La importancia de las caras para unaMV-asignacion

Fco. Javier Cobos Gavala

Resumen

En [1] T. Hull desarrolla un algoritmo lineal que permite contarel numero de MV-asignaciones validas para un mapa de pliegues quecontiene un unico vertice en su interior. Para ello es necesario conocerla medida de los angulos alrededor de dicho vertice. En caso de existirmas de un vertice en el interior del mapa de pliegues el problemase complica y, en el mismo artıculo, T. Hull presenta los ejemplosdel torcido del cuadrado y del torcido del octogono para mostrar sudificultad.

En este trabajo se muestra que para contar el numero de MV-asignaciones de un mapa de pliegues con mas de un vertice en suinterior no solo es necesario conocer la medida de los angulos alrededorde cada vertice sino que tambien es fundamental conocer las caras delgrafo del mapa.

1 Introduccion

El estudio del origami o papiroflexia (el arte y el proceso del doblado delpapel) incluye muchos e interesantes problemas geometricos y combinatorios(veanse [2, 6]). En las matematicas del origami un modelo indica cualquier ob-jeto de papel doblado, independientemente del numero de pliegues necesariospara su realizacion. El mapa de pliegues de un modelo es una representacionplana de un grafo que representa los pliegues necesarios para la realizaciondel modelo.

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Al realizar un pliegue en una hoja de papel, este puede realizarse de dosformas diferentes, de forma convexa o en montana y de forma concava o envalle. Es general el uso de la notacion

− · · − · · − · ·− para los pliegues en montana

−−−−−−− para los pliegues en valle

Figura 1: Un pliegue en montana (izquierda) y otro en valle (derecha)

Si deshacemos los pliegues realizados para obtener un modelo de papiro-flexia, nos quedan en la hoja de partida las marcas de los pliegues que se hanrealizado. Ası, por ejemplo, si desplegamos la grulla tradicional nos queda elmapa que aparece en la Figura 2.

Figura 2: El mapa de los pliegues de la grulla tradicional

Definicion 1 Un origami plano es un par (C, f), donde C es el conjunto depliegues y f : C → {M,V} es tal que la representacion de (C, f) inducida de[0, 1]× [0, 1] en R3 es biyectiva.

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Observese que para que el origami sea plano (pueda ser guardado entrelas hojas de un libro) los pliegues han de ser, necesariamente de ±180 grados,por lo que les asignaremos los valores M si el pliegue es en montana o V sies en valle.

Como vamos a tratar de los origamis planos, la funcion f : C → {M,V}la llamaremos MV-asignacion y diremos que es una asignacion valida si elmapa C con dicha asignacion permite la construccion de un modelo plano sinromper el papel. En caso contrario diremos que se trata de una asignacionno valida. Un mapa C para el que ninguna MV-asignacion sea valida diremosque corresponde a un origami irrealizable.

1.1 Propiedades locales del origami plano

Diremos que un vertice v es un vertice interior plano si corresponde a unvertice del interior del mapa en el que confluyen pliegues, de tal forma queun disco centrado en v y que no contenga a ningun otro vertice del mapaadmita un plegado plano. Para ello es necesario que se verifiquen una seriede condiciones basicas sin las cuales no sera posible su plegado.

Teorema 1 [Maekawa-Justin [5, 7]] Sea M el numero de pliegues enmontana y V el de pliegues en valle que confluyen en un vertice interiorplano. Se verifica entonces que M − V = ±2.

El resultado obtenido para doblar una hoja de papel tambien es validopara doblar un cono (la suma de los angulos alrededor del vertice es menorde 360 grados). En este caso, el vertice al que nos referimos es el vertice delcono. En otras palabras, si en vez de partir de una hoja plana de papel conun vertice en su interior, partimos de un cono en el que se han marcado variasgeneratrices (lıneas de pliegue), no admitira un plegado plano si no verificala condicion anterior, es decir, que M − V = ±2. Si M − V = 2 diremos queel vertice esta orientado hacia arriba, mientras que si M − V = −2 lo estahacia abajo.

Corolario 1 El grado de un vertice interior plano (o de un cono que admitaplegado plano) es siempre par.

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Teorema 2 [Kawasaki-Justin [4, 5, 8]] La suma de los angulos alternosen un vertice interior plano de C es 180 grados.

Si en vez de partir de un vertice interior plano partimos de un cono,la suma de los angulos que definen las lıneas de pliegue (cortemos por unageneratriz y despleguemos el cono) no es de 360 grados, por lo que lo unicoque nos asegura el teorema de Kawasaki-Justin en el caso de un cono es quelos angulos de subındice par suman lo mismo que los de subındice impar.

α1 + α3 + · · ·+ α2n−1 = α2 + α4 + · · ·+ α2n (1)

El recıproco del teorema de Kawasaki-Justin tambien es cierto, es decir,si la suma de los 2n angulos alternos de un vertice interior es 180 grados (oen el caso de un cono se da la condicion (1)), admite un plegado plano.

Sin embargo, el hecho de que todos los vertices interiores existentes enel mapa de un modelo verifiquen la condicion de Kawasaki-Justin no quieredecir que globalmente se pueda realizar un plegado plano del modelo. Veamos,para ello, el siguiente teorema.

Teorema 3 Sea v un vertice interior plano (o un cono) y denotemos porα1, . . . , α2n los angulos definidos por las lıneas de pliegue. Si αi < αi−1 yαi < αi+1 entonces las aristas li y li+1 han de tener diferente asignacion, esdecir si una es en valle la otra ha de ser, necesariamente, en montana.

Teniendo en cuenta el teorema anterior podemos ver que el origami re-presentado en la Figura 3 no admite ninguna MV-asignacion valida a pesarde cumplir los requisitos de teorema de Kawasaki-Justin. Se trata de lo quellamamos un origami irrealizable.

En efecto, si nos fijamos en uno de los vertices del triangulo equilaterocentral (60 grados) podremos observar que los pliegues que lo definen tienenangulos adyacentes de 90 grados, por lo que ambos pliegues tienen que tenerdiferente asignacion, es decir, si uno se realiza en montana el otro hay querealizarlo en valle. Al darse la misma circunstancia en los tres vertices del

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Figura 3: Un origami irrealizable

triangulo central llegamos a una incompatibilidad, pues si hemos asignado ados de sus lados los valores M y V (montana y valle) no podemos asignar altercero ninguno de los dos valores.

Buscar condiciones globales para determinar si un origami es plano esun problema demasiado complejo, por lo que nos limitamos, de momento,a estudiar condiciones locales. Si nos centramos en contar el numero deMV-asignaciones validas para un mapa de pliegues, el problema, al igualque el anterior demasiado complejo, T. Hull en [1] se limita a estudiar casosconcretos, en particular aquel en el que el mapa de pliegues contiene a ununico vertice.

Para ver la dificultad del problema en el caso general con varios verticespodemos da el siguiente ejemplo. La figura 4 nos muestra el mapa de plieguesdel denominado torcido de un cuadrado, una MV-asignacion valida para dichomapa y el modelo resultante. De las 212 posibles MV-asignaciones, solo 16son validas.

Figura 4: El torcido de un cuadrado

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Se presentan, a continuacion las 16 MV-asignaciones validas.

Figura 5: Las 16 MV-asignaciones validas del torcido del cuadrado

Estudiemos, en primer lugar, como se obtienen las 16 MV-asignacionesvalidas para el torcido del cuadrado. En la figura 6 hemos numerado losvertices y las aristas de su mapa de pliegues.

Evidentemente se verifican las condiciones de Kawasaki. En caso contra-rio no serıa posible un plegado plano.

Si comenzamos por el vertice v1 y lo orientamos hacia arriba (M-V=2),por cada MV-asignacion que obtengamos tenemos tambien la correspondiente

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Figura 6: Mapa de pliegues del torcido del cuadrado

a cambiar todas las asignaciones realizadas, con lo que el vertice v1 se volverıahacia abajo. Ası pues, podemos buscar todas aquellas en que v1 es haciaarriba y obtener el resto invirtiendo las asignaciones.

El angulo que forman las aristas 1 y 2 es menor que sus dos adyacentes,por lo que dichas aristas han de tener asignaciones diferentes. Supongamosque f(1) =M y f(2) =V (casos 1, 2, 3 y 4). Como la arista 2 tiene asignacionV y v1 es hacia arriba, necesariamente 3 y 4 tienen que tener asignacion M.

Como el angulo formado por las aristas 4 y 5 es menor que sus adyacentes,dichas aristas deben tener asignaciones diferentes, por lo que f(5) =V. Nosplanteamos ahora si hacer del vertice v2 un vertice hacia arriba o uno haciaabajo. Si optamos por hacerlo hacia arriba (casos 1 y 2), las aristas 6 y 7han de tener asignacion M. Si lo orientamos hacia abajo (casos 3 y 4), 6 y 7deben tener asignacion V.

Las aristas 7 y 8 forman un angulo menor que sus adyacentes, por lo que8 ha de tener asignacion V. Disponemos ahora de la posibilidad de orientar av3 hacia arriba (caso 1) o hacia abajo (caso 2). Supongamos que se opta pororientarla hacia arriba (caso 1), las aristas 9 y 10 tienen que tener asignacionM. La arista 11 esta forzada a tener asignacion V porque el angulo que formacon la 10 es menor que sus adyacentes y la 12 asignacion M porque v4 yatiene dos aristas M y una V, con lo que la cuarta no puede ser otra V (en esecaso serıa M-V=0 y no serıa valida la asignacion). Es decir, para el cuartovertice no tenemos opciones posibles.

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En resumen disponemos de 2 posibilidades para elegir (siempre con v1hacia arriba) si f(1, 2) = (M, V ) o f(1, 2) = (V, M). Dos posibilidades paraoptar porque v2 se oriente hacia arriba o hacia abajo y otras dos para orientara v3. En total 8 asignaciones posibles con v1 hacia arriba.

Cambiando todas las asignaciones obtenemos otras 8 (casos 9 a 16) enque v1 esta orientado hacia abajo. Hemos conseguido ası las 16 asignacionesvalidas.

Hay que tener en cuenta que lo que hemos hecho es obligar, a cada unode los vertices, a que cumpla las condiciones de Maekawa y las impuestaspor el teorema 3 para que por sı solos cada uno de ellos pueda ser dobladoen plano. No hemos tenido en cuenta si globalmente son validas todas lasopciones. En este caso no existe ninguna incompatibilidad y las 16 asignacio-nes realizadas permiten un doblado en plano. Sin embargo, no disponemosde ninguna herramienta que nos permita saber, sin realizar los plegados, queMV-asignaciones son globalmente validas y cuales no.

Examinemos ahora el caso del torcido del octogono cuyo mapa se tiene enla figura 7.

Figura 7: El mapa del torcido de un octogono

Podemos observar que de cada uno de los vertices del octogono partendos aristas que forman un angulo menor que sus adyacentes, por lo queambas deben tener diferente asignacion. Si fijamos la asignacion de una de

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las parejas y orientamos su vertice hacia arriba, los dos lados del octogono(las otras dos aristas que inciden en el vertice) deben tener asignacion M,lo que junto al hecho de que las aristas hacia afuera del siguiente verticetambien deben tener asignacion diferente nos dice que el siguiente lado deloctogono tambien debe tener asignacion M. Podemos observar, por tantoque los ocho lados del octogono deben tener asignacion M y cada pareja dearistas que sale hacia afuera orientacion diferente, es decir, (M,V) o (V,M).Disponemos, por tanto de 28 posibilidades de eleccion una vez orientado unode los vertices hacia arriba. Si ese mismo vertice lo hubiesemos orientadohacia abajo hubiesemos obtenido otras 28 posibilidades todas ellas con loslados del octogonos asignados a un pliegue en valle.

Existen, por tanto 29 MV-asignaciones localmente validas. Sin embargo, ya diferencia del caso del torcido del cuadrado solo dos de ellas son globalmentevalidas. La figura 8 nos muestra esas dos posibilidades. Evidentemente unaresulta de cambiar todas las asignaciones de la otra.

Figura 8: El torcido de un octogono

Se hace evidente la necesidad de buscar herramientas que nos permitandistinguir cuales son las MV-asignaciones globalmente validas.

2 La importancia del tamano

Supongamos que recortamos nuestro papel y nos quedamos con al mapade la figura 9. Es evidente que volveremos a obtener 29 MV-asignaciones

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localmente validas. La diferencia estriba en que ahora todas lo son tambienglobalmente.

Figura 9: El mapa recortado del torcido de un octogono

T. Hull en [1] establece un algoritmo lineal para contar el numero deMV-asignaciones validas para un vertice de plegado plano o, lo que es lomismo, para un mapa que solo contiene un vertice en su interior. Para elloes fundamental conocer la amplitud de los angulos que forman las aristasque inciden en el, por lo que define el vertice de la forma v = (α1, . . . , α2n)verificandose, evidentemente, la condicion de que los vertices de subındice parhan de sumar lo mismo que los de vertice par (Kawasaki) y que confluyen enel un numero par de aristas (y, por tanto, un numero par de angulos) paraque se pueda verificar el corolario 1 del teorema de Maekawa.

Es evidente que si queremos buscar un algoritmo que nos diga si unaMV-asignacion, localmente valida, lo es tambien globalmente en un mapaque contenga a mas de un vertice, no sera suficiente con definir los vertices atraves de los angulos que inciden en el, sino que deberemos conocer las carasdel grafo que representa el mapa de pliegues.

Podemos entonces generalizar el teorema 3 en el siguiente sentido:

Teorema 4 Sean C el grafo que define un mapa de pliegues y c una de suscaras. Consideremos dos caras c1 y c2 adyacentes a c y sean l1 y l2 las aristasque las separan de c, respectivamente. Si la reflexion de c1 con eje l1 sobre c

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interseca a l2 y la de c2, con eje l2 sobre c interseca a l1, las aristas l1 y l2han de tener diferente asignacion.

Demostracion: La demostracion es similar a la del teorema 3.

La figura 10 representa un origami irrealizable [3] con dos vertices.

Figura 10: Un origami irrealizable con dos vertices

Si observamos la figura 11 vemos que al reflejar, con eje la arista A-2, lacara C-1 sobre C-2, la arista A-1 interseca a la A-3 y si reflejamos, con ejeA-3, la cara C-3 sobre C-2, la arista A-4 corta a la arista A-2. Por teorema 4sabemos que A-2 y A-3 han de tener diferente asignacion.

Analogamente, reflejando C-4 y C-6 sobre C-5 observamos que A-5 y A-6deben tener asignaciones diferentes.

Ası pues, si comenzamos a hacer una MV-asignacion desde el verticede 45 grados, los pliegues A-4 y A-5 deben tener diferente asignacion, porejemplo M y V (ver Fig. 11). La siguiente arista A-6 debe tener asignacionM por el teorema 4. La asignacion de A-1 debe ser V por formar con A-6un angulo menor que sus adyacentes. Si decidimos ahora que el vertice de45o esta orientado hacia arriba, A-3 y A-7 han de tener asignacion M, noquedandonos opcion alguna para A-2, ya que el teorema 4 nos dice que debeser V (puesto que f(A-3)=M) pero entonces falla la condicion de Maekawa,

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Figura 11: Prueba de la imposibilidad

por lo que resulta ser un origami irrealizable.

Volvamos ahora al ejemplo del torcido del octogono (Fig.7).

Si aplicamos el teorema 4 vemos que la asignacion de las aristas exterioresdel octogono debe ser alternativa (ver Fig. 12), por lo que solo disponemosde la posibilidad de que la primera que asignemos sea M o V. Las aristasdel octogono pueden ser ahora todas M o todas V, segun sea la orientacionde sus vertices, por lo que de 29 MV-asignaciones localmente validas hemospasado a solo 4 que puedan serlo globalmente.

Figura 12: Aplicacion del teorema 4 al torcido del octogono

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Sin embargo, sabemos que solo dos son globalmente validas, por lo queel teorema 4 aun resulta insuficiente.

Referencias

[1] Hull, T. Counting Mountain-Valley Assignments for Flat Folds To appearin Ars Combinatoria, 2002.

[2] Hull, T. On the mathematics of flat origamis Congressus Numerantium,100 (1994) 215-224.

[3] Hull, T. The Combinatorics of Flat Folds: a Survey In: AK Petersed., Proceedings of the Third International Meeting of Origami Science,Mathematics and Education (2002).

[4] Justin, J. Aspects mathematiques du pliage de papier In: H. Huzita ed.,Proceedings of the First International Meeting of Origami Science andTechnology (Ferrara, 1989) 263-277.

[5] Justin, J. Mathematics of origami Part 9, British Origami (June 1986)

[6] Justin, J. Toward a mathematical theory of origami In: K. Miura ed.,Origami Science and Art: Proceedings of the Second International Mee-ting of Origami Science and Scientific Origami, (Seian University of Artand Design, Otsu, 1997) 15-29.

[7] Kasahara, K. and Takahama, T. Origami for the Connoisseur JapanPublications, New York, 1987

[8] Kawasaki, T. On the relation between mountain-creases and valley-creases of a flat origami (abridged English translation) In: H. Huzitaed., Proceedings of the First International Meeting of Origami Scienceand Technology (Ferrara,1989) 229-237.

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