Date post: | 17-Oct-2018 |
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PARTE 1- CUADERNILLO DE DISCUSIONES Y APORTE TEÓRICO
Docente: Marcelo R. Esquivel
Jefe Trab. Práct:: Daniela Nichela
Aux: Fátima Francioni
Año 2014 Cursado Bimestral y Anual
Carrera del Profesorado en Educación Física
Centro Regional Universitario Bariloche (CRUB).
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE.
“Introducción a la Matemática, Física y Química”. Carrera de Profesorado en Educación Física-
Centro Regional Universitario Bariloche-(CRUB)- Universidad Nacional del Comahue.
Docente: Marcelo R. Esquivel J.T.P: Daniela Nichela Aux: Fátima Francioni
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“Introducción a la Matemática, Física y Química”
Introducción (¡de lectura inevitable!):
Al proponer la temática y el “formato” de esta materia, nos encomtramos con la
duda de cual sería el mensaje que se quiere transmitir y si el contenido del mismo sería
entendido por sus destinatarios. ¿Creerán los alumnos, a quienes la materia está
destinada y cuya opinión es la que cuenta, que la misma consistirá en teoría y
resolución de problemas que no tienen aplicación en la Educación Física? ¿Cuál es la
idea de aprender (o repasar conceptos aprendidos en la Enseñanza Media o Polimodal)
lo que significa una “función” o “el mol” si eso “no se aplica en Educación Física”?
Bueno, si así fuera, estaríamos partiendo de un concepto tal vez erróneo: algunas
nociones de química son necesarias para el estudio del consumo calórico en la actividad
física, así como también son útilies para conocer porqué un ambiente estepario o
montañoso sin la presencia de fuentes de agua puede ser “más extremo” que uno con la
presencia de la misma. Así como también se necesita tener noción de algunos conceptos
de física para entender el porqué el jugador que sirve en un córner corto en Hockey
sobre césped coloca una de sus manos cerca de la pipa del stick y se agacha en lugar de
pegar erguido con la espalda recta con ambas manos juntas desde el lugar de la
ejecución. (Esta noción puede ser útil para enseñar este tiro luego) o porqué es necesario
comprender determinados conceptos de matemática para ser capaz de calcular cuantas
horas de caminata estimadas nos quedan para llegar al próximo refugio haciendo “reglas
de tres” y mirando la escala en un mapa.
Es ésta entonces la idea de lo que se pretende aquí: comprender (sin memorizar...
¡Por favor!), conceptos de Matemática, Física y Química, que ayuden al alumno del
curso, futuro Profesor de Educación Física, a entender los contenidos de la materia y
aplicarlos a actividades a desarrollar en el futuro.
Sin embargo, trataremos de introducir los conceptos a partir de ideas familiares y
previamente conocidas y desarrollar a partir de esta base el concepto a discutir. Este
proceso se llevará a cabo a través de discusiones, cuyos resultados se volcarán en hojas
de actividades de llenado obligatorio durante la clase. El aporte teórico, el último paso
de cada clase, servirá para despejar las dudas que no se resuelvan durante la misma.
Nuestro registro de clase será este cuadernillo, llamado de “Discusión y Aporte
Teórico” y otro de “Actividades” donde se volcarán las actividades.
Entonces, el OBJETIVO de este curso es que se comprendan y puedan aplicarse a
situaciones sencillas, dentro del ámbito de la Educación Física, los conceptos de
matemática, física y química. Habrá por supuesto, instancias de evaluación, ya que la
misma sirve tanto a quien enseña como a quien aprende.
Hecha la introducción, veremos a continuación un resumen del contenido del
curso.
Resumen del Curso :
“Introducción a la Matemática, Física y Química”. Carrera de Profesorado en Educación Física-
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Como se dice popularmente: “para saber llegar hay que tener en claro adonde ir” o sea
que describiremos el camino que recorreremos juntos, sabiendo a que sitio queremos
llegar. Dividiremos el curso en cuatro grandes módulos, que en conjunto durarán todo
un bimestre (módulo febrero-marzo) o su versión anual (módulo mayo-octubre).
En el primer módulo veremos los siguientes conceptos: Cantidad. Magnitud. Unidad.
Tipos de magnitud, forma de medir la cantidad y su relación con los conjuntos
numéricos. Medida. Concepto elemental de error. Valores precisos y exactos. Distintos
sistemas de unidades. Unidades derivadas. Diferencia
entre masa y peso. Masa atómica Masa molecular. Mol.
Magnitudes escalares y vectoriales.
En el segundo módulo discutiremos el concepto de plano
cartesiano y representación de pares de puntos en el
mismo. Funciones. Tipos de funciones y distintas
representaciones. Funciones lineales (recta) y parábola.
Cómo determinar sus coeficientes. Sistemas de
ecuaciones lineales y funciones polinómicas. Función
valor absoluto. Función logarítmica y exponencial.
Concepto de velocidad.
En el tercer módulo analizaremos los conceptos de Funciones Trigonométricas. Fuerza
de gravedad. Analizaremos sintéticamente las leyes de Newton y los conceptos de
momento y equilibrio de fuerzas. A partir de estos conceptos discutiremos cantidad de
movimiento y realizaremos análisis de las dimensiones para no equivocarnos con cada
una de ellas. Finalmente, en el cuarto módulo del curso discutiremos conceptos que nos
conduzcan a conocer los distintos estados de la materia: sólido-líquido-gas. Entender lo
que es una solución, soluto y solvente. Estableceremos en forma sencilla como se
formula una sustancia inorgánicas y cerraremos el curso con los conceptos de reacción
química, estequiometría y energía. En la medida de lo posible, realizaremos actividades
en el laboratorio.
Para dar una idea de lo que se pretende hacer en este curso, realizaremos la primera:
DISCUSIÓN (1): “EXPECTATIVAS” ¿Qué expectativas tenemos sobre este
curso?
(Las actividades se llevarán a cabo en el cuadernillo correspondiente).
MÓDULO 1.
RESUMEN DEL MÓDULO:
En este párrafo, haremos un pequeño resumen de lo que veremos en este módulo, el
cual nos llevará aproximadamente 2 semanas (4 clases) en su versión bimestral (período
febrero-marzo). Entre nuestro temario analizaremos: medida, cantidad, magnitud y
unidad y sistema de unidades. Luego discutiremos el concepto de error, qué significa
y cuáles son los diversos tipos de error presentes en una actividad que incluya la
medición de una magnitud (como por ejemplo…¡ el tiempo que dura una caminata!.
Conocer este concepto nos será útil para poder establecer donde estarán las posibles
fuentes de dificultades a la hora de planificar ésta o cualquier otra actividad. También
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analizaremos los conceptos de valor preciso y valor exacto de una medición. El
módulo se completa con los siguientes temas: sistemas de unidades y unidades
derivadas. Por último analizaremos los conceptos de masa atómica, masa molecular,
mol y cerraremos la unidad con magnitudes escalares y vectoriales.
MEDICIONES -CANTIDADES –MAGNITUDES – UNIDADES.
Antes de comenzar, deberíamos preguntarnos que es lo que se hace cuando se mide.
Pero, deberíamos preguntarnos otra cosa antes: ¿Qué es una medida?
MEDIDA:
Cuando realizamos el procedimiento de “medida” lo que tratamos de hacer es otorgarle
a una magnitud (cualquiera sea ella), una cantidad (con la que obviamente está
relacionada). Para ejemplificar este punto, observemos la Tabla 1:
Tabla 1 Cantidades, magnitudes y unidades
Medida a realizar Magnitud Cantidad
Unidad
Longitud
3
metro (m)
Superficie
9
metro cuadrado (m2)
Volumen
27
metro cúbico (m3)
Otros ejemplos, de magnitudes, cantidades y unidades podemos apreciarlos en la Tabla
2.
Tabla 2. Cantidades, Magnitudes y Símbolos
Magnitud Símbolo Unidad
Masa g gramo
Tiempo s segundo
Temperatura K grado Kelvin
Longitud m metro
Intensidad de corriente
eléctrica
A ampere
Algunas magnitudes se derivan de la combinación de las anteriores. Algunos ejemplos
de estas magnitudes derivadas se muestran en la Tabla 3.
DISCUSIÓN (2): “MEDIDAS” ¿Qué es una medida?
(Las actividades se llevarán a cabo en el cuadernillo correspondiente).
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Tabla 3. Ejemplos de magnitudes derivadas
Magnitud Símbolo Unidad
Superficie m2 metro cuadrado
Volumen m3 metro cúbico
Densidad kg/m3 kilogramo por metro cúbico
Velocidad m/s metro por segundo
Fuerza N= kg.m/s2 Newton
Presión Pa=N/m2 Pascal
Entonces, durante este “proceso de asignarle a una cantidad, una magnitud”,
necesitamos “medir”. Pero...¿Quién y qué interviene en el proceso de medición?
Observemos la figura 1, donde un personaje (que tomé prestado del libro de dos colegas
*) trata de “medir” la distancia que lo separa de la otra orilla del canal.
En la figura 1, (donde nuestro personaje hace lo que puede con esa reglita), podemos
destacar algunos detalles relacionados al proceso de medición. En el mismo, se
presentan cuatro sistemas interrelacionados:
1) Lo que se quiere medir: (el ancho del río en este ejemplo).
2) El observador (“Personaje”) quien realiza “el proceso de
medición”.
3) El instrumento de medición (la regla en este caso).
4) La unidad de medida (el metro, en este caso).
Figura 1. Nuestro personaje
trata de medir la distancia
entre las dos orillas.
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Lo que debemos rescatar del proceso de medición, es que el mismo nos lleva a obtener
una magnitud (temperatura, volumen, etc.) la cual está conformada por una cantidad
(número) y una unidad de referencia .
Aunque existen muchos sistemas de unidades, en nuestro curso utilizaremos el SI
(Sistema Internacional) y que en Argentina se denomina SI.ME.LA (Sistema métrico
legal Argentino).
Sin embargo, este proceso de “medición”: (otorgarle a una magnitud, una cantidad en
particular) lleva acaecido un “error” en sí mismo. Eso es debido a que además del
“error” del proceso de medición, los instrumentos de medición poseen “un error” , el
observador del sistema (el que mide) también aporta su “error”. Por lo cual la medición
tiene varios “errores” inherentes al sistema de medición que no tienen nada que ver con
“hacer las cosas mal”.
Antes de analizar el concepto de error realizaremos una:
Hablando de unidades, probablemente ya hemos notado que la magnitud longitud puede
tener diversas unidades tales como m (metro), cm (centímetro) o mm (milímetro). ¿Por
qué ocurrirá esto? . Para ello pensemos en el siguiente caso.
Magnitud de la medición cantidad asociada a una unidad
Ejemplo 1
“La temperatura del agua de la laguna es de 10 ºC”. En esa frase tenemos una
cantidad (10) que, si no estuviera acompañada de la unidad correspondiente
(ºC) no nos diría nada. La magnitud temperatura está asociada a la cantidad
10 y la unidad de medida es ºC.
Magnitud: temperatura
Unidad: ºC
Cantidad particular: 10
DISCUSIÓN (3): “Magnitudes, Cantidades y Unidades”
(Las actividades se llevarán a cabo en el cuadernillo correspondiente).
DISCUSIÓN (4): Midiendo magnitudes, determinando sus cantidades y
colocando unidades
(Las actividades se llevarán a cabo en el cuadernillo correspondiente).
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La respuesta más adecuada al ejemplo anterior nos sugeriría que deberíamos utilizar el
metro, porque podemos trabajar cómodamente. Esto es debido a que trabajamos con
números enteros (1 metro, 2 metros, 10 metros) y no estaríamos sumando en grandes
cantidades y con unidades pequeñas (es decir no manejamos 100 cm, 200 cm, 1000 cm)
Si bien la unidad de medida es el metro, dependiendo de la complejidad de la medida a
realizar, podemos utilizar unidades que nos resulten “más cómodas”. Para reafirmar
conceptos del tema, realizaremos una:
¿QUÉ ES EL ERROR?
No siempre el error tiene una connotación negativa típica del lenguaje común. A veces,
solo implica la carencia del instrumental necesario para desarrollar una medición de una
“mejor calidad”. Cuando llevamos a cabo “mediciones” lo que tratamos de establecer,
es cual es el valor “verdadero” (Vv) y cuán cerca estamos de ese valor, con el
resultado de nuestra medida o sea nuestro valor experimental.(Ve)
. Lo cierto es, que esta “medición del valor verdadero” lleva aparejado
intrínsecamente un error.
Para estimar cuán cerca estamos del valor verdadero, podemos definir algunos tipos de
error:
Error absoluto (Eab): Es la diferencia entre el valor verdadero y el valor experimental
Eab = Ve – Vv . En este tipo de medida, en general se toma el valor positivo (es
decir el que tenga el signo “+”).
Error relativo (Err): Es el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero.
Err = (Ve-Vv)/Vv
Error relativo porcentual (Err%): Es el valor del error relativo multiplicado por 100.
Err% = Err.100 = (Ve-Vv)/Vv
Antes de llegar a determinar cuáles son los posibles tipos de errores (los cuales pueden
ser útiles para planificar actividades en deportes de precisión como Tiro. (que es una de
las dos partes en las que se divide el Biatlon , la otra es esquí nórdico) haremos una
pequeña:
Ejemplo 3 Supongamos que queremos medir una ventana para ponerla en el
marco. El valor verdadero será de 70 cm. Dependiendo de nuestra exactitud en
la medición tendremos un error asociado. Por ejemplo con una regla, nuestra
medida será: 70 0.10 cm.
Ejemplo 2
Para medir la longitud total de una soga utilizada para rapel podemos elegir
entre una regla de 20 cm, un metro de carpintería o una regla de 10 mm.
¿Cuál elegiríamos? ¿ Por qué?
DISCUSIÓN (5): Unidades y relaciones entre unidades
(Las actividades se llevarán a cabo en el cuadernillo correspondiente).
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TIPOS DE ERRORES: Algunos de los errores surgidos de las experiencias pueden obedecer a los siguientes
casos:
Errores sistemáticos: Los errores sistemáticos son aquellos que se cometen debido a
diversas situaciones concernientes al observador o al tipo de experimento.
Errores de apreciación: Este tipo de error, se produce cuando hay que observar la
mínima división en la escala de un instrumento. Por ejemplo, la observación de la
mínima fracción en la escala de la bureta.
Errores accidentales: Se producen cuando hay fallas en el instrumento, en el
observador o en el sistema de medición.
PRECISIÓN Y EXACTITUD:
Cuando se llevan a cabo mediciones, es común que nos propongamos realizarlas una y
otra vez para ver si estamos en “lo correcto”. Pero debemos discutir dos conceptos que
muchas veces son tomados como equivalentes: precisión y exactitud.
Lo veremos en el siguiente ejemplo, donde nuestro personaje nuevamente lleva a cabo
una acción que conduce a una medida.
PRECISIÓN EXACTITUD
Figura 2. Precisión y
Exactitud
DISCUSIÓN (6): Error y aproximación al concepto de error
(Las actividades se llevarán a cabo en el cuadernillo correspondiente).
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En el lado izquierdo de la Figura 2, está tratando de matar una mosca, (sin mucha
suerte), pero siempre “pega” en el mismo lugar, si bien lo que hace no es exacto, opera
con mucha precisión . Repite el golpe en el mismo lugar, aunque la mosca, valga la
redundancia... ni se mosquee. En el lado derecho, nuestro muchacho se muestra muy
hábil y, da en el blanco con exactitud sin ningún problema. Como puede deducirse,
exactitud no es lo mismo que precisión.
ESTIMACIÓN DE LECTURA Y APRECIACIÓN DEL INSTRUMENTO
Muchas veces no tenemos “el instrumental” para hacer de nuestro experimento el más
exacto, pero podemos tratar de acercarnos al valor verdadero que presenta.
Cada instrumento de medición tiene una escala cuya menor división se conoce como
apreciación del instrumento. Una probeta tiene una apreciación de 10 ml, un
termómetro de 0.1 ºC y una regla de 1 mm
Cuando, ayudado por la escala, se pueden estimar valores intermedios de la menor
división de la escala, estamos haciendo una estimación de la lectura. La estimación de
lectura más precisa que podemos hacer es aquella igual a la mitad de la menor división
de la escala.
En la figura 3 vemos a nuestro personaje calculando la apreciación del instrumento de
medida y estimando la lectura.
Durante los párrafos anteriores estuvimos analizando lo que significa medir,
diferenciamos los conceptos de cantidad, unidad y magnitud. Vimos que cantidad era
“un número” comparado a la unidad “otro número”. Comparamos diversos “números”
cuando vimos lo que significaba el error. Sin embargo ahora veremos el significado de
esos “números”
Apreciación del instrumento =
mínima división
Estimación de lectura = la mitad
de la mínima división
Figura 3. Apreciación del
instrumento y estimación de lectura
DISCUSIÓN (7): Valor Preciso y Exacto. Estimación y Apreciación-
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NUMEROS (NATURAL –ENTERO - NEGATIVO- RACIONAL –REAL)
Supongamos que tenemos una barra de azufre, la dividimos en dos partes, la dividimos
en tres partes y la volvemos a dividir en cuatro partes...¿Dónde culmina este proceso de
partir la barra? ¿Cuál es la mínima parte en la cual se puede llegar?.
En la Tabla 4 se muestra una relación entre tamaños en una recta numérica y una
relación que puede establecerse con la barra de azufre.
Tabla 4 Partición sucesiva de una barra de azufre.
Nombre Tamaño (magnitud y cantidad)
Barra de azufre 10 cm
Trozo de azufre 2-5 cm
Partícula de azufre 300 m (a la vista del microscopio común)
Molécula de azufre ¿más grande o más pequeño que el anterior?
Átomo de azufre ¿más grande o más pequeño que el anterior?
Esta sucesión de particiones, para la cual un trozo mayor es sucesivamente dividido,
puede resultarnos familiar, pues fue un tema tratado en la discusión 7. Para
ejemplificarlo podemos tomar una analogía muy interesante: la recta numérica.
La recta numérica representa todos los números reales es decir aquellos que no son
“imaginarios” . Supongamos que tenemos una “barra de azufre numérica entre 0 y 10”
cuya representación gráfica puede observarse en la Figura 4
Partimos la “barra numérica” en varios “trozos iguales” Cada trozo puede verse en la
figura 5
Figura 4
“ Barra de azufre
numérica”
Figura 5
“Barra de azufre
numérica” y los
números Naturales
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Cada uno de los extremos en los cuales se cortó la barra define un número “Natural” ,
podríamos llegar a decir que son aquellos que “salieron naturalmente al contar”: 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 10.... Tomemos entonces el primer trozo...el que va del ...al 1
El nuevo “número” que apareció es el cero. Pero... ¿que pasa si vamos hacia el “otro
lado” de la recta numérica? En ese caso....
Ahora a la “recta numérica” se agregaron los números negativos. El cero, los números
negativos y los naturales definen el grupo de los números ENTEROS.
Nuevamente tomemos la figura 6 y “acerquemos el ojo” a ese trozo de la barra de
azufre.
Si subdividimos el trozo entre “0 y 1” de nuestra barra de azufre numérica, podemos
obtener sucesivas “partículas” Esas partículas son los números fraccionarios.
Figura 6
“Nuestra barra de
azufre numérica”
El cero
0 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fig. 7 Los números
negativos, el cero y
los naturales.
Figura 8
“Nuestra barra de
azufre numérica” y
los números
fraccionarios
0 1/4 1/2 3/4 1
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El conjunto de los números (enteros + fraccionarios) conforma el conjunto de
“racionales” y se llaman así porque cualquiera de ellos puede ser “racionalizado” o
expresado como una “razón” de números enteros.
Ejemplo:
El número 4 es un entero, sin embargo las siguientes “razones” también lo representan:
8/4, 100/25...etc.
Sin embargo, también hay otras “partículas” que se llaman números “irracionales” y que
también tienen su cabida en la recta numérica. Esos números no se pueden expresar
como una razón de enteros. Ellos son , 3 , etc. Observamos algunos de ellos en la
recta numérica de la figura 9.
El ordenamiento de los números racionales e irracionales sobre una línea recta define lo
que se conoce como recta numérica de los números reales.
Ahora miremos el resumen de lo analizado en la Tabla 5.
Tabla 5
Respecto de la recta numérica Respecto de la barra de azufre
Recta numérica Barra de azufre
Segmento de la recta
(Ejemplo: entre 0 y 10)
Trozo de la barra
Números enteros, cero y negativos Partículas
Fraccionarios o Racionales, Irracionales Partículas
SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS (SI )
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 9. Los
números irracionales 3
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Durante la primera parte de este curso, estuvimos hablando de medidas, magnitudes y
unidades, conceptos todos relacionados a la medición de un proceso. Sin embargo,
cuando hablamos de una medida, que da, por ejemplo, “5 m” ¿Quién dice que la regla, o
centímetro de modista/o –costurera/o (o lo que sea) “mide” 5 cm? Lo que se hace en
realidad es buscar un patrón “inamovible” , en nuestro caso, ese patrón representa una
“cantidad” igual a 1 de una “magnitud” llamada longitud que se mantiene constante y es
igual a 1 metro (1 m).
El acuerdo de unidades: el SI o Sistema Internacional de unidades
Tratando de hallar la forma de “ponerse de acuerdo” se eligió un grupo de magnitudes
llamadas fundamentales relacionadas con sus respectivas unidades,: algunas de estas
magnitudes están listadas en la Tabla 6.
TABLA 6 MAGNITUDES Y UNIDADES FUNDAMENTALES
Magnitud Símbolo de la unidad Unidad
Longitud m Metro
Masa kg kilogramo
Tiempo s Segundo
Temperatura K Kelvin
Estas no son las únicas medidas fundamentales, también hay otras con sus propias
unidades (¡por supuesto!!!).
Estas magnitudes y unidades fundamentales han dado lugar a otras magnitudes
llamadas derivadas. La tabla 7 presenta una lista de algunas de magnitudes derivadas.
TABLA 7 MAGNITUDES Y UNIDADES DERIVADAS
Magnitud Símbolo Unidad
Superficie m2 Metro cuadrado
Densidad kg/m3 Kilogramo por metro cúbico
Velocidad m/s Metro por segundo
Fuerza N=kg.m/s2 Newton
Presión Pa = N/m2 Pascal
Trabajo, Energía cantidad
de Calor
J= N.m Joule
Discusión Teórica:
¿Porqué es necesaria la existencia de un patrón de medidas?
¿Cuál es el patrón de medidas de la magnitud longitud?
Discusión Teórica:
¿El volumen es una magnitud derivada o una magnitud fundamental?
¿Sus unidades, serán unidades derivadas o unidades fundamentales?
¿Cuáles son sus unidades derivadas?¿El volumen tiene otras unidades derivadas?
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Las cantidades de las unidades: Prefijos con múltiplos y submúltiplos y
etcéteras...
Supongamos que queremos medir la distancia que media entre nuestra casa y la
universidad. ¿Qué magnitud nos conviene utilizar? Parece una obviedad... ¡hay que
utilizar la magnitud longitud!. Pero...¿Qué unidad debemos usar? ¿Es conveniente el
m, el cm, el mm? Depende del problema me dirán...si medimos la distancia que media
entre dos casas distantes a 15 km entre sí, obviamente el km es la unidad más
conveniente...¿Por qué?
Algunos de los prefijos que indican submúltiplos o múltiplos de las unidades pueden
observarse en la tabla 8
TABLA 8. PREFIJOS QUE INDICAN MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DE
LAS UNIDADES
Prefijo Símbolo Factor numérico por el
que se multiplica la
unidad.
Giga- G 109
Kilo- K 103
Hecto- H 102
Unidad 1
Deci- d 10-1
Centi- c 10-2
Nano- n 10-9
El conjunto de unidades fundamentales particulares y sus correspondientes unidades
derivadas constituyen un SISTEMA DE UNIDADES. Por Ley Nacional 19511 en
nuestro país rige el SISTEMA METRICO LEGAL ARGENTINO O SI.ME.L.A . El
SI.ME.LA. está basado en el SI (SISTEMA INTERNACIONAL).
Distintas escalas para la misma magnitud
Supongamos que estamos siempre acostumbrados a comprar un litro de leche. Sin
embargo, el litro no pertenece al S.I. de medidas, pero es una unidad por todos
conocida. La temperatura también presenta ese “problema”
Si a usted le dicen que afuera “hacen 298.15 grados” ¿Usted saldría a pasear ? No!
¡Pensaría que hace mucho calor!! El punto es, es que probablemente le estén “diciendo
la cantidad de la magnitud temperatura en grados KELVIN!!!...Si usted pregunta
cuántos grados centígrados o celsius...¡le dirán que son 25ºC! ¿Pero cómo es que una
escala se transforma en la otra? Es muy fácil para saber la temperatura en grados
Celsius o centígrados utilizamos la siguiente fórmula:
Discusión Teórica
¿Por qué no es conveniente usar como unidad el cm o el mm cuando se analizó la
distancia que mediaba entre las dos casas (párrafo anterior) ?
Discusión Teórica
¿Para qué tipo de magnitudes son válidos estos prefijos?¿Cómo se convierten estos
múltiplos entre sí?
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ºC = K - 273.15
O lo que es lo mismo: “ para obtener la cantidad de la magnitud temperatura en grados
centígrados debo sumar algebraicamente la cantidad en grados Kelvin - 273.15”.
Antes de proseguir con los temas, vamos a realizar una nueva:
Magnitudes escalares y vectoriales:
Hasta ahora discutimos los conceptos de cantidad y unidad relacionados con la
magnitud y vimos que una medida quedaba completamente definida si se estipulaba la
magnitud, la cantidad y la unidad. Pero...¿Es eso siempre así? ¿Es posible determinar
una medida con sólo brindar esos datos? Veamos el siguiente ejemplo:
Antes de continuar, haremos una pequeña:
DISCUSIÓN (8): Magnitudes y Escalas.
Discusión Teórica:
1. Discuta el siguiente ejemplo:
Uno de sus colegas le indica que la mesa está fuera de lugar y que habría que
empujarla, sin despegarla del piso hacia un lado. ¿Es toda la información
brindada suficiente? ¿Cuál sería la siguiente pregunta que el ayudante le haría a
la persona que le solicitó la ayuda? ¿Habría más de una forma correcta de mover
la mesa?.
Agreguemos otro ejemplo más:
2. Discuta el siguiente ejemplo:
Su automóvil se descompuso. Solicita ayuda y le pide a dos personas distintas que
lo empujen “con una fuerza de 5 Newtons”. Usted se sienta en el asiento del
conductor y ambas personas empujan, sin embargo el auto no se mueve.
¿Qué información les faltó a estas dos personas?¿La cantidad, la magnitud, la
unidad? ¿Era esa información suficiente?
DISCUSIÓN (9): “Magnitudes escalares y vectoriales”.
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APORTE TEÓRICO:
Magnitudes Vectoriales: Son aquellas que para quedar claramente determinadas,
necesitan que se especifique la cantidad, la unidad, la dirección y el sentido. Como
ejemplos más conocidos podemos mencionar la magnitud fuerza y la magnitud
velocidad.
Magnitudes Escalares: Son aquellas que necesitan solamente que se especifique la
cantidad y la unidad para estar correctamente determinadas. Como ejemplos más
conocidos podemos mencionar la magnitud masa, la magnitud temperatura y la
magnitud energía.
En la Figura 10, se muestra un cuadro resumen:
Antes de continuar con el programa, vamos a reforzar algunos conceptos a través de las
siguientes:
Y también podemos aprovechar la ocasión para otra:
APORTE TEÓRICO
En las hojas de discusión 10 y 11 analizamos cuatro magnitudes:
Longitud: Es una magnitud fundamental. Su unidad SI.ME.LA es el metro.
Magnitudes
Escalares Vectoriales
Ejemplos:
Masa
Temperatura
Energía
Ejemplos:
Fuerza
Velocidad
Aceleración
Figura 10
DISCUSIÓN (11): “Concepto de Área y Volumen”.
DISCUSIÓN (10): “Concepto de longitud, tiempo y velocidad”.
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Tiempo: Es una magnitud fundamental y es una magnitud escalar. Su unidad
SI.ME.LA es el segundo.
Área: Es una magnitud escalar, derivada de la magnitud longitud. Su unidad SI.ME.LA
es el m2. Debemos considerar que el cálculo del área depende de la forma geométrica
considerada. Como ejemplo, consideremos el cálculo de algunas formas geométricas
distintas que se indican en la Tabla 9.
Volumen: Es una magnitud escalar, derivada de la magnitud longitud. Su unidad
SI.ME.LA es el m3. El cálculo de un volumen depende de la forma geométrica
considerada.
Tabla 9
Forma Geométrica Nombre Fórmula para calcular el área
Cuadrado Área = a .a
Rectángulo Área = a.b
Triángulo Área = (a. b)/2
Círculo Área = . r2
a
a
b
a
a
b
a
b
b
DISCUSIÓN (12): “Repaso de Contenidos”.
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VOLVIENDO SOBRE LA SENDA DE LO ANTERIOR...
APORTE TEÓRICO*
*Mayor información sobre los tópicos tocados en este aporte, puede encontrarse en el libro
“Pasaporte a la Química Universitaria-Una articulación con la enseñanza media” cuyos autores
son Julio J. Andrade Gamboa y Hugo L. Corso. Docentes del Área Química del CRUB y sobre
el cual está construida parte de este apunte.
Si volvemos a nuestro problema (el que dejamos en la página 11) de partir la barra de
azufre en trozos cada vez más pequeños...
¿Qué es lo que puede suceder si seguimos este proceso de cortar en trozos más y más
pequeños ?.
Pueden suceder dos cosas:
Se encontró que la materia puede ser dividida hasta un mínimo, cuya mínima expresión
es el átomo. (que viene del griego indivisible , indestructible), lo que implica que la
materia es discontinua. El átomo es la mínima expresión de la materia. Esto implica
que existen átomos distintos para obtener distintas sustancias o compuestos. Lo cual nos
lleva a la siguiente discusión.
La materia puede
ser dividida en
forma infinita
La materia puede
ser dividida
hasta un tamaño
finito.
Discusión Teórica: ¿La materia puede ser infinitamente dividida?
Materia (Barra de
Azufre)
Trozo pequeño
(partículas)
Discusión Teórica: ¿Los átomos son todos iguales? ¿Todos los elementos tienen el
mismo tipo de átomo? ¿Qué propiedad podría usarse para diferenciar unos de
otros?
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Una de las propiedades que puede usarse para indicar esto es la masa. Dos átomos
distintos tienen masas distintas, por ejemplo el átomo de plomo, tiene masa distinta de
la del átomo de azufre.
Ahora nuestra próxima pregunta podría surgir para saber cuantos tipos de átomos
distintos existen. Podríamos decir, en principio que son más de cien. Este razonamiento
podríamos discutirlo mejor en:
Ahora bien, cada uno de estos átomos diferentes entre sí caracterizan lo que se llama
elemento químico. Cada uno de los elementos químicos tiene un nombre y un símbolo,
que es único para cada uno.
Algunos ejemplos se muestran en la Tabla 10.
Tabla 10. Ejemplos de elementos químicos
Elemento Símbolo
Oro Au
Azufre S
Plata Ag
Helio He
Hidrógeno H
Ahora bien, si por ejemplo, tuviéramos una caja con átomos de oxígeno como gas, y
pudiéramos extraer los átomos hasta que quedara una mínima cantidad, nos quedarían al
menos 2 átomos. Esto sucede porque algunos elementos presentan sus átomos asociados
en grupos de 2 o más. Esta asociación de más de 1 átomo se llama molécula (en el caso
de existir como tal). De otra manera, a la mínima asociación de átomos se la denomina
unidad fórmula. Ahora bien, es posible que haya moléculas compuestas por átomos
iguales y moléculas compuestas por átomos distintos. La molécula o en su defecto la
unidad fórmula es la mínima porción de una sustancia que puede encontrarse y que
mantenga las propiedades de esa sustancia. Ejemplos de distintas moléculas se
presentan en la Tabla 11.
Tabla 11. Ejemplos de moléculas, para sustancias simples y compuestas
Nº de átomos que componen
la molécula o unidad fórmula
Nombre de la
sustancia
Tipo de sustancia
3 ( 2 de Hidrógeno y 1 de
oxígeno) Agua
Compuesta (dos tipos de
átomos)
2 átomos de oxígeno Oxígeno Simple
2 átomos de cloro Cloro Simple
2 (1 de carbono y 1 de
oxígeno)
Monóxido de
Carbono
Compuesta
2 átomos de nitrógeno Nitrógeno Simple
Discusión Teórica: ¿Cuántos átomos diferentes conoce? ¿Sabe si tienen otro
nombre? ¿Cuál es la diferencia entre átomo, molécula y sustancia?
Discusión Teórica: ¿Pueden dos elementos diferentes tener símbolos o nombres
iguales? ¿Porqué sería o no sería posible?
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La representación simbólica de la molécula o de la unidad fórmula de una dada
sustancia se denomina FÓRMULA QUÍMICA. La fórmula química nos indica dos
cosas: (ver diagrama al pie)
Aunque en general no se coloca en la fórmula, en muchas situaciones es posible que una
sustancia dada se presente en más de un estado de agregación: sólido, líquido o gas.
Estos estados se representan con (s), (l) y (g), respectivamente.
Cantidades Químicas: Masa Atómica – Masa Molecular -Mol
Una molécula de oxígeno, está representada por su fórmula O2, la cual nos dice que la
molécula (asociación de átomos) está formada por 2 átomos de oxígeno. Si tuviéramos
un tubo lleno de O2 (oxígeno en la forma gaseosa) podríamos considerar que tenemos
un número N de moléculas (un número muy grande). ¿Cómo podríamos hacer para
medir la masa de cada molécula.? En principio, podemos considerar que la masa de N
moléculas (donde N es un número) es igual a la masa de una molécula multiplicada por
el número de moléculas, de acuerdo a la siguiente ecuación:
N.m O2(g) = M
donde M es la masa total considerada y m O2(g) es la masa de cada molécula. Ahora
bien, las moléculas son extremadamente pequeñas, y también lo son sus masas,
obviamente lo mismo ocurre con los átomos. Entonces en lugar de trabajar con los
Cantidades de Masa Absolutos, (los verdaderos) se trabaja con Cantidades Relativas.
La respuesta es que es un sistema más sencillo de trabajo. Para simplificar este análisis
se elige un átomo (el más liviano o alguno en particular) y las masas del resto de los
elementos se comparan con la masa de éste. Como ejemplo se muestran las MAR
(masas atómicas relativas) de algunos elementos en la Tabla 12. En cualquier tabla
periódica puede encontrarse las Masas Atómicas Relativas de todos los elementos.
FÓRMULA QUÍMICA
QUE ATOMOS
ESTÁN
INVOLUCRADOS
CUANTOS ATOMOS
ESTÁN
INVOLUCRADOS
Discusión Teórica: Supongamos que tenemos la siguiente fórmula CH4. ¿Es
posible qué átomos y cuántos átomos están involucrados en la molécula. ¿Es una
sustancia simple o compuesta?
Discusión Teórica: ¿Porqué cree que se trabaja con masas atómicas y masas
moleculares relativas en lugar de trabajar con masas absolutas?
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Tabla 12. Masas Atómicas Relativas (MAR)
Elemento MAR (Masa Atómica Relativa)
H 1
O 16
Na 23
N 14
Fe 56
Con los datos que hasta ahora tenemos no podemos establecer el valor verdadero de las
masas estudiadas, sólo sabemos el valor relativo.
Entonces para relacionarlos podemos definir la unidad de masa atómica (uma) como la
masa de un átomo de Hidrógeno. El valor de una uma es:
1 uma = 1, 66 x 10-24
g.
Lo cual nos da una idea de los valores verdaderos de las masas atómicas.
A partir del concepto anterior de MAR (Masa Atómica Relativa) es posible definir
entonces la Masa Molecular Relativa (MMR), ya que la suma de las masas de cada
elemento contenido en una molécula será igual a la masa molecular. Como ejemplo
podemos citar:
Masa Molecular Relativa de H2O = 1 x 2 átomos de H + 16 x 1 átomos de O = 18.
Masa Molecular Relativa de CO = 12 x 1 átomo de C + 16 x 1 átomo de O = 28.
Nota: Hace algunos años, se había elegido la masa del átomo de H como la masa de
referencia, pero esa referencia fue cambiada hace años atrás por la masa representada
por la doceava parte de la masa del isótopo de C12.
Ahora bien, así como la masa atómica relativa es utilizada para trabajar “cómodamente”
sin necesidad de utilizar números muy pequeños (del tipo de 1,66 x 10-24
g). Para
trabajar con cantidades de átomos en lugar de utilizar el valor verdadero, (que es un
número muy grande) se eligió trabajar con un valor mayor que representa una cantidad
dada de átomos. Este valor es el mol
1 mol = ( 1 g/ 1, 66 x10 –24
g ) = 6, 022x 1023
átomos
El mol es una CANTIDAD , tanto como lo es la docena (12 unidades ) o el maple (30
unidades).
Para fijar los conceptos discutidos, haremos una discusión:
DISCUSIÓN (14) ): “Conceptos de química”
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MÓDULO 2.
RESUMEN DEL MÓDULO:
En este módulo discutiremos los siguientes conceptos: Plano cartesiano.
Representación de pares de puntos en el plano cartesiano. Concepto de Vector. Módulo
y dirección de un vector. Concepto de Función. Función lineal y determinación de sus
coeficientes. Parábola y determinación de sus coeficientes. Sistemas de ecuaciones
lineales 2 x 2. Función valor absoluto. Función logaritmo y Función Exponencial. Como
venimos haciendo en el primer módulo, realizaremos discusiones sobre cada tema en el
cuadernillo correspondiente.
APORTE TEÓRICO
Plano de ejes ordenados (Cartesiano).
Tomemos dos ejes (líneas rectas) y coloquémoslos perpendicular uno con otro sobre un
plano determinado. (Figura 11). El todo resultante se denomina plano de ejes ordenados
o cartesiano. Convencionalmente, al eje horizontal se lo denomina eje de abcisas y al eje
vertical eje de ordenadas. Denominemos a las variables de cada eje como (“x”) e (“y”)
(aunque podrían llamarse de cualquier otra forma). El eje donde se sitúan los valores de
las (“x”) se denomina el eje de abcisas y el eje de las (“y”) se denomina eje de
ordenadas. El punto definido, por el cruce entre ambos ejes, se denomina origen.
Representación de puntos en el plano cartesiano.
Para tener una representación de los puntos en el plano cartesiano, debemos dar dos
datos: (abcisa, ordenada) . El primer dato nos permite situarnos en el eje de abcisas y el
segundo en el eje de ordenadas.
Ejemplo: (Figura 12).
El punto (4, 5) y el punto (-4, -5) son representados en el plano cartesiano de la figura
12.
Figura 11
Abcisas (eje “x”)
Ordenadas (eje “y”)
Origen (0, 0)
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Para verificar conceptos y discutir posibles dudas, vamos a realizar dos:
Concepto de Vector.
Podemos representar un vector como una diferencia entre dos puntos. El extremo del
vector se indica por una flecha y el origen por un punto. En la Figura 12, se muestra el
ejemplo de dos vectores:
Origen: punto (0,0) y extremo punto (2,2)
Origen: punto (0,0) y extremo punto (-3,3)
La diferencia entre ambos también le otorga sentido y dirección al vector. Cualquier
magnitud relacionada con un vector (magnitud vectorial) necesita para ser claramente
definida: la cantidad, la unidad, la dirección y el sentido.
(-3,3)
(2,2)
(0,0)
(4,5)
(-4,-5)
Figura 12
Discusión (14): Plano cartesiano y representación de puntos
Discusión (15): Aplicaciones en el plano cartesiano
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El módulo (la cantidad) de un vector está dado por la siguiente fórmula:
V= )()( 21
2
21
2
yyxx
donde (x1,y1) es el punto origen y (x2,y2 ) es el punto extremo.
Mientras que la diferencia entre esos dos puntos (punto extremo – punto origen) define
la dirección y sentido. Como se muestra a continuación:
reo = (x2, y2) – (x1, y1)= (x2-x1); (y2-y1)
Como ejemplo de lo anterior, podemos realizar los cálculos de los vectores que se
muestran en la Figura 12.
Punto origen Punto extremo Módulo Dirección y sentido
(0,0) (2,2) 8 (2,2)
(0,0) (-3,3) 18 (-3,3)
Concepto de Función:
En el módulo anterior se discutió el concepto de números reales. Veremos ahora el
concepto de función relacionado con esta clase de números. Podemos empezar diciendo
que existen relaciones entre dos conjuntos numéricos en las cuales los elementos del
primer conjunto se relacionan con un único elemento del segundo conjunto. Cuando se
establecen relaciones de este tipo, éstas se denominan relación funcional o función.
Nosotros trabajaremos con funciones cuyo dominio y recorrido (algo así como el
conjunto de números del cual se parte y al cual se llega, respectivamente) son conjuntos
de números reales.
Podemos definir la función de la siguiente forma:
f: / x : f(x) = expresión de x.
(la frase arriba se lee “ f es una función real de variable real en la cual a cada x
correspondiente a los reales, le corresponde un valor dado por una “expresión de x” .
Como ejemplo (más simplificado) podemos asignar el siguiente:
f(x) = x.
donde a cada y (representado por f(x) le corresponde el valor de x considerado. Esto es:
Discusión Teórica: Si se invierten los órdenes de los dos puntos...¿ se mantienen
la dirección y el sentido invariantes en el vector ?
1
2
11
1
2
11 Figura 13
Discusión (16): Concepto de vector.
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Lo cual nos lleva a la siguiente:
Función lineal:
f: x a.x + b; que se puede expresar como: f(x) = y = a.x + b. En esta función, el
valor del coeficiente b se corresponde con el punto donde la recta corta el eje de las
ordenadas, mientras que la pendiente de la curva se corresponde con el valor de a.
Como ejemplo, se muestra la figura 14, donde se indican los elementos
correspondientes a esta recta.
y = 4/3.x + 2
Discusión Teórica: ¿Cuáles de las siguientes gráficas corresponden a funciones?
¿Por qué?
1) 2) 3)
Ordenada = 2 Pendiente = 4/3
3
4
Figura 14
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Ejemplos de función lineal:
Número de recta Ordenada Pendiente Expresión de la recta
1 2 -1 y = -1x + 2
2 -2 2/4 y = 2/4.x - 2
3 -3 0 y = - 3
Para despejar dudas y afirmar conceptos realizaremos una:
Función valor absoluto:
Esta función está definida por los siguientes valores:
f(x) = y = x donde el módulo representa el valor positivo de cualquier x perteneciente
a los reales.
Ejemplos del concepto de módulo de un número. El módulo está relacionado con la
distancia de ese número al origen, por lo tanto, el valor es siempre positivo.
Figura 15
Recta 1
Recta 2
Recta 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Discusión (17): Concepto de Función y Función lineal.
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La distancia entre el valor –4 y el O es 4 , así como la distancia entre el valor 4 y 0 es 4,
entonces la distancia de cualquier número al origen se define como el módulo. Por lo
tanto, la función módulo de x se define como:
f(x) = x, donde cada x tiene su valor respectivo de módulo, el cual está caracterizado
por su valor positivo. Como ejemplo, se puede ver esta función en la Figura 15.
Función cuadrática: (Parábola).
f: x ax2 + bx + c para a 0. (consideremos que a todos los coeficientes pertenecen
al conjunto numérico de los reales).
¿Cómo sería la gráfica de esta función?
De acuerdo a los signos y a los valores de los coeficientes (a, b y c) podemos deducir
cómo es la gráfica de la ecuación que define la función cuadrática.
Figura 16
y = x
Discusión Teórica: De acuerdo a la función valor absoluto de x: ¿ Cuáles son los
valores de esta función para x = -3 y para x = 3 ?
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Coeficiente* Relación con Signo
a Amplitud y dirección de las
“ramas”
+ (ramas “arriba”)
- (ramas “abajo”)
b Posición en el eje de abcisas + y – (desplazamiento en x)
c Posición en el eje de ordenadas + y – (lugar donde corta a “y”)
* (siempre con el coeficiente a positivo y el signo de y positivo).
Se muestran algunos ejemplos a continuación:
y = 2 x2 – 1 (se indica en la Figura 16 como parábola 1)
y = - 2 x2 + 1 (se indica en la Figura 16 como parábola 2)
Funciones del tipo polinomio
Hasta ahora hemos visto dos tipos de funciones polinómicas: la función lineal, donde el
polinomio es de primer grado (la mayor potencia que tiene la función) y la función
cuadrática, donde el polinomio es de segundo grado (donde la mayor potencia que tiene
Parábola 1
Parábola 2
Figura 17
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la ecuación es al cuadrado). Existen también otros tipos de funciones donde la relación
funcional tiene mayores órdenes de reacción. Este tipo de relación funcional está
definido por la siguiente expresión:
f: x anxn +a n-1x
n-1+.....+ a0
donde los coeficientes an, a n-1, a n-2 …, a0 son números reales y la variable “x” está
elevada a distintos valores naturales (n, n-1, n-2, etc.)
Para despejar dudas y discutir conceptos vamos a realizar una:
Además de las funciones discutidas previamente, existe otros muchos tipos de funciones
que pueden ser no muy conocidas. Estas son las funciones logaritmicas y exponenciales.
FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
La gráfica correspondiente a la función logaritmo neperiano se muestra en la figura 18.
Debemos notar que, a diferencia de las funciones que analizáramos previamente, esta
función no está definida para valores reales de X iguales o menores que 0. (no es
posible, por ejemplo, obtener el valor de “y” para x=-0.6. En la misma figura, se
muestra la función de logaritmo decimal. Al igual que en el caso anterior, la función no
está definida para valores de “X” menores o iguales a 0.
Discusión (18): Función Cuadrática y Concepto de función polinómica.
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Entre otras funciones útiles para distintas aplicaciones de la Educación Física es la
funcion exponencial, cuya gráfica se muestra en la Figura 19.
A diferencia del tipo de función anterior, esta función está definida para valores
negativos de X sin embargo no da como resultados valores negativos de y, es decir no
hay ningún valor de “x” en base e que nos de algún “y” con signo negativo. De la
gráfica de la Figura 19 es posible observar que a medida que el valor de “x” tiende a ser
más y más negativo (que va hacia la izquierda) el valor de la función tiende a ser cero.
Para clarificar el tema, haremos una:
Discusión (19): Función Exponencial y logaritmica.
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MÓDULO 3.
RESUMEN DEL MÓDULO:
En este módulo discutiremos los siguientes conceptos: Sistemas de ecuaciones lineales
2 x 2. Concepto de velocidad y aceleración. Relaciones trigonométricas (seno , coseno,
tangente) en un triángulo rectángulo. Determinación de una de las incógnitas teniendo a
las demás como dato. Además veremos:
Primera Ley de Newton. Segunda Ley de Newton. Concepto de Fuerza. Tercera Ley de
Newton. Descomposición de una fuerza en sus componentes. Análisis dimensional para
relacionarlas. Momento de una fuerza. Como hiciéramos en los dos módulos anteriores,
realizaremos discusiones sobre cada tema en el cuadernillo correspondiente.
APORTE TEÓRICO
Sistemas de Ecuaciones Lineales 2 x 2.
Antes de discutir el tema: trataremos de ponernos de acuerdo sobre qué se discute a
través de la discusión de los siguientes casos:
CASO 1:
En la hoja de actividades y en la figura 18, usted tiene a su disposición un mapa de la
zona “Laguna Oscura-Paso de las Nieves. Los lugares de interés están señalados por
puntos. El mapa presenta un cuadriculado, para facilitarle la tarea.
Suponga que tiene dos grupos de excursionistas:
El primer grupo debe recorrer la senda que tiene la siguiente expresión: 2x + 2y = 4
Si se marca la senda se podrá observar que “recorrido” puede llegar a hacer este grupo.
Para este fin, utilizando la hoja de actividades y como ejemplo la Figura 20, puede
determinar en el mapa cuáles de los siguientes puntos visita este grupo:
Montaña gris (5,3)
Valle perdido (-2,4)
Refugio negro (1,3)
Río Azul (2,0)
y
x
2x + 2y = 4 Figura 20
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Acá podemos detenernos, mirar la ecuación de la senda y realizar una:
Ahora tenemos un segundo grupo de excursionistas (GRUPO 2), cuya senda tiene la
siguiente ecuación: x – y = 2.
Nuevamente, marcando la senda en el mapa que se muestra en la Figura 21, podemos
ver el “recorrido” que hace este grupo. Utilizando la hoja de actividades, responder:
¿Cuáles de los siguientes puntos visita este segundo grupo?
Montaña gris (5,3)
Valle perdido (-2,4)
Refugio Negro (1,3)
Río Azul (2,0)
Este es un buen momento para detenernos y llevar a cabo una:
CASO 2
Suponiendo que el GRUPO 1 tiene el mismo recorrido que el caso anterior, pero en
cambio el GRUPO 2 camina por una senda cuyo recorrido tiene la siguiente expresión:
2x + 2y =8. Ambas ecuaciones se muestran en la Figura 22.
¿Cuáles de los siguientes puntos visita el grupo 2?
DISCUSIÓN TEÓRICA:
¿Le es familiar este tipo de ecuación?
¿Qué representa esta ecuación en el plano de las variables x e y ?
¿A qué potencia están elevadas las variables x e y ?
DISCUSIÓN TEÓRICA:
¿Con cuántas rectas trabajó en este caso?
¿Existe uno o más puntos donde ambos grupos pueden encontrarse?
Si existe, indicar cuál es:
x
2x + 2y = 4
x - y = 2
y
Figura 21
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32
Montaña gris (5,3)
Valle perdido (-2,4)
Refugio Negro (1,3)
Río Azul (2,0)
Aprovechando que los excursionistas se han tomado 5 minutos de descanso,
aprovecharemos para realizar una:
CASO 3
Suponiendo que el GRUPO 1 tiene un recorrido cuya expresión es igual a los casos 1 y
2, pero en cambio el GRUPO 2 tiene una senda cuyo recorrido tiene la siguiente
expresión: x + y = 2, las cuales se muestran en la Figura 23
Indicar cuáles de los siguientes lugares visita el grupo 2.
Montaña gris (5,3)
Valle perdido (-2,4)
Refugio Negro (1,3)
Río Azul (2,0)
DISCUSIÓN TEÓRICA:
¿Existe un punto donde ambos grupos pueden encontrarse?
¿Con cuántas ecuaciones que representan una recta y con cuántas variables se
trabajó en este caso?
¿Qué relación tienen entre sí las rectas que representan a cada recorrido en este
caso?
x
2x + 2y = 4
2x + 2y = 8
y
Figura 22
x1
2x + 2 y = 4
x + y = 2
Figura 23
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33
Ha llegado entonces, el momento de una nueva:
3- PUESTA EN COMÚN DE LOS CASOS Y DISCUSIÓN: (Resolución Gráfica y
Numérica)
CASO 1:
Senda que recorre el grupo 1 2x + 2y = 4 (toca Valle perdido y Río azul)
Senda que recorre el grupo 2 x - y = 2 (toca Río Azul y Montaña Gris)
En este caso ambas ecuaciones representan rectas, ambas variables están elevadas a la
primea potencia. Existen 2 variables. La intersección de cada recta se produce en un
punto (Río Azul).
Este sistema puede ser resuelto en forma numérica despejando la misma variable de
cada ecuación:
I) y = 2 - x
II) y = x - 2
Igualando I y II y despejando x1 de la expresión resultante, obtenemos el valor de esta
última:
x = 2
Reemplazando este valor en I o en II podemos obtener x. x = 0
Este punto, (2,0) es común a ambas rectas y es el punto intersección. En el mapa este
punto es Río Azul.
CASO 2:
Senda que recorre el grupo 1 2x + 2y = 4 (toca Valle perdido y Río azul)
Senda que recorre el grupo 2 2x + 2y = 8 (toca Refugio Negro)
En este caso se trabajó con dos ecuaciones y con dos variables. No existen puntos donde
ambos puedan encontrarse, son rectas paralelas.
En este caso, por un procedimiento análogo al anterior, la resolución numérica nos
muestra que:
DISCUSIÓN TEÓRICA: ¿Existe algún punto en el diagrama en el cuál ambos grupos coincidan?
¿Con cuántas ecuaciones y cuantas variables se trabajó en este caso?
¿Qué relación tienen entre sí, las rectas que representan el recorrido de cada
grupo?
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34
I) y = 2 - x
II) y = 4 - x
No existe ningún valor de y , que verifique simultáneamente ambas ecuaciones, lo que
puede observarse en el gráfico del caso 2 donde las rectas descriptas por ambas
ecuaciones son paralelas.
CASO 3
Senda que recorre el grupo 1 2x + 2y = 4 (toca Valle perdido y Río azul)
Senda que recorre el grupo 2 x + y = 2 (toca Valle perdido y Río azul)
Ambas rectas coinciden por lo cual tienen infinitos puntos en común, se trabajó con dos
variables y 2 ecuaciones.
Si en este caso realizamos un tratamiento igual al anterior, podemos observar que:
I) y = 2 - x
II) y = 2 - x
Cualquier valor elegido para x verifica ambas ecuaciones, ya que describen la misma
recta.
APORTE TEÓRICO
Aunque no me extenderé mucho ni agotaré aquí el tema de sistemas lineales, debo decir,
para información propia y de todos ustedes, que los sistemas lineales poseen una
estrecha relación con las transformaciones lineales, sin embargo, su tratamiento
riguroso exige formalismos más allá del alcance de este curso. Una explicación más
detallada que involucra el formalismo de definir sistemas de ecuaciones lineales sobre la
base de su estrecha relación con las transformaciones lineales y un detallado análisis de
los espacios de soluciones de sistemas homogéneos puede hallarse en la bibliografía.
Entonces, en este sencillo esquema de aprendizaje definiremos que una ecuación lineal
es de primer grado, si sólo se incluyen las potencias de primer orden de las variables.
(las potencias superiores no están presentes) y que el proceso de obtención de los
valores de las incógnitas se llama resolución de la ecuación.
Un sistema de ecuaciones lineales puede tener n ecuaciones y m incógnitas, de forma
general lo podemos presentar como:
a11 x1 + a12 x2 + .... a1m xm = b1
. .
. .
. .
an1x1 + ................+ anm.xm. = bn
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donde los anm, representan los coeficientes que acompañan a las m incógnitas y los bm
son los términos independientes de cada una de las n ecuaciones.
El alcance de este curso, se cierra para sistemas de ecuaciones lineales 2 X 2, es decir,
de 2 ecuaciones y 2 incógnitas, lo que nos conduce a trabajar con sistemas del tipo:
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
Y nuestro interés en los mismos reside, en que muchos sistemas físicos y químicos
involucran el tratamiento de dos ecuaciones cuyas incógnitas (a resolver) son comunes a
ambas ecuaciones. Para cerrar el tema, haremos una:
Concepto de velocidad:
Supongamos que tenemos la siguiente función, que se muestra en la Figura 24. En el eje
de ordenadas representamos distancia y en el eje de las abcisas tiempo.
En la gráfica, se representa el tiempo recorrido por un grupo de excursionistas en
función de la distancia. Conociendo ya , por haberlo discutido en clase, podemos
elaborar la siguiente:
Discusión (20) : Sistemas de Ecuaciones Lineales 2 x 2.
longitud, km
Tiempo (h).
Figura 24
Discusión Teórica: ¿Es una función, la representación de la figura 24?
¿Qué coordenadas tiene el punto de partida? ¿Cuál es el punto más
alto?
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A partir de los datos del gráfico, podemos calcular la velocidad con la que se realizó
esta caminata.
El primer tramo se realizó entre los puntos (0,3) y (3,7). Podemos calcular el tiempo
recorrido como una resta en el eje de las abcisas: (3h –0h) = 3h. También podemos
calcular la distancia que se recorrió en el tiempo, como una resta en el eje de las
ordenadas: (7 km –3 km) 4 km. Conociendo que la velocidad es una magnitud derivada
y que se deriva del cociente de la longitud y el tiempo, podemos calcular la velocidad
con la que se realizó este primer tramo:
(y2 – y1)/(x2 – x1) = (7 km – 3 km)/(3 h – 0 h)= 4/3 km/h.
Con esta velocidad, se recorrió el tramo 1. Calculamos para los otros dos tramos:
Tramo Punto de
origen del
tramo
Punto
final del
tramo
Tiempo de
recorrido (eje x)
Longitud
Recorrida (eje y)
Velocidad:
1 (0 ,3) (3,7) 3h –0h = 3 h 7 km –3 km = 4 km (4/3) km/h
2 (3,7) (6,5) 6h –3h= 3 h 5 km –7 km= -2km (-2/3) km/h
3 (6,5) (13,5) 13h-6h= 7h 5 km – 5 km = 0 km 0 km/h
Para analizar la situación haremos la siguiente:
Podemos notar que cada tramo tiene un significado diferente:
El primer tramo implica que se recorre el terreno con una velocidad constante de 4/3
km/h. En el segundo tramo, lo que se observa es que si la velocidad es constante pero
negativa, las personas van en sentido contrario a la de la subida y en el tercer tramo, lo
que se observa es que las personas se detuvieron.
Concepto de aceleración:
Durante los 2 módulos anteriores discutimos diversos aspectos de la velocidad, vimos
que era una magnitud vectorial, analizamos sus unidades y sus cantidades. También
discutimos que la velocidad era una magnitud derivada de otras dos magnitudes
fundamentales: la longitud y el tiempo. Analizaremos ahora una magnitud derivada de
las magnitudes velocidad y tiempo: la aceleración.
Para ello utilizaremos el gráfico de la Figura 25.
En la gráfica se muestra una función (¿es cierto que esta gráfica define una función?).
En la gráfica se muestra la velocidad de un caminante en función del tiempo.
Consideremos lo que sucede en los diversos tramos que se muestran en la Figura 25.
Debemos prestar atención a las magnitudes que se grafican en cada uno de los ejes. En
Discusión Teórica: ¿Cuál es el significado de los números en cada tramo? ¿Es
la velocidad un vector? ¿Qué tipo de magnitud es (derivada, fundamental,
escalar, vectorial ) ?
Discusión (21) : Concepto de velocidad.
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el eje de las abcisas se grafica el tiempo. En el eje de las ordenadas se grafica la
magnitud velocidad.
Calculemos para cada uno de estos tramos, la magnitud aceleración.
Tramo Punto de
origen del
tramo
Punto
final del
tramo
Tiempo velocidad (m/s) Aceleración:
1 (0 ,4) (3,7) 3s –0s = 3s 7 m/s – 4 m/s = 3 m/s 3 /3 (m/s2)
2 (3,7) (7,7) 7s –3s= 4s 7 m/s – 7 m/s = 0 m/s 0 (m/s2)
3 (7,7) (13,0) 13s-7s= 6s 0 m/s – 7 m/s = -7 m/s (-7/6) (m/s2)
Cada uno de los tramos en esta gráfica, también tiene su significado. En el primer
tramo, la aceleración es constante (es decir que el caminante aumenta su velocidad a
cada intervalo de tiempo), mientras que en el segundo la aceleración es cero o lo que es
lo mismo, la velocidad es constante. Mientras que en el último tramo, la aceleración
tiene signo negativo, o lo que es lo mismo, el caminante va “frenando” o disminuyendo
su velocidad conforme el tiempo transcurre.
Podemos indicar entonces que la aceleración es una magnitud. Como necesitamos los
datos de cantidad, unidad, dirección y sentido para definirla, la aceleración es una
magnitud vectorial.
Para repensar conceptos y re-discutir ideas, podemos realizar la siguiente:
Aplicaciones de las relaciones trigonométricas en la Educación Física
Velocidad
(m/s)
tiempo (s)
Discusión (22) : Concepto de aceleración.
Figura 25
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Supongamos que tenemos el siguiente mapa de refugios del parque nacional “Lago
Helado” que se muestra en la Figura 26.
Considerando que los refugios de Villa Helada, Costa Linda y Lado Sur definen un
triángulo rectángulo. Si sabemos que la cuadrícula está formada por cuadrados de 2 km
de lado. ¿Cómo podríamos saber la distancia que existe entre el refugio Lado Sur y el
refugio Villa Helada?.
Para ello deberíamos conocer algunas relaciones que se dan en un triángulo rectángulo.
Fijémonos en el triángulo abc, definido por los vértices a, b y c de la Figura 27. Este
triángulo tiene un ángulo llamado “angulo ”. El lado definido por el segmento a-b se
llama cateto adyacente. El lado definido por el segmento a-c se llama hipotenusa. El
lado definido por el segmento b-c se llama cateto opuesto. Es posible (no lo
demostraremos aquí), definir las siguientes relaciones:
senb c
a( )
c, cos
a
a( )
b
c, tg
b c
a b( )
.
Es también posible definir (no lo demostraremos aquí), que :
seg(a c) (seg (a ) + (seg(b c)) 22
b) . Esta relación, establecida por Pitágoras y que
se conoce como teorema de Pitágoras, es muy útil para calcular uno de los lados
teniendo como datos los otros dos. Junto a las relaciones previamente establecidas,
Villa Helada
Lado Sur
Costa Linda
Brazo Norte
Zona de reserva
natural estricta
Figura 26 Parque Nacional
“Lago Helado”
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hace posible resolver muchos problemas que se pueden presentar en el campo de la
Educación Física.
A partir de estas relaciones, es posible estimar la distancia buscada. En el caso
analizado, sabemos que
Lado Costa Sur-Villa Linda = lado ab = 2 km.
Lado Costa Linda-Villa Helada = lado bc = 2 km.
Para calcular el lado restante utilizamos las relación de pitágoras.
Lado Sur - Villa Helada (Lado Sur -Costa Linda) + (Villa Helada -Costa Linda)22
Lado Sur - Villa Helada (2 km) + (2 km)22
Lado Sur - Villa Helada 8km
Para clarificar los conceptos, haremos una:
Discusión (23) : Aplicaciones de las relaciones trigonométricas en Educación
Física.
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El movimiento y la Primera Ley de Newton:
Todos alguna vez hemos viajado en un colectivo (el 70 por ejemplo), y notamos que
cuando el colectivo frena, nuestro cuerpo tiende a “seguir de largo”. O cuando estamos
en estado de reposo (mirando la tele, por ejemplo), nos cuesta “abandonar” ese estado
para “movernos”. Esa tendencia natural a permanecer en ese estado “previo”, se
denomina INERCIA (que en pocas palabras significa “tiende a no reaccionar o a
mantener el estado anterior”).
Newton fue uno de los primeros en establecer este principio, el que denominamos
Primera Ley de Newton.
La masa y la segunda Ley de Newton:
Supongamos que tenemos dos esferas en reposo de masa m1, y de masa m2 donde m1
y m2 es la masa de cada esfera en kg (¿es la masa una magnitud?).
Ambas esferas se indican en la Figura 28. Si a cada esfera se la empuja con una fuerza
F, igual en ambos casos, las esferas sufrirán un “cambio en la velocidad” ( pasarán del
estado de reposo al estado de movimiento) o lo que es lo mismo se acelerarán. Cada
esfera sufrirá una “aceleración” proporcional a la fuerza aplicada. Esta proporcionalidad
está dada por la masa de cada esfera.
Entonces, este cambio puede ser definido de la siguiente manera.
“Todo cuerpo permanece en estado de reposo o de se mueve en línea recta (en un
movimiento rectilíneo y uniforme), a menos que sobre él actúe una fuerza que lo
obligue a cambiar de estado”
Discusión Teórica: ¿Conoce ejemplos de esta ley?
m1
m2
F
F
m1
m2
Figura 28
F = m.a
Produce una
aceleración
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O lo que es lo mismo, la Fuerza es directamente proporcional a la aceleración. La
constante de proporcionalidad se denomina masa.
La Tercera Ley de Newton o el principio de acción y reacción:
Esta ley puede enunciarse de la siguiente manera: cuando un cuerpo ejerce una fuerza
sobre otro, éste ejerce una fuerza sobre el primero igual y contraria.
Para ejemplificarla, miremos la Figura 29. En esta figura, se muestra una esfera de masa
m1, cuyo peso ejerce una fuerza sobre el piso, igual y contraria que la que el piso ejerce
sobre el cuerpo.
Composición de Fuerzas utilizando un método gráfico:
Supongamos que sobre el cuerpo 1, actúan las fuerzas F1 y F2. (Figura 30). La fuerza
resultante que actúa sobre el cuerpo es la “suma” de ambas fuerzas. Esta “suma” puede
hacerse gráficamente de la siguiente manera:
Por cada extremo de los vectores que definen las fuerzas 1 y 2, se hacen pasar rectas
paralelas (en línea de puntos) a la otra fuerza (Figura 31). La fuerza resultante del
proceso, es aquella indicada por trazos gruesos.
Discusión Teórica: Si la fuerza es una magnitud vectorial...y la aceleración es
una magnitud vectorial...Cuando se ejerce una fuerza, la aceleración se
produce en el mismo sentido y dirección o en sentido y dirección distintos?
m1
piso
Figura 29
Cuerpo 1
F2
F1 Figura 30
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Análisis Dimensional:
Como hemos visto, (repetidamente) durante estos tres módulos, cada magnitud tiene
asociada una cantidad y unidad (si es una magnitud escalar) o tiene asociados una
cantidad, unidad , dirección y sentido (si es una magnitud vectorial). Una manera de
darse cuenta de que magnitud y de qué unidades estamos hablando es a través del
análisis dimensional. Esto es: miramos las unidades para decidir que magnitud tenemos.
Ejemplo:
La velocidad es igual al cociente entre la longitud y el tiempo. Entonces las unidades de
velocidad estarán dadas en unidades de longitud divididas las unidades de tiempo.
Velocidad = , unidades
Fuerza = masa. aeleración , unidades kg. (N)
Para discutir ideas, clarificar conceptos y resolver dudas, vamos a hacer una:
Otras aplicaciones de Trigonometría en Educación Física (Composición de
Fuerzas).
Los conceptos de trigonometría aprendidos en la sección anterior, pueden ser utilizados
para el cálculo de Fuerzas. Para ello, vamos a descomponer una fuerza situada en un
plano de coordenadas (X,Y). De acuerdo a la Figura 32, la Fuerza F1 forma un ángulo
con el eje X. Si en lugar de “componer” la fuerza, la “descomponemos” en dos Fuerzas,
Cuerpo 1
F2
F1
Figura 31
Fuerza
resultante
longitud
tiempo
m
s
m
s2
Discusión (24): Leyes de Newton
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una sobre el eje “X” y otra sobre el eje “Y”, nos quedan dos fuerzas Fx (sobre el eje x) y
Fy (sobre el eje y).
Si conocemos el valor de F1, es posible conocer los valores de Fy y de Fx, información
que puede ser útil cuando, por ejemplo, se está evaluando la Fuerza que hace un pesista
cuando entrena.
Supongamos que hay que la Fuerza F1 tiene un valor de 6 N. Y forma un ángulo de 30º
con el eje x. ¿Qué valor tendrán las Fuerzas Fx y Fy?.
Sabiendo, de las secciones anteriores, que:
senoF
F
y( º )30
1
entonces reordenando nos queda: y 1F F N N . ( º ) . .seno 30 6 05 3
Para conocer el valor de Fx, realizamos un cálculo parecido:
cosenoF
F
x( º )30
1
, reordenando nos queda: x 1F F coseno N N . ( º ) . . .30 6 086 516
Este mismo procedimiento podemos repetirlo cuando hay más de una fuerza presente.
Para verificar los conocimientos haremos una:
Conceptos útiles para Educación Física: EL MOMENTO DE UNA FUERZA.
Aunque algunos conceptos podrían resultar complejos o incluso aburridos, presentan
inherentes ventajas para comprender como se relacionan determinados hechos bio-
mecánicos (a la hora de realizar destrezas acrobáticas) en la Educación Física. Uno de
ellos es el concepto de Momento de una Fuerza. En este curso, veremos una aplicación
muy simple que se aplica a cuerpos rígidos.
Para ello observemos la Figura 33. En la misma, se muestra un cuerpo de formas
redondeadas que puede girar alrededor de un eje (que se muestra en la figura). Si
aplicásemos dos fuerzas distintas F1 y F2, el efecto que producirían sobre el cuerpo es
también distinto. Si superpusiéramos un plano de coordenadas cartesiano, la Fuerza F1
Eje X, (N)
Eje Y, (N)
F1
Fx
Fy
Figura 32
Discusión (25): “Otras aplicaciones de trigonometría en Educación Física
(Composición de Fuerzas)”
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haría girar el cuerpo en dirección horaria y la Fuerza F2 haría girar el cuerpo en la
dirección contraria. Entonces el efecto producido por una Fuerza sobre un cuerpo dado
depende de la posición de la línea de acción de la Fuerza. La menor distancia entre este
punto de referencia y la línea de acción de la fuerza se denomina brazo de la Fuerza. En
el caso del eje de la Figura 33, el brazo de la Fuerza F1 queda determinado por la
distancia al punto de aplicación (el eje) y el punto más cercano de la línea de acción de
la fuerza. Los símbolos l1 y l2 representan los brazos de las fuerzas l1 y l2 y las líneas
punteadas las líneas de acción de las Fuerzas F1 y F2.
Entonces el momento de la Fuerza es el producto de la Fuerza por su brazo.
M1=F1.l1 (J)
Este producto no es un producto común (como el producto entre nos cantidades
escalares ) sino que da como resultado un vector. Por lo tanto para especificarlo hace
falta establecer su cantidad, su dirección, su sentido y su unidad. Como es un producto
entre una Fuerza (N) y una distancia (m ) su unidad es el Joule (J). El vector resultante
es perpendicular al plano definido por el vector Fuerza (F1) y el vector longitud (l1). Por
lo tanto, en el caso sencillo planteado aquí, el vector momento tiene la dirección del eje
(es perpendicular a la hoja ) y si se superpone un sistema de coordenadas cartesianas, el
producto resultante resulta ser negativo. Como resultado, el cuerpo gira en sentido
“horario”. Si el vector resulta positivo, el cuerpo gira en sentido “antihorario”.
Como viéramos en las páginas anteriores, si superponemos un plano de ejes
coordenados, es posible descomponer las Fuerzas F1 y F2 y cualquier otra Fuerza, en
tres componentes, un componente paralelo al eje X, un componente paralelo al eje Y y
otro componente paralelo al eje Z. En esas condiciones si sumamos los componentes en
x y en y de cada fuerza, podemos determinar si el cuerpo se halla en equilibrio o no. Si
la suma de las fuerzas en cada eje es igual a cero, entonces el cuerpo no se acelera en
ningún sentido.
Para que el cuerpo esté en equilibrio, deben cumplirse dos condiciones:
F1x + F2x +....+ F3x = 0 (componentes de fuerzas paralelas al eje X)
Condición 1 F1y + F2y +.....+ F3y = 0 (componentes de fuerzas paralelas al eje Y)
F1y + F2y +.....+ F3y = 0 (componentes de fuerzas paralelas al eje Z)
Si a su vez, la suma de momentos respecto de cada eje es
Condición 2 M1 + M2 + M3 = 0 (respecto de cada eje)
En otras palabras, para que el cuerpo esté en equilibrio, la suma de los momentos
(respecto de cualquier eje) y la suma de fuerzas deben ser todos igual a 0.
Para facilitar la discusión del tema, haremos un ejemplo.
F1
Eje
F1
F2
Eje
F2
l1
l2
Figura 33
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Supongamos que dos equilibristas (nuestro personaje y un compañero) se están
colgando de los extremos de una barra rígida que se apoya en un punto O como se
indica en la Figura 34. Conociendo la Fuerza que ejercen estos equilibristas, que se
muestran en la misma Figura y las distancias l1 (desde el extremo izquierdo hasta el
pivote) y l2 (desde el extremo derecho hasta el pivote) , calcular la resultante sobre el
pivote 0 para que la barra esté en equilibrio.
Entonces, como el cuerpo está en equilibrio:
Sumamos las fuerzas (en el eje Y) y las igualamos a cero:
F3-F1-F2=0 , entonces F3-2N-4N = 0 , F3=6N.
Sumamos los momentos y los igualamos a cero:
M(0) = F1.l1 – F2.l2 M(o) = 4N.2m – 2.N.4m= 0 J
Vemos que para que la barra esté en equilibrio, la F3 debe ser igual a 6N y con los
valores de las otras fuerzas, el momento total es cero.
Veamos un caso más complicado donde existen fuerzas en los tres ejes (tenemos fuerzas
también en los ejes X y Z. (Figuras 35.a y 35. b). En la figura 35.a se muestra la
disposición de los ejes ordenados x e y con un eje perpendicular z.
F2= 2 N
O
F1= 4 N F2= 2 N
F1= 4 N
0
F3
l2= 4m l1= 2m
Figura 34
Eje X
Eje Y
Eje Z Figura 35.a
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En la Figura 35.b se muestra un cuerpo, similar al de la figura 34, pero sometido a
fuerzas en los tres ejes. Vamos a analizar si este sistema está en equilibrio o no, si gira o
se mueve a lo largo de una dirección y sentido.
Lo primero que haremos es determinar si la sumatoria (la suma de ) las fuerzas a lo
largo de los ejes es igual a cero.
Suma de fuerzas a lo largo del eje X: F5 – F4 = 0.; 3 N – 4 N = -1 N. Como es distinto
de cero no están en equilibrio. El cuerpo se desplaza hacia la izquierda a lo largo del eje
X.
Suma de fuerzas a lo largo del eje Y: F3 – F1 – F2 = 0; 4N – 4N – 2N = -2 N. Esta suma
es distinta de cero, no están en equilibrio en este eje. El cuerpo se desplaza hacia abajo a
lo largo del eje Y.
Suma de fuerzas a lo largo del eje Z: F6-F7 = 0; 4 N – 4 N = 0 N . Esta suma de fuerzas
es igual a cero. Están equilibradas. El cuerpo no se mueve hacia delante o atrás.
Ahora (aunque sabemos que el cuerpo no está en equilibrio), debemos determinar si
gira. Sumamos los momentos respecto del eje 0.
M(0) = F1.l1 – F2.l2 M(o) = 4N.2m – 2.N.4m= 0 J. Como la sumatoria de momentos
es igual a cero, este cuerpo no gira.
Discutiremos aspectos de este tema en:
MÓDULO 4.
Discusión (26): “Momento en Educación Física”
F2= 2 N F1= 4 N
0
F3= 4 N
l2= 4m
l1= 2m
Figura 35.b
F4= 4 N
F5= 3 N
F6 4 N
F7 =4 N
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MODULO 4.
RESUMEN DEL MÓDULO:
En este módulo discutiremos los siguientes temas: Conceptos sencillos de los distintos
estados de la materia: estados líquido, sólido y gas. Concepto de Fase. Soluto y
solvente. Mezclas y Soluciones. Unidades de concentración. Reacciones químicas y
estequiometría. Concepto de Energía.
APORTE TEÓRICO
Luego de una caminata de 2 meses y un recorrido por tres módulos, llegamos al cuarto y
último de ellos. De alguna manera, es como si llegáramos a una última etapa (que
podría ser un refugio). Si miramos alrededor de nuestro refugio, que está ubicado en las
cercanías de una laguna, podemos ver rocas, aire, el agua de la laguna, los cuales
representan los distintos estados físicos de la materia...
Los estados de la materia
El estado sólido:
Podemos tomar una roca, e intentar comprimirla con las manos, apretándola como si
quisiéramos exprimir un limón. ¿Podemos disminuir el volumen de esta roca
apretándola una y otra vez? No, los sólidos tienen, dentro de ciertos límites, forma
propia, lo cual les da también volumen propio. Esta última afirmación la podemos
verificar si colocamos agua en un vaso (de la laguna, ya que estamos descansando en la
orilla), medimos el nivel de agua al que llega y luego colocamos una roca. Vamos a ver
que el nivel del agua aumenta. Esto ocurre porque la roca, “desplaza” el agua y por lo
tanto, produce un aumento de volumen en el vaso. En el estado sólido, las moléculas o
átomos forman enlaces (algo que los une) lo suficientemente fuertes como para
mantenerlos unidos sin que se deformen cuando los comprimen o estiran. Es por eso,
que en general, los sólidos son incompresibles. El estado sólido puede presentarse en
forma ordenada o desordenada. En la Figura 36 se muestran ambos casos.
Moléculas o átomos
desordenados
Moléculas o átomos
ordenados
Figura 36.
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En el lado izquierdo de la Figura 36, se muestra una estructura ordenada y en el lado
derecho una estructura amorfa, que significa sin forma, (por ejemplo: el vidrio).
El estado líquido:
Hablando del agua de la laguna (a temperatura ambiente del orden de 25 ºC), podemos
notar que presenta un estado que difiere de aquél de una roca. Si inclinamos el vaso que
teníamos el agua fluye, y no importa cuál es la forma de nuestro vaso o recipiente (o la
forma que tiene la laguna), el agua se adapta a esa forma. Este estado que estamos
describiendo es el estado líquido. Los líquidos, como ya describimos, poseen la
capacidad de fluir y no conservan la forma. En la figura 37 se puede ver el esquema del
“estado líquido”. A diferencia del estado sólido, las moléculas del líquido se hallan
“más sueltas” por lo que pueden moverse con mayor libertad, lo que le permite fluir. Al
igual que el estado sólido, los líquidos son generalmente incompresibles.
El estado gaseoso:
Mientras discurríamos sobre las propiedades del estado líquido, almorzamos nuestra
vianda, pero no nos cayó muy bien, razón por la cual tomamos una sal digestiva, la
echamos al vaso y (oh!, casualidad) teníamos un globo a mano para atrapar el gas
producido. Atrapado y encerrado en el globo, notamos que el gas adquiere la forma que
le demos al globo y también que si apretamos el globo, el gas se comprime. Estas son
características del estado gaseoso: no presenta forma o volumen propio, adaptándose a
la forma y volumen del recipiente que los contiene. Son fácilmente compresibles y esto
es porque los gases se presentan como moléculas o átomos en continuo estado de
agitación, chocan entre sí y con las paredes del recipiente que los contiene,
constantemente. Esto es debido a que las fuerzas de atracción entre moléculas son muy
débiles. En la figura 38 se puede observar un esquema de un gas con sus moléculas en
continuo estado de agitación.
Como no podía ser de otra forma, vamos a discutir ideas y re-pensar conceptos en:
Figura 37. El estado
líquido.
Figura 38 El estado gaseoso.
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49
Habiendo discurrido sobre los estados de la materia, también podemos interiorizarnos
sobre las propiedades de la misma. Volviendo a nuestro sistema, consistente en un vaso
con agua conteniendo una roca (que se muestra en la Figura 41), podemos
interiorizarnos sobre el concepto de fase y mezcla.
FASE , MEZCLA Y SOLUCIÓN
Podemos notar que a simple vista, que el sistema no es homogéneo. La roca tiene sus
propiedades y el agua las suyas, incluso se nota claramente una superficie que las
separa. Este tipo de sistemas se denomina heterogéneo y cada una de las partes
homogéneas se denomina FASE. El sistema compuesto por ambas, en el caso de ser
distinguible, se denomina MEZCLA..
Supongamos que ahora en lugar de tener una roca en el vaso con agua, echamos un
poco de sal común de mesa. Si mirásemos con una lupa o con un microscopio que
tuviera un aumento tan grande como el de un ultramicroscopio, no podríamos distinguir
la sal del agua en la cual se disuelve (Figura 42).
La sal disuelta en el agua forma una mezcla homogénea o SOLUCIÓN.
Pero... ¿Cuál es la diferencia entre solución y mezcla?
La mezcla de dos sustancias puede formar un sistema homogéneo (cada parte del mismo
tiene las mismas propiedades) o un sistema heterogéneo (no todas las partes del mismo
poseen las mismas propiedades). Esto es, si tomamos una pequeña muestra del líquido
de la figura 40 y observamos alguna propiedad, como por ejemplo la densidad o el color
esta propiedad tiene que ser exactamente igual a la de otro punto en la misma muestra.
Si sus propiedades son diferentes (Figura 41), pues entonces es una mezcla y no una
solución. Cualquier solución está formada, por un componente que está en menor
Discusión (27): Estados de la Materia
FASE
(roca) FASE
(agua)
FIGURA 41
1 FASE (SOLUCIÓN) (agua + sal)
FIGURA 42
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cantidad y otro que lo está en mayor cantidad. El primero se denomina soluto. El
segundo solvente. En el caso de la sal disuelta en agua, el que está en menor cantidad es
la sal (soluto) y el que está en mayor cantidad es el agua (solvente). Un esquema gráfico
se muestra en la Figura 44.
SOLUTO, SOLVENTE Y CONCENTRACIÓN
Para clarificar el tema podemos intentar definir soluto y solvente de la siguiente manera:
El “ingrediente” en mayor “proporción” se llama solvente, el de menor “proporción” se
llama soluto. Entre ambos conforman lo que se denomina solución. La relación entre
las cantidades de soluto y solvente se expresa como concentración. Por razones
médicas o de rendimiento deportivo, es importante conocer la cantidad de soluto y la
cantidad de solvente que tiene una solución. Esta relación se denomina concentración.
Si miramos la figura 45, veremos que la “concentración” de la solución del lado
izquierdo no es igual a la del derecho. ¿Por qué?
Solución
Soluto Solvente
Figura 44
6 unidades
Soluto Solvente
10 unidades
Figura 45
4 unidades
Soluto Solvente
10 unidades
solución solución
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Hay muchísimas formas de expresar una concentración, y dependen, incluso por
razones de simplicidad, del estado de agregación (sólido, líquido o gas) del soluto y del
solvente.
Ejemplo 1.
Supongamos que necesitamos echar 10 mg de sal de mesa en 1 litro de agua. ¿Cuál sería
la forma más sencilla de expresar la concentración?
En este caso, si expresamos la concentración en mg /l “miligramos de sal/litro de
solución” tendríamos solucionado nuestro problema. Porque 10 gramos de sal disueltos
en 1 lt de agua casi no cambian el volumen de la solución, por lo que la concentración
de esta es factible de expresar en mg / l.
Ejemplo 2.
Ahora supongamos que necesitamos echar 10 ml de alcohol en 1 litro de agua ¿Cuál
sería la forma más sencilla de expresar la concentración?
En este caso, si expresamos la concentración en ml / l “mililitros de alcohol / litro de
solución” tendríamos solucionado nuestro problema. Aunque los volúmenes no son
exactamente aditivos “no se suman exactamente”, es más sencillo expresar la
concentración de esta manera.
Para fijar conceptos y re-pensar definiciones, vamos a realizar una:
Concepto de reacción química:
Aunque parezca extraño, en nuestro refugio se llevan a cabo diversas reacciones
químicas, la combustión de la leña, la digestión de los alimentos, la respiración... ¿pero
qué es una reacción química?.
Una reacción química implica el cambio de las sustancias que se hallaban
presentes en el sistema inicial para transformarse en otras distintas en el sistema
final. En nuestro cuerpo, muchas de esas reacciones químicas son ayudadas por la presencia
de enzimas.
Veremos como funciona una enzima (algunas de las cuales produce nuestro cuerpo) a
través de un experimento.
Para ello utilizaremos una enzima que se encuentra en la papa (que se llama catalasa) y
que puede favorecer diversas reacciones. Entre éstas, favorece la descomposición del
agua oxigenada en agua, de acuerdo al siguiente esquema:
Discusión (28): Mezclas , Soluciones y Concentración.
2H2O2 (líquida) 2H2O(líquida) + O2(gas)
Catalasa
(proveniente
de la papa)
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La presencia del oxígeno, la podemos observar a través de la formación de burbujas en
la mezcla formada por la papa y por el agua. Las enzimas favorecen la reacción pero no
actúan ni como reactivos ni como productos.
Al principio teníamos H2O2, luego de la reacción, tenemos H2O y también O2 . Esto
implica que hubo un cambio en el sistema.
Fijémonos que sucede con la masa total del mismo:
Lo que hicimos en el punto anterior es un balance de masa. La masa que había al
principio, tiene que estar al final . Colocarle coeficientes a cada una de las sustancias
presentes en el sistema de manera tal que la masa antes y después de la reacción
química sea la misma es lo que se conoce como estequiometría.
Conceptos Elementales sobre Energía
Aunque no la analizáramos en el punto anterior, la energía es una magnitud que puede
medirse, (o al menos observarse). Para ello, vamos a realizar una experiencia para
mostrar la “existencia” de energía cinética. Para ello vamos a colocar gotas de tinta en
dos vasos de precipitado a distintas temperaturas. Vamos a colocar unas gotas de tinta y
veremos que sucede.
Las moléculas de tinta al ser colocadas en el agua, intentarán separarse entre sí. Al estar
las moléculas de agua en agitación, moverán las moléculas de tinta a lo largo del
líquido. Lo que estamos observando es una “foto” del movimiento molecular y lo
podemos correlacionar con la temperatura que tiene el líquido.
2 H2O2
Antes Después
2 H2O
+
O2
Calculamos la masa total:
4 átomos de H = 4 g.
+
4 átomos de O = 64 g.
total = 68 g.
Calculamos la masa total:
4 átomos de H = 4 g.
+
2 átomos de O = 32 g.
+
2 átomos de O = 32 g
total = 68 g.
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Observamos que las moléculas de tinta “se agitan” en el líquido más caliente, lo que nos
dice que ese líquido tiene sus moléculas en mayor “movimiento” Este movimiento es
provocado por agitación térmica (las moléculas se mueven chocando entre sí, debido a
la temperatura del sistema) lo que nos da una indicación del contenido de Energía
Térmica del sistema. Lo que sucede, se muestra en la Figura 46
La agitación se produce en ambos líquidos (¡porque es un líquido!), pero el movimiento
de moléculas es mayor en el líquido caliente.
Concepto Teórico sencillo sobre la Energía
Cuando nos preguntan que significa “Energía” pensamos en alguien con mucha
capacidad de moverse, decimos: ¡FULANO tiene una Energía! Asociamos el concepto
de Energía constantemente con movimiento. Sin embargo hay cosas que no se mueven
que también “poseen Energía”. De por sí, la energía representa un potencial o capacidad
de hacer un trabajo...
¿Pero..que significa potencial o capacidad en este caso? La definición implica la
posibilidad que tiene determinado sistema de hacer un trabajo si se deja que “libere esa
energía”.
Al
momento
de echar la
tinta
Agua a menor
temperatura Agua a mayor
temperatura
Luego de
unos
minutos...
Figura 46 Agitación
Térmica de las moléculas de
Tinta en Agua
Energía: Representa la capacidad o
potencial de hacer un trabajo.
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Energía y Potencial.- Energía Cinética
Estos conceptos son usualmente confusos. Están relacionados entre sí, pero no siempre
representan las mismas cosas. Usaremos un par de ejemplos para mostrar las diferencias
entre ellos. Supongamos el siguiente caso, el que se muestra en la Figura 47.
En esta figura, este personaje ha dejado caer una pelota desde sus manos. ¿Porqué cae
esta pelota? ¿Por qué hacia abajo? ¿Por qué adquiere velocidad, si este personaje no la
arrojó, tan solo la dejó caer? Las palabras fuerza y energía se mezclan en este dibujo.
Vamos a tratar de clarificar el asunto.
La pelota cae por atracción gravitatoria, es sabido por todos nosotros que la tierra tiene
una fuerza de atracción llamada gravedad. La fuerza de gravedad es la que la obliga a
caer. (por eso se dirige hacia abajo y no hacia arriba)
Pero vemos que la pelota adquiere velocidad a medida que cae hacia el piso. Esta
energía adquirida (llamada Energía Cinética).. ¿de donde salió? Era Energía Potencial
(la que viene de la posición de la pelota ) que se transformó en Energía Cinética. A su
vez, esta Energía Cinética se puede convertir en trabajo, (como el que produce el agua
al caer en una turbina). La energía es un total que se conserva. No se gana, ni se pierde,
se transforma.
Para cerrar el curso, haremos una:
Figura 47 Energía Potencial
La energía total se conserva. No se pierde, ni se gana, sólo se
transforma.
Discusión (29): Reacciones Químicas, Estequiometría y Energía.
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INDICE DE TEMAS
Módulo Descripción Página
Introducción 1
Resumen del curso 1
Módulo
1
Módulo 1: Resumen del módulo 2
Medidas 3
¿Qué es el error? 5
Tipos de errores 6
Precisión y exactitud 6
Estimación de lectura y apreciación del instrumento 8
Números (Natural, entero, negativo, racional, real) 9
Sistema Internacional de Medidas 11
El acuerdo de unidades: el Sistema Internacional de unidades 12
Las cantidades de las unidades: prefijos con múltiplos,
submúltiplos y etcéteras... 13
Distintas escalas para la misma magnitud 13
Magnitudes escalares y vectoriales 14
Aporte teórico 15
Cantidades químicas: Masa atómica, masa molecular, mol 19
Módulo
2
Resumen del módulo 21
Plano de ejes ordenados (cartesiano) 21
Representación de puntos en el plano cartesiano 21
Concepto de vector 22
Concepto de función 23
Función lineal 24
Función valor absoluto 25
Función cuadrática (parábola) 26
Funciones tipo polinomio 27
Funciones logarítmicas y exponenciales 28
Módulo
3
Resumen del módulo 30
Sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2 30
Caso 1 30
Caso 2 31
Caso 3 32
Puesta en común de los casos y discusión (resolución) gráfica y
numérica) 33
Aporte teórico 34
Concepto de velocidad 35
Concepto de aceleración 36
Aplicaciones de las relaciones trigonométricas en Educación
Física 38
El movimiento y la Primera Ley de Newton 40
La masa y la Segunda Ley de Newton 40
La tercera ley de Newton o el principio de acción y reacción 41
Composición de Fuerzas utilizando un método gráfico 41
Análisis dimensional 42
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Otras aplicaciones de trigonometría en educación física
(composición de fuerzas) 43
Conceptos útiles para Educación Física: momento de una fuerza 43
Módulo
4
Resumen del módulo 47
Los estados de la materia 47
El estado sólido 48
El estado líquido 48
El estado gaseoso 48
Fase, mezcla y solución 49
Soluto, solvente y concentración 50
Concepto de reacción química 51
Conceptos elementales sobre Energía 52
Concepto teórico sencillo sobre la energía 53
Energía y potencial- Energía cinética 54