Operadores de Sturm-Liouville
Ezequiel Ojeda Gomez
Reporte Semestral
Comenzaremos estudiando algunas propiedades de los operadores diferen-
ciales autoadjuntos de segundo orden, para posteriormente definir formal-
mente lo que se conoce como Problema de eigenvalores de Sturm-Liouville.
Probaremos que en el caso regular, las soluciones del problema de eigenvalo-
res de Sturm-Liouville provee una coleccion ortogonal de funciones cuadrado
integrables respecto a una determinada funcion de peso ρ en un interva-
lo finito, las cuales tienen la propiedad de que la cerradura de su espacio
generado es precisamente todo el espacio L2ρ. Probaremos tambien algunas
propiedades de los eigenvalores asociados y terminamos el trabajo mencio-
nando algunos ejemplos conocidos del problema singular de Sturm-Liouville.
1. Operadores Diferenciales Autoadjuntos
Sea L un operador diferencial definido por
L ≡ p(x)d2
dx2+ q(x)
d
dx+ r(x),
Ly = p(x)y′′ + q(x)y′ + r(x)y,
y consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden
Ly = 0. (1)
Investigaremos las propiedades de ortogonalidad de las soluciones de (1), es
decir buscaremos aquellas soluciones y tales que
y ∈ C2(I) ∩ L2(I).
1
Primeramente busquemos una expresion para el operador adjunto de L, con
L : C2(I) ∩ L2(I) −→ L2(I)
y asumiremos inicialmente que p, q, r ∈ C2(I) y que son complejas. Sea L′ es
adjunto de L, entonces por definicion, para todo f, g ∈ C2(I) ∩ L2(I),
〈Lf, g〉 = 〈f,L′g〉,
donde 〈·, ·〉 denota el producto interior en L2. Sea I = (a, b) (donde los ex-
tremos pueden ser no acotados) entonces por integracion por partes tenemos
〈Lf, g〉 =
∫ b
a
(pf ′′ + qf ′ + rf
)g dx
=
∫ b
apf ′′g dx+
∫ b
aqf ′g dx+
∫ b
arfg dx
= p′fg∣∣ba−∫ b
af ′(pg)′ dx+ qfg|ba −
∫ b
af(qg)′ dx+
∫ b
arfg dx
=[pf ′g + qfg − f(pg)′
]∣∣ba+
∫ b
a
(f(pg)′′ − f(qg)′ + frg
)dx
=
∫ b
af [(pg)′′ − (qg)′ + rg]dx+
[pf ′g + qfg − fpg′ − fp′g
]∣∣ba
= 〈f,L∗g〉+[p(f ′g − fg′
)+ fg
(q − p′
)]∣∣ba.
Cabe hacer notar que la expresion anterior esta bien definida si p ∈ C2(a, b),
q ∈ C1(a, b) y r ∈ C(a, b). Aquı el operador
L∗g = (pg)′′ − (qg)′ + rg
= pg′′ +(2p′ − q
)g′ +
(p′′ − q′ + r
)g (2)
es llamado el adjunto formal de L, y L es llamado formalmente autoadjunto
cuando L∗ = L, esto es, cuando
p = p, 2p′ − q = q, p′′ − q′ − r = r.
2
Este sistema de ecuaciones se satisface si p, q y r son funciones reales y
ademas, p′ = q. En el caso en que Im(q) = 0, todos son reales y p′ = q, de
donde
Lf = pf ′′ + p′f ′ + rf
= (pf ′)′ + rf.
Ası pues L es formalmente autoadjunto y tiene la forma de
L =d
dx
(pd
dx
)+ r,
y
〈Lf, g〉 = 〈f,Lg〉+ p(f ′g − fg′
)∣∣ba,
de donde L sera autoadjunto si
p(f ′g − fg′
)∣∣ba= 0, ∀f, g ∈ C2 ∩ L2. (3)
Notese aquı que si p′ = q entonces la continuidad de p′′ y q′ no es necesaria
pues el termino p′′ − q′′ en (2), desaparece.
Estaremos interesados en el problema de eigenvalores de −L, es decir solu-
ciones de la ecuacion
Lu+ λu = 0. (4)
Toda u ∈ L2 ∩ C2 no nula, que satisface (4) es llamada eigenfuncion cor-
respondiende al eigenvalor λ. Cuando apropiadas condiciones de frontera
son impuestas a la ecuacion (4), el sistema resultante es llamado problema
de eigenvalores de Sturm-Liouville y se estudiara mas delante. Como
resultado de lo anterior, tenemos el siguiente teorema.
Teorema 1. Sea L : L2(a, b) ∩ C2(a, b) −→ L2(a, b) un operador diferencial
de segundo orden definido por
Lu = p(x)u′′ + q(x)u′ + r(x)u, x ∈ (a, b),
3
donde p ∈ C2(a, b), q ∈ C1(a, b) y r ∈ C(a, b). Entonces
(i) L es formalmente adjunto si p, q y r son reales y p′ ≡ q.
(ii) L es autoadjunto, ie L′ = L, si L es formalmente autoadjunto y se
satisface (3).
(iii) Si L es autoadjunto entonces todos los eigenvalores de (4) son reales
y todo par de eigenfunciones asociadas a distintos eigenvalores son
ortogonales en L2(a, b).
Demostracion. Ya se probo (i) y (ii). Para (iii) sea λ ∈ C eigenvalor de −L
y f ∈ L2(a, b) ∩ C2(a, b), f 6= 0 una eigenfuncion asociada, entonces
λ||f ||2 = λ〈f, f〉 = 〈λf, f〉 = −〈Lf, f〉.
Como L es autoadjunto,
−〈Lf, f〉 = −〈f,Lf〉 = 〈f, λf〉 = λ〈f, f〉 = λ||f ||2,
de donde (λ− λ)||f ||2, y como f 6= 0, ||f || > 0, por lo tanto
λ = λ
y λ es real.
Ahora sean λ y µ distintos eigenvalores de −L y sean f, g sus respectivas
eigenfunciones, entonces
λ〈f, g〉 = 〈λf, g〉 = 〈−Lf, g〉 = 〈f,−Lg〉 = 〈f, µg〉 = µ〈f, g〉,
por lo tanto (λ− µ)〈f, g〉 = 0, y como λ 6= µ,
〈f, g〉 = 0,
por lo tanto f y g son sortogonales.
Ejemplo. Sea L ≡ p(x) d2
dx2+q(x)ddx+r(x) con x ∈ I = (a, b), donde p ∈ C2(I)
no se anula en I, q ∈ C1(I) y r ∈ C(I). Supongamos sin perdidad de
4
generalidad que p(x) > 0 ∀x ∈ I. Si p′ 6= q, podemos multiplicar L por una
funcion ρ y definir el operador
L = ρL ≡ ρ(x)p(x)d2
dx2+ ρ(x)q(x)
d
dx+ ρ(x)r(x),
donde L sera formalmente autoadjunto si
ρq = (ρp)′ = ρp′ + ρ′p.
Llevando la ecuacion a su forma estandar
ρ′ +
(p′ − q
p
)ρ = 0,
vemos que el factor integrante es
µ(x) = exp
(∫p′ − q
pdx
)= exp
(log x−
∫q(x)
p(x)dx
)
= p(x) exp
(−∫q(x)
p(x)dx
)
por lo cual, la solucion de la ecuacion esta dada por
d
dx
(ρ(x)p(x)
(−∫q(x)
p(x)dx
))= 0
es decir
ρ(x) =c
p(x)exp
(∫q(x)
p(x)dx
). (5)
Ası pues, el operador ρL es formalmente autoadjunto.
El ejemplo anterior nos permite generalizar la parte (iii) del teorema 1 a
operadores que no son formalmente autoadjuntos. Si L es tal que p′ 6= q, la
ecuacion de eigenvalores (1) puede multiplicarse por una funcion positiva ρ
ρLu+ λρu = 0,
donde ahora ρL es formalmente autoadjunto. Si u ∈ L2ρ es una eigenfuncion
5
asociada al eigenvalor λ tenemos que
λ||u||2ρ = λ〈ρu, u〉 = 〈λρu, u〉 = 〈−ρLu, u〉 = 〈u,−ρL〉 = 〈u, λρL〉 = λ||u||2ρ,
por lo tanto, como u 6= 0, λ = λ. Mas aun sea v ∈ L2ρ eigenfuncion asociada
a µ eigenvalor distinto a λ, entonces
(λ− µ)〈u, v〉ρ = λ〈ρu, v〉 − µ〈ρu, v〉= 〈λρu, v〉 − 〈u, µρv〉= 〈−ρLu, v〉 − 〈u,−ρLv〉= 〈u,−ρLv〉 − 〈u,−ρLv〉= 0,
y como λ − µ 6= 0, entonces 〈u, v〉ρ = 0, es decir que u y v son ortogonales
con respecto a la funcion de peso ρ(x).
Corolario 2. Si L : L2(a, b)∩C2(a, b) −→ L2(a, b) es autoadjunto y ρ es una
funcion contınua y positiva en [a, b], entonces los eigenvalores de la ecuacion
Lu+ λρu = 0
son reales y todo par de eigenfunciones asociadas con eigenvalores distintos
son ortogonales en L2ρ(a, b).
Ejemplo. Encontrar los eigenvalores y eigenfunciones del problema de valores
a la frontera
x2y′′ + xy′ + λy = 0, 1 < x < b, (6)
y(1) = y(b) = 0. (7)
Solucion. Esta ecuacion es conocida como Ecuacion de Cauchy-Euler. Sea
6
y = xm, entonces sustituyendo en la ecuacion
x2m(m− 1)xm−2 + xmxm−1 + λxm = 0
xm [m(m− 1) +m+ λ] = 0, ∀x ∈ (a, b)
m2 −m+m+ λ = 0
m2 = −λ.
Supongamos aquı que λ > 0, entonces m = ±i√λ, de donde
xm = xi√λ = exp(i
√λ log x) = cos
(√λ log x
)+ i sen
(√λ log x
),
es decir, la solucion general de (6) esta dada por
y(x) = c1 cos(√
λ log x)+ c2 sen
(√λ log x
).
Aplicando las condiciones de frontera (7) se observa que
c1 = 0
c1 cos(√
λ log b)+ c2 sen
(√λ log b
)= 0,
de donde c1 = 0 y c2 sin(√
λ log b)= 0. Como y debe ser no nula, c2 6= 0 y
sen(√
λ log b)= 0,
de donde √λ log b = nπ,
y finalmente
λn =
(nπ
log b
)2
son eigenvalores de (6) con eigenfunciones
yn(x) = sin
(nπ
log blog x
).
7
Ahora bien, notese que el operador diferencial
L0 = x2d2
dx2+ x
d
dx
no es formalmente autoadjunto, pero multiplicandolo por
ρ(x) =1
p(x)exp
(∫q(x)
p(x)dx
)
=1
x2exp
(∫x
x2dx
)
=1
x2exp (log x)
=1
x
tenemos que
L = xd2
dx2+
d
dx= ρL0
es formalmente autoadjunto. Finalmente vemos que las funciones {yn} son
ortogonales en L2x−1(1, b), pues tenemos que
〈ym, yn〉x−1 =
∫ b
1sin
(mπ
log blog x
)sin
(nπ
log blog x
)1
xdx.
Haciendo u = log xπ
log bentonces du =
dx
x
π
log b, ademas que u→ 0, x→ 0
y u→ π, x→ b. Ası
〈ym, yn〉x−1 =log b
π
∫ π
0sen(mu) sen(nu)du
=log b
2π
∫ π
0[cos(m− n)u− cos(m+ n)u] du
=log b
2π
[1
m− nsen(m− n)u+
1
m+ nsen(m+ n)u
]π
0
=log b
2π· 0
= 0.
8
Ahora regresemos y supongamos que λ = 0, entonces la ecuacion se reduce
a
x2y′′ + xy′ = 0.
Haciendo u = y′ y dividiendo la ecuacion por x2 obtenemos
u′ +1
xu = 0.
Multiplicando por el factor integrante µ(x) = exp(∫
1xdx) = x, la solucion
esta dada por
u(x) =c1x,
con c1 una constante. Ası,
y′ =c1x,
de donde
y(x) = c1 log(x) + c2,
y aplicando las condiciones de frontera (7) resulta que
c1 = 0
c2 log b = 0,
pero dado que b > 0, log b > 0, por lo tanto c1 = c2 = 0 y y ≡ 0, por lo cual
λ = 0 no es un eigenvalor.
Para terminar supongamos finalmente que λ < 0, entonces m = ±√−λ, de
donde la solucion general esta dada por
y(x) = c1x√−λ + c2x
−√−λ.
Aplicando (7) y haciendo α = b√−λ, tenemos que las constantes c1 y c2
satisfacen el sistema lineal homogeneo
A
(c1
c2
)=
(1 1
α 1α
)(c1
c2
)=
(0
0
),
9
y dado que detA = 1α − α 6= 0, entonces c1 = c2 = 0 y nuevamente y ≡ 0,
por lo cual λ < 0 no es un eigenvalor del problema.
2. El Problema de Sturm-Liouville
Sea L un operador formalmente autoadjunto de la forma
L =d
dx
(p(x)
d
dx
)+ r(x). (8)
La ecuacion de eigenvalores
Lu+ λρ(x)u = 0, x ∈ (a, b), (9)
sujeto a las condiciones de frontera homogeneas
α1u(a) + α2u′(a) = 0 , |α1|+ |α2| > 0 (10)
β1u(b) + β2u′(b) = 0 , |β1|+ |β2| > 0, (11)
donde las αi y βi son constantes reales, es llamado problema de eigenva-
lores de Sturm-Liouville o sencillamente problema SL. Por la seccion
anterior sabemos que (si existen) los eigenvalores son reales y sus eigenfun-
ciones son ortogonales en L2ρ(a, b). Cuando el intervalo es acotado y p no se
anula en [a, b], el sistema de ecuaciones (9) - (11) es llamado problema SL
regular, de otra forma es llamado problema SL singular. Las soluciones del
problema SL son, claramente, eigenfunciones del operador −L/ρ en C2 que
satisfacen las condiciones de frontera (10) y (11).
La siguiente parte del trabajo esta dedicada a probar que no solo el problema
regular SL tiene soluciones, sino que dichas soluciones son suficientes para
generar L2ρ(a, b), lo cual se probara en etapas. Asumiremos por simplicidad
que ρ ≡ 1 y construiremos una funcion de Green para el operador L bajo las
condiciones de frontera (10) y (11). Despues usaremos la funcion de Green
para obtener una expresion integral para L−1 y llegaremos a los resultados
10
deseados por medio del analisis espectral de L−1. Tambien hay que decir al
respecto del problema SL singular.
2.1. Existencia de Eigenfunciones
Definicion 3. Una funcion de Green para el operador diferencial
L ≡ pd2
dx2+ p′
d
dx+ r
bajo las condiciones de frontera
α1u(a) + α2u′(a) = 0 , |α1|+ |α2| > 0
β1u(b) + β2u′(b) = 0 , |β1|+ |β2| > 0,
es una funcion
G : [a, b]× [a, b] → R
con las siguientes propiedades:
1. G es simetrica, en el sentido que
G(x, ξ) = G(ξ, x) para todo x, ξ ∈ [a, b],
y G satisface las condiciones de frontera tanto en x como en ξ.
2. G es continua en el cuadrado [a, b] × [a, b] y de clase C2 en [a, b] ×[a, b]\{(x, ξ)|x = ξ}, donde G satisface la ecuacion diferencial
LxG(x, ξ) = 0.
3. La derivada ∂G∂x tiene una discontinuidad de tipo salto en x = ξ dada
por
∂G
∂x(ξ+, ξ)− ∂G
∂x(ξ−, ξ) = lım
δ→0+
[∂G
∂x(ξ + δ, ξ) − ∂G
∂x(ξ − δ, ξ)
]
=1
p(ξ). (12)
11
Supondremos que la ecuacion homogenea Lu = 0, bajo las condiciones de
frontera (10) y (11) tiene solo la solucion trivial u ≡ 0. Esta suposicion
quiere decir que 0 no es un eigenvalor de −L. No hay perdida de generalidad
pues si λ es un real que no es eigenvalor de −L entonces podemos definir el
operador
L = L+ λ = pd2
dx2+ p′
d
dx+ r,
donde r(x) = r(x) + λ. Ahora, dado que
Lu+ λu = Lu+ (λ− λ)u,
vemos que λ es un eigenvalor de −L con eigenfuncion u sı y solo sı λ− λ es
un eigenvalor de −L con eigenfuncion u. Como λ no es un eigenvalor de −L,0 no puede ser un eigenvalor de −L. Ası pues se observa que hay numeros
reales que no son eigenvalores de −L como se observa en el siguiente lema.
Lema 4. Los eigenvalores de −L estan acotados inferiormente.
Demostracion. Para toda funcion u ∈ C2[a, b] que satisface las condiciones
de frontera (10) y (11), tenemos integrando por partes el primer miembro
del integrando que
〈−Lu, u〉 =
∫ b
a
[−(pu′)′u− r|u|2
]dx
=
∫ b
a
[p|u′|2 − r|u|2
]dx− p(b)u′(b)u(b) + p(a)u′(a)u(a)
=
∫ b
a
[p|u′|2 − r|u|2
]dx+ p(b)
β1β2
|u(b)|2 − p(a)α1
α2|u(a)|2
Si β2 = 0, la segunda condicion de frontera implica que u(b) = 0 y el
segundo termino del lado derecho de la igualdad se anula. Similarmente el
tercer termino se anula si α2 = 0. El caso donde u es una eigenfuncion de
12
−L con condiciones de frontera u(a) = u(b) = 0 da como resultado
λ||u||2 =
∫ b
ap(x)|u′(x)|2dx−
∫ b
ar(x)|u(x)|2dx
≥ −||u||2 max {|r(x)| : a ≤ x ≤ b} ,
donde ℓ = −max {|r(x)| : a ≤ x ≤ b} es una cota inferior para λ. Por otro
lado si u satisface las condiciones de frontera (10) y (11), el siguiente argu-
mento muestra que no pueden existir mas de dos eigenfunciones linealmente
independientes de −L con eigenvalores menores que ℓ. Supongamos pues que
existen tres eigenfunciones linealmente independientes de −L, u1, u2 y u3,
con λ1, λ2 y λ3 sus correspondientes eigenvalores, los cuales son menores que
ℓ. Sin perdida de generalidad podemos suponer las eigenfunciones ortonor-
males por el proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt. Como
α1ui(a) + α2u′i(a) = 0 ,
β1ui(b) + β2u′i(b) = 0 , i = 1, 2, 3,
se observa que cada uno de los vectores (ui(a), u′i(a)) y (ui(b), u
′i(b)) caen en
un subespacio de R2 de dimension 1, por lo cual cada uno de los vectores
ui = (ui(a), u′i(a), ui(b), u
′i(b)) cae en un subespacio de dimension dos de
R4, por lo cual dichos vectores deben ser linealmente dependientes, es decir
podemos escribir
c1u1 + c2u2 + c3u3 = 0,
donde no todos los cj son nulos. Pero esto implica que
c1u1(a) + c2u2(a) + c3u3(a) = 0,
c1u1(b) + c2u2(b) + c3u3(b) = 0.
Entonces la funcion v(x) = c1u1(x) + c2u2(x) + c3u3(x) es una eigenfuncion
de −L y satisface v(a) = v(b) = 0, de donde su eigenvalor esta acotado por
13
ℓ. Pero esto es una contradiccion pues
〈−Lv, v〉 = λ1|c1|2 + λ2|c2|2 + λ3|c3|2 < ℓ(|c1|2 + |c2|2 + |c3|2
)= ℓ||v||2.
Construyamos ahora la funcion de Green. Por el teorema de existencia y
unicidad para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, Lu = 0
tiene dos soluciones unicas no triviales v1, v2 linealmente independientes1
tales que
v1(a) = α2 , v′1(a) = −α1,
v2(b) = β2 , v′2(b) = −β1.
Ası v1 satisface (10) y v2 satisface (11).
Si hacemos
c = p(x)[v1(x)v
′2(x)− v′1(x)v2(x)
]= p(x)W (v1, v2) 6= 0,
entonces definimos
G(x, ξ) =
c−1v1(ξ)v2(x), a ≤ ξ ≤ x ≤ b
c−1v1(x)v2(ξ), a ≤ x ≤ ξ ≤ b.
Notese que c es efectivamente una constante no nula, pues si calculamos su
derivada, dado que v1 y v2 son soluciones de la ecuacion Lu = 0 y que p > 0,
1De no serlo, una serıa multimplo escalar de la otra y cumplirıa Lu = 0 y las condiciones
de frontera, lo cual contradice la hipotesis de que 0 no es eigenvalor de −L
14
tenemos que
d
dxc = [p(x)W (v1, v2)(x)]
′
= p′(x)W (v1, v2)(x) + p(x)W ′(v1, v2)(x)
= p′[v1v
′2 − v′1v2
]+ p
[v1v
′′2 + v′1v
′2 − v′′1v2 − v′1v
′2
]
= p′[v1v
′2 − v′1v2
]+ p
[v1v
′′2 − v′′1v2
]
= p′[v1v
′2 − v′1v2
]− p
[v1p′v′2 + rv2
p− v2
p′v′1 + rv1p
]
= p′v1v′2 − p′v′1v2 − v1p
′1v2 − v1rv2 + v2p
′v′1 + v2rv1
= 0,
y es no nula, pues ni p ni W se anulan en I.
Efectivamente G es una funcion de Green. Notese por ejemplo que
G(a, ξ) = c−1v1(a)v2(ξ)
G(b, ξ) = c−1v1(ξ)v2(b)
∂
∂xG(x, ξ)
∣∣∣∣x=a
= c−1v′1(a)v2(ξ)
∂
∂xG(x, ξ)
∣∣∣∣x=b
= c−1v′1(ξ)v2(b).
De este modo
α1G(a, ξ) + α2∂
∂xG(x, ξ)
∣∣∣∣x=a
= α1c−1v1(a)v2(ξ) + α2c
−1v′1(a)v2(ξ)
= c−1v2(ξ)(α1v1(a) + α2v
′1(a)
)
= c−1v2(ξ) (α1α1 − α2α2)
= 0,
ası, para la variable x se cumple la condicion de frontera (10). Analogamente
puede probarse que se cumple (11) y tambien que se cumplen ambas para
la variable ξ. Respecto a la continuidad de G en el cuadrado, es clara dado
que c es una constante no nula y G es producto de dos funciones continuas.
15
Ademas es de clase C2 en el cuadrado menos la diagonal por la misma razones
sencillo probar que satisface la ecuacion LxG(x, ξ) = 0. No es de clase C2 en
la diagonal pues ni siquiera es C1 como muestra el siguiente calculo,
∂G
∂x(ξ + δ, ξ) − ∂G
∂x(ξ − δ, ξ) =
1
c
[v1(ξ)v
′2(ξ + δ)− v′1(ξ − δ)v2(ξ)
]
donde δ > 0, y por la continuidad de v′1 y v′2 tenemos que
lımδ→0+
[∂G
∂x(ξ + δ, ξ) − ∂G
∂x(ξ − δ, ξ)
]=
1
c
[v1(ξ)v
′2(ξ)− v′1(ξ)v2(ξ)
]
=v1(ξ)v
′2(ξ)− v′1(ξ)v2(ξ)
p(ξ) [v1(ξ)v′2(ξ)− v′1(ξ)v2(ξ)]
=1
p(ξ).
Ası, G no es C2 en la diagonal y mas aun, se cumple la ultima condicion
para que G sea una funcion de Green.
Ahora definamos el operador T sobre C[a, b] por
(Tf)(x) =
∫ b
aG(x, ξ)f(ξ)dξ, (13)
y veamos que la funcion Tf es de clase C2 y solucion de la ecuacion Lu = f .
Reescribiendo (13) y diferenciando
(Tf)(x) =
∫ x
aG(x, ξ)f(ξ)dξ +
∫ b
xG(x, ξ)f(ξ)dξ
(Tf)′(x) =
∫ x
aGx(x, ξ)f(ξ)dξ +
∫ b
xGx(x, ξ)f(ξ)dξ
(Tf)′′(x) =
∫ x
aGxx(x, ξ)f(ξ)dξ +Gx(x, x
−)f(x−)
+
∫ b
xGxx(x, ξ)f(ξ)dξ −Gx(x, x
+)f(x+)
donde hemos usado la continuidad de G y de f en x = ξ para obtener
16
(Tf)′(x). Ademas por la continuidad de v1, v2 y f
Gx(x, x−)f(x−)−Gx(x, x
+)f(x+) =f(x)
c[v1(x)v
′2(x)− v′1(x)v2(x)] =
f(x)
p(x)
por lo que
(Tf)′′(x) =∫ x
aGxx(x, ξ)f(ξ)dξ +
∫ b
xGxx(x, ξ)f(ξ)dξ +
f(x)
p(x),
de donde se concluye que Tf ∈ C2[a, b] y ademas
L(Tf)(x) = p(x)(Tf)′′(x) + p′(x)(Tf)′(x) + r(x)(Tf)(x)
=
∫ x
aLxG(x, ξ)f(ξ)dξ +
∫ b
xLxG(x, ξ)f(ξ)dξ + f(x)
= f(x), (14)
a partir del hecho de que LxGx(x, ξ) = 0 para todo ξ 6= x. Finalmente notese
que
α1(Tf)(a) + α2(Tf)′(a) = α1
∫ b
aG(a, ξ)f(ξ)dξ + α2
∫ b
aGx(a, ξ)f(ξ)dξ
=
∫ b
a(α1G(a, ξ) + α2Gx(a, ξ)) f(ξ)dξ
y como G satisface las condiciones de frontera, el integrando del lado dere-
cho se anula, de modo que Tf satisface la condicion de frontera (10). De la
misma manera se observa que G satisface (11).
Por otro lado si u ∈ C[a, b] satisface (10) y (11), entonces por integracion
17
por partes, la continuidad de p, u y u′ y las propiedades de G
T (Lu)(x) =
∫ x
aG(x, ξ)Lu(ξ)dξ +
∫ b
xG(x, ξ)Lu(ξ)dξ
= p(ξ)[u′(ξ)G(x, ξ) − u(ξ)Gξ(x, ξ)]xa +
∫ x
au(ξ)LξG(x, ξ)dξ
+ p(ξ)[u′(ξ)G(x, ξ) − u(ξ)Gξ(x, ξ)]bx +
∫ b
xu(ξ)LξG(x, ξ)dξ
= p(ξ)u(ξ)Gξ(x, ξ)|x+
x−+ p(ξ)[u′(ξ)G(x, ξ) − u(ξ)Gξ(x, ξ)]
ba
= u(x).
Ası pues observamos que el operador T actua como operador inverso de L
y el problema de eigenvalores de Sturm Liouville
Lu+ λu = 0,
α1u(a) + α2u′(a) = 0,
β1u(b) + β2u′(b) = 0,
es equivalente a la ecuacion de Tu = µu, donde µ = −1/λ. En otras palabras,
u sera una eigenfuncion del problema SL asociada al eigenvalor λ sı y solo
sı es una eigenfuncion de T asociada al eigenvalor −1/λ. Deduciremos las
propiedades espectrales del problema de SL a partir de aquellas de T .
Lema 5. El conjunto de funciones {Tu} con u ∈ C[a, b] y ||u|| ≤ 1 es
uniformemente acotado y equicontinuo.
Demostracion. Como G es continua en el cuadrado [a, b]× [a, b] y el cuadra-
do es compacto, entonces G es uniformemente continua y acotada por una
18
constante M > 0. Por la desigualdad de Schwartz
|Tu(x)| = |〈G(x, ξ), u(ξ)〉|≤ ||G(x, ·)|| · ||u||
=
(∫ b
a|G(x, ξ)|2dξ
)1/2
||u||
≤(M2
∫ b
adξ
)1/2
||u||
= M√b− a||u||
de modo que {|Tu| : ||u|| ≤ 1} es acotado por M√b− a. Como G es
uniformemente continua dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que si x1, x2 ∈ [a, b]
y |x2 − x1| < δ entonces |G(x2, ξ)−G(x1, ξ)| < ε, para todo ξ en [a, b]. Ası,
si u es continua
|Tu(x1)− Tu(x2)| = |〈G(x1, ξ)−G(x2, ξ), u(ξ)〉|≤ ||G(x1, ·)−G(x2, ·)|| · ||u||
=
(∫ b
a|G(x2, ξ)−G(x1, ξ)|2dξ
)1/2
||u||
≤(ε2∫ b
adξ
)1/2
||u||
= ε√b− a||u||,
siempre y cuando |x2 − x1| < δ. Ası si ||u|| ≤ 1, {Tu} es equicontinuo.
Notese que si u, v ∈ C[a, b],
〈Tu, v〉 =
∫ b
a(Tu)(x)v(x)dx
=
∫ b
a
(∫ b
aG(x, ξ)u(ξ)dξ
)v(x)dx
=
∫ b
au(ξ)
(∫ b
aG(x, ξ)v(x)dx
)dξ,
19
donde en la ultima igualdad hemos usado el teorema de Fubini, en el en-
tendido de que todas las funciones son continuas. Ahora bien, si v(x) =
c(x) + id(x), con c y d funciones reales, entonces
∫ b
aG(x, ξ)v(x)dx =
∫ b
aG(x, ξ)(c + id)(x)dx
=
∫ b
aG(x, ξ)c(x)dx + i
∫ b
aG(x, ξ)d(x)dx
=
∫ b
aG(x, ξ)c(x)dx − i
∫ b
aG(x, ξ)d(x)dx
=
∫ b
aG(x, ξ)(c − id)(x)dx
=
∫ b
aG(x, ξ)v(x)dx.
Ası pues
〈Tu, v〉 =
∫ b
au(ξ)
(∫ b
aG(x, ξ)v(x)dx
)dξ
=
∫ b
au(ξ)
(∫ b
aG(x, ξ)v(x)dx
)dξ
= 〈u, Tv〉
por tanto T es autoconjugado y podemos escribir
||T || = supu∈C[a,b]||u||=1
|〈Tu, u〉|.
Ahora ya estamos en condiciones de probar el primer teorema de existencia
para el problema de eigenvalores en consideracion.
Teorema 6. Dado T como se definio anteriormente, o ||T || o −||T || es un
eigenvalor de T .
Demostracion. Tenemos que por un lado ||T || = sup||u||=1〈Tu, u〉 o por otro
||T || = − ınf ||u||=1〈Tu, u〉. Supongamos el primer caso, entonces existe una
20
sucesion {uk} tal que 〈Tuk, uk〉 → ||u||. Como {Tuk} es uniformemente
acotada y equicontinua, por Arzela-Ascoli existe una subsucesion {Tukj}uniformemente convergente a una funcion continua ϕ0. Probaremos ahora
que ϕ0 es una eigenfuncion asociada al eigenvalor µ0 = ||T ||. Cuando j →+∞ tenemos que
supx∈[a,b]
|Tukj (x)− ϕ0(x)| → 0,
lo cual implica que
||Tukj − ϕ0|| → 0, (15)
y ademas ||Tukj || → ||ϕ0||. Mas aun, como 〈Tukj , ukj 〉 → µ0,
||Tukj − µoukj ||2 = ||Tukj ||2 + µ20 − 2µ0〈Tukj , ukj 〉 → ||ϕ0||2 − µ20, (16)
dado que ||ϕ0||2 ≥ µ20 > 0, y la funcion ϕ0 no es identicamente nula en [a, b].
Como ||Tukj ||2 ≤ ||T ||2||ukj ||2 = µ20 se sigue de (16) que
0 ≤ ||Tukj − µ0ukj ||2 ≤ 2µ20 − 2µ0〈Tukj , ukj 〉.
Pero 〈Tukj , ukj 〉 → µ0, entonces
||Tukj − µ0ukj ||. (17)
Ahora podemos escribir
0 ≤ ||Tϕ0 − µ0ϕ0||≤ ||Tϕ0 − T (Tukj)||+ ||T (Tukj )− µ0Tukj ||+ ||µ0Tukj − µ0ϕ0||
Cuando j → ∞, usando que ||Tu|| ≤ ||T || · ||u|| junto (15) y (17) se concluye
que ||Tϕ0 − µ0ϕ0|| = 0, por tanto Tϕ0 − µ0ϕ0 = 0, de donde Tϕ0 = µ0ϕ0.
Cuando ||T || = − ınf ||u||=|〈Tu, u〉 la prueba es similar.
21
Sea
ψ0 =ϕ0
||ϕ0||G1(x, ξ) = G(x, ξ) − µ0ψ0(x)ψ0(ξ)
(T1u)(x) =
∫ b
aG1(x, ξ)u(ξ)dξ
= Tu(x)− µ0〈u, ψ0〉ψ0(x) para toda u ∈ C[a, b]. (18)
La funcion G1 tiene las mismas propiedades de regularidad y simetrıa que
G, por tanto el Lema 5 y el teorema 6 aplican al operador T1. Si ||T1|| 6= 0
entonces definimos |µ1| = ||T1|| donde µ1 es un numero real no nulo, el
cual es eigenvalor del operador T1 en vista del teorema 6, asociado a la
eigenfuncion ϕ1 ∈ C[a, b], eso es
T1ϕ1 = µ1ϕ1.
Sea ψ1 = ϕ1/||ϕ1||, entonces para toda u ∈ C[a, b],
〈T1u, ψ0〉 = 〈Tu, ψ0〉 − µ0〈〈u, ψ0〉ψ0, ψ0〉= 〈u, Tψ0〉 − µ0〈u, ψ0〉= 0
pues Tψ0 = µ0ψ0. En particular, 〈T1ψ1, ψ0〉 = 〈µ1ψ1, ψ0〉 = 0, de donde ψ1
es ortogonal a ψ0. Ahora por la ecuacion (18)
Tψ1 = T1ψ1 = µ1ψ1.
Ası ψ1 es tambien una eigenfuncion de T y su eigenvalor asociado satisface
|µ1| ≤ ||Tψ1|| ≤ ||T || = |µ0|
22
Haciendo
G2(x, ξ) = G1(x, ξ) − µ1ψ1(x)ψ1(ξ) = G(x, ξ)−1∑
k=0
µkψk(x)ψk(ξ)
T2u = T1u− µ1〈u, ψ1〉ψ1 = Tu−1∑
k=0
µk〈u, ψk〉ψk,
y procediendo como antes, deducimos la existencia de una tercera eigenfun-
cion normalizada de T , ψ2 asociada al eigenvalor µ2 tal que ψ2 es ortogonal
tanto a ψ1 como ψ2 y |µ2| ≤ |µ1|. Ası se obtiene una sucesion ortonormal de
eigenfunciones de T ψ0, ψ1, ψ2, . . . correspondientes a la sucesion de eigen-
valores |µ0| ≥ |µ1| ≥ |µ2| ≥ · · · . La sucesion de eigenfunciones termina solo
si ||Tn|| = 0 para algun n. En ese caso
0 = LTnu = LTu−n−1∑
k=0
µk〈u, ψk〉Lψk = u−n−1∑
k=0
µk〈u, ψk〉Lψk
para toda u continua, lo que darıa lugar a
u =
n−1∑
k=0
µk〈u, ψk〉Lψk =
n−1∑
k=0
〈u, ψk〉LTψk =
n−1∑
k=0
〈u, ψk〉ψk
lo cual contradice el hecho de que dim C[a, b] = ∞. Por tanto ||Tn|| > 0 para
toda n ∈ N. Finalmente hemos probado el siguiente resultado.
Teorema 7. El operador integral T tiene una sucesion infinita de eigenfun-
ciones {ψn}, las cuales son ortonormales en L2(a, b).
2.2. Completitud de las Eigenfunciones
Si f es una funcion en L2(a, b) la desigualdad de Bessel nos dice que
∞∑
k=0
|〈f, ψk〉|2 ≤ ||f ||2.
23
Para probar la completitud de las eigenfunciones {ψk} en L2(a, b) ten-
emos que probar que dicha desigualdad es de hecho una igualdad. Esto se
hara probando primero que
f =
∞∑
k=0
〈f, ψk〉ψk
para toda funcion f ∈ C[a, b] que satisface las condiciones de frontera (10) y
(11), y despues usando la densidad de C2[a, b] en L2(a, b) para extender la
igualdad a todo L2(a, b).
Teorema 8. Dada una funcion f en C2[a, b] que satisface las condiciones
de frontera (10) y (11), la serie∑〈f, ψk〉ψk converge uniformemente a f
en [a, b].
Demostracion. Para cada x ∈ [a, b] tenemos
〈G(x, ·), ψk〉 = Tψk(x) = µkψk(x) para toda k ∈ N.
La desigualdad de Bessel aplicada a G en ξ da lugar a
n∑
k=0
µ2k|ψk(x)|2 ≤∫ b
a|G(x, ξ)|2dξ, para toda x ∈ [a, b]
con n natural. Integrando respecto a x y haciendo tender n a infinito se
obtiene ∞∑
k=0
µ2k ≤M2(b− a)2, (19)
donde M es el valor maximo de G en el cuadrado [a, b]2. Como la serie esta
acotada, converge, por tanto
lımn→∞
|µn| = 0. (20)
24
Ademas para toda u ∈ C[a, b],
||Tnu|| =∥∥∥∥∥Tu−
n−1∑
k=0
µk〈u, ψk〉ψk
∥∥∥∥∥ ≤ |µn| · ||u|| → 0, cuando n→ ∞ (21)
en vista de (20). Si n > m entonces
n∑
k=m
µk〈u, ψk〉ψk = T
(n∑
k=m
〈u, ψk〉ψk
),
pero como |Tu| ≤M√b− a||u|| para todo u ∈ C[a, b], se sigue entonces que
∣∣∣∣∣
n∑
k=m
µk〈u, ψk〉ψk
∣∣∣∣∣ ≤ ||T ||∥∥∥∥∥
n∑
k=m
〈u, ψk〉ψk
∥∥∥∥∥
≤ M√b− a
(n∑
k=m
|〈u, ψk〉|2)1/2
.
Por la desigualdad de Bessel, el lado derecho de la desigualdad tiende a cero
conforme n y m tienden a infinito, de modo que la serie
∞∑
k=0
µk〈u, ψk〉ψk
converge uniformemente en [a, b] a una funcion continua. La continuidad de
Tu y (21) implica que
Tu(x) =
∞∑
k=0
µk〈u, ψk〉ψk(x) para toda x ∈ [a, b]. (22)
Si f es de clase C2 y satisface las condiciones de frontera (10) y (11), entonces
u = Lf es una funcion continua en [a, b] y f = Tu. Como
µk〈u, ψk〉 = 〈u, µkψk〉 = 〈u, Tψk〉 = 〈Tu, ψk〉 = 〈f, ψk〉,
25
la ecuacion (22) da finalmente como resultado que
f(x) =
∞∑
k=0
〈f, ψk〉ψk(x) para toda x ∈ [a, b].
Sabemos ademas que C2 es denso en L2 por lo cual hemos probado el sigu-
iente teorema.
Teorema 9 (Teorema de Completitud). Si f ∈ L2(a, b), entonces
lımn→∞
∥∥∥∥∥f −n∑
k=0
〈f, ψk〉ψk
∥∥∥∥∥ = 0. (23)
Esta ecuacion expresa el hecho de que la sucesion {ψk} de eigenfunciones
ortonormales de T forma un sistema ortogonal completo en L2(a, b).
Ahora bien, por (20), 1/|λn| = |µn| → 0 y como los eigenvalores de −Lestan acotados por abajo, se tiene pues que λn → ∞ cuando n → ∞.
Reintroduciendo la funcion de peso ρ, hemos llegado al siguiente resultado
fundamental.
Teorema 10. Asumiendo que p′, r, ρ ∈ C[a, b], y que p, ρ > 0 en [a, b],
el problema de eigenvalores regular de Sturm-Liouville tiene una sucesion
infinita de eigenvalores reales
λ0 < λ1 < λ2 < · · ·
tal que λn → ∞. A cada eigenvalor λn corresponde una unica funcion propia
ϕn, y la sucesion de eigenfunciones {ϕn} forma un sistema ortogonal com-
pleto para L2ρ.
3. Problema Singular
El problema singular de Sturm Liouville surge a partir de alguna de las
siguientes situaciones
26
p(x) se anula en x = a y/o en x = b,
el intervalo (a, b) es infinito
La diferencia que surge (por ejemplo) en el primer caso, es que no son nece-
sarias condiciones de frontera si p se anula tanto en a como en b, pues
ρp(f ′g − fg′)|ba = 0
para toda f, g en L2ρ.
Ejemplos conocidos de problemas singulares de SL son los siguientes
1. Ecuacion de Legendre
(1− x2)u′′ − 2xu′ + n(n+ 1)u = 0, −1 < x < 1,
donde λ = n(n+1) y la funcion p(x) = 1−x2 se anula en los extremos
del intervalo. Aquı solo es requerida la existencia del lımite cuando x
tiende a ±1.
2. Ecuacion de Hermite
u′′ − 2xu′ + 2nu = 0, x ∈ R.
Despues de multiplicar por e−x2
, esta ecuacion se transforma a su
forma estandar autoadjunta
e−x2
u′′ − 2xe−x2
u′ + 2ne−x2
u = 0,
donde λ = 2n, p(x) = e−x2
y ρ(x) = e−x2
.
3. Ecuacion de Laguerre
xu′′ − (1− x)u′ + nu = 0, x > 0,
27
la cual es transformafa a su forma estandar
xe−xu′′ − (1− x)e−xu′ + ne−xu = 0
por medio de la multiplicacion por e−x. Aquı p(x) = xe−x se anula en
x = 0.
4. Ecuacion de Bessel
xu′′ + u′ − n2
xu+ λxu = 0, x > 0.
Aquı las dos funciones p(x) = x y ρ(x) = x se anulan en x = 0.
Las soluciones de estas ecuaciones proveen ejemplos importantes de las lla-
madas funciones especiales de la fısica matematica.
Referencias
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ences. Vol. 108. Applications to Mathematical Physics. Springer Velarg.
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tial Equations. McGraw-Hill Book Company, Inc. USA, 1955.
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[Murray] M. R. Spiegel. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Prentice Hall
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28