NUMEROS RACIONALES RAZONES Y PROPORCIONES · 2020. 12. 21. · RAZONES Y PROPORCIONES 1. RAZÓN: Es...

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Equipo de Matemática 82

NUMEROS RACIONALES:

Matemáticamente se define:

a / a b *b

¤ ¢ ¢

1. NUMEROS FRACCIONARIOS

Son aquellos números racionales de la forma ab

que no son enteros

es decir que “a” no sea múltiplo de “b”.

Ejemplos: 8

7;

4

15;

12

3;

7

5

1.1 Fracción:

Son aquellos números fraccionarios, cuyos términos son

positivos.

Ejemplos: 3

8;

41

121;

4

9;

13

12

1.2 Clasificación de las fracciones

A. Por la comparación de su valor respecto de la unidad.

* Propia: Cuando es menor que la unidad.

Impropia: Cuando es mayor que la unidad.

Ejemplos: 11 3 21 8

; ; ;13 4 41 3

a

fb

“f” es fracción a b, a Z+ ; b Z+

numerador

denominador

NUMEROS RACIONALES – RAZONES Y

PROPORCIONES

a

f 1 ; a bb

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B. Por su denominador:

* Decimal:

Cuando el denominador es una potencia de base 10.

* Ordinaria o común:

Cuando el denominador no es una potencia de base 10.

C. Por la cantidad de divisores comunes de sus términos.

* Irreductible:

Cuando sus términos sólo poseen como divisor común a la

unidad.

* Reductible:

Cuando sus términos tienen más de un divisor común.

D. Por grupo de fracciones.

* Homogéneas:

Todos los denominadores son iguales.

15

41;

15

9;

15

8

naf ; b 10 ; n Zb

naf ; b 10 ; n Zb

a

f ; a y b son PESI, MCD(a,b) 1b

no a

f ; a y b son PESI, MCD(a,b) 1b

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* Heterogéneas:

Por lo menos hay un denominador diferente a los demás.

3

4;

16

9;

15

6;

5

18

1.3 MCM Y MCD DE FRACCIONES:

Dadas las fracciones irreductibles: p

c;

n

b;

m

a Se cumple que:

Ejemplos:

-

22

27;

4

45;

11

18MCD

44

9

)22,4,11(MCM

)27,45,18(MCD

-

44

7;

32

21;

20

9MCM

4

63

)44,32,20(MCD

)7,21,9(MCM

( , , ); ;

( , , )

a b c MCM a b cMCM

m n p MCD m n p

( , , ); ;

( , , )

a b c MCD a b cMCD

m n p MCM m n p

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2. NUMEROS DECIMALES

2.1. Número Decimal

Es una expresión en forma lineal de una fracción; la cual posee

una parte entera y otra parte no entera, separados por una coma:

7531, 24

Parte Parte

entera no entera

Coma Decimal

Clasificación de los números decimales

Decimal exacto:

Presenta un número limitado de cifras en la parte no entera.

Observaciones:

* Una fracción propia irreductible, dará origen a un decimal

exacto; cuando el denominador es una potencia de 2 de 5 o

del producto de potencias de 2 y 5 únicamente.

* La cantidad de cifras decimales está dada por el mayor

exponente de 2 ó 5 contenido en el denominador de la

fracción irreductible.

Ejemplo: Las siguientes fracciones propias son irreductibles:

* 22

N; origina 2 cifras decimales: ab,0 .

* 45

N; origina 4 cifras decimales: abcd,0 .

* 2452

N; origina 4 cifras decimales: abcd,0 .

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2.2. Decimal Inexacto:

Posee infinita cantidad de cifras en la parte no entera.

Se presentan dos casos:

A. Periódico Puro:

Presenta el período, inmediatamente después de la coma

decimal.

Observaciones:

* Estos números decimales son originados por fracciones

irreductibles cuyo denominador está formado por factores

primos diferentes a 2 y 5.

* La cantidad de cifras periódicas está dado por el menor

número formado únicamente por cifras “nueve”, que contiene

exactamente al denominador de la fracción irreductible.

Tabla de los Nueves

9 = 32

99 = 32x11

999 = 33x37

9999 = 32x11x101

99999 = 32x41x271

999999 = 33x7x11x13x37

Las siguientes fracciones son irreductibles; entonces:

* ,33

N origina 2 cifras periódicas (33 está en 99).

* 101

Norigina 4 cifras periódicas (101 está en 9999)

* Si el denominador de la fracción irreductible es el producto

de varios factores primos diferentes, el número de cifras

periódicas está dada por el MCM de la cantidad de cifras de los

menores números formados por cifras 9, que contengan a los

factores primos indicados.

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Ejemplo:

101x11x7

5

Entonces la fracción señalada tendrá:

MCM (6, 2, 4) = 12 cifras periódicas.

B. Periódico Mixto

Presenta el período luego de una cifra o grupo de cifras

después de la coma decimal.

Observaciones:

Las fracciones irreductibles que originan estos números

decimales, poseen en el denominador producto de

potencias de 2 ó 5 y además factores primos diferentes a 2

y 5.

Ejemplo:

* 085365,041x2

7

82

7

* 2954,011x2

13

44

13

2

Para encontrar la cantidad de cifras periódicas y no

periódicas se procede según como se indica en los casos

anteriores.

Ejemplo:

La fracción es irreductible:

41x5x2

N

3

7 6 cifras periódicas



3 cifras no periódicas

5 cifras periódicas

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2.3. Fracción Generatriz

Fracción común e irreductible equivalente a un número decimal.

Para un decimal exacto:

Para un decimal inexacto periódico puro:

Para un decimal inexacto periódico mixto:

2.4. Números Avales

Aval Exacto

Observación:

5432

)n(n

e

n

d

n

c

n

b

n

aabcde,0

0,23(8) = (8)

(8)

23

100 =

2

2(8) 3

1.(8) 0 8 0

=

19

64

O también

0,23(8) = 2

2 3

8 8 =

19

64

10000

abcdabcd,0

¼ abcd0,abcd

9999

¼ abxyz - ab0,ab xyz =

99900

)n(

)n()n(

1000

abcabc,0

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Aval Periódico Puro:

º(5)0,32 =

8

8

32

77 =

3 8 2

7 8 7

=

26

63

Aval Periódico Mixto:

70,143)

=

7 7

7

143 14

600

=

2

2

1 7 4 7 3 1 7 4

6 7 0 7 0

=

69

294

RAZONES Y PROPORCIONES

1. RAZÓN:

Es la comparación que se establece entre dos cantidades, mediante

las operaciones de sustracción o división.

En general: Sean las cantidades a y b.

RAZÓN

ARITMÉTICA

RAZÓN

GEOMÉTRICA

RAZÓN

ARMÓNICA

Determina en

cuanto excede

una cantidad

a la otra.

a – b = r

Determina cuantas

veces cada una de

las cantidades está

en la unidad de

referencia.

Kb

a

Determina la razón

aritmética de las

inversas de dos

cantidades

1 1- =h

a b

¼ (n)(n)

(n)

abc0,abc

(n 1)(n 1)(n 1)

¼ (n)(n)(n)

(n)

abxyz ab0,ab xyz

(n 1)(n 1)(n 1)00

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Donde:

a y b términos de la razón

a Antecedente

b Consecuente

r Valor de la razón aritmética

k Valor de la razón geométrica

h Valor de la razón armónica

Observación:

Sean “a” y “b” cantidades tal que: 5

3

b

a

Significa que:

“a” es como 3 y “b” es como 5

“a” y “b” están en relación de 3 a 5.

Por cada 3 unidades de a, hay 5 unidades de b;

Nota:

Cuando se mencione solamente razón o relación se debe entender

que se hace referencia a la razón geométrica.

EMPLO:

La edad de A y B son entre sí como 5 es a 4; la razón entre las

edades de B y C es 3/7. SI la suma de las edades de las tres

personas es 165. La diferencia entre la edad del mayor y la del menor

es:

Resolución:

Por dato:

A 5.3 15

= =B 4.3 12

B 3.4 12

= =C 7.4 28

Luego: A = 15k ; B = 12k; C = 28k

15k + 12k + 28k = 165

k = 3

Diferencia entre la mayor y menor de las edades: 28k - 12k = 16k = 48

La diferencia es 48 años

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2. PROPORCIÓN:

Es la igualdad en valor numérico, de dos razones de la misma clase.

En general:

Donde:

* a y d Términos extremos

* b y c Términos medios

Observación:

Una proporción dependiendo de sus términos medios puede ser:

Discreta o Continua

PROPORCIÓN ARITMÉTICA

Discreta Continua

Extremos

a – b = c – d

Medios

d: Cuarta diferencial de

a, b y c.

Extremos

a – b = b – c

Medios

b: Media diferencial o media

aritmética de a y c

c: Tercera diferencial de a y b.

Proporción

Aritmética

a – b = c –

d

a + d = b + c

Suma de Suma de

Extremos Medios

Proporción

Geométrica d

c

b

a

a x d = b x c

Medios

de

oducto

Extremos

de

oducto PrPr

Proporción

Armónica

1 1 1 1- = -

a b c d

1 1 1 1+ = +

a d c b

Medios

de

Suma

Extremos

de

Suma

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PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

Discreta Continua

d

c

b

a

d: Cuarta proporcional

de a, b y c.

c

b

b

a

b: Media proporcional o media

geométrica de a y c.

acb

c: Tercera proporcional de a y b.

EJEMPLO

Si “m” es la media proporcional de 9 y 4; “n” es la cuarta proporcional

de 8, m y 12. El valor de “m + n” es:

Resolución:

* 9 m

=m 4

m2 = 36 m=6

* 8 12

=6 n

n = 9

m + n = 15

PROPIEDAD DE LA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA:

Cualquier variación de suma y/o resta en los términos de la primera

razón será igual a la misma variación respectiva con los términos de

la segunda razón.

d

dc

b

ba

Si: d

c

b

a

dc

c

ba

a

dc

dc

ba

ba

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3. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

9

18

4

8

5

10

3

62

Donde:

6, 10, 8 y 18 Antecedentes

3, 5, 4 y 9 Consecuentes

2 Constante de

Proporcionalidad (k)

Propiedades Generales:

P.1. Si:

Kd

D

c

C

b

B

a

A

P.2. Si: Kd

D

c

C

b

B

a

A , entonces:

Kdcba

DCBA

P.3. Si: Kd

D

c

C

b

B

a

A , entonces:

4Kd.c.b.a

D.C.B.A

Donde: “n” es el numero de razones geométricas que se multiplican.

A = ak

B = bk

C = ck

D = dk

Antecedente = Consecuente x k

KesConsecuentdeSuma

esAntecedentdeSuma

Producto de Antecedentes

Producto de Consecuentes

nk

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Observación:

En la siguiente serie de razones geométricas equivalentes:

81

54

54

36

36

24

24

16

Se observa que el primer consecuente (24) es igual al segundo

antecedente, el segundo consecuente (36) es igual al tercer

antecedente y así sucesivamente. A este tipo de serie se le denomina

Serie de razones geométricas continuas equivalentes.

En general:

Si: ke

d

d

c

c

b

b

a

EJEMPLO:

Si: N A T Y 4

= = = =972 N A T Y

el valor de “N + A + T + Y” es:

Resolución:

Sea: N A T Y 4

= = = =972 N A T Y

=k N.A.T.Y .4

972. N.A.T.Y

5=k

51 1=k k=

243 3

Vemos que en cada razón, el antecedente es la tercera vez del

respectivo consecuente.

Luego, la serie es:

324 108 36 12 4 1= = = = =

972 324 108 36 12 3

N = 324 ; A = 108; T = 36 ; Y = 12

N + A + T + Y = 480

a = ek4

b = ek3

c = ek2

d = ek

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PPRROOMMEEDDIIOOSS

1. MEDIA ARITMÉTICA (MA)

En general:

2. MEDIA GEOMÉTRICA (MG)

En general:

3. MEDIA ARMONICA (MH)

M.A.(a1; a2; ...; an)=n1 2a +a +…+a

n

MA (a; b) = a+b

2

MA (a;b;c) = a+b+c

3

MG(a;b)= a×b

MG(a; b; c;) = 3 a×b×c

M.A. (a1; a2; ...;an)= 1 2na .a …an

MH(a;b)=2 2ab

=1 1 a+b

+a b

MH (a; b y c) = 3 3abc

=1 1 1 ab+ac+bc

+ +a b c

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En general:

4. PROPIEDADES:

1. Para una limitada cantidad de números diferentes entre sí, se

cumple siempre que:

(MA) > (MG) > (MH)

2. Sólo para dos números reales se cumple:

(MG)2 = (MA) (MH)

3. En el caso de cometer el error de reemplazar la MA (a y b) por su

MG (a y b se tiene):

ERROR =2(a - b)

4(MA+ MG)

Observación:Las medias aritméticas, geométricas y armónicas son

iguales, si los números son también iguales.

Ejemplo:

La diferencia entre a y b es 10, además la suma de las medias

aritméticas y geométricas es 25. El error se comete al tomar la media

aritmética de a y b por su media geométrica es:

Resolución:

Por dato: a – b =10 y MA + MG = 25

Entonces por la propiedad (3):

ERROR =210

4(25) =1

M.H.(a1;a2;...;an) =

n1 2

n

1 1 1+ +…+

a a a

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PROBLEMAS DE APLICACION

1. Para cuántos valores de +n n Ζ la expresión: 5n+17

3n-8

representan número fraccionarios mayores que 7?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Resolución

Se tiene

5n+177<

3n-8 ⟹ 16 n<73

n 4,...

Además

3n 8 0 ⟹ 8

n3

Luego n = 3 ó n = 4

CLAVE: B

2. Si la fracción: 3n n+5

280F=

40 ×34; genera 72 cifras en la parte no

periódica. La suma de cifras del período que genera la fracción:n-3

n

es.

A) 31 B) 30 C) 27 D) 29 E) 28

Resolución

3n n+5

280F=

40 ×34 ⟹

3

3n3 n+5 n+5

7×2 ×5F=

2 ×5 g17 g 2

10n+2 3n-1 n+5

7F=

2 ×5 ×17

n > 2,6

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Dato:

10 n+2=72 ; n =7

Suma de cifras: 27

CLAVE: C

3. Se han arrancado las 50 últimas hojas de un libro, notándose que

el número de tipos de imprenta que se han utilizado en su

numeración, ha disminuido en 361. El número de tipos de imprenta

que se han utilizado en la numeración de las hojas que quedaron

es:

A) 2 661 B) 2 771 C) 2 769

D) 2 772 E) 2 774

Resolución

En total de páginas =100

Si las 100 páginas arrancadas fueran todas de 4 cifras, faltarían en

total 400 tipos de imprenta, pero sólo faltan 361, esto indica que

algunas páginas son de 3 cifras.

Si cada página de 4 cifras reemplazamos por una de 3 cifras, la

cantidad de tipos disminuye en 1.

Cantidad de páginas de 3 cifras = 400 -361 =39

La última página de 3 cifras es la 999

La última página de 3 cifras que quedaron es =999-39=960

Cantidad de tipos=3(960+1)-111=2 772

Total de tipos = 2 772

CLAVE: D

4. La suma y el producto de los cuatro términos de una proporción

continúa. Son respectivamente 192 y 194481. La diferencia de los

extremos es:

A) 75 B) 86 C) 104 D) 144 E) 156

n 3 4F 0,571428

n 7

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Resolución

2a ba c b

b cg

a + 2b + c = 192

2a b c 194481g g

4 4b 21 b² = 21²

a c 441g a = 3

a c 150 c = 147

147 – 3 = 144

CLAVE.: C

5. Sabiendo que: a b c

= =m n p

y además: (a+b+c) . (m+n+p) = 7225

El valor de T = 16 ( am+ bn+ cp ) es:

A) 1300 B) 1320 C) 1360 D) 1400 E) 1460

Resolución:

Sea: a b c

= = =km n p

De: (a + b + c) . (m +n + p) = 7225

mk nk pk 2k .(m+n+p) =7225

Þ k (m+n+p)=85 ........... (1)

En:

T=16 am+ bn+ cp

mk nk pk

T=16(m k+n k+p k) ⟹

85

T=16. k .(m+n+p)1 44 2 4 43

T= 16 . 85 = 1360

CLAVE:C

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