Operaciones Algebraicas

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Guía Didáctica: Matemáticas I

1.2 Adiciónyrestadepolinomios

En esta parte, se realizan las respectivas operaciones con los términos semejantes que existan en las expresiones, a fin de que la respuesta sea un polinomio reducido. Usted puede observar el fundamento teórico sobre este tema en las páginas 14,15 Y 16 del texto básico.

A continuación le participamos unos ejemplos que le pueden ayudar a reforzar esta parte teórica.

20x3 - 40x2 + 9x -10 5x3 + 0 - 7x + 4 ‘’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’ 25x3 – 40x2 + 2x - 6

Se trata de una suma de polinomios, como puede observar se agrupan todos los términos semejantes.

0.75x4 – 0.5x3y + 0.45x2y2

0.56x3y + 0.07x2y3 – 0.81xy3 + y4

0.8x4 – 7.6x3y

Para realizar esta operación primero ordenamos en términos semejantes tomando en cuenta los exponentes, luego procedemos a sumar los tres polinomios y, obtenemos el polinomio suma reducido:

1.55x4 – 7.54x3y + 0.45x2y2 – 0.81xy3 + y4

.. De 7x3-11x2y + 25xy2- 17y3 Restar -7x3+10x2y-5xy2+y3

7x3-11x2y + 25xy2- 17y3 - (-7x3+10x2y-5xy2+y3) ------------------------------------------------------------------------14x3-21x2y + 30xy2 - 18y3

De 5sen2t - 2sentcost + 8cos2t Restar 3sen2t + 4sentcost – 5cos2t

Rta: 2sen2t - 6sentcost +13 cos2t

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Si analiza detenidamente, en todas las restas de polinomios, el substraendo siempre cambiará de signo.

De

Al restar se cambia de signo al sustraendo,

______________________

Este es el resultado

Elimine los signos de agrupación y reduzca los términos semejantes en la siguiente expresión.

.Rta:.18x2 + 5y2 - 11x

Como puede darse cuenta, primero se destruye los paréntesis, luego los corchetes y finalmente las llaves; o sea vamos desde el interior al exterior, sin descuidar que el signo negativo siempre afecta a todos los términos que están agrupados por delante de él.

Eliminar los signos de agrupación:

Rta: - 2tg2x + 10secx + 2 tgx

Para reforzar esta unidad, usted puede desarrollar el problema 0.4 de la página 18, desde el 1 hasta el 18 de preferencia los impares para que compruebe las soluciones al final del texto. Además le ofrecemos una autoevaluación sobre esta unidad y, observe si las respuestas obtenidas por usted, coinciden con las escritas al final de esta guía.

53

x + 15

x y - 76

x y - y restar 12

x - 34

x y + 53

x y4 3 2 2 4 4 3 2 2 ++ y4



Autoevaluación No. 1

Escriba.dentro.del.paréntesis.una.V.o.una.F.según.considere.verdaderas.o.falsas.las.proposiciones.que.se.plantean..(Realice.el.procedimiento)

1) = 2x2 –2y2 ( )

2) Calcule el valor de la expresión cuando X = -2 ( )

3) El siguiente polinomio es completo: 2x5 + 3x4– 2x3 + 5x2 - 6x –4 ( )

4) De -10x4+ 30x3y - 15y4 restar – 10x4 + 25x3y -14y4 = 5x3y - y4 ( )

5) En la siguiente expresión cuando m = 3

i = 2; X = 26, entonces el valor de Y será 2 ( )

6) El siguiente polinomio es homogéneo: 2x5 – 2x3y2 +6xy4 –4y5 + 20 ( )

7) La expresión 2x5 – 2x3y2 +6xy se refiere a un polinomio ordenado ( )

8) ( )

9) ( )

10) ¿Se trata de un polinomio descendente? ( )

2. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Estas operaciones son fundamentales, por cuanto se conocen las reglas que nos permiten directamente encontrar un resultado sin necesidad de realizar el proceso de la multiplicación. De igual manera en la división luego de conocer el algoritmo pasamos a utilizar una regla práctica que nos permite dividir dos polinomios.

32

72

102

5+ = =

13

103

23

93

3+ − = =

32

x + 72

x - 53

x32

34

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2.1 Multiplicacióndepolinomios

Antes de entrar a estas operaciones, debemos tener presente que para multiplicar dos potencias de la misma base, se escribe ésta y se suman los exponentes, así:

a) (b2+x)(b3+x) = b2+x+3+x = b5+2x

b) (42)(43) = 45 = 1024c) (x - y)2 (x - y)3 = ( x - y )5

Existe otro tipo de ejercicios donde se puede aplicar la propiedad distributiva:

a) x x + 2x - x3 2( ) = x1/2(x3) + 2x1/2x2 – x1/2x1

= x7/2 + 2x5/2 – x3/2

b) (2) (3ab - 2bc+cd) = 6ab – 4bc + 2cd c) (se puede simplificar)

En estos ejercicios que planteamos a continuación, cada término del primer factor, se multiplica por cada uno del segundo, así:

a) (m –n2) ( s2 + t) = ms2 + mt – n2s2 – n2t

b) (2x –3y)(3a + 4b- c) = 6ax + 8bx – 2cx – 9ay – 12by + 3cy

c) El siguiente paso puede ser la simplificación, así:

= 6t + t u - 34

tu - 165

u - 815

tu + 25

u .2 2 2

2.2 Productosnotables

Estos productos se encuentran en la página 20 del texto básico.

Son útiles en los cálculos algebraicos, por tal razón se han establecido reglas para obtener directamente su resultado. Entre éstos anotamos los siguientes:

1.. Cuadrado.de.un.binomio : (a. ± .b).2

La regla es la siguiente: a2 ± 2ab + b2

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a) (2a +4b)2 = (2a)2 +2(2a )(4b) + 16b2 = 4a2 + 16ab + 16b2

b) (x – 2)2 = x2 –4x + 4

2.. El.cubo.de.un.binomio:.(a. ± .b).3.

Su desarrollo será:...a3. ± .3a2.b.+.3ab2. ± .b3.

a) (2m - 3)3 = (2m)3 –3(2m)2 (3) + 3(2m)(3)2 - 33

= 8m3 – 36m2 + 54m – 27

b) = 27

8x - 27

4x y + 9

8xy - 1

8y3 2 2 3

3.. El.producto.de.dos.binomios.conjugados:.(a.+.b)(a.–.b)

Se refiere a que su resultado será el cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda, así:

a) (s + t)(s - t) = s2 - st + st - t2 = s2.-.t2

Si reemplazamos en el binomio conjugado tenemos:

b) (t – 4u)( t + 4u ) = t2 – 42u

c) ( x - 3)( x + 3) = x - (3) = x - 92 2( )

d)

Como se puede observar, en el producto de dos binomios conjugados (diferencia de cuadrados) se cumple la regla, de que el resultado es la diferencia del cuadrado del primero con el segundo término.

2.3 Divisióndepolinomios

.“En primer lugar recordemos una ley que dice: Que en toda división de potencias de igual base, se escribe la misma y se restan los exponentes”1. Así:

a)

b) 2525

25 25 6256

46 4 2= = =−

1 Haeussler. E. Matemáticas para Administración y Economía. (2008). México. Editorial Pearson.



Para dividir polinomios partimos del algoritmo de la división

X3 + 3x2 –x + 4 X+2-x3 – 2x2 X2 +x -30 + x2 – x - x2 – 2x 0 - 3x +4 + 3x +6 0 +10

En primer lugar conozcamos las partes de una división:

X3 + 3x2 –x + 4 Es el dividendo D(x)X + 2 Divisor d(x)x2 +x – 3 Cociente C(x)10 Residuo R(x) R.(también.puede.ser.cero)

- Para realizar esta operación ser ordena el D(x) y d(x) en forma descendente, en caso de no estarlo.

- Luego dividimos el primer término del dividendo para el primero del divisor y, se obtiene el primer término del cociente; éste, se lo multiplica por todo el divisor y se lo resta del dividendo, pero no se olvide que tiene que cambiar de signo este proceso lo repetimos con los demás términos del dividendo.

Paracomprobarsiladivisiónescorrectasepuedehacerque:D(x)=d(x).C(x)+R O sea se multiplica el divisor por el cociente y se le suma el residuo, el resultado de esta operación, tiene que ser igual al dividendo. Desarrolle los ejercicios.propuestos de la página 18, relacionados con la multiplicación y división de polinomios, desde el número 19 hasta el 56 de preferencia los impares para que pueda verificar si sus resultados son correctos. Además le planteo otros problemas, cuyas respuestas las encontrará al final de la guía y, de esta forma podrá autoevaluarse.



Autoevaluación No.2

Escriba dentro del paréntesis una V o una F según considere verdaderas o falsas las proposiciones que se plantean. (Realice el procedimiento)

1) (a-b)x+1(a-b)x-1 = (a-b)2x ( )

2) x + 2 x + 2 = x + 2x x 2 x( ) ( ) ( ) ( )

3) x x + 2x - 4 = x x + 2x x - 4x2 1/ 2 2 1/ 2 1/ 2( ) ( )

4) ( )

5) ( )

6) ( )

7) ( )

8) ( )

9) X3 - 3x2 +5x – 6 ÷ x -2 → C(x) = x2 - x +3; R(x) = 0 ( )

10) 2X4 - 8x2 +24x – 1 ÷ x + 4÷ x + 4 x + 4 → C(x) = 2XC(x) = 2X3 - 8x2 +24x – 72; R(x) = 287 ( )

Ojo:Noseolvidequealfinaldelaguíaenlapartedeanexos,ustedencontrarátodolorelacionadoconfórmulasyreglas.



3. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Finalmente en esta unidad estudiamos los casos más notables de polinomios que se pueden factorizar, para lo cual los dividimos en cuatro casos a saber: factor común; suma o diferencia de potencias iguales; trinomios y polinomios. Toda esta teoría sobre los casos de factores la tenemos en las páginas 19, 20 del texto básico con sus respectivos ejemplos. 3.1 Definicióndetérminosbásicos

♦ Factorarunpolinomioconsiste, en transformarlo en el producto de dos o más polinomios de grado inferior al del polinomio dado.

♦. Factorar. completamente. un. polinomio,. se trata de descomponerlo en factores primos.

♦. Cuando.un.polinomio.no.puede.descomponerse.en.factores, se dice que es primo. Ejm: x+2; 3x-5; x2 + x + 1 etc.

3.2 Factorcomún

Existe, cuando en todos los términos de un polinomio se repiten una o más letras, o los coeficientes numéricos contienen algún factor que es común para todos ellos. Veamos algunos ejemplos:

a) 48abc – 24ab2 + 12 a2bcd + 6 abcde

6ab(8c – 4b + 2acd + cde)

En este caso, se ha tomado el coeficiente numérico menor que es el 6, por que está contenido exactamente en todos los demás, y las letras a y b que son comunes en todo el polinomio.

b) (x1/2) + (xy)1/2 – 2(xyz)1/2

(x1/2) + (x) 1/2 (y)1/2 – 2(x) 1/2 (y) 1/2 (z)1/2

(x1/2)( 1 + y1/2 – 2(yz)1/2)

En este ejercicio lo que se repite es la raíz cuadrada de X. No se olvide que x1/2 =



3.3 Sumaodiferenciadepotenciasiguales

Dentro de los productos notables tenemos la diferencia de cuadrados, la misma que para ser factorada se la descompone en el producto de la suma por la diferencia de sus raíces cuadradas. Ejemplos:

a) 64t2.–.81

Como se puede observar, la raíz de 64 es 8, la de t2 es t, la de 81 es 9, por lo tanto la solución será: (8t + 9) (8t - 9) .

b). 100.-.x

La solución será: (10 + )(10 - ), por que la raíz de 100 es 10 y, la de x es

c) x3.+.y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) a3.-.b3. = (a – b) (a2 + ab +b2)

Una suma o diferencia de cubos se descompone en la suma o diferencia de las raíces cúbicas por el polinomio formado por, el cuadrado de la primera raíz cúbica, menos o más el producto de las dos raíces cúbicas y, más el cuadrado de la segunda raíz cúbica.

3.4 Factorizacióndetrinomiosypolinomios

Empezaremos estudiando los trinomios cuadrados perfectos, cuya característica principal se refiere a que: dos de sus términos son cuadrados perfectos y positivos, el restante es el doble producto de las raíces de los dos anteriores. Observe los siguientes ejemplos:

a) 4a2 +12ab + 9b2

- Se extrae la raíz cuadrada de los extremos (debe ser exacta) en este caso será: 2a.y.3b

- Multiplicamos estas dos raíces por dos, o sea 2.(2a).(3b).=.12ab- Como el resultado es igual al valor del segundo término, se trata de un

trinomio cuadrado perfecto.- Entonces la respuesta se expresa así: (2a.+.3b)2.

b) 6416

x - 6424

x y + 1636

y4 2 2 4

- La raíz cuadrada será: 84

x ,2 y 46

y2

- El doble producto 2( 84

)( 46

)x y ,2 2



- Esta cantidad es igual al producto del medio, por lo tanto se trata de un trinomio cuadrado perfecto, cuya respuesta se expresa así:

-

Trinomios.de.la.forma: x2.+.bx.+.c

a) x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2)b) y2 + 3y - 40 = (x + 8) (x - 5)c) t2 – 11t + 18 = (x – 9 ) (x - 2)d) s2 – s -2 = (s – 2 ) (s + 1)

Si analizamos detenidamente cada trinomio, podemos observar que éstos se descomponen en dos factores, cuyo primer término es su raíz cuadrada, luego se escribe el signo del segundo término y, en el segundo factor va el signo que resulta de multiplicar el segundo por el tercer término y los otros términos de los factores son dos números cuyo producto es c, y la suma o resta es b.

Trinomios.de.la.forma ax2.+.bx.+.c

a) 5x2 +3 x - 2 = 5x2 + 3x – 10 . = (5x 5)(5x-2)+

5 = (x 1)(5x-2)+

1 = (x + 1) (5x - 2)

- Como se puede ver en este trinomio, en el primer término existe un coeficiente diferente de uno, (cinco).

- Este coeficiente a.se lo multiplica por c- Luego se descompone en dos factores, cuyo primer término es ax, (en este

caso 5x) y dividimos para a (cinco)- Después encontramos dos números que multiplicados me den el tercer

término (en este caso 10)- Finalmente simplificamos.

b) 4x2 -9 x +5 = 4x2 - 9 x + 20

= (4x 5)(4x 4)− −

4

. . =.. ( )( )4 5 1x x− −



- Observemos detenidamente que seguimos el mismo procedimiento anterior.

Importante: Cuando no se puede factorar estos trinomios por ninguno de los casos

estudiados, se utiliza la fórmula general, la misma que será estudiada en la unidad nueve.

Ahora puede autoevaluarse desarrollando el problema 0.5 de la página 21 del texto básico, de preferencia los números impares para que compruebe las respuestas.

Seguidamente le participamos otros ejercicios, que también le van a servir para reforzar esta unidad, puede comprobar sus respuestas con las que se encuentran al final de esta guía.

Autoevaluación No 3

Escriba.dentro.del.paréntesis.una.V.o.una.F.según.considere.verdaderas.o.falsas.las.proposiciones.que.se.plantean..(Realice.el.procedimiento)

1) x6 – y6 = ( x3+ y3 )( x3 – y3) ( ) 2) 64x3 + y3 = (4x + y )(16x2 - 8xy + y2) ( )3) 216x6y6 +1 = (6x2y2 + 1 )(36x4y4 - 6x2y2 + 1) ( )4) 1-x5 = (1-x)(1 + x+ x2 + x3 + x4) ( )5) x2a – y2b = (xa – yb)(xa + yb) ( )6) 9a2 – 12ab + 4b2 = (3a – 2b)2 ( )7) (81a2 b4 + 90ab2 + 25y2) = (9ab2 + 5y)2 ( )8) (a2 – 17a + 72) = (a -9 )(a - 8) ( )9) (6m2 + 7m - 3) = (2m+3)(3m-1) ( )10) (7x2 - 13x -20) = (7x -20 )(x+1) ( )

Importante: Para la evaluación presencial se tomará en cuenta lo siguiente: Problemas resueltos, los planteados en cada unidad y, los que se envíancomo trabajos a distancia.



4. EXPRESIONES RACIONALES

Aquí estudiaremos las expresiones fraccionarias relacionadas con el m.c.d. (máximo común divisor) así como el M.C.M. (mínimo común múltiplo), el principio fundamental de las mismas y, su aplicación tanto en la simplificación como en la multiplicación y división de las mismas.

4.1 Máximo común divisor (m.c.d.) y mínimo común múltiplo (M.C.M.) depolinomios.

A continuación se muestra una síntesis sobre la diferencia entre el m.c.d. y el M.C.M, siguiendo las explicaciones de los autores Haeussler y Paul (2008).

MAXIMO COMUN DIVISOR(m.c.d.) MINIMO COMUN MULTIPLO(M.C.M.)

Divide a las expresiones dadas Contiene a las expresiones dadas

Se sacan sólo factores comunes con el menor ex-ponente

Se sacan factores comunes y no comunes con el mayor exponente

Es de menor grado que las expresiones dadas Es de mayor grado que las expresiones dadas

Analice detenidamente los siguientes ejemplos:

Calcular.el...máximo.común.divisor.común.de.:.

a) 4a3 b3c2; 10a2bc3; 8ab2c4; = 2abc2

b) 3x2 y3 z ; 6x y2 z2 w ; 12x3 y2 z3 w = 3xy2 z

c) 2x(x-y)2, 4x3(x-y)3, 8x2(x-y)5 = 2x(x-y)2

EXPRESIONES RACIONALES E IRRACIONALES

MÓDULO II

No llegan los que más corren, si no losque saben a donde van, más que ligereza de piernas es

menester cabeza fría.

Aguiló.



En primer lugar se descomponen los coeficientes, así por ejemplo en el literal a) el 4 en 22; el 10 en 2x5, el 8 en 23, luego se toma el número de menor exponente que se repite, en este caso será el dos; seguidamente se escribe la o las letras que se repite en todas las expresiones y, tiene el menor exponente, en este caso será: abc2. Finalmente el m.c.d. será 2abc2. Este procedimiento se repite con cualquier ejercicio.

Calcular.el...mínimo.común.múltiplo:..a) 3abc2 = 3

b) 12a4 b3 = 4x3 a4 b3

c) abc5 = 1 c5

d) 2a2b2 = 2

- En estos monomios observe que se toma en cuenta el número mayor que contiene a los demás exactamente, en este caso es el 12.

- De igual manera se escriben las letras pero con el mayor exponente, así no se repitan en todos los monomios, a4 b3c5

- Finalmente observamos que el 12 lo contiene al 3 y al 2, entonces el MCM será: 12a4b3c5

e) 6x2 + 7x + 2

6x2 + 7x + 12 = Está factorado

f) 2x +1 = 2x +1

g) 6x + 4 = 2(3x + 2) Cuando se trata de polinomios hay que factorar, en este caso tenemos tres

expresiones: la primera se trata de un trinomio de la forma ax2 + bx + c, las otras dos son binomios.

El MCM en este ejemplo será: 2(3x+2)(2x+1). Observe que la primera contiene a las dos restantes, pero no al 2 que está en el tercer binomio, motivo por el cual tenemos que incluirlo.

h) X-2 = x-2 X3-8 = (x-2)( X2+2x+4) X2+2x+4 = X2+2x+4



Primero se factora, luego observe en estas expresiones que la segunda contiene a las otras dos, por tanto:

el M.C.M. será (x-2)(X2+2x+4) 4.2 Multiplicaciónydivisióndefraccionesalgebraicas

Las operaciones realizadas con fracciones se encuentran en el texto básico desde la página 21 hasta la 26

a) Multiplicación de fracciones algebraicas

Para este tipo de operaciones se procede de la siguiente manera:

- Primero se factora todos los polinomios en caso de ser posible. - Si los factores son los mismos, tanto en el numerador como en el denominador,

se procede a simplificar (observar el ejemplo 1).- Si no existen factores iguales se realiza la operación directa como en (ejemplo

2).

Confróntese esta información con la del texto básico página 21.

Ejemplo 1

Se procede a factorar

= simplificamos factores semejantes

= resultado final

Ejemplo 2

= simplificación directa

= z respuesta



Ejemplo 3

se procede a factorar

simplificando factores semejantes

= x+3y resultado final

b) División de fracciones algebraicas

Para la resolución de estas operaciones, al igual que la anterior, primero factoramos los polinomios tanto del numerador como del denominador si es posible, luego se invierte la fracción de la derecha (divisor), nos queda una multiplicación, seguidamente se simplifica los términos semejantes, caso contrario se efectúa la operación indicada.

Observe y analice los siguientes ejemplos

1) Invertimos el divisor (fracción derecha)

= Se ha transformado en multiplicación y, = xb simplificando nos queda

2) Invertimos el divisor y, se factora

= Simplificamos factores semejantes

= resultado final

4.3 Adicióndefraccionesalgebraicas

Ayúdese del fundamento teórico en el texto básico página 23. Cuando se trata de fracciones obsérvese y analice todos los denominadores de las expresiones dadas, luego si el caso lo amerita factore y, de esta forma podrá determinar cual es el de mayor grado que los contiene a los demás.



Observe los siguientes ejemplos:

1) Obtenemos el M.C.M. (c3 mayor grado)

= Se divide el MCM para cada denominador y se

multiplica por su respectivo numerador

= Eliminamos paréntesis, luego sumamos

= Resultado final

2) se encuentra el MCM 2x(x + 3)[ ] los contiene a los demás

Divido el MCM para cada denominador y multiplico por

su respectivo numerador

Una vez realizada la operación

desaparecen los paréntesis y, reducimos términos semejantes

Solución final

4.4 Simplificacióndefraccionescomplejas

Recuerde que para simplificar una fracción compleja, al producto de los extremos se lo divide entre el producto de los medios.

Es necesario aclarar que, para aplicar esta regla, tanto el numerador como el denominador deben ser fracciones simples, si esto no se cumple, primero debemos transformar el numerador o denominador en fracciones simples.

Observe los siguientes ejemplos:

1)

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