PORTAFOLIOS

CAPITULO IV Teoría del Portafolio

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

CAPITULO IV

Teoría de l Portafo lio

4Teoría del Portafo lio

C O N T E N I D O

4.

O B J E T I V O

El obje tivo de l pres ente capítulo co ns is te en proporc ionar al lec tor

de los conoc imie ntos para la cons trucc ión de un portafolio , y para

que al finalizar tenga la capac idad de :

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

Teoría del Portafolio

1. Conceptos Básicos1.1.Selección de Cartera1.2.Cartera Eficiente (Frontera

Eficiente)1.3.Pasos en la Selección de

Cartera

2. Razones para la Diversificación

3. Medida del Riesgo de la Cartera

3.1. Medida Aritmética (Rendimiento

Esperado del Valor)3.2.Riesgo de un Activo3.3.Rendimiento de un Portafolio3.4.Riesgo de un Portafolio3.5.Reducción del riesgo vía

diversificación.

Diversificación por Media –Varianza

Preguntas de Autoevaluación.REFERENCIALES

Dar una definición de Cartera, cartera eficiente.

Identificar los pasos para realizar el proceso de la teoría del portafolio

Qué clase de activos van a ser incluidos en un portafolio

Medir el riesgo utilizando la desviación típica

Desarrollar y construir un proceso de selección de cartera de acuerdo a la tolerancia al riesgo de cada inversor

Aplicar una metodología estándar para estructurar el proceso de la teoría del portafolio, que permita sistematizar y analizar la información de cada activo (valor) y tomar la decisión final de inversión

Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 101 Cap.IV

•

•

•

•

•

•


CAPITULO IV

Teo ría de l Portafo lio



En las empresas se dan dos realidades muy importantes. La primera de estas, es

que en la mayoría de las empresas no existe suficiente dinero disponible para

satisfacer todas las inversiones atractivas. Como resu de ello, todos los

fondos disponibles deben ser racionados. La segunda es que no deberíamos

considerar los proyectos en forma aislada. Las decisiones son un factor muy

importante en las empresas, en ese sentido, el administrador financiero debe

considerar el efecto de un proyecto propuesto sobre su portafolio si desea actuar

considerando el interés de la totalidad del sistema financiero.

La teoría de la cartera fue desarrollada por Harry Markowitz1, al final de la década

de los años cincuenta, publicó su libro “

, texto en el que exponía toda su teoría sobre los modelos de inversión

en carteras de acciones. En ella desarrolló un modelo análisis por el cual el

inversor optimiza su comportamiento en ambientes de incertidumbre a través de la

maximización de la rentabilidad y la minimización del go. En este modelo se

utilizó como medida de la rentabilidad la esperanza de valor actual de la cartera

de acciones y como medida del riesgo su varianza.

Según la teoría de Markowitz los inversionistas construyen portafolios ba dos

exclusivamente en el riesgo y en el rendimiento esperado. Aquí el riesgo es

entendido como la variabilidad del retorno de la inver ión, y los inversionistas –en

este modelo– prefieren lograr rendimientos con la menor variabilida posible, es

decir, que tienen aversión al riesgo. Cuando se invierte un capital en un portafolio

se logra conseguir un rendimiento particular con menor riesgo que el de invertir

todo el capital en un solo activo. Este fenómeno es co ocido como

"diversificación".

Actualmente la teoría de las carteras se ha vuelto un tema mucho más interesante


Harry Max Markowitz; Chicago, 1927. Economista estadou idense especializado en el análisis de

inversiones. Recibió el Premio Nobel de Economía en 1990 junto a Merton Miller William Sharpe por sus aportaciones al análisis de carteras de inversión y a los métodos de financiación corporativa.

S ele cción de carteras : dive rs ificación

e ficie nte ”

1


CAPITULO IV


1. Conce pto s Bás ic os

S ele cc ión de Carte ra:



y necesario que nunca. Existen un gran número de oportunidades de inversión

disponibles y la cuestión de cómo los inversionistas d berían de integrar sus

carteras de inversión es una parte central de las finanzas.

Para poder integrar una cartera de inversión equilibrada lo más importante es la

diversificación ya que de esta forma se reduce la variación de los precios. La idea

de la cartera es, entonces, diversificar las inversiones en diferentes mercados y

plazos para así disminuir las fluctuaciones en la rentabilidad total de la cartera y

por lo tanto también del riesgo.

1.1.

La selección cartera o portfolio es conocido como: “el problema de

posibilidades de inversión dentro del marco de decisio s de

multiproyectos, único-período”2; es decir, es el conjunto de activos

financieros compuesto por una combinación de instrumentos de renta fija y

renta variable. Por ello se aplica en la selección de conjuntos compues os

de derechos de propiedad sobre activos financieros o f sicos. La teoría de

selección de cartera toma en consideración el retorno sperado a largo

plazo y la volatilidad esperada en el corto plazo.

La volatilidad se trata como un factor de riesgo, y la cartera se conforma

en virtud de la tolerancia al riesgo de cada inversor n particular, tras

comparar el máximo nivel de retorno disponible para el nivel de riesgo

escogido.

Los instrumentos de renta fija aseguran un retorno "fijo" al momento de

invertir, pero normalmente con una rentabilidad menor a la de uno de renta

variable, que no asegura un retorno inicial pero puede ofrecer retornos

más altos.


2 Philippatos, G.P. “Fundamentos de Administración Finan a- Texo y Casos”; Editorial McGRAW-HILL – 1974; pág. 432.


CAPITULO IV


1.2. Cartera Eficie nte (Frontera Eficie nte ):



Para poder integrar una cartera de inversión equilibrada lo más importante

es la diversificación ya que de esta forma se reduce la variación de los

precios. La idea de la cartera es, entonces, diversificar las inversiones en

diferentes mercados y plazos para así disminuir las fluctuaciones en la

rentabilidad total de la cartera y por lo tanto también del riesgo.

Acorde al criterio usual abordaremos la formulación es ndar del problema

de selección de cartera dentro del tema de instrumentos financieros. Sin

embargo este problema se puede aplicar en términos de posibilidades de

inversión en activos físicos.

Se denomina así a “Un grupo de activos (valores) con un rendimiento

máximo para niveles dados de rendimiento”3. Es la cartera de valores que

está completamente diversificada, que ofrece la mayor rentabilidad

esperada con respecto a su nivel de riesgo, compensando los riesgos de

los distintos componentes de dicha cartera en relación con su rentabilidad

esperada.

La idea fundamental de la frontera eficiente de inversión, consiste en que,

dada una serie de rentabilidades esperadas y su riesgo combinándolas de

manera apropiada, se puede encontrar la cartera de rie o mínimo, y a

partir de ella, todas las combinaciones posibles efici s de inversión.

Esto se debe a que, una diversificación conveniente de nuestra cartera,

nos puede permitir reducir el riesgo y mejorar la rent lidad esperada.

Es necesario hacer notar los vínculos de relación funcional sucesiva que

se dan entre los problemas de valuación de valores y selección de cartera;

es decir, una parte del resultado del primer problema nforma

parcialmente el segundo y viceversa. Asimismo, el inversionista al aplicar

algún modelo de valuación aceptable, selecciona un número de


3 Idem.


CAPITULO IV


Pas os en la S ele cc ión de Cartera



instrumentos financieros para su posible inclusión en su cartera. Dados los

valores seleccionados y una monto inicial de efectivo, el inversionista

recurre a técnicas de selección de cartera para decidi qué proporción de

capital debe invertirse en cada valor.

Para nuestro propósito, interesa el estudio de la formación cartera

compuesta de diversos instrumentos financieros y efectivo. En este

contexto,

Los subconjuntos de la cartera son el efectivo, y los iversos tipos

de inversión en valores.

Las razones por las que los individuos desean conserva algunos de sus

fondos en forma de activos líquidos en una cartera son la conveniencia y

la fácil convertibilidad en efectivo, además de un ren ento esperado

sobre su inversión. Como la cartera de un individuo es ultado final de

las decisiones acumuladas de inversión, representa sus actitudes y

preferencias ante ciertos tipos de activos financieros y ante el riesgo y el

rendimiento. Por ello una cartera no debe considerarse como una simple

lista de acciones, bonos y efectivo, sino como un orig l sistema de

activos cuya finalidad es la satisfacción de las necesidades del propietario.

1.3.

Al seleccionar una cartera de activos debemos seguir los siguientes

pasos: 1) Pre selección de instrumentos financieros, que permitan

posteriormente derivar en subconjuntos potenciales; 2) Estimación de las

características de riesgo-rendimiento en cada uno de los valores elegibles.

Este paso involucra generalmente tres tipos de análisis: rendimientos

futuros esperados, Varianzas de rendimiento esperados, y, Covarianzas

estimadas; 3) Finalmente, asignamos proporcionalmente los fondos del

inversionista de tal forma que el riesgo de cartera sea mínimo, conforme a

un rendimiento preestablecido.Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 105 Cap.IV

una cartera e s un conjunto com puesto de derechos de pr piedad

s obre los activos financieros , e n los que el inversionis ta des e a invertir s us

fondos .


CAPITULO IV


Razone s para la Divers ific ac ión



A lo largo del análisis sobre selección de cartera, no guiaran las

siguientes dos suposiciones:

1) El inversionista prefiere rendimientos mayores a menores, en cualquier

nivel dado de riesgo.

2) El inversionista prefiere rendimientos ciertos a incie s, en cualquier

nivel dado de rendimiento.

Por ello apelamos a diversas técnicas que capacitarán inversionista en

la programación de sucesivas carteras, que satisfagan sus expectativas de

acuerdo con el equilibrio entre riesgo y rendimiento.

2.

La diversificación es una estrategia de inversión que onsiste en distribuir

dinero en diferentes valores, en vez de concentrar éste en un solo valor, para

evitar los desastrosos efectos de una decisión no exitosa. Diversificar significa

seleccionar inversiones en sectores diferentes, ofrecidos por compañías de

diferentes tamaños, y en el caso de bonos, con plazos y emisores diferentes,

dentro de una clase de activos, en lugar de concentrar el dinero en sólo uno ó

dos sectores.

La diversificación es el equivalente del antiguo refrá que dice: "No ponga

todos los huevos en la misma canasta".

Si un inversionista decide concentrar todo su dinero en una ola inversión,

corre el riesgo de que la inversión obtenga malos resultados y llegue a perder

parte o el total de su dinero.

En cambio, si invierte de manera diversificada reduce inimiza el riesgo, ya

que para perder su dinero, varias de las inversiones a quiridas tendrían que

tener malos resultados al mismo tiempo.

Toda inversión siempre conlleva un riesgo, por lo general, mientras más

potencial de rentabilidad ofrezca una inversión, mayor será el riesgo que

conlleva y, por el contrario, mientras menos rentabili ofrezca, menor será



CAPITULO IV



Teoría del Portafoliosu riesgo.

Por lo que lo ideal al momento de diversificar es crea un portafolio o cartera

de inversiones que combine inversiones que ofrezcan un alta rentabilidad

aunque también un alto riesgo (por ejemplo, negocios o ac nes), e

inversiones que ofrezcan una baja rentabilidad, pero una mayor seguridad (por

ejemplo, depósitos a plazo o fondos mutuos).

La proporción de estos dos tipos de inversiones estará dada por nuestros

objetivos de rentabilidad, el riesgo que estaremos dis uestos a asumir, o el

perfil de inversionista que tengamos.

Para entender el significado de la diversificación se antea el siguiente

ejemplo: Un comerciante peruano de pisco selecto, que envía 100 valiosas

botellas de Pisco a Bogotá. En vista de los altos costos que la operación

conlleva, a nuestro comerciante le preocupan seriamente las probabilidades

de perder la totalidad del cargamento durante el viaje. Si hay 20% de

probabilidades de que asalten al transporte, entonces el comerciante cree que

habrá 20% de probabilidades de que pierda la totalidad del embarque y quede

arruinado.

Sin embargo, si envía la mitad de la carga en “Cermeño”, y la otra mitad en

“TRAPSA”, como cada uno tiene 20% de probabilidades de perder la totalidad

de la mercancía, entonces la probabilidad de perdida s n solamente de 0.20

x 0.20 = 0.04 ó 4% de probabilidades. La probabilidad e que el total del

embarque llegue a salvo es ahora de 0.8 x 0.8 = 0.64%, o 64% de

probabilidades comparadas con el 80% de antes. Pero la p porción de vinos

que espera lleguen a salvo es todavía de 80%. Es decir un solo embarque es

igual a 0.80 del embarque total. Los dos embarques son guales a 0.50 x 0.80

+ 0.50 x 0.80 = 0.80 del embarque total.

Por lo tanto, al aplicar una forma sencilla de diversificación, el valor espera o

del comerciante, 80% permanece. Sin embargo, las proba ilidades de perder



CAPITULO IV


Núme ro de bo te llas

Probabilidad de que lle gue

Valo r e s pe rado

Un e mbarque

Do s embarques



el total del embarque y sufrir la consiguiente ruina f nanciera, se reducen de

20% a 4% de probabilidades. El precio que paga por la circunsta cia adicional

de seguridad es la pequeña diferencia entre 80% y 64% probabilidades, de

que el embarque de 100 botellas llegue a salvo: Esto, sin embargo, representa

un valor insignificante respecto al mismo valor esperado (80 botellas a salvo) y

una reducción en las probabilidades de ruina total. De este modo, sin reducir

el valor esperado (rendimiento), ha disminuido el riesgo de ruina total.

Un sumario de la oportunidad de diversificación del comerciante en vinos se

muestra en seguida.

100 0.80 80

50 0.80 40

50 0.80 40

Total (dos embarques) 80

Probabilidad de pérdida total es:

Un embarque: (1.00 – 0.80) = 0.20

Dos embarques: (1.00 – 0.80) x (1.00 – 0.80) = 0.04

La probabilidad de que la cantidad total llegue es:

Un embarque: = 0.80

Dos embarques: = 0.64

El ejemplo anterior muestra como la diversificación es útil al tomar decisiones

en el caso de carteras riesgo-aversivas. La diversificación es el principio

aplicado por los inversionistas, cuando tienen carteras en valores provenientes

de empresas de diversas ramas industriales, con objeto de reducir el riesgo de

rendimientos más bajos. El efecto real de la diversificación es reducir la

inestabilidad de los rendimientos de cartera Por ello, la diversificación reduce

la probabilidad de rendimientos más altos a los espera os, y reduce también

la probabilidad de rendimientos más bajos que los espe s. Pero como la Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 108 Cap.IV

•

•

•

•

.


CAPITULO IV


3. Medida de l Ries go de la Carte ra

3.1. Me dia Aritmé tic a (Re ndimiento Es perado de l Valor)

3.2. Rie s go de un Ac tivo



mayoría de los inversionistas tienen funciones de utilidad riesgo-aversivas, la

diversificación es un enfoque deseable para la selecci n de carteras.

Con base de los puntos de referencia ya mencionados. Pero todavía no

sabemos cómo estimar el riesgo de la cartera. Para hacer esto, es ecesario

aprender las siguientes medidas claves que debe entender todo administrador

de carteras:

Es por eso que lo primero que se debe considerar a la ra de armar un

portfolio, es el cálculo del rendimiento y riesgo de u activo.

La media aritmética se calcula sumando los rendimientos ponderados de

las rentabilidades esperadas de los títulos individual s. La fórmula se

puede definir de la siguiente manera:

En dónde:

= rentabilidad esperada

Oi = rendimiento del valor i

Pi = Probabilidad de ocurrencia del resultado i, donde i , 2, …, n

n = número de observaciones

Las medidas más conocidas del riesgo de un activo son Varianza y su

Desviación Standard. Estas representan la desviación de la media, o dicho

de otra manera, cuanto es probable que se desvíen los endimientos

esperados respecto del valor más probable o medio esperado. Al riesgo

que corre un activo en finanzas se lo conoce como , que debe

entenderse como la “fluctuación” que puede sufrir un activo en el tiempo.


� � � � /I 0I

�

� � �

�

�

volatilidad


CAPITULO IV


GRAFICO A GRAFICO B



Para entender mejor el concepto de volatilidad veamos siguientes

gráficos:

Precio

En el gráfico A, el activo que es una línea recta carece de volatilidad, pues

siempre sube, lo que se constituye una excelente inversión. El activo de

líneas onduladas, si bien también es una excelente inv rsión, es muy

volátil, pues su precio fluctuaría ampliamente.

En el gráfico B, el activo que es una línea recta también carece de

volatilidad, pues siempre baja, pero es una pésima inversión. El activo de

líneas onduladas, no sólo es volátil sino que también s una pésima

inversión.

Es así que la volatilidad de un activo, si no se manej adecuadamente,

puede ser peligrosa

De esta manera el riesgo se asocia con estas medidas de desviación. Se

parte de calcular la media aritmética de los retornos luego, para cada

observación, se calcula el desvío (o diferencia) con e a media. Como hay

desvíos negativos esto llevaría a que la sumatoria sea cero. Para evitar


Precio

Tiempo Tiempo


CAPITULO IV


Varianza

Des viación Típica ó S tandard

.



esto se eleva al cuadrado cada uno de esos desvíos y luego de sumarlos

todos, posteriormente se los divide por la cantidad de observaciones. El

resultado de esto es la medida estadística conocida como . O

sea, la misma es un promedio ponderado de las desviaciones respecto del

valor medio. Como está elevada al cuadrado, tanto sus res como sus

unidades (elevadas al cuadrado) no son representativas pues serían

unidades al cuadrado y no sirve para sumar y restar al valor medio. Para

lograr esto, se le aplica la raíz cuadrada, obteniendo la medida de

desviación llamada que es la verdadera

medida de volatilidad Las fórmulas se pueden definir así:

Respecto de la desviación estándar se debe tener presente lo siguiente:

a) A mayor desviación estándar, mayor es la variabilidad e activo y por lo

tanto mayor es su riesgo

b) Es una medida estadística muy útil siempre y cuando la distribución de

probabilidad del rendimiento del activo siga una .

La pregunta que el lector se debe estar haciendo es si la distribución de

los rendimientos de los activos financieros en la realidad es normal.

Diversos análisis estadísticos demuestran que los retornos de los activos

financieros tienen una distribución que no es perfectamente normal, si no

que tienen lo que se llama colas elevadas o leptocurtosis: esto implica

que las crisis y las euforias suceden más veces que lo que predice la

distribución normal. Pero dado que esta desviación no es tan pronunciada,

casi toda la teoría de las finanzas está construida sobre la base de que la

distribución de los rendimientos de los activos es normal.


Varianza:

Desviación Standard:

s å2 = P i ( - )2

dis tribución norm al

� �

� � �? � � � � � � �

�

Ã


CAPITULO IV




Lo importante de una distribución de probabilidad es que permite plantear

un modelo de comportamiento que tendría un activo y por lo tanto permite

realizar predicciones. La distribución normal es senci la de describir pues

se necesitan los dos primeros momentos de la distribuc ón de

probabilidad, que son la media y la varianza. Es importante tener presente

que en una distribución normal el intervalo conformado por la media más

un sigma y la media menos un sigma contempla el 68,27% de las

observaciones. En términos de finanzas, significa que observamos el

rendimiento de un activo o un portfolio, 68 veces de cada 100 veces en

distintas muestras el rendimiento del activo se ubicar en ese intervalo. Si

el intervalo se construye sumando y restando 2 sigmas se concentrarán el

95,45% de las probabilidades y si se construye con 3 s gmas o desvíos, el

99% de las observaciones. O sea, cuanto más amplio es intervalo,

mayor cantidad de observaciones se incluyen pero es más impreciso.

Debe tenerse presente que a los fines de la utilización de las medidas de

rendimiento y de riesgo se deben usar en la misma unidad de tiempo.

Como el rendimiento esperado en general es anual, también lo es la

volatilidad esperada.

Si bien la desviación estándar es una de las medidas d riesgo más

conocidas, no es la única y no siempre es la que mejor predice el riesgo



CAPITULO IV


3.3. Re ndimie nto de un portfo lio

Rp = a * wa + b * wb + c * wc + d * wd +....+ n * wn

w

3.4. Rie s go de un portfo lio



futuro. De hecho, el CAPM4 no utiliza el desvío estándar como medida de

riesgo sino sólo una parte. Más adelante y en especial en el capítulo de

opciones se hará referencia a otras medidas de riesgo.

El rendimiento esperado de un portfolio de activos puede ser calculado

como el promedio ponderado de los rendimientos esperados de los activos

que componen ese portfolio. La ponderación de cada activo se realiza en

función de su capitalización o valor de mercado respec el portfolio total.

La función puede expresarse de la siguiente forma:

En donde:

a,b,c,d ...n representan los rendimientos de cada activo del portfolio

a,b,c,d ..n representa la participación porcentual de cada activo entro del

portfolio en términos de su valor de mercado.

Ejemplo: Supongamos que tenemos 2 activos. El activo A tiene un

rendimiento esperado de 18% mientras que el activo B un rendimiento

esperado de 15%. A su vez, se invierten S/. 400.000 en el activo A y S/.

600.000 en el activo B. ¿Cuál es el rendimiento del portfolio?

Rp = (0.18 * 0.40) + (0.15 * 0.60) = 0.162

Rp = 16.20%

Se había expresado que la medida de volatilidad es la desviación típica o

estándar y eso se relacionaba con el concepto de riesgo. El cálculo del

riesgo de un portfolio no es tan sencillo como en el c del rendimiento

dado que no sólo influye el promedio ponderado de las esviaciones de


4

CAPM (Capital Asset Pricing Model)

� � � � �

�


CAPITULO IV


²p = w² * ² + w²2 * ²2 + 2 * w * w2 * , 2

w²

²

12 = P i * (Oi - µi) * (Oj – µj )

12 = 12 / 1 * 2



cada activo sino que también influye la correlación ent los mismos, que

permite disminuir el riesgo total del portfolio.

El efecto de la diversificación se mide entonces, con as medidas de

dispersión de la media. Así la varianza de un portfoli de 2 activos puede

expresarse con la siguiente fórmula:

Es decir, la varianza del portafolio depende de las va nzas de cada

activo, pero también depende de la covarianza que existe entre ellos.

En donde:

representan la proporción al cuadrado de cada activo.

representan la varianzas de cada activo.

12 representa la covarianza entre los activos. La misma m como se

relacionan dos activos pero cada uno respecto de su me ia

La ecuación de la covarianza es la siguiente:

El problema que tiene la covarianza es que está expres do en unidades

de la media, por lo que se hace difícil hacer comparac ones entre

covarianzas para ver si dos pares de activos están muy o poco

relacionados. Para solucionar este problema se usa el oeficiente de

correlación, que en realidad es la covarianza estandarizada. O sea que es

igual al cociente de la covarianza ( 12) respecto al producto de sus

desviaciones estándares. O sea

El coeficiente de correlación puede tomar valores entre 1 y –1. Si dos

activos tienen correlación igual a 1, es que tienen co elación perfecta, o


s s s s

s

s

s å

r s s s

1 1 1 1

i

i

σ


CAPITULO IV


2p = w 2

1 * 2

1 + w 22 *

22 + 2 * w 1 * w 2 * 1 * 2 * 12

2p = X2

j * 2

j + * * Xj * Xk * jk

²p = X²j * ²j + * * Xj * Xk * j * k * jk

2p = X2

j * 2

j + * * Xj * Xk * jk

Ó

2p = X2

j * 2

j + * * Xj * Xk * j * k * jk

? ??

?



sea que cuando el precio de un activo sube 10% el otro activo sube 10%;

si dos activos tienen correlación igual a –1, es perfecta la correlación pero

inversa, o sea, que cuando un activo baja 10% el otro baja 10%. Y luego

existen todas las correlaciones en el medio.

La varianza de un portfolio de 2 activos usando el coe ente de

correlación se puede escribir como sigue:

La fórmula general para el cálculo del riesgo de un po olio de n activos es

la siguiente:

o también

La fórmula de la varianza del portfolio es:

Una de las cosas más importantes en el cálculo de la varianza del portfolio

es la matriz de varianzas y covarianzas o la matriz de correlaciones, ue

es lo que va a mostrar las relaciones entre todos los ctivos

Matriz de Correlaciones


.

s s s s s s

s å s å å s

s å s å å s s r

s å s å å s

s å s å å s s r

1

11

1

1

12 1K

21

K1


CAPITULO IV


3.5. Re duc c ión de l ries go v ía divers ific ación

2p = (1/N) 2

j + (N-1)/N * jk

e ntonc es s i

N 1/N = 0 y (N-1)/N = 1


Teoría del PortafolioMatriz de Varianzas y Covarianzas

Si consideramos que tenemos N activos e invertimos la misma proporción

en cada uno de ellos 1/N la fórmula de varianza de un portfolio se puede

reescribir así:

2p = [ ) ]² *

2j + * * [ ] * [ ] * jk

Si sacamos afuera 1/N y (N-1)/N para el segundo término tenemos

2p = [ ] * [ 2

j / N] + (N-1)/N * * * [ jk / (N*(N-1)]

Los términos entre corchetes son promedios o medias. En el primer caso

es simple de ver. En el segundo, hay N valores de j y (N-1) valores de k y

hay (N-1 valores de k, pues k no puede ser igual que j y por eso hay 1

valor menos de k que de j (la covarianza de j y j es la varianza). Por lo

tanto hay un total de N(N- l) o (N2-N) covarianzas. Que sale de la matriz

de varianzas y covarianzas. Por lo tanto el segundo término es la

sumatoria de las covarianzas dividido el número total e covarianzas.

Reemplazando las sumatorias por medias o promedios tenemos:

Esta expresión es una versión más realista de lo que o cuando

invertimos en un portfolio de activos. La contribución de las varianzas de

los activos individuales a la varianza del portfolio es 0 (primera parte de la


σσ

σ

σ

σ ∑ σ ∑ ∑ σ

σ ∑ σ ∑ ∑ σ

²1 ?12 ?13 ?1k

²2 ?23

²3

…

²n

,

)

�

�

�

�

�

�

�

�

s s s

¥è


CAPITULO IV


4. Dive rs ific ación por Me dia – Varianza



fórmula). Sin embargo, la contribución de las covaria zas, a medida que

crece N se asemeja a la media de las covarianzas. Entonces, se puede

decir que el riesgo individual de cada activo se puede eliminar o

diversificar: esto es lo que se llama riesgo no sistemático; pero la

contribución al riesgo total provocado por las covaria zas no, esto es lo

que se llama riesgo sistemático o de mercado. Esto im lica que la mínima

varianza se obtiene para portfolios bien diversificado y es igual a la

covarianza promedio entre todos los activos de la población.

.

Con cuantos activos se puede minimizar el riesgo del portfolio? Se dice

que con 20 o 25 activos se minimiza al máximo el riesgo.

Ya hemos dado las bases de cómo se reduce el riesgo me iante la

diversificación. Estamos listos para mostrar cómo actú el principio de

diversificación. Para entender mejor el significado de la diversificación lo

veremos a través de un ejemplo:

Suponga que el portafolio de un inversionista está conformado por tres valores

en el mercado. En el esquema siguiente se presentan la probabilidades y los

iesgoRiesgo

RiRiesgo

Riesgo SistemáticoDes

viac

iónD

esvi

aci

Cantidad de Acciones


En

conclus ión, s i bie n e xis ten be neficios de la dive rs ificación, e l rie s go de un

portfolio no s e puede elim inar totalm e nte sino m inim iz r


CAPITULO IV


TABLA 1

R E N D I M I E N T O S

PROBABILIDAD A B C

0.10 0.25 0.25 0.100.40 0.20 0.15 0.150.40 0.15 0.20 0.200.10 0.10 0.10 0.25

% de Inve rs ión 35% 30% 35%

Oi

Pi

Rp =

²

?

ij

Re ndimie nto es perado de cada valor

Varianza: 2 = P i ( - )2

De s viación S tandard

Coe fic iente de Correlac ión

Covarianza e ntre lo s re ndimientos ij ?

Re ndimie nto es perado de la Cartera:



rendimientos posibles. El inversionista cuenta con un capital, que debe

distribuirlo entre los tres, conforme a la información de la tabla.

Las notaciones y fórmulas que se utilizan en el desarrollo del presente

ejemplo son las mismas que se han desplegado en el transcurso del

presente capítulo, y tiene el siguiente significado:

= Rendimiento de valor

= Probabilidad

Rendimiento esperado de la Cartera

Rentabilidad esperada del Valor (Media)

= Varianza

= Desviación Estándar (Típica)

Coeficiente de Correlación

= Covarianza

Las Fórmulas a aplicar en el ejemplo son las siguientes:

:

=


:

•

•

� i =

� � � � �? �?��

�

� �

� � �? � � � � � � �

� �? ��?

� � �

� � ��

ss

s

s å

Ã

s

ij

ij x (

=

�


CAPITULO IV



S OLUCIÓN

Primer pas o

²))

² =

² =

² =

=



:

En la siguiente tabla se va hacer los siguientes cálculos:

1) Rentabilidad Esperada ( ;

2) Varianza ( ; y

3) Desviación Estándar (Típica) ( , de cada valor:


� � � � �

� )s

s

s

s A =

s s B =

ss

TABLA 2

VALOR

A

A

B

B

C

C

C

Oi Pi Pi x Oi (Oi - µ) (Oi - µ)² Pi x (Oi - µ)²

0.09 0.1 0.009 -0.045 0.002025 0.0002025

0.12 0.4 0.048 -0.015 0.000225 9E-050.15 0.4 0.06 0.015 0.000225 9E-05

0.18 0.1 0.018 0.045 0.002025 0.0002025

µ = 0.135 0.000585

0.024186773

0.25 0.1 0.025 0.075 0.005625 0.0005625

0.15 0.4 0.06 -0.025 0.000625 0.00025

0.2 0.4 0.08 0.025 0.000625 0.00025

0.1 0.1 0.01 -0.075 0.005625 0.0005625

0.175 0.001625

0.040311289

0.1 0.1 0.01 -0.006 0.000036 0.00000360.08 0.4 0.032 -0.026 0.000676 0.00027040.12 0.4 0.048 0.014 0.000196 0.0000784

0.16 0.1 0.016 0.054 0.002916 0.0002916

0.106 0.000644

0.025377155


CAPITULO IV


Los re s ultados s e mue s tran en la s iguie nte tabla

TABLA 3

VALOR Re ntabilidad Es pe rada

µi

Varianza

²

De s viac ión Típic a (Es tándar)

A

B

C

S egundo Pas o :


Terc er Pas o



Calculo del Rendimiento Esperado de la Cartera (Rp

:

Mientras que la varianza y la desviación estándar mide la variabilidad de las

acciones individuales. Ahora, para que nuestro análisis sea más preciso,

vamos a proceder a ponderar la relación entre la renta idad de dos valores, y

para eso necesitamos hacer uso de dos medidas estadísticas, la Covarianza y

el Coeficiente de variación.

Se ha mencionado que la Covarianza y el Coeficiente de variación. Son

maneras de medir si dos variables al azar se relaciona En nuestra cartera de

tres valores, necesitamos exactamente tres coeficiente de correlación, a

saber:


s s

0.135 0.000585 0.024186773

0.175 0.001625 0.040311289

0.106 0.000644 0.025377155

TABLA 4

VALOR

A

BC

Ep = Ep =

)

� � � � �

W i µi Wi x µi

0.35 0.135 0.04725

0.3 0.175 0.05250.35 0.106 0.0371

0.13685

13.69%


CAPITULO IV


? AB

?

?

Calc ulo de la Covarianza ij)

ij = P i * (Oi - µi) * (Oj – µj )

ij ?

Coe ficie nte de Corre lac ión:

TABLA 5

Covarianza AB

Coe ficie nte de Corre lac ión ? AB



coeficiente de correlación para los rendimientos de los valores A y B

coeficiente de correlación para los rendimientos de los valores A y C

coeficiente de correlación para los rendimientos de los valores B y C.

Explicaremos estas medidas en el presente ejemplo apli o en la Tabla 5

los datos ya calculados, en la que procederemos hacer los siguientes cálculos:

1) ( : Se puede calcular en dos pasos:

=

2) Es necesario un paso adicional

-0.384615386043


=

AC =

BC =

ij x (

VALORES A y B

Pi

ss å

s å

s

� � ��

� �? ��?

� � �

�� ??:?:

� ??:? � � ??:? �

•

σ

•

Desviación de la (µi)

(Oi - µi) (Oj - µj) (Oi - µi)*(Oj - µj) Pi*(Oi - µi)*(Oj - µj)

0.1 -0.045 0.075 -0.003375 -0.00033750.4 -0.015 -0.025 0.000375 0.000150.4 0.015 0.025 0.000375 0.00015

0.1 0.045 -0.075 -0.003375 -0.0003375

AB = -0.000375

Paso 1 Paso 2


CAPITULO IV


Covarianza AC

Coe ficie nte de Corre lac ión ? AC

Covarianza BC

Coe ficie nte de Corre lac ión ?BC




•

σ

•

σ

•

s

s

VALORES A y C

Pi

VALORES B y C

Pi



0.1 -0.045 -0.006 0.00027 0.0000270.4 -0.015 -0.026 0.00039 0.000156

0.4 0.015 0.014 0.00021 0.000084

0.1 0.045 0.054 0.00243 0.000243

AC = 0.00051



0.1 0.075 -0.006 -0.00045 -0.0000450.4 -0.025 -0.026 0.00065 0.000260.4 0.025 0.014 0.00035 0.00014

0.1 -0.075 0.054 -0.00405 -0.000405

BC = -0.00005

Paso 1 Paso 2

Paso 1 Paso 2

�� ?????

� ??:? � � ??:? � � � ??:°

�� ?????

� ??:? � � ??:? � � ??:À


CAPITULO IV


Covarianza AA

Coe ficie nte de Corre lac ión ? AA

Covarianza BB

Coe ficie nte de Corre lac ión ?BB




•

σ

•

σ

•

s

s

VALORES A y A

Pi

VALORES B y B

Pi



0.1 -0.045 -0.045 0.002025 0.0002025

0.4 -0.015 -0.015 0.000225 0.000090.4 0.015 0.015 0.000225 0.00009

0.1 0.045 0.045 0.002025 0.0002025

AA = 0.000585



0.1 0.075 0.075 0.005625 0.00056250.4 -0.025 -0.025 0.000625 0.000250.4 0.025 0.025 0.000625 0.00025

0.1 -0.075 -0.075 0.005625 0.0005625

BB = 0.001625

Paso 1 Paso 2

Paso 1 Paso 2

�� ?????

� ??:000 � � ??:000 � � ??:?:

�� ?????

� ??:001 � � ??:001 � � ??:?:


CAPITULO IV


Covarianza CC

Coe ficie nte de Corre lac ión ?CC

Terc er Pas o Calculo de la Varianza ( ²p) y la De s v iac ión típica ( p) de la c arte ra

Wj ij

²p =

p =



:


•

σ

•

s

s s

s s

ss

VALORES C y C

Pi

COMBINACIONES Wi Wi * Wj * ij

AAABAC

BABBBC

CA

CB

CC



0.1 -0.006 -0.006 0.000036 0.00000360.4 -0.026 -0.026 0.000676 0.00027040.4 0.014 0.014 0.000196 0.0000784

0.1 0.054 0.054 0.002916 0.0002916

CC = 0.000644

0.35 0.35 0.000585 0.00007166250.35 0.3 -0.000375 -0.00003937500.35 0.35 0.00051 0.0000624750

0.3 0.35 -0.000375 -0.00003937500.3 0.3 0.001625 0.00014625000.3 0.35 -0.00005 -0.0000052500

0.35 0.35 0.00051 0.0000624750

0.35 0.3 -0.00005 -0.0000052500

0.35 0.35 0.000644 0.0000788900

0.0003325025

0.0182346511

Paso 1 Paso 2

�� ?????

� ??:? � � ??:? � � ??:?:

� �

�

��

� �? � �? � �? �

� � �


CAPITULO IV


p

Pre guntas de Autoe valuación


Teoría del PortafolioObserve que la diversificación redujo la varianza de la totalidad de la cartera

de un promedio simple de las desviaciones típicas indi duales:

, a una desviación

típica de la cartera = para el mismo rendimiento esperado

de la cartera El efecto de diversificación representa una

reducción de 0.01172015557 ( , es decir de

un 39.12% en el contenido del riesgo de la cartera.

1. Explique el concepto de cartera.

2. Relacione la valuación de valores y la teoría de cartera.

3. ¿Qué es un riesgo? Explique ¿por qué el gerente de finanzas debe omar

en cuenta tanto sobre la rentabilidad y el riesgo?

4. Cite los pasos que deben seguirse al seleccionar una c rtera. ¿ Qué

problemas se presentan en cada uno de estos pasos?

5. ¿Cuál es el argumento que fundamenta la diversificación? ¿Cuál es el

efecto de esta?

6. ¿Qué medidas estadísticas pueden aplicarse a las carteras p ra preveer

su desarrollo? ¿Qué criterio determina la aplicación de un parámetro?

7. ¿Qué es el coeficiente de correlación? ¿Qué papel desempeña en la

medición del desarrollo de la cartera?

8. Defina la media y la varianza de una cartera con n valores.

9. Usted como inversionista a considerado adquirir tres v lores para su

cartera por lo que ha conseguido la siguiente informac ón:


�� ??: � � ??: � � ??: �

�� ??:

� ??: � � ??: �

s 0.0182346511

0.13685. Ep =


CAPITULO IV


RENDIMIENTOS

1)

2)

3)

4)

5)

R E N D I M I E N T O S

PROBABILIDAD A B C

0.10 0.15 0.20 0.150.40 0.20 0.15 0.150.40 0.25 0.20 0.200.10 0.10 0.15 0.20

% de Inve rs ión 30% 30% 40%

1)

2)

3)

4)

5)



Con los datos mencionados calcule:

El Rendimiento esperado para cada acción.

La Varianza para cada acción

La Covarianza para las diferentes combinaciones de valores

El Rendimiento esperado de la Cartera

La Varianza y la Desviación estándar de la Cartera

10. Suponga que el portafolio de un inversionista está conformado por tres

valores en el mercado. En el esquema siguiente se presentan las

probabilidades y los rendimientos posibles. El inversionista cuenta con

un capital, que debe distribuirlo entre los tres, conf rme a la información

de la tabla.

Con los datos mencionados calcule:

El Rendimiento esperado para cada acción.

La Varianza para cada acción

La Covarianza para las diferentes combinaciones de valores

El Rendimiento esperado de la Cartera

La Varianza y la Desviación estándar de la Cartera


0.25 0.00 0.04 0.090.25 0.08 0.08 0.120.25 0.16 0.12 0.150.25 0.32 0.16 0.18

% de Inversión 40% 30% 30%

PROBABILIDAD A B C


CAPITULO IV


REFERENCIALES

DUMRAUF, Guille rmo L.,

GITMAN, Lawrence J.;

JOHNSON, Robe rt; y KUBY, Patric ia

GALLAGHER, To mothy J. – ANDREW Jr., Jos e ph D.

PHILIPPATOS , G.C. “

ROS S, S te phe n A. WES TERFIELD, Rando lph W.; y JORDAN, Bradford

D.;

7. WES TON, J. Fre d – COPELAND Tho mas E.;

WES TON, J. Fred - BRIGHAM, Eugene F.



1. “Finanzas Corporativas”; Colombia: Edit.

GUIA; Tercera Edición. 2003

2. “Administración Financiera”, México: Edit.

Pearson - Educación, Octava Edición, 2000.

3. ; “Estadística Elemental”;

México. Edit. THOMSON. Tercera Edición 2003

4. “Administración

Financiera”, Colombía: Edit. Prentice Hall, Segunda Edición, 2001

5. Fundamentos de Administración Financiera – Texto y

casos”; México. Edit. Mc Graw Hill. Primera Edición 19 9..

6. ;

“Fundamentos de Finanzas Corporativas”: España: Edit. Mc Graw Hill.

Segunda Edición, 2000

“Finanzas en

Administración”, México: Edit. Mc Graw Hill; Novena Edición – Volumen II,

Enero 1997.

8. “Fundamentos de

Administración Financiera”, México: Edit. Mc Graw Hill; Décima Edición,

1995.


Date post:	12-Jan-2016
Category:	Documents
Upload:	roney-meza
View:	10 times
Download:	0 times

PORTAFOLIOS

Documents