Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
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Polinomios y Ecuaciones
1.1. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una expresión de la forma:
( ) 1 2 2
1 2 2 1 0
n n n
n n nP x a x a x a x a x a x a− −
− −= + + + ⋅⋅⋅+ + + (1)
Los números 1 2 3, , ,...,n
a a a a , se denominan coeficientes del polinomio y son valores
reales.
La letra x se denomina variable.
Los exponentes de la variable tienen que ser números enteros.
Los términos de la forma p
ia x se denominan monotérminos.
El número na se denomina coeficiente principal.
El número 0a se denomina término independiente.
1.1.1Grado de un Polinomio: Si 0n
a ≠ se dice que el polinomio tiene grado n . Es
decir, el grado del polinomio viene dado por el mayor exponente o mayor grado
de la variable.
Ejemplos:
a) 23 4 2x x− + es de segundo grado porque el mayor exponente de x es 2.
b) 3 25 4 3 1x x x− + − es de tercer grado porque el mayor exponente de x es 3.
1.1.2Clases de Polinomios: De acuerdo a la forma de los polinomios, éstos pueden
tener diferentes nombres.
a) Polinomio Nulo: Es el que tiene todos sus coeficientes nulos.
b) Polinomio Constante: Es el que tiene todos sus coeficientes nulos menos el término
independiente. Es decir, se obtiene para 0i
a = con 1 i n≤ ≤ y 0 0a ≠ , quedando la
expresión (1) como: ( ) 0P x a= .
c) Polinomio Lineal: Es un polinomio de primer grado que se obtiene para 0i
a = con
2 i n≤ ≤ , quedando la expresión (1) como: ( ) 1 0P x a x a= + . El valor de 0a puede ser cero
o distinto de cero.
d) Polinomio Cuadrático: Es un polinomio de segundo grado que se obtiene para 0i
a =
con 3 i n≤ ≤ y 2 0a ≠ , quedando la expresión (1) como: ( ) 2
2 1 0P x a x a x a= + + . Los
valores de 1a y 0a pueden ser cero o distinto de cero.
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e) Monomio: Es el polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos menos uno de ellos
Ejemplos: 35x ; 3x ;
23
2x− ;
2 31
2a x− ; etc
Un monomio está compuesto del signo, coeficiente, letras y exponentes.
Si tenemos 2 31
2a x− , entonces el signo es negativo, el coeficiente es
1
2, las letras son
a y x y, los exponentes son 2 y 3 .
Dos monomios son iguales cuando tienen el mismo signo, el mismo coeficiente y las
mismas letras elevadas a los mismos exponentes.
Dos monomios son diferentes cuando difieren por lo menos, en alguna de sus
componentes.
Dos monomios son semejantes cuando su parte literal con sus exponentes son iguales, y
en lo único que difieren es en el signo y en el coeficiente.
f) Binomio: Es el polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos menos dos de ellos
Ejemplos: 22x x− ;
3 25x x− ; 3 5x + ; etc
g) Trinomio: Es el polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos menos tres de ellos
Ejemplos: 3 23 5 2x x x− + ;
24 3 2x x+ − ; etc
1.1.3Comparación de Polinomios: Dos polinomios son iguales, cuando siendo del
mismo grado, los coeficientes de los términos semejantes son iguales. Dos
polinomios son diferentes cuando no cumplen las características anteriores.
1.1.4Adición y Sustracción de Polinomios: Para sumar o restar dos polinomios es
necesario que sean semejantes, es decir, que sean del mismo grado. El polinomio
resultante de la suma de dos polinomios dados, se obtiene sumando
algebraicamente los coeficientes de los monotérminos semejantes. Por otra parte,
para restar a un polinomio ( )p x otro polinomio ( )q x sumamos a ( )p x el
simétrico de ( )q x , es decir, ( )q x− . Por lo tanto:
( ) ( ) ( ) ( )p x q x p x q x− = + − .
Ejemplos: Calcular ( ) ( )p x q x+ y ( ) ( )p x q x− si: ( ) 5 33 2 7p x x x x= − + − + y
( ) 4 3 25 3 7 2 8q x x x x x= − + + − .
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 23 0 0 5 2 3 0 7 1 2 7 8p x q x x x x x x+ = − + + + + − + + + − + + −
( ) ( ) 5 4 3 23 5 7 1p x q x x x x x x+ = − + − + + −
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 23 0 0 5 2 3 0 7 1 2 7 8p x q x x x x x x− = − + + − + + + − + − − + +
( ) ( ) 5 4 3 23 5 5 7 3 15p x q x x x x x x− = − − + − − +
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Cuando sumamos varios polinomios de grados diferentes, el grado del polinomio suma
es del mismo grado que el polinomio de mayor grado.
Cuando sumamos varios polinomios de igual grado, hay ocasiones en que el grado del
polinomio suma es menor que el de los sumandos, porque hay términos semejantes que
se pueden anular.
Para la resta de dos polinomios, el grado del polinomio resultante se obtiene igual que
en el caso anterior.
1.1.5Multiplicación de Polinomios: Se define el producto de dos polinomios, al
polinomio formado por la suma algebraica de los productos parciales de cada
término de uno de ellos por todos los términos del otro.
El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los
polinomios que se multiplican.
Si se tiene que multiplicar varios polinomios, se multiplica el primero por el
segundo, el resultado obtenido por el tercero, el resultado obtenido por el cuarto,
y así se continúa hasta multiplicar por el último.
Cuando hay operaciones combinadas de sumas o restas con productos, se
recomienda efectuar primero las sumas y restas y después el producto.
Ejemplo: Calcular ( ) ( )p x q x× para los polinomios dados: ( ) 3 23 2 5 6p x x x x= − + − y
( ) 33 2q x x= − .
3 23 2 5 6x x x− + −
32 3x− +
6 5 4 36 4 10 12x x x x− + − +
3 29 6 15 18x x x− + −
6 5 4 3 26 4 10 21 6 15 18x x x x x x− + − + − + −
Luego:
( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 6 5 4 3 23 2 5 6 3 2 6 4 10 21 6 15 18p x q x x x x x x x x x x x× = − + − ⋅ − = − + − + − + −
1.1.6División de Polinomios: Dados ( )p x y ( )d x , dos polinomios con grado
( ) ( )d x p xp , siempre existen polinomios ( )q x y ( )r x tales que:
( ) ( ) ( ) ( )p x d x q x r x= ⋅ + .
Siendo grado de ( )r x menor que el grado de ( )d x , además ( )q x es el
polinomio cociente y ( )r x el resto de la división ( ) ( )p x d x . A ( )p x se le
denomina dividendo y a ( )d x divisor.
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La división de polinomios es similar a la división de números enteros. Se divide
el término de mayor grado del dividendo por el término de mayor grado del
divisor; el resultado es el primer término del cociente. A continuación se
multiplica dicho resultado por el divisor y el producto se resta del dividendo, con
lo cual se obtiene un nuevo dividendo. Se repite el proceso para obtener el
segundo término del cociente. Y así sucesivamente. La operación se termina al
obtener un dividendo de grado menor que el divisor, en cuyo caso dicho
dividendo es el resto de la división. Veamos un ejemplo:
Ejemplo: Encontrar el resto que se obtiene al dividir el polinomio 6 33 5 4 7x x x− + −
entre 21 x x+ − .
6 5 4 3 23 0 0 5 0 4 7x x x x x x+ + − + + −
2 1x x− + + 6 5 43 3 3x x x− + +
4 3 23 3 6 4 10x x x x− − − − −
5 4 3 23 3 5 0 4 7x x x x x+ − + + −
5 4 33 3 3x x x− + +
4 3 26 2 0 4 7x x x x− + + −
4 3 26 6 6x x x− + +
3 24 6 4 7x x x+ + −
3 24 4 4x x x− + +
210 8 7x x+ −
210 10 10x x− + +
18 3x +
De donde:
( ) 4 3 23 3 6 4 10q x x x x x= − − − − −
( ) 18 3r x x= +
Luego:
( ) ( ) ( ) ( )p x d x q x r x= × + . Es decir;
( ) ( ) ( )6 3 2 4 3 23 5 4 7 1 3 3 6 4 10 18 3x x x x x x x x x x− + − = − + + ⋅ − − − − − + +
El algoritmo de la división se ejecuta mientras el grado de ( )r x sea mayor que el grado
de ( )d x .
1.1.7Regla de Ruffini: Permite dividir un polinomio ( )p x entre un polinomio de la
forma x a− .
En términos generales, la regla de Ruffini se utiliza para dividir un polinomio
( )p x entre un polinomio de la forma ax b− .
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Ejemplos:
a) Encontrar el resto que se obtiene al dividir el polinomio 4 3 25 22 11 13 4x x x x− + − +
entre 3x − .
Tenemos que 3 0x − = cuando 3x = .
Se escriben los coeficientes del polinomio de mayor a menor potencia
3
5 22 11 13 4
15 21 30 129
5 7 10 43 125
− −− − −
− − − −
Luego: ( ) ( )
( )
( )( )
( )( ){
3 23 5 7 10 43 125
r xd x q x
p x x x x x= − ⋅ − − − −123 144424443
Si realizamos el algoritmo de la división estudiado anteriormente, debemos llegar al
mismo resultado.
b) Encontrar el resto que se obtiene al dividir el polinomio 3 23 5 4x x x− + − entre
2 1x + .
Se tiene que: 2 1 0 1 2x x+ = ⇒ = −
1
2−
( )
3 1 5 4
3 5 25
2 4 4
5 25 573
2 4 8r x
− −
− −
− − →
Luego: ( )
( ) ( ) ( ){
21 5 25 573
2 2 4 8
r xd x q x
p x x x x = + ⋅ − + − 14243 1442443
1.1.8Teorema del Resto: Sea a R∈ y ( )p x un polinomio. Entonces ( )p a , el valor
numérico del polinomio ( )p x en el valor real a , es el resto que se obtiene al
dividir ( )p x entre x a− . Así pues, que dado un polinomio ( )p x , se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( )p x x a q x p a= − ⋅ + .
Ejemplo: Encontrar el resto que se obtiene al dividir el polinomio 3 23 5 4x x x− + −
entre 2 1x + .
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6
3 21 1 1 1
3 5 42 2 2 2
1 57
2 8
p
p
− = − − − + − −
− = −
Resultado obtenido en el ejercicio anterior aplicando la regla de Ruffini.
1.1.9Divisibilidad: Se dice que el polinomio ( )p x es divisible entre ( )d x , si existe un
polinomio ( )q x tal que: ( ) ( ) ( )p x d x q x= ⋅ .
En otras palabras, el resto de la división de ( )p x entre ( )d x es cero. En caso de
que ( )p x sea divisible entre ( )d x entonces ( )d x y ( )q x son factores de ( )p x .
Ejemplo: Probar que el polinomio 3 22 5 6x x x− − + es divisible por 2x + .
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 22 2 2 2 5 2 6
2 0
p
p
− = − − − − − +
− =
Por el teorema del resto, se obtiene que el resto de la división de 3 22 5 6x x x− − + entre
2x + es cero. Por lo tanto, 3 22 5 6x x x− − + es divisible entre 2x + .
Aplicando la regla de Ruffini se obtiene:
-2
1 2 5 6
2 8 6
1 4 3 0
− −− −−
Luego: ( ) ( )3 2 22 5 6 2 4 3x x x x x x− − + = + − +
1.1.10Raíz de un polinomio: Si el valor numérico de a evaluado en el polinomio
( )p x es igual a cero, es decir, ( ) 0p a = , entonces se dice que a es raíz del
polinomio. Si a es una raíz del polinomio ( )p x , entonces x a− es un factor, es
decir: ( ) ( ) ( ) ( )p x x a q x r x= − ⋅ + , donde ( ) 0r x = . Por lo tanto,
( ) ( ) ( )p x x a q x= − ⋅
Ejemplo: Como se puede observar en el ejemplo anterior, 2x = − es raíz del polinomio
( ) 3 22 5 6p x x x x= − − + , ya que ( )2 0p − = . Luego se tiene que:
( ) ( ) ( )22 4 3p x x x x= + − +
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1.1.11Factorización de Polinomios: Factorizar un polinomio consiste en transformarlo
en el producto de dos o más factores de menor grado.
§ Factorización por factor común: Se procede de la siguiente manera:
Ø El factor común se determina mediante el producto de los elementos con menor
exponente que se repiten en todos los monotérminos del polinomio.
Ø Dividimos cada término del polinomio entre el factor común
Ø El polinomio es igual al producto del factor común por la suma algebraica de
estos cocientes.
Ejemplos: Factorizar los siguientes polinomios:
a) ( ) 4 216 8 4p x x x= + − . El factor común es 4. Por lo tanto, ( ) ( )4 24 4 2 1p x x x= + −
b) ( ) 4 3 2 2 2 6 6 4 5 3 5 44 2 8 4q x a b x a b x a b x a b x= − + −
El 2, la a , la b y la x están en todos los términos. El menor exponente de 2 es 1, el de
la a es 2, el de la b es 2 y el de la x es 2. Por lo tanto, el factor común es: 2 2 22a b x .
Ahora dividimos cada término del polinomio entre el factor común. Así:
4 3 2
2
2 2 2
42
2
a b xa b
a b x= ;
2 2 64
2 2 2
2
2
a b xx
a b x
− = − ;
6 4 54 2 3
2 2 2
84
2
a b xa b x
a b x= ;
3 5 43 2
2 2 2
42
2
a b xab x
a b x
− = −
Luego:
( )4 3 2 2 2 6 6 4 5 3 5 4 2 2 2 2 4 4 2 3 3 24 2 8 4 2 2 4 2a b x a b x a b x a b x a b x a b x a b x ab x− + − = − + −
§ Factorización de diferencia de cuadrados ( )2 2a b− : Se procede como sigue:
Ø Se determina la raíz cuadrada de cada uno de los términos que forman el binomio.
Ø La factorización es el producto de dos paréntesis en cuyo interior se escriben la
suma y la diferencia de dichas raíces.
Ejemplos: Factorizar los siguientes polinomios:
a) ( )( )2 4 2 281 16 9 4 9 4x y xy xy− = − +
b)
2 6 3 3
4 6 2 3 2 3
4 9 2 3 2 3x y x y x y
y x y x y x
− = − +
§ Factorización de cuadrados perfectos: Se procede como sigue:
Ø Se ordena el trinomio con relación a una de sus letras y se tiene que cumplir que
el primero y tercer término tengan el mismo signo y raíz cuadrada.
Ø Se obtiene la raíz cuadrada del primer y tercer términos.
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Ø Se comprueba si el doble del producto de dichas raíces es igual al segundo
término. Si no es igual, el trinomio no es factorizable por éste método.
Ø Dentro de un paréntesis elevado al cuadrado escribimos dichas raíces separadas
por el signo que tenga el segundo término del trinomio ordenado.
Ejemplo: Factorizar 2 29 12 4x xy y− +
El trinomio ya está ordenado respecto a la letra x . Las raíces del primer y tercer
téminos son respectivamente 3x y 2y . Luego se verifica que ( )( )2 3 2 12x y xy= que es
igual al segundo término. Por lo tanto, la factorización viene dada por:
( )22 29 12 4 3 2x xy y x y− + = −
§ Factorización de trinomios de la forma 2
x ax b+ + : Se procede como sigue:
Ø Se obtienen las raíces mediante la fórmula cuadrática: 2
1,2
4
2
b b acr
a
− ± −=
Ø El polinomio se escribe como: ( ) ( )( )1 2p x x r x r= − −
Ø Si 2 4 0b ac− = , las raíces son reales e iguales.
Ø Si 2 4 0b ac− f , las raíces son reales y diferentes.
Ø Si 2 4 0b ac− p , las raíces son complejas conjugadas. La unidad imaginaria viene
dada por 1i = − , de donde se origina el número complejo a ib+ , y su
conjugado está definido por a ib− .
Ø Si las raíces son complejas conjugadas, la factorización en el campo de los reales
viene dada por el mismo polinomio.
1.1.12Naturaleza de las raíces de un polinomio: Existen algunos resultados sobre la
naturaleza de las raíces de un polinomio; en particular en el caso de polinomios
con coeficientes reales. Estos resultados son los siguientes:
§ Sea ( ) 1
1 1 0
n n
n np x a x a x a x a−
−= + + ⋅⋅⋅+ + , tal que ia , con 0 i n≤ ≤ son todos enteros.
Entonces u v es una posible raíz de ( )p x si u divide a 0a y v divide a na .
§ Si los coeficientes del polinomio son reales y si el número complejo ( )a ib+ es raíz,
también lo será su conjugado ( )a ib− .
§ Si los coeficientes del polinomio son reales y su grado es un número impar, el
polinomio admite por lo menos una raíz real.
§ Si los coeficientes del polinomio son reales y racionales y si el número irracional
a b+ es raíz, también lo será a b− con ,a b Q∈
Ejemplos:
a) Factorizar en el campo de los reales el polinomio ( ) 3 22 5 4 3p x x x x= + − −
Escribimos las posibles raíces racionales:
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9
{ }1, 3u = ± ± 1 3
1, , 3,2 2
u
v
= ± ± ± ±
{ }1, 2v = ± ±
Aplicamos el teorema del resto para determinar las raíces:
( ) ( ) ( ) ( )3 21 2 1 5 1 4 1 3 0p = + − − = . Resto es igual a cero, por lo tanto es raíz
( )1 4p − = ; 1 7
2 2p = −
; 1
02
p − =
; ( )3 84p = ; ( )3 0p − = ; 3
92
p =
;
3 15
2 2p − =
Por lo tanto, la factorización en el campo de los reales viene dada por:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 1 2 3 1 2 1 3p x x x x p x x x x= − + + → = − + +
b) Hallar un polinomio ( )p x de grado 4, tal que 2 i+ es raíz, ( )1 64p − = , ( )2 10p = y
es divisible entre 2 1x + .
Si 2 i+ es raíz también lo será 2 i− . Por lo tanto, ( )p x será de la forma:
( ) ( ) ( )( )22 2p x x i x i ax bx c= − − − + + + . Realizando el producto de los dos primeros
factores, se obtiene: ( ) ( )( )2 24 3p x x x ax bx c= − + + + .
Sabemos que ( )1 64p − = , al sustituir obtenemos:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 21 1 4 1 3 1 1 8 64p a b c a b c− = − − − + − + − + = − + =
De donde: 8a b c− + = ; (1)
Sabemos que ( )2 10p = , al sustituir obtenemos:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 2 4 2 3 2 2 4 2 10p a b c a b c− = − + + + = − + + =
De donde: 4 2 10a b c+ + = − ; (2)
Si ( )p x es divisible entre 2 1x + entonces el resto de la división de ( )p x entre 2 1x +
debe ser cero y, de acuerdo al Teorema del Resto, el resto de esa división viene dado
por el valor numérico que se obtiene al evaluar ( )p x en 1 2x = − . Por lo tanto,
tenemos que: 1
02
p − =
2 21 1 1 1 1 21
4 3 02 2 2 2 2 4 4 2
a bp a b c c
− = − − − + − + − + = − + =
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10
De donde: 04 2
a bc− + = ; (3)
Consideremos la ecuación (1) multiplicada por 2 y la ecuación (3), así obtenemos la
ecuación (4):
( )
2 2 2 16
4 2 10
6 0 3 6 2 2 4
a b c
a b c
a b c a c
− + =+ + = −+ + = → + =
Consideremos la ecuación (1) multiplicada por 1 2− y la ecuación (2), así obtenemos la
ecuación (5):
( )
42 2 2
04 2
4 2 16 54 2
a b c
a bc
a ca c
− + − = −
− + =
− + = − → − + = −
Con las ecuaciones (4) y (5) obtenemos los valores de a y de c :
Luego de (5):
2 16
12 16 4
a c
a a
= += − + → =
Sustituyendo los valores de a y de c en (1), obtenemos b :
8
4 6 8 10
b a c
b b
= + −= − − → = −
Por lo tanto, ( )p x viene dado por:
( ) ( )( )( ) ( )( )
2 2
2 2
4 3 4 10 6
2 4 3 2 5 3
p x x x x x
p x x x x x
= − + − −
= − + − −
Se deja al lector como ejercicio comprobar los resultados
2 2
2 4 32
5 30 6
a c
a c
c c
+ =− + = −
= − → = −
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11
Fórmulas de Productos Especiales
a) ( )( ) 2 2a b a b a b− + = −
b) ( )2 2 22a b a ab b+ = + +
c) ( )2 2 22a b a ab b− = − +
d) ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + +
e) ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b− = − + −
Fórmulas Especiales de Factorización
a) ( )( )2 2a b a b a b− = − +
b) ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + +
c) ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − +
d) ( )22 22a ab b a b+ + = +
e) ( )22 22a ab b a b− + = −
Ejercicios Propuestos
1) De las funciones que se dan a continuación, indicar cuáles son polinómicas y cuáles
no, explicando por qué.
a) ( ) 25 3 1f x x x= − +
b) ( ) 3 27 5 2 4p x x x x= − + − −
c) ( ) 23 2 7f x x x−= + −
d) ( ) 27 15
3 6g x x x= + −
e) ( ) 3
2 1 1
4h x
x x= + −
f) ( ) 2
3p x x
x= +
2) En cada una de las siguientes funciones polinómicas, indicar: sus términos; el grado
de cada término; el grado del polinomio; sus coeficientes y el término independiente.
a) ( ) 25 4 7p x x x= − −
b) ( ) 3 23 1
4 5g x x x= + −
c) ( )4
235
xp x x= − +
d) ( ) 43
2
xs x x= − +
e) ( )2
35 12
3 2
xq x x= + −
3) Eliminar los signos de agrupación en cada una de las siguientes expresiones y
después agrupar los términos semejantes
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12
a) ( ) ( ) ( ){ }2 2 2 2 2 24 3 2 2 3 2ax a x ax a x a x − − − − − + − + −
b) ( ) ( ){ }2 2 2 2 2 24 4 5 3 2 4a x a x ax a x ax a x − − − − − +
c) ( ) ( ){ }2 2 2 2 22 3 3 2a x ax ax a x ax a x − − − − − −
d) ( ) ( ) ( ){ }2 2 22 3 3 3 2 3 3 5a x ax ax ax ax − + − − + − − + − +
4) Realizar las operaciones indicadas:
a) ( ) ( )3 3 25 4 3 7x x x x x− − + + −
b) ( ) ( )2 23 4 4 6 9x x x x− + − − − +
c) ( )( )23 2 1x x x+ − −
d) ( ) ( )9 3x a x a− +
e) ( )23 8x −
f) ( ) ( )3 2 2 32 4a x a x
g) ( )2 3 4 3 24 5 4a x a a x+
h) 2 2 34 1
55 4
ax a x a − −
i)
222
33 3 2
a x xax x
+ −
j) ( )( )2 23 2 5 3x x x+ + −
k) ( )( ) ( )3 1 4 2 3 1x x x+ − −
l) ( ) ( )2 5 24 2a x ax÷ −
m) 3 42 3
3 5a x ax
÷ −
n) ( ) ( )2 4 3 2 24 5 2a x a x ax+ ÷
o) ( ) ( )2 3 3 2 4 33 2a x a x x ax− + ÷ −
p) ( )( )23 2 5 2a a a− + −
q) ( )2
2 5 3+
r) ( )2
1 2 1x+ −
s) ( )( )25 5 25w w w− + +
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
13
t) ( )( )2 3 1 3 3 2− +
5) Dados los polinomios: ( ) 3 213 4
2 3
xp x x x= + + − ; ( )
323
4
xq x x= − + ;
( )2
23
xr x x= + − y ( ) 3 2s x x= − ; hallar:
a) ( ) ( )p x q x+
b) ( ) ( )p x r x+
c) ( ) ( )p x s x+
d) ( ) ( ) ( )p x q x r x+ +
e) ( ) ( ) ( )q x r x s x+ +
6) Dado los polinomios ( ) 4 3 23 2 3 6p x x x x x= + − + − ; ( ) 3 23 2 5q x x x= + − y
( ) 34 3r x x x= + , hallar:
a) ( ) ( )p x q x−
b) ( ) ( )r x q x−
c) ( ) ( )p x r x−
d) ( ) ( )q x r x−
e) ( ) ( )q x p x−
7) Dados los polinomios ( ) 2 13 2
3p x x x= + − ; ( )
24 2 4
3 3
xq x x= − + ;
( )2 33 1
4 2 2
x xr x
−= + + ; ( )3
4 32
xs x x= − + y ( )
2 31 3
3 2 3
x xt x = − + , hallar:
a) ( ) ( ) ( )p x t x q x− +
b) ( ) ( ) ( )t x s x r x+ −
c) ( ) ( ) ( )s x t x q x− +
d) ( ) ( ) ( )q x t x p x+ −
8) Dados los polinomios ( ) 24 3 2p x x x= + − ; ( ) 3q x x= − y ( ) 3 213 2
3r x x x= + − ,
determinar:
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
14
a) ( ) ( ) ( )r x p x q x⋅ +
b) ( ) ( ) ( )p x q x r x⋅ −
c) ( ) ( ) ( ) ( )p x r x q x r x⋅ ⋅ +
9) Dados los polinomios ( )22 1
3 3
xp x x= + − ; ( )
2 1
2 2
xq x = − y ( ) 3 21
3 23
r x x x= + − ,
determinar:
a) ( ) ( ) ( ) ( )p x q x q x r x+ ⋅ −
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x q x r x p x q x+ + ⋅ −
c) ( ) ( ) ( )p x q x r x+ ⋅
10) Encontrar el cociente y el resto cuando el primer polinomio es dividido por el
segundo
a) 3 2
2 9 3x x x+ − + ; 2x −
b) 3 2
6 3 9x x x− + − ; 3x +
c) 2
6 2x x+ + ; 2 1x −
d) 2
12 21x x− − ; 3 4x − 11) Factorizar o descomponer en factores los siguientes polinomios:
a) 6 3
2 48x x+ −
b) 3 2
3 2x x x+ +
c) 5 3
4 20 144x x x+ −
d) 3 2
4 10 8 6x x x+ − −
e) 3 2
2 8 2 12x x x− + − −
f) 3
1x −
g) 6 4 2
6 12 8x x x+ + +
h) 2
9 64x −
i) 2
6 16b b+ −
j) 2
6 13 28t t+ −
k) 6
64x −
l) 2
2 6x x+ −
m) ( ) ( )21 3 1 108t t− + − −
n) 2
20 9 20t t− −
o) 2
11 18ax ax a− +
p) 6
1t −
q) 5
w w−
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
15
r) 3 2
3 9 27x x x+ − −
s) 4 3 2
8 18 75 46 120a a a a− − + +
t) 5 4
2 8 3 12a a a− + −
u) 3
8 27a − 12) Usando los productos notables y la factorización de polinomios, simplifique las
siguientes expresiones racionales:
a)
12
4
1
1
x
x
−−
b)
6
2
1
1
n
n
++
c)
10 1
1
x
x
+−
d)
2
2
20
2 10
x x
x x
+ −+
e)
2
2
6 7 3
12 6 3
x x
x x
− −− −
f)
2 2
3 3
9
27
x y
x y
−+
g)
2 2 8
16 4
x x
x
− −−
13) Encuentre el resto que se obtiene al dividir el polinomio 6 3
3 4 2 7x x x− + − entre 2
2x− +
14) Determine si el polinomio ( ) 4 3 23 19 21 51 14p x x x x x= − + + + + es divisible entre:
a) 4x − ; b) 1x − ; c) 2x + ; d) 5x − ; e) 1x + ; f) 7x + ; g) 7x − ; h) 2x −
15) Encuentre un polinomio de grado tres, cuyas raíces sean 2− , 4 y 3− .
16) Encuentre un polinomio ( )p x de grado cuatro, tal que ( )0 2 3p = y cuyas raíces
sean 3
4− , 1, 2− y
1
8− .
17) Sea ( ) 3 22 2 3 2p x x x x= − − + . Encuentre el valor de ( )p x en:
a) 2x = − ; b) 1x = − ; c) 1
2x = y 1x a= −
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
16
18) Aplique sucesivamente la regla de Ruffini a ( ) 3 22 5 28 15p x x x x= − − + y exprese
( )p x como producto de factores lineales.
19) Encuentre α tal que ( )3 25 2 4 15x x xα α− + − + sea divisible por 3x + .
20) Determine los valores de m y n para que el polinomio
( ) ( )3 22 1 1 8x m x n x+ − + + + sea divisible por ( )( )2 4x x− − .
21) Encuentre k de tal modo que las raíces de 2
3 5 0x kx− + − = tenga raíces reales e
iguales.
22) Sea ( ) 3 2 3p x ax bx c= + + . Encuentre a , b y c , sabiendo que ( )1 8p − = ;
( )1 2p = − y que x es un divisor de ( )p x .
23) Hallar el valor de k para que 2
3x kx+ − tenga igual resto cuando lo dividimos entre 2x − o entre 1x +
24) Al dividir un polinomio ( )p x por 2x + se obtiene un resto de 79. En cambio, al
dividirlo por 1x − el resto es -2. Con estos datos, ¿ es posible calcular el resto de la
división de ( )p x por 2
2x x+ − ?
1.2Ecuaciones: Una ecuación es una igualdad de dos expresiones en las que intervienen
variables (llamadas incógnitas), cuyo valor se ha de calcular. Por ejemplo, 2 5x + =
es una ecuación (cuya solución es 3x = ); la expresión que está a la izquierda del
signo igual (=) se llama primer miembro y la que está a la derecha, segundo
miembro.
Las ecuaciones suelen llevar una serie de operaciones indicadas, que es necesario
realizar para resolverlas. Hechas estas operaciones y una vez simplificada la
ecuación, si ésta resulta de la forma 0ax b+ = , donde x es la incógnita y a y b son
números reales con 0a ≠ , la ecuación es lineal o de primer grado y su solución es
x b a= − . Si, en cambio, la ecuación resulta de la forma 2
0ax bx c+ + = con 0a ≠ ,
entonces es cuadrática o de segundo grado y sus soluciones vienen dadas por la
fórmula: 2 4
2
b b acx
a
− ± −= .
El número 2
4b acδ = − recibe el nombre de discriminante de la ecuación. Si 0δ f
(es decir, si δ es un número positivo), la ecuación tiene dos soluciones (sus
soluciones son dos números reales diferentes). Por ejemplo, si la ecuación es 2
3 10 0x x+ − = entonces:
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
17
( )( )2
1
2
3 3 4 1 10 23 49 3 7
52 1 2 2
xx
x
− ± − − =− ± − ±= = = = = −⋅
Si 0δ = la ecuación sólo tiene una solución. Por ejemplo, 2
4 4 1 0x x− + = ; tiene
como solución: ( )2
4 4 4 4 1 4 0 1
2 4 8 2x
± − − ⋅ ⋅ ±= = =⋅
Si 0δ p (es decir, si δ es un número negativo), la ecuación carece de solución en
el conjunto de los números reales (tiene dos soluciones, pero son dos números
complejos). Por ejemplo, la ecuación 2
2 2 0x x+ + = carece de soluciones reales,
porque su discriminante es -4.
2
1
2
12 2 4 1 2 2 4 2 2
12 1 2 2
x iix
x i
= − +− ± − ⋅ ⋅ − ± − − ±= = = = = − −⋅
Propiedades de las Soluciones de una Ecuación de Segundo Grado
Sean 1x y 2x las soluciones. Entonces 1 2x x b a+ = − , 1 2x x c a⋅ = . Estas
propiedades se pueden utilizar para comprobar las soluciones y también para
resolver mentalmente ecuaciones que tengan soluciones enteras. Por ejemplo, para
resolver 2
5 6 0x x− + = , bastará encontrar dos números cuyo producto sea 6 y
sumen 5; fácilmente encontramos que son 2 y 3.
Consejos prácticos para resolver ecuaciones
Existe una serie de técnicas, bastante conocidas, para resolver ecuaciones y sistemas
de ecuaciones. Cuando se carece de la experiencia adecuada, estas técnicas se
prestan a errores y confusiones. Por ello, ante cualquier duda, debe uno preguntarse
si la modificación que va a realizar se fundamenta en alguna propiedad conocida,
como, por ejemplo, las propiedades de las igualdades numéricas y la propiedad
distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
Veamos los casos más frecuentes:
a) Todo término se puede trasladar al otro miembro de una ecuación, cambiándolo
de signo. Por ejemplo: 3 7 15 3 7 15x x x x+ = − → + + =
3 15 7 4 8 8 4 2x x x x+ = − → = → = = Nos hemos basado en la siguiente propiedad de las igualdades numéricas: si se
suma o resta un mismo número a ambos miembros de una igualdad, la igualdad
subsiste. Por ejemplo, al pasar x− del segundo miembro al primer miembro,
implícitamente hemos sumado x en ambos miembros:
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
18
3 7 15 3 7 15x x x x x x+ + = − + → + + = En cambio, en la siguiente ecuación no es posible trasladar x− al primer miembro,
porque hay pendiente una multiplicación: (Primero resolvemos la multiplicación)
( )3 7 2 15 3 7 30 2x x x x+ = − → + = −
3 2 30 7 5 23 23 5x x x x+ = − → = → =
b) Toda expresión que esté dividiendo a un miembro puede pasar multiplicando al
otro miembro. Por ejemplo:
2 73 2 7 3 5 2 15 7 8 2 4
5
xx x x
+ = → + = ⋅ → = − → = =
Nos hemos basado en la siguiente propiedad de las igualdades numéricas: si se
multiplican los dos miembros de una igualdad por un mismo número, la igualdad
subsiste. Así, pasar el 5 multiplicando al segundo miembro, equivale a multiplicar
ambos miembros por 5, lo cual es una operación lícita:
2 75 3 5 2 7 15
5
xx
+⋅ = ⋅ → + =
Sin embargo, en la ecuación: 1
112
xx
+ + = , no es posible pasar el 2 multiplicando
al segundo miembro, ya que 2 sólo está dividiendo a una parte del primer miembro.
Lo correcto es dar previamente común denominador 2 en el primer miembro o,
mejor, multiplicar ambos miembros por 2:
1 12 2 11 2 2 22
2 2
x xx x
+ + ⋅ + = ⋅ → ⋅ + =
1 2 22 3 21 21 3 7x x x x x+ + = → = → = → =
c) Toda expresión, cuyo valor sea distinto de cero, que esté multiplicando a un
miembro, puede pasar dividiendo al otro miembro. Es lo que acabamos de aplicar
para resolver la ecuación 3 21x = . Se basa en la propiedad de las igualdades
numéricas que afirma que si se dividen los dos miembros de una igualdad por un
número distinto de cero (recuérdese que la división por cero no está permitida), la
igualdad subsiste. Así, al pasar el 3 dividiendo al segundo miembro, implícitamente
hemos dividido ambos miembros por 3: 3 21
3 3
x =
La aplicación incorrecta de esta propiedad suele dar origen a la pérdida de
soluciones de una ecuación. Por ejemplo, consideremos la ecuación 2
2x x= , cuyas
soluciones son 0 y 2. Si pasamos la x del segundo miembro dividiendo al primer
miembro, resulta 2x = ; es decir, la solución 0x = se ha esfumado. La incorrección
se debe a que hemos dividido por 0, aunque, eso sí, de una forma enmascarada. La
ecuación se resuelve correctamente aplicando la fórmula de la ecuación de segundo
grado o mejor, mediante una descomposición en factores:
( )2 22 2 0 2 0x x x x x x= → − = → − =
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
19
Para que un producto dé cero, hace falta que uno de los dos factores valga 0, por lo
que se tiene que o bien 0x = (primera solución) o bien 2 0x − = , de donde se
obtiene 2x = (segunda solución)
Ejemplos:
1) Un tren de correo sale de Madrid, con dirección a Murcia, a las 14:00 y con una
velocidad media de 45 /km h . A las 15:20, con el mismo origen y destino, sale un
coche a 90 /km h . Sabiendo que el tren llega 4 minutos antes que el coche y que por
carretera son 11 km menos, se pide la longitud de la vía férrea.
Sea x la distancia pedida; entonces la longitud de la carretera es 11x − . El tren
tarda 45x horas y el coche ( )11 90x − . Como el tren ha tardado (80 minutos es el
tiempo que hay desde las 14:00 a las 15:20) 80 4 76− = minutos (que son
76 60 horas) más que el coche, resulta:
11 76
45 90 60
x x −− =
Resolvamos la ecuación:
( )4 2 11 3 762 22 228 103
180 180
x xx x
− − ⋅= → + = → =
La distancia pedida es 103 km
2) ¿A qué hora, entre las tres y las cuatro, se superponen las manecillas del reloj?
Sea x el número de minutos que han de transcurrir a partir de las 3. En dicho
tiempo, el minutero recorre x divisiones (de un total de 60) y el horario 12x .
Como a las 3 el horario le lleva al minutero una ventaja de 15 divisiones, resulta:
1512
xx − = , resolviendo la ecuación resulta 180 11 16,363636x = ≅ , lo que da
3 16 21,82h m s
1.2.1Ecuaciones Polinómicas: Las ecuaciones polinómicas de primer grado y de
segundo grado ya han sido estudiadas. Las ecuaciones polinómicas de grado 3 en
adelante, que tengan todos sus coeficientes enteros, si tienen soluciones enteras,
se resuelven aplicando la regla de Ruffini tanteando divisores del término
independiente. Si tienen soluciones racionales, se hallan similarmente, tanteando
fracciones irreducibles cuyo numerador sea divisor del término independiente y
su denominador divisor del coeficiente del término de mayor grado (coeficiente
principal).
Ejemplos:
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
20
1) Las posibles soluciones enteras, si las admite, de la ecuación
( ) 3 24 6 0p x x x x= − + + = , son los divisores de 6: 1; 2; 3; 6± ± ± ± . Probemos 1x =
1 4 1 6
1 1 3 2
1 3 2 4 1x no es solucion
− →− −
− − → =
Probemos 1x = −
( ) ( )( )2
1 4 1 6
1 1 5 6
1 5 6 0 1 5 6p x x x x
− →− − −
− → = + − +
1x = − es una solución. Las restantes soluciones se obtienen resolviendo la ecuación de
segundo grado 2 5 6 0x x− + = ; son 2 y 3. Luego, la ecuación propuesta tiene tres
soluciones: 1 21; 2x x= − = y 3 3x = .
2) Resolver la ecuación 3 212 8 13 3 0x x x+ − + =
Para una fracción como solución, los numeradores posibles son 1± y 3± , los
denominadores posibles son 1; 2; 3; 4; 6± ± ± ± ± y 12± . Por tanteo se hallan las
soluciones 1 1 3x = ; 2 3 3x = − ; 3 1 2x = .
3) Resolver la ecuación 9 6 34 6 0x x x− + + =
Mediante el cambio de variable 3
t x= , la ecuación se transforma en 3 24 6 0t t t− + + = ,
cuyas soluciones según el ejemplo primero, son 1 1t = − ; 2 2t = y 3 3t = . Teniendo en
cuenta que 3
t x= , se obtiene: 1 1x = − ; 3
2 2x = y 3
3 3x = .
Ecuación Bicuadrada: Es una ecuación de cuarto grado de la forma: 4 2 0ax bx c+ + = ,
que se resuelve mediante el cambio de variable 2
t x= .
Ejemplo: Resolver la ecuación 4 212 64 0x x− − =
Haciendo el cambio de variable 2
t x= la ecuación se transforma en una de segundo
grado 2 12 64 0t t− − = , cuyas soluciones son 1 16t = y 2 4t = − . De la primera solución
resulta 2 16x = , de donde se obtiene 1 4x = y 2 4x = − . De la segunda solución se
obtiene 2 4x = − , que no proporciona más soluciones reales de la ecuación propuesta.
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
21
1.2.2Ecuaciones Fraccionarias: Las ecuaciones fraccionarias se resuelven hallando el
común denominador, para así transformarlas en una ecuación polinómica. Es muy
importante comprobar las soluciones obtenidas.
Ejemplo: Resolver la ecuación: 1
11
xx
+ =+
En primer lugar 1x + debe ser diferente de cero. Por lo tanto, 1 0 1x x+ ≠ → ≠ −
Luego, hallemos común denominador en el primer miembro
( ) 22 2
1 1 11 1 1 1 0 0
1 1
x x x xx x x x x
x x
+ + + += → = → + + = + → = → =+ +
Luego, la ecuación sólo admite la solución 0x =
1.2.3Ecuaciones Irracionales: Se dice que una ecuación es irracional si la incógnita
figura dentro de algún radical. Estas ecuaciones se resuelven aislando en un
miembro una de las raíces y elevando al cuadrado ambos miembros, si la raíz es
cuadrada y si la raíz es cúbica elevamos al cubo y en general, elevamos al índice
de la raíz. El proceso se repite cuantas veces sea menester, hasta que hayan
desaparecido los radicales. Hecho esto, se resuelve la ecuación obtenida, cuya
solución (o soluciones) hay que comprobar en la ecuación original, pues es
posible que al elevar a potencias los miembros, se hayan introducido soluciones
extrañas.
Ejemplos:
1) Resolver la ecuación 6x x+ = .
Aislemos x en el primer miembro y elevemos los dos miembros al cuadrado:
( ) ( )2 2 2 26 6 36 12 13 36 0x x x x x x x x x= − → = − → = − + → − + = . Las
soluciones de ésta última ecuación son 9 y 4. La solución 9x = no satisface la ecuación
propuesta, pues 9 9 12 6+ = ≠ ; en cambio 4x = sí la satisface, 4 4 6+ = . Luego la
única solución de la ecuación es 4x = .
2) Resolver la ecuación: 3 2 1 2 4 1x x+ − − = .
Procedemos de forma similar al ejemplo anterior. Aislamos 3 2 1x + en el primer
miembro y elevamos los dos miembros al cuadrado:
( ) ( )3 2 1 1 2 4 9 2 1 1 4 4 4 4x x x x x+ = + − → + = + − + −
Aislamos de nuevo el radical: 4 4 22 8x x− = − . Ahora dividimos todo entre dos.
2 4 11 4x x− = − y luego elevamos al cuadrado ambos miembros de nuevo:
( ) ( )2 24 4 121 88 16 121 84 0 121 84 0x x x x x x x− = − + → − = → − =
Las soluciones de esta última ecuación son 1 0x = y 2 84 121x = . La primera solución
no satisface la ecuación propuesta mientras que la segunda sí la satisface.
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
22
3) Resolver la ecuación 24 3 2 0x x− − = .
Aislamos el radical al primer miembro y elevamos ambos miembros a la cuarta potencia
2 2 4 4 24 3 2 3 2 3 2 0x x x x x x− = → − = → − + =
La anterior es una ecuación bicuadrada cuya descomposición en factores viene dada por
( )( ) ( )21 1 1 0x x x− + + = . De donde las únicas soluciones reales son: 1 1x = − y 2 1x = .
Ambos valores de x son solución de la ecuación propuesta. (El factor 2 1x + tiene
raíces complejas conjugadas)
1.2.4Ecuaciones Logarítmicas: Se dice que una ecuación es logarítmica si la incógnita
figura dentro de un logaritmo, es decir, en este tipo de ecuaciones a la incógnita o
a expresiones que la contienen se les ha tomado el logaritmo, por lo que para
resolverlas es necesario invertir la operación (aplicar función exponencial). Las
soluciones obtenidas se deben comprobar en la ecuación original porque se
podrían obtener soluciones extrañas.
Previo a la resolución de ejercicios, recordaremos las propiedades de los
logaritmos.
Propiedades de los Logaritmos
)1 El logaritmo de 1 en cualquier base es 0, es decir, log 1 0a
= .
)2 El logaritmo de la base es igual a 1, es decir, log 1a
a = .
)3 El logaritmo de un número negativo no existe, es decir, ( )loga b no existe− =
)4 El logaritmo decimal (logaritmo en base 10) de cualquier número real comprendido
entre 0 y 1 es negativo.
)5 El logaritmo decimal de un número real mayor que 1 es positivo.
)6 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Es
decir: ( )log log loga a am n m n⋅ = +
)7 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo
del divisor. Es decir: log log loga a a
mm n
n
= −
)8 El logaritmo de cualquier potencia de la base es igual al exponente. Es decir:
log n
aa n=
)9 El logaritmo de una potencia de base a y exponente p , es igual al exponente
multiplicado por el logaritmo de la base. Es decir: ( )log logp
a an p n= ⋅
)10 El logaritmo de una raíz de índice r , de un número n , es igual al logaritmo del
número n dividido por el índice r . Es decir: log
log r aa
nn
r=
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones:
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
23
1) ( ) ( )log 5 1 1 log 2 1x x+ = + −
Como 101 log 10 log10= = , podemos escribir: ( ) ( )log 5 1 log10 log 2 1x x+ = + −
Aplicando propiedades logarítmicas (propiedad 6), tenemos que:
( ) ( )log 5 1 log 10 2 1x x+ = ⋅ −
Como el resultado obtenido es una igualdad de logaritmos, se deduce que:
( ) 115 1 10 2 1 5 1 20 10 15 11
15x x x x x x+ = ⋅ − → + = − → = → =
2) log 810
xx =
Tomamos logaritmo en ambos miembros: log log 8log10x x⋅ =
( )33 22log log 8 log 8 log 8 log 4x x x x x⋅ = → = → = → = . Luego:
log 4 410 10 10x x= → =
3) ( ) ( ) 1log 4 log 3 10 logx x
x
− − − =
. Aplicamos propiedad 7 de los logaritmos
4 1log log
3 10
x
x x
− = − . Se cumple entonces que:
4 1
3 10
x
x x
− =− obtenemos una ecuación
fraccionaria, cuyas soluciones son 1 5x = y 2 2x = . Al sustituir las soluciones en la
ecuación original, el valor 2x = hay que descartarlo ya que no la satisface.
1.2.5Ecuaciones Exponenciales: En estas ecuaciones la incógnita o una expresión de
ella, aparece en el exponente. La solución de este tipo de ecuaciones puede
obtenerse tomando logaritmos en cualquier base mediante el uso de las
propiedades de la potenciación. En este último caso es conveniente recordar que:
1) ( ) ( )m nm n n ma a a⋅ = = . Así ( ) ( )2
2 23 3 3x
x x= =
2) Si m n
a a= , entonces m n= . Así, si 2 2x y= entonces x y=
3) 1m
ma
a
− =
4) Cualquier número 0a ≠ elevado a la potencia cero, es igual a 1. De manera que el
número 1 puede ser expresado convenientemente como cualquier número distinto de
cero elevado a la potencia cero. Así ( )0 0 0 01 2 3 100 0a a= = = = ≠ .
5) m n m n
x x x+ = ⋅ . Así
5 3 2x x x= ⋅
6)
mm n
n
xx
x
− = . Así
75
2
xx
x=
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
24
1) 3 25 2x x−=
Tomamos logaritmos decimales
23 2 log 5 log 2
log 5 log 23 2
x xx x
−−= → =
( )log5 log 22
3 2x x⋅ = − ⋅ , como log 5 0,70= y log 2 0,30= , tenemos que:
( ) ( )0,70 0,302 0, 23 0,15 2 0,23 0,15 0,30
3 2x x x x x x= − → = − → = −
( )0, 23 0,15 0,30 0,08 0,30 3,75x x x− = − → = − → = −
2) 2 2 53 27x x− − = . Como
327 3= , tenemos que: 2 2 5 3 23 3 2 5 3x x
x x− − = → − − =
2 2 8 0x x− − = , de donde 1 4x = y 2 2x = − .
3) 17 2 7 5 0x x−− ⋅ − = . Como
1 77 7 7
7
x x
x
− −= ⋅ = , tenemos que:
2 7 147 5 0 7 5 0
7 7
x x
x x
⋅− − = → − − = . Multiplicando por 7x:
14 77 7 5 7 0
7
xx x x
x
⋅⋅ − − ⋅ =
27 5 7 14 0x x− ⋅ − = . Si hacemos el cambio de variable, 7xu= , entonces
2 27 xu= y
tendremos: 2 5 14 0u u− − = , de donde 1 7u = y 2 2u = − . Como 7x
u = , tenemos: 7 7x =
de donde 1x = y 7 2x = − , solución no válida, ya que para cualquier valor real de x ,
7 0xf .
4) 32 2 72x x++ = . Como
3 32 2 2 8 2x x x+ = ⋅ = ⋅ , tendremos:
( )3
2 8 2 72 2 1 8 72
729 2 72 2 2 8 2 2 3
9
x x x
x x x xx
+ ⋅ = → + =
⋅ = → = → = → = → =
Ejercicios Propuestos
1) Resolver las ecuaciones:
a) ( ) ( )4 5 15 3 4 2 9 9x x x− + = − − −
b) ( ) ( )2 3 2 3 4 5
5 2 10
x x x− −− =
c) ( ) ( )2 23 2 53x x+ + − =
d) ( )( )2
2 2
3 11 3 2
1 2 11
xx x x
x x xx
++ + ++ =− − +−
e) 2 3 2 2x x+ − − =
f) 2 3 1x x+ + − =
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
25
g) 3 2 2x x= −
2) Hallar a para que sean iguales las dos soluciones de la ecuación 2 0x ax a− + =
3) Calcular c para que las soluciones de la ecuación 2 9 0x x c− + = sean una el doble
de la otra.
4) Un obrero gana Bs. 44400 diarios, pero debe abonar Bs. 22200 por cada día que falte
el trabajo. Al cabo de 58 días recibe Bs.1642800. ¿Cuántos días ha trabajado y cuántos
ha faltado?
5) Dos grifos, manando juntos, llenan un depósito en 7 horas. Uno de ellos lo llenaría en
12 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría el otro en llenarlo?
6) Si se mezclan 6 litros de vino de cierta clase con 3 litros de otra, se obtiene una
mezcla que vale Bs. 20000 por litro. Pero si se mezclan 4 litros de la primera con 6
litros de la segunda, la nueva mezcla vale Bs. 640 más por litro. ¿Cuánto vale el litro de
cada uno de los vinos?
7) Marina y Ana parten de A , en moto, a las 8 de la mañana y convienen en encontrarse
en B , a 200Km de A . Sabiendo que Marina va a 10 Km h más que Ana y llega una
hora antes, se pide la velocidad de cada una.
8) Dos obreros trabajando juntos, realizan una obra en 18 días. ¿Cuánto tardaría en
realizarla cada uno por separado, sabiendo que el primero tardaría 27 días más que el
otro?
9) Simplificar cada expresión. Asumir que todas las variables representan números
positivos:
a) ( ) ( )4 2 52 3x y xy− ⋅ − h)
1 3
1
3 2
2
−
−
− ⋅
b) ( ) ( )1 14 62 34 8x x+ − i) 1
1
1−
−−
c) ( )2
2 2
2 2
ab a b
a b
+ j)
1
2
3
3
−
−
d) 34
1
4x k) ( ) ( )( )2
2 4 2 5− − −
e) ( )( )
31 6
29 12 3
2
8
a b
a b
−
−−
− l) ( ) ( )26 4 1 3− − −
f) 27 8 32− + m) 2
327−
−
g) 3 9 012x y z n)
( ) ( )( ) ( )( )
23 4 3 9
3 2 5 1
− − − +− − − −
10) Simplificar:
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
26
a)
5 3
2 41 2
2
x x
x
−
− c)
2
2
13
2
54
2
y
y
−−
+−
b)
2
4 5
4 2
1 3
2 2
y y
y y
−− −
−− +
d) 2 3
3 3 4
1
65 3
8 10
a b
a b a b−
)11 Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 1 3
2 4
x x
x x
− +=− + e) 2
3 1 1
9 3
x
x x x
−= −− −
b) 2 2
3 5 3
4 4
x x
x x
− −=− − f)
1 1 1
1 1x x x+ =
− +
c) 2 8
03 3
x x
x x
− ++ =+ + g) 2
5 2
4 2
x
x x=
− −
d) 1 3
02
x x
x x
− −+ =−
)12 Simplificar cada fracción:
a)
4
44 4
4
aaa
aa
+++−
+
c)
2 3
14 2
1
t t
t tt t
t t
+ −−−+ −+
−
b)
6
2
4 15
2
yy
y
yy
y
+−++−+
d)
3 4
2 21 3
2 2
x x
x x
−+ −
−+ −
)13 Resolver las siguientes ecuaciones logaritmicas y comprobar las respuestas:
a) ( )log 2 1 log 1x x+ − = i) 2 2log logx x=
b) ( )2log log 1x = j) ( ) ( )log 3 1 log 1 2x xx x+ + − =
c) ( )2 2log log 2x = k) log 2x
x x=
d) log 2
2 2x = l) ( )2log 2 32 2x x+ = +
e) ( ) ( )log 2 8 log5 log 1x x+ − = − m) log 1 610x
x− =
f) ( ) ( )2log 1 2 log 1x x− − = + n) 1 1 2
2 log log 2 3x x+ = −
+ −
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
27
g) ( )ln ln 1 ln 6x x+ − = o) ( )2log 2 4 1x x− = −
h) ( ) ( )22log logx x=
)14 Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 13 2x x+= h)
110 1x x− = +
b) 2 24 5x x−= i)
2 12 5 2 6 0u u−− ⋅ − =
c) ( ) ( )1 0,5
2 7x x+
= j) 2 121 2 5x x x+= ⋅
d) ln4 1x = k)
2 3 12 6 0x x+ −− =
e) ln 4x
x = l) 1 25 5 5 155x x x+ ++ + =
f) 23 81x+ = m)
23 5 5 0, 2 0x x−⋅ + − =
g) 2 5 110 100000x x+ − = n) 1,51
x x
x x
e e
e e
−
−
+ = −−