2, researchers proposed that conversionscould be carried out geometrically byfocusing their attention and efforts on therelation of the symbolic representations ofthe two functions in order to construct thesecond graph or, algebraically, by selectingpairs of points to construct the new graphby “ignoring” its relation to the other one.Additionally, the study attempted toinvestigate how students’ approaches in theconversions between different registers offunctions were associated with theirprocesses in problem solving. The mainfocus of Mousoulides and Gagatsis (2006)investigation was to examine whetherstudent work on problems on functions withthe aid of the appropriate mathematicalsoftware could result in the de-compartmentalization of the differentregisters of representations and their usein problem solving in functions.

The results of the study duplicate earlierfindings (Mousoulides & Gagatsis, 2004),indicating that most of the students cancorrectly answer tasks on graphing linear(with success percentages being higherthan 80%) and quadratic functions (withsuccess percentages being higher than65%). At the same time, their successfulperformance in solving related problemswas limited to less than 25%. An importantfinding related to students’ approachesshowed that, in all tasks, more studentspreferred using the algebraic than thegeometric approach. It is noteworthy thatstudents who chose the algebraic approachapplied it even in situations in which ageometric approach seemed easier and

more efficient than the algebraic. Of interestis the second problem, for which the greatmajority of students failed to recognize orsuggest a graphical solution as an optionat all, even though the problem could notbe solved algebraically.

Analysis of the data from the second testshowed that both groups of studentsimproved their percentages in solving bothsimple tasks and problems in functions. Ofinterest, is the finding that students whoparticipated in the intervention phase (Group1) outperformed their counterparts (Group 2)in all tasks and problems. In detail, Group 1students’ percentages were higher than thoseof Group 2 students with percentagedifferences varying from 4 % to 12 % insolving tasks and from 10% to 12% inproblems. Furthermore, Group 1 studentssignificantly improved their selection ofgeometric approach in solving tasks andproblems in functions, indicating that theexploration and discovery of open endedproblems in the environment of mathematicalsoftware like Autograph might have aninfluence on students’ selection and use ofthe geometric approach in functions.

The findings from the two similarity diagramswere also quite impressive. One of thesimilarity diagrams involved Group 2 studentresponses, while the second one presentedthe results from Group 1 students. Thesimilarity diagram for Group 2 studentsinvolved two distinct clusters with referenceto students’ approach. In keeping withprevious findings, students who used thealgebraic approach employed it consistentlyin the tasks and problems of the test, even incases where the use of the geometricapproach was more suitable. The similaritydiagram for Group 1 students showed thattheir responses again formed two clusters,but these clusters were notcompartmentalized into algebraic andgeometric approaches. Indeed, one of the

Relime218

clusters showed that students were flexiblein selecting the most appropriate approachfor solving tasks on functions. Additionally,students were eager to switch their approachin solving a problem, especially in a problemwhich could not be solved using an algebraicapproach. This was not the case for studentsin Group 2.

6. DISCUSSION

6.1. Identifying the phenomenon ofcompartmentalization and seeking

ways to breach it

A main concern of the present paper was toinvestigate students’ understanding of theconcept of function via two perspectives. Thefirst point of view concentrates on students’ability to handle different modes of therepresentation of function in tasks involvingtreatment and conversion and the secondperspective refers to students’ approachesin conversion tasks and complex functionproblems. Furthermore, this paper entailedsome considerations with regards to thedifficulties confronted by the students whendealing with different modes of mathematicalrepresentations and more specifically thephenomenon of compartmentalization.Another aim of this paper was to present twoon-going investigations which attempted todesign and implement different interventionprograms having a common objective, i.e. tohelp students develop flexibility in workingwith various representations of function andthus accomplish de-compartmentalization ofthe different registers of representations instudents’ thinking.

The first study reported in this paperexamined student performance in theconversions of algebraic relations (includingfunctions) from one mode of representationto another. It was revealed that success inone type of conversion of an algebraic relation

did not necessarily imply success in anothertype of conversion of the same relation. Lackof implications or connections among differenttypes of conversion (i.e., with different startingrepresentations or even with different targetrepresentations) of the same mathematicalcontent indicated the difficulty in handling twoor more representations in mathematicaltasks. This incompetence provided a strongcase for the existence of the phenomenon ofcompartmentalization among differentregisters of representation in students’thinking, even in tasks involving the samerelations or functions. The differences amongstudents’ scores in the various conversionsfrom one representation to another, referringto the same algebraic relation or functionprovided support for the different cognitivedemands and distinctive characteristics ofdifferent modes of representation. Thisinconsistent behaviour was also seen as anindication of students’ conception thatdifferent representations of the same conceptare completely distinct and autonomousmathematical objects and not just differentways of expressing the meaning of aparticular notion. Inconsistencies were alsoobserved in students’ responses withreference to the different conceptual featuresof the mathematical relations involved in theconversions, i.e. functions or not.

The most important finding of the secondstudy was that two distinct groups wereformatted with consistency, that is thealgebraic and the geometric approachgroups. The majority of student work withfunctions was restricted to the domain of thealgebraic approach. This method, which is apoint to point approach giving a local imageof the concept of function, was followed withconsistency in all of the tasks carried out bythe students. Many students have notmastered even the fundamentals of thegeometric approach in the domain offunctions. Most of the students’understanding was limited to the use of


algebraic representations and the algebraicapproach, while the use of graphicalrepresentations was fundamental in solvinggeometric problems. Only a few studentsused an object perspective and approachedthe function holistically, as an entity, byobserving and using the association of it withthe closely related function that was given.Only these students developed the ability toemploy and select graphical representations,thus the geometric approach. The secondstudy’s findings are in line with the results ofprevious studies indicating that studentscannot use the geometric approacheffectively (Knuth, 2000). The fact that mostof the students chose an algebraic approach(process perspective) and also demonstratedconsistency in their selection of this approach,even in tasks and problems in which thegeometric approach (object perspective)seemed more efficient, or the fact that theyfailed to suggest a graphical approach at all,is a strong indication of the phenomenon ofcompartmentalization in the students’processes in tasks and problems on functionsinvolving graphical and algebraicrepresentations.

Moreover, an important finding of the secondstudy involved the relation between thegraphical approach and geometric problemsolving. This finding is consistent with theresults of previous studies (Knuth, 2000;Moschkovich et al., 1993), indicating that thegeometric approach enables students tomanipulate functions as an entity, and thusstudents are capable of finding theconnections and relations between thedifferent representations involved inproblems. The data presented in the secondstudy suggested that students who had acoherent understanding of the concept offunctions (geometric approach) could easilyunderstand the relationship betweensymbolic and graphic representations inproblems and thus were able to providesuccessful solutions.

In both studies presented above, the resultsof the statistical analysis of C.H.I.C.provided a strong case for the existence ofthe phenomenon of compartmentalizationin students’ ways of dealing with differenttasks on functions. However, the findingsof each of the two studies were substantialand gave different information regarding theacquisition and mastery of the concept offunction. Lack of implications and similarityconnections among different types ofconversion of the same mathematicalcontent in Study 1 indicated that studentswere not in a position to change systemsof representation of the same mathematicalcontent of functions in a coherent way. Lackof implicative and similarity connectionsbetween the geometric approach and thealgebraic perspective in students’responses in Study 2 provided support forstudents’ deficiency in flexibly employingand selecting the appropriate approach, inthis case the geometric one, to sketch agraph or to solve a problem on functions. Itcan be asserted that registersof representations remainedcompartmentalized in students’ minds andmathematical thinking was fragmentary andlimited to the use of particularrepresentations or a particular approach inboth types of transformation, that is,treatment and conversion.

Compartmentalization, as indicated byDuval (1993; 2002) and explainedempirically in the present paper, is a generalphenomenon that appears not only in thelearning of functions, but also in the learningof many different concepts, as pointed outat the beginning of this paper. All thesefindings indicate students’ deficits in thecoordination of different representationsrelated to various mathematical concepts.Duval (1993; 2002) maintains that the de-compartmentalization of representations isa crucial point for the understanding ofmathematical concepts.

Relime220

Identifying the phenomenon ofcompartmentalization among the registers ofrepresentation in students’ thinking onfunctions indicated that current instructionalmethods fail to help students develop a deepconceptual understanding of the particularconstruct. On the basis of the above findings,two current experimental efforts have beendesigned and carried out for the teaching offunctions in order to accomplish de-compartmentalization. The former researcheffort (Study 3) involved two experimentalprograms. Experimental Program 1 involvedinstruction of a classic nature and one widelyused at the university level. On the contrary,Experimental Program 2 was based on acontinuous interplay between differentrepresentations of various functions. Theother study (Study 4) involved anexperimental program that promoted theexploration and discovery of open endedproblems in the environment of amathematical software program that providedmultiple representation capabilities andallowed the students to switch easily betweennumeric, symbolic and visual representationsof information. Students that participated inExperimental Program 1 of Study 3 did notshow a significant improvement in theconversion tasks and continued to treat thevarious representations of function as distinctentities, thus demonstrating acompartmentalized way of working andthinking. As regards Experimental Program2 of Study 3 and the experimental programof Study 4, despite their distinctive featuresthey were both successful in stimulating apositive change in students’ responses andin attaining the de-compartmentalization ofrepresentations in their performance. Morespecifically, the former experimentalprogram succeeded in developing students’abilities in the conversion from one modeof representation to another. The latterprogram was successful in developingstudents’ flexibility to select the mostappropriate approach in solving tasks in

functions and to use the geometric approachin function problems efficiently.

6.2. Recommendations for furtherresearch

Research on the identification of thephenomenon of compartmentalization in thelearning of functions and other conceptsshould be expanded. The present paperprovides support to the systematic use ofappropriate statistical tools, such as theimplicative statistical analysis of R. Gras(1996), to assess and analyze students’understanding of functions or othermathematical concepts. A continuedresearch focus is needed to find ways tobreach the compartmentalized way ofthinking in students. The research directedtowards finding ways to develop students’flexibility in using different registers ofrepresentations of functions and in movingfrom one to another, described briefly above,continues so as to provide explanations forthe success of the two aforementionedexperimental programs and to determinethose features of the interventions that wereparticularly effective in accomplishing de-compartmentalization. There is a need forlongitudinal studies in the area of registersof representations and problem solving infunctions to enhance our understanding ofthe effectiveness and appropriateness ofintervention studies like the aforementionedone. Additional studies of a qualitative natureare also needed to uncover students’difficulties in the particular domain, toexpand the knowledge of how studentsinteract with different modes ofrepresentations of functions in aconventional setting or a technologicalenvironment and how they move from aparticular approach, i.e. an algebraicstrategy to a more advanced one, i.e. ageometric approach in solving tasks onfunctions. The results of such attempts mayhelp teachers and researchers at the


university and high school levels to placeemphasis on certain dimensions of the notionof function and the pedagogical approaches

References

Aspinwall, L., Shaw, K. L., & Presmeg, N. C. (1997). Uncontrollable mental imagery:Graphical connections between a function and its derivative. Educational Studies inMathematics, 33, 301-317.

Bodin, A., Coutourier, R., & Gras, R. (2000). CHIC : Classification Hiérarchique Implicativeet Cohésive-Version sous Windows – CHIC 1.2 , Rennes : Association pour la Rechercheen Didactique des Mathématiques.

Cheng, P.C.H. (2000). Unlocking conceptual learning in mathematics and science witheffective representational systems. Computers and Education, 33, 109-130.

D’Amore B. (1998). Relational objects and different representative registers: cognitivedifficulties and obstacles. L’educazione matematica, 1, 7-28.

Dubinsky, E., & Harel, G. (1992). The nature of the process conception of function. In E.Dubinsky & G. Harel (Eds.), The Concept of Function. Aspects of Epistemology andPedagogy (pp. 85-106). United States: The Mathematical Association of America.

Duval, R. (1993). Registres de Représentation Sémiotique et Fonctionnement Cognitifde la Pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 5, 37-65.

Duval, R. (2002). The cognitive analysis of problems of comprehension in the learning ofmathematics. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 1(2), 1-16.

Eisenberg, T., & Dreyfus, T. (1991). On the reluctance to visualize in mathematics. In W.Zimmermann & S. Cunningham (Eds.), Visualization in Teaching and LearningMathematics (pp. 9-24). United States: Mathematical Association of America.

Elia, I., Gagatsis, A., & Gras, R. (2005). Can we “trace” the phenomenon ofcompartmentalization by using the I.S.A.? An application for the concept of function. InR. Gras, F. Spagnolo & J. David (Eds.), Proceedings of the Third International ConferenceI.S.A. Implicative Statistic Analysis (pp. 175-185). Palermo, Italy: Universita degli Studidi Palermo.

Evangelidou, A., Spyrou, P., Elia, I., & Gagatsis, A. (2004). University students’conceptions of function. In M. Johnsen Høines & A. Berit Fuglestad (Eds.), Proceedingsof the 28th Conference of the International Group for the Psychology of MathematicsEducation, (Vol. 2, pp. 351-358). Bergen, Norway: Bergen University College.

to teaching functions, so that students canbe assisted in constructing a solid and deepunderstanding of the particular concept.

Relime222

Even, R. (1998). Factors involved in linking representations of functions. The Journal ofMathematical Behavior, 17(1), 105-121.

Gagatsis, A., & Elia, I. (2005a).A review of some recent studies on the role of representationin mathematics education in Cyprus and Greece. Paper presented at CERME 4, 2005,February, Saint Feliux de Guixols, Spain.

Gagatsis, A., & Elia, I. (2005b). Il concetto di funzione e le sue rappresentazioninell’educazione secondaria. Bollettino dei Docenti di Matematica, 50, 41-54.

Gagatsis, A., & Shiakalli, M. (2004). Ability to translate from one representation of theconcept of function to another and mathematical problem solving. Educational Psychology,24(5), 645-657.

Gagatsis, A., Elia, I., & Mougi, A. (2002). The nature of multiple representations indeveloping mathematical relations. Scientia Paedagogica Experimentalis, 39(1), 9-24.

Gagatsis, A., Kyriakides, L., & Panaoura, A. (2004). Assessing the cross-culturalapplicability of number lines in conducting arithmetic operations using structural equationmodeling : A comparative study between Cypriot, Italian and Greek primary pupils. WorldStudies in Education, 5(1), 85-101.

Gagatsis, A., Shiakalli, M.,& Panaoura, A.(2003). La droite arithmétique comme modèlegéométrique de l’ addition et de la soustraction des nombres entiers. Annales dedidactique et de sciences cognitives, 8, 95-112.

Gras, R. (1996). L’implication statistique. Collection associée à ‘ Recherches en Didactiquedes Mathématiques’. Grenoble : La Pensée Sauvage.

Hitt, F. (1998). Difficulties in the articulation of different representations linked to theconcept of function. The Journal of Mathematical Behavior, 17(1), 123-134.

Kaldrimidou, M., & Ikonomou, A. (1998). Factors involved in the learning of mathematics:The case of graphic representations of functions. In H. Stenbring, M.G. Bartolini Bussi &A. Sierpinska (Eds.), Language and Communication in the Mathematics Classroom (pp.271-288). Reston, Va: NCTM.

Kaput, J. J. (1987). Representation systems and mathematics. In C. Janvier (Ed.),Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 19-26).Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.

Knuth, J. E. (2000). Student understanding of the Cartesian Connection: An exploratorystudy. Journal of Research in Mathematics Education, 31(4), 500-508.

Leinhardt, G., Zaslavsky, O., & Stein, M. K. (1990). Functions, graphs, and graphing:Tasks, learning, and teaching. Review of Educational Research, 60, 1–64.


Lerman, I.C. (1981). Classification et Analyse Ordinale des Données. Paris: Dunod.

Lesh, R., Post, T. & Behr, M. (1987). Representations and translations amongrepresentations in mathematics learning and problem solving. In C. Janvier (Ed.),Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 33-40).Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.

Marcou, A., & Gagatsis, A. (2003). Rappresentazioni e apprendimento matematico:applicazioni nel campo delle frazioni. La matematica e la sua didattica, 2,124-138.

Markovits, Z., Eylon, B. and Bruckheimer, M. (1986). Functions today and yesterday.For the Learning of Mathematics, 6(2) 18-28.

Michaelidou, N., Gagatsis, A., & Pitta-Pantazi, D. (2004). The number line as arepresentation of decimal numbers: A research with sixth grade students. In M. JohnsenHøines & A. Berit Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28th Conference of the InternationalGroup for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp. 305-312). Bergen,Norway: Bergen University College.

Moschkovich, J., Schoenfeld, A. H., & Arcavi, A. (1993). Aspects of understanding: Onmultiple perspectives and representations of linear relations and connections amongthem. In T. A. Romberg, E. Fennema, & T. P. Carpenter (Eds.), Integrating research onthe graphical representation of functions (pp. 69–100). Hillsdale, NJ: Lawrence ErlbaumAssociates.

Mousoulides, N., & Gagatsis, A. (2004). Algebraic and geometric approach in functionproblem solving. In M. Johnsen Høines & A. Berit Fuglestad (Eds.), Proceedings of 28th

Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education(Vol. 3, pp. 385-392). Bergen, Norway: PME.

Mousoulides, N., Philippou, G., Hoyles, C (2005). Mathematical discovery in the contextof number sequences. Paper presented at the 11th European for Research on Learningand Instruction, 2005, August.

Mousoulides, N., & Gagatsis, A. (2006). The role of new technologies in improvingproblem-solving in functions. Pre-print, Department of Education, University of Cyprus.

Romberg, T. A., Fennema, E., & Carpenter, T. P. (Eds.). (1993). Integrating research onthe graphical representation of functions. Hillsdale, NJ: Erlbaum.

Sfard, A. (1992). Operational origins of mathematical objects and the quandary ofreification - The case of function. In E. Dubinsky & G. Harel (Eds.), The Concept ofFunction: Aspects of Epistemology and Pedagogy (pp. 59-84). United States: TheMathematical Association of America.

Sierpinska, A. (1992). On understanding the notion of function. In E. Dubinsky & G.Harel (Eds.), The Concept of Function. Aspects of Epistemology and Pedagogy (pp. 25-28). United States: The Mathematical Association of America.

Relime224

Vinner, S., & Dreyfus, T. (1989). Images and definitions for the concept of function. Journalfor Research in Mathematics Education, 20(4), 356-266.

Yerushalmy, M., & Schwartz, J. L. (1993). Seizing the opportunity to make algebramathematically and pedagogically interesting. In T. A. Romberg, E. Fennema & T. P.Carpenter (Eds.), Integrating research on the graphical representation of functions(pp. 41–68). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Athanasios GagatsisDepartament of EducationUniversity of CyprusCyprus


Iliada EliaDepartament of EducationUniversity of CyprusCyprus


Nicholas MousoulidesDepartament of EducationUniversity of CyprusCyprus


Learning Mathematics: Increasing the

Value of Initial Mathematical Wealth

Adalira Sáenz-Ludlow 1

A sign may recall a certain concept or combination of concepts from somebody’s memory,and can also prompt somebody to certain actions. In the first case we shall call a sign asymbol, in the second a signal. The (nature of the) effect of the sign depends on contextand the actual mental situation of the reader. Van Dormolen, 1986, p.157.

RESUMEN

Usando la teoría de signos de Charles Sanders Peirce, este artículo introduce la nociónde riqueza matemática. La primera sección argumenta la relación intrínseca entre lasmatemáticas, los aprendices de matemáticas, y los signos matemáticos. La segunda,argumenta la relación triangular entre interpretación, objetivación, y generalización. Latercera, argumenta cómo el discurso matemático es un medio potente en la objetivaciónsemiótica. La cuarta sección argumenta cómo el discurso matemático en el salón declase, media el aumento del valor de la riqueza matemática del alumno, en formasincrónica y diacrónica, cuando él la invierte en la construcción de nuevos conceptos.La última sección discute cómo maestros, con diferentes perspectivas teóricas, influyenen la dirección del discurso matemático en el salón de clase y, en consecuencia, en elcrecimiento de la riqueza matemática de sus estudiantes.

PALABRAS CLAVE: Riqueza matemática, interpretación, relación con signos,la tríada interpretación-objetivación-generalización.

ABSTRACT

Using the Peircean semiotic perspective, the paper introduces the notion of mathematicalwealth. The first section argues the intrinsic relationship between mathematics, learnersof mathematics, and signs. The second argues that interpretation, objectification, andgeneralization are concomitant semiotic processes and that they constitute a semiotictriad. The third argues that communicating mathematically is a powerful means of semioticobjectification. The fourth section presents the notion of mathematical wealth, the learners’investment of that wealth, and the synchronic-diachronic growth of its value throughclassroom discourse. The last section discusses how teachers, with different theoreticalperspectives, influence the direction of classroom discourse and the growth of the learner’sinitial mathematical wealth.


Fecha de recepción: Febrero de 2006/ Fecha de aceptación: Mayo de 20061 Department of Mathematics and Statistics. University of North Carolina at Charlotte.

Relime

KEY WORDS: Mathematical Wealth, Interpretation, Relationships with Signs,The Triad Intepretation-Objectification-Generalization.

RESUMO

Usando a teoria de signos de Charles Sanders Peirce, este artigo introduz a noção deriqueza matemática. A primeira secção argumenta a relação intrínseca entre amatemática, os aprendizes de matemáticas, e os signos matemáticos. A segunda,argumenta a relação triangular entre interpretação, objetivação e generalização. A terceira,argumenta como o discurso matemático é um potente meio na objetivação semiótica. Aquarta seção argumenta como o discurso matemático na sala de aula adequar o aumentodo valor da riqueza matemática do aluno, em forma sincrônica e diacrônica, quando eleinverte a construção de novos conceitos. A última seção discute como maestros, comdiferentes perspectivas teóricas, influem na direção do discurso matemático na sala deaula e, conseqüentemente, no crescimento da riqueza matemática de sus estudantes.

PALAVRAS CHAVES: Riqueza matemática, interpretação, relação com signos,a tríade interpretação-objetivação-generalização.

RÉSUMÉ

En utilisant la perspective sémiotique peircienne, cet article introduit la notion de richessemathématique. La première section soutient qu’il y a une relation intrinsèque entre lesmathématiques, les apprenants des mathématiques et les signes. La deuxième sectionsoutient que l’interprétation, l’objectivation et la généralisation sont des processussémiotiques concomitants et qu’ils constituent une triade sémiotique. La troisième sectionsoutient que la communication mathématique est un puissant moyen sémiotiqued’objectivation. La quatrième section présente la notion de richesse mathématique,l’investissement de cette richesse par les apprenants et la croissance synchronique etdiachronique de sa valeur à travers le discours de la salle de classe. La dernière sectiondiscute de la façon dont les enseignantes et enseignants, avec des perspectivesthéoriques différentes, agissent sur l’orientation de la discussion dans la salle de classeet sur l’enrichissement de la pensée mathématique initiale des apprenants.

MOTS CLÉS: Richesse mathématique, interprétation, relation avec des signes,la triade interprétation-objectivation-généralisation.

Mathematics and its IntrisicRelationship with Signs

Since ancient times, philosophers andmathematicians alike have beenconcerned with the definition ofmathematics as a scientific endeavor and

as a way of thinking. These definitionshave evolved both according to the stateof the field at a particular point in time andaccording to different philosophical

226

Learning Mathematics: Increasing the Value of Initial Mathematical Wealth

perspectives. Davis and Hersh, assert that“each generation and each thoughtfulmathematician within a generationformulates a definition according to hislights” (1981, p. 8). To define mathematicsis as difficult as to define signs. It is noteasy to define either one withoutmentioning the other, as it is not easy todefine them in a paragraph and even lessin a couple of sentences. Mathematiciansmake use of and create mathematical signsto represent, “objectify”, or encode theircreations. On the other hand, learnersinterpret mathematical signs and theirrelationships both to decode the conceptualobjects of mathematics and to objectify (i.e.,encode) their own conceptualizations.

All kinds of signs and sign systems areubiquitous in our lives but so ismathematics. Given the fascinating andineludible dance between mathematics andsigns, it is not surprising that somemathematicians become semioticians.Peirce, for example, dedicated severalvolumes to analyze the relationshipbetween mathematical objects andmathematical signs (The New Elements ofMathematics, Vols. I, II, III, IV, 1976) as wellas several essays to discuss the essenceof mathematics (for example, the onepublished in Newman’s World ofMathematics, 1956). Peirce definesmathematics as the science that drawsnecessary conclusions and its propositionsas “fleshless and skeletal” requiring for theirinterpretation an extraordinary use ofabstraction. He also considers thatmathematical thought is successful onlywhen it can be generalized. Generalization,he says, is a necessary condition formathematical thinking.

Rotman (2000), inspired by Peirce’s theory,has dedicated a book to definemathematics as a sign. At the beginningof his book, he gives an overarching

definition of mathematics to conclude thatmathematics is essentially a symbolicpractice.

Mathematics is many things; thescience of number and space; thestudy of pattern; an indispensable toolof technology and commerce; themethodological bedrock of thephysical sciences; an endless sourceof recreational mind games; theancient pursuit of absolute truth; aparadigm of logical reasoning; themost abstract of intellectualdisciplines. In all of these and as acondition for their possibility,mathematics involves the creation ofimaginary worlds that are intimatelyconnected to, brought into being by,notated by, and controlled through theagency of specialized signs. One cansay, therefore, that mathematics isessentially a symbolic practice restingon a vast and never-finishedlanguage—a perfectly correct butmisleading description, since bycommon usage and etymology“language” is identified with speech,whereas one doesn’t speakmathematics but writes it. (2000, p.ix, emphasis added).

But where does this symbolic practicecome from? Is mathematics, as anexpression of the symbolic behavior of thehuman species, a part of all cultures?Davis and Hersh (1981) argue thatmathematics is in books, in taped lectures,in computer memories, in printed circuits,in mathematical machines, in thearrangement of the stones at Stonehenge,etc., but first and foremost, they say, it mustexist first in people’s minds. Theyacknowledge that there is hardly a culture,however primitive, which does not exhibitsome rudimentary kind of mathematics.There seems to be a common agreement

227

Relime

among White (1956), Wilder (1973), Bishop(1988), and Radford (2006a) for whommathematics is essentially a culturalsymbolic practice that encapsulates theprogressive accumulation of constructions,abstractions, generalizations, andsymbolization of the human species.Progress, White contends, would have notbeen possible if it were not for the humanability to give ideas an overt expressionthrough the use of different kinds of signs(or what he calls the human symbolicbehavior). He asserts that humancommunication, as the most important andgeneral of all symbolic behaviors, facilitatesnew combinations and syntheses of ideasthat are passed from one individual toanother and from one generation to thenext. White also stresses that mathematicslike language, institutions, tools, the arts,etc. is a cultural expression in the streamof the total culture. In fact, he argues thatmathematics is a synthesizing culturalprocess in which concepts react uponconcepts and ideas mix and fuse to formnew syntheses. For White, culture is thelocus of mathematical reality:

Mathematical truths exist in thecultural tradition in which theindividual is born and so they enterhis mind from the outside. But apartfrom cultural tradition, mathematicalconcepts have neither existence normeaning, and of course, culturaltradition has no existence apart fromthe human species. Mathematicalrealities thus have an existenceindependent of the individual mind,but are wholly dependent upon themind of the species. (1956, pp.2350-2351, emphasis added)

If mathematics is a symbolic practice, thenthe understanding of the nature of signsystems (i.e. the networking of signs oversigns to create new sign-references

according to a particular syntax, grammar,and semantics) is important for theteaching and learning of mathematics.Given that individuals, by nature, possesssymbolic behavior and mathematics is asymbolic practice, then why do somestudents come to dislike mathematics asa subject and very soon fall behind? Ingeneral, semiotics theories give us aframework to understand the mathematicaland the non-mathematical behavior of ourstudents. Among different theoreticalperspectives on semiotics, Peirce’s theoryof signs helps us to understand how wecome to construct symbolic relationshipsbased on associative iconic and indexicalones. A relation is iconic when it makesreference to the similarity between signand object; it is indexical when it makesreference to some physical or temporalconnection between sign and object; andit is symbolic when it makes reference tosome formal or merely agreed upon linkbetween sign and object, irrespective ofthe physical characteristics of either signor object.

Representation and interpretation are twoimportant aspects of Peirce’s theory. Hesees representation as the most essentialmental operation without which the notionof sign would make no sense (Peirce,1903) and considers that the mind comesto associate ideas by means of referentialrelations between the characteristics ofsign-tokens and those of the objects theycome to represent. As for interpretation,he considers that without the interpretationof signs, communicating with the self andwith others becomes an impossible task(Peirce, CP vols. 2 and 4, 1974). That is,without being interpreted, a sign as a signdoes not exist. What exists is a thing orevent with the potential of being interpretedand with the potential of becoming a sign.Metaphorically speaking, a sign is like aswitch; it becomes relevant and its

228


existence becomes apparent only if it isturned on-and-off, otherwise, the switch isjust a thing with the potential to become aswitch. Likewise, a sign-token becomes asign only when its relationship to an objector event is turned on in the flow of attentionof the interpreting mind. That cognitiverelationship between the sign-token andthe interpreting mind is essential in Peirce’ssemiotic theory; in fact, it is whatdistinguishes his theory from other theoriesof signs. He crystallizes this interpretingrelation between the sing-token and theindividual as being the interpretant of thesign. This interpretant has the potential togenerate a new sign at a higher level ofinterpretation and generalization. At thishigher level, the new sign could, in turn,generate other iconic, indexical, orsymbolic relationships with respect to theobject of the sign. However, while theindividual generates new interpretants, theobject represented by the sign undergoesa transformation in the mind of theindividual who is interpreting. That is, theobject of the sign appears to be filtered bythe continuous interpretations of thelearner. In summary, Peirce considers theexistence of the sign emerging both fromthe learner ’s intellectual labor toconceptualize the object of the sign andfrom the construction of this object in thelearner’s mind as a result of his intentionalacts of interpretation.

A sign stands for something to theidea that it produces or modifies. Or,it is a vehicle conveying into themind something from without. Thatfor which it stands is called its object;that which it conveys, its meaning;and the idea to which it gives rise,its interpretant. (CP 1.339; emphasisadded)

By a Sign I mean anything whatever,real or fictile which is capable of a

sensible form, is applicable tosomething other than itself…andthat is capable of being interpretedin another sign which I call itsInterpretant as to communicatesomething that may have not beenpreviously known about its Object.There is thus a triadic relationbetween any Sign, and Object, andan Interpretant. (MS 654. 7)(Quoted in Pamentier, 1985;emphasis added).

Peircean semiotics helps to understandand explain many aspects of thecomplexity of the teaching and learning ofmathematics. For example, teachers’ andlearners’ expressions of theirinterpretations of mathematical signs bymeans of writing, reading, speaking, orgesturing; the interrelationship of themultiple representations of a conceptwithout confounding the concept with anyof its representations; and the dependencyof mathematical notation on interpretation,cultural context, and historical convention.In trying to understand the semiotic natureof the teaching and the learning ofmathematics, the above list about thesemiotic aspects of the teaching-learningactivity is anything but complete.

Brousseau, for example, contends thatmathematicians and teachers both performa “didactical practice” albeit of a differentnature. Mathematicians, he says, do notcommunicate their results in the form inwhich they create them; they re-organizethem, they give them the most generalpossible form; “they put knowledge into acommunicable, decontextualized,depersonalized, detemporalized form”(1997, p. 227). This means, that theyencode their creations using mathematicalsign systems or they create new signs ifnecessary. That is, they objectify orsymbolize their creations (i.e., knowledge

229

Relime

objects) through spacio-temporal signs. Onthe other hand, the teacher undertakesactions in the opposite direction. She,herself, interprets mathematical meaningsembedded in spacio-temporal signs (sign-tokens), decodes conceptual objects, andlooks for learning situations that couldfacilitate the endowment of those sign-tokenswith mathematical meanings in the minds ofthe learners. Thus, mathematicians andteachers of mathematics have a necessaryinterpretative relationship with the signsystems of mathematics (i.e., semioticmathematical systems) because theycontinuously use them to encode, interpret,decode, and communicate the mathematicalmeanings of conceptual objects.

Teacher’s and Learner’sInterpretations and Objectifications

The interpretation of signs is important fortwo reasons. First, signs are not signs ifthey are not interpreted; being a signmeans being a sign of something tosomebody. Second, the meaning of a signis not only in the sign but also in the mindinterpreting that sign. Now the question is:Does a sign objectify? According toPeirce’s definition of signs, the answer isyes. A sign does objectify (i.e., It does maketangible) the object (conceptual or material)that it stands for. However, the sign notonly objectifies but it also communicates(to the interpreting mind) something thathas not been previously known about the

object. Thus, Peirce’s definition of signsimplies a continuous process ofinterpretation and as a consequence, aconcomitant process of gradualobjectification.

Radford (2006b), on the other hand,considers that to objectify is to make visibleand tangible something that could not beperceived before. He definesobjectification as “an active, creative,imaginative, and interpretative socialprocess of gradually becoming aware ofmathematical objects and their properties”.This definition is not in contradiction withPeirce’s definition of signs. Radford (2003)also defines means of objectification as“tools, signs of all sorts, and artifacts thatindividuals intentionally use in social-meaning-making processes to achieve astable form of awareness, to makeapparent their intentions, and to carry outtheir actions to attain the goal of theiractivities” (p. 41). This definition is also inharmony with Peirce’s definition ofinterpretant.

Since mathematical objects make theirpresence manifest only through signs andsign systems, how can teachers helplearners to enter into the world of thesesemiotic systems and break the code, soto speak, to “see” those objects bythemselves? Which mathematical objectsdo learners interpret from signs2? Or better,what “objects” do sign-tokens stand for inthe minds of learners and teachers? Would

Peirce gave several definitions of signs without contradicting previous definitions; instead he extended them. The

invariant in his definitions is the triadic nature of the sign. The variation is in the names he gave to the sign-vehicle/ sign-

token or material representation of the sign. First, he called sign the material representation of the sign, then sign-vehicle,

and then representamen. Some mathematics educators have favored the sign triad object-sign-interpretant, others, like

myself, have favored the sign triad object-representamen-interpretant because it does not use the word sign to indicate,

at the same time, the triad and a term in the triad. In this paper, I use the words representamen, representation, and sign-

token interchangeably. However, Peirce used the term representation in the general sense of being a necessary operation

of the human mind.

2

230


learners and teacher ‘interpret’ the samemathematical objects (i.e., knowledgeobjects) from sign relations in mathematicalsign systems? Who objectifies what? Whatare the “products or effects” of teacher’s andlearners’ interpretations and objectifications?What are the teacher’s interpretations of thelearners’ interpretations? It appears thatteachers’ and learners’ interpretations andobjectifications go hand in hand in theteaching-learning activity. Because of thetriadic nature of the sign, there is a necessaryand concomitant relationship betweenobjectification and interpretation; there is nointerpretation without objectification and noobjectification without interpretation. Inaddition, these two processes are linked to athird concomitant process, the process ofgeneralization.

Mathematicians objectify their creationsinventing new mathematical signs orencoding them, using already establishedsigns and sign systems. Teacher andlearners re-create knowledge objects byinterpreting mathematical signs in a varietyof contexts; by doing so, they undergo theirown processes of objectification. Thereseems to be running, in parallel, threeprocesses of objectification: theobjectification of the teacher, theobjectification of the learners, and theteacher’s objectification of the learners’objectifications. This seems to be acumbersome play with words, although thisis at the heart of the interrelationship betweenteaching and learning. Obviously, teacherand learners objectify, but do they objectifythe same thing? Are these objectificationsisomorphic or at least do they resemble eachother? Is the teacher aware of theseprocesses of objectification? If so, then theteacher has the potential: (a) to question andvalidate her own interpretations andobjectifications; (b) to make hypothesesabout the learners’ objectifications; (c) toquestion the learners to validate her

hypothesis in order to guide their processesof interpretation and objectification; and (d)to differentiate between her interpretationsand objectifications and the learners’interpretations and objectifications.

When teachers and learners engage in theteaching-learning activity, who interpretsand what is interpreted is somewhatimplied, but it is nevertheless tacit, in theprocesses of objectification andinterpretation. Obviously, in one way oranother, teachers appear to play animportant role in the learners’ processes ofinterpretation and objectification. Brousseauappears to indicate these levels ofinterpretation. “The teacher’s work …consists of proposing a learning situation tothe learner in such a way that [the learner]produces her knowing as a personal answerto a question and uses it or modifies it in orderto satisfy the constraints of the milieu [whichis managed by necessary contextual andsymbolic relationships] and not just theteacher’s expectations” (1997, p. 228,emphasis added). Here, Brousseau pointsout the difference between learners’interpretations and teachers’ interpretationsand intentions. The question is whether ornot the teacher ’s intentions andinterpretations are realized in the students’interpretations and objectifications. In otherwords, do the teacher’s and the learners’interpretations and objectifications, at least,resemble each other?

The teacher may design learning situationsto induce learners’ construction ofmathematical objects and relationshipsamong those objects; or the teacher maydesign learning situations in which themathematical object is directly delivered asif it were a cultural artifact ready to be“seen” and memorized by the learners,while saving them the cost of their ownabstractions and generalizations. In thelatter case, the learners could be

231

Relime

objectifying only the iconic or indexicalaspects of the mathematical signs withoutcapturing the symbolic aspects of thosesigns and their symbolic relations with othersigns. In the former case, the learnerscapture both the symbolic aspects of thesigns and their symbolic relations with othersigns. This means that the learner is ableto unfold those signs to “see” not only thesymbolic aspects but also the indexical andiconic aspects embedded in them. Thus,learners and teacher could be interpretingdifferent aspects of the mathematical signs(iconic, indexical, or symbolic) and, inconsequence, interpreting the nature ofmathematical objects from different levelsof generalization and abstraction.

But what is the nature of the mathematicalobjects? How many types of objects couldbe interpreted from mathematical signs?Duval (2006) calls our attention to differenttypes of objects:

(1) Objects as knowledge objects whenattention is focused on the invariant ofa set of phenomena or on the invariantof some multiplicity of possiblerepresentations. Mathematical objectslike numbers, functions, vectors, etc. areall knowledge objects.

(2) Objects as transient phenomenologicalobjects when the focus of attention ison this or that particular aspect of therepresentation given (e.g., shape,position, size, succession, etc.).

(3) Objects as concrete objects when thefocus of attention is only on theirperceptual organization.

Thus given a sign-token (i.e., arepresentamen or a representation), onecould interpret at face value a concrete objectif one focuses strictly on the material aspectsof this semiotic means of objectification

without constructing relationships with otherrepresentations. One could also interpret aphenomenological object if one goes beyondpure perception and focuses on aspects ofthose representations in space and time. Orone could also interpret a knowledge objectif one focuses on the invariant relations in arepresentation or among representations.For example, Duval (2006) considers that thealgebraic equation of a line and its graphcould be seen as phenomenological objectswhen one focuses on the material aspectsof these representations (i.e., iconic andiconic-indexical aspects of the sign-tokensor representations); they could be knowledgeobjects if one focuses on the invariance ofthese representations (i.e., symbolicaspects). Once one is able to interpret andto objectify knowledge objects, one shouldbe able to unfold the phenomenological (i.e.,iconic, iconic-indexical) and material (i.e.,iconic) aspects of those objects. However,if one objectifies only phenomenological andconcrete objects, one would not necessarilycome up with the symbolic aspects of theircorresponding knowledge objects.

In a nutshell, Duval’s characterization of‘objects’ points out the semiotic stumblingblocks of the teaching and learning ofmathematics. In this characterization, themanifestation of a knowledge objectdepends not only on its representation butalso on the human agency of theinterpreter, user, producer, or re-producerof that object. Objects could be either theinterpretation of pure symbolic relationsembedded in the sign-tokens orrepresentations (i.e., knowledge objects orpure signifieds); or they could be purematerial tokens with no signifieds (i.e.,concrete objects or concrete things); orthey could be materially based tokensinterpreted in time and space (i.e.,phenomenological objects). The best casewould be when the knowledge object isobjectif ied in space and time with

232


structured signifieds and with the potentialof being used again in private and inter-subjective conceptual spaces; and, viceversa, when mathematical knowledgeobjects are decoded from the material sign-tokens or representations without escapingtheir extension in space and theirsuccession in time.

As teachers and learners engage in theteaching-learning activity, which objects arethe teacher referring to and which objects arethe learners interpreting, objectifying, andworking with? In the best of all scenarios,teacher and learners could interpret, from thesame sign-token or representation, the sameknowledge object. However, sometimeslearners might only be interpreting concreteobjects (i.e., concrete marks) orphenomenological objects missing, in theprocess, the knowledge object; meanwhilethe teacher might be interpreting that learnersare interpreting knowledge objects. Thissituation would clearly mark a conceptualrupture between teacher and learners.Therefore, interpreting in the classroom isa process that unfolds at three levels: (1)the level of those who send an intentionalmessage (the teacher or the students); (2)the level of those who receive and interpretthe message (the learners or the teacher);and (3) the level of the sender’s interpretationof the receiver’s interpretation. Thus, in theteaching-learning activity, the interpretationprocess is not only a continuous process ofobjectification but it is also a relativeprocess (relative not only to teachers andlearners but also relative to their priorknowledge, not to mention their beliefsabout knowledge and knowing).

Communicating Mathematically as aMeans of Objectification

Communication in the mathematicsclassroom was viewed as depending

exclusively on language (syntax andgrammar), the active and passive lexiconof the participants, and the nature of thecontent of the message (Austin andHowson, 1979). Now, we have becomeaware that communication depends notonly on natural language but also on thespecific sublanguages of different fields ofstudy, on linguistic and non-linguisticsemiotic systems, and on a variety of socialand cultural contexts in which the contentof the message is embedded (Halliday,1978; Habermas, 1984; Bruner, 1986;Vygotsky, 1987; Steinbring et al. 1998).Communication is also influenced by thebehavioral dispositions and expectationsof the participants as well as by theirintersubjective relations of power(Bourdieu, 1991). Thus, perspectives oncommunication, in general, appear to havegained in complexity rather than insimplicity. Hence, perspectives oncommunication in the mathematicsclassroom have changed. Thiscommunication depends on naturallanguage, mathematical sublanguage, andmathematical sign systems that mediateteacher’s and learners’ interpretations ofmathematical objects.

Rotman (2000) points out a special featureof mathematical communication. Hecontends that in order to communicatemathematically, we essentially write. Hecontends that writing plays not only adescriptive but also a creative role inmathematical practices. He asserts thatthose things that are described (thoughts,signifieds, and notions) and the means bywhich they are described (scribbles) makeup each other in a reciprocal manner.Mathematicians, as producers ofmathematics, Rotman says, think theirscribbles and scribble their thinking.Therefore, one is induced to think thatlearners of mathematics should do thesame in order to produce and increase their

233

Relime

personal ‘mathematical wealth’ as aproduct of their own mathematical labor.Such wealth does not accumulate all atonce, but rather, it accumulates graduallyin a synchronic as well as in a diachronicmanner. We will enter the discussion ofmathematical wealth and its synchronic-diachronic formation in the next section.

It appears that communicatingmathematically is first and foremost an actof writing in the form of equations,diagrams, and graphs, supported all alongby the specialized sublanguage ofmathematics (mathematical dictionariesare a living proof that a mathematicalsublanguage exists). We also need toconsider that writing is not an isolated act.Acts of writing are concomitant with acts ofreading, listening, interpreting, thinking, andspeaking. All these acts intervene insemiotic processes of objectificationresulting from personal processes ofinterpretation by means of contextualizationand de-contextualization, concretizationand generalization. That is, communicatingmathematically depends on the synergy ofthe processes of interpretation,objectification, and generalization.

Gay (1980), Rossi-Landi (1980), andDeacon (1997) argue that any semiologicalsystem only has a finite lexicon but itssemantics accounts for an unlimited seriesof acceptable combinations and that someof these combinations propose originalways of describing linguistic andextralinguistic reality. By the same token,the semiotic system of mathematics has afinite number of tokens and a finite set ofaxioms, theorems, and definitions (Ernest,2006). When these elements arecombined, they account for a large numberof acceptable combinations that describeor justify, create or interpret, prove or verify,produce or decode already culturallystructured mathematical objects. In

discovering, constructing, apprehending,reproducing, or creating mathematicalobjects, reading and writing, listening andspeaking become essential means forproducing and interpreting combinations ofreferential relations (whether iconic,indexical, or symbolic) in a space that isboth visible and intersubjective.

Vygotsky (1987) contends that in anynatural language the writing and speakingacts are of different nature. Writing, hesays, is a monological activity in whichcontext is mental rather than physical andtherefore it does not benefit from theimmediate stimulation of others. Thismakes writing a demanding mental activitythat requires not only the syntax andgrammar of the language in use, but alsothe conceptual objects (i.e., knowledgeobjects) to be encoded or decoded usingparticular signs or combination of signs. Incontrast, Vygostsky argues that oraldialogue is characterized by the dynamicsof turn-taking determining the direction ofspeech: in oral dialogue, questions lead toanswers and puzzlements lead toexplanations. Written speech, instead, isnot triggered by immediate responses asin oral dialogue. In writing, the unfoldingof an argument is based much more onthe personal and private labor of theindividual. What Vygotsky argues aboutwritten and oral speech in the context oflanguage can be transferred to the contextof mathematical communication inside andoutside of the classroom. It is one thing toclarify one’s mathematical ideas whendebating them and another to producethem as the result of one’s own isolatedmental labor and personal reflection. Bothtypes of communication are commonlyused among mathematicians (Rotman,2000). In the last decades, oral and writtenmodes of interacting in the classroom havebeen accepted as appropriate ways ofcommunicating mathematically in the

234


classroom (National Council of Teachersof Mathematics, Standards, 2000).

Rotman (2000) also considers that writingand thinking are interconnected and co-terminous, co-creative, and co-significant.There is no doubt that for professionalmathematicians who are in the businessof producing mathematical knowledge thisshould be the case. But are writing andthinking always interconnected, co-creative, and co-significant activities for thelearners? Or are the learners using writingto take into account only the perceptual levelof mathematical signs (i.e., sign-tokens orconcrete objects) to automatically performalgorithmic computations in order to surviveacademically? Do multiple-choice examsinterfere with the development of the learners’thinking-writing capacity? Do teachers makelearners aware that reading, writing, listening,and speaking are effective means ofobjectifying mathematical knowledgeobjects? Do teachers make learners awarethat communicating mathematically is alsoconstituted by justifying in terms ofexplanation, verifications, making validarguments, and constructing proofs?

To communicate mathematically in theclassroom, the teacher has: (a) to flexiblymove within and between different semioticsystems (e.g., ordinary language,mathematical sub-language, mathematicalnotations, diagrams, graphs, gestures, etc.)(Duval 2006); (b) to refer to mathematicalobjects that are other than visible andconcrete (e.g., patterns, variance, andinvariance across concepts) (see forexample, Radford, 2003); (c) to address thelearners in ways that are supposed to bemeaningful to them (see for example,Ongstad, 2006); and (d) to express(verbally and nonverbally) the encodingand decoding of mathematical objects(Ongstad, 2006). Thus communicatingmathematically between teacher and

learners also requires the triad referring-addressing-expressing within and betweenseveral semiotic systems.

Interpreting mathematical signs is, inessence, a dynamic process of objectificationin which the individual gradually becomesaware of knowledge objects represented inverbal, algebraic, visual, and sometimesimaginary representations (Davis and Hersh,1981) and these representations have theirown inherent properties. Becoming awareof knowledge objects through a variety ofrepresentations is in itself a demandingintellectual labor because of thecharacteristics of different representations.Skemp (1987), for example, points outdifferences between visual and verbal/algebraic representations: (1) Visualrepresentations, such as diagrams,manifest a more individual and analog typeof thinking; in contrast, verbal/algebraicrepresentations manifest a more socializedtype of thinking. (2) Visual representationstend to be integrative or synthetic; incontrast, verbal/algebraic representationsare analytical and show detail. (3) Visualrepresentations tend to be simultaneous; incontrast, verbal/algebraic representationstend to be sequential. (4) Visualrepresentations tend to be intuitive; incontrast, verbal/algebraic representationstend to be logical. All these tacitdifferentiations are part and parcel of the tacitknowledge underpinning the classroommathematical discourse and they maycreate difficulties for some learners(Presmeg, 1997). Yet another source oftacit knowledge in the classroom discourseis the variety of speech genres inmathematical discourse, for example,debating, arguing, justifying, and proving(Seeger, 1998). For Rotman, persuading,convincing, showing, and demonstratingare discursive activities with the purposeof achieving intersubjective agreement,generalization, and semiotic objectification.

235

Relime

This kind of tacit knowledge is not evenremotely considered to be a part of theinstitutionalized school curriculum andmany teachers are not even aware of it.The lack of explicitness of the tacitknowledge (expected to be understood bythe learners) contributes to their abrupt andfoggy entrance into the territory of themathematical world, where those who willsuccessfully accumulate ‘mathematicalwealth’ are the ones who have the capacityof making explicit for themselves the tacitunderpinnings of mathematical discourseand the triadic nature of the process ofconceptualization (interpretation,objectification, and generalization).

To summarize, the emergence ofmathematical objects and their meaningsare in no way independent from intentionalacts of interpretation and objectificationmediated by reading and writing, speakingand listening. These acts are essential inthe gradual mathematical growth of themathematical wealth of the learners.Communicating mathematically in terms ofreading, writing, listening, and debatingshould be considered means ofinterpretation and objectification. Hence,knowledge of semiotics appears to be anecessary conceptual tool in the classroom,not only for theoretical and explanatorypurposes but also for pragmatic ones.

Communicating Mathematically andMathematical ‘Wealth’

We would like to consider mathematicalwealth as a metaphor to refer to the learner’scontinuous accumulation of mathematicalknowledge as the product of his intellectuallabor in an intra-subjective or inter-subjectivespace. This mathematical wealth is personal,although socially and culturally constituted,in addition to continuously being in themaking.

As learners initiate and continue theirjourney in a mathematical world (which isplanned by the institutionalized curriculumand/or by the learners’ own interests), theycontinuously invest their existingmathematical wealth in order to increaseits value. This investment is a continuousprocess of evolution, development, andtransformation of the learner’s referentialrelations using signs of iconic, indexical,and symbolic nature. Sign-tokens are notinherently icons, indices, or symbols; theyare so only if interpreted in that way. Thelearner’s interpretation of the referentialrelations of signs is manifested in his verbaland written responses. Say for example,that a learner is capable of keeping inmemory the expression “positive timespositive is positive and negative timesnegative is positive”(*). What is themeaning of this expression for a learner atdifferent phases of his mathematicaljourney? Does it change? Does it remainthe same?

It could be that he has memorized thisexpression as we memorize prayers whenwe are little; they just stick in our mindsand we regurgitate them, even if we do notknow what they mean. It could be that thelearner interprets that expression asfollows: “I remember that with a ‘-’and a ‘-’ I can make a ‘+’’; and with a ‘+’ and a ‘+’ Ican only make a ‘+’”. In these cases, thelearner has only an iconic relationship withthe expression (*). The learner is trying tomake sense by focusing on the physicalresemblances of the sign-tokens. Wouldhe be able to ascend from the level ofhaving an iconic relation with theexpression (*) to the level of having anindexical relation with it? If the learnersays, for example, “I know that 2 times 3is 6 and -2 times -3 is 6”, then the learnerhas an iconic-indexical relation with theexpression (*) because he has a particularcase that, in a way, indicates the possibility

236


of the generality of this statement.However, when the learner comes totransform the above expression into anexpression like “xy>0 only in cases whenx>0 and y>0 or when x<0 and y<0” or to re-cognize that “-x” could be positive ornegative depending on the value of x; thenthe learner has a symbolic relation with theexpression (*). In the latter, the learner hascome to enrich the meaning of theexpression (*) as he works with variablequantities in the context of algebra.

In fact, as the learner comes to develop asymbolic relationship with this expression,or the expression (*) becomes symbolic forthe learner, he will also come to have aniconic and iconic-indexical relationship withit. This is to say that once a learner has asymbolic relation with a sign, he would beable to unfold it into iconic and iconic-indexical relations whenever necessary.But the other way around is not necessarilytrue. A learner, who has an iconic or aniconic-indexical relationship with a sign-token (in this case the expression (*)) maynot necessarily have a symbolicrelationship with it (i.e., the sign-token doesnot yet stand for a knowledge object in themind of the learner). What does this meanin terms of objects? A learner who hasconstructed either a concrete or aphenomenological object may very wellhave not yet constructed a knowledgeobject. However, if the learner hasconstructed a knowledge object, one cansafely infer that he also has constructedthe corresponding concrete andphenomenological objects (i.e., the learnercould be able to deconstruct the knowledgeobject into phenomenological and concreteobjects).

When a learner repeats the expression“positive times positive is positive andnegative times negative is positive”, itmeans that he could have an iconic, an

iconic-indexical, or a symbolic relationshipwith the expression. What is therelationship that the learner hasconstructed? This is not evident until thelearner has the opportunity to use it indifferent contextual situations. How doesthe teacher, who is in charge of guidingthe learner, interpret the kind of relationshipthat the learner has with the expression?The teacher could have a symbolicrelationship with the expression (*) andthink that the learner also has a symbolicrelationship with it. In addition, if theteacher considers that any sign-token orrepresentation is inherently symbolic,independently of the learner ’sinterpretation, she would firmly believe thatthe learner could have only a symbolicrelationship with it. Henceforth, the teacherwill not change her interpretation of thelearner’s interpretation, and this mightrupture the semantic l ink in thecommunication between the teacher andthe learner. The teacher’s expectationswould run at a level higher than the currentlevel of the learner’s possibilities. Thiscould prompt the teacher to misjudge thecapabilities of the learner and to give upon the learner instead of creating newlearning situations to induce theconstruction of the learner’s symbolicrelationship with sign-tokens (in this casethe expression (*)). The worst case wouldbe when the learner stops increasing thevalue of his initial mathematical wealth andsoon falls behind others and with feelingsof not having any intellectual capacity formathematics.

The teacher needs to understand that theexpression (*) or any other sign could haveiconic, iconic-indexical, or iconic-indexical-symbolic meanings for the learner atdifferent points of his mathematical journey.That is, the teacher should be aware thatwhat one routinely calls “symbols” arenothing else than sign-tokens that can be

237

Relime

interpreted at different levels ofgeneralization. The teacher who comesto understand what is symbolic and forwhom, what is iconic-indexical and forwhom, what is iconic and for whom,should also come to see her teachingdeeply rooted in her own learning ofmathematics and in her learning of herstudents’ learning.

A teacher unaware of hers and the learners’possible iconic, indexical, and symbolicrelationships with signs has no grounds formaking hypotheses about the learners’interpretations. Then, the teacher will onlyinterpret her own interpretations but notthose of the learners. That is, the teachercomes to collapse the three levels ofinterpretation (her own interpretation, thelearners’ interpretation, and herinterpretation of the learner’s interpretation)making it only one muddled level that barelyreflects the cognitive reality of thoseinvolved in the teaching-learning activity. Indoing so, the teacher loses cognitivecontact with the learner and thus theopportunity to support his personalprocesses of re-organization andtransformation of his prior knowledge. It isnot surprising, then, that Bauersfeld (1998)noticed that learners are alone in makingtheir own interpretations and that there isa difference between “the matter taught”and “the matter learned”. In our framework,this would translate as the existence of adifference between the matter interpretedby the teacher, the matter taught by theteacher, and the matter interpreted by thelearners.

At any given moment, learners start with aparticular set of mathematicalconceptualizations to be transformed andre-organized. This initial set of conceptualelements, with whatever mathematicalvalue (iconic, indexical, or symbolic) , iswhat we would like to call the initial

mathematical wealth. This wealth, ifinvested in well designed learningsituations using a variety of contexts, willallow the learner to embed iconicrelationships into iconic- indexicalrelationships and to embed iconic-indexical relationships into symbolicones. By doing so, the learner will cometo construct mathematical patterns (atdifferent levels of generalization), andregulated combinations of mathematicalsigns according to the structure of themathematical sign systems he is workingwith at that moment. For example,learners’ generalization, in the naturalnumbers, that multiplication makes biggerand division makes smaller, has to be re-conceptualized or re-organized when theystart working with decimals. Later on,multiplication needs to be generalized asan operation with particular properties.And even later, division needs to be re-cognized and re-organized as a particularcase of multiplication. That is, the learner’srelationship with multiplication and itsresults needs to be transcended andattention needs to be focused on thenature of the operation itself, leavingimplicit the indexicality of particularresults as well as the iconicity of the sign-tokens “times” or “x” (like in 4 times 2 or4x2) used for multiplication in gradeschool. That is, multiplication, in the longrun, should become a symbolic operationin the mind of the learner and not only themere memorization of multiplication factsand the multiplication algorithm.

Hence, the nature of the investment of thelearner’s mathematical wealth resides inhis capacity to produce new levels ofinterpretations and concomitantly newobjects (concrete, phenomenological, andknowledge objects) at different levels ofgenerality (iconic, indexical, or symbolic).This kind of investment increases thelearner’s mathematical wealth and goes

238


beyond the manipulation of “sign-tokens 3”.That is, the value of the investmentincreases as the learner’s interpretation ofsigns ascends from iconic, to iconic-indexical, to iconic-indexical-symbolicalong his recursive and continuouspersonal processes of interpretation,transformation, and re-organization.Moreover, what becomes symbolic at aparticular point in time in the learner’sconceptual evolution could become theiconic or iconic-indexical root of a newsymbolic sign at a higher level ofinterpretation. For example, our middleschool knowledge of the real numbers withthe operations of addition and multiplicationbecomes the root for interpreting, later on,the field structure of real numbers (i.e., theset of real numbers with the operations ofaddition and multiplication constitutes anadditive group and a multiplicative grouprespectively and also the operation ofmultiplication distributives over theoperation of addition).

In summary, learners who becomemathematically wealthy are those who,along the way, are able to interpretknowledge objects from concrete sign-tokens and, in the process, are able totranscend their phenomenological aspects(i.e., iconic-indexical) and ascend tosymbolic relationships with them throughcontinuous acts of interpretation,objectification, and generalization. Nomatter through what lens one sees teachingand learning (i.e., learners discover,construct, or apprehend mathematicalconcepts), this triadic intellectual process(interpretation-objectification-generalization)is in reality a continuous recursivesynchronic-diachronic process in theirintellectual lives. This process is not only

It is worthwhile to notice that the expression manipulation of symbols becomes an oxymoron in Peirce’s theory

of signs and it could be replaced by the expression manipulation of sign-tokens.

2

synchronic. It would be impossible for thelearner to appreciate, all at once, currentand potential meanings embedded incontextual interpretations of mathematicalsigns. Only when the learners havetraveled the mathematical landscape forsome time, they are able to “see” deepermeanings in mathematical signs as theyinterpret them in new contexts and in newrelationships with other signs. Hence, theprocess is also diachronic. In thediachronicity of the process, the learnercomes to understand the meaning potentialof different signs.

Continuity and recurrence (i.e., going backin thought to consider something againunder a new light) is the essence of thissynchronic-diachronic process. Continuityand recursion allow learners (1) to carryon with their personal histories ofconceptual development and evolution and(2) to transcend conceptual experiencesin particular contexts through theobservation of invariance and regularitiesas they see those experiences from newperspectives. That is, the sequentialnature of the synchronic-diachronicprocess upholds all personal acts ofinterpretation, objectif ication, andgeneralization as well as of self-persuasion. Essentially, this is a mediatedand a dialectical process between learner’sknowing and knowledge in the permanentpresence of the continuous flow of time,not only synchronically (in the short livedpresent) but also diachronically (acrosspast, present, and future). As learnerstravel through the world of schoolmathematics, they construct and interpretfor themselves a network of mathematicalconceptualizations that is continuously re-organized through mathematical discourse

239

Relime

(reading, writing, speaking, and listening)and de-contextualized through abstractionand generalization. As the learners’ networksof mathematical conceptualizations becomeincreasingly re-organized and transformedover time, the earlier value of theirmathematical wealth also increases.

Where do Learners Build up andConsolidate their Mathematical

Wealth?

As learners travel through a particularterritory of the mathematical world (e.g., theinstitutionalized school curriculum) theybecome mathematically wealthier becausethey become better acquainted with the insand outs of the territory (i.e., they are ableto produce symbolic interpretations ofsigns, or they relate to signs iconically andindexically but in a systematic manner).Others have a bird’s eye view of the territory(i.e., they are able to produce only isolatediconic, or indexical interpretations of signsor they relate to signs iconically orindexically but in an unsystematic manner)and soon forget they have seen thelandscape because they have made nogeneralizations. Still others are able tofinish their journey traveling on automaticmode (i.e., using calculators andmemorized manipulations) to establish theirown peculiar relationships with themathematical code or mathematicalsemiotic systems. Henceforth, they areable to produce, at best, only iconicinterpretations from signs that soon will beforgotten.

The learners’ mathematical wealth is builtin a socio-cognitive classroom environmentgrounded on collective mathematicaldiscourse as opposed to the unidirectionaldiscourse from the teacher to the students.The quality of this discourse and theteacher’s focus of attention on the learners’

mathematical arguments influence theways in which learners invest theirmathematical wealth and how theybecome mathematically wealthier. It is wellknown that teachers, who are in charge ofdirecting the classroom discourse, guidetheir practices according to conscious orunconscious theoretical perspectives onmathematics and the teaching ofmathematics and they focus their attentionon different aspects of classroomdiscourse. Sierpinska (1998) delineatesthe theoretical perspectives of teacherswithin three ample frameworks:constructivist, socio-cultural, andinteractionist theories. Constructivistperspectives focus primarily on thelearners’ actions and speech while theactions and speech of the teacher are seenas secondary; that is, the constructivistteacher focuses essentially on the learnersand their mathematics. Socio-cultural(i,e.,Vygotskian) perspectives focus on thesocial and historical character of humanexperience, the importance of intellectuallabor, the mediating role of signs as mentaltools, and the role of writing in the individual’sintellectual development; that is, the socio-cultural teacher focuses essentially onculture and mediated socio-cognitiverelations. Interactionist perspectives focuson language as a social practice; that is, theinteractionist teacher focuses essentially ondiscourse and intersubjectivity. Thebehaviorist perspective could be added tothose emphasized by Sierpinska. Thebehaviorist teacher focuses essentially onthe learners’ performance and pays littleattention, if any, to the learners’ ways ofthinking. Finally, eclectic teachers seem tointertwine one or more theoreticalframeworks according to the needs of thelearners and their personal goals asteachers.

In any classroom, one needs to be cautionsabout what could be considered successful

240


classroom communication. Successfulclassroom discourse may not be anindication of successful mathematicalcommunication. Steinbring et al. (1998)contend that learners may be successfulin learning only the rituals of interaction withtheir teachers or the routine and stereotypedframes of communication (like the well-knowninitiation-response-evaluation and funnelingpatterns). This kind of communication, theyargue, leaves the learners speechlessmathematically although keeping theappearance of an exchange of mathematicalideas. Brousseau (1997), and Steinbring etal. (1988), among others, present us withclassical examples in which teachers,consciously or unconsciously, hurry up ormisguide learners’ processes ofinterpretation. Thus, communicatingmathematically is more than simple ritualisticmodes of speaking or the manipulation ofsign-tokens; it is based on a progressivefolding of meaningful interpretations passingfrom iconic, to iconic-indexical, to iconic-indexical-symbolic, and vice versa theunfolding of these relations in the oppositedirection. Or as Deacon (1997) puts it:“symbolic relationships are composed ofindexical relationships between sets ofindices, and indexical relationships arecomposed of iconic relationships betweensets of icons” (p. 75). That is, more complexforms of objectification emerge from simplerforms (i.e., simpler forms are transcended butremain embedded in more complex ones).

This is to say that the learner’s process ofmathematical interpretation is mediated bymathematical sign systems (icons, indexes,or symbols and their logical and operationalrelations) to constitute networks ofconceptualizations and strategies formeaning-making. Communicatingmathematically is, in fact, a continuoussemiotic process of interpretation,objectification, and generalization. Theconstruction of generalizations takes the

learner from simple iconic relations, toindexical relations, and then to symbolicrelation (i.e., folding of iconic relations intoindexical ones, and then embeddingindexical relations into symbolic ones) inorder to make new interpretations and newobjectifications that produce newgeneralizations. Moreover, deconstructinggeneralizations takes the learner in theopposite direction (i.e., unfolding ofsymbolic relations into iconic-indexicalones, and unfolding iconic-indexicalrelations into iconic ones) in order toexemplify, in particular cases, the skeletalinvariance arrived at in generalization. Bothdirections are necessary because,together, they manifest not only therecursive and progressive constructivepower of individual minds but also theymanifest the human and socio-culturalroots of mathematical thinking.

Concluding Remarks

Using a Peircean perspective on semiotics,this paper argues the notion ofmathematical wealth. The initial cognitivemathematical wealth of any learner beginsearly in life. In his years of schooling andwith the guidance of teachers, this initialwealth is progressively invested and itsvalue gradually increased. The processof investment is, in essence, a mediated-dialectical process of decoding a varietyof semiotic systems and, conversely, theencoding of thoughts and actions in thosesemiotic systems that intervene. Suchsystems could be of socio-cultural,pedagogical, or mathematical nature.

For mathematical wealth to increase invalue in the process of investment, thelearner has to decode not only themathematical code but also the tacit codeof socio-cognitive rules of engagement inthe classroom. A priori and implicitly, he is

241

Relime

expected to understand, that reading andwriting, constructing and interpretingmathematical arguments, listening andspeaking, and justifying in the form ofexplanation, verification, and proof arenecessary activities for the learning ofmathematics. He also has to understandthat these activities can effectively mediatethe appropriation and construction ofmathematical meanings from mathematicalsigns and the encoding of his owninterpretations and meaning-makingprocesses back into mathematical signs.

The paper also argues three levels ofinterpretation in the classroom: (a) thelearner’s level of mathematical interpretation;(b) the teacher’s own level of mathematicalinterpretation; and (c) the teacher’s level ofinterpretation of the learners’ mathematicalinterpretations. It is also argued thatmathematical meanings are not only inherentin mathematical signs but also inherent in thelearner’s cognitive relationship with thosesigns. Such relationships could be of aniconic, indexical, or symbolic nature. Theserelationships are not necessarily

disconnected since an iconic relationshipcould ascend and become an indexicalrelationship, and the latter could ascendand become a symbolic relationship. Viceversa, a symbolic relationship could beunfolded into an indexical relationship, andthe indexical relationship could be unfoldedinto an iconic relationship. In fact, whenlearners manipulate sign-tokens, it issometimes necessary, for efficiency, tokeep symbolic relations implicit in one’smind. Keeping the ascending anddescending directions of relationships withsigns and sign systems allow learners tomove from the particular to the general andfrom the general to the particular. Thelearners’ relationships with mathematicalsigns and sign systems are the result ofmediated-dialectical processes betweenthe learner’s knowing and knowledge in thesynchronic and diachronic triadic processof interpretation, objectification, andgeneralization. The reader is referred toRadford (2003) and Sáenz-Ludlow (2003,2004, and 2006) for other instances oflearners’ processes of interpretation,objectification, and generalization.

References

Austin, J. L. & Howson A. G. (1979). Language and mathematical education.EducationalStudies in Mathematics, 10, 161-197.

Bauersfeld, H. (1998). About the notion of culture in mathematics education. In F. Seeger,J. Voigt, & U. Waschescio (Eds.), The culture of the mathematics classroom, (pp. 375-389). Cambridge, UK: Cambridge University Press.

Bishop, A. J. (1988). Mathematical enculturation: A cultural perspective on mathematicseducation. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Bourdieu, P. (1991). Language and symbolic power. Cambridge, Massachusetts: HarvardUniversity Press.

242


Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Edited by NicolasBalacheff, Martin Cooper, Rosamund Sutherland, and Virginia Warfield. Dordrecht, TheNetherlands: Kluwer Academic Press.

Bruner, J. S. (1986). Actual minds, possible worlds. Cambridge, Massachusetts: HarvardUniversity Press.

Davis, P. J. & Hersh, R. (1981). The mathematical experience. Boston: Houghton MifflinCompany.

Deacon, T. (1997). The symbolic species: The coevolution of language and the brain.New York: W. W. Norton & Company.

Duval, R. (2006). The cognitive analysis of problems of comprehension in the learningof mathematics. In A. Sáenz-Ludlow, and N. Presmeg (Eds.), Semiotic perspectives onepistemology and teaching and learning of mathematics, Special Issue, EducationalStudies in Mathematics, 61, 103-131.

Ernest, P. (2006). A semiotic perspective of mathematical activity: The case of number.In A. Sáenz-Ludlow, & N. Presmeg (Eds.), Semiotic perspectives on epistemology andteaching and learning of mathematics, Special Issue, Educational Studies in Mathematics,61, 67-101.

Gay, W. (1980). Analogy and metaphor. Philosophy and Social Criticism, 7(3-4), 299-317.

Habermas, J. (1984). The theory of communicative action. 2. Boston: Beacon Press.

Halliday, M. A. K. (1978). Language as social semiotics. London: Arnold.

National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and Standards of SchoolMathematics. Reston, Virginia: National Council of Teachers of Mathematics.

Ongstad, S. (2006). Mathematics and mathematics education as triadic communication?In A. Sáenz-Ludlow, and N. Presmeg (Eds.), Semiotic perspectives on epistemologyand teaching and learning of mathematics, Special Issue, Educational Studies inMathematics, 61, 247-277.

Parmentier, R. J. (1985). Signs’ place in medias res: Peirce’s concept of semioticmediation. In E. Mertz & R.J. Parmentier (Eds.), Semiotic mediation (pp. 23-48). Orlando,Florida: Academic Press.

Peirce, C. S. (1903). The three normative sciences. In The Essential Peirce, 2, (pp.1893-1913) edited by The Peirce Edition Project, (pp. 196-207). Bloomington, Indiana:Indiana University Press.

243

Relime

Peirce, C. S. (1956). The essence of mathematics. In James R. Newman (Ed.), TheWorld of Mathematics, 3, (pp. 1773-1783), New York: Simon and Schuster.

Peirce, C. S. (1974). Collected Paper (CP). C. Hartshorne, and P. Weiss (Eds.), 1-4.Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. (Reference is made to volumesand paragraphs).

Peirce, C. S. (1976). The New Elements of Mathematics (NEP). Carolyn Eisele (Ed), 1-4. The Hague: Mouton Publishers.

Presmeg, N. C. (1997). Generalization using imagery in mathematics. In L. D. English(Ed.), Mathematical reasoning: Analogies, metaphors, and images (pp. 299-312). Mahwah,New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.

Radford, L. (2003). Gestures, speech, and the sprouting of signs: A semiotic-culturalapproach to learners’ types of generalization. Mathematical Thinking and Learning, 5(1),37-70.

Radford, L. (2006a). The anthropology of meaning. In A. Sáenz-Ludlow, & N. Presmeg(Eds.), Semiotic perspectives on epistemology and teaching and learning of mathematics,Special Issue, Educational Studies in Mathematics, 61, 39-65.

Radford, L. (2006b). Glossary of internal document of the symposium of the SymbolicCognition Group. Vermont, January 3-9, 2006.

Radford, L. (in press). Semiótica cultural y cognición. In R. Cantoral & O. Covián (Eds.),Investigación en Matemática Educativa en Latinoamérica. México.

Rossi-Landi, F. (1980). On linguistic money. Philosophy and Social Criticism, 7(3-4),346-372.

Rotman, B. (2000). Mathematics as sign. Stanford, California: Stanford University Press.

Sáenz-Ludlow, A. (2003). A collective chain of signification in conceptualizing fractions.Journal of Mathematical Behavior, 22, 181-211.

Sáenz-Ludlow, A. (2004). Metaphor and numerical diagrams in the arithmetical activityof a fourth-grade class. Journal for Research in Mathematics Education, 1(35), 34-56.

Sáenz-Ludlow, A. (2006). Classroom interpreting games with an illustration. In A. Sáenz-Ludlow, & N. Presmeg (Eds.), Semiotic perspectives on epistemology and teaching andlearning of mathematics, Special Issue, Educational Studies in Mathematics, 61, 183-218.

Seeger, F. (1998). Discourse and beyond: On the ethnography of classroom discourse.In H. Steinbring, M. G. Bartolini Bussi, & A. Sierpinska (Eds.), Language andcommunication in the mathematics classroom (pp.85-101). Reston, Virginia: National

244


Council of Teachers of Mathematics.

Sierpinska, A. (1998). Three epistemologies, three views of classroom communication:Constructivism, sociocultural approaches, interactionism. In H. Steinbring, M. G. BartoliniBussi, & A. Sierpinska (Eds.), Language and communication in the mathematics classroom(pp. 30-62). Reston, Virginia: National Council of Teachers of Mathematics.

Skemp, R. (1987). The psychology of learning mathematics. Lawrence ErlbaumAssociates.

Steinbring, H., Bartolini Bussi, M. G., & Sierpinska, A. (Eds.) (1998). Language andcommunication in the mathematics classroom. Reston, Virginia: National Council ofTeachers of Mathematics.

Van Dormolen, J. (1986). Textual analysis. In B. Chirstiansen, A. G. howson, & M. Otte(Eds.), Perspectives on mathematics education, (pp. 141-171). Boston: B. ReidelPublishing Company.

Vygotsky, L. S. (1987). Thinking and speech. New York: Plenum Press.

White, L. A. (1956). The locus of mathematical reality: An anthropological footnote. InJames R. Newman (Ed.), The World of Mathematics, 4, (pp. 2348-2364). New York:Simon and Schuster.

Wilder, R. (1973/1968). Evolution of mathematical concepts. Milton Keyness, England:The Open University Press.

Adalira Sáenz-LudlowDepartment of Mathematics and StatisticsUniversity of North Carolina at CharlotteUSA


245

Relime246

247

Everyday and Mathematical Language 100

Years After the Publication of “On

Denoting” by Bertrand Russell

Giorgio T. Bagni 1

RESUMEN

El artículo “On denoting” (en torno a la denotación) de B. Russell, publicado en 1905, esun hito de la reflexión filosófica sobre el lenguaje. En este artículo, examinamos la reacciónde los alumnos, de una frase inspirada de un ejemplo célebre introducido por Russell, yde un aserto expresado en lenguaje matemático. Apartándonos del análisis de los datosexperimentales que encierra la interpretación de los conceptos clásicos de realidad y deracionalidad, proponemos algunas reflexiones que pasan por alto “la objetividadepistémica estándar de la certeza privada hacia la práctica de la justificación en el interiorde una comunidad comunicativa” (J. Habermas). Concluimos que el lenguaje constituyeun momento muy importante en el cual el sentido de una expresión está fijo; sin embargo,mantenemos presente en nuestra mente que “el lenguaje, así como cualquier otro sistemasemiótico, funciona en el interior de una red de significados culturales” (L. Radford).

PALABRAS CLAVE: Lenguaje, justificación, sentido, racionalidad, verdad,validez.

ABSTRACT

The article “On denoting” by B. Russell, published in 1905, is a milestone in philosophicalreflection on language. In the present paper, we examine pupils’ reactions both to asentence inspired by a celebrated example introduced by Russell and to a statementexpressed in mathematical language. We move away from an interpretation ofexperimental data confined to the classical concepts of truth and rationality and proposeinstead some reflections that shift “the standard of epistemic objectivity from the privatecertainty of an experiencing subject to the public practice of justification within acommunicative community” (J. Habermas). We conclude that language is a very importantmoment in which the meaning of an expression is fixed, but we keep in mind that“language, like any other semiotic system, functions inside a cultural network ofsignifications” (L. Radford).

KEY WORDS: Language, justification, meaning, rationality, truth, validity.

Relime, Número Especial, pp. 247-265.

Fecha de recepción: Marzo de 2006/ Fecha de aceptación: Abril de 20061 Department on Mathematics and Computer Science. University of Udine (Italy)

Relime248

RESUMO

O artigo “On denoting” (em torno da denotação) de B. Russell, publicado en 1905, é umsinal da reflexão filosófica sobre a linguagem. Neste artigo, examinamos a reação dosalunos, de uma frase inspirada em um exemplo célebre introduzido por Russell, e deuma afirmação expressada na linguagem matemática. Nos afastando da análise dosdados experimentais que contém a interpretação dos conceitos clássicos de realidade ede racionalidade, propomos algumas reflexiones que passam por alto “a objetividadeepistemica padrão da certeza privada em direção à prática da justificação no interior deuma comunidade comunicativa” (J. Habermas). Concluímos que a linguagem constituium momento muito importante no qual o sentido de uma expressão está fixo; entretanto,mantemos presente em nossa mente que “a linguagem, assim como qualquer outrosistema semiótico, funciona no interior de uma rede de significados culturais” (L. Radford).

PALAVRAS CHAVE: Linguagem, justificação, significado, racionalidade,verdade, validade.

RÉSUMÉ

L’article “On denoting” (De la dénotation) de B. Russell, publié en 1905, est un jalon dela réflexion philosophique sur le langage. Dans cet article, nous examinons la réactiondes élèves à une phrase inspirée d’un célèbre exemple introduit par Russell et à uneassertion exprimée en langage mathématique. En nous écartant de l’analyse des donnéesexpérimentales qui limite l’interprétation aux concepts classiques de vérité et de rationalité,nous proposons quelques réflexions qui amènent « l’objectivité épistémique standardde la certitude privée vers la pratique publique de la justification à l’intérieur d’unecommunauté communicative » (J. Habermas). Nous concluons que le langage constitueun moment très important par lequel le sens d’une expression est fixé, mais nous gardonsprésent à l’esprit le fait que « le langage, ainsi que n’importe quel autre systèmesémiotique, fonctionne à l’intérieur d’un réseau de significations culturelles » (L. Radford).

MOTS CLÉS : Langage, justification, sens, rationalité, vérité, validité.

1. Introduction

Many recent works show that culture andmathematical thinking are strictly linked(see for instance Wartofsky, 1979;Crombie, 1995; Radford, 1997; Furinghetti& Radford, 2002). And language is animportant element in this link. A quotationby Radford (making reference to Ilyenkov,

1977, p. 79) will help us to frame moreprecisely the focus of our work and itseducational relevance: Radford states that“language is one of the means ofobjectification (albeit a very important one),but ... there are also several others”;moreover, “as a means of objectification,

Everyday and Mathematical Language 100 Years After the Publication of “On Denoting” by Bertrand Russell 249

2

language does not objectifyindiscriminately. Language, like any othersemiotic system, functions inside a culturalnetwork of significations, from whencegrammar and syntax draw their meaning”(Radford, 2003a, p. 141; 2003b)2. Thequestion with which we are going to dealin this paper is the following: firstly, can weconsider language as a sort of favourite orabsolute moment in which the meaning ofan expression is fixed? (Let us notice, forinstance, that paradigmatic analysis seeksto identify the different pre-existing sets ofsignifiers which can be related to thecontent of texts: Sonesson, 1998).Secondly, let us remember that, accordingto R. Rorty, the discipline presently calledphilosophy of language has two differentsources: one of them is the cluster ofproblems “about how to systematize ournotions of meaning and reference in sucha way as to take advantage ofquantificational logic”; the latter, explicitlyepistemological, “is the attempt to retainKant’s picture of philosophy as providinga permanent ahistorical framework forinquiry in the form of a theory ofknowledge” (Rorty, 1979, p. 518). In thispaper we are going to discuss, on the basisof some experimental data, whether or notwe can always make reference to a definiteset of meanings for linguistic expressionsand, in particular, to a clear notion of truth.

From the historical viewpoint, G. Vattimopoints out that “almost all the mostimportant and subtle problems ofcontemporary language philosophy wereelaborated and faced, for the first time, inthe Middle Ages” (Vattimo, 1993, p. 640;in this paper the translations are ours). Themedieval doctrine of suppositio is deemedsignificant (Bocenski, 1956, pp. 219-230;

Aristotle distinguished men from animals because of the presence of the logos (logos, often translated by “reason”; but

H.G. Gadamer suggests a proper translation of this term by “language”: Gadamer, 2005, p. 155).

Kneale & Kneale, 1962). According Williamof Shyreswood, “meaning is therepresentation [praesentatio] of an idea in themind. The suppositio is the co-ordination[ordinatio] of the concept under anotherconcept” (Bocenski, 1956, p. 217); PetrusHispanus, too, in his Summulae logicales,pointed out the difference between significatioand suppositio (Geymonat, 1970, I, p. 549;Bagni, 1997); and in his Summa Logicae (I,63, 2) William of Ockham (1281-1349) statedthat the suppositio “is a property belongingto a term, just because [it is included] in aproposition” (Bocenski, 1956, p. 219).

Nevertheless we cannot completely developthis interesting issue through reference to theLogic of the Middle Ages. We shall introducethe subject of our study through a theoreticalframework based upon some elements of20th-century philosophical research: in section2 we shall make reference to the paper Ondenoting by Bertrand Russell (1872-1970),published a century ago, together with itshistorical connection to Meinong and Frege(2.1); some positions of Wittgenstein’s (2.2),Quine’s and Brandom’s (2.3) will allow usto introduce Apel’s and Habermas’approaches (2.4), which are to beconsidered crucial for our work. Throughthese we shall discuss (section 5)experimental data (sections 3 and 4).

2. Theoretical framework

2.1. Frege and Russell

Let us consider first some reflections on“definite descriptions” (Penco, 2004, p. 54):we shall compare some ideas put forwardby Gottlob Frege (1848-1925) and by

Relime250

Russell. In order to introduce the problem,it is recalled that since Aristotle we haveknown that “through language we cancorrectly refer to things that do not exist[...] or to elements whose existence ispossible but that can hardly be proved” (LoPiparo, 2003, p. 165). It is moreover worthmentioning the theoretical approach ofAlexius Meinong (1853-1920), who statedthat “objects of knowledge do notnecessarily exist” (Meinong, 1904, p. 27;Orilia, 2002).

The Fregean approach is based upon theCompositionality Principle (Frege, 1923, p.36), according to which a statementcontaining a term without denotation hasno truth value: for instance, a statementreferring to a non-existing person is neithertrue nor false (Frege, 1892). On thecontrary, according to Russell, statementscontaining definite descriptions (e.g. thecurrent President of the Italian Republic)imply the existence of an individual (Mr.Carlo Azeglio Ciampi) to whom theconsidered property is referred (and thisindividual is unique), at least at the timewhen the sentence is stated (March 2006).The problem is that some definitedescriptions (and names are definitedescriptions too) do not refer to existingindividuals: when we talk about Ares or thefather of Phobos and Deimos we are notmaking reference to an existing individual.

In order to avoid ambiguity, in his articleentitled On denoting, published in Mind acentury ago, Russell suggested making thelogical form of a definite description explicit.So, a proposition like The father of Phobosand Deimos is the Greek god of war wouldbe There is one and only one individual ofwhom it can be said: he is the father ofPhobos and Deimos, and he is the Greekgod of the war. Frege’s and Russell’sapproaches are very different. Let usconsider, for instance, the sentence The

King of France is bald: according to Fregeit is neither true nor false because the termthe king of France has no reference;according to Russell it is false because wecan write it in the form: There is one andonly one king of France and he is bald(Wittgenstein will make reference to asimilar position: Wittgenstein, 1969a, p.173).

Many years after the publication of Ondenoting, P.F. Strawson (1950) underlinedan important distinction between asentence and an utterance and this led usto distinguish between denotation andreference. Denotation links an expressionand what it denotes (taking into accountconventions and linguistic rules); referencelinks an expression and the object to whichthe speaker wants to make reference(Bonomi, 1973; Penco, 2004, p. 84). WithThe King of France is bald, Russell dealsonly with denotation, while Frege considersthe speaker’s idea to make reference to anon-existing object, so he concludes thatthe sentence has no truth value, such areference being impossible. Of course if weconsider a different context, e.g. a legendor a fiction where the king of France isactually bald, we would have to revise ourposition (it should be remembered thataccording to Frege, words must beconsidered only within a proposition: forinstance, Phobos and Deimos couldindicate either the sons of Ares andAphrodite or the satellites of Mars; see:Frege, 1923).

2.2. Wittgenstein: from “Tractatus” to“Philosophical Investigations”

The position of Russell’s most importantpupil, Ludwig Wittgenstein (1889-1951), israther complex because it must be dividedinto two very different periods. In hisTractatus logico-philosophicus (publishedin 1921 with a preface by Russell himself)


Wittgenstein reprises (sometimes critically)and develops some ideas of Frege’s andof Russell’s: while Frege considers naturallanguage as unavoidably imperfect,Russell wants to point out its logical form(Russell, 1910) and Wittgenstein statesthat “in fact, all the propositions of oureveryday language, just as they stand, arein perfect logical order” (Wittgenstein,1922, § 5.5563; but Wittgenstein’s positionexpressed in his Tractatus, reveals sometension; see: Marconi, 2000a, p. 54); so ifour language “looks ambiguous, we mustrecognise that its essence or its true logicalform are hidden” (Penco, 2004, p. 60).

The so-called second Wittgensteinproposed a very different approach (hisPhilosophical Investigations werepublished in 1953, two years after thephilosopher’s death): the meanings ofwords must be identified in their uses withina context. The concept of ‘language-game» is fundamental: it is a context ofactions and words in which an expressionassumes its meaning; so a language gameis both a tool for the study of the languageand the “starting point” where “we canreflect on the language by describing thedifferences and similarities of languagegames, instead of looking for its essence,as done in the Tractatus” (Penco, 2004, p.105; concerning the continuity between thefirst and the second Wittgenstein, see:Marconi, 2000b, pp. 95-101). In addition,Hilary Putnam developed this approachand concluded that the meaning of a wordis to be found in (and in some waysdistributed among) the community ofspeakers (Putnam, 1992).

Let us now examine a remark byHabermas (that we shall reprise later):through his descriptive approach to the useof language, Wittgenstein levels itscognitive dimension; as soon as the truthconditions that we must know in order to

employ propositions correctly are derivedjust from linguistic praxis to which we areused, the difference between validity andsocial value vanishes (Habermas, 1999, p.80): this suggests a revision of the conceptsof ‘validity’ and ‘truth’. Of course Habermas’position must be considered critical: heunderlines that the justification cannot bebased upon life, but rather must be relatedto fundability (Habermas, 1983, p. 80). Weshall reprise this point later.

2.3. Some ideas by Quine and Brandom

Willard Van Orman Quine (1908-2000) makesreference to the modality de dicto and de re(Quine, 1960; Kneale, 1962): “a de re beliefis a belief expressed by the speaker aboutsome properties of a certain object in theworld; a de dicto belief is a belief expressedby the speaker about a proposition” (Penco,2004, p. 161; interesting historical referencescan be found in: von Wright, 1951, pp. 25-28and Prior, 1955, pp. 209-215). For instance,the proposition John believes that Ares is theGreek god of war, referring to a de dicto belief,cannot be replaced by John believes that thefather of Phobos and Deimos is the Greekgod of war: as a matter of fact we cannot besure that John knows that Ares is the fatherof Phobos and Deimos. On the contrary, theproposition about Ares John believes he isthe Greek god of war, referring to a de rebelief, can be replaced by concerning thefather of Phobos and Deimos, John believeshe is the Greek god of war, where the speakercharacterised Ares through a personaldescription, even if John does not know it.Some similar situations have been studiedby Frege (see for instance: Frege, 1892;Origgi, 2000, pp. 110-123) and we shallreprise them in order to discuss ourexperimental data.

Brandom tries to revise some ofWittgenstein’s ideas and proposesreplacing his language games with his

Relime252

‘game of giving and asking for reasons’(Brandom, 1994 and 2000). AlthoughBrandom’s conception of language has beenconsidered restrictive (it does not consideraspects like calling, ordering etc.), hisapproach will be relevant to our research (seemoreover: Habermas, 1999, pp. 102 and140).

2.4. Apel and Habermas

According to Karl-Otto Apel (1987), everyspeaker implicitly makes reference to normsfor meaningful and intelligible discourse, truth(romantic correspondence betweensentence and reality), veracity (correctexpression of the speaker’s state) andnormative correctness (respect of communityrules). As a consequence we are able toacquire the conditions for ‘ideal’communication, which assumes the role ofnormative principle: the discussion’simpartiality and the possibility to reach someagreement among the bargaining partiesdepend on those conditions (see moreoverthe “rational” discussion as introduced inLakoff & Johnson, 1980, p. 111, and the“conversation”, p. 102).

According to Habermas, the rationality ofjudgements does not imply their truth, butonly their justified acceptability in a particularcontext (Habermas, 1999, p. 102). JürgenHabermas distinguishes between the truthof a statement and its rational affirmability(Habermas, 1999, p. 11) and reprises Apel’sideas (criticised in Davidson, 1990) in orderto highlight the fundamental possibility of an‘ideal’ communication: he underlines theimportance of the inclusion in a universal

world of well-ordered interpersonal relations,and the crucial element in order to do that isthe rigorous condition of communication(Habermas, 1999, p. 279).

Intersubjective validity does not derive onlyfrom a convergence that can be observedwith reference to the ideas of differentindividuals: Habermas refers epistemicauthority to a community of practice and notonly to individual experience (Habermas,1999, pp. 136 and 238). The structure of thediscourse creates a connection between thestructures of rationality itself. As a matter offact, it has three different roots, closely relatedone to another: the predicative structure ofknowledge at an institutional level (Cassirer,1958, III, p. 329), the teleological structure ofthe action and the communicative structureof the discourse (Habermas, 1999, p. 99).These Habermasian considerations will bevery important in interpreting ourexperimental data.

3. Methodology

In this work, we are going to analyse thediscussion of a group of students aged 15-16 years (5th class of a Ginnasio-LiceoClassico, in Treviso, Italy) regarding aquestion about the truth of two sentences insome ways similar to The King of France isbald (Russell, 1905)3.

During a lesson in the classroom, pupils weredivided into groups of three pupils each. Thedivision was at random. The researcher (whowas not the mathematics teacher of the pupilsbut who was however present in the

The Ginnasio-Liceo Classico is a school with high educational standards, in which pupils are asked to study many

classical subjects, in disciplines such as Italian Literature, Latin and Greek Literature, History and so on; the mathematical

curriculum is based upon elementary Algebra and Euclidean Geometry, and some basic elements of Logic are included

(in particular, pupils knew the notion of proposition as a ‘statement that can assume one and only one truth value, true or

false’: for instance, sentences including predicates related to subjective evaluations cannot be considered propositions).

3


classroom with the teacher and the pupils)proposed two sentences to the pupils andinvited all the groups to decide if the givensentences were true or false. In particular,we are going to focus on the discussion thatoccurred in one of the groups.

The question was proposed while taking intoaccount the importance of avoiding thesuggestion of a strict dilemma (‘true orfalse?’), forcing the students to give a specificanswer. As we shall see, the first sentence(The King of the inhabitants of the Moon isbald) makes reference to Russell’saforementioned example; after someminutes, the second sentence (1/0+1/0+1is odd) was added, in order to see the effectof asking such kinds of questions insentences expressed in algebraic language4.

4. Experimental data

The researcher writes the first sentence onthe blackboard. The second sentence will beadded after ten minutes:

For each sentence say: Is it a true sentence?Is it a false sentence?

(1) The King of the inhabitants of the Moonis bald (2) …

Discuss your answer in the group and writeit on a sheet of paper.

Here is the (translated) transcription of theconversation that took place in the groupformed by A., B., C.

4.1. Transcription

• [01] A.: (smiles) What is it?

• [02] B.: (in a low voice) The King of the

4 Of course, a full evaluation of this important aspect ought to be based upon particular and detailed research.

inhabitants of the Moon is bald.

• [03] A.: The King of the inhabitants ofthe Moon, what does that mean?

• [04] C.: Well, I say, the Moon issomething with no hair, if we considerthe sun and its beams…

• [05] B.: (ironically) But what are youtalking about?

• [06] C.: No, no, I am joking, there are noinhabitants on the Moon. If they existed,I would be able to state something.

• [07] B.: (looks around) But what does itmean, true or false?

• [08] A.: I do not know who the inhabitantsof the Moon are, and then, come on,there are no inhabitants on the Moonand so there is not a king.

• [09] B.: Then it is false.

• [10] C.: It’s not as easy as it seems, inmy opinion there is something unclear.They are playing with words and so wedon’t understand. Let’s read carefully.There is not a king, and the inhabitants,what does it mean? On the Moon thereis nobody, hence the king of the Moonis the Moon itself.

• [11] A.: Perhaps there are some micro-organisms, something that we cannotsee, entities different from us.

• [12] C.: (gesticulating) Or think, perhapssomeone saw an astronaut with hishelmet, so that he looks bald and whenhe talks about it, so perhaps it is true.

• [13] A.: (sure) No, it is not relevant, itsays the inhabitants of the Moon, itdoesn’t say the Moon or the king of theMoon is false, I mean bald. We must seethe inhabitants and then the king.

• [14] B.: Well, in this case it’s false, thereare no inhabitants, no king, hence ofcourse he’s not bald.

Relime254

• [15] A.: Watch out, perhaps there’s atrap, as he says (C.), perhaps theexercise cannot be done.

• [16] B.: I’ll divide this sentence up: whenI say that the king of the inhabitantsdoes not exist, full stop, it is false, andwhat follows is also false. If I say, later,that he is bald or not, this is notimportant, do you understand?

• [17] A.: (doubtful) So let’s say that thesentence… would be false.

• [18] C.: Yes, the simplest thing to do isto answer that it’s false. But if thequestion deals with a film or a tale witha king of the Moon that is bald, in thattale it’s true.

• [19] A.: Just a moment, it’s better toemphasize the king of the Moon, in ouranswer. The king is false. If we want tosay that the whole sentence is false wemust be able to see the king, with hishair and …

• [20] B.: (interrupting) No, it’s impossibleto see him, he doesn’t exist. (To C.) It’sno tale, otherwise they would have toldus. So it’s false.

• [21] A.: (after a while) In short, one thingis to say that a sentence is false, I saythat something is not true and so thereis something wrong in the sentence.Another thing is to talk about someoneand then say he is, for instance, baldor not; when I talk about a person, Isuppose he exists.

• [22] B.: No, wait, but in your opinion is itenough to say something aboutsomeone who doesn’t exist in order tomake him real? If he doesn’t exist, he’sfalse.

• [23] A.: He is not false, the king; theproblem is whether it’s false that he isbald. Let’s think carefully, beforeanswering. It seems false, but perhapsit’s not so.

• [24] B.: Listen, think about the questionas a whole, they say the king is bald, itcan be false because the king is not baldor because there is no king at all. If wewant it to be true we must have the kingand he must be bald.

• [25] C.: (looking at A., a bit impatient)Come on, it’s clearly false! You makeus wrong, if you say that it’s not false,then it is true, and what do you mean?Do you mean that the inhabitants of theMoon are bald?

• [26] A.: Eh, it’s not true, it’s obvious.However it is not easy to understand.(Looking at B.) No, you are right, let’swrite false, I agree.

Now the Researcher completes the task onthe blackboard:

For each sentence say: Is it a truesentence? Is it a false sentence?

(1) The King of the inhabitants of the Moonis bald (2) 1/0+1/0+1 is odd

Discuss your answer in the group and writeit on a sheet of paper.

• [27] B.: Yes, it’s like before. False.

• [28] A.: (doubtful) Just a moment… ifwe say false, it’s even. Maybe thisexercise is impossible.

• [29] B.: No, why do you think even? It’sdifferent. Here it’s odd, we must look atthis sentence.

• [30] A.: Watch out, it’s not like the firstsentence. And what about if they hadsaid even?

• [31] B.: False. It would be false, 1/0 isnot a number.

• [32] C.: 1/0 means infinity.

• [33] B.: No, the teacher told us it isn’ttrue, 1/0 is impossible.


• [34] C.: It’s not infinity but it’s a veryvery big number. How can I say if it’sodd or even?

• [35] B.: No, no, it’s not a number, it wouldbe very big but actually it doesn’t exist.

• [36] A.: Come on, there is a trick: theymake you think it’s odd because it’s like2+2+1 that would be 5, but the startingnumber doesn’t exist. It’s false, onceagain.

4.2. Interaction flow chart

In the following flow chart (Sfard & Kieran,2001; Ryve, 2004) different arrow directionsare used to distinguish proactive andreactive utterances. In the case considered,the essential connection with everydaylanguage prompted us to avoid thedistinction between object-level andnon-object-level utterances.

In the next section we are going to analyse our experimental data (transcriptions andflow chart) on the basis of our framework.

Relime256

5. Discussion

5.1. First sentence

In [03] A. proposes the problem ofreference and in [04] C. seems to suggestthe possibility of an unusual interpretationof ‘bald’ (“the Moon is something with nohair, if we consider the sun and itsbeams…”). However the student himself,turns back in [06] to a more usual meaning(“No, no, I am joking, there are noinhabitants on the Moon”). A.’s nextutterance, [08], can be connected to theCompositionality Principle: “Come on,there are no inhabitants on the Moon andso there is not a king”.

C.’s utterance [10] is interesting: “they areplaying with words and so we don’tunderstand. Let’s read carefully. There isnot a king, and the inhabitants; what doesit mean? On the Moon there is nobody,hence the king of the Moon is the Moonitself”. He does not recognise the “perfectlogical order” of common language(Wittgenstein, 1922, p. 5.5563): as well as‘referential opacity’ (Quine, 1960), heconsiders the semantic aspect andproposes an unusual suppositio (if “on theMoon there is nobody”, we could say that“the king of the Moon is the Moon itself”).

C.’s next utterance [12] is also interesting(“Or think, perhaps someone saw anastronaut with his helmet, so that he looksbald and when he talks about it, so perhapsit is true”): the communication function ofthe language is explicitly considered(Dummett, 1993, p. 166; see moreover:Habermas, 1999, p. 105) and this is the onepoint in which falsehood, although in de dictomodality, does not refer only to the problemof existence. A’s utterance [13] (“no, it is notrelevant, it says the inhabitants of the Moon,it doesn’t say the Moon or the king of the

Moon is false, I mean bald. We must seethe inhabitants and then the king”) is notcompletely clear, but brings the discussionback to the main question.

Now we can consider the direct comparisonof B.’s ideas with A.’s. In [14] B. says: “well,in this case it’s false, there are noinhabitants, no king, hence of course he’snot bald”. A.’s utterance [15] expressessome doubts (“perhaps the exercise cannotbe done”): he seems to choose a ‘Fregean’approach, and a conclusion avoiding theassignment of a truth value, but in [16] B.expresses his viewpoint further: “I’ll dividethis sentence up: when I say that the kingof the inhabitants does not exist, full stop: itis false, and also what follows is false. If Isay, later, that he is bald or not, this is notimportant, do you understand?” TheCompositionality Principle is once againfollowed, but B. seems to consider a‘Russellean’ denotation. A.’s utterance [17](“so let’s say that the sentence… would befalse”) does not show conviction.

C.’s utterance [18] refers to the importanceof the context (see moreover thesuppositio): now the connection between anexpression’s meaning and its use in acontext is clear: “but if the question dealswith a film or a tale with a king of the Moonthat is bald, in that tale it’s true”.

In [19] A. declares his willingness toaccept the falsehood of the sentenceconsidered, but underlines that it mainlyrefers to the existence of the king of theMoon: “just a moment, it ’s better toemphasize the king of the Moon, in ouranswer. The king is false”. This point isinteresting: like in [17], A. shows a positiveframe of mind with reference to B.’sposition, but according to him “if we wantto say that the whole sentence is false wemust be able to see the king, with his hairand …”.


After B.’s reply [20], taking into account C.’sobjections too (“It’s no tale, otherwise theywould have told us”) and after a while, in[21] A. says: “One thing is to say that asentence is false. I say that something isnot true and so there is something wrongin the sentence. Another thing is to talkabout someone and then say he is, forinstance, bald or not; when I talk about aperson I suppose he exists.” So A. seemsto propose a distinction between a de dictomodality and a de re modality: the pupilwould distinguish a statement like I say thatthe king of the Moon is bald and astatement like I say about the king of theMoon that he is bald (Penco, 2004, p. 191).The second expression, in A.’s opinion,would be divided up in the following way: Iam talking about the king of the Moon and(later) I say he is bald: so the expressionsexamined would bind the speaker.

As we can see from the flow-chart, a directcomparison between A. and B. now resumes([21]-[24]): B.’s reply [22] is interesting (“butin your opinion is it enough to say somethingabout someone who doesn’t exist in order tomake him real?” This brings to mindMeinong’s position according to which“objects of knowledge do not necessarilyexist”: Meinong, 1904, p. 27). Nevertheless,A. is not completely persuaded and certainly,in this ‘ game of giving and asking forreasons’: he acknowledges in [23] theplausibility of B.’s conclusions (“it seemsfalse, but perhaps it’s not so”) but at the sametime confirms his ‘Fregean’ approach (“he isnot false, the king; the problem is whetherit’s false that he is bald”). However, the firstpart of the discussion is about to finish: as amatter of fact, in [24] B. states once againhis ‘Russellean’ viewpoint: “listen, think aboutthe question as a whole, they say the king isbald, it can be false because the king is notbald, or because there is no king at all. If wewant it to be true we must have the king andhe must be bald”.

While [14], [16] and [22] did not completelypersuade A., this utterance is crucial andconclusive (C.’s utterance [25], “come on,it’s clearly false” can be compared with awell-known note of Wittgenstein’s: “all Ishould further say as a final argumentagainst someone who did not want to gothat way, would be: ‘Why, don’t you see…!’– and that is no argument”: Wittgenstein,1956, I,§ 34). In [26], after pointing out thelack of clarity in the expression examined(“Eh, it’s not true, it’s obvious, however it isnot easy to understand”: and A. makesreference to a ‘non-truth’, perhaps in orderto underline its difference from a‘falsehood’) A. accepts B.’s conclusions.

With reference to Apel’s perspective, A.’sdoubts do not seem to be related tocomprehension of the meaning of thediscourse: its ‘truth’ (correspondencebetween sentence and reality) is connectedwith or perhaps set against its normativecorrectness (respect of community rules),mainly if we consider the features of acritical analysis of the sentence itself, of the“definite descriptions” (Penco, 2004, p. 54)that we find in it and of the coordination ofits parts ([24]: “it can be false because theking is not bald, or because there is no kingat all”). If we keep in mind the distinctionbetween the truth of a statement and itsrational affirmability (Habermas, 1999, p.11) and if we interpret ‘correctness’ asacceptability according to rigorousconditions of communication (Habermas,1999, p. 279), we can say that A. is inducedto accept the correctness of the shared finalchoice thanks to the argument developedby the group of students (in particular byB.). We shall reprise these considerationsin the final section of our work.

5.2. Second sentence

B.’s role is now sure and, as shown by theflow-chart, the discussion about the second

Relime258

sentence can be divided into two moments:a first debate between A. and B. ([27]-[31])and a second debate between C. and B.([32]-[35]). In both these moments, B.expresses his positions properly, taking intoaccount the results of the previousdiscussions about the first sentence (seefor instance the utterance [27]).

A.’s doubt [28] is interesting (the utteranceis similar to [15], but now it is based upon adifferent argument). According to A., to saythat ‘1/0+1/0+1 is odd’ is false wouldcorrespond to saying that ‘1/0+1/0+1 iseven’ is true: let us note that a similarargument (to say that ‘The king of theinhabitants of the Moon is bald’ is falsewould correspond to saying that ‘The kingof the inhabitants of the Moon is hairy’ istrue) was not considered by A. in theprevious part of the discussion (only C.’sutterance [25] can be connected to thisargument). Such a difference seems to berelated to the different contexts: themathematical one, with its particularlanguage and symbols, can suggest theuse of tertium non datur.

B.’s strong utterance [31] (“1/0 isn’t anumber”) is very important: the studentinterprets the sentence 1/0+1/0+1 is odd as1/0+1/0+1 is an odd number and, moreprecisely, 1/0+1/0+1 is a number and thisnumber is odd. The first part of thissentence is false (the analogy with B.’sutterance [16] is clear: we have once againa ‘Russellean’ denotation) so all thesentence must be considered false.

The discussion between C. and B. dealswith the ‘nature’ of 1/0: in [32] C. states “1/0 means infinity” and, because of B.’sobjection ([33]: “no, the teacher told us itisn’t true, 1/0 is impossible”), in [34] C.changes his mind and states that “it’s a veryvery big number”, so “how can I say if it’sodd or even?” However in [35] B. points

out: “no, no, it’s not a number, it would bevery big but actually it doesn’t exist” andthe discussion leads A. to accept B.’sjustified position explicitly ([36]: “the startingnumber doesn’t exist. It’s false, onceagain”).

It should be noted that the syntactic structuren+n+1 to which the second sentence makesreference can lead the students to consideran odd number. This element is very relevant,and in our opinion this is the crucial point withreference to the role of algebraic language:in the first sentence, the existence of the kingof the inhabitants of the Moon would haveno consequences about his hair, but now ifn is an integer, n+n+1 would really be anodd number (in [36] A. says that “they makeyou think it’s odd because it’s like 2+2+1that would be 5, but the starting numberdoesn’t exist”). But this factor did notinfluence the students.

6. Concluding remarks

Let us now turn back to the questionsproposed in the Introduction. Clearlyexperimental data can lead us to state onceagain that language is a very importantmoment in which the meaning of anexpression is fixed; but clearly we must alsokeep in mind that “language, like any othersemiotic system, functions inside a culturalnetwork of significations” (Radford, 2003a, p.141). It is impossible to make reference to acompletely sure set of meanings and to asingle, absolute notion of truth (moreover,relevant issues concern the connectionbetween the acquisition of a representation,namely a linguistic one, with the fullconceptual acquisition of an object: D’Amore,2001b; see moreover: Duval, 1998, D’Amore,2001a, 2003a and 2003b).

The experience described brings to minda position held by Putnam (1992) according


to which the meaning (and we are thinkingabout a whole sentence, more than abouta single word) is to be found in thecommunity of the speakers and refers todifferent ways of considering the sentence(and, as we shall see, to the three “differentroots of rationality”: Habermas, 1999, p.99). Rorty notices that a merely ‘subjective’argument must be disregarded by thereasonable partners of a conversation(Rorty, 1979, p. 368): we realized that ameaning has been built by collectivenegotiation, a real ‘game of giving andasking for reasons’ (Brandom, 2000); butin our opinion it is trivial to conclude thatboth arguments by B. and by A. areplausible (Strawson, 1950). As a matter offact, this plausibility of both positions andtheir evolution lead us to posit: is it correctto propose a similar ‘truth evaluation’?

Of course both sentences were ambiguous,while the choice true-false can be consideredonly if the assigned sentence is a real‘proposition’: but how can our pupilsrecognise real ‘propositions’? The traditionalanswer ‘a proposition is a statement thatassumes one and only one truth value’, inthis case, can be circular. Moreover, it isimportant to realize that the ambiguityconsidered is not connected to the structureof the assigned sentences (for instance,3/6+3/6+1 is odd is clearly a… perfectproposition!).

The task considered is neither connectedonly to an isolated epistemic rationality, norrefers only to coherence (Rorty, 1979, p.199; Williams, 1996, p. 267; certain andcoherent proofs can coexist with“conceptual confusion”: Wittgenstein,1953, pp.II-XIV) or analogy: the comparison[27]-[31] demonstrates that the differencein the contexts (the first sentence isexpressed in common language, thesecond refers to a mathematical context)does not authorize us to transfer the truth

value from the first to the second sentenceuncritically. Moreover, the term ‘false’ canhave different values in different contexts(Lakoff & Johnson, 1980 p. 153).

So, should we doubt everything? Thisquestion is misleading (“if you tried to doubteverything you would not get as far asdoubting anything. The game of doubtingitself presupposes certainty”: Wittgenstein,1969b, p. 115; from the logical viewpoint weagree with Lolli, 2005, p. 13-17).Furthermore, a charge of a conventionalisticreduction of the concept of truth would begroundless (Andronico, 2000, p. 252);Wittgenstein himself would reply: “‘So you aresaying that human agreement decides whatis true and what is false?’ – It is what humanbeings say that is true and false; and theyagree in the language they use. That is notagreement in opinions but in form of life”(Wittgenstein, 1953, p. 241).

As noted in 2.4, this position has beenelaborated by some authors. It is importantto consider our traditional notions of ‘truth’and ‘validity’: knowledge’s objectivitycriterion is founded on public praxis insteadof private certainty, so ‘truth’ becomes a‘three members’ concept of validity(Habermas, 1999, p. 239), a validityjustif ied with reference to a public(Schnädelbach, 1992).

The discussion of our experimental datadoes not allow us to conclude only thatworking together (in groups) is useful: sucha conclusion would be induced by ouropting to propose the exercise to somegroups of pupils. The final commondecision of the students was achieved afteran active discussion, and had someconsequences (Habermas, 1999, p. 137;in our case, for instance, the group mustdeclare its decision to the Researcher, tothe Teacher and to other students); so wemust surpass the sphere of propositions

Relime260

(and texts) and take into account thesphere of actions, e.g. in using a predicate(as noticed by Kambartel, 1996, p. 249).With regard to the students’ behavior, thediscussion (in the perspective of a decisionto be taken) seems to interpret thementioned position and to develop thedifferent roots of rationality (Habermas,1999, p. 99). Of course the debate, underthe explicit influence of the text of theassigned exercise, is still far from the ‘ideal’communication described by Habermasand by Apel (C.’s role, for instance, is oftenminor, although his utterances related tothe suppositio are really interesting); inother groups of students, the discussiondeveloped without a final agreement(Lakoff & Johnson, 1980); nevertheless ourexperimental data (in particular utterances[19], [21]-[24], [28]-[31] and [32]-[35], too)enables us to state that the discussion didnot lead the pupils only to a convergenceof different ideas, but to a real change ofviewpoint (see Habermas, 1999, p. 238 e254). This fundamental moment can behighlighted in the utterances [24] and [35].

We would like to make a final reflection:we provided out students with a stimulatingquestion about the truth (and thefalsehood) of some sentences in differentcontexts, and this is quite a traditionalexercise; but how can we speak about‘truth’ with any certainty? Rorty asks himselfif the truth of a sentence can really beconsidered as independent from thecontext of the justification (Rorty, 1994) andour experience seems to bear out hisdoubt: the behavior of some students didchange after the passage from a non-mathematical context to a mathematicalone; for instance, in [28]-[30] and in [36]the influence of algebraic syntax is clear(A.: “they make you think it’s odd becauseit’s like 2+2+1 that would be 5, but thestarting number doesn’t exist”; let usremember that the mathematical

curriculum of the Italian Ginnasio-LiceoClassico includes several chaptersdevoted to algebraic syntax; nevertheless,as previously noted, algebraic language’sgeneral role in pupils’ behavior should beinvestigated more deeply).

Reflection on these issues is important(Lakoff & Johnson, 1980, p. 197-222): adistinction between ‘validation’ (Geltung) and‘validity’ (Gültigkeit) is fundamental and canlead us to weaken the traditional distinctionbetween the ‘validation’ of a statement thatis approved and the ‘validity’ of a statementthat deserves intersubjectiveacknowledgment because it is true(Habermas, 1999, p. 277). If we accept thata truth predicate can be considered (also) inthe language game of the argumentation, wecan point out its importance (also) withreference to its functions in this languagegame and hence in the pragmatic dimensionof a particular use of the predicate(Habermas, 1999, p. 246) and we must takeinto account some important consequences.Truth itself must be related to a particularculture (to a particular language system):probably students belonging to differentcultures would express their arguments in adifferent way (as previously noted, in Italy,the Ginnasio-Liceo Classico is considered aschool with high educational standards).Truth is relative to comprehension, so thereare no points of view allowing us to obtain‘absolutely objective truth’ (Lakoff & Johnson,1980, p. 236 and 283).

Thus, the intercultural aspect must beconsidered and this point is expressed inWittgenstein too: “if anyone believes thatcertain concepts are absolutely the correctones, and that having different ones wouldmean not realizing something that we realize– then let him imagine certain very generalfacts of nature to be different from what weare used to, and the formation of conceptsdifferent from the usual ones will become


intelligible to him” (Wittgenstein, 1953,§ II-XII). This point of view has been examinedby M. Messeri, who concludes: “so thereis something intrinsically misleading inethnocentric behavior according to whichdifferent cultures are incomplete, rough andunsatisfactory” (Messeri, 2000, p. 190).Moreover, some influences of didacticalcontract can be considered: probably

students’ arguments would be different if usedoutside the school, in a different context. So,does the predicate of truth have differentuses? Is ‘school rationality’ different from‘everyday rationality’? What are theconsequences in the educational sphere?Further research can be devoted toexamining these important points moredeeply.

References

Andronico, M. (2000). Giochi linguistici e forme di vita. In Marconi, D. (Ed.), Guida aWittgenstein. Laterza, Roma-Bari, 241-288.

Apel, K.-O. (1987). Fallibilismus, Konsenstheorie der Wahrheit und Letzbegründung. Forumf. Philosophie. Philosophie und begründung. Suhrkamp, Frankfurt a.M., 116-211.

Bagni, G.T. (1997). Elementi di storia della logica formale. Pitagora, Bologna.

Bocenski, J.M. (1956). Formale Logik. Verlag Karl Alber, Freiburg-München (page numbersrefer to the Italian translation: La logica formale. Einaudi, Torino 1972).

Bonomi, A. (1973). La struttura logica del linguaggio. Bompiani, Milano.

Brandom, R. (1994). Making it Explicit. Harvard University Press, Cambridge MA.

Brandom, R. (2000). Articulating Reasons. An Introduction to Inferentialism. Harvard UniversityPress, Cambridge MA.

Cassirer, E. (1958). Philosophie der symbolischen Formen. WBG, Darmstadt.

Crombie, A.C. (1995). Commitments and styles of European scientific thinking. History ofSciences 33, 225-238.

D’Amore, B. (2001a). Une contribution au débat sur les concepts et les objets mathématiques.Scientia Paedagogica Experimentalis XXXVIII, 1, 17-46.

D’Amore, B. (2001b). Conceptualisation, registres de représentations sémiotiques et noétique:interactions constructivistes dans l’apprentissage des concepts mathématiques et hypothèsesur quelques facteurs inhibant la dévolution. Scientia Paedagogica Experimentalis XXXVIII,2, 143-168.

D’Amore, B. (2003a). La complexité de la noétique en mathématiques ou les raisons de ladévolution manqué. For the learning of mathematics, 23(1), 47-51.

Relime262

D’Amore, B. (2003b). The noetic in mathematics. Scientia Pedagogica Experimentalis XXXIX,1, 75-82.

Davidson, D. (1990). The Structure and Content of Truth. The Journal of Philosophy, 87,279-328.

Dummett, M. (1993). Language and Communication. In The Seas of Language. OxfordUniversity Press, Oxford, 166-187.

Duval, R. (1998). Signe et objet (I). Trois grandes étapes dans la problématique des rapportsentre représentation et objet. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 6, 139-163.

Frege, G. (1892). Über Sinn und Bedeutung. Zeitschrift für Philosophie und philosophischeKritik, 100, 25-50 (Senso e riferimento. Senso, funzione e concetto, Laterza, Roma-Bari,2001).

Frege, G. (1923). Logische Untersuchungen, Dritter Teil: Gedankegefuge. Beitrage zurPhilopsophie des Deutschen Idealismus, 3, 36-51 (page numbers refer to Italian translation:Ricerche logiche. Guerini, Milano 1992).

Furinghetti, F. & Radford, L. (2002). Historical conceptual developments and the teaching ofmathematics: from philogenesis and ontogenesis theory to classroom practice. In English L.(Ed.), Handbook of International Research in mathematics education. Erlbaum, Hillsdale,631-654.

Gadamer, H.G. (2005). Linguaggio. Laterza, Roma-Bari.

Geymonat, L. (1970). Storia del pensiero filosofico e scientifico. Garzanti, Milano.

Habermas, J. (1983). Moralbewusstsein und kommunikatives Handeln. Suhrkamp, Frankfurta.M. (page numbers refer to Italian translation: Etica del discorso. Laterza, Roma-Bari 1985).

Habermas, J. (1999). Wahrheit und Rechtfertigung. Philosophische Aufsätze. Suhrkamp,Frankfurt a.M. (page numbers refer to Italian translation: Verità e giustificazione. Laterza,Roma-Bari 2001).

Ilyenkov, E. (1977). The concept of the ideal. In Philosophy in the USSR. Problems of DialecticalMaterialism. Progress Publishers, Moskwa, 71-79.

Kambartel, F. (1996). Universalität, richtig verstanden. Deutsche Zeitschrift für Philosophie,44, 249.

Kneale, W.C. (1962). Modality “De Dicto” and “De Re”. In Nagel, E., Suppes, P. & Tarsky, A.(Eds.), Logic, Methodology and Philosophy of Science, I. The University Press, Stanford,622-633.

Kneale, W.C. & Kneale, M. (1962). The Development of Logic. Clarendon Press, Oxford.


Lakoff, G. & Johnson, M. (1980). Metaphors we live by. University of Chicago Press, Chicago(page numbers refer to Italian translation: Metafora e vita quotidiana. Bompiani, Milano 1998).

Lolli, G. (2005). QED Fenomenologia della dimostrazione. Bollati Boringhieri, Torino.

Lo Piparo, F. (2003). Aristotele e il linguaggio. Laterza, Roma-Bari.

Marconi, D. (2000a). Il Tractatus. In Guida a Wittgenstein. Laterza, Roma-Bari, 15-58.

Marconi, D. (2000b). Transizione. In Guida a Wittgenstein. Laterza, Roma-Bari, 59-102.

Meinong, A. (1904). Über Gegenstandstheorie. In Meinong, A., Ameseder, R. & Mally, E.,Untersuchungen zur Gegenstandstheorie und Psychologie. Barth, Leipzig, 1-50 (pagenumbers refer to Italian translation: Teoria dell’oggetto. Quodlibet, Macerata 2003).

Messeri, M. (2000). Seguire la regola. In Marconi, D. (Ed.), Guida a Wittgenstein. Laterza,Roma-Bari, 151-192.

Origgi, G. (2000). Introduzione a Quine. Laterza, Roma-Bari.

Orilia, F. (2002). Ulisse, il quadrato rotondo e l’attuale re di Francia. ETS, Pisa.

Penco, C. (2004). Introduzione alla filosofia del linguaggio. Laterza, Roma-Bari.

Prior, A.N. (1955). Formal Logic. Oxford University Press, London.

Putnam, H. (1992). Significato, riferimento e stereotipi. In Bottani A. & Penco, C. (Eds.),Significato e teorie del linguaggio. Franco Angeli, Milano.

Quine, W.V.O. (1960). Word and Object. MIT Press, Cambridge MA.

Radford, L. (1997). On psychology, historical epistemology and the teaching of mathematics:towards a socio-cultural history of mathematics. For the Learning of mathematics, 17(1), 26-33.

Radford, L. (2003a). On the epistemological limits of language. Mathematical knowledgeand social practice in the Renaissance. Educational Studies in Mathematics, 52(2), 123-150.

Radford, L. (2003b). On Culture and Mind. A post-Vygotskian Semiotic Perspective, with anExample from Greek Mathematical Thought, In Anderson, M. & Al. (Eds.), EducationalPerspectives on Mathematics as Semiosis. Legas, Ottawa, 49-79.

Rorty, R. (1979). Philosophy and the Mirror of Nature. Princeton University Press, PrincetonNJ (page numbers refer to the German translation: Der Spiegel der Natur. Suhrkamp, Frankfurta.M. 1981).

Relime264

Rorty, R. (1994). Sind Aussagen universelle Geltungsansprüche? Deutsche Zeitschrift fürPhilosophie, 42(6), 975-988.

Ryve, A. (2004). Can collaborative concept mapping create mathematical productivediscourses? Educational Studies in Mathematics, 26, 157-177.

Russell, B. (1905). On Denoting. Mind, 14, 479-493.

Russell, B. (1910). Knowledge by Acquaintance and Knowledge by Description. Proceedingsof the Aristotelian Society, 11, 108-128.

Schnädelbach, H. (1992). Thesen über Geltung und Wahrheit. Zur Rehabilitierung des animalrationale. Suhrkamp, Frankfurt a.M., 104-115.

Sfard, A. & Kieran, C. (2001). Cognition as communication. Rethinking learning-by-talkingthrough multi-faceted analysis of students’ mathematical interactions. Mind, Culture, Activity,8(1), 42-76.

Sonesson, G. (1998). The Concept of Text in Cultural Semiotics. Trudy po znakyvym sistemam- Sign System Studies 26, Tartu University Press, Taru, 88-114.

Strawson, P.F. (1950). On Referring. Mind, 59, 320-344 (Flew, A., Ed.: Essays in ConceptualAnalysis. Macmillan, London 1960, 21-52).

Vattimo, G. (Ed.) (1993). Enciclopedia Garzanti di Filosofia. Garzanti, Milano.

Von Wright, G.E. (1951). An Essay in Modal Logic. North-Holland, Amsterdam.

Wartofsky, M. (1979). Perception, representation and the forms of action: towards an historicalepistemology. In Models. Representation and the scientific understanding. Reidel, Dordrecht,188-209.

Williams, M. (1996).Unnatural doubts. Princeton University Press, Princeton NJ.

Wittgenstein, L. (1922). Tractatus logico-philosophicus. Routledge and Kegan Paul, London.

Wittgenstein, L. (1953). Philosophische Untersuchungen. Blackwell, Oxford.

Wittgenstein, L. (1956). Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik. Blackwell, Oxford.

Wittgenstein, L. (1969a). Philosophische Grammatik. Blackwell, Oxford (page numbers referto the Italian translation: Grammatica filosofica. La Nuova Italia, Firenze 1990).

Wittgenstein, L. (1969b). Über Gewissheit. Blackwell, Oxford.


Giorgio T. BagniDipartimento di Matematica e InformaticaUniversità di UdineItalia


Relime 266

Semiosis as a

Multimodal Process

Ferdinando Arzarello 1

RESUMEN

Las aproximaciones semióticas clásicas resultan ser muy estrechas para investigar losfenómenos didácticos del salón de clase de matemáticas. Además de los recursos semióticosestándares utilizados por los alumnos y los maestros (como los símbolos escritos y el lenguajehablado), otros recursos semióticos importantes son los gestos, las miradas, los dibujos ylos modos extra-lingüísticos de expresión. Sin embargo, estos últimos caben difícilmente enlas definiciones clásicas de los sistemas semióticos. Para superar esta dificultad, en esteartículo adopto una perspectiva vygotskiana y presento una noción extendida de sistemasemiótico, el haz semiótico, que se revela particularmente útil para incluir todas los recursossemióticos que encontramos en los procesos de aprendizaje de las matemáticas. En esteartículo subrayo algunos puntos críticos en la descripción usual de los sistemas semióticos;discuto acerca del paradigma multimodal y encarnado que ha venido emergiendo en losúltimos años en investigaciones realizadas en psicolinguística y neurociencia y analizo losgestos desde un punto de vista semiótico. Luego, introduzco la noción de paquete semióticoy lo ejemplifico a través de un estudio de casos.

PALABRAS CLAVES: Recursos semióticos, encarnamiento, multimodalidad,gestos, inscripciones.

ABSTRACT

Classical semiotic approaches are too narrow to investigate the didactical phenomenain the mathematics classroom. In addition to the standard semiotic resources used bystudents and teachers (e.g. written symbols and speech), other important semioticressources include also gestures, glances, drawings and extra-linguistic modes ofexpressions. However, these semiotic ressurces fit with difficulties within the constraintsof the classical definitions of semiotic systems. To overcome such difficulties I adopt avygotskian approach and present an enlarged notion of semiotic system, the semioticbundle, which reveals particularly useful for framing all the semiotic resources we find inthe learning processes in mathematics. The paper stresses some critical points in theusual description of the semiotic systems; it discusses the multimodal and embodiedparadigm, which is emerging in these last years from researches in psycholinguisticsand neuroscience and analyses gestures from a semiotic point of view. Then it introducesthe notion of semiotic bundle and exemplifies it through a case study.


Fecha de recepción: Junio de 2006/ Fecha de aceptación: Julio de 20061 Dipartimento di Matematica, Università di Torino, Italy.

Relime

KEY WORDS: Semiotic resources, embodiment, multimodality, gestures, inscriptions.

RESUMO

As aproximações clássicas semióticas resultam ser muito limitadas para investigar osfenômenos didáticos de sala de aula de matemática. Além aos recursos padrão dossemióticos usados pelos estudantes e pelos professores (como os símbolos escritos e alíngua falada), outros recursos importantes dos semióticos são os gestos, os olhares, osdesenhos e as maneiras extra-lingüísticas da expressão. Não obstante, estes últimosnão se adaptam bem nas definições clássicas dos sistemas dos semióticos. A fim superaresta dificuldade, neste artigo eu adoto um perspectiva vygotskiana e apresento umanoção estendida do sistema do semiótico ao pacote semiótico que é particularmente útilincluir todos os recursos dos semióticos que nós encontramos nos processos daaprendizagem da matemática. Neste artigo eu enfatizo alguns pontos críticos na descriçãousual dos sistemas semióticos.Discuto sobre o paradigma multimodal e personificadoque tem emergido nos últimos anos das investigações feitas na psicolinguística e naneurociência e analiso os gestos sob um ponto da vista do semiótico. Logo, eu introduzoa noção do pacote do semiótico e a exemplifico com um estudo dos casos.

PALAVRAS CHAVE: Recursos semióticos, significação, multimodalidade, gestos,inscrições.

RÉSUMÉ

Les approches sémiotiques classiques sont trop étroites pour étudier les phénomènesdidactique de la salle de classe de mathématiques. En plus des ressources sémiotiquestraditionnelles (comme les symboles écrits et la langue) utilisées par les élèves et lesenseignants, d’autres ressources sémiotiques importantes comprennent les gestes, lesregards, les dessins et les modes extra-langagiers d’expression. Ces dernières rentrentdifficilement dans les définitions classiques des systèmes sémiotiques. Afin de surmontercette difficulté, dans cet article j’adopte une perspective vygotskienne et je présente unenotion élargie de système sémiotique, le faisceau sémiotique, qui s’avère particulièrementutile afin d’inclure toutes les ressources sémiotiques que nous rencontrons dans lesprocessus d’apprentissage des mathématiques. Dans cet article je souligne quelquespoints critiques concernant la description usuelle des systèmes sémiotiques; j’offre unediscussion du paradigme multimodal et incarné lequel a émergé ces dernières annéesdans le cadre des recherches menées en psycholinguistique et neuroscience. Suite àcela j’analyse les gestes d’un point de vue sémiotique. Après j’introduis la notion depaquet sémiotique et l’exemplifie à travers une étude de cas.

MOTS CLÉS: Ressources sémiotiques, incarnement, multimodalité, gestes,inscriptions.

268

Semiosis as a Multimodal Process

Introduction.

Semiotics is a powerful tool for interpretingdidactical phenomena. As Paul Ernestpoints out,

“Beyond the traditional psychologicalconcentration on mental structuresand functions ‘inside’ an individual itconsiders the personal appropriationof signs by persons within their socialcontexts of learning and signing.Beyond behavioural performance thisviewpoint also concerns patterns ofsign use and production, includingindividual creativity in sign use, andthe underlying social rules, meaningsand contexts of sign use asinternalized and deployed byindividuals. Thus a semiotic approachdraws together the individual andsocial dimensions of mathematicalactivity as well as the private andpublic dimensions. Thesedichotomous pairs of ideas areunderstood as mutually dependentand constitutive aspects of theteaching and learning of mathematics,rather than as standing in relations ofmutual exclusion and opposition.”(Ernest, 2006, p.68)

However, the classical semiotic approachplaces strong limitations upon the structureof the semiotic systems it considers. Theygenerally result in being too narrow forinterpreting the complexity of didacticalphenomena in the classroom. As we shalldiscuss below, this happens for tworeasons:

(i) As observed by L. Radford (2002),there are a variety of semioticresources used by students andteachers, like gestures, glances,drawings and extra-linguistic modes

of expression, which do not satisfythe requirements of the classicaldefinitions for semiotic systems asdiscussed in literature (e.g. seeDuval, 2001).

(ii) The way in which such differentregisters are activated ismultimodal. It is necessary tocarefully study the relationshipswithin and between registers, whichare active at the same moment andtheir dynamics developing in time.This study can only partially be doneusing the classic tools of semioticanalysis.

To overcome these two difficulties, I adopta Vygotskian approach for analyzingsemiotic resources and present anenlarged notion of semiotic system, whichI have called semiotic bundle. Itencompasses all the classical semioticregisters as particular cases. Hence, itdoes not contradict the semiotic analysisdeveloped using such tools but allows usto get new results and to frame the old oneswithin a unitary picture.

This paper is divided into three mainchapters. Chapter 1 summarizes somesalient aspects of (classical) Semiotics: itshows its importance for describinglearning processes in mathematics (§ 1.1),points out two opposite tendencies in thestory of Semiotics, which reveal theinadequacy of the classical approach whenit is used in the classroom (§1.2), anddiscusses the semiotic role of artefacts,integrating different perspectives fromVygotsky to Rabardel (§1.3).

Chapter 2 develops the new concept ofsemiotic bundle (§2.1), discusses themultimodal and embodied paradigm, whichhas emerged in recent years from researchin psycholinguistics and neuroscience

269

Relime

(§2.2), and analyses gestures from asemiotic point of view (§2.3).

Chapter 3 introduces a case study, whichconcretely illustrates the use of semioticbundles in interpreting the didacticalphenomena.

A Conclusion, with some comments andopen problems, ends the paper.

1. The semiotic systems: a criticalapproach

1.1 Semiotics and mathematics

Charles S. Peirce points out a peculiarfeature of mathematics which distinguishesit from other scientific disciplines:

“It has long been a puzzle how itcould be that, on the one hand,mathematics is purely deductive inits nature, and draws its conclusionsapodictically, while on the otherhand, it presents as rich andapparently unending a series ofsurprising discoveries as anyobservational science. Various havebeen the attempts to solve theparadox by breaking down one orother of these assertions, but withoutsuccess. The truth, however,appears to be that all deductivereasoning, even simple syllogism,involves an element of observation;namely, deduction consists inconstructing an icon or diagram, therelations of whose parts shallpresent a complete analogy withthose of the parts of the object of

reasoning, of experimenting uponthis image in the imagination, and ofobserving the result so as to discoverunnoticed and hidden relationsamong the parts. ... As for algebra,the very idea of the art is that itpresents formulae, which can bemanipulated and that by observingthe effects of such manipulation wefind properties not to be otherwisediscerned. In such manipulation, weare guided by previous discoveries,which are embodied in generalformulae. These are patterns, whichwe have the right to imitate in ourprocedure, and are the icons parexcellence of algebra”.(Hartshorne & Weiss, 1933, 3.363;quoted in Dörfler, n.d.).

In fact, mathematical activities can developonly through a plurality of palpableregisters that refer to its ideal objects:

“...the oral register, the traceregister (which includes all graphicstuff and writing products), thegesture register, and lastly theregister of what we can call thegeneric materiality , for lack of abetter word, namely the registerwhere those ostensive objects thatdo not belong to any of the registersabove reside” (2).

(Bosch & Chevallard, 1999, p. 96,emphasis in the original)

These observations are the root of allsemiotic approaches to mathematicalthinking, some of which I shall brieflyreview below.

2 “...[le] registre de l’oralité, registre de la trace (qui inclut graphismes et écritures), registre de la gestualité, enfin

registre de ce que nous nommerons, faute de mieux, la matérialité quelconque, où prendront place ces objets ostensifs

qui ne relèvent d’aucun des registres précédemment énumérés. ”

270


Peirce’s observations point out differentaspects of the semiotic approach:

(i) the introduction of signs, namelyperceivable (spatio-temporal) entities, like“icons or diagrams, the relations of whoseparts shall present a complete analogy withthose of the parts of the object ofreasoning”;

(ii) the manipulation of signs, namely“experimenting upon this image in theimagination” and/or “manipulating it”concretely and “observing the effects ofsuch manipulation”;

(iii) the emergence of rules and of strategiesof manipulation: “in such activities we areguided by previous discoveries, which areembodied in the signs themselves”, e.g. inthe general formulae of algebra, and “thatbecome patterns to imitate in our procedure”.Typical examples are the signs of Algebraand of Calculus, Cartesian graphs, arrowdiagrams in Graph Theory or CategoryTheory, but also 2D figures or 3D modelsin Geometry. Generally speaking, suchsigns are “kind[s] of inscriptions of somepermanence in any kind of medium (paper,sand, screen, etc)” (Dörfler, n.d.) that allow/support what has been sometimes called(e.g. Dörfler, ibid.) diagrammatic reasoning.The paper of Dörfler provides someexamples, concerning Arithmetic, Algebra,Calculus and Geometry. Other examples,albeit with different terminology, are inDuval (2002, 2006).

However, as the quotation from Peirceshows, the semiotic activities are notnecessarily limited to the treatment ofinscriptions since they also deal withimages that are acted upon in imagination(whatever it may mean): “A sign is in aconjoint relation to the thing denoted andto the mind. If this relation is not of adegenerate species, the sign is related to

its object only in consequence of a mentalassociation, and depends upon a habit.”(Hartshorne & Weiss, 1933, 3.360).

I shall discuss this point below after havingconsidered the more standard approachesto semiotic systems, which studyinscriptions (signs in a more or less widesense) and operations upon them. E.g.,according to Ernest (2006, pp. 69-70), asemiotic system consists of threecomponents:

1. A set of signs, the tokens of which mightpossibly be uttered, spoken, written,drawn or encoded electronically.

2. A set of rules of sign production andtransformation, including the potentialcapacity for creativity in producing bothatomic (single) and molecular(compound) signs.

3. A set of relationships between the signsand their meanings embodied in anunderlying meaning structure.

An essential feature of a semiotic systemhas been pointed out by Duval (2002), whointroduced the concept of semioticrepresentations. The signs, relationships andrules of production and transformation aresemiotic representations insofar as they bearan intentional character (this is also evidentin the quotation of Peirce). This intentionalcharacter is not intrinsic to the sign, butconcerns people who are producing or usingit. For example, a footprint in the sandgenerally is not a semiotic representation inthis sense: a person who is walking on thebeach has no interest in producing or notproducing it; however, the footprint thatRobinson Crusoe saw one day was the signof an unsuspected inhabitant of the desertedisland, hence he gave it a semiotic functionand for him the footprint became a semioticrepresentation.

271

Relime

Other important aspects of semioticsystems are their semiotic functions, whichcan be distinguished as transformational orsymbolic (see: Duval, 2002 and 2006;Arzarello et al., 1994).

The transformational function consists inthe possibility of transforming signs withina fixed system or from one system toanother, according to precise rules(algorithms). For example, one cantransform the sign x(x+1) into (x2 + x) withinthe algebraic system (register) or into thegraph of a parabola from the Algebraic tothe Cartesian system. Duval (2002, 2006)calls treatment the first type oftransformation and the second oneconversion. According to Duval (2002),conversions are crucial in mathematicalactivities:

“The characteristic feature ofmathematical activity is thesimultaneous mobilization of at leasttwo registers of representation, orthe possibility of changing at anymoment from one register toanother.”

The symbolic function refers to thepossibility of interpreting a sign within aregister, possibly in different ways, butwithout any material treatment orconversion on it. E.g. if one asks if thenumber n(n+1) is odd or even one mustinterpret n and (n+1) with respect to theiroddity and see that one of the two is alwayseven. This is achieved without anytransformation on the written signs, butrather by interpreting differently the signsn, (n+1) and their mutual relationships: thefirst time as odd-even numbers and thenas even-odd numbers. The symbolicfunction of signs has been described bydifferent authors using different words andfrom different perspectives: C.S. Peirce,C.K.Ogden & I. A. Richards (semiotics); G.

Frege (logic); L. Vygotsky (psychology) andothers: see Steinbring (2005, chapter 1)for an interesting summary focusing on theproblem from the point of view ofmathematics education. The symbolicfunction possibly corresponds to theactivity of “experimenting upon an imagein the imagination”, mentioned by Peirce.All of the aforementioned authors point outthe triadic nature of this function, namelythat it consists in a complex (semiotic)relationship among three differentcomponents (the so called semiotictriangle), e.g. using Frege´s terminology,among the Sense (Sinn), the Sign(Zeichen) and the Meaning (Bedeutung).Peirce spoke of “a triple relation betweenthe sign, its object and the mind”; Frege(1969) was more cautious and avoidedputting forward in his analysis what hecalled the third world, namely thepsychological side.

Semiotic systems provide an environmentfor facing mathematics not only in itsstructure as a scientific discipline but alsofrom the point of view of its learning, sincethey allow us to seek the cognitivefunctioning underlying the diversity ofmathematical processes. In fact,approaching mathematical activities andproducts as semiotic systems also allowsus to consider the cognitive and socialissues which concern didacticalphenomena, as illustrated by the quotationof Ernest in the Introduction.

Transformational and symbolic functionsof signs are the core of mathematics andthey are very often intertwined. I shallsketch here a couple of examples. Aninteresting historical example, where bothtransformational and symbolic functions ofsemiotic registers are present is themethod of completing the square in solvingsecond order equations. This can be donewithin the algebraic as well as the

272


geometric register. Another importantexample of the creative power of thesymbolic function is given by the noveltyof the Lebesgue integral (of a real functionf in an interval [a,b]) with respect to theRiemann one. In the latter, one collectsdata forming the approximating integralsums subdividing the interval [a,b] inintervals , each of length less thansome : the basic signs are the products , where is some value of the functionf in (or its sup or inf in it) and thefinal sum is made considering thevalues i corresponding to all the intervals of the subdivision. In the former, thesubdivision is made considering, for eachvalue l of f, the set of x’s such thatf(x) = l: the basic signs are the products , and the final sum , is made

considering all the values l that the functionassumes while x varies in [a,b].

1.2 Two opposite tendencies

Within the main components of a semioticsystem (signs and operations on them),there is a tension between two oppositemodalities, which is particularly evidentwhen a semiotic lens is used to analysedidactical processes and not onlymathematical products. This tension is infact a by-product of the two contrastingfeatures of mathematics pointed out byPeirce, that is, its apodictic andobservational aspects.

The first one consists in the strongtendency to formalize in mathematics:

“The more important for themathematical practice is theavailability of a calculus whichoperates on diagrams (function terms)and permits to evaluate derivatives,anti-derivatives and integralsaccording to establisheddiagrammatic operation rules. … Here

l ∆ l ∑ l ∆l

∑ li δi

∆ i

liδ i

δi

δli

∆ i

∆ i

∆ l

again we find the striving formanipulable diagrams which can betaken to accurately reflect the relatednon-diagrammatic structures andprocesses.” (Dörfler, n.d.)

Different crucial examples of this tendencyare: the algebraic language, which (Harper,1987) introduced suitable formalism totreat classes of arithmetic problems(equations included); Cartesian geometry,which allowed for the translation of thegeometric figural register into the algebraicone; and arrow-diagrams in CategoryTheory. All such new inscriptional entriesalso allowed for new forms of reasoningand solving problems and hence had astrong epistemological and cognitiveimpact. A culminating case in this tendencytoward formalization consists in the ideaof formal system, elaborated by Hilbert(see Detlefsen, 1986).

The construction of a (formal) axiomatizationin the sense of Hilbert’s formalist programcan be considered another method oftranslating into diagrams. Let us take, forinstance, an axiom system for the structureof real numbers: it consists of formulas in aprecise formal language together with therules inference, e.g. first order predicate logic.These can be viewed as diagrams in thesense intended by Peirce. Proofs andtheorems are then obtained by manipulatingsuch diagrams and observing the outcomesof the manipulations (the logical deductions).One could therefore interpret (formal)axiomatization as a kind ofdiagrammatization (see Dörfler, n.d.).

Moreover, if one looks carefully at somelogical ideas in Mathematical Logicdeveloped at the turn of the twentiethcentury, the tendency toward formalismshows a further mathematical aspect ofsemiotic conversions, namely the idea ofthe interpretation of one theory into

273

Relime

another. As an example, I call to mind thesecond part of the book Foundation ofGeometry (Hilbert, 1962), where Hilberttypically interprets geometrical objects andstatements into real numbers or into somesubfield of reals to build models where somespecific axiom of geometry does not hold. Theconcept of interpretation is the logical andmathematical counterpart of the idea ofconversion from one register to another. Itsroots are in the conversion/interpretation ofone model into another one: typically, theinterpretation of a model for hyperbolicgeometry within the Euclidean model, namelythe Klein disk and the Poincaré disk or half-plain. The rationale behind such logicalapproaches is that the relationships amongobjects represented in different ways withindifferent registers can be shown better in oneregister than in another, exactly because ofthe specificity of the register, possiblybecause of the symbolic function it promotes.For instance, we can note the validity or lessof an axiom of geometry in the usualEuclidean model (first register) or in a modelbuilt using only a subfield of real numbers(second register). A very recent area ofresearch that has developed in line with thisapproach is the project of ReverseMathematics (Sympson, 1999), wheretypically an important theorem T is provedcarefully within a formal system S using somelogical hypothesis H. For example, theHeine-Borel theorem in Analysis using aslogical hypothesis a (weak) form of Königlemma. Reverse Mathematics then tries toanswer to the following ‘reverse’ question:does it exist within S a proof of H using T ashypothesis? Namely, one tries to prove theequivalence between T and H within asuitable system S, namely the equivalencebetween sentences whose meaning is within

two different registers (e.g. the analysis andthe logical one).

The concept of interpretation has carefullyrefined the transformational and symbolicfunctions of mathematical signs during theyears, from the pioneering semanticinterpretations of geometrical models to theelaborate formal theories studied inReverse Mathematics.

On the one hand, this approach hasenlarged the horizon of semiotic systemsfrom within mathematics (innerenlargement): think of the different modelsof reasoning induced by the Calculusinscriptions with respect to those pertainingto the algebraic ones, or to those inducedby the «reasoning by arrows» in CategoryTheory. But on the other hand, it has alsonarrowed the horizon within whichmathematical semiotic activities areconsidered, limiting them to their strictlyformal aspects.

Unfortunately, this is not enough whencognitive processes must be considered,e.g. in the teaching-learning ofmathematics. In such a context, it is thesame notion of signs and of operationsupon them that needs to be consideredwith a greater flexibility and within a widerperspective. In the classroom, oneobserves phenomena which can beconsidered as signs that enter the semioticactivities of students3 but which are notsigns as defined above and are notprocessed through specific algorithms. Forexample, observing students who solveproblems working in group, their gestures,gazes and their body language in generalare also revealed as crucial semiotic

Semiotic Activity is classically defined as any “communicative activity utilizing signs. This involves both sign ‘reception’

and comprehension via listening and reading, and sign production via speaking and writing or sketching.” The main

purpose of the paper is to widen this definition.

3

274


resources. Namely, non-written signs andnon-algorithmic procedures must also betaken into consideration within a semioticapproach. Roughly speaking, it is the samenotion of sign and of operations upon themthat needs to be broadened. In fact, overthe years, many scholars have tried towiden the classical formal horizon ofsemiotic systems, also taking intoconsideration less formal or non formalcomponents.

While formalism represents the firsttendency of the aforementioned tension inSemiotics, these broadening instancesfrom outside mathematics constitute theother tendency (outer enlargement). Thistendency can already be found in thecomplex evolution of the sign definition inPeirce and is also contained in somepioneering observations by Vygotskyconcerning the relationships betweengestures and written signs, such as thefollowing:

“The gesture is the initial visual signthat contains the child’s futurewriting as an acorn contains a futureoak. Gestures, it has been correctlysaid, are writing in air, and writtensigns frequently are simply gesturesthat have been fixed.” (Vygotsky,1978, p. 107; see also: Vygotsky, L.S. 1997, p. 133.).

This was also anticipated by LudwigWittgenstein, who changed his mind aboutthe centrality of propositions in discourseand the role of gestures, passing from theTractatus to the PhilosophischeUntersuchungen, as the following wellknown episode illustrates:

“Wittgenstein was insisting that aproposition and that which itdescribes must have the same‘logical form’, the same ‘logical

multiplicity’, Sraffa made a gesture,familiar to Neapolitans as meaningsomething like disgust or contempt,of brushing the underneath of hischin with an outward sweep of thefinger-tips of one hand. And heasked: ‘What is the logical form ofthat?’ Sraffa’s example produced inWittgenstein the feeling that therewas an absurdity in the insistencethat a proposition and what itdescribes must have the same‘form’. This broke the hold on him ofthe conception that a propositionmust literally be a ‘picture’ of thereality it describes.” (Malcom &Wright, 2001, p. 59)

But it is specifically in some recent researchin the field of Mathematical Education thatsemiotic systems are being studiedexplicitly within a wider (outer) approach(e.g. see: Duval, 2002, 2006; Bosch &Chevallard, 1999; Steinbring, 2005, 2006;Radford, 2003a; Arzarello & Edwards,2005). Such research deepens the originalapproaches by people like Peirce, Frege,Saussurre, Vygotsky and others.

I will sketch some examples: the semioticmeans of objectification, the notion ofsemiotic systems (both due to LuisRadford), the concept of RepresentationalInfrastructure (due to J. Kaput and to R.Noss) and the so-called extra-linguisticmodes of expressions (elaborated bypsycholinguists). Radford introduces thenotion of semiotic means of objectificationin Radford (2003a). With this seminalpaper, Radford makes explicit the necessityof entertaining a wider notion of semioticsystem. He underlines that:

“Within this perspective and from apsychological viewpoint, theobjectification of mathematicalobjects appears linked to the

275

Relime

individuals’ mediated and reflexiveefforts aimed at the attainment of thegoal of their activity. To arrive at it,usually the individuals have recourseto a broad set of means. They maymanipulate objects (such as plasticblocks or chronometers), makedrawings, employ gestures, writemarks, use linguistic classificatorycategories, or make use ofanalogies, metaphors, metonymies,and so on. In other words, to arriveat the goal the individuals rely on theuse and the linking together ofseveral tools, signs, and linguisticdevices through which they organizetheir actions across space and time.”

Hence he defines this enlarged system assemiotic means of objectification, that is:

“These objects, tools, linguisticdevices, and signs that individualsintentionally use in social meaning-making processes to achieve astable form of awareness, to makeapparent their intentions, and tocarry out their actions to attain thegoal of their activities.”

The semiotic means of objectificationconstitute many different types of signs (e.g.gestures, inscriptions, words and so on).They produce what Radford calls contextualgeneralization, namely a generalization whichstill refers heavily to the subject’s actions intime and space and in a precise context, evenif he/she is using signs that have ageneralizing meaning. In contextualgeneralization, signs have a two-fold semioticnature: they are going to become symbolsbut are still indexes. We use these terms inthe sense of Peirce (see: Hartshorne, C. &Weiss, 1933): an index gives an indication ora hint on the object, like an image of theGolden Gate makes you think of the town ofSan Francisco (“it signifies its object solely

by virtue of being really connected with it”,Hartshorne & Weiss, 1933, 3.361). Asymbol is a sign that contains a rule in anabstract way (e.g. an algebraic formula).

The semiotic means of objectification alsoembody important cultural features. In thissense, Radford speaks of semioticsystems of cultural meanings (Radford, thisvolume; previously called Cultural SemioticSystems, Radford, 2003a), that is, thosesystems which make available variedsources for meaning-making throughspecific social signifying practices; suchpractices are not to be considered strictlywithin the school environment but withinthe larger environment of society as awhole, embedded in the stream of itshistory. Furthermore, cultural semioticsystems are an example of outerenlargement of the notion of semioticsystem.

A similar example of enlargement of thenotion of semiotic system is the conceptof representational infrastructure,introduced by J. Kaput et al. (2002), whichexploits some cultural and social featuresof signs. Discussing the appearance ofnew computational forms and literaciesthat are pervading the social and economiclives of individuals and nations alike, theywrite:

“…The real changes are nottechnical, they are cultural.Understanding them… is a questionof the social relations amongpeople, not among things. Thenotational systems we use topresent and re-present our thoughtsto ourselves and to others, to createand communicate records acrossspace and time, and to supportreasoning and computationconstitute a central part of anycivilization’s infrastructure. As with

276


infrastructure in general, it functionsbest when it is taken for granted,invisible, when it simply ‘works’.”(Kaput et al., 2002, p. 51).

An example both of cultural semioticsystem and of representationalinfrastructure, discussed in Radford(2003a) and in Kaput et al. (2002), consistsin the developing of algebraic symbolism,which “in more than one millenniumgradually freed itself from written naturallanguage and developed within arepresentational infrastructure”.

As a last example of a broader notion ofsemiotic system, I refer to the distinctionmade by psycho-linguists betweenlinguistic and extra-linguistic modes ofexpression. They describe the former asthe communicative use of a sign system,the latter as the communicative use of aset of signs (Bara & Tirassa, 1999):

“Linguistic communication is thecommunicative use of a symbolsystem. Language is compositional,that is, it is made up of constituentsrather than parts... Extra-linguisticcommunication is thecommunicative use of an open setof symbols. That is, it is notcompositional: it is made up of parts,not of constituents. This makes forcrucial differences from language...”

1.3 The semiotic mediation of artefacts

In keeping with this perspective, artefactsas representational infrastructures alsoenter into semiotic systems. Realizing thesemiotic similarity between signs andartefacts constitutes a crucial step in thestory of outer semiotic enlargements. This

similarity has two aspects. One isergonomic and is properly focused if oneconsiders the dialectic between artefactand instrument developed by Verillon &Rabardel (1995) who introduced the notionof instrumental genesis. The other ispsychological and has been pointed out byVygotsky, who described the dialecticrelationships between signs andinstruments by what he called process ofinternalization. I shall describe both insome detail since they allow us tounderstand more deeply the relevance ofthe outer enlargements sketched aboveand are at the basis of my definition ofsemiotic bundle, which I shall introducebelow.

Let me start with the ergonomic theory ofVerillon and Rabardel4: an artefact has itsschemes of use (for example, the rulesaccording to which one must manage acompass or a software) and as such itbecomes an instrument in the hands of thepeople who are using it. This idea developsin a fresh way the notion of transformationon a semiotic system. In the ergonomicapproach, the technical devices areconsidered with two interpretations. On theone side, an object has been constructedaccording to a specific knowledge thatassures the accomplishment of specificgoals; on the other side, a user interactswith this object, using it (possibly indifferent ways). The object in itself is calledan artefact, that is, a particular object withits features realized for specific goals andit becomes an instrument, that is, anartefact with the various modalities of use,as elaborated by the individual who is usingit. The instrument is conceived as theartefact together with the actions made bythe subject, organized in collections ofoperations, classes of invariants and

4 This part of the paper is taken from Arzarello & Robutti (2004).

277

Relime

utilizations schemes. The artefact, togetherwith the actions, constitutes a particularinstrument: thus, the same subject can usethe same artefact as different instruments.

The pair instrument-artefact can be seenas a semiotic system in the wider sense ofthe term. The instrument is produced froman artefact introducing its rules of use and,as such, it is a semiotic representation withrules of use that bear an intentional character:it is similar to a semiotic representation. Assemiotic representations, instruments canplay a fundamental role in the objectificationand in the production of knowledge. Forexample: the compass is an artefact whichcan be used by a student to trace a circle asthe locus of points in a plane at the samedistance from a fixed point. A cardboard diskcan be used for the same purpose as thecompass, but the concept of circle inducedby this use may be different.

The transformation of the artefact into aninstrument is made through suitabletreatment rules, e. g. for the compass, theaction of pointing it at a point and tracing acurve with a fixed ray; for the cardboarddisk, the action of carefully drawing a linealong its border. In a similar way, studentslearn to manage algebraic symbols: thesigns of Algebra or of Analysis, e.g., a2-b2

or Dx2, are transformed according tosuitable treatment rules, e.g. thoseproducing (a+b)(a-b) or 2x. Just like anartefact becomes an instrument whenendowed with its using rule, the signs ofAlgebra or of Analysis become symbols,namely signs with a rule (recall the Peircenotion quoted above), because of theirtreatment rules (see also the discussion

about techniques and technologies inChevallard, 1999).

In both cases, we get semiotic systemswith their own rules of treatment. As thecoordinated treatment schemes areelaborated by the subject with her/hisactions on/with the artefacts/signs, therelationship between the artefact/signs andthe subject can evolve. In the case ofconcrete artifacts, it causes the so-calledprocess of instrumental genesis, revealedby the schemes of use (the set of organizedactions to perform a task) activated by thesubject. In the example above, theknowledge relative to the circle isdeveloped through the schemes of use ofthe compass or of the cardboard. In thecase of algebraic signs, the analogous ofthe instrumental genesis produced bysyntactic manipulations may producedifferent types of knowledge relative to thenumerical structures (see the notion oftheory as emerging from the techniquesand the technologies, discussed inChevallard, 1999). Hence, the ergonomicanalysis points to an important functionalanalogy between artefacts and signs 5.

Within a different perspective, Vygotskyhad also pointed out a similar analogybetween tools 6, which can support humanlabour, and signs, which can uphold thepsychological activities of subjects:

“...the invention and use of signs asauxiliary means of solving a givenpsychological problem (to remember,compare something, report, chooseand so on) is analogous to theinvention of tools in one psychological

5 A similar analogy is achieved within a different framework by Chevallard (1999).

In the Cambridge Dictionary, a tool is defined as “something that helps you to do a particular activity”, an instrument is

“a tool that is used for doing something”, while an artefact is an “object”. Following this definition, I consider the instrument

as a specific tool.

6

278


respect. The signs act as instrumentof psychological activity in a manneranalogous to the role of a tool inlabour.” (Vygotsky, 1978, p. 52)

As I anticipated above, this commonapproach to signs and tools is based on thenotion of semiotic mediation 7, which is at thecore of the Vygotskian frame: for a surveysee Bartolini & Mariotti (to appear) a paperfrom which I take some of the followingcomments.

Vygotsky pointed out both a functionalanalogy and a psychological differencebetween signs and instruments. Theanalogy is illustrated by the followingquotation, which stresses their semioticfunctions:

“...the basic analogy between signand tools rests on the mediatingfunction that characterizes each ofthem” (ibid., p. 54).

The difference between signs and tools isso described:

“the tool’s function is to serve as theconductor of human influence on theobject of activity; it is externallyoriented...The sign, on the otherhand, changes nothing in the objectof a psychological operation. It is ameans of internal activity aimed atmastering oneself: the sign isinternally oriented.” (ibid., p. 55)

This distinction is central in the Vygotskyanapproach, which points out thetransformation from externally orientedtools to internally oriented tools (oftencalled psychological tools) through theprocess of internalization. According to

7 It is described in Vygotsky (1978, especially p. 40 and ff).

Vygotsky, in the process of internalization,interpersonal processes are transformedinto intrapersonal ones. The process ofinternalization (through which the ‘plane ofconsciousness’ is formed, see Wertsch &Addison Stone, 1985, p.162) occursthrough semiotic processes, in particularby the use of semiotic systems, especiallyof language, in social interaction:

“...the Vygotskian formulationinvolves two unique premises...First,for Vygotsky, internalisation isprimarly concerned with socialprocesses. Second, Vygotsky’saccount is based largely on theanalysis of the semiotic mechanisms,especially language, that mediatesocial and individualfunctioning....Vygotsky’s account ofsemiotic mechanisms provides thebridge that connects the external withthe internal and the social with theindividual...Vygotsky’s semioticmechanisms served to bind his ideasconcerning genetic analysis and thesocial origins of behaviour into anintegrated approach...it is bymastering semiotic mediatedprocesses and categories in socialinteraction that human consciousnessis formed in the individual” (Wertsch& Addison Stone, 1985, pp.163-166)

As Bartolini Bussi & Mariotti (Bartolini &Mariotti, to appear) point out, Vygotskystresses the role and the dynamics ofsemiotic mediation: first, externally oriented,a sign or a tool is used in action to accomplisha specific task; then, the actions with the signor the tool (semiotic activity, possibly underthe guidance of an expert), generate newsigns (words included), which foster theinternalization process and produce a new

279

Relime

psychological tool, internally oriented,completely transformed but still maintainingsome aspects of its origin.

Vygotsky describes such dynamics withoutany reference to mathematics; hence, hisobservations are general; many recentstudies have adapted his framework to fitthe specificity of mathematics (e.g. seeRadford, 2003a; Bartolini & Mariotti, toappear).

2. A new theoretical frame: thesemiotic bundle

2.1 Definition and examples

My framework is also specific formathematics; it allows for better combiningthe two issues described above, the onefrom semiotics, in the spirit of the quotedErnest definition of semiotic systems, andthe other from psychology, according to theVygotskian approach. Both pictures areessential for analyzing the learningprocesses in mathematics; they are hereintegrated within a wider model.

On the one hand, it is necessary to broadenthe notion of semiotic system in order toencompass all the variety of phenomenaof semiotic mediation in the classroom, asalready suggested by Radford, whointroduced a new notion of semiotic system:

The idea of semiotic system that Iam conveying includes classicalsystem of representations – e.g.natural language, algebraicformulas, two or three-dimensionalsystems of representation, in otherterms, what Duval (2001) callsdiscursive and non-discursiveregisters – but also includes moregeneral systems, such as gestures(which have an intuitive meaning

and to a certain extent a fuzzysyntax) and artifacts, like calculatorsand rulers, which are not signs buthave a functional meaning.(Radford, 2002, p. 21, footnote 7).

On the other hand, the psychologicalprocesses of internalization, so importantin describing the semiotic mediation ofsigns and tools, must fill a natural placewithin the new model.

A major step towards the common frameconsists in reconsidering the notion ofsemiotic system along the lines suggestedby Radford. Once we have a more suitablenotion of semiotic system, we shall comeback to the Vygotskian approach and showthat this fresh notion encompasses itproperly, allowing for a deeperunderstanding of its dynamics.

This fresh frame takes into account theenormous enlargement of the semioticsystems horizon, both from the inner andfrom the outer side that has been describedabove. Once the semiotic systems havebeen widened to contain gestures,instruments, institutional and personalpractices and, in general, extra-linguisticmeans of expression, the same idea ofoperation within or between differentregisters changes its meaning. It is nolonger a treatment or conversion (using theterminology of Duval) within or betweensemiotic representations according toalgorithmic rules (e.g. the conversion fromthe geometric to the Cartesian register).On the contrary, the operations (within orbetween) must be widened to alsoencompass phenomena that may not bestrictly algorithmic: for example, practiceswith instruments, gestures and so on.

At this point of the discussion, the abovedefinition by Ernest can be widened toencompass all the examples we have

280


given. We thus arrive at the notion that Ihave called semiotic bundle (or bundle ofsemiotic sets). To define it, I need first thenotion of semiotic set, which is a wideningof the notion of semiotic system.

A semiotic set is:

a) A set of signs which may possibly beproduced with different actions thathave an intentional character, such asuttering, speaking, writing, drawing,gesticulating, handling an artefact.

b) A set of modes for producing signs andpossibly transforming them; suchmodes can possibly be rules oralgorithms but can also be more flexibleaction or production modes used by thesubject.

c) A set of relationships among thesesigns and their meanings embodied inan underlying meaning structure.

The three components above (signs,modes of production/transformation andrelationships) may constitute a variety ofsystems, which span from thecompositional systems, usually studied intraditional semiotics (e.g. formallanguages) to the open sets of signs (e.g.sketches, drawings, gestures). The formerare made of elementary constituents andtheir rules of production involve both atomic(single) and molecular (compound) signs.The latter have holistic features, cannot besplit into atomic components, and themodes of production and transformationare often idiosyncratic to the subject whoproduces them (even if they embodydeeply shared cultural aspects, accordingto the notion of semiotic systems of culturalmeanings elaborated by Radford, quotedabove ). The word set must be interpretedin a very wide sense, e.g. as a variablecollection.

A semiotic bundle is:

(i) A collection of semiotic sets.(ii) A set of relationships between the sets

of the bundle.

Some of the relationships may haveconversion modes between them.

A semiotic bundle is a dynamic structurewhich can change in time because of thesemiotic activities of the subject: for example,the collection of semiotic sets that constituteit may change; as well, the relationshipsbetween its components may vary in time;sometimes the conversion rules have agenetic nature, namely, one semiotic set isgenerated by another one, enlarging thebundle itself (we speak of geneticconversions).

Semiotic bundles are semioticrepresentations, provided one considers theintentionality as a relative feature (see theabove comment on the sand footprint).

An example of semiotic bundle isrepresented by the unity speech-gesture. Ithas been a recent discovery that gesturesare so closely linked with speech that “weshould regard the gesture and the spokenutterance as different sides of a singleunderlying mental process” (McNeill, 1992,p.1), namely “gesture and language are onesystem” (ibid., p.2). In our terminology,gesture and language are a semiotic bundle,made of two deeply intertwined semiotic sets(only one, speech, is also a semiotic system).Research on gestures has uncovered someimportant relationships between the two (e.g.match and mismatch, see Goldin-Meadow,2003). A semiotic bundle must not beconsidered as a juxtaposition of semioticsets; on the contrary, it is a unitary systemand it is only for the sake of analysis that wedistinguish its components as semiotic sets.It must be observed that if one limits oneself

281

Relime

to examining only the semiotic systems andtheir bundles, many interesting aspects ofhuman discourse are lost: only byconsidering bundles of semiotic sets cannew phenomena be discovered.

This wider approach is particularly fruitfulwhen the processes and activities of peoplelearning mathematics are scrutinized. In theresearch carried out by the Turin team8 weinvestigate semiotic bundles made ofseveral semiotic sets: e.g. gesture, speechand written inscriptions (e.g. mathematicalsymbols, drawings). The results consist indescribing some of the relationships andconversion rules within such a complexbundle.

Semiotic bundles allow us to frame theVygotskian notion of semiotic mediationsketched above in a more comfortablesetting. The dynamics in the process ofinternalization, according to Vygotsky, isbased on semiotic activities with tools andsigns, externally oriented, which producenew psychological tools, internally oriented,completely transformed but still maintainingsome aspects of their origin. According toVygotsky, a major component in thisinternalization process is language, whichallows for the transformations. Moreover,such transformations ‘curtail’ the linguisticregister of speech into a new register:Vygotsky calls it inner speech and it has acompletely different structure. This hasbeen analyzed by Vygotsky in the last (7th)chapter of Thought and Language

(Vygotsky, 1992), whose title is Thoughtand Word. Vygotsky distinguishes twotypes of properties that allow us todistinguish the inner from the outerlanguage: he calls them structural andsemantic properties.

The structural properties of the innerlanguage are its syntactic reduction andits phasic reduction: the former consists inthe fact that inner language reduces to purejuxtaposition of predicates minimizing itssyntactic articulation; the latter consists inminimizing its phonetic aspects9, namelycurtailing the same words.

According to Vygotsky’s frame, thesemantic properties of the inner languageare based on the distinction made by theFrench psychologist Frederic Pauhlanbetween the sense and the meaning of aword and by “the preponderance of thesense [smysl] of a word over its meaning[znachenie]” (Vygotsky, 1978, p. 244):

“the sense is...the sum of all thepsychological events aroused in ourconsciousness by the word. It is adynamic, fluid, complex whole,which has several zones of unequalstability. Meaning is only one of thezones of sense, the most stable andprecise zone. A word acquires itssense from the context in which itappears; in different contexts, itchanges its sense. ” (ibid., p. 244-245).

This is being done by our colleagues Luciana Bazzini and Ornella Robutti, by some doctoral and post-doc students,

like Francesca Ferrara and Cristina Sabena, and by many teachers (from the elementary to the higher school level) that

participate actively to our research, like Riccardo Barbero, Emilia Bulgarelli, Cristiano Dané, Silvia Ghirardi, Marina Gilardi,

Patrizia Laiolo, Donatella Merlo, Domingo Paola, Ketty Savioli, Bruna Villa and others.

To make an analogy with the outer language, Vygotsky recalls an example, taken from Le Maitre (1905), p. 41: a child

thought to the French sentence “Les montagnes de la Suisse sont belles” as “L m d l S s b” considering only the initial

letters of of the sentence. Curtailing is a typical feature of inner language.

8

9

282


Vygotsky makes the analogy with the outer language alluding to so-called agglutinating languages which put together

many different words to constitute a unique word.

To give an idea of influence, Vygotsky makes reference to The Dead Souls by N.V. Gogol whose title, by the end of

the book, should mean to us “not so much the defunct serfs as all the characters in the story who are alive physically but

dead spiritually” (ibid., p. 247)

Another research project that our group is pursuing concerns the role of teachers’ gestures with respect to the learning

processes of students: how they are shared by students and how they influence their conceptualization processes.

In inner language, the sense is alwaysoverwhelming the meaning. This prevailingaspect of the sense has two structural effectson inner language: the agglutination and theinfluence. The former consists in gluingdifferent meanings (concepts) into oneexpression10; the latter happens when thedifferent senses ‘flow’ together11 into oneunity.

To explain the properties of inner speech,Vygotsky uses analogies that refer to theouter speech and these give only some ideaof what he means: in fact, he uses a semioticsystem (written or spoken language) todescribe something which is not a semioticsystem. The grounding metaphors throughwhich Vygotsky describes inner speech showits similarity to semiotic sets: properties likeagglutination and influence make innerspeech akin to some semiotic sets, likedrawings, gestures and so on. Also, thesyntactic phenomena of syntactic and phasicreduction mean that the so-called linear andcompositional properties of semiotic systemsare violated. Vygotsky’s description throughthe lens of semiotic systems makes thisaspect only partially evident.

The notion of semiotic bundle properly framesthe most important point in Vygotsky’sanalysis, namely, the semiotictransformations that support thetransformation from outer to inner speech(internalization). The core of Vygotsky’sanalysis, namely, the internalization process,consists exactly in pointing out a geneticconversion within a semiotic bundle: it

10

11

generates a fresh semiotic component, theinner speech, from another existing one, theouter speech. The description is given usingthe structure of the former, which is clearly asemiotic system, to build groundingmetaphors in order to give an idea of thelatter, which is possibly a semiotic set. Thewhole process can be described as theenlarging of a bundle through a geneticconversion process.

The main point of this paper consists in usingthe notion of semiotic bundle to frame themathematical activities that take place in theclassroom. I will argue that learningprocesses happen in a multimodal way,namely in a dynamically developing bundle,which enlarges through genetic conversionsand where more semiotic sets are active atthe same moment. The enlargementconsists both in the growing of (the numberof) active semiotic sets within the bundle andin the increase of the number of relationships(and transformations) between the differentsemiotic sets.

Their mutual relationships will be analyzedthrough two types of lenses, which I havecalled synchronic and diachronic since theyanalyze the relationship among processesthat happen simultaneously or successivelyin time. The two approaches, which will bediscussed below, allow us to frame manyresults in a unitary way: some are alreadyknown but some are new. In particular, I shallinvestigate the role of gestures in themathematical discourses of students12. I willargue that they acquire a specificity in the

12

283

Relime

construction of meaning in mathematicalactivities because of the rich interplay amongthree different types of semiotic sets: speech,gestures and written representations (fromsketches and diagrams to mathematicalsymbols). They constitute a semiotic bundle,which dynamically evolves in time.

To properly describe this interplay and thecomplex dynamics among the differentsemiotic sets involved in the bundle, I needsome results from psychologists, who studygesture. In the next two sections (2.2 and2.3) I will sketch out some of these.

2.2 Semiotic bundles and multimodality

In mathematics, semiotic representations aredeeply intertwined with mental ones (see thediscussion in Duval, 2006, pp. 106-107). Onthe one side, there is a genetic relationshipbetween them: «the mental representationswhich are useful or pertinent in mathematicsare always interiorized semioticrepresentations» (Duval, 2002, p.14). Seealso the discussion on the internalisationprocesses in Vygotsky.

On the other side, very recent discoveries inNeuropsychology underline the embodiedand multimodal aspects of cognition. A majorresult of neuroscience is that “conceptualknowledge is embodied, that is, it is mappedwithin the sensory-motor system” (Gallese &Lakoff, 2005, p.456). “The sensory-motorsystem not only provides structure toconceptual content, but also characterizesthe semantic content of concepts in terms ofthe way in which we function with our bodiesin the world” (ibid.). The sensory-motorsystem of the brain is multimodal ratherthan modular; this means that

“an action like grasping...(1) isneurally enacted using neuralsubstrates used for both action andperception, and (2) that the

modalities of action and perceptionare integrated at the level of thesensory-motor system itself and notvia higher association areas.” (ibid.,p. 459).

“Accordingly, language is inherentlymultimodal in this sense, that is, ituses many modalities linkedtogether—sight, hearing, touch,motor actions, and so on. Languageexploits the pre-existing multimodalcharacter of the sensory-motorsystem.” (ibid., p. 456).

The paradigm of multimodality implies that“the understanding of a mathematicalconcept rather than having a definitionalessence, spans diverse perceptuomotoractivities, which become more or lessactive depending of the context.”(Nemirovsky, 2003; p. 108).

Semiotic bundles are the real core of thispicture: they fit completely with the embodiedand the multimodal approach. At least oneconsequence of this approach is that theusual transformations and conversions (inthe sense of Duval) from one register to theother must be considered as the basicproducers of mathematical knowledge.Furthermore, its essence consists in themultimodal interactions among the differentregisters within a unique integrate systemcomposed of different modalities: gestures,oral and written language, symbols, and soon (Arzarello & Edwards, 2005; Robutti,2005). Also, the symbolic function of signs isabsorbed within such a picture.

Once the multimodal nature of processes ison the table, manipulations of external signsand of mental images show a commonpsychological basis: transformational andsymbolic functions are revealed asprocesses that have a deep commonnature.

284


I will argue that if we mobilize a rich semioticbundle with a variety of semiotic sets (andnot only semiotic systems) with their complexmutual relationships (of transformation,conversion, symbolic functions as multimodalinteractions among them) students arehelped to construct integrated models for themathematical knowledge they are supposedto learn and understand. In fact,mathematical activity is featured by therichness of the semiotic bundle that itactivates. However, things may not be so inthe school, where two negative phenomenacan push the process in the oppositedirection. I call them the Piaget and theWittgenstein effect, respectively:

a) (Piaget effect). Piaget made the searchfor isomorphisms one of the key principlesfor analyzing knowledge development inchildren. This emphasis risksunderestimating the relevance of the differentregisters of representation:

« Dismissing the importance of theplurality of registers of representationcomes down to acting as if allrepresentations of the samemathematical object had the samecontent or as if the content of onecould be seen from another as if bytransparency!” (Duval, 2002, p.14).

b) (Wittgenstein effect). Recall the story aboutSraffa and Wittgenstein. The author ofTractatus in the first phase of his researchrevealed a sort of blindness to semiotic sets(in that case, the gesture register). This isalso the case for many mathematicians andteachers: they are possibly interested insemiotic systems as formal systems, whilethe wider semiotic sets are conceived assomething that is not relevant formathematical activities, especially at thesecondary school level.

A consequence of these effects in the

classroom is that only some semioticsystems are considered, while semioticbundles (generally not even restrictingoneself to the bundles of semiotic systems)are not taken into account. And even whendifferent semiotic systems are considered,they are always conceived as signifiers ofthe same object. On the contrary, therepresentations within a semiotic bundlehave their own specificity in promoting anintegrated mental model according to themultimodal paradigm, as we shall show inthe next chapter.

2.3 Gestures within semiotic bundles

Among the components of semioticbundles, the semiotic set of gestures hasan important role, especially when itsrelationship with speech and written signsare considered within a multimodal picture.Psychologists have mainly studiedgestures in day to day conversation: I shallgo over some of their findings in theremaining part of this chapter and I willdescribe the relationship of gestures (andspeech) to written signs in Chapter 3. Todo this, I will elaborate upon some of thepapers in Arzarello & Edwards (2005),especially the Introduction, and I will alsoquote some results of Bucciarelli (in print).

Two main points from psychology areimportant to discuss the way gesturesenter into the multimodal semiotic analysiswithin which we frame the understandingof mathematical concepts in students.

The first point concerns the so-calledInformation Packaging Hypothesis. Itexpands the idea that “gestures, togetherwith language, help constitute thought”(McNeill, 1992, p. 245). According toMcNeill (p. 594-5), gesture plays a role incognition—not just in communication—since it is involved in the conceptualplanning of the messages and plays a role

285

Relime

in speech production because it plays a rolein the process of conceptualization.Gesture “helps speakers organize richspatio-motoric information into packagessuitable for speaking [...] by providing analternative informational organization thatis not readily accessible to analytic thinking,the default way of organizing informationin speaking” (Kita, 2000).

Spatio-motoric thinking (constitutive of whatKita calls representational gestures)provides an alternative informationalorganization that is not readily accessibleto analytic thinking (constitutive of speakingorganization). Analytic thinking is normallyemployed when people have to organizeinformation for speech production, sincespeech is linear and segmented (composedof smaller units); namely, it is a semioticsystem. On the other hand, spatio-motoricthinking is instantaneous, global andsynthetic, not analyzable into smallermeaningful units, namely, it is a semioticset. This kind of thinking and the gesturesthat arise from it are normally employedwhen people interact with the physicalenvironment, using the body (interactionswith an object, locomotion, imitatingsomebody else’s action, etc.). It is alsofound when people refer to virtual objectsand locations (for instance, pointing to theleft when speaking of an absent friendmentioned earlier in the conversation) andin visual imagery. Within this framework,gesture is not simply an epiphenomenonof speech or thought; gesture cancontribute to creating ideas:

“According to McNeill, thoughtbegins as an image that isidiosyncratic. When we speak, thisimage is transformed into a linguisticand gestural form. ... The speakerrealizes his or her meaning only atthe final moment of synthesis, whenthe linear-segmented and analyzed

representations characteristic ofspeech are joined with the global-synthetic and holistic representationscharacteristic of gesture. Thesynthesis does not exist as a singlemental representation for the speakeruntil the two types of representationsare joined. The communicative act isconsequently itself an act of thought.... It is in this sense that gestureshapes thought.” (Goldin-Meadow,2003, p. 178).

A second point, claimed by Bucciarelli (inpress), concerns the relationships betweenMental Models (see Johnson Laird, 1983,2001) and gestures. Many studies inpsychology claim that the learning ofdeclarative knowledge involves theconstruction of mental models. Bucciarelliargues that gestures accompanyingdiscourse can favour the construction ofsuch models (and therefore of learning).In Cutica & Bucciarelli (2003) it is shownthat when gestures accompany discoursethe listener retains more information withrespect to a situation in which no gesturesare performed: “The experimentalevidence is in favour of the fact that gesturedo not provide redundancy, rather theyprovide information not conveyed bywords” (Bucciarelli, in press).

Hence, gestures lead “to the constructionof rich models of a discourse, where all theinformation is posited in relation with theothers” (ibid.).

In short, the main contribution ofpsychology to the theory of semioticbundles consists in this: the multimodalapproach can favour the understanding ofconcepts because it can support theactivation of different ways of coding andmanipulating the information (e.g. not onlyin an analytic fashion) within the semioticbundle. This can foster the construction of

286


a plurality of mental models, whoseintegration can produce deep learning.

Of course these observations are generaland concern general features of learning.In the next chapter, I shall discuss how thisgeneral frame can be adapted to thelearning of mathematics.

This attention to semiotic bundlesunderlines the fact that mathematics isinseparable from symbolic tools but alsothat it is “impossible to put cognition apartfrom social, cultural, and historical factors”(Sfard & McClain, 2002, p. 156), so thatcognition becomes a “culturally shapedphenomenon” (ibid.). In fact, the embodiedapproach to mathematical knowing, themultivariate registers according to which itis built up and the intertwining of symbolictools and cognition within a culturalperspective are the basis of a unitary framefor analyzing gestures, signs and artefacts.The existing research on these specificcomponents finds a natural integration insuch a frame (Arzarello & Edwards, 2005).

In the next chapter, I will focus the attentionon the ways in which semiotic bundles areinvolved in the processes of buildingmathematical knowledge in the classroom.

3. Semiotic bundles in mathematicslearning.

3.1 Synchronic and diachronic analysis

In this chapter, I will illustrate how the notionof semiotic bundle can suitably frame themathematising activities of young studentswho interact with each other while solvinga mathematical problem. What we will see

is a consequence of these socialinteractions, which can happen anddevelop because of the didacticalsituations to which the students areexposed. As I shall sketch below, they areaccustomed to developing mathematicsdiscussions during their mathematicshours. The richness of the semiotic bundlethat they use depends heavily on such amethodology; in a more traditionalclassroom setting, such richness may notexist and this may be the cause of manydifficulties in mathematical learning: seethe comments in Duval (2002, 2006),already quoted, about this point.

The example under considerationconcerns elementary school and has beenchosen for two reasons: (1) it is emblematicof many phenomena that we have alsofound at different ages; (2) the simplicityof the mathematical content makes itaccessible for everyone.

In the example, I shall show that studentsin a situation of social interaction use avariety of semiotic sets within a growingsemiotic bundle and I shall describe themain mutual relationships among them. Todo that, I will use two types of analysis,each focusing on a major aspect of suchrelationships. The first one is synchronicanalysis, which studies the relationshipsamong different semiotic sets activatedsimultaneously by the subject. The secondis diachronic analysis, which studies therelationships among semiotic setsactivated by the subject in successivemoments. This idea has been introducedby the authors in Arzarello & Edwards(2005) under the names of parallel andserial analysis. I prefer the terminology “àla Saussurre” (13) because it underlines the

Saussure distinguishes between synchronic (static) linguistics and diachronic (evolutionary) linguistics. Synchronic

linguistics is the study of language at a particular point in time. Diachronic linguistics is the study of the history or evolution

of language.

13

287

Relime

time component that is present in theanalysis. However, our time grain is at adifferent scale, that is, while Saussurreconsiders long periods of time concerningthe historical evolution of at most twosemiotic systems (spoken and writtenlanguage), I consider the interactionsamong many different semiotic sets oververy short periods of time.

Synchronic analysis, even if under adifferent name, is present in the study ofgestures: e.g. the distinction made byGoldin-Meadow between matching andmismatching considers gesture and speechproduced at the same moment andconveying equal or different information.Another example of synchronic analysiscan be made in mathematics whenconsidering the production of drawings (orformulas) and of speech by students whoare solving a problem (see e.g. Arzarello,2005; but the literature is full of examples).A further example is the semiotic node,discussed by Radford et al. (2003b).

Also, diachronic analysis is not completelynew in the literature on signs: e.g. see thenotion of mathematical objectification inRadford, or that of conversion in Duval,both discussed above. The power ofdiachronic analysis changes significantlywhen one considers the semiotic bundles.In fact, the relationship between sets andsystems of signs cannot be fully analyzedin terms of translation or of conversionbecause of the more general nature of thesemiotic sets with respect to the semioticsystems. The modes of conversionbetween a semiotic set and a semioticsystem make evident a genetic aspect ofsuch processes, since a genuinetransformation (conversion) is a prioriimpossible. In fact, a transformationpresupposes an action between twoalready existing systems like in thetranslation from one language to another.

In our case, on the contrary, there is agenesis of signs from a set or a system toa system or a set. The fresh signs with thenew set (system) are often built preservingsome features of the previous signs (e.g.like the icon of a house preserves some ofthe features of a house according to certaincultural stereotypes). The preservationgenerally concerns some of theextralinguistic (e.g. iconic) features of theprevious signs, which are generating newsigns within the fresh semiotic set (orsystem); possibly, the genesis continueswith successive conversions from the newsets (systems) into already codifiedsystems. Hence, the process ofconversion described by Duval concernsmainly the last part of the phenomenon,which involves the transformationbetween already existing systems. Ouranalysis shows that such process startsbefore and has a genetic aspect, whichis at the root of the genesis ofmathematical ideas.

The main point is that only consideringsemiotic sets allows us to grasp such aphenomenon, possibly through adiachronic analysis. In fact, nothingappears if one considers only semioticsystems or considers synchronic events.

One could think that such a genesis is farfrom the sophisticated elaborations of moreadvanced mathematics. But things are notso; I have examples of this genesisconcerning the learning of Calculus (see:Arzarello & Robutti, to appear).

The two analyses, synchronic anddiachronic, allows us to focus on the rolesthat the different types of semiotic setsinvolved (gestures, speech, differentinscriptions, from drawings to arithmeticsigns) play in the conceptualizationprocesses of pupils. The general frame isthat of multimodality, sketched above.

288


3.2 The example 14

The activity involves pupils attending thelast year of primary school (5th grade, 11y.o.); the teacher gives them amathematical story that contains a problemto solve, taken from the legend ofPenelope’s cloth in Homer’s Odyssey. Theoriginal text was modified to get a problem-solving situation that necessitated that thestudents face some conceptual nodes ofmathematics learning (decimal numbers;space-time variables). The text of the story,transformed, is the following:

… On the island of Ithaca, Penelopehad been waiting twenty years for thereturn of her husband Ulysses fromthe war. However, on Ithaca a lot ofmen wanted to take the place ofUlysses and marry Penelope. Oneday the goddess Athena toldPenelope that Ulysses was returningand his ship would take 50 days toarrive in Ithaca. Penelope immediatelysummoned the suitors and told them:“I have decided: I will choose mybridegroom among you and thewedding will be celebrated when Ihave finished weaving a new piece ofcloth for the nuptial bed. I will begintoday and I promise to weave everytwo days; when I have finished, thecloth will be my dowry.” The suitorsaccepted. The cloth had to be 15 spansin length. Penelope immediately beganto work, but one day she would weavea span of cloth, while the following day,in secret, she would undo half aspan… Will Penelope choose anotherhusband? Why?

When the Penelope’s story was submittedto the students (Dec. 2004- Feb. 2005) they

were attending the last year of primaryschool (5th grade). Later, in April-May2005, in the same school six more teacherssubmitted the story to their classrooms, aspart of an ongoing research project for theComenius Project DIAL-Connect (Barberoet al., in press). Students were familiar withproblem solving activities, as well as withinteractions in group. They worked ingroups in accordance with the didacticalcontract that foresaw such a kind oflearning. The methodology of themathematical discussion was aimed atfavouring the social interaction and theconstruction of shared knowledge. As partof the didactical contract, each group wasalso asked to write a description of theprocess followed to reach the problemsolution, including doubts, discoveries,heuristics, etc. The students’ work anddiscussions were videotaped and theirwritten notes were collected. The activityconsisted of different steps that we cansummarize as follows. First, the teacherreads the story and checks the students’understanding of the text; the story is thendelivered to the groups. Different materialsare at the students’ disposal, among whichpaper, pens, colours, cloth, scissors, glue.In a second phase, the groups produce awritten solution. The teacher invites thegroups to compare the solutions in acollective discussion; she analysesstrategies, difficulties, misconceptions,thinking patterns and knowledge contentto be strengthened. Then, a poster with thedifferent groups’ solutions is produced. Inthe final phase, the students are requiredto produce a number table and a graphrepresenting the story; they workindividually using Excel to construct thetable and the graph of the problem solution.Again, they discuss about differentsolutions and share conclusions.

This part of the paper is partially taken from Arzarello et al. (2006), with the permission of the other authors.14

289

Relime

The part of the activity analyzed below isa small piece of the initial phase (30’); itrefers to a single group composed of fivechildren: D, E, M, O, S, all of themmedium achievers except M, who is weakin mathematical reasoning.

3.3 Analysis: a story of signs under thelenses of diachronic and synchronic

analysis.

The main diff iculty of the Penelopeproblem is that it requires two registersto be understood and solved: one forrecording the time, and one for recordingthe successive steps of the cloth length.These registers must be linked in someway, through some relat ionship(mathematic ians would speak of afunction linking the variables time andcloth length). At the beginning, thesevariables are not so clear for the students.So, they use different semiotic sets todisentangle the issue: gestures, speech,written signs. They act with and uponthem; they interact with each other; theyrepeatedly use the text of the story tocheck their conjectures; they use somearithmetic patterns.

We see an increasing integration of thesecomponents within a semiotic bundle: inthe end, they can grasp the situation andobjectify a piece of knowledge as a resultof a complex semiotic and multimodal

process. We shall sketch some of themain episodes and will comment a fewkey points in the f inal conclusion(numbers in brackets indicate time).

Episode 1. The basic gestures(synchronic analysis).

After reading the text, the children startrephrasing, discussing and interpretingit. To give sense to the story, they focuson the action of weaving and unravelinga span of cloth which is represented bydifferent gestures: a hand sweepingacross the desk (Fig. 1), the thumb andthe index extended (Fig. 2), two handsdisplaced parallel on the desk (Figs. 3and 4). Some gestures introduced by onestudent are easily repeated by the othersand become a reference for the wholegroup.

This is the case of the two parallel handsshown in Figs. 3 and 4. Attention isfocused on the action, and the gesturesoccur matching either the verbal clausesor the “span”, as we can see from thefollowing excerpt:

(6’58’’) S: She makes a half (handgesture in Fig. 2), then she takes someaway (she turns her hand), then shemakes… (again, her hand is in theposition of Fig. 2) […]

Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 4

290


E: “It is as if you had to make a piece likethis, it is as if you had to make a piece ofcloth like this, she makes it (gesture in Fig.3). Then you take away a piece like this(gesture in Fig. 5), then you make again apiece like this (gesture in Fig. 3) and youtake away a piece like this (gesture in Fig.5)”

O: “No, look… because… she made a span(Fig. 4) and then, the day after, she undida half (O carries her left hand to the right),and a half was left… right? … then the dayafter…”

D: (D stops O) “A half was always left”

Figure 5

The dynamic features of gestures thatcome along with speech condense thetwo essential elements of the problem:time passing and Penelope’s work withthe cloth. Their existence as two entitiesis not at all explicit at this moment, but,through gesturing, children make theproblem more tangible. The function ofgestures is not only to enter into theproblem, but also to create situations ofdiscourse whose content is accessible toeveryone in the group. The rephrasing ofsimi lar words and gestures by thestudents (see the dispositions of thehands in Fig. 4) starts a dynamics forsharing various semiotic sets, with whichthe group starts to solve the problem. Atthe moment, the semiotic bundle is madeup of their gestures, gazes and speech .

Episode 2. A new semiotic set: fromgestures to written signs (diachronic

analysis).

After having established a commonunderstanding of what happens inPenelope’s story, the children look for away to compute the days. S draws a(iconic) representation of the workPenelope does in a few days, actuallyusing her hand to measure a span onpaper. The previous gesture performed bydifferent students (Figs. 3-5) now becomesa written sign (Fig. 6). As had happenedbefore with words and gestures, thedrawing is also imitated and re-echoed bythe others (Fig. 7): even these signs,generated by the previous gestures,contribute to the growth of the semioticbundle. The use of drawings makespalpable to the students the need ofrepresenting the story using two registers.See the two types of signs in Figs. 7-8: thevertical parallel strokes (indicating spansof cloth) and the bow sign below them(indicating time).

Episode 3. The mutimodality ofsemiotic sets I: towards a local rule(diachronic + synchronic analysis).

In the following excerpts, the childrenfurther integrate what they have producedup to now (speech, gestures and writtenrepresentations) and also use somearithmetic; their aim is to grasp the rule inthe story of the cloth and to reason aboutit. They can now use the written signs as“gestures that have been fixed” (Vygotsky,1978; p. 107) and represent the story in acondensed way (see Fig. 8); moreover,they check their conjectures reading againthe text of the problem:

291

Relime

but the group does not easily accept itand O gets confused. The drawingintroduced by S (Fig. 8) represents thecloth, but with holes; due to the inherentrigidity of the drawing, students easilysee the span, but not half a span. A livelydiscussion on the number of days neededto have a span begins. Numbers andwords are added to the drawings (Figs. 9-10) and fingers are used to compute (Fig.11). New semiotic resources enter thescene within different semiotic sets whichare integrating each other more and more,not by juxtaposition or translation but byintegration of their elements: they allcontinue to be active within the semioticbundle, even later, as we shall see below.

Episode 4. The multimodality ofsemiotic sets II: towards a global rule

(diachronic analysis).

Once the local question of “how many daysfor a span” is solved, the next step is to

(10’30’’) S: From here to here it is twospans (she traces a line, mid of Fig. 8). IfI take half, this part disappears (shetraces the horizontal traits in Fig. 8) anda span is left; therefore in two days shemakes a span

O: No, in four days, in four, because…

S: In four days she makes two spans,because (she traces the curve under thetraits in Fig. 8)…plus this

O: In four days she makes one, because(she reads the text), one day she wove aspan and the day after she undid a half…

As one can see in Fig. 7, S tries torepresent on paper Penelope’s work ofweaving and also of unraveling, whichcauses troubles, because of the necessityof marking time and length in differentways. These two aspects naturally co-existed in gestures of Figg. 1-3. O findsthe correct solution (4 days for a span),

Figure 6 Figure 7 Figure 8

Figure 9 Figure 10 Figure 11

292


solve the problem globally. To do that, therule of “4 days for a span” becomes thebasis (Fig.12) of an iterative process:

(13’30’’) O, E:… it takes four days to makea whole span (E traces a circle with thepen all around: Fig. 12)

D: and another four to make a span (Dshows his fingers) and it adds to 8 (Dcounts with fingers)

S: so, we have to count by four and arriveat 50 days (forward strategy: Fig. 13) [...](14’25’’) O: no, wait, for 15 spans, no, 4times 15

S: no, take 15, and always minus 4, minus4, minus 4 (or: 4 times 5), minus 2, no,minus 1 [backward strategy: Fig. 14]

Two solving strategies are emerging here:a forward strategy (counting 4 times 15 tosee how many days are needed to weavethe cloth) and a backward strategy(counting “4 days less” 15 times to see ifthe 50 days are enough to weave the cloth).The two strategies are not so clear to thechildren and conflict with each other.

In order to choose one of them, the childrenuse actual pieces of paper, count groupsof four days according to the forwardstrategy and so they acquire direct controlover the computation. Only afterwards dothey compute using a table and find that60 days are needed for 15 spans of cloth.In this way, they can finally answer the

Figure 12 Figure 13 Figure 14 Figure 15

question of the problem and write the finalreport: Penelope will not choose anotherbridegroom.

Conclusions

The story of signs described in theexample illustrates the nature of semioticbundles. The first signs (gestures, gazesand speech) constitute a first basicsemiotic bundle, through which thechildren start their semiotic activities.Through them, the bundle is enriched withnew semiotic sets (drawings and numbers)and with a variety of fresh relationshipsamong them. The enlargement occursthrough genetic conversions, namelythrough a genetic process, where theprevious semiotic sets (with their mutualrelationships) generate new semioticcomponents and change because of thisgenesis, becoming enriched with freshmutual relationships. By so doing, not onlydo the students produce new semiotic sets,but the sense—in the Vygotskian meaningof the word—of the older ones istransformed, stil l maintaining someaspects of their origin. All these processesdevelop within a gradually growing andmultimodal cognitive environment that wehave analyzed through the lens of thesemiotic bundle.

The story of the bundle starts with thegesture of the two hands displaced parallelon the desk (episode 1). This gesture latergenerates a written iconic representation

293

Relime

(episode 2), successively enriched bynumerical instances (episode 3) and byarithmetic rules (episode 4), expressedthrough speech and (new and old) gestures.Gesture, speech, written signs and arithmeticrepresentations grow together in anintegrated way supporting the semioticactivities within the semiotic bundle whichenlarges more and more. Students developtheir semiotic activities and share them: it isexactly through such activities that they cangrasp the problem, explore it and elaboratesolutions.

All the components are active in a multimodalway up to the end. This is even evident whenthe students discuss how to write the solutionin the final report (Fig. 15: 27’ 32”). Gesturesand speech intervene first as cognitive meansfor understanding the story of the cloth; lateras means of control for checking theconjectures on the rule. Information iscondensed in gestures, entailing a globalunderstanding of the story. The two variables(time and cloth development), first condensedin gesture (an agglutination example in thesense of Vygotsky), generate two differentsigns in the fresh semiotic set (drawings) thatthey themselves have generated within thesemiotic bundle: it is exactly thisdisentanglement that allows children to graspthe story separating its structural elements.On its own, speech objectifies the structureof the story, first condensing the local rule ina sentence (episode 3), then exploiting thegeneral rule as an iterative process (episode4).

The semiotic objectification in this storyhappens because of the semiotic activitieswithin the semiotic bundle. It is evident that itconstitutes an integrated semiotic unity; theactivity within it does not consist of asequence of transcriptions from one register

to another, as posited in other studies (e.g.Duval, 1993). On the contrary, it develops ina growing, holistic and multimodal way,which, in the end, produces the objectificationof knowledge.

The lenses of semiotic bundles allow us toframe the semiotic phenomena that occur inthe classroom within a unitary perspective.Moreover, a semiotic bundle alsoincorporates dynamic features, which canmake sense of the complex geneticrelationships among its components, e.g. thegenetic conversions and the Vygotskianinternalization processes.

This study leaves many problems open: I listonly some of those I am interested instudying in the near future:

1. Elsewhere (Arzarello, in press), Iintroduced the notion of Space of Action,Production and Communication (APC-space) as an environment in whichcognitive processes develop throughsocial interaction; its components are:culture, sensory-motor experiences,embodied templates, languages, signs,representations, etc. These elements,merged together, shape a multimodalsystem through which didacticalphenomena are described. An interestingproblem consists in studying therelationships between the semioticbundles and the APC-space.

2. The time variable is important in thedescription of semiotic bundles, e.g. it isrelevant to the diachronic and synchronicanalysis. What are the connectionsbetween this frame and the didacticphenomena linked to students ‘innertimes15’, like those described in Guala& Boero (1999)? There, the authors

I thank Paolo Boero for suggesting this problem to me.15

294


list different types of inner times instudents’ problem solving activities (the‘time of past experience’, the‘contemporaneity time’, the ‘explorationtime’, the ‘synchronous connectiontime’), which make sense of their mentaldynamics. Of course, such activities canbe analyzed with semiotic lenses. Howdo the different inner times enter into asemiotic bundle? Which kinds ofconversions or treatments can theygenerate from one semiotic set toanother or within the same semioticset?.

Aknowledgments

Research program supported by MIUR, the Università di Torino and the Università diModena e Reggio Emilia (PRIN Contract n. 2005019721).I thank L. Bazzini, R. Barbero, F. Ferrara, D. Paola, O. Robutti, C. Sabena, and B. Villa,without whose work and encouragement this paper would not exist.

References

Arzarello, F. (in press). Mathematical landscapes and their inhabitants: perceptions,languages, theories, Proceedings ICME 10, Plenary Lecture.

Arzarello F., L.Bazzini, Chiappini G.P. (1994), Intensional semantics as a tool to analysealgebraic thinking, Rendiconti del Seminario Matematico dell’Università di Torino, 52 (1),105-125.

Arzarello, F & Edwards, L. (2005). Gesture and the Construction of Mathematical Meaning(Research Forum 2), Proc. 29th Conf. of the Int. Group for the Psychology of MathematicsEducation (Vol. 1, pp. 122-145). Melbourne, AU: PME.

Arzarello F. & Robutti, O. (2004). Approaching functions through motion experiments. In:R. Nemirovsky, M. Borba & C. DiMattia (eds.), Bodily Activity and Imagination inMathematics Learning, PME Special Issue of Educational Studies in Mathematics, 57.3,CD-Rom, Chapter 1.

Arzarello, F., Ferrara, F., Paola, D., Robutti, O., (2005). The genesis of signs by gestures.The case of Gustavo, Proc. 29th Conf. of the Int. Group for the Psychology of MathematicsEducation (Vol. 1, pp. 73-80). Melbourne, AU: PME.

Arzarello, F., Bazzini, L., Ferrara, F., Robutti, O., Sabena, C., Villa, B. (2006). Will Penelopechoose another bridegroom? Looking for an answer through signs, Proc. 30th Conf. ofthe Int. Group for the Psychology of Mathematics Education. Prague.

3. In the processes of students who buildnew knowledge, there are two dualdirections in the genetic conversionswithin the semiotic bundle: fromsemiotic sets to semiotic systems (e.g.from gestures to drawings andsymbols) or the opposite. The episodesin Penelope’s story are an example ofthe first type, while Vygotsky describesthe second type in the internalizationprocesses (a similar example isdescribed in Arzarello & Robutti, toappear). It would be interesting to clarifythe nature of this duality of processes.

295

Relime

Arzarello, F. & Robutti, O. (to appear). Framing the embodied mind approach within amultimodal paradigm, in: Lyn English, M. Bartolini Bussi, G. Jones, R. Lesh e D. Tirosh(ed.), Handbook of International Research in Mathematics Education (LEA, USA), 2nd

revised edition.

Bara, B.G. & Tirassa, M. (1999). A mentalist framework for linguistic and extralinguisticcommunication. In: S. Bagnara (ed.), Proceedings of the 3rd European Conference onCognitive Science. Siena, Italy. Roma: Istituto di Psicologia, CNR.

Barbero R, Bazzini L., Ferrara F., Villa B. (in press). The Penelope’s story: learning throughaction, speech and gestures, Proc. CIEAEM 57, Piazza Armerina, Italy, July 2005.

Bartolini, M.G. & Mariotti, M.A. (to appear). Semiotic mediation in the mathematicsclassroom, in: Lyn English, M. Bartolini Bussi, G. Jones, R. Lesh e D. Tirosh (ed.),Handbook of International Research in Mathematics Education (LEA, USA), 2nd revisededition.

Bosch, M. & Chevallard, Y. (1999). La sensibilité de l’activité mathématique aux ostensifs,Recherches en Didactique des Mathématiques, 19 (1), 77-124.

Bucciarelli, M. (in press). How the construction of mental models improve learning, Mindand Society.

Chevallard, Y. (1999), L’analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologiquedu didactique, Recherches en Didactique des Mathématiques, 19/2, 221-266.

Cutica, I. & Bucciarelli, M. 2003. Gestures and the construction of models. The 2nd

International Conference on Reasoning and Decision Making,Reasoning andunderstanding: Mental models, relevance and limited rationality approaches, Padova,March, the 17-18, 11.

Detlefsen, M., 1986, Hilbert’s Program, Dordrecht: Reidel.

Dörfler, W. (n.d.) How diagrammatic is mathematical reasoning? Retrieved May 4 2006,from http://www.math.uncc.edu/~sae/dg3/dorfler2.pdf

Duval R. (1993). Registres de représentations sémiotique et fonctionnement cognitif dela pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 5, 37-65. ULP, IREMStrasbourg.

Duval, R. (1999). Conversion et articulation des représentations analogiques. Lille, France:I.U.F.M. Nord pas de Calais.

Duval, R. (2001). The cognitive analysis of problems of comprehension in the learning ofmathematics. Paper presented at the Semiotics Discussion Group of the 25th PMEInternational Conference, Freudenthal Institute, The Netherlands, July 2001.

Duval, R. (2002). The cognitive analysis of problems of comprehension in the learning ofmathematics. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 1(2), 1-16.

Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning ofmathematics, Educational Studies in Mathematics, (61), 103-131.

296


Ernest, P. (2006). A semiotic perspective of mathematical activity: the case of number,Educational Studies in Mathematics, (61), 67-101

Frege, G. (1969). Funktion, Begriff, Bedeutung. Fünf logische Studien. Göttingen:Vandenhoeck & Company.

Gallese, V. & Lakoff, G. (2005). The Brain’s Concepts: The Role of the Sensory-MotorSystem in Conceptual Knowledge. Cognitive Neuropsychology, 22(3/4), 455-479.

Guala & Boero, 1999 Time complexity and Learning, Annals of the New York Academyof Sciences, June 30, 1999, 164-7.

Goldin-Meadow, S. (2003). Hearing gestures: How our hands help us think. Chicago:Chicago University Press.

Harper, E.. (1987). Ghosts of Diophantus, Educational Studies in Mathematics, Vol. 18,(75-90).

Hilbert, D. (1962). Grundlagen der Geometrie, Stuttgart: Teubner (original edition in 1899).

Lemaitre, A. (1905). Observations sur le langage interieur des enfants, Archives depsychologie, n.4,1-43

Johnson-Laird P.N. 1983. Mental models: Towards a cognitive science of language, andconsciousness. Cambridge University Press, Cambridge, UK.

Johnson-Laird, P.N. 2001. Mental models and human reasoning. In Dupoux, E. (Ed.),Language, brain, and cognitive development: Essays in honor of Jacques Mehler, pp.85-102. Cambridge, MA: The MIT Press.

Kaput, J., Noss, R. & Hoyles, C.: 2002, Developing New Notations for a LearnableMathematics in the Computational Era, in: English, L.D. (Ed.), Handbook of InternationalResearch in Mathematics Education: Lawrence Erlbaum Assoc., NJ, 51-75.

Kita, S. (2000). How Representational Gestures Help Speaking. In McNeill, D. (ed.),Language and Gesture, pp. 162-185. Cambridge: Cambridge University Press.

Malcom, N. & von Wright, G.H. (2001). Ludwig Wittgenstein : A Memoir. Oxford: OxfordUniversity Press.

McNeill, D. (1992) Hand and mind: What gestures reveal about thought. Chicago: ChicagoUniversity Press.

Hartshorne, C. & Weiss, P. (Eds.) (1933), Collected Papers of Charles Sanders Peirce,vol. III, Cambridge (MA): Harvard University Press

Kita, S. (2003). Interplay of gaze, hand, torso orientation, and language in pointing. In: S.Kita (ed.), Pointing. Where language, culture, and cognition meet. Mahwah: Erlbaum.

Nemirovsky, R. (2003). Three conjectures concerning the relationship between bodyactivity and understanding mathematics. In N.A. Pateman, B.J. Dougherty & J.T. Zilliox(Eds.), Proc. 27th Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics Education(Vol. 1, pp. 103-135). Honolulu, Hawai‘I: PME.

297

Relime

Ogden, C.K. & Richards, I.A. (1923). The Meaning of Meaning. London: Routledge &Kegan.

Rabardel, P. (1995). Les hommes et les technologies, une approche cognitive desinstruments contemporains. Paris: Armand Colin.

Radford, L. (2002). The seen, the spoken and the written. A semiotic approach to theproblem of objectification of mathematical knowledge.For the Learning of Mathematics,22(2), 14-23.

Radford, L. (2003a). Gestures, Speech, and the Sprouting of Signs: A Semiotic-CulturalApproach to Students’ Types of Generalization. Mathematical Thinking and Learning,5(1), 37–70.

Radford, L., Demers, S., Guzmán, J. and Cerulli, M. (2003b). Calculators, graphs, gesturesand the production of meaning, in: N. Pateman, B. Dougherty and J. Zilliox (eds.),Proceedings of the 27 Conference of the international group for the psychology ofmathematics education (PME27 –PMENA25), University of Hawaii, Vol. 4, pp. 55-62.

Radford, L. (2006). The Anthropology of Meaning, Educational Studies in Mathematics,(61), 39-65.

Robutti, O. (2005). Hearing gestures in modelling activities with the use of technology, inF. Olivero & R. Sutherland (eds.), Proceedings of the 7th International Conference onTechnology in Mathematics Teaching, University of Bristol, 252-261.

Simpson, S.G: (1999). Subsystems of second order Arithmetic. New York: Springer.

Sfard A. & McClain, 2002, Analyzing Tools: Perspectives on the Role of Designed Artifactsin Mathematics Learning, The Journal of the Learning Sciences, Volume 11, Numbers2&3, Special Issue, 153-162.

Steinbring, H. (2005). The Construction of New Mathematical Knowledge in ClassroomInteraction. New York: Springer.

Steinbring, H. (2006). What makes a sign a mathematical sign? An epistemologicalperspective on mathematical interaction, Educational Studies in Mathematics, (61), 133-162.

Vérillon, P., & Rabardel, P. (1995). Artefact and cognition: a contribution to the study ofthought in relation to instrumented activity. European Journal of Psychology in Education,vol. IX, n°3.

Vygotsky, L.S. (1978). Mind in society: The development of higher psychologicalprocesses. Cambridge, MA: Harvard University Press.

Vygotsky, L. S. (1997). Collected works, Vol. 4 (R. Rieber, Ed.). New York: Plenum.

Vygotsky, L.S. (1986), Thought and Language, Cambridge (MA): MIT Press.

Wertsch, J. V., & Stone, C. A. (1985). The concept of internalization in Vygotsky’s accountof the genesis of higher mental functions. In J.V. Wertsch (Ed.), Culture, communicationand cognition: Vygotskian perspectives. Cambridge: Cambridge University Press.

298

Semiosis as a Multimodal Process 299

Ferdinando ArzarelloDipartimento di MatematicaUniversità di TorinoItalia


Relime300


Conclusiones y perspectivas

de investigación futura

Bruno D’Amore

No cabe duda de que la semiótica, disciplina surgida de un género de estudio del tododiverso (véase la Introducción de Luis Radford en esta misma revista), ha conquistadoun lugar importante en los estudios de Didáctica de la Matemática.

Respecto a su ingreso en dicho campo, la visión semiótica inició solidificando sus diversosaspectos con trabajos que explicaban el pasaje del concepto a sus representaciones,para después abrir su camino en direcciones diferentes, como lo demuestra la ampliacolección de estudios que en esta publicación aparecen. Ahora, el desafío consiste entratar de entender hacia qué tendencia se moverá la investigación en el futuro. Parapoder plantear algunas hipótesis, considero útil un ulterior análisis de la historia recientey de las mismas bases culturales.

Una problemática importante –y todavía central– es la tocante a la representación delos objetos matemáticos. Por lo general, en Didáctica de la Matemática decimos “pasarde un concepto a sus representaciones”; sin embargo, ¿qué es un concepto? La preguntaaún continúa siendo fundamental. En D’Amore, 2006 (pp. 205-220) intenté plantear lasbases para responder a dicha cuestión, aparentemente ingenua; empero, lo que sellega a constatar, con certeza absoluta, es que la definición revela, por muchos motivos,una complejidad inmensa.

Entre las dificultades que presenta la definición, está que en la idea de conceptointervienen muchos factores y causas. Para decirlo brevemente (y, por tanto, en modoincompleto), no parece correcto afirmar que un concepto matemático es aquel que sehalla en la mente de los científicos que a este tema han dedicado su vida de estudio yreflexión. Parece más correcto señalar que hay una fuerte componente antropológica.

Así, en la construcción de un concepto participarían tanto la parte institucional (el Saber)como la personal (de quien tiene acceso a tal Saber, que implica no sólo el científico).Esta propuesta la han expuesto diferentes autores; yo me limito a sugerir el trabajo deGodino y Batanero, 1994, porque hace hincapié en la importancia del debate en el cualestoy tratando de inserirme, al tratar las relaciones entre significados institucionales ypersonales de los objetos matemáticos.

Distinguir el concepto de su construcción no es fácil y, quizá, no es ni posible ni deseable,ya que un concepto se halla continuamente en fase de construcción; aquí estriba suparte más problemática, pero también la más rica de su significado. Podríamos llamar atal construcción conceptualización, y reflexionar sobre qué es y cómo se da. En el intentopor clarificar dicho argumento, muchos investigadores han propuesto hipótesis y teoríasque no detallaré; basta recordar las contribuciones –muchas veces en franca oposición–

Relime

de Vygotski, Piaget, Gal’perin, Bruner oGagné. Para una rápida recapitulación,puede consultarse D’Amore, 2006.

Adentrarse en esta aventura nos conduce,por lo menos, a darnos cuenta de un hecho:la segunda pregunta, ¿qué es o cómo sellega a la conceptualización?, es unmisterio. La cuestión pasa a través de unrecorrido por los famosos triángulos (haybibliografía específica en D’Amore, 2006):

• El de Charles Sanders Peirce (1839-1914), publicado en 1883: intérprete,representante, objeto

• El de Gotlob Frege (1848-1925),publicado en 1892: Sinn [sentido],Zeichen [expresión], Bedeutung[indicación]

• El de C. K. Ogden e I. A. Richards, quequería ser un compendio de los otrosdos, y apareció en 1923: referencia,símbolo, referente

• El de G. Vergnaud (1990), por el cualun concepto C es la terna (S, I, S),donde S es el referente, I el significadoy S el significante

Queda claro que apropiarse de unconcepto, independientemente de lo queesto signifique, necesita siempre de algomás que nombrarlo (la cuestión se originópor lo menos en la Edad Media, apuntaD’Amore, 2006) y representarlo, lo cual noslleva a la famosa paradoja de Duval, 1993(p. 38).

Kant, en la Crítica de la razón pura, señalaque el conocimiento es resultado de uncontacto entre un sujeto que aprende y unobjeto de conocimiento. Él recurre a unacomparación: así como el líquido adoptala forma del recipiente que lo contiene, las

impresiones sensoriales adoptan lasformas que le imponen las estructurascognitivas. Pero para que eso suceda (yes la bien conocida hipótesis fuerte deKant) se requieren de formas innatas desensibilidad, como espacio, tiempo,causalidad, permanencia del objeto y usode experiencias precedentes.

El conocimiento no es una simplerepresentación de la realidad externa, sinoel resultado de la interacción entre el sujetoque aprende (sus estructuras cognitivas)y sus experiencias sensoriales. Además,el sujeto que aprende abandona la típicapasividad (cartesiana o lockiana), puesconstruye y estructura sus experiencias; deeste modo, participa activamente en elproceso de aprendizaje y lo transforma enuna verdadera y propia construcción. Unobjeto de conocimiento, al entrar encontacto con un sujeto que aprende, semodifica y reconstruye por los instrumentoscognitivos del sujeto.

Pero, ¿de dónde provienen esosinstrumentos cognitivos que sirven paratransformar las experiencias del sujeto? Laepistemología del aprendizaje de Kant,para usar una terminología moderna, serefiere a un aprendiz adulto, dotado de unlenguaje desarrollado, con capacidad deabstracción y de generalización. Aquí espertinente la siguiente pregunta: ¿cómocambia todo esto si hablamos deaprendizaje en ambiente escolar, deaprendices no adultos (niños, adolescenteso jóvenes) y a las primeras armas, conlenguajes aún en elaboración?

No es del todo absurdo pensar que laepistemología constructivista de Piaget,formulada en los años treinta1, surgió porla necesidad de dar respuesta a este

302

Estoy pensando en Piaget (1937), por ejemplo.1

Conclusiones y perspectivas de investigación futura

problema. Por tanto, el saber adquiridopuede verse como el producto de laelaboración de la experiencia con la queentra en contacto el sujeto que aprende. Yesta elaboración consiste no sólo en lainteracción entre el individuo y suambiente, sino también en el modo comoaquél interioriza el mundo externo.Independientemente de las peculiaridadesde tales actividades, el sujeto que aprendedebe comprometerse en algo quenecesariamente lo lleva a simbolizar. Estaes una necesidad típicamente humana, yaque es una elaboración (concaracterísticas internas o sociales, eincluso ambas) organizada alrededor de oen los sistemas semióticos derepresentación.

Se puede agregar que el conocimiento esla intervención y el uso de los signos. Así,el mecanismo de producción y de uso,subjetivo e intersubjetivo, de estos signos,y el de la representación de los objetos dela adquisición conceptual, resulta crucialpara el conocimiento.

Todo eso había sido ya previsto en elprograma de la epistemologíaconstructivista, enunciada por Piaget yGarcia (1982), particularmente en elcapítulo IX. Al hablar sobre la experienciadel niño, indican que las situaciones queél encuentra son generadas por su entornosocial y los objetos aparecen situados encontextos que les dan el significadoespecífico. Por tanto, este niño no asimilaobjetos puros, sino las situaciones en lascuales los objetos tienen roles específicos;a medida que su sistema de comunicaciónse hace más complejo, la experienciadirecta de los objetos queda subordinadaal sistema de interpretaciones suministradopor el entorno social.

No hay duda de que el conocimiento en laescuela y su aprendizaje como

construcción se hallan condicionados porsituaciones específicas de la institución.Por ende, el aprender en la escuela ¡no esel aprender total! Los problemas delaprendizaje matemático en la escuela, aúnantes de ser de orden epistemológico,pertenecen a un ambiente sociocultural.

Si aceptamos que todo conocimiento(matemático, en particular) refleja al mismotiempo una dimensión social y unapersonal, la escuela no es una excepción;incluso, en ella queda institucionalizadaesa doble naturaleza. Durante elaprendizaje de las matemáticas seintroduce a los estudiantes en un mundonuevo, tanto conceptual como simbólico –sobre todo, representativo–, que no es frutode una construcción solitaria, sino de unaverdadera y compleja interacción con losmiembros de la microsociedad, de la cualforma parte el sujeto que aprende: lospropios compañeros, los maestros y lanoosfera (a veces borrosa, otras evidente).

Es mediante un continuo debate social queel sujeto que aprende toma conciencia delconflicto entre conceptos espontáneos yconceptos científicos. Así, enseñar noconsiste sólo en el intento de generalizar,amplificar, volver más crítico el sentidocomún de los estudiantes, sino se trata deuna acción más bien compleja, como nosha enseñado Vygotski en Pensamiento ylenguaje (1962), cuando afirma que unconcepto es algo más que la suma deciertos vínculos asociativos formados porla memoria, pues consiste en un auténticoy complejo acto del pensamiento al que sepuede llegar sólo cuando el desarrollomental del niño ha alcanzado el nivelrequerido. Sin embargo, el desarrollo delos conceptos presupone el de muchasfunciones intelectuales (atención, memorialógica, abstracción, capacidad decomparación y diferenciación); laexperiencia ha demostrado que la

303

Relime

enseñanza directa de los conceptos esimposible y estéril.

En matemáticas, la asimilación conceptualde un objeto pasa necesariamente a travésde la adquisición de una o másrepresentaciones semióticas (Chevallard,1991; Duval, 1993, 1999; Godino yBatanero, 1994), lo cual nos obliga aaceptar la afirmación de Husserl, perocentrada por Duval hacia la Didáctica dela Matemática, que no existe noética sinsemiótica.

Como sugiere Duval, la construcción de losconceptos matemáticos depende,estrechamente, de la capacidad de usarmás registros de sus representacionessemióticas:

• De representarlos en un registro dado

• De tratar tales representaciones en unmismo registro

• De convertir tales representaciones deun registro dado a otro

El conjunto de estos tres elementos, aligual que las consideraciones de lospárrafos anteriores, evidencian unaprofunda relación entre noética yconstructivismo. Así, la construcción delconocimiento en matemáticas se puedepensar como la unión de tres accionessobre los conceptos: la expresión mismade la capacidad de representar losconceptos, de tratar las representacionesobtenidas en un registro establecido y deconvertirlas de un registro a otro.

Todo esto constituye, en mi opinión, sóloel punto de partida para especificar yexplicar históricamente la importancia quela Didáctica de la Matemática reconoció alos estudios sobre la semiótica, en elmomento en que ingresaron a su campode investigación. Hoy se prefiere seguir una

304

vía de carácter no nominalista, quepodríamos llamar de pensamientoentendido como praxis reflexiva sensorial-intelectual, apoyada en sistemassemióticos de significado cultural. Segúnesta línea, trazada por Luis Radford, estossistemas semióticos, construidossocialmente por los individuos a partir desu realidad concreta, transformadosactivamente de generación en generación,“naturalizan” la realidad de los individuos,enmarcan lo que se entiende por evidencia,argumentos convincentes, demostraciones,etc. y subtienden las reflexiones que losindividuos hacen de su mundo.

Pero, volvamos a la pregunta inicial. ¿Quédirección tomarán estos estudios en elfuturo? Podemos ver ya importantesseñales, que emergen en las páginas queaquí quisimos recoger. Quizás una graninfluencia tendrán particularmente losestudios sobre la comunicación, sobre lasacciones de las comunidades de práctica,las reflexiones sobre la dimensiónontogenética, así como la contribución deanálisis críticos de temas que han fundadonuestra disciplina y que ya se delineancomo evoluciones de un futuro próximo.

En este número especial de la revistaRelime, reunimos a varios especialistascon el fin de presentar el estado del artede las diversas tendencias que conforman,actualmente, el estudio de la semiótica ennuestro sector. Algunos de estos trabajoscontribuyen a dar una respuesta adecuadaa muchas de las preguntas precedentes.

La respuesta a la primera pregunta, ¿quées un concepto?, plantea problemasteóricos. Seguir profundizando en ellosparece ser un campo donde la semióticapuede dar importantes resultados en unfuturo cercano. Varios textos aquí reunidossugieren que las respuestas a estapregunta, y a las que planteé en el curso

Conclusiones y perspectivas de investigación futura 305

de este artículo, deben incluir el aspectoinstitucional (Godino y colaboradores),pero también el contexto cultural (Radford,Cantoral y colaboradores) y cognitivo(Arzarello, Radford, Duval, Otte, Arzarello).

Es así como Godino y sus colaboradorespresentan una actividad concreta del EOSen el análisis de textos escolares, en el cualutilizan los criterios de idoneidad tantoepistémica como cognitiva; un análisis deeste tipo puede tener repercusionesprofundas de carácter institucional.

Cantoral y sus colaboradores abordan lasocioepistemología, mediante la cual laactividad matemática se sitúa en uncontexto cultural de práctica social.

Radford basa su aporte en la idea de praxisreflexiva y expone una teoría cultural de laobjetivación. Tal propuesta tiene una doblevalencia: la cultural (de análisis crítico deposiciones, en algunos casos ampliamentecompartidas) y la cognitiva.

Duval insiste en la importancia del análisissemiótico complejo en el ámbitomatemático y cognitivo. Vuelve a losorígenes de la semiótica con el fin desugerir motivaciones para el análisis de lossignos, así como de las relaciones desemejanza, referencia, causalidad yoposición. Esta modalidad de afrontar laproblemática es útil tanto para el desarrollode las matemáticas como para el análisisde su aprendizaje.

Otte propone que la explicación esconsubstancial de la exhibición de signosy sentido, ya que no hay diferencia entreidea y símbolo a pesar de lo que sostienenel idealismo filosófico y el mentalismocognitivista, lo cual ejemplifica al tratar eltema de la demostración en matemáticas.

Arzarello muestra en primer lugar unanálisis crítico e histórico sobre la ideamisma de semiótica. Parte de sufundamento teórico y propone diversasinterpretaciones y luego enfoca a lasemiótica como aproximación modal, quetambién ofrece análisis de eventossucedidos en el aula.

La semiótica que nos interesa, de maneraespecífica, atañe al uso de signos y aldesarrollo conceptual en el salón declases. Muchos de los artículos aquíreunidos atienden este aspecto.

Así, Koukkoufis y Williams emplean lateoría de la objetivación para estudiar lamanera en que generalizan jóvenesalumnos.

Adalira Sáenz-Ludlow enfoca su atención,fuertemente teórica, en una idea muyconcreta, la de riqueza matemática delalumno, y en la influencia de los maestrosen el discurso matemático.

Gagatsis y sus colaboradores dan aconocer estudios críticos sobre loscambios de representación de objetosrelacionados con el concepto de función.

Bagni ofrece un estudio experimentalhecho con alumnos de secundaria queintentan dar sentido a frases paradójicas.

D’Amore propone un ejemplo de auladonde se presenta un cambio de sentidofrente a diferentes representaciones delmismo objeto, conseguidas portratamiento semiótico.

Este número especial de Relime se inspiraen las discusiones colectivas precedentesque menciona Luis Radford en suIntroducción. Quiere ser una modesta

Relime

Referencias

D’Amore, B. (2006). Didáctica de la matemática. Bogotá, Colombia: Magisterio. [Primeraedición en italiano, 1999, Bologna: Pitagora].

Duval, R. (1993). Registres de représentations sémiotique et fonctionnement cognitif dela pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 5, 37-65.

Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajesintelectuales. Cali, Colombia: Universidad del Valle. [Primera edición en francés 1995,Berne: Peter Lang].

Godino, J. D. & Batanero, C. (1994). Significado institucional y personal de los objetosmatemáticos. Recherches en Didactique des Mathématiques 3, 325-355.

Piaget, J. (1937). La construction du réel chez l’enfant. Neuchâtel: Delachaux et Niestlé.

Piaget, J. & Garcia, R. (1983). Psychogenèse et histoire des sciences. Paris, France:Flammarion.

Vergnaud, G. (1990). La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactiquedes Mathématiques 19, 133-169.

Vygotsky, L. (1962). Thought and language. Cambridge, USA: MIT Press.

Traducción de Martha Isabel Fandiño Pinilla

306

contribución analítica y problemática altema de la semiótica en el ámbito de laEducación Matemática.

Me agrego a los agradecimientos de Luis,extendiéndolos a nuestros autores y atodos los lectores.

Bruno D’AmoreDipartimento di MatematicaUniversità di BolognaItalia


Sugerencias 307

SUGERENCIAS PARA LA PREPARACIÓNDE ARTÍCULOS

En el caso de reportes de estudiosexperimentales, de casos, de observación,etnográficos, etcétera, recomendamos que losescritos contengan:

1) Resumen del trabajo en no más de 10renglones en español, y no más de 5palabras clave. Todo esto, junto con eltítulo debe ser incluido con su traducciónal inglés, francés y portugués.

2) Una exposición del problema deinvestigación (su pertinencia y relevanciaen el tema que se aborda).

3) Indicaciones globales acerca de laestructura teórica del reporte.

4) Justificación de la metodología usada.

5) Desarrollo de algunos ejemplos y análisisde resultados.

6) Referencias bibliográficas.

Si se trata de ensayos teóricos y filosóficos,nuestra recomendación es la siguiente:

1) Iniciar con una exposición del problemade investigación (su pertinencia yrelevancia en el tema que se aborda).

2) Ofrecer indicaciones sobre la estructurateórica o filosófica en la cual se desarrollael tema del artículo.

3) Exposición detallada de la posición delautor dentro del tema o los temas deexposición.

4) Implicaciones o consecuencias de lainvestigación en el área.

5) Incluir referencias bibliográficas.

Los artículos serán evaluados por tresinvestigadores reconocidos y con experienciadentro del área. Específicamente se tomaráen cuenta la atención a los criterios anteriores,así como a la claridad de la presentación e

interés para la comunidad de matemáticaeducativa.

GUÍA PARA LA PRESENTACIÓN DEARTÍCULOS

(Relime acepta artículos en español y enportugués para su publicación)

Características de los artículos:

1) Extensión máxima de 30 páginas a espaciosencillo. En caso de que su propuestaexceda esta extensión, el Comité deRedacción podrá considerar la posibilidadde publicarlo siempre que tal propuestano ocupe todo el espacio disponible en unnúmero de la revista; en otro caso, suartículo será remitido para su conside-ración en otra de las publicaciones delClame (libros, ensayos, etcétera).

2) Todos los artículos deberán ser trabajosinéditos de investigación. No se aceptarántraducciones previamente publicadas ensu lengua original.

3) Los trabajos deberán acompañarse de:

* Portada que indique el título del texto (nomayor de ocho palabras), con sutraducción al inglés, francés y portugués,nombre completo del autor y del centrode adscripción.

* Sinopsis o resumen, no mayor de 10renglones, que explique el tema, losobjetivos y la metodología del texto, queplantee las conclusiones principales y queincluya la traducción del resumen a finde que aparezca en castellano,portugués, francés e inglés.

* Palabras clave, no más de 5 que recojanlas ideas centrales y su traducción alinglés, francés y portugués.

* Datos generales del autor (notas curri-culares, dirección, número telefónicoparticular y laboral y de ser posiblenúmero de fax y cuenta de correoelectrónico).

Relime308

4) Se solicita a los autores enviar los trabajosen CD o disquete para PC (3.5”) utilizandoel procesador de texto Word 6.0 osuperior, tipo de letra Times New Romany tamaño de 12 puntos. Para lasexpresiones matemáticas se solicita usartexto con el siguiente formato; las literalesen itálica, números y signos matemáticosen letra normal, tal como se muestra enel ejemplo:

f (x) = 3x + 1 O bien, utilizar el editor de ecuaciones de

Word, respetando el mismo formato.Adicionalmente se enviarán cuatro copiasimpresas del mismo trabajo, tres de lascuales habrán de omitir los datos del autor.

5) Con el propósito de facilitar el proceso depublicación, los trabajos se escribirán dela siguiente manera:

* Usar márgenes de una pulgada (2.5centímetros) en ambos lados de lapágina tamaño carta.

* Mecanografiar o imprimir de un sololado del papel.

* No usar sangrías.* Colocar un solo espacio después de

punto y seguido.* No usar guiones de separación de pa-

labras.* Diferenciar bien los títulos de los

subtítulos.

* Las palabras, frases o señalamientosespeciales que se deseen destacarllevarán cursivas o negrillas (no usarsubrayado).

* Bibliografía, referencias y notas: so-licitamos emplear el estilo de la APA(Publication Manual of the AmericanPsychological Association, 4th ed., 1994)para las citas de pie, notas, referenciastextuales y bibliografía.

Ejemplos:Revista especializada:Sepúlveda, G. (1989). El paradigma de laeducación actual. La Educación 104, 57-68.

Brousseau, G. (1980). Pròblemes de

l’enseignement des décimaux. Recherches enDidactique des Mathématiques 1 (1), 11-59.

Revista de interés general (publicaciónperiódica ):

Vélez, E. (1984, mayo). Logros ocupa-cionalesdel bachiller colombiano: El caso de la Cohortede 1978. Educación, Formación Profesional yEmpleo (pp. 167-194). Bogotá, Colombia:SENA.

Libro:

Lakatos, I. (1977). Proofs and refutations, thelogic of mathematical discovery. Cambridge,USA: Cambridge University Press.

Capítulo de libro:

Artigue, M. (1992). Functions from an algebraicand graphic point of view: Cognitive difficultiesand teaching practice. En E. Dubinsky & G. Harel(Eds.), The concept of function: aspects ofepistemology and pedagogy (pp. 109-132).Washington, DC, EE. UU.: MathematicalAssociation of America.

Dauben, J. (1984). El desarrollo de la teoría deconjuntos cantoriana. En I. Grattan-Guinness(Ed.), Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910. Una introducción histórica (pp. 235-282).Madrid, España: Alianza Editorial. (Versiónoriginal en inglés publicada en 1980).

Organizaciones y documentos:

UNESCO (1983). Anuario Estadístico. París:UNESCO.

Memorias de Reuniones y Simposia:

Cantoral, R. (1995). Matemática, matemáticaescolar y matemática educativa. En R. Farfán(Ed.), Publicación de la Novena ReuniónCentroamericana y del Caribe sobre Formaciónde Profesores e Inves-tigación en MatemáticaEducativa (volumen 1, pp. 1-10). La Habana,Ministerio de Educación, Cuba: Cinvestav.

Tesis:Flores, R. (1992). Sobre la construcción del

Sugerencias 309

Referencia de texto:

Las referencias de texto irán al final de laoración, frase o texto como se muestra en lossiguientes ejemplos:

* Una fuente con dos autores: (Gubar &Hebin, 1980).

* Una fuente con más de tres autores:(Agard et al., 1990).

* Una referencia a varios trabajos,separarlas citas con punto y coma:(Gómez, 1992; Cordero, 1995; García,1994).

Citas de Notas:

El formato para citar una fuente será en formade referencia de texto. Es posible incluir notasal pie de página para proveer informaciónadicional de una referencia textual o aclararuna idea del texto. Si se utilizan notas al piede página, el autor deberá colocarlas en laparte inferior de la página de referencia. Si seutilizan notas finales, se colocarán al final delartículo siguiendo una numeraciónascendente.

Información complementaria

1) No se devolverán los disquetes ni losartículos originales.

2) El editor se reserva el derecho de haceralgunas modificaciones necesarias paramantener el estilo de la publicación.

3) Los textos pueden ser publicados en otroórgano editorial previo permiso expreso,por escrito, y haciendo referencia explícitade la fuente.

4) Los autores recibirán gratuitamente 2ejemplares del número en que se hayapublicado su artículo.

5) No se realizarán pagos a los autores porlos artículos que se publiquen en RELIME.

Para mayores informes, puede visitar lapágina web : http://www.clame.org.mx/relime.htm o bien el correo electrónico :

[email protected]

concepto de convergencia en relación almanejo heurístico de los criterios. Tesis demaestría no publicada, Cinvestav, México.

Referencias Electrónicas

Publicación periódica en línea:

Candela, A. (1999). Prácticas discursivas enel aula y calidad educativa. Revista Mexicanade Investigación Educativa 4(8), 273-298.Obtenido en junio 7, 2004, de http://www.comie.org.mx/revista/Pdfs/Carpeta8/8invest3.pdf

Documento en línea:

PISA (2003). Aprender para el mundo demañana: Resumen de resultados. Obtenido enabril 4, 2005, de http://www.ince.mec.es/pub/pisa2003resumenocde.pdf

Artículos de Internet basados en una fuen-te impresa:

Parnafes, O. & Disessa, A. (2004). Relationsbetween types of reasoning and computationalrepresentations. [Versión Electrónica]. Interna-tional Journal of Computers for MathematicalLearning 9(3), 251-280.

Documento sin fecha ni autor identificado:

Si el autor de un documento no está identifi-cado, comience la referencia con el título deldocumento:

Calculadoras y Educación (s.f.). Obtenido enenero 12, 2000, de http://www.agapema.com/period/dijo.htm

Documento disponible en la página web deuna Universidad o Departamento:

Chou, L., McClintock, R., Moretti, F., & Nix, D.H. (1993). Technology and education: Newwine in new bottles: Choosing pasts andimagining educational futures. Obtenido enagosto 24, 2000, del sitio web de ColumbiaUniversity, Institute for Learning Technologies:http://www.ilt.columbia.edu/publications/papers/newwine1.html

Relime

Suscripción a Relime

Datos personalesNombre ______________________ _______________________ _____________________ nombres apellido paterno apellido maternoDirección particular ___________________________ _____ _______________________ calle número colonia__________________ __________________ ___________________ ________________ ciudad, estado, código postal paísTel. ____________ Fax____________ E-mail _____________________________________

Datos de su instituciónEscuela o Institución donde trabaja _______________________________________________Dirección _______________________________ ________ ________________________ calle número colonia__________________ _________________ ___________________ _________________ ciudad, estado, código postal país

Teléfono particular _____________________ Fax __________________________

Datos sobre sus actividadesSi es estudiante,nombre de la licenciatura, ingeniería o posgrado que estudia____________________________________________________________________________

Institución donde estudia _______________________________________Semestre _______

Si es profesor,nivel que imparte____________________Nombre de la(s) asignatura(s) que imparte ___________________ _____________________

________________ _________________Nivel educativo donde trabaja__________________

Si es investigador,Institución a que pertenece _______________________________________________

Línea de investigación que trabaja _____________________________________________

Nivel educativo más frecuente donde hace sus investigaciones _______________________

Costo del volumen 9 (tres numeros)Suscripción institucional: 120 dlsSuscripción individual: 50 dls

Suscripción para miembros de Clame: 20 dlsCosto por un numero: 15 dls

Estos precios no incluyen costos por envio ni cargo por depósito en cuentabancaria. Para cotización actual, favor de pedir informes a

suscripció[email protected]

310

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa Número Especial.

Se imprimió en los talleres deImpresora MMC

5a Cerrada de Barranca, Manzana 4, Lote 5Col. El manto, Iztapalapa. México, DF.

Septiembre de 2006.Tiraje: 2000 ejemplares más sobrantes

Date post:	13-Oct-2018
Category:	Documents
Upload:	ngoxuyen
View:	231 times
Download:	0 times

Número Especial Semiótica, Cultura y Pensamiento ... · Publicación Oficial de ... Informe...

Documents