POLITICAS OPTIMAS DE PUBLICIDAD EN UN MODELO DE CONTROL CON COSTES FIJOS Rarnón Fernández Lechón Alg Dolores Soto Torres RESUMEN.— En este trabajo consideramos un modelo publicitario de Control Optimo continuo y determinamos las distintas políticas publicitarias admisibles, así como una solución óptima. Realizamos una modificación en el modelo y analizamos la existencia de una solución periódica que, en determinados supuestos, es mejor que la monótona antes encontrada; el tratamiento analítico de esta ŭltima afirmación es bastante difícil, de ahí que recurramos al análisis numérico para com- probar los resultados. 1. INTRODUCCION El campo de trabajo en el que se han aplicado los desarrollos de la Teoría del Control puede decirse que abarca un amplio espectro de modelos; en el ámbito económico pueden mencionarse modelos de publicidad, empleo, producción, planificación, etc. Nosotros, en este tra- bajo, vamos a plantear un modelo de Control Optimo autónomo, en tiempo continuo, con horizonte temporal infinito y tanto de actualización instantáneo constante y utilizando las condiciones necesarias del Princi- pio del Máximo determinaremos las trayectorias admisibles y una solu- ción óptima. Existen resultados para problemas de Control característicos, como los obtenidos por Kamien y Schwartz (1981) o más recientemente por Hartl (1987) que demostraron que en problemas autónomos continuos, con una ŭ nica variable de estado y horizonte temporal infinito, bajo determinadas condiciones, la solución óptima de la variable de estado, si existe, es monótona. Por tanto, la cuestión fundamental, en este tipo de problemas, es determinar esta trayectoria monótona, pero puesto que los
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POLITICAS OPTIMAS DE PUBLICIDAD EN UNMODELO DE CONTROL CON COSTES FIJOS
Rarnón Fernández LechónAlg Dolores Soto Torres
RESUMEN.— En este trabajo consideramos un modelo publicitariode Control Optimo continuo y determinamos las distintas políticaspublicitarias admisibles, así como una solución óptima. Realizamos unamodificación en el modelo y analizamos la existencia de una soluciónperiódica que, en determinados supuestos, es mejor que la monótonaantes encontrada; el tratamiento analítico de esta ŭltima afirmación esbastante difícil, de ahí que recurramos al análisis numérico para com-probar los resultados.
1. INTRODUCCION
El campo de trabajo en el que se han aplicado los desarrollos de laTeoría del Control puede decirse que abarca un amplio espectro demodelos; en el ámbito económico pueden mencionarse modelos depublicidad, empleo, producción, planificación, etc. Nosotros, en este tra-bajo, vamos a plantear un modelo de Control Optimo autónomo, entiempo continuo, con horizonte temporal infinito y tanto de actualizacióninstantáneo constante y utilizando las condiciones necesarias del Princi-pio del Máximo determinaremos las trayectorias admisibles y una solu-ción óptima.
Existen resultados para problemas de Control característicos, comolos obtenidos por Kamien y Schwartz (1981) o más recientemente porHartl (1987) que demostraron que en problemas autónomos continuos,con una ŭnica variable de estado y horizonte temporal infinito, bajodeterminadas condiciones, la solución óptima de la variable de estado, siexiste, es monótona. Por tanto, la cuestión fundamental, en este tipo deproblemas, es determinar esta trayectoria monótona, pero puesto que los
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movimientos periódicos de las variables son frecuentes en el campo eco-nómico una cuestión relevante a tratar es considerar aspectos adicionalesal modelo que permitan garantizar la existencia de comportamientosperiódicos.
Este es el esquema que seguiremos en el trabajo, primeramente deter-minaremos la solución óptima del modelo, que será una solución monóto-na y posteriormente una nueva reformulación nos permitirá garantizar laexistencia de una solución periódica que, bajo determinados supuestos, esmejor que la monótona.
Para ello, hemos considerado un modelo de Vidale-Wolfe en publici-dad', en el que se trata de determinar la publicidad que debe realizar unaempresa, cuyo objetivo es maximizar el valor actual de sus beneficiossobre un período temporal infinito, si en el instante inicial la cuota de mer-cado es conocida y suponiendo que su variación en el tiempo es propor-cional a la eficacia de la publicidad, que act ŭa sobre la parte de mercadoque desconoce el producto, menos el nŭmero de clientes que se pierdencon el tiempo debido al olvido, y que actŭa sobre la parte de mercado queconoce el producto.
Hemos realizado una modificación en el modelo original, considerandouna hipótesis más realista, como es suponer que, además del coste depen-diente de la cuantía de publicidad que se realice, existe un coste fijo moti-vado solamente por el hecho de realizar publicidad y que es independientedel medio que se utilice en la camparia publicitaria y del nŭmero de anun-cios o inserciones que se realicen.
En el segundo apartado del trabajo planteamos el modelo y utilizandoun control adaptativo y la aproximación dada por Neck y Dockner (1988)determinamos las políticas admisibles para, posteriormente, en el apartadosiguiente, encontrar una solución óptima con un comportamiento monóto-no en la variable de estado.
En la sección cuarta realizamos una modificación en el funcionalobjetivo introduciendo unos beneficios asociados a los cambios queexperimenta la variable de control cuando se pasa de utilizar una publi-cidad distinta de la máxima a la máxima y cuando se deja de utilizar lapublicidad máxima. Con estos beneficios, como serialan Feichtinger ySorger (1986), también considerados por Neck y Dockner (1988),logramos encontrar una solución periódica que, en determinadossupuestos, tiene un valor del funcional objetivo mayor o igual que elvalor del funcional objetivo de la monótona encontrada anteriormente.El proceso de comparación de ambos funcionales objetivos lo realiza-mos mediante un tratamiento numérico en el que fijamos los valorespara todos los parámetros del modelo y ŭnicamente variamos el benefi-cio de las ventas.
1 La formulación puede encontrarse en Kamien, M. I. y Schwartz, N. L. (1981),p.196.
Políticas ĉptimas de publicidad en un modelo de control con costes fijos 109
2. EL MODELO: POLITICAS ADMISIBLES
El planteamiento del modelo, teniendo en cuenta las consideracionesanteriores, será el siguiente:
max e-rt [Px (t)- 8 (K u (t))1 dt ,
sujeta a:
(t) = au (t) (1 — x (t))— bx (t),x (0) = xo,
0 �. u (t) � ŭ,
donde:
r= tanto instantáneo de actualización.P= beneficio total de las ventas por unidad de tiempo excluyendo costes
de publicidad.x (t)= cuota de mercado en t.u (t)= publicidad en el instante t.a= tanto de eficacia de la publicidad en las ventas.b= tanto de pérdida de ventas.K= costes fijos de realizar publicidad.
{0 si u(t) = 0,=
1 si u e(0
La primera restricción indica, segŭn expusimos, que la variación de losclientes es proporcional a la eficacia de la publicidad menos el n ŭmero declientes que se pierden debido al olvido. La cuota de mercado está com-prendida entre cero y uno, partimos de una cuota inicial conocida y existeuna restricción publicitaria de cuantía
El modelo a estudio es un problema de Control Optimo autónomo, deperíodo horizonte infinito, con una ŭnica variable de estado y una ŭnicavariable de control que son respectivamente la cuota de mercado y lapublicidad.
Para resolver este modelo vamos a seguir la aproximación dada por Necky Dockner2 , donde el comportamiento discontinuo en 0 de 8 (K + u (t))se sustituye por una función continua, que en definitiva lo que supone esuna variación de los costes fijos para el caso de que la publicidad no sea
ni la máxima (u = U) ni la mínima (u = 0); con lo que el funcional objetivoserá:
e (Px (t) - u (t) K- —- - u (t)) dt ,u
y llamando ot = 1+ K
tenemos que el problema de control a estudiarpuede plantearse:
max jo
e- rt [Px (t)— au ( t)] dt ,
sujeta a:
i (t) = au (t) (I — x (t))— bx (t),x (0) = xo,
0 � u (t) � 1,7 oc> 1.
La resolución del modelo, siguiendo a Pitchford y Turnovsky (1977),Seierstad y Sydsaeter (1977) requiere plantear el Hamiltoniano:
H (x, u, y) = Px — au + iy (au (1 — x) — bx),
y la Lagrangiana:
L (x, u, iy,21.1 ,2 2) = Px — au + xy (au (1 — x) — bx)—Xqu±21.2 (171 — u),
donde xif es la variable de coestado asociada a la cuota de mercado (pseudo-precio de la cuota de mercado) que nos mide la contribución marginal delos clientes al beneficio total de la empresa y A, 1 y 21/4,2 son los multiplicado-res asociados a las restricciones de la variable de control.
Las condiciones necesarias del Principio del Máximo nos determina:
a I,7,- =0.—a+wa(1— x)+ X i —?1,2,
ni — ny = _R_ ,.jr — ny = — (P —xyau—mtb),
X = au (1 — x)— bx,
2L i -� °'X 2 (ii—u)= 0, X. 2 .� 0 ,
CO
de donde las distintas políticas admisibles son:
Políticas óptimas de publicidad en un modelo de control con costes fijos 111
Política 1
Si > 0 u= 0 X.21.7= 0 Á2= 0, luego:X i = oc — ya (1 — x) > 0 ya (1 — x) < oc,
= —bx,(r + b) y — P,
por tanto, el comportamiento de la variable de estado y coestado obtenidoa partir de sus ecuaciones diferenciales viene dado por:
x(t)= x (z)e -b(t-z)z t,
w . (1,11 (z) (r +b)(t- z)
r +b
La cuota de mercado es siempre decreciente en esta política, y tendiendohacia cero. Observemos, además, que si se aplica esta política en un interva-lo de amplitud la cuota de mercado cae en algo más del 36%. La variablede coestado o Iseudo-precio de cuota de mercado, tendremos que es cre-ciente si el pseudo-precio de partida supera a (ratio beneficio tanto deactualización más tanto de olvido); en caso ĉoVrario decrecería, permane-ciendo constante si el pseudo-precio de partida coincide con el ratio.
Política 2
Si X2 > 0 74-= u y como Á l u= 0 Ál =0, entonces:X2 = —oc + ya (1 — x) > 0 ya (1 — x) > a,
= 7 (1 — x) — bx,= (r+b)y + yar P,
y el comportamiento de dichas variables viene dado por:
x(t) =(x(z) _aŭ ) z te - laú+b)it-z) ,
au +b+
+b
y (t) =(xv (z)
p (r+b+m-1)(t-z)r+b+aŭ r+b+aŭ
ahora, el comportamiento de la cuota de mercado es asintótico hacia atia bexcepto para el caso en el que partimos ya de dicho valor, como condicio-nes iniciales, que entonces nos mantendremos en él. La variable de coesta-do tiene un comportamiento creciente, decreciente o consta.nte segŭn lascondiciones iniciales de partida.
r + b z t
z < t,
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Política 3
Si X i = 21.2= 0 obtenemos las siguientes ecuaciones:
—oc + ya (1 — x)= 0 xila (1 — x)= oc,
y derivando respecto al tiempo:
Ya (1 — x) —iya= 0,
i = au (1 — x) — bx,Ni = (r + b+ au) y — P.
Sustituyendo x. y iir en la primera de las ecuaciones y teniendo en cuentaque ya (1 — x)= a, tendremos:
Pa (1 — x) 2 — ra (1 — x) — ba = 0,
que puesto que x e [O, 1] admite una ŭnica raíz
ra + '‘I r2 a2 + 4 Paba 1- x -2aP
Denotamos a dicho valor por x s , entonces si x toma dicho valor constantex, tendremos quei = O. Por otro lado, puesto que 0 5_ 1 — x � 1 tendremos:
lir 2 a 2 + 4Paba � 2aP - ra,
pero 2aP — ra � 0 puesto que otro caso sería absurdo 3 y entonces
r2 oc2 + 4Paboc � 4a2 P2 — 4aPra + r2 a2'
luego se tiene aP �. (r + b) a.Por tanto, siempre que aP � (r + b)oc, la política que estamos analizan-
do es admisible y consiste en mantenerse en la cuota de mercado x, y,teniendo en cuenta la ecuación diferencial de la variable de estado, obtene-mos, au (1 — xs)= bxs, de donde el control será:
bx su s- a (1- x s)
3 Notar que sólo era válida una raíz.
Políticas óptimas de publicidad en un modelo de control con costes fijos 113
Este control tiene que ser admisible, es decir, 0 us luego sustitu-yendo xs, por su valor y operando se tiene que:
Pab a (aFt + b) (art + b + r).
La variable de coestado ha de verificar
s a (1 —x s)
y, por tanto, también podemos escribir dicha variable en función del con-trol mediante la expresión:
Ws— r+b+aus
Notemos que us= 0 si y sólo si xs= 0 y si us= i entonces Xs- b .reciprocamente; en cualquier otro caso se observa que x, está comprenthdoestrictamente entre 0 y b •au
3. DETERMINACION DE UNA SOLUCION OPTIMA
Conocidas las políticas admisibles resolvemos el problema utilizandola técnica del camino de aproximación más rápida (ver Kamien y Sch-wartz)4, procedimiento, que para el problema de control propuesto la solu-ción consiste en alcanzar lo antes posible el valor x,, que hemos definidoantes, si aP (r + b) ao x= 0 en caso contrario.
t:GRÁFICO
4 Kamien, M. I. y Schwartz, N. L. (1981), Sección 16, pp. 90 y ss.
Ahora vamos a conectar estos resultados con las políticas admisiblesencontradas en la sección anterior. Para ello vamos a tener en cuenta larelación que existía, para dichas políticas, entre ay (1 — x) y a.
En la primera política (u= 0) el comportamiento asintótico de la varia-ble de estado y control nos lleva a que se ha de verificar Pa < (r + b) a; enla segunda política (u= 17) de un modo análogo se tiene Pab >a (aJ + b) (a17 + b + r) y, por ŭltimo, con la tercera política dicho compor-tamiento nos lleva a (r + b) ct Pa (aTi + b)(aTI + b + r).
Así pues, podemos considerar tres casos diferentes:
Primer caso (aU+b)(au+b + r)> Pa >(r +b)a.
Bajo este supuesto el camino de aproximación más rápida nos reco-mienda alcanzar, lo antes posible, x, y después mantenernos en dicho nivel.Puesto que
dicha solución se alcanzará al cabo de cierto tiempo; ahora bien, como par-timos de unas condiciones iniciales x (0)= xo, se tienen distintas políticas aseguir (Gráfico 1).
a) xo< xs.En este caso se aplicará una política de publicidad máxima para alcan-
zar lo antes posible el valor xs, y una vez alcanzado dicho valor debemosde aplicar una política que mantenga dicho nivel de mercado 5 . Luego pri-mero aplicamos publicidad máxima (Política 2) y después una publicidad
que mantenga el nivel xs (Política 3).Con la política 2 la cuota de mercado viene dada por la expresión:
ari x(t)=(x e - (art +b)t
o aD b afi+ b'
y el valor de x, se alcanzará en el instante t que verifique xs= x (t), esto es:
aii1 x +b — 1n+ b ati
x o ari+b
5 Notar que con la política 1 la cuota de mercado es decreciente y con la política 2 escreciente hasta alcanzar el nivel 6171 I (art + b) que es mayor que xs por las condicionesimpuestas.
Políticas óptimas de publicidad en un modelo de control con costes fijos 115
Una vez alcanzada la cuota de mercado x, en el instante t, aplicamos lapolitica 3, esto es, hemos de realizar una publicidad us que mantenga cons-tante la cuota de mercado (x= Xs). bx s
Para esta politica la publicidad viene dada por a (1— x s) y sustituyendox, por su valor dado antes obtenemos el valor de us . Además el comporta-miento de la variable de coestado en este caso tiene que ser tal en elmomento I, calculado anteriormente, tome el valor
b)xo= xs.
En este caso puesto que partimos de la solución óptima hemos de man-tenerla. Para ello aplicamos la politica 3 y tendriamos una publicidad usigual a la anteriormente mencionada. La variable de coestado se mantieneconstante e igual a
r + b + auc) xo > x,.Ahora aplicamos una politica de publicidad nula (politica 1 en la que el
nivel de mercado decrece) hasta alcanzar el nivel óptimo x, y después nosmantenemos en él aplicando la politica 3, en la que la publicidad se man-tiene constante e igual a us
Al aplicar la politica 1, la cuota de mercado viene dada por x (t)= xo e-bi,que es una función convexa y alcanza el valor x en el instante
1 x st = – ln x o
Alcanzado dicho valor, se aplica la politica 3 como en los otros casos.De nuevo la variable de coestado en t alcanza el valor y„.
Luego resumiendo, cuando (a7,1 + b) (a71 + b + r) > Pa> (r + b) a, lasolución al modelo es:
Si x o <x
Si X o =Xs
Si x > xo s
t E [O, t),u =
u s si t E[t
u = u s Vt � 0{ 0 si t e[0 ,t),
u =u si t e[i
Segundo caso Pa � (r + b) a<—a (ari + b) ( aii + b + r)
Ahora sabemos que la solución óptima es x = 0, luego hemos de aplicaruna politica para obtener dicha cuota de mercado, que será la politica 1,esto es, u= 0 V t 0 independientemente de las condiciones iniciales delas que se parta.
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La variable de coestado crece o decrece alejándose der--7+ o bien puede
permanecer constante, tomando precisamente ese valor y puesto que lavariable de estado en el momento inicial es fija x (0)= xo, la de coestado,en el momento inicial, es libre, luego tomándola igual a P tenemos queijf (t) permanece constante. r + b
Tercer caso Pa �_ —a
(ari +b)(ati +b + r)
El camino de aproximación más rápida nos dice que hemos de alcanzarlo antes posible x, y mantenernos en dicho nivel, pero ello implicará utili-zar un control que no es admisible (0 us ). En este caso la política aseguir es la segunda que es la ŭnica válida en tiempo terminal con lashipótesis consideradas (Gráfico 2).
1
- x,
aŭaŭ + b
xo
GRÁFICO 2
• La variable de coestado en esta política crecerá o decrecerá acercándo-Pse a o bien permanece constante tomando precisamente dicho
r + b + affvalor y puesto que la variable de estado en el momento inicial es fija
(0)= xo, la variable de coestado en el momento inicial es libre y por tantotomándola igual a tenemos que If(t) permanece constante.
r + b +Veamos ahora si las soluciones óptimas encontradas verifican también
las condiciones suficientes, para ello aplicamos las condiciones de Arrow6y tenemos:
H* (x, lif, t) = max H (x u, ijí, t),
6 Seierstad, A. y Sydsaeter, K. (1977), p. 370 y Pitchford, S. J. y Tumovsky, S. J.(1977), p. 28.
Políticas óptimas de publicidad en un modelo de control con costes fijos 117
y como H (x,u, y, t) es lineal en u, el máximo se alcanza en:
U= Ŭ si ya (1 — X)> CC,
u= 0 si ya (1 —x)< a,
V u E [0, si ya (1 — x)= a,
de donde en cualquier caso H* (x, lif, t) es lineal en x y, por consiguiente,cŭncava; además, teniendo en cuenta las consideraciones que hemos reali-zado respecto a la variable de coestado y a la variable de estado (t) queverifican las condiciones necesarias, se observa que se verifican las condi-ciones de transversabilidad:
lim e-" y(t) 0,
lime-" y(t).t' (t)= 0,
entonces las soluciones encontradas, esto es, las políticas obtenidas, que nopodemos asegurar que sean ŭnicas pues H* (x, y, t) no es estrictamentecŭncava en x', son óptimas para cada condición exigida.
4. POLITICAS PERIODICAS CUANDO HAY BENEFICIOS ASOCIA-DOS A LOS CAMBIOS EN LOS CONTROLES
En el apartado anterior hemos demostrado que la solución óptima esrealizar publicidad máxima, en unos casos, no realizar publicidad enotros; y mantener, a partir de un determinado momento, una publicidadconstante, que en algunos supuestos puede coincidir con la máxima o lanula.
La solución es rrionótona en la variable de estado; sin embargo, existentrayectorias admisibles, no óptimas, que podrían dar lugar a un comporta-miento periŭdico de las variables del modelo bajo determinados supuestos.Este es el objetivo de este apartado y para ello modificamos el funcionalobjetivo introduciendo unos beneficios que recogen los cambios que expe-rimenta la variable de control al cambiar de una política a otra. Asociamosun beneficio s2 � 0 al cambio que se produce cuando se pasa de utilizar uncontrol perteneciente al intervalo [O, a utilizar {ii), es decir, se pasa deutilizar un control distinto del máximo, al máximo, y denotamos por s i 0al beneficio que reporta el cambio reciproco (se deja de utilizar el control(i}) y suponemos que s i + s2 > 0.
7 Pitchford, S. J. y Tumovsky, S. J. (1977), p. 30.
Con estas consideraciones vamos a construir una política periódicaque, en determinadas ocasiones, es mejor que la monótona encontrada enla sección anterior. En efecto, bajo estos supuestos nuestro modelo queda-ría planteado del siguiente modo:
max e' [Px (t) – 8 (K + u(t))1dt s1 + Ee" s 2'
0 teT t e T21
sujeta a:.i(t) = au(t) (1 – x(t)) – bx(t),
x(0) = xo,
0 u (t) 5.71,
si 0, s2 0, s i + s2 > 0.
donde Ti es el conjunto de instantes de tiempo en los que se deja utilizar lapolítica {u– } y T2 es el conjunto de instantes de tiempo en los que se pasa autilizar el control {i,t}.
En este tipo de problemas, en los que hay beneficios o penalizacionespara los cambios en el control, Sorger (1986) y Feichtinger y Sorger(1986) 8 demuestran que existe una ŭnica solución y que es monótona operiódica. Nosotros vamos a centrar nuestro estudio para el caso en que:
—a (a_u + b) (au + b + r)> Pa > (r + b)a,
y en el supuesto de que la cuota de mercado de partida sea menor que xs.Existen otros supuestos que antes hemos estudiado y que ahora no analiza-mos, pues su estudio sería análogo al que abordamos a continuación.
La solución antes alcanzada cuando (a5 +b)(aii + b + r)> Pa > (r + b)a,y cuando xo < xs era:
t71 si t Eu =
u s si tert,c.),
que es monótona y puede ser también la solución óptima del problemaahora planteado; pero veamos que, en determinados casos, existe una solu-ción periódica mejor, que viene dada por:
si t e[0,
si t [t+n0, i+ n0 + z) n = 0 ,1,2 , ,si t Eri+ne + z,t+(n+1)8) n=0 ,1,2,...,
8 Ver Neck, R. y Dockner, E. J. (1988), p. 86.
Políticas óptimas de publicidad en un modelo de control con costes fijos 119
Para demostrarlo comparamos el valor de la función objetivo con una yotra solución. Antes de ello, vemos que la solución periódica lo que indicaes que, partiendo de un xo < xs, aplicamos el control máximo u– hasta alcan-zar xs en el instante î, después aplicamos u = 0 hasta alcanzar un nivelx = x– en el instante i + z; a continuación volvemos a aplicar la política u-
hasta alcanzar xs en el instante î + 0, después otra vez la u = 0 hasta el ins-tante Î + 0 + z en el cual el nivel será x = y así sucesivamente segŭn serecoge en el gráfico 3.
zo.
+ z + 14-8-1-z i+20 i+20+7.
GRÁFICO 3
Los valores 0 y z se obtienen sin dificultad, ya que una vez alcanzadoxs en el instante î, calculado anteriormente, aplicamos u= 0 y como paraesta política la cuota de mercado satisface la ecuacióni(0= – bx (t) tendre-mos, despejando z después de integrar entre î y î + z, que:
z = – —1
ln k
b xs
Alcanzado x– en el instante î + z, la política a seguir es u = ii (política 2)para la quei(0= au (1 – x) – bx, luego, integrando dicha ecuación diferen-cial entre i+zyi+ 0, se tiene:
ari1
x s aff + bz 0 – ln
aí-t+b artatz + b
120 Ramón Fernández Lechón,Mg Dolores Soto Torres
y sustituyendo z por su valor, tenemos:
au1 1 x
s aff + b 0 = 1nb xs aU+b - ari
x art+ b
Denotemos por J 1 el valor del funcional objetivo cuando se sigue lapolítica monótona y por J2 si la política seguida es la periódica. Estosvalores son respectivamente:
f i t r pxs _ K - us ] dt + si e-riJi = e-rt [ Px (t)- K -it ] dt + . e-r 10
t+ z-rt [Px(t)- K -fi]dt+ s ie - ri e-rt Px(t)dt + s 2 e
-r(i+z)
i+0 _rci+e) si+0+z _rte-rt [Px(t)- K -zti]dt+ s e e Px(t)dt
f+ z +9
+ s2 ef+0+z
-r/i+e+z) 1Î+213e-rt [Px(t)- K-fi]dt+ s
e-r(i+20)- f-...1
La comparación entre f i y J2 nos lleva a calcular su diferencia:
i+n0+zJ 2 - 1" e-n[Px,-K-ui
rdt+ e-rt Px(t)dt
i+n0n=0
ji+(n+1)0
+ne+z
e rt [Px(t)- K -iddt +st e—r n
in=0 n=1
0,0
+ s, E e—r(i+ne+z) (i)
n = oLos sumandos primero, cuarto y quinto de (1) se calculan sin ninguna
dificultad y valen:
-_f e-rt
1 1-21 s K -u s idt -Px K -u,
e_rt
-r6+n0+z)_ e-rii+z)
s e -r(i+8)s2
1 Ld —re 2 1,— e —r0e -1 e -1
n=1 n=0
Políticas óptimas de publicidad en un. modelo de control con costes fijos 121
Para calcular el segundo de los sumandos de (1) hemos de tener en cuen-ta que el control es nulo en estos intervalos, es decir, se está aplicando lapolítica 1, luego sustituyendo x(t) por su valor, para esa política en dichosintervalos, y teniendo en cuenta que el límite inferior vale xs, se tiene:
ii+ne+z Px s(e-(r+b)z _1)e_ rt
Ji+ nee-rt Px(t) dt -
n=0(r+b)(e-re -1)
El cálculo del tercer sumando de (1) se realiza de idéntica forma ya queen estos intervalos el control es ii, esto es, se sigue la política 2, entoncessustituyendo x(t) por su valor, para esa política, en dichos intervalos, yteniendo en cuenta que en el límite inferior vale .7, tendremos:
ri+(n+1)0[Px(t)- K -77]dt=
n=0 ii+ne+z
[P
ail ) e (atii+b)z (e —(r+ cnT+b)0 e-(r+ari+b)z)r+ari+b aŭ +b
4. 1 (p aff K e-rir aŭ +b e-re
Sustituyendo todas estas expresiones en (1) tendremos:
Px s -K-u s _ri Px s -ri e + r +b
( e-(r+b)z e 1)f 2 -f i - r e-re -1
P aff ) 1 ee -1-rE + ari ) e-re (x e —bz e r- z
r +aff +b[(x s aij+ b s aij +b —re
1 a( n ff —ri —ri e-ri+— i- K u--) e s -e re e s e-rz r aff +b ) —re ,e -1 i e—re — 1 2 e—re —1
Luego .12 — .1 i > 0 siempre que:
Px s -K- U ssi e -re +
(e_re _ ij + Px s_ i, e-(r+b)z — 1)-rzS 2 e > r r +b
Ahora bien, sabemos que 0 = z + Î luego el lado derecho de la desi-gualdad anterior es una función de z que denotamos por D(z) y que pode-mos escribir:
Px — K —u Px 5s +
Pa D(z)=e-rer +aff +b (r +aff +b)(a5+b)
Px —K —u s Px s aff+ s + Pr+b r aff+b
Pal +b)zrz Pxes
(r +a5+b)(afi+b) e-r+b r+b+afff
Una inspección de la expresión D(z) nos aconseja no proseguir con sudesarrollo analítico por la dificultad que ello entrariaría, por ello pasamosa realizar un tratamiento numérico.
5. TRATAMIENTO NUMERICO DEL MODELO
En el tratamiento numérico realizado para determinar cuándo es mejoruna u otra política hemos fijado todos los parámetros excepto uno, que esel que hemos ido variando. Nosotros hemos considerado como parámetroque puede variar el beneficio unitario P y tomamos para el resto de losparámetros los valores r= 0,01; b= 0,2; a= 0,6; K= 0,1 y 1. Determi-namos primeramente entre qué valores puede variar P para que se verifi-que la relación que nos ocupa, esto es, t(at + b)(at 7 + b+ r)>Pa >(1- b)a yobtenemos que, para dichos valores, P varía en el intervalo (0,385, 5, 94);además si consideramos xs y us como funciones de P, se observa queambas tienen un comportamiento creciente y cóncavo tomando un valornulo cuando P alcanza el extremo inferior del intervalo y valores máxi-
75 = _a au: b smos, x s ff u= 0, .0 en el extremo superior del intervalo.Calculamos, variando el beneficio unitario P desde las cotas 0,4 a 5,8
con incrementos sucesivos de dos décimas, los diferentes valores de xsyus y, suponiendo que es en cada uno de los casos un 10%, 20%, ...,90% de x, determinamos los valores de z y e para cada caso y a partir deellos los valores de D(z) que recogemos en las dos tablas siguientes,donde D . i= 1, 2, ..., 9, representa el valor correspondiente cuando.X= 0, i xs.
Políticas óptimas de publicidad en un modelo de control con costes fijos 123
P Xs Di(z) D2(Z) D3(z) D4(Z)
0,4 0,019 -81,10 -80,78 -80,59 -80,46
0,6 0,202 -66,11 -65,86 -65,70 -65,56
0,8 0,311 -50,85 -50,75 -50,65 -50,56
1 0,385 -35,39 -35,49 -35,50 -35,47
1,2 0,439 -19,80 -20,13 -20,26 -20,31
1,4 0,481 -4,09 -4,86 -4,95 -5,08
1,6 0,515 11,71 10,84 10,42 10,18
1,8 0,543 27,61 26,44 25,85 25,51
2 0,567 43,58 42,10 41,35 40,89
2,2 0,587 59,63 57,83 56,89 56,31
2,4 0,605 75,74 73,60 72,48 71,77
2,6 0,620 91,92 89,44 88,12 87,29
2,8 0,634 108,15 105,33 103,81 102,84
3 0,647 124,45 121,27 119,55 118,45
3,2 0,658 140,81 137,26 135,35 134,10
3,4 0,668 157,23 153,31 151,19 149,80
3,6 0,678 173,71 169,43 167,09 165,56
3,8 0,686 190,26 185,60 183,05 181,37
4 0,694 206,88 201,84 199,08 197,25
4,2 0,702 223,58 218,16 215,18 213,20
4,4 0,709 240,36 234,56 231,37 229,24
4,6 0,715 257,25 251,07 247,66 245,38
4,8 0,721 274,26 267,70 264,07 261,64
5 0,727 291,43 284,49 280,64 278,06
5,2 0,732 308,82 301,50 297,44 294,71
5,4 0,737 326,54 318,85 314,58 311,71
5,6 0,742 344,85 336,81 332,35 329,34
5,8 0,746 364,75 356,43 351,80 348,69
124
Ramón Fernández Lechón, M2 Dolores Soto Torres
P D5(z) D6(z) D7(z) 198(z) D9(z)
0,4 -80,35 -80,26 -80,18 -80,11 -80,05
0,6 -65,45 -65,35 -65,25 -65,16 -65,08
0,8 -50,46 -50,37 -50,28 -50,18 -50,09
1 -35,41 -35,34 -35,27 -35,18 -35,09
1,2 -20,30 -20,27 -20,22 -20,15 -20,08
1,4 -5,14 -5,16 -5,14 -5,11 -5,05
1,6 10,05 9,98 9,95 9,96 9,97
1,8 25,30 27,17 25,09 25,05 25,02
2 40,59 40,39 40,26 40,16 40,08
2,2 55,92 55,66 55,46 55,31 55,16
2,4 71,30 70,95 70,69 70,47 70,26
2,6 86,71 86,29 85,95 85,66 85,37
2,8 102,17 1 101,66 101,25 100,89 100,50
3 117,66 117,07 116,59 116,14 115,66
3,2 133,21 132,53 131,96 131,43 130,84
3,4 148,80 148,03 147,37 146,75 146,04
3,6 164,45 163,58 162,84 162,12 161,29
3,8 180,15 179,18 178,35 177,54 176,57
4 195,91 194,85 193,93 193,01 191,90
4,2 211,75 210,59 209,57 208,55 207,28
4,4 227,67 226,41 225,29 224,16 222,73
4,6 243,69 242,33 241,11 239,87 238,27
4,8 259,83 258,37 257,06 255,70 253,92
5 276,14 274,58 273,17 271,69 269,71
5,2 292,68 291,01 289,50 287,90 285,73
5,4 309,56 307,80 306,19 304,47 302,09
5,6 327,09 325,23 323,53 321,70 319,11
5,8 346,35 344,42 342,65 340,72 337,93
Políticas ĉptimas de publicidad en un modelo de control con costes fijos 125
En la siguiente tabla recogemos los valores de e para distintos valores•de P, donde, al igual que antes, cada columna C, indica el valor de e-r°
cuando V-= 0, i xs; i= 1, 2, ..., 9. La ŭ ltima fila de esta tabla es el valor dee-, que es independiente de xs.
Con los resultados puestos de manifiesto en las tablas se compruebaque la política periódica es siempre mejor que la monótona para valores deP menores o iguales que 1,4 independientemente de los valores que seasigne a s i y s2, puesto que los valores D . (z) correspondientes son negati-vos. A partir de dicho valor de P, una simple inspección de las tablas nosdeterminará, dependiendo de los valores que tomen s i y s2 si es mejor laperiódica o la monótona. Por ejemplo, si P= 3, con lo que x, es el 64,7%del mercado y si fijamos en el 50% de xs, tendremos que los beneficiosde los cambios en los controles s i y s2 tendrían que ser tales que se verifi-case
0,948 s + 0,965 s2 > 117,66
para tener garantizado que la política periódica es mejor que la monótona.
6. CONCLUSIONES
En el trabajo resolvemos un modelo publicitario de Control Optimo ydeterminamos la publicidad que ha de realizar una empresa que trata demaximizar el valor actual de sus beneficios si los costes de publicidad sonlineales y existe un coste fijo en publicidad.
Una vez analizadas las políticas admisibles, determinamos las solucio-nes óptimas, que dependen de las relaciones existentes entre los paráme-tros del modelo y son soluciones monótonas en la variable de estado, queconsisten en alcanzar una cuota de mercado fija utilizando una publicidadnula o máxima —dependiendo de las condiciones iniciales de partida— yuna vez alcanzada dicha cuota realizar una publicidad constante que nosmantenga precisamente en esa cuota de mercado, o realizar indefinida-mente una publicidad nula o máxima independientemente de las condicio-nes iniciales de las que se parta.
Este resultado es el esperado para un problema de este tipo, pero pues-to que existen soluciones, no óptimas, que podrían permitir un comporta-miento cíclico de las variables, hemos realizado una modificación en elmodelo primando, en el funcional objetivo, los cambios que experimentala publicidad al cambiar de polftica.
El nuevo problema presenta dos posibles soluciones óptimas, la monó-tona encontrada anteriormente o una periódica que, en el caso a estudio,consiste en utilizar alternativamente la publicidad máxima y la nula, conlo que la cuota de mercado se incrementa al realizar publicidad máxima ydisminuye exponencialmente en ausencia de publicidad. Comprobamosque la diferencia entre los funcionales objetivo para ambas solucionesdepende de un ŭnico parámetro y puesto que los desarrollos analfticos sevuelven impracticables, realizamos un tratamiento numérico en el que fija-mos todos los parámetros del modelo excepto el beneficio de las ventas y
Políticas óptimas de publicidad en un modelo de control con costes fijos 127
observamos que hasta un determinado valor de dicho beneficio, la solu-ción periódica es siempre mejor que la monótona, independientemente delos valores que se asignen a los cambios de publicidad. A partir de esevalor del beneficio de las ventas, la determinación de la política publicita-ria óptima dependerá de los valores que tomen los beneficios asociados alos cambios publicitarios.
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