ORIENTE Y OCCIDENTE EN LA FORMACIÓN DE LA … · Tanto para entender al hombre a través del...

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)Vol. 99, Nº. 1, pp 1-26, 2005V Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica

ORIENTE Y OCCIDENTE EN LA FORMACIÓN DE LA CIENCIAMATEMÁTICA

MANUEL LÓPEZ PELLICER *

* E.T.S. Ingenieros Agrónomos. Apartado 22012. 46071 Valencia.

INTRODUCCIÓN

Al hablar de formación de ciencia no debemospensar sólo en el conocimiento experimental ymatemático tal como lo poseemos ahora en la cienciamoderna, desarrollada desde poco antes del sigloXVII. Conocer sólo este aspecto de la ciencia propor-cionaría una visión muy parcial, pues se habría pres-cindido de los cuatro o cinco milenios que gestaron eladvenimiento de la ciencia moderna.

Es cierto que hay científicos propensos a creer quecasi todas las cosas de algún valor se hicieron en losdos últimos siglos, debido a los resultados asombrososobtenidos en tiempos recientes, y que nadie cuestionaque se apoyan en la labor preparatoria de los esfuerzosanteriores. Aún admitiendo que los resultados del pre-sente sean más complejos y más valiosos que los delpasado, y que los han reemplazado, el pensamientoinductivo nos hace suponer que serán reemplazadospor los resultados del futuro. Por tanto, la historia de laciencia siempre ha proporcionado en cada época unavisión menos presuntuosa de su participación en laevolución humana.

Las conquistas científicas antiguas nos propor-cionan una mejor concepción del significado de laevolución científica, pues se extienden a lo largo de unperíodo mucho mayor y más alejado, que nos permitever con mejor perspectiva, ya que el valor de unateoría y la importancia de un hecho, dependen de lasconclusiones que puedan deducirse de ellos, en defini-tiva de los frutos que producen. Además la ciencia

antigua y medieval se ha desarrollado en diferenteslapsos de tiempo interrumpidos por distintas vicisi-tudes, mostrando que la evolución humana es máscompleja de lo que muestra el proceso ordenado de losúltimos siglos. Exagerando, podemos decir que undescubrimiento en la antigüedad era como una pepitade oro con la que se tropezaba con ayuda de la suerte,en tanto que hoy el trabajo científico es comparable ala explotación sistemática de una mina de oro, cuyopromedio de producción casi puede predecirse.

Tanto para entender al hombre a través del desarro-llo de la civilización, como para la comprensión delsignificado más profundo de la ciencia se necesita lahistoria de la ciencia, siendo la historia antigua ymedieval tan útil como la moderna. El análisis de lacontribución de oriente y occidente en la formación dela ciencia nos obliga a mirar hacia la historia antigua ymedieval.

ANTES DEL TERCER MILENIO DELNACIMIENTO DE CRISTO

Parece que nunca tendremos información adecuadade ese período antiguo en el que el hombre satisfacíasus más urgentes necesidades y, lentamente, emergíade la oscuridad y comenzaba a aparecer su instintivaansia por el poder y el conocimiento.

Nunca sabremos quien fue el primero que pensó enencender fuego, en fabricar instrumentos de piedra, endomesticar animales o en utilizar la rueda. Tampoco lo

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sabemos todo sobre el desarrollo del lenguaje y de laescritura. En cambio es obvio que sin el lenguaje arti-culado el hombre sería aún un animal. Sin la escriturasería imposible la transmisión y conservación delconocimiento y del progreso, que serían precarios einciertos.

Es probable que estos descubrimientos implicasenla colaboración secular de miles de hombres y que losgrandes progresos fuesen asegurados por el genioexcepcional de algunos de ellos, remachando losresultados obtenidos mediante la acumulación un tantoinconsciente de muchas pequeñas aportaciones, asegu-rando lo conquistado y preparando nuevos lentosmovimientos de progreso. Las transiciones que condu-jeron a cada uno de estos descubrimientos fundamen-tales debieron de ser extraordinariamente lentas,comparables a las evoluciones biológicas, y quedaríantotalmente inadvertidas para la mayoría de loshombres.

EL AMANECER DE LA CIENCIA ENEGIPTO Y MESOPOTAMIA

La evolución que preparó el amanecer de la cienciadebe haber durado decenas de miles de años, pero al

comienzo del tercer milenio antes de Cristo ya seencontraba completada en Egipto y Mesopotamia, quehabían alcanzado un elevado grado de cultura queincluía la escritura y bastantes conocimientos matemá-ticos, astronómicos y médicos. Esta evolución tambiénestaba casi completada en India y China.

En el cuarto milenio antes de nuestra era se produjoun gran desarrollo cultural que trajo el uso de laescritura, la rueda y los metales. A mediados del cuartomilenio antes de Cristo los egipcios ya tenían conoci-miento de un sistema decimal de numeración. Afinales de este maravilloso milenio comenzó el gobier-no de la primera dinastía. En una inscripción deaquella época hay una referencia a 120.000 cautivos,400.000 bueyes y 1.422.000 cabras en las que cadaunidad decimal está representada por un símboloespecial.

También sus conocimientos astronómicos fueronnotables. Parece que el calendario egipcio de 365 díasfue establecido en el año 4241 antes de Cristo.

Los conocimientos egipcios estuvieron altamentesistematizados, según se puede comprobar con elpapiro Golenishchev, que se encuentra en Moscú, datadel siglo XIX antes de Cristo y es copia de un docu-mento del final del tercer milenio antes de Cristo, ycon el papiro Rhind, que se conserva en Londres,proviene del siglo XVII antes de Cristo y es una copiahecha por el escriba Ahmes de un texto que le supera

en más de dos siglos de antigüedad. Gracias a estepapiro sabemos que los matemáticos egipcios del sigloXVII antes de Cristo estaban ya en condiciones deresolver problemas complicados que implicaban ecua-ciones determinadas e indeterminadas de gradosprimero y segundo, tenían gran habilidad aritmética,utilizaban el método de la falsa posición y la regla detres. Encontraron el área de un círculo y de una esferay los volúmenes de un cilindro y de un tronco depirámide de base cuadrada con una aproximación con-siderable. El papiro Rhind fue escrito trece siglos antesque Los Elementos de Euclides, y ambas obras no soncomparables. Sobre el papiro Rhind se necesitaronmás de un milenio de esfuerzos adicionales para pro-ducir Los Elementos. No obstante, el papiro Rhind nodebe considerarse como un comienzo, sino más biencomo una culminación de una evolución muy pro-longada.

Los egipcios han dejado con las pirámides un testi-monio elocuente de sus posibilidades técnicas y decálculo. Las grandes pirámides de Gizeh tienen unos4600 años. Su masa es ahora tan imponente como en laedad en la que se construyeron, hace casi cinco milaños y, con toda probabilidad, sobrevivirán a muchosde nuestros rascacielos. Nuestra admiración aumentaal analizar su realización y apreciar la cantidad dehabilidad matemática y técnica utilizada.

También sorprende la medicina egipcia. Imhotepfue un médico ilustrado que floreció unos 2700 añosantes de Cristo. Solemos llamar a Hipócrates de Chiosel padre de la medicina sin advertir que en el tiempoestá situado a mitad de camino entre Imhotep y

nosotros. Trece siglos después, en la época del papiroRhind, encontramos un tratado médico en el papiroEdwin Smith, que no es una colección de recetas yencantamientos, sino un tratado cuyo orden sis-temático se ha mantenido hasta la Edad Media.

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Contiene cuarenta y ocho casos, cada uno de los cualessigue el mismo orden: nombre, examen, diagnóstico,juicio, tratamiento y glosa.

Al igual que en Egipto durante la primera dinastía,también en el valle de Mesopotamia había un altogrado de civilización. Las casas y los templos sume-rios aparecían decorados con cerámicas y las construc-ciones seguían diseños geométricos. Se construyeroncanales para regar la tierra y controlar las inunda-ciones. El uso primitivo de la escritura en Mesopo-tamia nos es conocido por el descubrimiento detablillas en Uruk que datan de hace unos 5000 años,con la utilización de símbolos estilizados para repre-sentar la mayor parte de las cosas. Lentamente se fuereduciendo el número de símbolos. De los iniciales2000 signos sumerios sólo quedaron la tercera partecuando se produjo la conquista por los acadios, y losprimitivos dibujos ya se habían transformado en com-binaciones de cuñas, naciendo la escritura cuneiforme.

Durante la primera época de la civilización sumeriase representaba una unidad (diez unidades) presio-nando oblicua (verticalmente) con el estilo fino sobrela arcilla. La misma operación con el estilo gruesoservía para representar el 6 y el 60. Se han encontradomiles de tablillas en la época de la dinastía deHammurabi (1800–1600 antes de Cristo) que muestranun sistema de numeración de base 60 completamentedesarrollado, que facilitaba la división en 2, 3, 4, 5, 6,10, 12, 15, 20 ó 30 partes iguales. Este sistema sigueutilizándose en medidas del tiempo y de ángulos. Sugran descubrimiento fue la utilización de la nume-ración posicional, dando diferente valor a las cifrassegún la posición ocupada, que también extendieron alas fracciones, en una especie de representación sexa-gesimal de las fracciones.

Los babilonios consiguieron gran eficacia comocalculistas debido a su sistema de numeración posi-cional y a los algoritmos eficaces que inventaron.Manejaban las operaciones aritméticas fundamentalesde manera no muy distinta a como las utilizamos hoy.Les debemos, por ejemplo, el método manual deobtener raíces cuadradas, sustituido, a veces, por losescribas por tablas que les daban aproximadamentepotencias, raíces cuadradas y cúbicas. También se hanencontrado tablillas cuneiformes que contienen tablasde multiplicar y tablas de inversos que permitían

reducir la división a la multiplicación. Utilizaban yainterpolación en las tablas.

Los babilonios adelantaron a los egipcios en elálgebra, pues sabían como resolver las ecuaciones desegundo grado. Disponían de tablas que daban para resolver , y sabían reducir a esta formala ecuación , mediante el cambio

,.

Conocían también la relación que luego se llamó dePitágoras, pues en la tablilla 322 de la colecciónPlimpton de la Universidad de Columbia aparecencocientes de ternas pitagóricas del tipo , 2pq y

que no son más que algunas de las razonestrigonométricas que empleaban para hallar longitudesde lados y áreas de triángulos. Por el contenido deotras tablillas parece que también conocían la suma deuna progresión geométrica, así como la suma de loscuadrados de los números naturales.

En 1936 se desenterró en Susa, trescientoskilómetros al este de Babilonia, unas tablillas que enuna lista y con notación sexagesimal dan razones deáreas y cuadrados de lados ( 1;40, 2;37, 30, 3;41 parael pentágono, hexágono y heptágono regulares).Tenían claro el concepto de razón de semejanza, asícomo que entre áreas la razón de semejanza era elcuadrado de la razón lineal de semejanza. El mismoescriba da 0;57, 36 como relación entre el perímetrodel hexágono regular y la longitud de la circunferenciacircunscrita, de lo que se deduce 25/8 como aproxi-mación decimal del número π.

Los babilonios conocieron relaciones geométricasimportantes, como el teorema de Thales, quien viviómás de mil años después de las época en que losbabilonios comenzaron a utilizarlo, lo que hace dudarde la transmisión de su saber a los griegos. Tambiénconocieron bastantes áreas y volúmenes, si bien uti-lizaban fórmulas aproximadas, y como los egipcios noacotaban el error.

Se ha dicho que las matemáticas egipcia ybabilonia no muestran formulaciones generales yabstracciones. Respecto a la primera observación con-viene apuntar que los cientos de problemas de tiposparecidos que aparecen en las tablillas cuneiformesbabilónicas parecen ser ejercicios que debían resolver


3 2n n+3 2x x c+ =

3 2ax bx c+ =x by a=

2 2p q−2 2p q+

los escolares, siguiendo ciertos métodos conocidos oreglas generales. El comentario de la falta deabstracción de estas matemáticas se debe a que losdocumentos están referidos a casos concretos, si bienen los problemas mesopotámicos se pueden interpretarlas palabras “longitud” y “anchura” como las letras x ey de nuestras ecuaciones, lo que indica que algunosescribas pudieron haber recorrido el camino que llevade ejemplos concretos a abstracciones más generales.

EL MILAGRO GRIEGO

De todo lo que precede se deduce que un cuerpoconsiderable de conocimientos sistematizados fue muyanterior a la ciencia griega. Esto ayuda a explicar elmilagro de la civilización griega. Nadie puede leer laIlíada y la Odisea, primicias de la civilización griega,sin preguntarse qué fue lo que hizo posible tales obrasmaestras, pues no aparecen relámpagos en un cielo sinnubes. Todo glorioso comienzo enlaza con la culmi-nación de otra época anterior brillante, ansiosamentebuscada por todos los estudiosos de la matemática,astronomía o medicina griegas. Parece claro que losgriegos tomaron una gran cantidad de observaciones yteorías no clarificadas de los egipcios y de los pueblosde Mesopotamia. Desafortunadamente, es apenasposible describir la transmisión completa de elementosdesde Egipto hasta Grecia, debido, en parte, a losacontecimientos revolucionarios ocurridos hacia prin-cipios del primer milenio conectados con el uso delhierro, en lugar del bronce y que casi borraron lacultura egea más antigua. Sería una gran ayuda el quese llegase a descifrar los textos minoicos y micénicos,pero no es probable que podamos conocer todos loshechos ocurridos debido a que la introducción de laedad de hierro supuso un cataclismo de una magnitudy destrucción extraordinarias.

Nos encontramos ante una laguna de más de milaños entre la edad de oro de la ciencia egipcia y la edadde oro de la ciencia griega. Se puede estar casi seguroque muchos de los conocimientos griegos fuerontomados de fuentes orientales, pero no sabemos dóndeni cómo se realizó el préstamo.

Por ejemplo, los ritos de incubación practicados enla Esculapia griega derivan con toda probabilidad demodelos egipcios. Gracias a esos ritos se concentraron

en los famosos templos de Epidauro y Pergamo, Cos yCnido gran cantidad de observaciones clínicas, nece-sarias para hacer inducciones científicas en Medicina.Sin esos datos el progreso de la medicina griegahubiese sido mucho más lento. Esos datos con-tribuyeron a la gran riqueza de la colección hipo-crática, que debe ser considerada continuadora de latradición egipcia.

La astronomía griega fue en gran parte de origenbabilonio, aunque también se inspiró en modelosegipcios. Parece que no fue Hiparco el primero en des-cubrir la precesión de los equinoccios, sino elastrólogo babilonio Kidinnu alrededor del año 343antes de Cristo.

La persistencia de las influencias egipcia ybabilónica en la aritmética griega es muy notable. Laexpresión de las fracciones como suma de fraccionesde numerador uno y el uso de un símbolo especial para2/3 se debe a la imitación de los egipcios. La uti-lización de las fracciones sexagesimales la deben a losbabilónicos.

Cuando se habla del milagro griego, referido a eseflorecimiento espectacular de las ciencias y de lasartes, se está confesando la ignorancia respecto a lasfuentes que generaron la sabiduría griega. Los orí-genes son aún más oscuros en ciencia que en arte, pueshay esculturas egipcias de las dinastías más antiguasque no son nada inferiores a las mejores produccionesgriegas. En cambio entre el escriba Ahmos, que copióel papiro Rhind, y Euclides, autor de Los Elementos,existe una diferencia enorme que ha llevado, un tanto


sin razón, a algunos críticos a negar la naturaleza cien-tífica de la matemática egipcia considerándola comoun conjunto de recetas.

Aunque ignoramos lo ocurrido entre los siglosXVII y VI antes de Cristo parece razonable admitirque los conocimientos egipcios irían mejorando. Hayquien supone que las principales mejoras no debieronestar a cargo ni de los egipcios ni de los minoicos omicénicos, sino de los griegos, que elevaron la cienciaa un alto nivel.

El espíritu de la ciencia griega que realizó talesmaravillas en un período de casi cinco siglos y cuyostriunfos constituyen el orgullo de los científicos mo-dernos es, esencialmente, lo que conocemos como elespíritu occidental. Sería injusto no recordar que losfundadores de aquella ciencia griega fueron orientales,por lo que no tenemos derecho a desdeñar al padreegipcio y a la madre mesopotámica del genio griego.

Mientras el genio griego fue creando lo que podríallamarse el comienzo de la ciencia moderna (enoposición a la ciencia egipcia por un lado y a lo queluego sería la ciencia medieval por otro lado) los pro-fetas hebreos establecían la moral basada sobre lanoción de un Dios único.

Estos dos desarrollos fueron totalmente indepen-dientes, pues procedieron durante siglos en la casicompleta ignorancia mutua. Sólo se unieron al final delos tiempos antiguos, y su unión se cimentó sobre los

cuerpos postrados de las dos civilizaciones que leshabían dado nacimiento.

CAÍDA DEL ESPÍRITU GRIEGO

Después de haber hecho tantas conquistas elespíritu griego se detuvo. Muchos sentimos que si eseespíritu hubiese conservado su valor durante unospocos siglos más, el progreso humano se hubiese ace-lerado notablemente y el curso de la civilizaciónhubiese sido muy diferente.

Si un hombre hiciese su mejor obra a los veinteaños y permaneciese estéril el resto de su vidadiríamos que su talento fracasó, pero esta explicación,que puede valer a nivel individual, no tiene sentidopara una nación.


En Grecia ocurrió que la actividad intelectual de supueblo no estaba ni remotamente en proporción con susaber político y su moralidad. Fue semejante a unacasa con malos cimientos que pronto se derrumbaquedando inhábil para cualquier actividad. Además dela ciencia griega también desaparecieron su arte y suliteratura. Grecia dejó de existir como nación por supereza política e inmoralidad, mostrada por Eurípidesal escribir: “Bendito sea quien ha logrado elconocimiento científico, quien no busca las turbu-lencias ciudadanas, ni se precipita en las accionesinjustas, sino que contempla el orden eterno de la na-turaleza inmortal, cómo se ha constituido, cuándo ypor qué ... “

Grecia fue conquistada por Roma. El amor desin-teresado por la verdad, que es la fuente misma delconocimiento, fue ahogado por el utilitarismo romano.Es cierto que a lo largo del tiempo Grecia conquistó asus conquistadores, pero el espíritu antiguo fue sub-yugado y la ciencia romana, hasta la de sus mejoresdías, no fue sino un pálido reflejo de la griega. Losromanos temieron a la investigación desinteresada ydesalentaron cualquier investigación cuyo valor utili-tario no fuera de una evidencia inmediata.

La estrechez mental de los romanos primero y laignorancia bárbara después consiguieron debilitar cadavez más la conexión con la cultura griega, entonces laúnica fuente de conocimiento. Hasta en el imperiobizantino, donde no existía barrera lingüística para latransmisión de la ciencia antigua, gran parte de éstaquedó ignorada por completo. Esto es tan cierto que enlos siglos XIII y XIV, cuando el mundo latino ya habíadespertado, los eruditos bizantinos preparaban larestauración científica retraduciendo del árabe y dellatín escritos que eran traducciones del griego o pobresimitaciones de esas traducciones. La indigencia inte-lectual bizantina era tal que ya no reconocían la obrade sus antecesores.

LA INVASIÓN ÁRABE

La primera ola de sabiduría vino de oriente, concre-tamente de Egipto y Mesopotamia y floreció enGrecia. El cristianismo también vino de oriente, deIsrael en este caso, pero el contacto entre la antiguaGrecia y la cristiandad occidental acabó por ser tan

precario que se hubiera roto de no haber intervenidootro pueblo oriental: los árabes. Vamos a describircomo la tercera ola de sabiduría vino de Arabia y dePersia.

El profeta Mahoma nació en la Meca hacia el año570. Entonces Arabia estaba habitada por nómadas deldesierto, los beduinos, que no sabían leer ni escribir.Mahoma conoció comunidades cristianas y judías ensus viajes conduciendo caravanas, Su mente fusionódiversos sentimientos religiosos que le llevaron a con-siderarse un profeta enviado por Dios a su pueblo paradirigirlo. Alrededor del 610 comenzó su predicaciónen la Meca como una nueva encarnación de los pro-fetas judíos. Durante diez años, y con poco éxitopredicó su doctrina en la Meca. Al verse amenazadopor un complot se trasladó a Medina en el 622. Estahuida se conoce como la Hégira y señala el comienzode la Era Mahometana, que iba a ejercer una poderosainfluencia, a la que no fue ajena la Matemática.


Su éxito en Medina fue tan extraordinario que seconvirtió en un líder militar y religioso que formó unestado mahometano con capitalidad en La Meca.Murió repentinamente en Medina el año 632, mientrasplaneaba atacar el Imperio Bizantino. Su muerte no fueobstáculo para la extensión del estado islámico, habíalogrado unir a las tribus árabes e inspirarles un granfervor que les permitiría conquistar el mundo.Damasco fue tomada en el 635, Jerusalén en el 637, laconquista de Egipto se terminó en el 641 con la tomade Alejandría, centro matemático del mundo en losúltimos mil años, y la destrucción de algunos tesorosdocumentales de la que había sido la mayor bibliotecadel mundo. La conquista de Persia, al año siguiente,puso a los árabes en contacto con la refinada culturairaní. Cuando en el año 712 conquistaron España, losseguidores del profeta gobernaban una ancha zona delmundo que se extendía desde el Asia central hasta ellejano Occidente.

Durante más de un siglo los conquistadores árabeslucharon entre sí y con sus enemigos hasta que hacia elaño 750 el espíritu guerrero cedió y surgió un cismaentre los árabes de Occidente que ocupaban España yMarruecos y los árabes de Oriente que, bajo el califaAl-Mansur, habían establecido su capital en Bagdad.

Esta ciudad pronto iba a convertirse en el centromundial del desarrollo de la matemática debido a lacombinación de varias fuerzas: El fanatismo musul-mán, su curiosidad e interés por la cultura, el deseo delos árabes de asimilar las civilizaciones que habíaninvadido y la pasión por el conocimiento que demos-traron los califas al-Mansûr, Hârûn al-Rashîd y al-Ma`mûn, bajo cuyos mandatos la nueva civilización sedesarrolló con increíble velocidad y eficacia. Se llama“milagro árabe” a la celeridad con que asimilaron lacultura de sus vecinos en cuanto empezaron a sabo-rearla y no se debe olvidar el escaso bagaje intelectualcon que los árabes comenzaron sus conquistas.

Sus tutores persas les incitaban a beber hastasaciarse en las antiguas fuentes del saber sánscrito ygriego. De los hindúes aprendieron aritmética, álgebra,trigonometría, y química; de los griegos, lógica,geometría, astronomía y medicina. Hacia el 766 llegódesde la India el Sindhind, obra astronómico-matemática traducida al árabe sobre el 775. Pocodespués, sobre el 780, se tradujo del griego elTetrabiblos, tratado astronómico de Ptolomeo.

De inmediato se dieron cuenta de la inmensidad deltesoro griego y no descansaron hasta que la proporciónque les fue accesible se tradujo al árabe.

En esta empresa recibieron ayuda de los sirios y deotros súbditos cristianos del califato que hablabangriego y árabe. Estos cristianos orientales habían sidotratados con desprecio por el gobierno bizantino, porlo que su prontitud en auxiliar a sus conquistadores nofue una sorpresa. Eran poliglotas natos. Los sirios, porejemplo, hablaron con tal rapidez el árabe que estenuevo idioma reemplazó al propio. Ellos prepararonlas más antiguas traducciones del griego al árabe, ini-ciando a sus dominadores en el conocimiento delgriego.

La nueva cultura se extendió como fuego en el ras-trojo desde Bagdad hasta la India por el oriente, y porel occidente hasta el confín del mundo.

La mayoría de la población del imperio islámicocompartía el lenguaje árabe y la fe del Islam, gozandojudíos y cristianos de gran tolerancia, como lo pruebaque griego y hebreo eran idiomas también utilizados.La religión y el idioma fueron vínculos unificadores de


la cultura árabe, cuya extensión produjo necesaria-mente muchas variedades, pues los musulmanesentraron en contacto con chinos, mongoles, malayos ehindúes; más hacia el occidente con zoroastras, siriosgriegos, coptos, bereberes en África, sicilianos, espa-ñoles y otros francos en el sur de Europa, y con judíospor todas partes, asimilando con rapidez la cultura delos pueblos conquistados, como en particular sucediócon los andalusíes. El grado de uniformidad culturalno resultaba alto, pues siempre hubo en el mundoárabe una división muy sensible en facciones que, aveces, desembocó en conflictos. También estas dife-rencias se notaron en la matemática árabe: unos uti-lizaban los números hindúes, llegados con la obraastronómica del Sindhind, otros adoptaron el sistemade numeración griego alfabético, con las letras árabessustituyendo a las correspondientes griegas. Se impu-sieron los números hindúes, por lo que sería más co-rrecto llamar a nuestro sistema de numeración hindú, oa lo sumo hindú-árabe.

Un deber del musulmán ilustrado era la lectura delCorán en árabe. Esta obligación y el vigor de la nuevacultura llegó a convertir al árabe en un idioma uni-

versal. Inicialmente la lengua árabe era muy bella,pero no estaba preparada para recibir la traducción delos tesoros griegos. Por tanto, hubo de ser enriquecidaa medida que fue avanzando la tarea de traducir lasobras griegas al árabe. En un par de siglos verdaderasmultitudes estaban familiarizadas con el árabe, lenguadesconocida para sus antepasados, incluso en muchasocasiones para sus padres. Desde mediados del sigloVIII hasta fines del XI, los pueblos de habla árabe,incluyendo en sus filas una gran cantidad de judíos ycristianos, marchaban a la cabeza de la humanidad.Gracias a ellos el árabe no sólo llegó a ser el sagradoidioma del Corán, sino el idioma internacional de laciencia y el vehículo del progreso humano. Hasta elsiglo XII el árabe fue el idioma filosófico y científicode los judíos; la Guía de los Perplejos, que es el grantratado judío de la Edad Media, fue escrita porMaimónides en árabe. Los judíos medievales estabantan profundamente arabizados que necesitaban laayuda del árabe para el estudio científico de su propialengua sagrada, como lo demuestra el hecho de que lasprimeras gramáticas hebreas se compusieran en árabey no en hebreo.

Después de dos siglos de gobierno del Islam por loscalifas omeyas y abbâsies se fue fragmentando el cali-fato en un número creciente de reinos independientesde todos los tipos y tamaños. En lugar de uno o doscentros de cultura, como Bagdad y Córdoba, surgiópoco a poco toda una serie: Ghazna, Samarquand,Marv, Herat, Tûs, Nîshâpur, Ray, Isfahân Shiraz,Mûsul, Damasco, Jerusalén, Cairo, Qairawân, Fâs,Marrâkush, Toledo, Sevilla, Granada, etc. La desinte-gración política se tradujo en diversas rivalidades entrelas diferentes cortes, de las que no quedaron excluidaslas intelectuales, si bien la obligación de todo musul-mán de realizar la peregrinación a la Meca provocóincesantes comunicaciones entre las distintas partesdel Islam y originó incontables reuniones de sabiosprocedentes de las más alejadas comarcas. Muchossabios musulmanes realizaron la peregrinación a laMeca más de una vez, con largas estancias en las prin-cipales ciudades de la ruta, renovando contactos concolegas, copiando manuscritos o componiendo suspropias obras.

La desintegración del califato produjo que despuésdel siglo XI la lengua árabe perdiese su hegemonía,pero continuó siendo muy importante y aún en nues-


tros días es uno de los idiomas más difundidos. Adiferencia del latín, que se descompuso en distintaslenguas romances, el árabe sólo se fragmentó enformas dialectales cuya utilización escrita sigue apro-ximándose al patrón clásico de la lengua árabe, graciasa la obligación de todo musulmán letrado de teneralgún conocimiento de árabe clásico para poder leer elCorán. El paradigma de la excelencia para todoescritor árabe es el que ofrece el Corán y los grandesautores de la edad clásica.

De esta forma, y con el auxilio del idioma común,el conocimiento científico adquirido en cualquier partedel Islam se transmitía con asombrosa celeridad a lasdemás, con el constante intercambio de nuevos estí-mulos.

Los intelectuales árabes no sólo transmitieron losconocimientos antiguos, sino que crearon nuevos. Escierto que ninguno de estos alcanzó las altas cumbresdel genio griego, pero fue el movimiento más creadorde la Edad media hasta el siglo XIII. Los científicosárabes elaboraron el álgebra y la trigonometría sobrebases greco–hindúes; reconstruyeron y desarrollaronun poco la geometría griega; reunieron abundantesobservaciones astronómicas y sus críticas al sistema dePtolomeo prepararon la reforma astronómica del sigloXVI; enriquecieron nuestra experiencia médica;fueron los iniciadores de la química moderna; mejo-raron los conocimientos de óptica, de meteorología yde medición de densidades; sus investigaciones geo-gráficas se extendieron de un confín al otro del mundo;publicaron crónicas de muchos países civilizados y albereber Ibn Khaldûn se debe una filosofía de la his-toria que es la más original y completa de toda la EdadMedia.

LA CASA DE LA SABIDURÍA

Entre el 650 y el 750 no hubo producciónmatemática. Los árabes aún no tenían el impulso inte-lectual necesario y en el resto del mundo había desa-parecido el interés por el saber. A partir de la segundamitad del siglo VIII se produce el despertar cultural en

el Islam y son llamados a Bagdad sabios de Siria, Irány Mesopotamia, incluidos judíos y cristianos. Comohemos indicado bajo los califatos de los tres grandesprotectores abbasies de la cultura, Al.Mansur, HarounAl-Raschid y Al-Mamun, se convirtió Bagdad en unanueva Alejandría.

Durante el califato del segundo de ellos, conocidopor los cuentos de Las mil y una noches, se tradujo alárabe parte de la obra de Euclides. En el califato de Al-Mamun1 se tradujeron al árabe muchas de las joyas dela antigüedad, como el Almagesto de Ptolomeo, y unaversión completa de Los Elementos de Euclides.

Al-Mamun fundó en Bagdad la Casa de la Sabi-duría, comparable al antiguo Museo de Alejandría. Erauna especie de Universidad en la que estuvoMohammed ibn-Musa Al-Khowarizmi, matemático yastrónomo que iba a hacerse, junto con Euclides, muy


1 Dice una tradición que al Califa tuvo un sueño en el que se le apareció Aristóteles y decidió traducir al árabe todas las obras griegas que setuvieran a mano.

popular en la baja Edad Media. Murió antes del 850 yescribió una docena de libros, basados en el hindúSindhind, que versaron sobre el astrolabio, el reloj desol, aritmética y álgebra.

En el primero de los dos libros sobre aritmética yálgebra, del que sólo se conserva la traducción latina“De numero indorum” (“Sobre el arte de calcularhindú”), dio una exposición completa del sistema denumeración hindú, responsable de la extendida y falsacreencia de que nuestro sistema de numeración es deorigen árabe. De su nombre deriva la palabra “algo-ritmo”, que significa procedimiento operativo pararesolver un problema.

De otra obra de Al-Khowarizmi, Al-jabr wa’lmuqäbalah, aprendería más tarde Europa la parte de lamatemática que lleva ese nombre. Contiene una

exposición directa y elemental de la resolución deecuaciones, especialmente las de segundo grado. Es deadmirar en Al-Khowarizmi el eclecticismo árabe, puesel sistema de numeración que utiliza es el hindú, la re-solución sistemática de las ecuaciones de segundogrado puede haber sido un desarrollo procedente deMesopotamia, y el marco geométrico y lógico con quejustifica sus soluciones tiene origen griego.

Esta obra de Al-Khowarizmi representa para elÁlgebra lo mismo que Los Elementos para laGeometría, debido a haber sido la mejor exposiciónelemental de álgebra conocida hasta tiempos moder-nos. Su único defecto era la necesidad de desarrollaruna notación simbólica para reemplazar la formaretórica en que está escrita.

Recientemente se ha encontrado en Turquía unmanuscrito de Abd Al-Hamid Ibn-Turk titulado “Sobrelas necesidades lógicas en las ecuaciones mixtas” talvez anterior al de Al-Khowarizmi y de contenidosimilar, lo que hace suponer que en la época en queaparecieron esos dos libros el álgebra ya no era unfenómeno tan reciente como muchas veces se haquerido suponer.

THABIT IBN-QURRA

El siglo IX fue muy importante para la matemáticaárabe, pues además de Al-Khowarizmi en su primeramitad produjo a Thabit Ibn-Qurra (826–901) en susegunda mitad. Si el primero puede ser comparado aEuclides, en cuanto productor de “Los Elementos”, elsegundo es comparable a Pappus, como comentaristade matemática avanzada. Fue el fundador de unaimportante escuela de traductores desde el griego y elsirio. Le debemos la traducción al árabe de las obras deEuclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo y Eutocio,impidiendo así que fuese menor el número de obrasgriegas que han llegado hasta nosotros.

Thabit asimilió de forma tan completa las obras quetraducía que sugirió modificaciones y generalizacionesimportantes. Se le debe una fórmula notable para losnúmeros amigos2. Ibn-Qurra, lo mismo que antes


2 Si , y , entonces y son números amigos, es decir cada uno de ellos es la suma de losdivisores primos del otro.

2n r3 2 1np = × − 13 2 1nq −= × − 19 2 1nr −= × − 2n pq

había hecho Pappus, da una generalización delteorema de Pitágoras a todos los triángulos, otrademostración del teorema de Pitágoras, resultadossobre segmentos de parábolas y paraboloides, trisec-ciones de ángulos, nuevas teorías astronómicas, unadiscusión de los cuadrados mágicos y nuevas teoríasastronómicas, añadiendo una novena esfera a las ochoque se utilizaban en las versiones simplificadas de lasteorías astronómicas de Aristóteles o de Ptolomeo.

También puso en cuestión diversas cuestiones de laastronomía griega, preparando así la revolución coper-nicana.

ESCUELAS MATEMÁTICAS ÁRABES ENLOS SIGLOS X Y XI

En la trigonometría árabe hubo competencia inicialentre la basada en la geometría de las cuerdas, tal comoaparecía en la obra griega Almagesto de Ptolomeo, y labasada en las tablas de senos hindúes, como las queaparecen en el Sindhind. El conflicto también seresolvió a favor de la postura hindú, por lo que lamayor parte de la trigonometría se construyó basadasobre la función seno.

La trigonometría llegó a Europa a través de losárabes, gracias al libro de Albategnius (en árabe, Al-Battani 850–929) Sobre el movimiento de las estrellas,donde utiliza para el triángulo rectángulo la relación

.

Un poco más tarde, con Abu’l-Wefa aparece enBagdad la tangente y las ideas básicas sistemáticas dela trigonometría moderna. También se le debe la for-mulación del teorema del seno para triángulosesféricos.

Con todo no debemos atribuir a Abu’l-Wefa lafunción tangente, pues en la India y en Arabia se uti-lizaba una teoría de longitudes de sombras: La sombrahorizontal proyectada por una varilla de longitudunidad es lo que conocemos como cotangente. Lasombra proyectada sobre una pared vertical por unavarilla fijada perpendicularmente a la pared nos daríala función tangente.

Abu’l-Wefa también se ocupó del Álgebra y se ledebe la traducción desde el griego de la Aritmética deDiofanto, que le permitió a su sucesor, Al-Karkhi con-vertirse en el discípulo árabe de Diofanto. Aunquesiguió la costumbre árabe de dar demostraciones


( )sen 90 senb c C C= −

geométricas para la resolución de ecuaciones cuadrá-ticas no se limitó a ellas y se le atribuye la primera re-solución numérica de ecuaciones de la forma

. Es en esta dirección de intentarresolver de manera algebraica, por medio de radicales,las ecuaciones de grado mayor que dos, en la que ibana tener lugar los primeros desarrollos de la matemáticaen el Renacimiento.

En Persia destacó Ibn- Sina (980–1037), conocidoen occidente como Avicena. Fue el sabio enciclopé-dico más importante del Islam, con un papel muydestacado en medicina y filosofía. Hizo una traducciónde Los Elementos de Euclides y obtuvo importantesaplicaciones de la matemática a la astronomía y a lafísica. Dio una explicación de la regla de los nueves,por lo que se le atribuye a veces indebidamente su des-cubrimiento. Avicena supone la definitiva reconcilia-ción del saber griego con el pensamiento islámico.

Al-Biruni (973–1048) fue un viajero infatigable yun pensador crítico que familiarizó a los árabes con lacultura India por medio de su libro La India. Da una

descripción muy interesante del principio posicionaldel sistema de numeración, expone que Arquímedes yaconocía la fórmula de Herón, da una demostración deesta fórmula y de una análoga de Brahmagupta para elcuadrilátero, insistiendo que sólo tiene validez para loscuadriláteros cíclicos. Reduce el problema de inscribirel eneágono a la resolución de la ecuación ,que resuelve aproximadamente por la fracción sexa-gesimal 1; 52, 15, 17, 13. Le debemos una interesantediscusión sobre el posible giro de la Tierra alrededorde su eje, así como estudios sobre pesos específicos ypozos artesanos.

En el Cairo existió una espléndida escuela en la quedestacó el gran astrónomo Ibn Yunus a quien laMatemática le debe la fórmula de transformación deproductos de cosenos en sumas, tan utilizada antes dela invención de los logaritmos neperianos. Pero lafigura más destacada de El Cairo fue el físico Ibn Al-Haitham (965–1039), conocido en Occidente comoAlhazen, a quien se debe La Óptica, inspirado en laobra de Ptolomeo sobre reflexión y refracción, dondeestudió la estructura del ojo, explicó el aparenteaumento del tamaño de la luna al acercarse al hori-zonte y estimó la altura de la atmósfera por la obser-vación de que el crepúsculo dura hasta que el sol está


2n nax bx c+ =

3 1 3x x= +

unos 19 grados por debajo del horizonte. Extendióresultados de Arquímedes sobre conoides y volú-menes.

Una pregunta natural es indicar que había enOccidente durante el siglo XI. Sólo encontramos des-dichados tratados sobre el calendario y sobre el uso delábaco. La correspondencia entre los buenos calculistasRagimbold de Colonia y Radolf de Lieja hacia finalesdel siglo XI es lamentable, pues muestra que sugeometría estaba en un nivel prepitagórico.

La superioridad de la cultura árabe en el siglo XIera tan grande que nos explicamos su orgullo inte-lectual, que alcanza el máximo cuando la decadenciaestá próxima. En efecto, cuando la gente se envanecedemasiado de su cultura es, o porque es tan recienteque aún no se ha acostumbrado a ella, o bien, por elcontrario, porque se encuentra ya en decadencia y tratade ocultar su incompetencia bajo el cúmulo de lashazañas pasadas. La superioridad árabe atrajo la pro-ducción de otras confesiones y razas, cuyos científicosy literatos, como ya se ha indicado, fueron bientratados en general. Algunos de ellos, como el judíoHasdai ibn Shaprut de Córdoba, alcanzaron posicionesde autoridad.

NUEVOS HORIZONTES MATEMÁTICOS

Por lo que llevamos expuesto, la matemática árabecomprendía:

Una aritmética basada en el principio posi-cional que probablemente provenía de la India.

Un álgebra con orígenes en Grecia, India yBabilonia que adoptó una forma nueva y sis-temática en manos de los árabes.

Una trigonometría proveniente de Grecia eIndia. Por esta última se inclinaron los árabes,ampliándola con nuevas funciones y relaciones.

Y una geometría de corte griego que los árabesenriquecieron con generalizaciones y estudioscríticos relativos al axioma del paralelismo, comovamos a exponer a continuación.

Un siglo después de Alhazen vivió en Persia el fa-bricante de tiendas Omar Khayyam (1050–1123),conocido en el Este como cientifico y en Occidenterecordado como uno de los más grandes poetas persas.En su obra Álgebra extendió la teoría de Al-Khowarizmi incluyendo las ecuaciones cúbicas, de lasque pensaba que no podían resolverse geométrica-mente con regla y compás por el cubo que contenían,siendo necesario usar intersecciones de cónicas, comoya habían hecho antes Menecmo, Arquímedes yAlhacen. Para resolver sustituye

por , obteniendo la hipérbola . Las soluciones reales de la ecuación cúbica

vienen dadas por las intersecciones de esta hipérbolacon la parábola .

Omar Khayyam siguió la tradición árabe de buscarsoluciones aritméticas y geométricas de las ecuacionesalgebraicas, pero se puso en el camino de cerrar elabismo entre el álgebra numérica y geométrica, queculminaría Descartes. Omar Khayyam escribió que“cualquiera que piense que el Álgebra es un sistemade trucos para obtener los valores de las incógnitaspiensa vanamente. No se debe prestar ningunaatención al hecho de que el álgebra y la geometría sonen apariencia diferentes. Los hechos del álgebra sonhechos geométricos que están demostrados”.

Al reemplazar la teoría de proporciones numéricasde Euclides por un planteamiento numérico, Omar

0bx c+ =


3 2 0x ax bx c+ + + =2x 2 2pxy apy+ +

2 2x py=

2 py

Khayyam se acercó a la definición de número irra-cional, siendo un antecedente de la introducción delnúmero real. Por un comentario que hace en suÁlgebra, referente a otro de sus libros perdido, pareceque conocía el hoy llamado triángulo de Pascal para laobtención de potencias de sumas, descubierto tambiénen China por esa época. Parece que se trata de dos des-cubrimientos independientes dado que entonces lacomunicación entre China y Arabia se reducía a la rutade la seda.

El intento de demostrar el quinto postulado deEuclides ejerció especial fascinación sobre los árabes.Este intento ya se había convertido para los griegos en“el cuarto famoso problema de la geometría”. Alhazenintentó demostrarlo considerando un cuadrilátero tri-rrectángulo, llamado hoy cuadrilátero de Lambert enhonor al matemático del siglo XVIII que lo estudió sis-temáticamente. Alhazen creyó haber demostrado queel cuarto ángulo debía ser también recto, de lo quededucía la prueba del quinto postulado de Euclides.Pero en esa demostración, Alhazen supuso que el lugargeométrico de un punto que se mueve permaneciendoa distancia constante de una recta es otra recta paralelaa la dada, lo que se ha demostrado modernamente quees equivalente al postulado de Euclides.

Omar Khayyam criticó la demostración de Alhazenbasándose en que Aristóteles había excluido el uso delmovimiento en geometría. Omar Khayyam partió deun cuadrilátero con dos lados iguales y perpendicu-lares a su base, llamado hoy día “cuadrilátero deSaccheri” en honor del matemático del siglo XVIII queinvestigó las posibilidades que pueden darse con losdos ángulos superiores, necesariamente iguales: 1) quesean agudos, 2) obtusos o 3) rectos. Los dos primerasposibilidades las excluye Omar Khayyam basándoseene que dos rectas convergentes deben contarse, prin-cipio que atribuye a Aristóteles y que supone unanueva hipótesis equivalente al postulado del para-lelismo de Euclides.

LA DECADENCIA EN LA MATEMÁTICAÁRABE

Cuando en 1123 murió Omar Khayyam la cienciaárabe se encontraba ya iniciando un período de deca-dencia. Los excesos de división política y religiosa ennumerosas sectas, a veces fanáticas –como lo ilustramuy bien el origen de nuestra palabra “asesino”,proveniente de la secta de los hasisyyun consumidores


de hasis (o assassins), situada alrededor del 1100–podrían estar entre las causas de la decadencia no sólode la ciencia árabe sino de todo el Islam que en lossiglos XII y XIII había perdido su vigor, en tanto quela cristiandad había advertido la riqueza del sabergreco-árabe y hacía gigantescos esfuerzos para com-partirlo.

La decadencia no pudo impedir que grandes eru-ditos y científicos árabes siguiesen apareciendo hastael siglo XIV y aún más allá, si bien no se alcanzaronlos niveles globales de la época de Avicena y de Al-Karkhi. Por ejemplo, matemáticos y astrónomos comoJâbir ibn Aflah, al-Bitrûji, al Hasan al-Marrâkushî,Nâsir Eddin Al Tusi y Al Kashi; físicos como al-Khâzinî, Qutb al-Dîn al-Shîrazî, Kamâl al-Dîn IbnYûmus; geógrafos como Yâqût, al-Qazwînî, Abû-l-Fidâ Ibn Batuta; filósofos como Ibn Rushd, Fakhr al-Dîn al-Râzî, Abd al-Latîf; médicos como Ibn Sur e Ibnal Baitâr; botánicos y tratadistas de agricultura comoIbn al.-Sûrî e Ibn al-Awwâm; historiadores como IbnKhallîkan, Rashîd al-Dîn, Ibn Khaldûn, al-Maqrîzi,etc. Brevemente vamos a describir la obra de dos deellos: Al Tusi y Al Kashi.

Nasir Eddin Al Tusi (1201–1274), nieto de GengisKhan, continuó los esfuerzos por demostrar el pos-tulado de las paralelas partiendo de las tres hipótesisposibles del cuadrilátero de Saccheri. Se considera aNasir Eddin como uno de los precursores de lageometría no euclídea, pues la traducción de su obrapor Wallis en el siglo XVII fue el punto de partida delos desarrollos llevados a cabo por Saccheri en elprimer tercio del siglo XVIII.

A Nasir Eddin se le debe el primer tratado sis-temático sobre trigonometría plana y esférica, expo-niéndola como una materia independiente en sí mismay no como una ayuda para la astronomía. Estudió lasseis funciones trigonométricas, dando reglas para laresolución de los diferentes casos de triángulos planosy esféricos. También se le debe el intento de recon-ciliar las cosmologías de Aristóteles y de Ptolomeo, loque parece llamó la atención de Copérnico.

A principios del siglo XV, ya en plena decadenciade la cultura árabe, nos encontramos con otra figura,Al-Kashi, protegido del príncipe Ulugh Beg, nieto delconquistador mongol Tamerlán. Ulugh Beg estableció

su corte en Samarcanda donde hizo construir un obser-vatorio de cuyo equipo de científicos formó parte Al-Kashi, quien escribió numerosas obras, en árabe y enpersa, sobre matemática y astronomía. Destacó por laexactitud de sus cálculos. En la resolución de ecua-ciones utilizó un método, llamado hoy de Horner,proveniente de China, de donde también adoptó la uti-lización de fracciones decimales, para obtener muchascifras decimales exactas.

Al-Kashi fue un virtuoso cálculista y su aproxi-mación de π mejoró todas las precedentes. El valordado por Al-Kashi para 2π en forma sexagesimal y enforma decimal es:

6; 16, 59, 28, 34, 51, 46, 15, 50

6,2831853071795865

Hasta finales del siglo XVI nadie igualó la exac-titud de esta aproximación.


Tras la muerte de Al-Kashi en 1436 el colapso cul-tural del mundo árabe fue aún mayor que su desinte-gración política. El número de matemáticos impor-tantes posteriores a Al-Kashi es irrelevante. Afor-tunadamente, Europa estaba ya preparada para recibirel legado de la Antigüedad. Es injusto afirmar que losárabes sólo conservaron la ciencia griega en un frigo-rífico, pues la transmitieron a los occidentales encondiciones mejores que la habían recibido, conimportantes incorporaciones hindúes, chinas y propias.

LAS TRADUCCIONES DEL ÁRABE

En cuanto los cristianos advirtieron la importanciade la cultura árabe sintieron la necesidad de traducirla,pues pocos tenían la esperanza de dominar un idiomatan distinto del propio y escrito con caracteres ilegiblesy confusos. A finales del siglo XI, Constantino elAfricano, tradujo gran número de obras greco-musul-manas del árabe al latín en el monasterio de MonteCasino, donde murió en 1087. Esta actividad lejos deaplacar el hambre de los estudiosos europeos laestimuló considerablemente, al ver los vastos tesorosde conocimiento, saber y experiencia acumulados delpasado.

Durante el siglo XII y la primera mitad del XIII lamayor actividad de los eruditos cristianos consistió enla traducción de tratados árabes al latín. Aparecierontraductores de tal entidad que casi merecen el nombrede creadores, como Adelardo de Bath, Juan de Sevilla,Domingo Gundisalvo, Gerardo de Cremona, tal vez elmás famoso de todos, y muchos otros.

A fines del siglo XII el cuerpo principal de losconocimientos greco-árabes ya era accesible a los queleían en latín, pero cuanto más tenían más pedían.

Desde mediados del siglo siguiente poco quedabade la literatura científica árabe de verdadera impor-tancia que no estuviera ya a su alcance. Estimuladospor los escritos árabes muchos traductores seesforzaron en descubrir los originales griegos, y sustraducciones directas del griego siguieron muy decerca a las del árabe. Almagesto fue traducido al latíndesde el griego en 1160 antes de ser traducido desde elárabe, trabajo que terminó Gerardo de Cremona en laEscuela de Traductores de Toledo en 1175. La fuerza

de la traducción árabe y el prestigio personal deGerardo de Cremona hicieron que la primera versión,tal vez más exacta, fuese desalojada por la segunda.

Hasta el siglo XII los judíos que vivían en el Islameran bilingües. El hebreo era su lengua religiosa ydoméstica, pero en lo concerniente a filosofía y cienciapensaban en árabe. No necesitaban traducciones yposeían secretos del saber que eran, hasta entonces,letra muerta para los cristianos, especialmente en loreferente a enfermedades de la vista estudiadas entratados árabes.

Pero en el siglo XII la vida científica del judaísmocomenzó a desplazarse desde España a través de losPirineos. A mediados del siglo XIII gran número dejudíos había vivido tanto tiempo en países europeosque el árabe les era un idioma extraño. Hasta entonceslos judíos habían estado a la cabeza de los cristianos,pero ahora la situación se invierte debido a que las tra-ducciones del árabe al hebreo eran menos abundantes


y por tanto los judíos de Europa occidental que nohablaban árabe no sólo se encontraban en inferioridadpolítica, pues las Cruzadas habían provocado persecu-ciones antisemíticas, sino también en situación de infe-rioridad intelectual. Aprendieron latín y pudieron leerlas versiones latinas de los textos árabes. Durante elsiglo XIV aparecieron traducciones del latín al hebreo.

Hubo ciclos de traducciones aún más curiosos, puesen los siglos XIV y siguientes escritos árabes, persas ylatinos, que eran de origen griego, fueron retraducidosal griego. Así sucedió con las Summulae logicales dePedro de España, que fueron traducidas al hebreo y algriego, lengua de su primera edición.

Las traducciones nos permiten apreciar los nivelesrelativos de las distintas civilizaciones y nos miden sunacimiento y decadencia, pues las corrientes en elmundo intelectual y en el material, nunca fluyen aguasarriba. La masa total de las traducciones permite con-cluir que en el siglo XII la civilización musulmanadeclinaba y la judía no seguía el ritmo de expansión dela cristiana.

EL ESPÍRITU EXPERIMENTAL

El siglo XIII trajo los grandes doctores de la cris-tiandad: Alberto Magno, Roger Bacon, Ramón Llull.Comienza la hegemonía intelectual y política de lo quellamamos mundo occidental, vinculado entonces alcristianismo. Este vínculo se irá debilitando con eldesarrollo del espíritu experimental, tal vez laaportación más importante de la Edad Media. En elsiglo XVI las distinciones entre ciencia judía, cristianay musulmana perdieron su razón de ser y sólo conser-varon su valor histórico. No debemos considerar aSpinoza como un filósofo judío en el mismo sentido enque lo fueron Maimónides o Levi ben Gershon. El pro-fundo judaísmo de Spinoza y el empleo frecuente defuentes judías no es obstáculo para reconocer enSpinoza uno de los más nobles representantes del pen-samiento humano, no oriental u occidental, sino deambos.

Oriente y Occidente cooperaron como hermanos enel desarrollo del espíritu experimental, fundamental enla ciencia moderna y del que tan deficiente estuvo elgenio griego. Los grandes médicos griegos siguieron

instintivamente métodos experimentales, que nuncafueron apreciados en su justo valor por los filósofos uotros estudiosos de la naturaleza. Una historia de laciencia experimental griega, fuera de la medicina, seríademasiado breve. El espíritu experimental creció de lamano de los alquimistas y ópticos árabes y de losmecánicos y físicos cristianos. Durante siglos semantuvo débil, pisoteado por filósofos pedantes. Laimprenta y el descubrimiento del nuevo mundo acelerósu desarrollo. A comienzos del siglo XVI el espírituexperimental tiene considerable peso, siendo Leonardode Vinci uno de sus valedores. En el siglo siguiente lafísica fue admirablemente explicada por otro toscano,Galileo, heraldo de la ciencia moderna.

Una visión amplia de la historia de la ciencia nosllevaría a considerar cuatro períodos principales. Elprimero consiste en el desarrollo empírico delconocimiento en Egipto y Mesopotamia. El segundo esla construcción de una estructura racional de sorpren-dente belleza por los griegos. El tercero es el períodomedieval, con siglos de tanteos cuyo principal frutofue la incubación del espíritu experimental. Suaparición definitiva señala la transición entre el tercery cuarto período, que es el de la ciencia moderna. Elprimero de estos períodos y gran parte del tercero sonorientales. El segundo y el cuarto son occidentales.Quienes pretendan exagerar la importancia deOccidente en la formación de la ciencia es posible queno sean científicos y que ni siquiera comprendan loque es la Ciencia. Desde luego no merecen la superio-ridad de la que se envanecen.

El espíritu experimental dio paso a incontables einimaginables descubrimientos y rompió con círculosviciosos donde los filósofos habían girado obstinada-mente durante miles de años. Puede resumirse de lasiguiente forma:

Establecer los hechos mediante observacionesdirectas, frecuentes y cuidadosas, confrontándolosrepetidamente entre sí. Los hechos serán laspremisas.

Observar lo que ocurre cuando no se mueventodas las variables que afectan al problema (porejemplo mover las variables una a una, o por pares,etc).

Multiplicar los experimentos cuando seaposible, realizándolos con la máxima precisión.


Establecer las consecuencias en lenguajematemático. Aplicar los recursos matemáticos en latransformación de las ecuaciones. Obtener el sig-nificado de las ecuaciones obtenidas, relacionán-dolas con la realidad.

En apariencia el método experimental es el másrevolucionario de todos los métodos, pues conduce asorprendentes descubrimientos e invenciones, pero es,al mismo tiempo, esencialmente conservador y cau-teloso, pues vacila en extraer conclusiones antes deque su validez no haya sido establecida y verificada demuchas maneras. Produce una evolución de incompa-rable magnitud, que nos da una idea del poder inte-lectual del hombre, pero es tan lenta y continuadacomo la que producen las fuerzas naturales.

El método experimental también tiene dos limita-ciones fundamentales: Hay sectores del pensamientodonde puede resultar inaplicable, como el arte, lamoralidad. Además pueden ser aterradoras las conse-cuencias de su mala aplicación.

La unidad de la humanidad incluye Oriente yOccidente, que son dos fases complementarias de laexperiencia humana que se encuentran en el alma detodo artista que es más que un artista, y cuyo amor nose limita a la belleza; se encuentran también en el almade todo científico que ha llegado a la comprensión deque la verdad, por valiosa que sea, no es la totalidad dela vida, y que debe ser completada por la belleza y elamor.

El científico que no es demasiado orgulloso, que noadopta una actitud agresivamente “occidental”, sinoque recuerda la componente de origen oriental de suspensamientos, incluso de los más elevados, no se aver-gonzará de sus ideales, será más humano y un mejorservidor de la verdad.

Apéndice: CHINA E INDIA

LA MATEMÁTICA PRIMITIVA EN CHINA

Se han hecho algunas referencias a la matemáticaChina e India e distintos períodos temporales. Esohace difícil intercalarlas en el texto anterior, por lo que

dedicamos este apéndice a resumir estas dos culturasmatemáticas.

Las civilizaciones China e India son más antiguasque las de Grecia y Roma y, en general, menos que lasque surgieron en los valles de Mesopotamia y del Nilo.Sin embargo, las civilizaciones que tuvieron su cunaen las cuencas de los ríos Yangtze y Amarillo son com-parables en edad a las que surgieron a lo largo del Niloo entre el Tigris y el Eufrates. No obstante los registroscronológicos en el caso de China son menos fiablesque los que tenemos para Egipto o Babilonia.

Parece que no tiene fundamento científico la afir-mación de que los chinos habían descrito los docesignos del Zodiaco en el quinceavo siglo antes deCristo. Los orígenes de la civilización china se debensituar alrededor del año 1000 a.C.. El Chou Pei SuanChing, considerado el texto chino más antiguo de con-tenido matemático, fue escrito por varios autores yaunque no está clara su antigüedad es un buen ejemplode lo que era la matemática china alrededor del 1200a.C. Contiene cálculos astronómicos, una introduccióna las propiedades del triángulo rectángulo y opera-ciones con fracciones. Está escrito en forma de diálogoentre un ministro que va explicando a su príncipe elfundamento del calendario, indicándole que el arte delos números deriva del cuadrado, de origen humano, ydel círculo, de origen divino. Revela que en China,igual que sucedió en Egipto, la geometría nació de laagrimensura. Como sucedió en Babilonia, la geometríachina se reducía a un ejercicio numérico de aritméticao de álgebra. También contiene indicaciones delteorema de Pitágoras, tratado algebraicamente.

Casi tan antiguo como el Chou Pei Suan Ching sonLos Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático, quetiene 246 problemas sobre agrimensura, agricultura,ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecua-ciones y propiedades de los triángulos rectángulos.

A diferencia de los libros griegos de esa época, queeran ya exposiciones sistemáticas con orden lógico,Los Nueve Capítulos repiten la costumbre de losbabilonios y egipcios de coleccionar problemas con-cretos. Los Nueve Capítulos también recuerdan a lamatemática egipcia por el uso de la regla de la falsaposición, si bien la utilización de este procedimiento,así como el origen de la matemática china, parece serindependiente de influencias occidentales.


En el último problema del Capítulo 8 se plantea laresolución de un sistema de cuatro ecuaciones concinco incógnitas, siendo el inicio del estudio de los sis-temas indeterminados, que va a quedar como uno delos temas favoritos de los pueblos orientales. El interéspor los sistemas de ecuaciones también está rela-cionado con la obtención de los cuadrados mágicos,siendo

uno de los cuadrados mágicos más antiguos conocidos.

En el capítulo 9 aparecen problemas sobre trián-gulos rectángulos, preguntando determinar la profun-didad de un estanque circular de 10 pies cuadrados desuperficie, sabiendo que una caña que crece en sucentro y se asoma exactamente un pie por encima delagua, alcanza exactamente la superficie si se la doblahasta el borde del estanque. Otro problema dice quehay un bambú de 10 pies de altura que se ha roto demanera que su extremo superior se apoya en el suelo auna distancia de tres pies de la base; se pide calcular aqué altura se ha producido la rotura.

La cultura china vio dificultado su desarrollo porbruscas rupturas. En el año 213 a.C. el emperadorchino ordenó la quema de libros, salvo, tal vez, los decarácter técnico. Con dificultades sobrevivieron mu-chas obras con copias clandestinas.

Por otra parte algún tipo de contacto existió deChina con la India y el Occidente, si bien el quererdetectar una influencia babilónica o griega en Chinatiene la dificultad de que los chinos nunca usaron frac-ciones sexagesimales. El sistema de numeración chinofue esencialmente decimal con dos esquemas diferen-tes de notación:

El multiplicativo, que utilizaba unos símbolos paralos dígitos y otros símbolos para las potencias de 10.En este esquema el 459 se escribía el 4, seguido delsímbolo del 100, 5, seguido del símbolo del 10, y el 9.Se trata de una representación en la forma

. Los símbolos estuvieron formadosinicialmente por varillas. De esta forma los primerosdígitos se escribían así: . El seis se formabaañadiendo al uno una barra horizontal en la parte

superior. Los potencias de 10 se representaban conrayas horizontales.

El segundo esquema de notación fue el posicional,similar al nuestro, si bien era más centesimal quedecimal. La utilización de un símbolo para el cero,igual que en Babilonia, tardó en aparecer. En una obrade 1247, aparece un símbolo redondo para representaral cero.

La época exacta en que apareció la numeración abase de varillas en China no se ha podido determinar,pero fue mucho antes de que se adoptase el sistema denumeración posicional en la India. Las varillas en el300 a.C. no eran una simple notación para escribir losresultados de una computación, sino que los adminis-tradores llevaban consigo una bolsa que contenía unacolección de varillas de bambú, marfil o hierro que uti-lizaban como instrumentos para hacer sus cálculos.Las varillas para contar las manejaban los chinos contanta habilidad que un escrito del siglo XI las describe“volando con tal rapidez de un lado a otro que el ojono podría seguir su movimiento”. Los números nega-tivos no ocasionaron excesivas dificultades a loschinos acostumbrados a utilizar conjuntos de varillasrojas para representar los números positivos y negraspara representar los números negativos. Sin embargo,no aceptaron la idea de que un número negativopudiera ser solución de una ecuación.

Los pasos algebraicos consistentes en cancela-ciones de cantidades iguales se llevaban a cabo conmás rapidez usando las varillas en una tabla de calcularque con el ábaco o marco de calcular rígido con bolasmóviles a lo largo de barras paralelas. Probablementehasta el siglo VI no comenzó a utilizarse el ábaco enChina. La palabra latina abacus deriva de la palabrasemítica abq, que significa polvo, lo que nos indicaque en otros países, lo mismo que en China, el ábacoevolucionó a partir de una bandeja llena de polvo o dearena que se utilizaba como tabla de calcular. Sigue sinsaberse si la aparición del ábaco en China, en Arabia yen Europa se debió o no a inventos independientesentre sí.

Además los chinos conocían bien las operacionescon las fracciones y hallaban el mínimo comúnmúltiplo del denominador de varias fracciones,estableciendo, al igual que hacían con otras materias

4 100 5 10 9× + × +


analogías con los distintos sexos, refiriéndose alnumerador como “el hijo” y al denominador como “lamadre”.

Más importante que esta curiosidad es la tendenciaa la decimalización de las fracciones en China. EnMesopotamia el sistema de medidas, básicamente sex-agesimal, condujo a la numeración sexagesimal. EnChina la adopción de una idea directriz decimal depesos y medidas dio como resultado que se impusierael hábito decimal en el manejo de fracciones desde,según parece, el siglo XIV a.C. Prueba del dominio dela decimalización en el pensamiento chino es la uti-lización de las fórmulas

El uso del valor 3 para aproximar π en lamatemática china primitiva puede revelar una ciertadependencia de la matemática china respecto a lamatemática de Babilonia, si bien parece claro quehasta el año 400, China exportó más Matemática de laque importó. La búsqueda de valores cada vez másexactos de π fue más persistente en China que en

ningún otro sitio en los primeros siglos de la era cris-tiana. Este proceso produjo los valores 3,1547, ,

, y , y en el siglo III Liu Hui, importante comen-tarista de los Nueve Capítulos, obtiene las aproxima-ciones 3,14 con un polígono regular de 96 lados y3,14159 con un polígono de 3072 lados.

La fascinación que ejerció en los chinos el númeroπ alcanzó su punto más alto en la obra de Tsu Ch’ung-Chih (430–501) quien llegó a dar las aproximaciones3,1415926, por defecto, y 3,1415927, por exceso.

Los problemas que trató la matemática chinaparecen ser más pintorescos que prácticos. Sinembargo, la civilización china produjo gran número deinnovaciones técnicas. La utilización de la imprenta yde la pólvora (siglo VIII), así como la del papel y labrújula marina (siglo XI) fue anterior en China que encualquier otro lugar. Luego vino en el siglo XIII, laépoca más brillante de la matemática china, coinci-diendo con la última parte del período Sung.

En esta época había matemáticos trabajando en dis-tintos lugares de China, pero las relaciones entre ellosparecen haber sido escasas y, como sucedió en lamatemática griega, pocos de sus tratados han llegadohasta nosotros.

El último, y tal vez el más importante de losmatemáticos Sung, fue Chu Shih-Chieh, que vivió,aproximadamente entre 1280 y 1303. Vivió cerca dePekín, pero estuvo viajando casi toda su vida como unsabio errante que se ganaba la vida enseñando mate-máticas, a pesar de lo cual encontró el tiempo y la tran-quilidad suficientes para escribir la “Introducción a losestudios matemáticos”, libro elemental que tambiénejerció gran influencia en Corea y Japón, y el “Espejoprecioso de los Cuatro Elementos”, donde los cuatroelementos, cielo, tierra, hombre y materia, representanlas cuatro incógnitas de una ecuación. En este libroChu Shih-Chieh explica un método de transformaciónpara ecuaciones, que le llamó método fan fan y que, enOccidente, le conocemos como Método de Horner,matemático que vivió medio milenio más tarde. ChuShih-Chieh para resolver con su método fan fan laecuación sigue estos pasos:

Obtiene por tanteo que la solución está entrey .20x =19x =

33100 1000y

10 10a aa a= =


109229

14245

2 252 5292 0x x+ − =

Con la transformación obtiene laecuación , que tendrá una raízentre 0 y 1.

Como valor aproximado de esta ecuacióntoma .

LA MATEMÁTICA PRIMITIVA EN LAINDIA

Las excavaciones arqueológicas que se han reali-zado en Mohenjo Daro nos muestran la existencia deuna vieja civilización con un alto nivel cultural en laIndia que fue contemporánea de los constructores delas grandes pirámides egipcias, pero no ha llegadohasta nosotros ningún documento matemático deaquella época lejana.

Un milenio más tarde, el país fue ocupado por losinvasores arios que procedían de las altiplanicies deIrán e introdujeron el sistema social de castas y desa-rrollaron la literatura sánscrita.

Buda, el gran maestro religioso, enseñaba en laIndia por la época en que parece que Pitágoras visitó la

India. Hay quien ha sugerido que Pitágoras aprendió elteorema que lleva su nombre de los hindúes, si bienhay que indicar que los babilonios ya estaban familia-rizados con el teorema en cuestión por lo menos milaños antes.

En la India, como en Egipto, los conocimientosmatemáticos se fueron decantando de la planificaciónde templos, adoptando la forma de un cuerpo deconocimientos conocido como los Sulvasutras (=reglas de la cuerda, en recuerdo de las cuerdas uti-lizadas en las mediciones). Más aún que en el caso deChina, las contribuciones importantes hindúes sonaportaciones separadas por largos intervalos detiempo.

De los Salvasutras, escritos en verso, se conservantres versiones. La más antigua parece ser de la épocapitagórica y los problemas que tratan están rela-cionados tanto con los problemas de agrimensuraegipcios como con el problema griego de duplicacióndel cubo. Se ha pretendido atribuir en el período de losSalvasutras (del siglo VIII a.C. al siglo II de nuestraera), y en la India, el primer reconocimiento de la exis-tencia de los inconmensurables, lo que pareceimprobable por el desinterés o incapacidad de losmatemáticos hindúes para enfrentarse con conceptosfundamentales.

Al período de los Salvasutras, que se cierra hacia elsiglo II, le sigue la época de los Siddhantas o sistemasastronómicos, que parecen haber tenido relación con elrelanzamiento o renacimiento de la cultura sánscrita alcomienzo de la dinastía del rey Gupta (hacia el 290).El único Siddhantas que se conserva completo es el“Sistema del Sol”, escrito en verso en estrofas épicashacia el año 400. Las principales teorías astronómicasque contiene son griegas, mezcladas con folklorehindú. Los restantes Siddhantas parece que tambiéneran tratados de Astronomía de contenido similar,escritos en verso sánscrito, con muy pocas explica-ciones y sin ninguna demostración. Los autoreshindúes defienden la originalidad de los Siddhantas,en tanto que los occidentales se inclinan a ver clarossignos de influencia griega.

Por ejemplo, parece que el Paulisha Siddhantaproviene de la obra del astrólogo Pablo que vivió enAlejandría poco antes de la fecha presumible en que


19x y= +2 290 143 0y y+ − =

1431 290

y =+

fueron compuestos los Siddhantas (de hecho el sabioárabe Al-Biruni atribuye este Siddhantas a Pablo deAlejandría). El Paulisha Siddhanta utiliza para π elvalor , que coincide esencialmente con el valorsexagesimal 3; 8, 30 de Ptolomeo.

Un hecho innegable es que los hindúes adquirieronsus conocimientos de trigonometría del helenismo cos-mopolita de Alejandría; otro que el material helénicotomó en sus manos una nueva forma que iba a ser muysignificativa. La trigonometría de Ptolomeo se basabaen la relación entre cuerdas y arcos o ángulos cen-trales. La trigonometría hindú dividió los ángulosmediante las bisectrices y estudió la relación entre lamitad de la cuerda y la mitad del arco o ángulo central.Así nació en la India el antepasado de lo que hoy cono-cemos como función seno, lo que representa la con-tribución más importante de los Siddhanta a lamatemática. Aunque algún historiador ha formuladoque esta transformación de la trigonometría tuvo lugaren la Alejandría post-ptolomeaica, de lo que no setiene ninguna duda es que el mérito en la extensión dela utilización de la semi-cuerda como seno corre-sponde a los hindúes y no a los griegos. La palabraseno deriva del nombre hindú jira a través de una tra-ducción árabe.

Durante el siglo VI, no mucho tiempo después de lacomposición de los Siddhanta apareció el matemáticoAryabhata, autor de Aryabhativa, delgado volumenescrito en verso hacia el 499 que cubre diversos temasde astronomía y de matemáticas.

Tanto Aryabhativa de Aryabhata como Los Ele-mentos de Euclides, escrito ocho siglos antes enGrecia, son recopilaciones de desarrollos anterioresrealizados por un solo autor, pero entre las dos obrashay notables diferencias: Los Elementos constituyenuna síntesis de la matemática pura, expuesta con unalto grado de abstracción, bien ordenada lógicamente ycon objetivo pedagógico. El Aryabhativa se componede 123 estrofas métricas para suplementar las reglas decálculo en astronomía y las técnicas de mediciónmatemáticas, sin relación con la lógica o la metodo-logía deductiva. Junto a reglas correctas de cálculo deáreas y volúmenes contiene otras incorrectas. Porejemplo, dice bien la fórmula de área del triángulo ymal el volumen de la pirámide, para el que define lamitad del área de la base por la altura. Calcula correc-

tamente el área del círculo, mediante la mitad del pro-ducto de la longitud de la circunferencia por el radio, yobtiene mal el volumen de la esfera, que lo definecomo el área del círculo máximo por la raíz cuadradade su área. Contiene una regla siempre señalada porlos historiadores hindúes de matemática: “Suma 4 a100, multiplica por 8 y súmale 62000. El resultado teda aproximadamente la longitud de una circunferenciacuyo diámetro es 20000”. Equivale a aproximar π por3,1416, que es el valor utilizado por Ptolomeo.

Algunas presentaciones de Aryabhativa tienenlenguaje muy florido. Por ejemplo, el problema deobtener el cuarto proporcional a tres números dados loexpone así: “En la regla de tres multiplica el fruto porel deseo y divide por la medida. El resultado será elfruto del deseo”.

Realmente puede decirse que la obra de Aryabhataes un mezcla de lo sencillo y lo complicado, a la vezque de lo correcto y lo incorrecto. El sabio árabe Al-Biruni caracterizaba, medio milenio más tarde, lamatemática hindú como una mezcla de vulgares gui-jarros y valiosos cristales, descripción que se ajusta alAryabhativa.

La segunda parte del Aryabhativa trata de la medi-da y cálculo de tiempos y de trigonometría esférica.Aquí aparece un elemento nuevo que iba a dejar huellaen la matemática de las generaciones futuras: elsistema de numeración posicional decimal, puesAryabhata afirma que de un lugar a otro, cada uno esdiez veces el que le precede. La idea del valor posi-cional era un elemento esencial en el sistema denumeración babilónico y lo que los hindúes hicieronfue darse cuenta de que esta idea era aplicable alsistema de notación decimal que se estaba usando en laIndia.

El desarrollo histórico de las notaciones numéricasen la India parece haber seguido pasos análogos a losencontrados en Grecia: Las inscripciones del períodocultural de Mohenjo Daro muestran la utilización depalotes reunidos en grupos. En la época de Asoka,siglo III a.C., se seguía utilizando el principio repeti-tivo, pero se adoptaron nuevos símbolos para lasunidades de orden superior cuatro, diez, veinte y cien.Gradualmente se fue pasando al descubrimiento de quelos nueve dígitos servían para representar los múltiplos


17731250

de diez. En esta economía pudo haber influido elsistema de numeración seudoposicional chino debarras.

La referencia específica más antigua a los númeroshindúes data del 662 y se encuentra en los escritos delobispo sirio Severo Sebokt. Como consecuencia delcierre de las escuelas filosóficas atenienses ordenadopor Justiniano, algunos de sus sabios se trasladaron aSiria, establecieron centros donde cultivaban el sabergriego y Sebokt, sintiéndose molesto por el desprecioque mostraban por la cultura y el saber no griegos,consideró necesario mostrar a los griegos la sabiduríade otros pueblos. Llamó la atención sobre los hindúesy sus “sutiles descubrimientos en astronomía, asícomo sus valiosos métodos de cálculo y sus opera-ciones que sobrepasan toda descripción, indicandoque sus cálculos se hacen por medio de nuevesignos”.

De la utilización del cero por los hindúes, dígitoque faltaba introducir para simplificar y reducir a laforma actual la numeración posicional hindú, notenemos noticia de su aparición hasta el año 876, másde dos siglos después de la aparición de los nuevedígitos en la numeración hindú. Su origen puede estarvinculado a Alejandría, con lo cual el mérito en lanumeración actual de los hindúes habría estado en lareunión de elementos no descubiertos por ellos: la basedecimal, la numeración posicional y la utilización delcero. Finalmente, las formas hindúes medievales delos diez dígitos son muy diferentes de las actuales,pero los principios teóricos del sistema de numeraciónestaban ya firmemente establecidos. Esto es la prin-cipal aportación hindú.

Junto con el sistema de numeración decimal la otragran contribución de la India a la historia de laMatemática fue la introducción de lo equivalente a lafunción seno en trigonometría para reemplazar a lascuerdas griegas.

Las tablas más antiguas que nos han llegado de lafunción seno se encuentran en los Siddhäntas y en elAryabhatiya, donde se dan 25 senos de los ángulosmenores o iguales a 90º que difieren cada uno del si-guiente en 3,75º. Realizaban los cálculos de la si-guiente forma: Tomaban una circunferencia deunidades y un radio de 3438 unidades. Esto supone

considerar un valor de π que coincide con el dePtolomeo hasta la cuarta cifra. Para el seno de 3,75º,tanto el Siddhäntas como el Aryabhatiya toman elnúmero de unidades que contiene su arco, es decir

. Traducido a lenguaje moderno sig-nifica que para ángulos pequeños consideraban el senoigual a la medida del ángulo en radianes. La divisiónde 225 unidades entre el radio (= 3438 unidades) da unvalor muy aproximado al que consideramos actual-mente para el seno de 3,75º.

Las restantes entradas, que en lenguaje modernoserían los productos de los senos de los restantesángulos por 3438, los calculaban por la siguientefórmula recursiva:

donde Sn es el n-ésimo seno por 3438 y Rn es la sumade los n-ésimos primeros senos multiplicados por por3438.

La trigonometría fue una herramienta auxiliar parala astronomía tan útil como precisa. No conocemoscomo llegaron los hindúes a la fórmula recurrente paralos senos, si bien pudo estar motivado por un desar-rollo intuitivo o empírico del cálculo con ecuacionesen diferencias, así como de la práctica de la interpo-lación.

La matemática hindú se la califica de “intuitiva”para ponerla en contraste con el severo racionalismode la geometría griega. Hay escasa evidencia en laIndia del estudio de problemas geométricos clásicos.En cambio a los matemáticos hindúes les fascinabanlas cuestiones numéricas relacionadas con las opera-ciones numéricas o con la resolución de ecuacionesdeterminadas o indeterminadas. La suma y la multipli-cación se hacían en la India casi de la misma maneraque hoy en día, salvo la diferencia de que escribían lasunidades de menor orden a la izquierda, por lo que lasuma y la multiplicación las hacían de izquierda aderecha. Utilizaban la disposición en celdillas parahacer la multiplicación, con lo que evitaban el tenerque recordar las cifras que llevaban.

Nos encontramos con un grave problema dado quesu cronología es muy insegura y que los autoreshindúes raramente mencionan a sus predecesores y

11

nn a n

RS S SS+ = + −


3,75 60 225× =

muestran una gran independencia en sus razona-mientos matemáticos. Así ocurre, por ejemplo, conBrahmagupta (alrededor del 628) que vivió en la Indiacentral algo más de un siglo después de Aryabhata, conquien tiene muy poco que ver, ni siquiera geográfica-mente, pues Aryabhata había vivido en la región orien-tal de la India.

Brahmagupta menciona dos valores de π, el “valorpráctico” 3 y el “valor exacto” , pero no menciona elvalor más aproximado de Aryabhata. En la trigonome-tría, que incluye su obra más conocida, el Brahmas-phuta Siddhánta, adopta como radio de la circunferen-cia el valor 3270 en vez de 3438 de Aryabhata. Separece a su predecesor en la mezcla indiscriminada deresultados correctos e incorrectos. Por ejemplo,Brahmagupta calcula el “área bruta” del triánguloisósceles multiplicando la mitad de la base por uno desus lados iguales y la de un triángulo escaleno laobtiene multiplicando la base por la semisuma de losotros dos lados. En cambio para el área exacta utiliza lafórmula de Arquímedes-Herón. Un resultado muybello de la obra de Brahmagupta es la generalizaciónde la fórmula de Herón para la obtención del área deun cuadrilátero

que sólo es cierta para el caso de un cuadriláteroinscrito en una circunferencia. El caso general precisala adición de un sustraendo, pues el área viene dadapor

donde α es la semisuma de dos ángulos opuestos delcuadrilátero.

Las contribuciones más importantes deBrahmagupta están en el marco del álgebra. Se ledeben las soluciones generales de las ecuacionescuadráticas, incluyendo las dos raíces, aunque una deellas sea negativa. También se le debe la primeraexposición sistemática de la aritmética de númerosnegativos, dando reglas operativas para númerosenteros, positivos o negativos, con el fallo de admitirque . Su contribución fue muy brillante en elanálisis indeterminado, siendo el primero que resolvióla ecuación diofántica lineal , con a, b y centeros.

Mérito innegable de la matemática hindú fue con-siderar como números las raíces irracionales de otrosnúmeros, lo que supuso una gran ayuda para elálgebra, que fue fruto de una inconsciencia de tipológico más que de una profundidad matemática.

Los matemáticos hindúes carecieron de una dis-tinción clara entre resultados exactos e inexactos. Enconsecuencia era natural que no tomasen en conside-ración las diferencias entre magnitudes conmensu-rables e inconmensurables. No tenían ningún impedi-mento en aceptar los números irracionales, camino quesiguieron las siguientes generaciones hasta que en elsiglo XIX los matemáticos consiguieron fundamentarel sistema de los números reales sobre una base sólida.

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0 : 0 0=

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( )( )( )( )s a s b s c s d− − − −


a b cx y+ =

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