Universidad Interamericana de Puerto RicoRecinto Metropolitano

Facultad de Ciencias y TecnologíaPropuesta LiNUS-MSP

Prof. Manuel Fernández

Operaciones con los Números Reales

Los Números Reales

Conocer los diferentes subconjuntos de los números

Reales

Reconocer a qué conjuntos de los Números Reales

pertenece un número dado.

Objetivos

Números Reales

Mapa conceptual: Números Reales

Números reales Se clasifican en

Números racionales

Números irracionales

Algunos ejemplos son

Números naturales

Números enteros

Números decimales finitos

Números decimales infinitos

semiperiódicos

Números decimales infinitos periódicos

Números decimales con infinitas cifras decimales, sin

periodo

Se representan con la letra R

El conjunto de los Números Reales

El conjunto de los Números Reales está integrado por: El conjunto de los Números Racionales (Q ) que corresponden a la unión de todos los

números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.

El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.

Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los Números Reales ( R) está formado por los elementos del conjunto Q unido con I .

El Conjunto de los Números Reales

Números Naturales

Son los números que se utilizan para contar: {1, 2, 3, 4, 5, …}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

NUMEROS NATURALES

Los números naturales son los primeros que

surgen en las distintas civilizaciones, ya que

las tareas de contary de ordenarson las más

elementales que se pueden realizar en el

tratamiento de las cantidades.

NUMEROS NATURALES

El número entero está estrechamente unido a los objetos. Sirven para contar cosas.

Los naturales son representados por números comprendidos del 1 al 9 incluyendo al cero.

En nuestro sistema de números decimalesse tienen diez dígitos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

NUMEROS NATURALES

Los naturales se forman sumándoles la unidad:

El primer número natural es el 1 (uno), luego le sigue el dos 2 (dos, 1+1), después el 3 (tres, 2+1), 4 (cuatro, 3+1), 5 (cinco, 5+1), 6, 7...

NUMEROS NATURALES

Todo número tiene dos valores: Valor por sí mismo: que es siempre el mismo

valor esté donde esté colocada cada cifra. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Valor de posición: Es el valor que tiene cada cifra de acuerdo al lugar que ocupa en la cantidad: 6

60600

NUMEROS NATURALES

Así:

NUMEROS NATURALES

Representación gráfica de números naturales.

A los números naturales los representamos mediante puntos sobre una recta, para ello debemos fijar la posición del punto 0 y la largura del segmento unidad, que será el segmento que llevaremos sobre la recta sucesivas veces según el valor del número.

NUMEROS NATURALES

Ordenación de números naturales. Cuando yo tengo la misma cantidad de

canicas que Celina entonces tenemos una igualdad (=)

NUMEROS NATURALES

Ordenación de números naturales. Un número natural puede tener un antecesor y

un sucesor.

El antecesor de un número es el menor (<)

Así 4 < 5, 3 < 4, 2 < 3, 1 < 2 y 0 < 1

NUMEROS NATURALES

Ordenación de números naturales. En general, cualquier número que esté a la

izquierda en la recta numérica de un número cualquiera es menor (<) a éste.

NUMEROS NATURALES

Ordenación de números naturales. Un número natural puede tener un antecesor

y un sucesor.

El sucesor de un número es el mayor (>)

Así 5 > 4, 4 > 3, 3 > 2, 2 > 1 y 1 > 0

NUMEROS NATURALES

Ordenación de números naturales. En general, cualquier número que esté a la

derecha en la recta numérica de un número cualquiera es mayor (>) a éste.

Números Cardinales

Son los mismos números Naturales a los cuales se les ha añadido el número Cero:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Para determinar si un número Cardinal es también Racional, un ejemplo.

Tomemos como ejemplo el único número Cardinal que no es Natural, o sea, el 0.

¿Se puede escribir el 0 como una fracción que cumpla con la definición de Racional?

Si. El 0 se puede escribir como:

Cardinales

Todo número es un producto de números primos es solo necesario demostrar que todo número primo puede representarse como a lo sumo la suma de cuatro cuadrados perfectos.

Es decir, todo número primo puede representarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos.

Teorema fundamental de la aritmética

El teorema es más fácil si el primo es de la forma p=4n+1. En este caso será la suma de a lo sumo dos cuadrados. Ejemplo 41 = 52 + 42

En ambos casos el mecanismo de la demostración es encontrar primero cuatro cuadrados cuya suma sea igual a un múltiplo del número primo y luego ir transformando la ecuación hasta encontrar una solución.

Exponentes y Radicales

Simplificación de Exponentes

b n = x

Partes en una Expresión Exponencial

exponente

Resultado base

potencia

b n =

Significado de una Expresión Exponencial

Se multiplica la base n veces

b . b . b . b . . . b

Ejemplos de Expresiones Exponenciales

= 25= 25= 64= -64= 1

8( )

= 49

Si la base es negativa, y exponente es impar, resultado es negativo

Si la base es positiva el resultado es siempre positivo

Si la base es negativa, y exponente es par, resultado es positivo

5 2

(-5) 2

4 3

(-4) 3

1 3

2-2 2

3( )

Orden De las Operaciones

Orden de las Operaciones

1. Símbolos de Agrupación:

Potencias y Raíces: 2.

( ), [ ], { }

Exponentes y Radicales

Desde el más adentro hacia el más afuera

De izquierda a derecha en el orden en que aparecen

Orden de las Operaciones

3) Multiplicaciones y Divisiones

De izquierda a derecha en el orden en que aparecen

4)– Sumas y Restas

• De izquierda a derecha en el orden en que aparecen

Te gustaría resolver divisiones entre números

muy grandes sin la necesidad de usar la calculadora????

En el siguiente tema descubrirás la forma de hacerlo.

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

20, 12, 114, 336 y 468 son divisibles entre 2, ya que terminan en 0,2,4, y 8, respectivamente

Un número entero es divisible entre 2 si termina en 0,2,4, u 8. Los números divisibles entre 2 se llaman pares.

Nos permiten visualizar cuándo un número es divisible entre otro sin efectuar la división. A continuación se enuncian algunos de ellos:

Divisibilidad entre 2.

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

51 es divisible entre 3, ya que 5+1=6 y 6 es múltiplo de 3486 es divisible entre 3, ya que 4+8+6=18 y 18 es múltiplo de 3

Un número entero es divisible entre 3 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3.

Divisibilidad entre 3.

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

900 es divisible entre 4, porque termina en doble 0628 es divisible entre 4, porque 28 es múltiplo de 4

Un número entero es divisible entre 4 si sus últimos dos dígitos son 0 o un múltiplo de 4.

Divisibilidad entre 4

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

5215 y 340 son divisibles entre 5, ya que terminan en 5 y 0, respectivamente.

Un número entero es divisible entre 5 si su último dígito es 0 o 5.

Divisibilidad entre 5

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

216 es divisible entre 2, ya que termina en 6, y es divisible entre 3, porque la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Por lo tanto, 216 es divisible entre 6. 9000 es divisible entre 6, ya que es divisible entre 2 y 3.

Un número entero es divisible entre 6 si a su vez es divisible entre 2 y 3.

Divisibilidad entre 6

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

315 es divisible entre 7, ya que 5x2=10 y 31-10=21 y 21 es múltiplo de 7.147 es divisible entre 7, porque 7x2=14 y 14-14=0.

Un número entero es divisible entre 7, cuando al multiplicar el último dígito entre 2 y restar el producto al número que se forma con los dígitos restantes, la diferencia es 0 o múltiplo de 7.

Divisibilidad entre 7

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

6000 es divisible entre 8, ya que sus últimos 3 dígitos son 03160 es divisible entre 8, porque sus últimos 3 dígitos, 160, forman un múltiplo de 8.

Un número entero es divisible entre 8, cuando sus 3 últimos dígitos de la derecha son 0 o forman un múltiplo de 8.

Divisibilidad entre 8

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

1233 es divisible entre 9, ya que 1+2+3+3=9 y 9 es múltiplo de 9.6786 es divisible entre 9, ya que 6+7+8+6 = 27 y 27 es múltiplo de 9

Un número entero es divisible entre 9 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.

Divisibilidad entre 9

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

360 es divisible entre 10, porque su último dígito es 0 2500 es divisible entre 10, ya que su último dígito es

0

Un número entero es divisible entre 10 si su último dígito es 0.

Divisibilidad entre 10

Son aquellos números que son divisibles única y exclusivamente por 1 y por sí mismos.

Entre ellos se encuentran: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29…}

Nota: El 1 no es considerado número primo

144144 / 2 = 72

72 / 2 = 36

36 / 2 = 18

18 / 2 = 2

9 / 3 = 3

3 / 3 = 1

72

36

18

9

3

1

2

2

2

2

3

3

Por lo tanto, 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 144

Ejemplo: Expresar 144 como el producto de sus factores primos.

La descomposición de un número en sus factores primos se realiza expresándolo como el producto de sus factores primos.Para obtenerlo, se divide el número entre el menor divisor primo posible, el cociente que se obtiene se vuelve a dividir entre el menor divisor primo posible, y así sucesivamente hasta que el último cociente sea 1.

Los Números Primos

Descomposición en Factores Primos

Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común.

Ejemplo: Algunos múltiplos de 3 son:

{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60}

Algunos múltiplos de 6 son:

{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60}

Algunos múltiplos de 15 son:

{15, 30, 45, 60, 75,…}

El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30. (Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es el menor)

Máximo Común Divisor El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente.

Ejemplo:

-Los divisores de 36 son:

{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

-Los divisores de 18 son:

{1, 2, 3, 6, 9, 18}

-Los divisores de 24 son:

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6. (Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el mayor)

Ejemplos sobre el cálculo del mcm y MCD

Determinar el mcm de 4 y 6Múltiplos de 4: 4,8,12,16,20,24,28,32,36,…Múltiplos de 6: 6,12,18,24,30,36,42,48,54,…

Los múltiplos comunes son: 12,24,38,48,…

El menor de todos los múltiplos en común es 12

Por lo tanto, el mcm es 12

m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30

3 6 15 34 2 5 2 1 5 5 1

Se descomponen simultáneamente en factores primos hasta que los cocientes sean 1. Si alguno de los números no es divisible entre el factor dado, se baja y se continúa hasta encontrar el factor primo que lo divida. El producto de los factores primos corresponde al m.c.m.

El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener también a través del siguiente método:

Determinar el mcm de 28 y 42

28 42 214 21 27 21 37 7 71 1

28/2 = 14 42/2=21

14/2= 7 21/2=No es divisible y solo se baja

7/3=No es divisible y solo se baja 21/3= 7

7/7 = 1 7/7=1

2 * 2* 3* 7 = 84

El mcm de 28 y 42 es 84

Obtener el MCD de 18 y 24Los divisores de 18 son: 1,2,3,6,9 y 18Los divisores de 24 son: 1,2,3,4,6,8,12 y 24

Los divisores comunes son 1,2,3 y 6El mayor de los divisores es 6

Por lo tanto, el MCD de 18 y 24 es 6

El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método:

36 18 24 218 9 12 3 6 3 4

Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea. Cada factor debe dividir a todos los números a la vez.

M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

Obtener el MCD de 48,36 y 60

48 36 60 224 18 20 212 9 15 34 3 5

Se hace lo mismo que para el mcm. Recuerda que estos números deben ser siempre números primos.

En este caso, 4,3 y 5 no tienen divisores primos en común. Así que

2 * 2 * 3 = 12

Por lo tanto, el MCD de 48, 36 y 60 es 12.

NÚMEROS PRIMOS

Los números primos han inquietado a los matemáticos desde tiempos inmemoriales y han surgido numerables problemas que fascinan y motivan la imaginación, aunque algunos aun permanecen sin solución

Existe siempre un primo por lo menos entre para cada entero n>1?

¿Contiene la secuencia de Fibonacci un número infinito de primos?

Decimos que a es un numero primo si a es mayor que 1 y sus únicos divisores positivos son 1 y a, en caso contrario a se llama compuesto.

en consecuencia, los números primos menores que 100 son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

DEFINICIÓN

Proposición: los números primos son infinitosDemostración de Euclides.

Esta demostración aparece en el año 300 antes de Cristo en el IX libro de la colección de trece llamada “ELEMENTOS” de Euclides y es un bonito ejemplo del método de demostración por reducción al absurdo.

INFINITUD DE LOS NÚMEROS PRIMOS

demostración ejemplo

Supongamos que hay un numero finito de números primos ,

Supongamos que los únicos números primos que existen son 2,3,5 y 7

Sea N= 2*3*5*7+1 y 2 es un divisor primo de N

Como n es un número compuesto , debe dejarse dividir por al menos uno de los primos.

N=211

Pero al dividir n por cada me deja residuo 1.Lo que contradice la definición de divisibilidad Por lo tanto existen infinitos números primos

Teoría de Números

1. Conocer las definiciones básicas relacionadas con factorización

2. Hallar la factorización prima de un número

3. Conocer el significado de MCM y MFC

4. Usar la factorización prima para hallar el MCM y MFC

5. Hallar el MCM y MFC de números dados.

Objetivos

Números que se multiplican para obtener un producto

Ejemplos de factores de 12: 12 y 1 ya que 12 . 1 = 12 3 y 4 ya que 3 . 4 = 12 6 y 2 ya que 6 . 2 = 12

Factores de 12: 12, 1, 6, 2, 4, 3

Factores

Número natural mayor que 1 cuyos únicos factores son él mismo y 1.

Ejemplo de números primos:

2 , 3, 5

Menciona otros

Número Primo

Conjunto de los Números Primos29,17,{ 2, 5, 13, 23,7,3, 11, 19, 31, …}

Observa que:• El conjunto es infinito.• El número primo menor es 2.• El único número primo que es par

es 2, los demás son impares.• No todos los impares son primos,

por ejemplo, el 9 es impar pero no es primo.

• Ver lista de números primos hasta el 100

Número natural que no es primo, o sea, tiene otros factores además de él mismo y uno.

Ejemplo de números compuestos:

4 , 9, 15, 64

Menciona otros

Número Compuesto

Una potencia es cuando tenemos un número (base) elevado a un exponente.

Ejemplo:32

43

Exponentes y Potencias

Significa que se multiplica la base tantas veces como diga el exponente.

Una potencia es cuando tenemos un número llamado base) elevado a un exponente. Significa que se multiplica la base tantas veces como diga el exponente

Ejemplo: 32

43

Exponentes y Potencias

= 3 x 3 = 9

= 4 x 4 x 4 = 64

Proceso mediante el cual se descompone un número como el producto (multiplicación) de dos o más números.

Ejemplo: 10 = 5 . 2 12 = 4 . 3

Factorización...

Proceso mediante el cual se descompone un número como el producto (multiplicación) de dos o más números primos.

Ejemplo: 7 = 7 . 1 6 = 2 . 3

Factorización prima...

Todo número natural compuesto puede expresarse de una forma única, como un producto de factores primos.

Teorema Fundamental de la Aritmética...

Un número a es divisible por b, si al dividir a por b se obtiene un número entero.

Ejemplo:10 es divisible por 2 ya que al dividir 10 por 2 se obtiene el entero 5.

Divisibilidad...

Reglas de divisibilidadEs divisible

por:Si: Ejemplo:

2 Último dígito es par (0, 2, 4, 6, 8) 9,894

3 Suma de los dígitos es múltiplo de 3 897,432

5 Último dígito es 0 ó 5 890 ó 7,635

7 Al duplicar el último dígito y luego restar el resultado del número sin su último dígito, se obtiene un múltiplo de 7. (Repetir el proceso tantas veces como sea necesario hasta ver si el resultado obtenido es múltiplo de 7.)

409,311

11 Al sumar los dígitos alternos (uno sí y uno no) y restar la cantidad menor de la mayor, se obtiene un múltiplo de 11.

847,667,942

Ejercicios de práctica para determinar

cuando un número es divisible por 2, 3,

5, 7, y 11.

31563045,815123,456,789987,654,321142,891409,311

Determina si los números son divisibles por 2, 3, 5, 7, 11

Más ejemplos en próxima pantalla.

409,311458,485287,8248,493,969847,667,942453,896,248552,749,913

Determina si los números son divisibles por 2, 3, 5, 7, 11

Factorización Prima de un Número

Método del árbol para hallar la factorización prima de un número

Se buscan dos factores cualesquiera del número que se va a factorizar y se colocan como dos ramas del árbol.

Si el factor es un número primo, la rama del árbol termina.

Continúa en próxima pantalla.

Método del árbol para hallar la factorización prima de un número

Si el factor no es primo, se buscan dos factores cualesquiera y se colocan como dos ramas del árbol bajo la ramificación anterior.

El proceso continúa hasta que se obtienen números primos en todas las ramas del árbol.

Ver proceso en las próximas pantallas.

Método del árbol de factorización

Halla la factorización prima de 63

3 21

63

3 7

La factorización prima de 63 es:

32 . 7

3 y 21 son dos factores cualesquiera de 63

Como el 3 es primo, termina la rama, como el 21 no es primo continúa ramificándose el árbol

Termina el proceso cuando se obtienen ramas que tiene solo números primos

Los factores primos que están repetidos se expresan en potencias

Método del árbol de factorización

Hallar la factorización prima de 504

2 252

504

2 126

2 63

3 21

3 7La factorización prima de 504 es:

23 . 32 . 7

Ejercicios de práctica

240300360425663885

Halla la factorización prima de los siguientes números

MCD y MCM

Proceso para hallar el Máximo Factor Común (MFC) (o Máximo Común Divisor-MCD) de dos

o más números• Halla la factorización prima de cada

número.• Expresa los factores que se repiten

como una potencia.• Determina los factores que son

comunes a todos los números.• Selecciona, de los factores

comunes, las potencias menores.• Multiplica todos los factores

obtenidos en el paso anterior.

Ejemplo: Hallar el MFC de 360 y 2700• La factorización prima de cada uno,

expresado como potencias de factores es:360 = 23 . 32 . 5 2700 = 22 . 33 . 52

• Los factores comunes son: 2, 3, 5• Selecciona las potencias menores

de cada uno: 22 . 32 . 5 • Multiplicando todo tenemos que

MFC = 22 . 32 . 5 = 180

Proceso para hallar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números

• Halla la factorización prima de cada número.

• Expresa los factores que se repiten como una potencia.

• Determina los factores que son comunes a todos los números.

• Selecciona, de los factores comunes, las potencias mayores.

• Selecciona todos los demás factores (los que no fueron comunes)

• Multiplica todos los factores obtenidos en los dos últimos pasos.

Ejemplo: Hallar el MCM de 135, 280, y 300• La factorización prima de cada uno,

expresado como potencias de factores es:

135 = 33 . 5 280 = 23 . 5 . 7 300 = 22 . 3 . 52

• De los factores comunes selecciona las potencias mayores:

23 . 33 . 52

• Los factores no comunes son: 7• Multiplicando todo tenemos que

MFC = 23 . 33 . 52 . 7 = 37,800

Ejercicios de práctica

70 y 120180 y 300480 y 1800168 y 50428, 35 y 56252, 308 y 504

Halla el MFC de los números a continuación

Más ejemplos en próxima pantalla.

24 y 3235 y 5645 y 7548, 54 y 6016, 120 y 216

Halla el MCM de los números a continuación

¿Para qué o cuándo se usa el MFC?

Uno de los usos más importantes es cuando se simplifica una fracción

En este caso se halla el MFC del numerador y el denominador y se divide ambos por esta cantidad.

Se usa el MFC...

¿Para qué o cuándo se usa el MCM?

Uno de los usos más importantes es cuando se suman fracciones con denominadores diferentes.

Cuando se busca un denominador común a dos o más fracciones lo que se busca es el MCM de los denominadores.

Se usa el MCM...

Fin de la Lección

Números Primos hasta 100

29,17,{ 2, 5, 13, 23,7,3, 11, 19, 31, 37,41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...}