ondas1

Física IIIOndas Mecánicas

Prof.: Pamela Catalán Contreras Ondas, Óptica y Física Moderna

Contenidos1 Movimiento Ondulatorio

Tipos de Ondas

2 Superposición e Inferferencia de Ondas.3 Reflexión y Transmisión de Ondas.

4 Ondas Senosoidales.

5 Ondas Sonoras.Ondas Sonoras Periódicas.

6 Ondas Esféricas y Planas.El Efecto Doppler.


Movimiento Ondulatorio

El movimiento ondulatorio consiste en una perturba-ción que se propaga de un punto del espacio a otrotransportando energía y momentum pero no trans-porta materia.

1 Las ondas mecánicas son perturbaciones que se propaganen un medio físico con propiedades elásticas que lepermiten propagar la perturbación. Ejemplos:

Ondas en el aguaOndas en una cuerdaOndas de sonido

2 Las ondas electromagnéticas son pertubaciones de loscampos eléctricos y magnéticos que pueden propagarse enel vacío


Ondas Transversales

Las ondas transversales son ondas en la que laperturbación es perpendicular a la dirección depropagación de la onda.

Ondas transversales

Las ondas transversales son ondas en las que la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

Cada parte del resorte semueve en dirección perpendicular al él y al movimiento del pulso

Ondas electromagnéticas:1. Luz2. Radar3. Radio 4. Televisión

Cada parte del resorte se mueve endirección perpendicular a él y almovimiento del pulso.

Ondas electromagnéticas:1 Luz2 Radar3 Radio4 Televisión


Ondas Longitudinales

Las ondas longitudinales son ondas en las que laperturbación es paralela a la dirección depropagación de la onda.

Ondas Longitudinales

Las ondas longitudinales son ondas en las que la perturbación es paralela a la dirección de propagación de la onda.

Las ondas de sonido en el aire son ondas longitudinales

1. Una perturbación en la presión y en la densidad del aire es iniciada por en movimiento de un cuerpo (la cuerda de un violín).2. La perturbación se propaga por colisiones de las moléculas de aire

Las ondas de sonido en el aire sonondas longitudinales.

1 Una perturbación en la presión yen la densidad del aire es iniciadapor el movimiento de un cuerpo(la cuerda de un violín).

2 La perturbación se propaga porcolisiones de las moléculas deaire.


Ondas en el agua

Las ondas en el agua son perturbaciones que no son ni transversales ni longitudinales, sino una combinación de las dos.

Dirección de la onda viajera

Componente transversal

Componente longitudinal

Partículas de agua moviéndose en

trayectorias circulares

Cuando una onda en el agua se propaga sobre la superficie de agua profunda, las moléculas de agua en la superficie se mueven casi en trayectorias circulares.

Ondas en el aguaCuando una onda en el agua sepropaga sobre la superficie de aguaprofunda, las moléculas de agua en lasuperficie se mueven casi entrayectorias circulares.

Las ondas en el agua son perturbaciones que no sonni transversales ni longitudinales, sino unacombinación de las dos.


Ondas armónicas

Las ondas armónicas o periódicas consisten de cicloso patrones que son producidos continuamente poruna fuente.Ondas armónicas

Las ondas armónicas o periódicas consisten de ciclos o patrones que son producidos continuamente por una fuente

Amplitud: máxima excursión de la partícula desde la posición de equilibrio.Longitud de onda: distancia entre dos crestas sucesivas o la distancia en el espacio en la cual la onda se repite asi misma.

Distancia

longitud de onda=

Posición sin perturbar

Amplitud: máxima perturbación de lapartícula desde la posición deequilibrio.

Longitud de onda: distancia entre doscrestas sucesivas o la distancia en elespacio en la cual la onda se repiteasí misma.


Ondas armónicas

Las ondas armónicas o periódicas consisten de cicloso patrones que son producidos continuamente poruna fuente.Ondas armónicas

Las ondas armónicas o periódicas consisten de ciclos o patrones que son producidos continuamente por una fuente

Amplitud: máxima excursión de la partícula desde la posición de equilibrio.Longitud de onda: distancia entre dos crestas sucesivas o la distancia en el espacio en la cual la onda se repite asi misma.

Distancia

longitud de onda=


Frecuencia: La frecuencia estámedida en ciclos

f = 1T

Periodo: es el tiempo requerido paracompletar un ciclo, el tiempo quetoma la onda para moverse unalongitud completa.


Velocidad de una onda¿Como podemos determinar la velocidad de una onda?

El extremo de la cuerda está vibrando con frecuencia f por untiempo t.

Velocidad de una onda

¿ Cómo podemos determinar la velocidad de una onda?

El extremo de la cuerda está vibrando con frecuencia f por un tiempo t. En en el tiempo t, el número de ondas generadas N, es N=ft .

Distancia

longitud de onda=


En el tiempo t, el número deondas generadas N, es N = ft.

Si la onda viaja con velocidad ν, la primera onda generada viajauna distancia x = vt.

La razón entre la distancia y el número deondas en esta distancia es la longitud de laonda v = λ

TProf.: Pamela Catalán Contreras Ondas, Óptica y Física Moderna

Velocidad de una onda en una cuerdaLa velocidad de las ondas mecánicas linealesdepende exclusivamente de las propiedades delmedio por el cual viaja la onda.

Para obtener la velocidad v de una onda en una cuerda alargada esconveniente describir el movimiento de un pequeño segmento de lacuerda en un marco de referencia móvil.

Velocidad de una onda en una cuerda

La velocidad de las ondas mecánicas lineales depende exclusivamente de las propiedades del medio por el cual viaja la onda.

Para obtener la velocidad v de una onda en una cuerda alargada es conveniente describir el movimiento de un pequeño segmento de la cuerda en un marco de referencia móvil.

s

R

o

ar=v2

R

Un pequeño segmento de la cuerda de longitud ∆s forma un arco aproximado de un círculo de radio R. En el marco de referencia del pulso el segmento sombreado se mueve hacia abajo con velocidad v.

Un pequeño segmento de lacuerda de longitud ∆s forma unarco aproximado de un círculo deradio R. En el marco dereferencia del pulso el segmentosombreado se mueve hacia abajocon velocidad v.



o

R

FR FF

sv El pequeño segmento ∆s tiene una

aceleración centrípeta igual a v2/R, que suministra la fuerza de tensión F en la cuerda.La componente horizontal de F se cancela y cada componente vertical Fsen(θ) actúa radialmente hacia el centro del arco.

La fuerza radial total es Fsen(θ), y si usamos el hecho de que el segmento es pequeño, entonces el ángulo θ también es pequeño. Por tanto, la fuerza radial total puede expresarse como:

Fr=2 Fsen ≈2 F sen ≈ ;≪1

El segmento tiene masa m= s , con s=R2

El pequeño segmento ∆s tieneuna aceleración centrípeta igual a v2/R,que suministra la fuerza de tensión F enla cuerda. La componente horizontal deF se cancela y cada componente verticalF sin(θ) actúa radialmente hacia elcentro del arco.

La fuerza radial total es F sin(θ), y si usamos el hecho de que elsegmento es pequeño, entonces el ángulo q también es pequeño.Por tanto, la fuerza radial total puede expresarse como:

F = 2 sin θ ≈ 2Fθ (sin θ ≈ θ; θ << 1)

El segmento tiene masa m = µ∆s, con ∆s = R(2θ), donde µ = esmasa por unidad de longitud.



De esta manera, la masa del segmento de cuerda es:

m = µ∆s = 2µRθ

Aplicando al segunda ley de Newton al segmento de cuerda yconsiderando la aproximación antes hecha para Fr , al igual que elvalor de la masa del segmento, se tiene:

Fr = mν2

R → 2Fθ = 2µRθν2

R

Así la velocidad es:

ν =√√√√F

µ


Ondas viajeras unidimensionalesOndas viajeras unidimensionales

O

vt

x

yPulso de onda que viaja hacia la derecha con velocidad constante v sobre una larga cuerda tensa. El pulso se mueve a lo largo del eje x y el desplazamiento transversal de la cuerda se mide con la coordenada y.

Si la forma del pulso de onda no cambia con el tiempo, podemos representar el desplazamiento y de la cuerda para todos los tiempos ulteriores medidos en un marco de referencia con el origen en O como:

y= f x−vt

y= f xvt Para el pulso que viaja hacia la izquierda

Pulso de onda que viaja hacia laderecha con velocidad constanteν sobre una larga cuerda tensa.El pulso se mueve a lo largo deleje x y el desplazamientotransversal de la cuerda se midecon la coordenada y .

Si la forma del pulso de onda no cambia con el tiempo, podemosrepresentar el desplazamiento y de la cuerda para todos los tiemposulteriores medidos en un marco de referencia con el origen en Ocomo:

ν = f(x− νt)

ν = f(x + νt) Para el pulso que viaja hacia la izquierda.Prof.: Pamela Catalán Contreras Ondas, Óptica y Física Moderna

Ondas viajeras unidimensionales

ν = f(x− νt)El desplazamiento y es lo que se llama algunas veces función deonda, depende de las variables x y t, por esta razón se escribey(x, t).

Para encontrar la velocidad del pulso, podemos calcular cuánto seha movido la cresta en un corto tiempo y después dividir estadistancia entre el intervalo de tiempo.

La velocidad de la onda es: ν = dxdt .

La velocidad de la onda no debe confundirse con la velocidadtransversal (que est la dirección y) de una partícula en elmedio (ni con la velocidad longitudinal de una ondalongitudinal).


Ondas senoidalesPara una onda que se mueve hacia la derecha con velocidad ν, lafunción de onda en todo instante de tiempo está dada por:

y = A sin[2πλ

(x − νt)]

Donde la constante A representa la amplitud de la onda y laconstante λ la longitud de onda. Se observa que el desplazamientovertical se repite a sí mismo cada vez que x aumenta un múltiploentero de λ.

Teniamos que:ν = λ

TCon esto la ecuación de onda queda:

y = A sin[2π(xλ− t

T

)]Prof.: Pamela Catalán Contreras Ondas, Óptica y Física Moderna

Ondas senoidales

y = A sin[2π( xλ− t

T

)]Esta forma de la función de onda muestra claramente la naturalezaperiódica de y . Esto significa que, en cualquier tiempo dado t (unainstantánea de la onda), y tiene el mismo valor en la posición x ,x + λ, x + 2λ, etc. Además, en cualquier posición dada x , el valorde y en los tiempos t, t + T , t + 2T, etc. es la misma.

Definimos:

k = 2πλ

Número de onda angular(frecuencia espacial)

ω = 2πT Frecuencia angular(frecuencia temporal)

Con estas definiciones la ecuación de onda queda:y = A sin(kx− ωt)


Energía transmitida por ondas senoidales en cuerdas

Energía transmitida por ondas senoidales en cuerdas

4,36cm x

m

Para el caso de un movimiento senoidal en una cuerda consideraremos un elemento de cuerda de longitud ∆x y masa ∆m. Cada uno de estos elementos que componen la cuerda realizan un movimiento armónico simple, con igual frecuencia angular ω y amplitud A.

Sabemos que la energía total E asociada a una partícula que efectúa un movimiento armónico simple es:

E=12

kA2=12

m2 A2 (k es al constante de fuerza equivalente de la fuerza restauradora)

Para el caso de un movimiento senoidalen una cuerda consideraremos unelemento de cuerda de longitud ∆x ymasa ∆m. Cada uno de estos elementosque componen la cuerda realizan unmovimiento armónico simple, con igualfrecuencia angular ω y amplitud A.

Sabemos que la energía total E asociada a una partícula queefectúa un movimiento armónico simple es:

E = 12kA

2 = 12mω

2A2

(k es la constante de fuerza equivalente de la fuerza restauradora)


Energía transmitida por ondas senoidales en cuerdasSi aplicamos esta idea a nuestro elemento de cuerda ∆x, se tiene:

∆E = 12(∆m)ω2A2

Si µ es la masa por unidad de longitud de la cuerda, entonces elelemento de la longitud ∆x tiene una masa ∆m = µ∆x, de estamanera la energía se expresa:

∆E = 12(µ∆x)ω2A2

La tasa a la cual se transmite la energía a lo largo de la cuerda (lapotencia) es dE/dt.

Potencia = dEdt

Dividiendo por ∆t y dejando que en el límite cuando ∆t tiende acero, ∆x tiende a cero. La ecuación para la potencia queda:

P = dEdt = 1

2

(µdxdt

)ω2A2 = 1

2µω2A2v


La ecuación de onda lineal

Todas la funciones de onda y(x , t) representan soluciones de unaecuación conocida como ecuación de onda lineal.Deduciremos la ecuación de onda que gobierna el movimientoondulatorio en una cuerda.


Todas la funciones de onda y(x,t) representan soluciones de una ecuación conocida como ecuación de onda lineal. Deduciremos la ecuación de onda que gobierna el movimiento ondulatorio en una cuerda.

F

FA

B x B

A

Consideramos un pequeño segmento de la cuerda de longitud y tensión F , en la cual se está propagando una onda viajera.

x

La fuerza neta sobre el segmento en la dirección vertical es

∑ Fy=FsenB−FsenA=F senB−senA

Consideramos un pequeñosegmento de la cuerda delongitud ∆x y tensión F, en lacual se está propagando unaonda viajera.

La fuerza neta sobre el segmento en la dirección vertical es∑F = F sin θB − F sin θA = F(sin θB − sin θA)



Como hemos supuesto que los ángulos son pequeños, ocupamos laaproximación para pequeños ángulos , la fuerza neta queda∑

F ≈ F(tan θB − tan θA)

Puesto que la pendiente de una curva está dada por ∂y/∂xtenemos ∑

Fy ≈ F[(∂y∂x

)−(∂y∂x

)]Aplicando la segunda ley de Newton al elemento de masa se tiene

∑Fy = may = µ∆x

(∂2y∂t2

)


La ecuación de onda linealIgualando ambas expresiones se tiene:

µ∆x ∂2

∂t2 = F[∂y∂x −

∂y∂x

]µ

F∂2y∂t2 = ∂y/∂x − ∂y/∂x

∆x

En el límite ∆x → 0, el lado derecho de la ecuación se expresacomo:

∂2y∂x2 = l i m

∆x→0

∂y(x + ∆x)/∂x − ∂y(x + ∆x)/∂x∆x

De esta manera la ecuación de onda para la cuerda queda:

µ

F∂2y∂t2 = ∂2y

∂x2 con ν2 = Fµ


Date post:	20-Feb-2016
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