1 Introducción. 2 Potencial eléctrico. Gradiente. 3 Potencial de una carga puntual. 4 Potencial de un sistema de cargas puntuales. 5 Cálculo del potencial eléctrico. 6 Superficies equipotenciales. 7 Potencial creado por un dipolo eléctrico. 8 Movimiento de una partícula en un campo eléctrico. 9 Conductor en equilibrio electrostático. POTENCIAL EL POTENCIAL ELÉCTRICO CTRICO 19/04/2011 1 Si la fuerza F es conservativa 19/04/2011 2 19/04/2011 3 19/04/2011 4
Transcript
1 Introducción.
2 Potencial eléctrico. Gradiente.
3 Potencial de una carga puntual.
4 Potencial de un sistema de cargas puntuales.
5 Cálculo del potencial eléctrico.
6 Superficies equipotenciales.
7 Potencial creado por un dipolo eléctrico.
8 Movimiento de una partícula en un campo eléctrico.
9 Conductor en equilibrio electrostático.
POTENCIAL ELPOTENCIAL ELÉÉCTRICOCTRICO
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Si la fuerza F es conservativa
19/04/2011 2
19/04/2011 3 19/04/2011 4
La fuerza ejercida sobre qo por el CampoEléctrico uniforme es conservativa. Esto significa que el trabajo Wa-b realizado por el campo es independiente de la trayectoria quesigue la partícula de a a b. Se puede representar este trabajo mediante una funciónde energía potencial. Esta energía potencial U
es:
Entonces cuando la carga se desplaza desdela altura ya a la altura yb, el trabajo realizado sobre la partícula por el campo es
19/04/2011 5 19/04/2011 6
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Ya sea que la carga de prueba sea positiva o negativa, seaplican las reglas generales siguientes:
U aumenta si la carga de prueba se desplaza en direcciónopuesta a la fuerza eléctrica
U disminuye si la carga de prueba se desplaza en la mismadirección de la fuerza eléctrica
REGLAS GENERALES
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Si las cargas tienen el mismo signo, la fuerza es de repulsión y F es positiva. Si las dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atracción y F es negativa.
La F no es constante durante el desplazamiento y es necesario integrar para calcular el trabajo realizado sobre qo, por esta fuerza conforme se desplaza de a hasta b. Resulta:
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DESPLAZAMIENTO GENERAL
Por lo tanto el trabajo realizado sobre la carga, depende solo de de ra y rb y no de los detalles de la trayectoria. Asimismo si qo regresa a su punto de partida a por un camino diferente, el trabajo total de un viaje de ida y vuelta es cero.19/04/2011 10
ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA
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es el Voltio y
De la ecuación del trabajo realizado por la fuerza eléctrica durante un desplazamiento de a a b se tiene:
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En los circuitos eléctricos, a la diferencia de potencial entre dos puntos se le llama voltaje. La ecuación: Vab = Va – Vb establece que el potencial de acon respecto a b, es igual al trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando una UNIDAD de carga se desplaza entre a y b.
= Vab
DIFERENCIA DE POTENCIAL Vab
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El potencial V debido a una carga puntual q es:
De modo análogo para hallar el potencial debido a un conjunto de cargas puntuales.
POTENCIAL DEBIDO A CARGAS PUNTUALES
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POTENCIAL DEBIDO A DISTRIBUCION CONTINUAS DE CARGAS
anterior
19/04/2011 17
Cuando
d
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se
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b
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y
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Superficies equipotenciales
Es el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran al mismo potencial. Cumplen la condición de encontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico
El trabajo desarrollado para mover una partícula de un punto A a otro punto B a lo largo de una superficie equipotencial es nulo, ya que
o
ABAB q
WVV
A lo largo de una superficie
equipotencialBA VV 0ABW
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Ejemplos de superficies equipotencialesEjemplos de superficies equipotenciales
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77 POTENCIAL CREADO POR UN DIPOLO POTENCIAL CREADO POR UN DIPOLO ELELÉÉCTRICOCTRICO
Vamos a calcular el potencial eléctrico que produce un dipolo eléctrico en un punto del espacio.
+q
-q
2a
1r
2rr
12 rr
P
2121 4
1rq
rqVVV
o
Para puntos muy alejados del dipolo, tales que r>>2a, se pueden hacer las siguientes aproximaciones
221
12 2rrr
Cos a rr
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Teniendo en cuenta estas dos aproximaciones, podemos escribir
22
4 r Cos a qV
o
Recordando la definición de momento dipolar eléctrico
q a P 2
241
r Cos PV
o
V = 0 para = 90º
No se requiere trabajo para llevar una carga de prueba desde el infinito hasta el dipolo a lo largo de la línea perpendicular al punto medio entre las dos cargas.
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tenemos
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Para un desplazamiento curvilíneo k dzj dyi dxsd
la variación de potencial es dzEdyEdxEsd EdV zyx
Con esta expresión, podemos, conocido el potencial eléctrico, calcular el campo eléctrico asociado
Si dzzVdy
yVdx
xVdV
zVE ;
yVE ;
xVE zyx
De esta forma
kzVj
yVi
xVkEjEiEE zyx
VE
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El operador se llama “grad”. Esto se lee “E es el negativo del gradiente de V” o “E es igual al grad V negativo” . se denomina gradiente de potencial
VE
En cada punto, el gradiente de potencial apunta en la dirección en la que V aumenta con mas rapidez con un cambio de posición. Por consiguiente, en cada punto la dirección de E es la dirección en la que V disminuye mas rápidamente y siempre es perpendicular a la superficie equipotencial que pasa por el punto. Este coincide con lo que dijimos que desplazarse en la dirección del campo eléctrico significa desplazarse en la dirección de potencial decreciente.
Si E es radial con respecto a un punto y r es la distancia al punto la relación es:
Er = ∂ V (campo eléctrico radial)∂ r
La elevación de potencial entre dos puntos a lo largo de una línea de campo eléctrico es una medida del gradiente del potencial, en la misma forma que el aumento en la elevación entre dos puntos en una cuesta es una medida del gradiente de la cuesta.Se define entonces el “gradiente de potencial en un punto, como el aumento de potencial ΔV, a través de un elemento de longitud Δl a lo largo de una línea de campo:
Gradiente de V = lim ΔV = ∂ VΔl ∂ l
El gradiente de V es un vector cuya dirección es a lo largo de una línea de campo con una magnitud dada por ∂ V / ∂ lPuesto que ocurre un aumento de potencial cuando se mueve en contra delcampo eléctrico, “ la dirección del gradiente es opuesta a la del Campo.”
Gradiente de V = - E
En notación mas simbólica : Gradiente de V = Grad. V = VE
Relación entre las líneas de campo y el potencial eléctricoSi dejamos en libertad una carga de prueba en el seno de un campo eléctrico, se acelerará en el sentido de dicho campo a lo largo de las líneas de fuerza. El hecho de que se acelere hace que aumente su energía cinética, con lo cual, su energía potencial debe disminuir. Esto quiere decir que las líneas de campo señalan en la dirección en la que disminuye el potencial eléctrico.
Visto en términos del gradiente, ya que su significado físico es la dirección de máxima variación de la función, el signo menos indica sentido decreciente del potencial.
qo V bajosV altos
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6.66.6 COMPORTAMIENTO MICROSCCOMPORTAMIENTO MICROSCÓÓPICO PICO DE UN DIELDE UN DIELÉÉCTRICOCTRICO
Las cargas ligadas o cargas de polarización son las responsables de la disminución del campo eléctrico entre las placas de un condensador cuando se introduce un dieléctrico. Dichas cargas se encuentran en la superficie del dieléctrico.
Modelo atómico simpleUna carga puntual +Ze rodeada por una distribución esférica de carga negativa –Ze formada por electrones
-Ze
+Ze
0oE
0P
Si sometemos el átomo en un campo externo, éste ejerce una fuerza en un sentido sobre el núcleo y en sentido opuesto sobre los electrones. Así, la posición del núcleo y del centro de distribución de las cargas negativas queda desplazado.
+Ze
oE
P
Centro de distribución de cargas negativas En este caso el átomo adquiere
un momento dipolar inducido y entonces se dice que estápolarizado.
Moléculas polaresAquellas que tienen un momento dipolar permanente (por ejemplo el agua).
Si colocamos un dieléctrico entre las placas de un condensador planoparalelo, se polariza a medida que se introduce en el seno del condensador Aparece una densidad superficial de carga en las caras adyacentes a las placas del condensador
0oE
-
--
--
-
--
-
---
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
-
+
oE
+++++++
--------
--------
+++++++
-
-
-
+
+
++
+
+
+
+
+-
-
-
-
--
-
-
-+ +
+
p
oE
--------
--------
+++++++
+++++++
pE
El campo eléctrico total es, en este caso )i(EiEE po
En módulo, el campo total disminuye
po EEE Simulación
1 INTRODUCCI1 INTRODUCCIÓÓNN
Campo de fuerzas centrales: Caracterizados porque la dirección de los vectores fuerza pasan por un punto fijo llamado Centro o Polo del Campo y cuyo módulo sólo es función de la distancia r al centro.
El campo eléctrico cumple estas condiciones, ya que
ru)r(EE
Como además es un campo conservativo, se dice que deriva de una función potencial escalar, de forma que se cumple
)A(U)B(UrdFWB
A
extAB
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Se puede demostrar que todos los campo de fuerzas centrales son conservativos:
Suponemos un desplazamiento infinitesimal . El trabajo desarrollado por esta fuerza cuando se desplaza del punto A al punto B será
rd
dr )r(Frdu )r(FdW crccAB
El trabajo total será
)B(U)A(Udr )r(FW ccAB
A
B
ruF
rd
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Energía potencial: Es la función potencial asociada con el campo eléctrico.
Para comprender su significado, vamos a suponer una partícula en un campo de fuerzas conservativo al que es sensible.
Para que se encuentre en equilibrio es necesario aplicar una fuerza externa que compense la ejercida por el campo
cext FF
En cualquier desplazamiento infinitesimal, se realiza un trabajo en contra del campo.
A
B
F
extF
rd
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rdFrdFdW cextext
AB
El trabajo total realizado por la fuerza externa será
UWrdFW cBA c
extAB
Como el trabajo realizado sobre una partícula libre se invierte en aumentar su Energía cinética, en un campo conservativo debe disminuir su energía potencial. Por esta razón se identifica la función potencial con la Energía potencial.
La energía cinética se vincula al movimiento, mientras que la Energía potencial se asocia con la posición.19/04/2011 40
Como la fuerza eléctrica está dirigida hacia abajo, debemos ejercer sobre la carga una fuerza externa F hacia arriba si queremos que la partícula se mueva con velocidad constante
El trabajo desarrollado por esta fuerza será
d Eqd FW oextextAB
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Potencial eléctrico: Es el trabajo desarrollado por la fuerza externa por unidad de carga puntual
o
extAB
AB qWVV
Caso particular de un campo uniforme
d EVV AB
Unidades del potencial: Voltio (V)
Unidades del campo eléctrico: V/m o N/C
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Caso general: Campo eléctrico no uniforme y trayectoria no rectilínea
Debemos dividir la trayectoria en pequeños desplazamientos infinitesimales, de forma que
B
AoB
A extextAB rdEqrdFW
B
Ao
extAB
AB rdEq
WVV El potencial en este caso será
B
AE
F
rd
Eqo
qo
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Para un desplazamiento curvilíneo k dzj dyi dxsd
la variación de potencial es dzEdyEdxEsd EdV zyx
Con esta expresión, podemos, conocido el potencial eléctrico, calcular el campo eléctrico asociado
Si dzzVdy
yVdx
xVdV
zVE ;
yVE ;
xVE zyx
De esta forma
kzVj
yVi
xVkEjEiEE zyx
VE
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Relación entre las líneas de campo y el potencial eléctricoSi dejamos en libertad una carga de prueba en el seno de un campo eléctrico, se acelerará en el sentido de dicho campo a lo largo de las líneas de fuerza. El hecho de que se acelere hace que aumente su energía cinética, con lo cual, su energía potencial debe disminuir. Esto quiere decir que las líneas de campo señalan en la dirección en la que disminuye el potencial eléctrico.
Visto en términos del gradiente, ya que su significado físico es la dirección de máxima variación de la función, el signo menos indica sentido decreciente del potencial.
qo V bajosV altos
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33 POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUALPOTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL
Se puede calcular el potencial de una carga puntual a partir del campo eléctrico que produce.
I.- Calculemos el trabajo realizado por el campo para desplazar la carga desde el punto A al punto B
B
ArdE)A(V)B(V
Tomando como origen de potenciales el infinito, podemos identificar el punto B= y A= r
rkqdr
rqk)r(V
r
12
rqkrV )(
q
qo
A
B
0
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II.- Un método alternativo es calcular el trabajo que debe realizar una fuerza exterior para traer una carga desde el infinito hasta un punto r. En este caso el punto A coincide con el infinito.
B
AextAB rdFW
drrqkrdEAVBV
B
A
r
2
)()(
rqkrV )(
La energía potencial de una carga qo, situada a una distancia r de q, será r
qqkVqU oo
La energía potencial de un sistema de cargas puntuales será el trabajo necesario para llevar cada una de ellas desde el infinito hasta su posición final.
0
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44 POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALESPUNTUALES
Para una distribución discreta de cargas
n n n
nn r
qVV04
1
Para una distribución continua de cargas
rdqdVV
o41
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55 CCÁÁLCULO DEL POTENCIAL ELLCULO DEL POTENCIAL ELÉÉCTRICOCTRICO
Existen dos métodos para calcular el potencial eléctrico asociado a una distribución continua de cargas:
I Conocido el campo eléctrico creado por la distribución
B
ArdE)A(V)B(V
En este caso debemos tomar como origen de potenciales un punto de referencia arbitrario.
II Para el caso de distribuciones finitas de carga, para las cuales podemos suponer que V( )=0. En este caso
rdqdVV
o41
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Ejemplo 1.Ejemplo 1.-- Potencial eléctrico sobre el eje de un anillo cargado.
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Ejemplo 2.Ejemplo 2.-- Potencial eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente cargado.
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Ejemplo 3.Ejemplo 3.-- Potencial eléctrico en el interior y el exterior de una corteza esférica de carga.
Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un campo eléctrico, representado por sus líneas de campo. El trabajo necesario para desplazar una carga de prueba, qo, una distancia infinitesimal a la largo de una de estas líneas será
rdFdW
En términos de incrementos
rEV
E a larperpendicu r
0V V constante
E a paralelo r
Variación máxima de potencial
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Superficies equipotenciales
Es el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran al mismo potencial. Cumplen la condición de encontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico
El trabajo desarrollado para mover una partícula de un punto A a otro punto B a lo largo de una superficie equipotencial es nulo, ya que
o
ABAB q
WVV
A lo largo de una superficie
equipotencialBA VV 0ABW
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Ejemplos de superficies equipotencialesEjemplos de superficies equipotenciales
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77 POTENCIAL CREADO POR UN DIPOLO POTENCIAL CREADO POR UN DIPOLO ELELÉÉCTRICOCTRICO
Vamos a calcular el potencial eléctrico que produce un dipolo eléctrico en un punto del espacio.
+q
-q
2a
1r
2rr
12 rr
P
2121 4
1rq
rqVVV
o
Para puntos muy alejados del dipolo, tales que r>>2a, se pueden hacer las siguientes aproximaciones
221
12 2rrr
Cos a rr
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Teniendo en cuenta estas dos aproximaciones, podemos escribir
22
4 r Cos a qV
o
Recordando la definición de momento dipolar eléctrico
q a P 2
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r Cos PV
o
V = 0 para = 90º
No se requiere trabajo para llevar una carga de prueba desde el infinito hasta el dipolo a lo largo de la línea perpendicular al punto medio entre las dos cargas.
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88 MOVIMIENTO DE UNA PARTMOVIMIENTO DE UNA PARTÍÍCULA EN CULA EN UN CAMPO ELUN CAMPO ELÉÉCTRICOCTRICO
Cuando una carga eléctrica se coloca en el seno de un campo eléctrico, experimenta una fuerza que viene dada por
E qF
Si queremos calcular la aceleración que experimenta dicha carga, bastará con aplicar la Segunda Ley de Newton
i
i a mF
Por ejemplo, en el caso de un campo eléctrico uniforme, la trayectoria de una partícula es una parábola. Sería el mismo caso del movimiento de un proyectil en el seno del campo gravitatorio uniforme. La medida de la desviación de los electrones en un campo eléctrico uniforme fue utilizada por Thompson en 1897 para demostrar la existencia de dichas partículas y calcular su relación carga/masa.19/04/2011 58
99 CONDUCTOR EN EQULIBRIO CONDUCTOR EN EQULIBRIO ELECTROSTELECTROSTÁÁTICOTICO
Conductor: Material que se caracteriza por tener cargas libres que pueden moverse en su interior.
Si sometemos un conductor a un campo eléctrico externo, su carga libre se redistribuye hasta anular el campo eléctrico en su interior. En estas condiciones se dice que el conductor está en Equilibrio Electrostático (E’ = Eo).
+++++++++++++ oE
'E
Cualquier exceso de carga se colocará en la superficie del conductor, ya que el campo eléctrico externo no es lo suficientemente intenso como para vencer las fuerzas de ligadura.
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Condiciones que se deben cumplir en todo conductor
I Toda la carga libre de un conductor se coloca en su superficie.
Dado un conductor, supongamos una superficie gaussiana justo en el interior de la superficie del conductor. Como E =0 dentro del conductor, también será nulo en todos los puntos de la superficie gaussiana. Por lo tanto el flujo a través de la superficie del conductor es cero.
Por el Teorema de Gausso
q
int
Como 0 0int q
Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie del conductor
19/04/2011 60
II El campo eléctrico en la superficie del conductor es perpendicular a dicha superficie y vale
o
Para hallar el campo eléctrico en la superficie del conductor consideremos un elemento infinitesimal plano, con densidad superficial de carga . Como superficie gaussiana tomamos un cilindro con una cara en el exterior y otra en el interior del conductor
Si el conductor está en equilibrio electrostático, el E en la superficie debe ser perpendicular a dicha superficie. Así, sólo hay flujo a través de la cara superior.
o
intqs EsdE
s q into
E
E
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Conductores en contacto
Cuando se ponen en contacto dos conductores, la carga de ambos se redistribuye hasta que el campo eléctrico en el interior de ambos conductores se anula y se restituye el equilibrio electrostático. En estas condiciones, el potencial de ambos conductores debe ser elmismo.
Supongamos un conductor con carga +q al cual se aproxima un conductor descargado. En éste último aparecerán cargas inducidas.
++++
++++++++++
Como el potencial disminuye a lo largo de las líneas de campo, en principio, el conductor cargado está a un potencial más alto que el neutro. Cuando se ponen en contacto ambos conductores, la carga positiva fluye hacia el neutro hasta que ambos quedan al mismo potencial.
