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COORDENADAS POLARES
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Sistema de Coordenadas Polares
Las coordenadas polares son un sistema que define la
posicion de un punto en un espacio bidimensional consistenteen un angulo y una distancia.
En muchos casos es util utilizar las coordenadas cartesianas
para definir una funcion en el plano o en el espacio. En
ocasiones es conveniente usar otros sistemas de las
mismas. Por ejemplo, en el plano podemos usar las
coordenadas polares, que permiten expresar ciertas curvas
en forma mucho mas simple que las ecuaciones que ligan sus
coordenadas cartesianas. En el espacio, en lugar de usar las
cartesianas, podemos usar las coordenadas cilndricas o
esfricas.
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Este sistema consiste en un punto ! llamado polo y en
un rayo llamado eje polar que tiene a ! como extremo.
Las coordenadas de un punto P se representan por el
par ordenado "r, #, donde r es la distancia del punto alpolo y es la medida del angulo desde el eje polar alsegmento !P. $uando el angulo se mide a favor de las
manecillas del reloj es negativo, y en contra positivo. %i
la distancia del polo al punto se mide en el sentido delangulo, es positiva, si no es negativa
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Grafica de una Ecuacion Polar
La grafica de una ecuaci&n polar r ' f" # es el conjunto de
puntos "x,y# para los cuales x ' r cos , y ' r sen y r ' f " #. En otros terminos, la grafica de una ecuacion polar es una
grafica en el plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas
polares satisfacen la ecuacion dada.
La clave para dibujar las mismas de una ecuacion polar, es
mantener siempre presente que representan las coordenadaspolares.
$on estos conceptos basicos de localizacion de puntos en el
sistema de coordenadas polares, podemos graficar funciones y
no solo puntos. En este tipo de funciones la variable
independiente es y la dependiente es r, asi que las funcionesson del tipo r ' r" #. El metodo para graficar estas funciones esel siguiente, primero graficamos la funcion r ' r" # encoordenadas rectangulares y a partir de esa grafica trazamos la
correspondiente en polares. (uiandonos con la dependencia
de r con respecto a .
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)reade una Region Plana en Coordenadas
Polares
En la figura se observa que la superficie de un sector
circular de radio r viene dada por*
la funcion dada por r' f"q#, donde f es continua y nonegativa en el intervalo + a , b . La region limitada por
la grafica para hallar el area de esta region, partimos el
intervalo + a , b en n subintervalos iguales a ' q - q
- q -........- q - q ' b
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) continuacion aproximamos el area de la region por la
suma de las mismas de los n sectores,
Luego de haber notado el teorema anterior, podemosdecir que usar la formula para hallar el area de una
region limitada por la grafica de una funcion continua no
negativa. %in embargo, no es necesariamente valida si f
toma valores positivos y negativos en el intervalo + a , b
. )lgunas veces lo mas dificil a la hora de hallar el
area de una region polar es determinar los limites de
integracion. n buen dibujo de la region puede ayudar
mucho en estos casos.
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Coordenadas Cilndricas
-
El sistema de coordenadas cilndricas es la extensin delsistema de coordenadas polares en R2a R3,
Imagnese un sistema decoordenadas polares en el
plano, como el de lafigura. Ahora imagneseque se coloca un eje z (latercera dimensin parallevar a R3) justo en elpolo y perpendicular a lapantalla. Desde estaperspectiva no se puedever el eje z, pero si se gira
el plano de la pantalla
A(r, )
r
POLO
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-
ahora, desde esta nueva perspectiva se puede ver el eje z quepasa por el polo, con sus dos extremos (negativo y positivo)aportando la tercera coordenada (z) al punto A, de manera quelas coordenadas de un punto en coordenadas Cilndricas son:
Ntese que las dos primeras coordenadas son las mismas queen coordenadas polares en el plano, de all el punto A se eleva(polo arriba) o se deprime (polo abajo) tantas unidades como
indique la coordenada z.
/r: longitud delsegmento que vadesde e origen decoordenadas hastael pie de laperpendicular del
punto./: ngulo medidodesde el ladopositivo del eje xhasta el segmentor./z: distancia desdela base del plano xyhasta el punto A
A(r, ,z)z
POLO
-z
z
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A(4,5 ; 45 ; 1,0) B(3,0 ; 150 ; 3,0) C(3,5 ;300 ; -2,0)
12
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
z
-z
AB
C
45
150
300
A continuacin se muestran tres puntos en coordenadascilndricas y su representacin grfica. Ntese que los puntos Ay B se encuentran en el lado positivo del eje Z, mientras que elpunto C se encuentra hacia el lado negativo del mismo
Un sistema se coordenadas cilndricas consta de infinitos
cilindros concntricos sobre los cuales se trazan los puntos,como se ve a continuacin
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4
5
-1
-2
-3
-4
-5
z
-z
AB
C
As,el punto A se encuentra en la superficie de un cilindro de radio r= 4,5; el punto
B en uno de r=3 y C en uno de r= 3,5.
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rdenadas Cilndricas a Rectangulares:
atos: (r, , z)e quiere obtener. (x, y, z)
Usando las mismas relaciones entrecoordenadas,como se observa en lafigura:
A(x, y, z)
Relacin entre CoordenadasCilndricas y Rectangulares
En cualquier caso, conocidos los datos,se sustituye en las ecuacionesobtenidas de la entre los sistemascoordenadas y se realiza el clculocorrespondiente.
A continuacin de muestra un ejemplo:
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Entonces, las coordenadas cilndricas del punto A(3, -2, 1) son: A( ;326,31; 1)-
Ejemplo:
Solucin (a):
unto A se encuentra en el IV octante, entonces, segn la regla para el ngulo :
ra calcular r, se usan los valores de x e y, sustituyendo en la ecuacin, resulta:
Ntese que el nguloobtenido correspondeefectivamente al IV
octante, que es donde seencuentra el punto original.Es importante chequearestas correspondencias.Por ltimo, la coordenada z en cilndricas es la misma que en coordenadas
rectangulares,esto es: z=1.
termine las coordenadas cilndricas de los puntos cuyas coordenadas rectangulares soA(3, -2, 1)B( , 10, -6)
Transformacin de coordenadasRectangulares a coordenadas cilndricas
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Coordenadas EsfricasLos antiguos navegantes se guiaban por lasestrellas hasta que se descubri la manera deubicar con exactitud la posicin de un navoen altamar.
Haciendo uso del sextante y cronmetrosmuy precisos, fueron capaces de determinar
el ngulo por encima o por debajo delecuador (latitud) y a la izquierda o derechadel meridiano de Greenwich (longitud)
Este es un ejemplo de aplicacin de un sistema de coordenadas esfricas.
En la actualidad, los sistemas de posicionamiento va satlite (GPS) al alcance decualquier telfono inteligente de gama media, usan un principio similar donde elobjetivo es establecer la ubicacin exacta de un objeto o persona sobre el globoterrqueo.Cada uno de nosotros tiene un par de coordenadas GPS que indica el lugar en quenos encontramos en un determinado momento, esa es nuestra posicin en un
sistema de coordenadas esfricas. A continuacin se presenta en detalle ladescripcin de este sistema y su relacin con otro tipo de coordenadas.
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Coordenadas Esfricas
x Y
z
r
Otro sistema de coordenadasen R3donde los puntos setrazan sobre la superficie deuna esfera de radio.En lafgura se observan lascoordenadas esricas y suposicin relativa respecto a
un sistema de coordenadasrectangulares.Las componentes de un puntoen coordenadas esfricas son
A(, , ), donde esla distancia del origen decoordenadas al punto A,
es el ngulo medido desdeel lado positivo del ee !"asta el radio vector de laproyeccin del punto Asobre el plano !#, y es elngulo medido desde ellado positivo del ee $"asta el radio vector %ue
A(; ; )
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Coordenadas Esfricas
rango de variacin de los ngulosy &es:
xY
z
Esto implica que nohabr valores de
mayores que 360 nivalores de mayoresque 180 (no tendrasentido)NOTA IMPORTANTE: los ejes coordenados X,Y y Z se colocan slo comoreferencia, para efectos de visualizar la relacin entre las coordenadas
rectangulares y esfricas. En los ejemplos siguientes se puede ver que lasreferencias X,Y,Z no se usan para graficar puntos en este sistema de
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mplos de puntos trazados en un sistema de coordenadas esfricas:(3; 60; 120)(5/2; 270; 45)(1, 315, 90 )
x Y
z
A(3; 60; 120)V octante
60
Punto A(60;
3
120
120)3;A(; ; )
Solucin:
jemplo:
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x Y
z
jemplo:
Punto B(
270
270
Obsrvese que no seusan escalas en los
ejes coordenados paratrazar los puntos, solose usan los ngulos y. Una vez localizada
la direccin quemarcan los ngulos, setraza la longitud dea lo largo de dichadireccin.
(; ; )
45
5/2; ;45)
5/2
B(5/2; 270; 45)Entre III y IV octantes
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jemplo:
x Y
z
nto C ( ; ; )315
C ( ; ; )
olucin: Punto C
90
315
90
1C
1
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Relacin entre CoordenadasEsfricas y Rectangulares
x
z
r
rdenadas rectangulares a Esfricas:Se conocen las coordenadas rectangulares A(x,y, z) y se quiere conocer las coordenadasEsfricas correspondientes A(, , )
Las relaciones de lascomponentes sobre el plano xypermanecen igual que encoordenadas polares:
A(; ; )
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Relacin entre CoordenadasEsfricas y Rectangulares
ordenadas Esfricas a rectangulares:
Se conocen las coordenadas esfricas A(; ; ) y se quiere conocer las coordenadasrectangulares A(x, y, z) correspondientes
as relaciones son las siguientes:
A continuacin de presentan unos ejemplos para ilustrar el clculo con laconversin de coordenadas
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jemplo:Determine las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas esfricasson:a) A(6, 60, 60)b) B(4,/4; /3)Solucin: Punto A
A(6 ; 60 ;60):
A(; ;)
Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:
As, las coordenadas rectangulares de A(6, 60, 60) son: A(2,59 ; 4,5 ; 3)
Se pueden dejar indicadas como radicales y fracciones: A( ; ; )
TRANSFORMACIN DE COORDENADASESFRICAS A RECTANGULARES
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jemplo:TRANSFORMACIN DE COORDENADASESFRICAS A RECTANGULARESPunto B:
B(4 ;/4; /3)
B(; ;)
Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:
As, las coordenadas rectangulares de B(4 ;/4; /3) son: B(1,41 ; 2,45 ; 2) .
Se pueden dejar indicadas como radicales y fracciones: B( ; ;2)
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jemplo:TRANSFORMACIN DE COORDENADASRECTANGULARES A ESFRICASDetermine las coordenadas esfricas de los puntos cuyas coordenadas rectangularesson:a) A(1 , -2 , 3)b) B(-3 , 2 , 0)Solucin: Punto A
A(1 , -2 , 3)
A(x , y , z)
Sustituyendo en las ecuaciones correspondientes:
As, las coordenadas esfricas de A(1 , -2 , 3) son:
A est en el IV octante, por lo tanto:
De igual manera, de pueden expresar en decimales:A(3,74 ; 29,5 ; 3,70)
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jemplo:TRANSFORMACIN DE COORDENADASRECTANGULARES A ESFRICAS
In. Jos Luis Morillo - Marzo 2015
Solucin: Punto B
B(-3 , 2 , 0)
B(x , y , z)
Sustituyendo en las ecuaciones correspondientes:
B est en el II octante, por lo tanto:
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Gracias!!