1 Polinomios

2

Polinomios

Polinomios

1. Para cuántos valores de “n” la expresión:

𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ 𝑥𝑛−1 + 4𝑥𝑛𝑦 − 𝑦3−𝑛

es racional entera.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 7

E) 9

2. Si se cumple: 𝑃(𝑥 − 2) ≡ 3𝑥 − 5

Calcular “a + b” de modo que:

𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ 𝑎𝑥 + 𝑏

A) 26 B) 28 C) 25 D) 15

E) 20

3. Para que valores de “m” y “n” el

polinomio:

𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ 𝑥𝑚−1 + 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦𝑛+1

es homogéneo

A) 2 y 3 B) 4 y 6 C) 1 y 4 D) 4 y 1

E) 5 y 1

4. Calcular “m + n” si el polinomio

𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ 3𝑥2𝑚+𝑛−4𝑦𝑚+𝑛+2

+ 𝑥2𝑚+𝑛−3𝑦𝑚+𝑛+1

− 𝑥2𝑚+𝑛−2𝑦𝑚+𝑛

es de grado 10 y la diferencia entre los

grados relativos a x e y es 4.

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2

E) 1

5. Determine el número de términos del

siguiente polinomio completo y ordenado

𝑃(𝑥) ≡ 𝑥2𝑎+𝑏+𝑐 + 𝑥𝑎+3𝑏+2𝑐 + 𝑥𝑎+4𝑏+8𝑐

+ 𝑥2𝑎+𝑏+4𝑐 +⋯+ 𝑥2 + 𝑥

+ 1

A) 26 B) 16 C) 22 D) 24

E) 25

6. Calcular “n” a partir del polinomio:

𝑃(3 − √𝑥) ≡ (2𝑥 − 9)𝑛−4 (𝑛𝑥

9− 4)

+𝑛

9(𝑥 − 9)

Si en P(x) su término independiente más

nueve veces su suma de coeficientes es

igual a cero.

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7

E) 9

7. Determinar el coeficiente de la expresión:

𝑀(𝑥, 𝑦) ≡ (1

3)𝑛

9𝑚𝑥3𝑚+2𝑛𝑦5𝑚−𝑛

cuyo grado absoluto es 10 y el grado

relativo a x es 7.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

E) 5

NIVEL I

3

Polinomios

8. Si:

𝑃(4𝑥 + 1) + 3𝑥 ≡ 7 + 𝐹(𝑥 + 3)

𝐹(5𝑥 + 1) − 13 ≡ 𝑥2 − 𝑃(2𝑥 + 11)

Calcular: √𝐹(𝑃(13))3

A) 4 B) 2 C) 6 D) 7

E) 9

9. Calcular:

[𝑅[𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎)]]0,5

Si:

𝑅(𝑥) ≡𝑥2

𝑥2 + 9𝑎2

𝑃(𝑥 − 𝑎) ≡1 − 𝑥3

1 − 2𝑎

𝑄(𝑥 − 𝑎) ≡1 + 𝑥3

1 + 2𝑎; 𝑎 ≠ 0

A) 2 B) 0,2 C) 3 D) 0,8

E) 0,6

10. Calcular “ab” si:

𝐹(𝑥2 + 𝑥) ≡ 𝑥

𝐹(𝑥) ≡ 𝑎√1 + 𝑏𝑥 −1

2

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

E) 6

11. Si:

𝑃(√3𝑥 + 1

√3𝑥 − 1) ≡ √3𝑥

Calcular:

𝑃(2)𝑃(4)𝑃(6)…𝑃(98)𝑃(100)

𝑃(3)𝑃(5)𝑃(7)…𝑃(97)𝑃(99)

A) 2,01 B) 2,02 C) 2,03 D)

√3 E) 2

12. Si:

𝐹 (2

𝑥+ 3) ≡ 𝑥; 𝑥 ≠ 0

Determinar:

𝐹(4) + 𝐹(5) + 𝐹(7) + 𝐹(11) + ⋯

A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 4

E) ∞

13. Sabiendo que:

𝑃(𝑥, 𝑦) ≡ (𝑎2 + 𝑏2 − 𝑎𝑏)𝑥5

+ (𝑏2 + 𝑐2 − 𝑏𝑐)𝑥3 + 𝑐2

+ 𝑎2 − 𝑎𝑐

es idénticamente nulo, calcular:

(𝑎 + 𝑏)2

𝑎𝑏+(𝑏 + 𝑐)2

𝑏𝑐+(𝑎 + 𝑐)2

𝑎𝑐

A) 16 B) 12 C) 9 D) 3

E) 1

14. ∀𝑥 ∈ ℝ − {0,−1, 1, 2} 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝐹 𝑎𝑠𝑖:

𝐹2(𝑥). 𝐹(1 − 𝑥) ≡ 𝑥(𝑥 − 2)

encuentre 𝑥0 tal que:

𝐹(𝑥0) ≡ √𝑥023

A) 4/5 B) 1/5 C) 2/5 D) 4/51

E) 5/4

15. A partir de:

[{(𝑥 − 3)2 − 6}2 − 6]2

≡ 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥2 +⋯

+ 𝐴7𝑥7 + 𝐴8𝑥

8

Calcular:

𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 +⋯+ 𝐴8

4

Polinomios

A) -5 B) -4 C) -13 D) 9

E) -9

16. Calcular:

1

101[𝑃(√2) + 𝑃(√3) + 𝑃(√4) +⋯

+ 𝑃(√102)]

Sabiendo que:

𝑃 (𝑥 +1

𝑥) ≡ 𝑥2 +

1

𝑥2

A) 40 B) 45 C) 50 D) 55

E) 100

17. Si el monomio:

𝑀(𝑥, 𝑦) ≡ [ √𝑥𝑛𝑛 √𝑥𝑛

𝑛𝑛𝑛𝑛

]

𝑛

es de sexto grado. ¿Cuál es el grado del

polinomio?

𝑃(𝑥) ≡ (… (((𝑥 + 1)1 + 1)2 + 1)3…+

1)𝑛

A) 20 B) 30 C) 60 D) 90

E) 120

18. Si F(x) es un polinomio tal que:

𝑃(𝑥) ≡ 𝑥2𝐹(𝑥) + 𝑥𝐹(𝑥2)

Calcular “a” de modo que:

𝑃(𝑥) ≡ 8𝑥3 + (𝑎 − 2)𝑥2 + 3𝑥

A) 7 B) 5 C) 3 D) 9

E) 1

19. Si:

𝐹(𝑥

𝑦) ≡

𝐹(𝑥)

𝐹(𝑦)

Calcular F(2)

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

E) 5

20. Se define 𝑃(𝑥𝑧𝑦) = 𝑥𝑧

𝑦− 1

Hallar el equivalente de

𝑃(𝑥2 + 𝑥 + 1)

𝑃(𝑥2 − 𝑥 + 1)

A) 𝑥+1

𝑥−1 B) x C) 1 D)

1

𝑥 E)

1

𝑥−1

21. Si 𝑃 (𝑃(𝑃(𝑥))) = 8𝑥 + 7, halle P(x)

A) 2x+1 B) x2 C) x3+1 D) x

E) N.A.

22. Si 𝑃 (1

𝐹(𝑥)) = 𝑎2𝑥 + 3𝑎 + 1 donde

𝐹(𝑥) = 𝑎𝑥 + 1 indique el valor de P(-1/2)

A) -2 B) -3 C) 1 D) -1 E) 2

23. Dado que 𝑃(𝑥) = 2𝑥 + 1

además 𝑃 (𝑃…𝑃(𝑥)⏟ 𝑘 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠

) ≡ 𝑛2𝑥 + 𝑚5 − 1

halle m +n si {𝑚; 𝑛} ⊂ ℕ, los menores

posibles.

A) 38 B) 36 C) 40 D) 23

E) 43

NIVEL II

5

Polinomios

24. Sea 𝑓 (𝑥2+𝑎

𝑥2−𝑏) = 𝑥2 − 𝑏, halle 𝑓(

𝑏

𝑎)

A) 𝑏2 − 𝑎2 B) 𝑏 − 𝑎 C) 𝑎−1 D) 𝑎2+𝑎𝑏

𝑏−𝑎 E) ab

25. Si 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 1, ¿Cuál es su valor

numérico cuando x asume el valor de 1−√5

2?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2

E) 1

26. Halle el mayor valor natural de n, de

modo que la expresión:

𝑃(𝑥) =√𝑥𝑛−203

. √𝑥6

√𝑥𝑛−84

. √𝑥2−𝑛12

Sea equivalente a una expresión racional

fraccionaria

A) 23 B) 16 C) 22 D) 25

E) 27

27. Se define 𝑓(𝑥) como producto de las

cifras de x+8 y 𝑔(𝑥) como la suma de sus

cifras de 𝑥2. ¿Cuál es el valor de

𝑓(𝑔(4)) − 𝑔(𝑓(5))?

A) -8 B) -6 C) -5 D) -4

E) -2

28. Si se verifica la identidad

𝐴

𝑥 + 1+

𝐵

𝑥 − 1≡

𝑥2 − 𝑥 + 𝑘

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

hallar el valor de kB+A

A) -8 B) -11 C) -2 D) 8

E) -5

29. Si 𝑓(𝑥2 + 𝑥) = 𝑥; además

𝑓(𝑥) = 𝑎√1 + 𝑏𝑥 −1

2, 𝑎 > 0

calcule ab.

A) 4 B) 2 C) -2 D) 1/2 E)

-1/2

30. Se tiene que 𝑓(𝑥) = (4𝑎)𝑥−1; 𝑎 > 0

Además 𝑓(𝑚 − 1) = 64𝑓(𝑚)

¿Cuál es el valor de 128a?

A) 12 B) 4 C) 1/2 D) 1

E) 3

31. Si ∅(2𝑥 + 1) = 6𝑥 − 10, además

∅(𝑓(𝑥) − 3) = 3𝑥 − 4; ¿Cuál es el valor

numérico de f en -1/6?

A) 33/4 B) 33/7 C) 37/5 D)

35/6 E) 1

32. Indique el grado del siguiente polinomio:

𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑛−2 + 3𝑦8𝑛−1 + 5𝑥𝑦5−𝑛

A) 2 B) 3 C) 4 D) 8 E)

Faltan datos

33. Halle el valor numérico del polinomio

𝑃(𝑥) ≡ (100

99𝑥)2

− (100

99𝑥) + 1

Cuando 𝑥 =1

2+1

6+

1

12+

1

20+⋯+

1

9900

A) -1 B) -100

99 C) 1 D) 0 E)

100

99

6

Polinomios

34. ¿Cuál será el valor de m en el polinomio

𝑃(2𝑥 − 1) = (5𝑥 − 1)𝑚 + (2𝑥 + 1)𝑚

− 2𝑥 + 1

Si la suma de coeficientes y el término

independiente de P(x) suman 24 + (3

2)𝑚+

2𝑚?

A) 3 B) 1 C) 5 D) 4

E) 2

35. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

Halle: (𝑎−1)𝑓(…𝑓(𝑓(𝑓(𝑏)))… )

⏞ 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠

𝑏+ 1

A) 1 B) (𝑎 − 1)𝑛 C) 𝑎𝑛 D) 𝑎𝑛+1

E) (𝑎 − 1)

36. Clasifique la expresión reducida de:

𝐴(𝑥) =(𝑥 + 1)𝑃(𝑥)

𝑃(𝑥) + 1

𝑆𝑖 𝑃(𝑥) = √𝑥3 √𝑥√𝑥

3

A) Compleja B) trascendente C)

racional entera

D) irracional E) racional fraccionaria

37. Si 𝐹(𝑥) = 3𝑥 − 2, halle

𝐹(𝐹(𝐹 … (𝐹(𝑥))… ))⏟ 10 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠

A) 310𝑥 − (310 − 1)

B) 312𝑥 − (310 + 1)

C) 310𝑥 − (312 − 1)

D) 410𝑥 + (315 − 1)

E) 310𝑥 − (410 + 1)

38. Sea el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 1.

Si el polinomio H(x) se define así

𝐻(𝑥) = {𝑃(𝑥 − 1) + 𝑃(𝑥 + 1) 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1𝑃(𝑥) + 𝑃(−𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 < 1

Determine H(0)+H(1)

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8

E) 10

39. Sean los polinomios idénticos

𝐴(𝑥) = (𝑎 + 𝑏)𝑥2 + (𝑏 + 𝑐)𝑥 + 𝑎 + 𝑐

𝐵(𝑥) = 2√𝑎𝑏𝑐 (𝑥2

√𝑐+

𝑥

√𝑎+

1

√𝑏)

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑆 =𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2

A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/5

E) 1/6

40. Si 𝑓(𝑡𝑥+𝑦) = 𝑓(𝑡𝑥). 𝑓(𝑡𝑦); y además

𝑓(𝑡𝑎) = 𝑓(𝑡𝑏). 𝑒𝑎−𝑏;

Donde {𝑥, 𝑦, 𝑎, 𝑏} ⊂ ℤ0+ ⋀ 2 < 𝑒 < 3

Calcule 𝑓(𝑡0) + 𝑓(𝑡1) + ⋯+ 𝑓(𝑡𝑛)

A) 𝑒𝑛+1+1

𝑒−1 B)

𝑒𝑛+2−1

𝑒−1 C)

𝑒𝑛+1−1

𝑒−1

D) 𝑒𝑛+1−1

𝑒+1 E) 1

ESCUELA DE TALENTOS CALLAO

Mat. Aldo Huayanay Flores

Publicado en Mayo