“Potencias, Raíces y logaritmos”
El inventor del ajedrez, le presento su novedosa creación al rey
de Dirham, en la india, este quedo tan fascinado por el juego que le ofreció cualquier cosa que el deseara como recompensa.
Ante este ofrecimiento el ingenioso inventor le propuso al rey que le diera simplemente, un grano de trigo por el primer casillero del tablero, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto y así sucesivamente duplicando la cantidad del casillero anterior hasta llegar al ultimo.
El rey se extraño por la modesta petición del súbdito y mando a que se cumpliera su petición.
Horas mas tarde llego el encargado de los graneros afligido diciendo que no se podía cumplir con la petición del inventor...
- ¿Adivinas que paso?El encargado le explico a el rey, y le dijo que no había suficiente trigo en los graneros del reino, ni siquiera en los de todo el mundo!
El rey quedo atónito y no lo pudo creer,
¿Y como es posible
esto?
Bueno ahome, esto es muy sencillo, En el primer casillero el
numero de granos es igual a uno, en el segundo cuadro es
dos, en el tercero cuatro, en el cuarto ocho, y así hasta el 64,
este es un procedimiento muy lento si.
¿Y que haríamos para simplificar este
procedimiento?
•Para sacar el valor tendríamos que hacer lo siguiente: el primer cuadrado 1x1 en el siguiente 2x1 luego 2x2 , de hay 2x2x2 y así sucesivamente.
•Con potencias el primer numero quedaría como 20 , el segundo como 21, el tercero como 22 y el cuarto como 23 Por que en potencias la base que en este caso es 2 se multiplica tantas veces como el numero de exponente tenga.
¿Ósea que tendríamos que sumar
20+21+22+23..........hasta 263?Si ahome como veras es un numero muy grande, solo como
ejemplo el 263 es igual a 2x2x2x2….x2 63 veces y ese numero
me dio 9.223.372.036.854.775.808, lo que no es el total ya que
nos falta sumar todos los números anteriores y como veras no
es un numero para nada pequeño.
Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arriba
de este se encuentra otro numero que llamaremos “n”
de esta forma: naAl “n” se le llama exponente de la potencia
Al “a” se le llama base de la potencia
Las potencias sirven para expresar la
multiplicación de un dato que se repite una cierta
cantidad de veces
“a” es el número en cuestión,”n” es
la cantidad de veces que se
multiplica por si mismo.Se define de esta forma: an=a•a•a•a• •a (n veces)
Bueno, ¿entendieron lo que es realmente
una potencia?
Yo si, pero parece que mi amigo no mucho
Bueno, lo explicare mas detenidamente.
Tomen atención.
Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arriba
de este se encuentra otro numero que llamaremos “n”
de esta forma: na“a” es el número en cuestión,”n” es
la cantidad de veces que se
multiplica por si mismo.Se define de esta forma: an=a•a•a•a• •a (n veces)
Aplicando la definición tenemos:
(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8
Calculemos el valor de -34
Observamos que la base de la potencia es 3
( y no -3) expresándola en forma de
producto nos queda:
-34 = -3 • 3 • 3 • 3 = -81
Ahora veamos si entendiste
Calculemos el valor de (-2)3
4
4
2
2
Soluciones:
-16
16
Como conclusión se puede decir
que cuando un término que es
antecedido por un signo negativo
se eleva a un exponente impar el
término siempre será el mismo
que al inicio, en cambio elevado a
un número par se logrará el signo
contrario al inicial.
Ahora resuelve tú
Potencias con exponente 1
Es igual a la base de la potencia, es decir:
a1=a ejemplos: 101=10; 31=3
Ejercita:
1) 71=
2) 221=
3) 41=
4) 61=
Soluciones:
1)7
2)22
3)4
4)6
En todo caso, sea cual sea, la base será igual a si misma
si el exponente es 1.
Potencias con exponente -1
es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir:
a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ; (1/2)-1=2
Ejercita:
___3
25)4
___8)3
___3,2)2
___4
2)1
1
1
1
1
Soluciones:
1) 2
2) 10/23
3) 1/8
4) 3/10
Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y sumamos los exponentes, es decir:
an • am = an+m
al revés cuando tenemos una base con una suma en el exponente la podemos descomponer, es decir:
an+m = an • am
Multiplicación de potencias de igual base
Ejercicio resuelto
Expresemos en forma de potencias: aquí tenemos el producto del término (-1/2) cinco veces (el término se repite 5 veces).En este caso lo que se hace es sumar los exponentes de todos los términos, dejando solo un término.
5
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad
___)4
___55)3
___)2
___)1
242
4
632
53
yxyx aa
bbb
aa
Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.
1)a8
2)b11
3) 55
4)a3x+2y
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.
División de potencias de igual base
En este caso, mantenemos la base y restamos los exponentes, es decir:
an : am = an-m
al revés cuando tenemos una base con una resta en el exponente la podemos descomponer, es decir:
an-m = an : am
Ejercicio resuelto
42626: xxxx
)()()(
)( 23
2
3
bababa
ba
En el primer caso, se aplica la propiedad que si se tiene una misma base, se
pueden restar los exponentes. Lo que se demuestra paso a paso.
Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta
propiedad
_____:)4
_____5
2:
5
2)3
____)2
____)1
11
54
45
56
6
16
xx mm
xx
xx
m
m
Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.
1)m10
2)x2
3) 2/54)m2
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.
Potencia con exponente 0
Es igual a 1:
a0=1, 00= no existe
Ejemplos:
50=1
-40=-1
Ejercita:
1) 30=___ 3)-20=___
2) (1/2)0=___ 4) 10=___
Soluciones:
1)1 3)-1
2)1 4)1
Potencia con exponente negativo
Es la misma propiedad que con exponente a -1,solo que ahora, cuando se da vuelta al ser negativo el exponente, no queda en 1, sino que en n.
a-n=1/an ; a≠0 ejemplo: 3-
2=(1/3)2=1/32=1/9
Ejercitemos:
1)-2-2=___ 3)(1/3)-2=___
2)(-2)-2=___ 4) (22/23)-4=___
Soluciones:
1)-1/4 3)9
2)1/4 4)16
Potencia de una potencia
Aquí debemos elevar la base a la multiplicación
de los exponentes.
(am)n = an • m
En el caso contrario si tenemos una base con exponentes multiplicándose se pueden distribuir.
an • m = (am)n
Ejercicio resuelto
1. Desarrollemos (a2 :a6)2
Primero tenemos que aplicar la propiedad, multiplicando los exponentes, luego aplicando las propiedades ya conocidas deberíamos poder llegar a un término.
8
841212
4
26
222
6
2 11
a
aaa
a
a
a
a
a
Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad
___)4
___9)3
___23)2
___)1
4
325,0
2
1246
3522324
2
6
42
a
zyx
cbacba
x
ba
Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.
1) (a4b8)/x12
2) 72a2b19c9
3) 3x3y2z
4) a3/16
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.
Potencia de un producto
Elevamos el producto de las bases al
exponente común.
an • bn = (ab)n
Por el contrario si tenemos 2 un paréntesis elevado a un numero, los componentes del paréntesis se pueden separar.
(ab)n = an • bn
Ejercicio resuelto
605353444
Primero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicar
las bases, luego solo resolvemos la potencia resultante.
Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad
___278)4
___)3
___2)2
___8)1
1414
22
33
pp ba
qba
ax
Soluciones:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.
1) (2ax)3
2) [2q(a+b)]2
3) (ab)4p-1
4) 63
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.
Potencias de 10
100 = 1 104 = 10000
101 = 10 105 = 100000
102 = 100 106 = 1000000
103 = 1000 107 = 10000000
•Se muestra cuando tenemos 10
elevado a un número cualquiera:
Notación científica
Se utiliza para expresar grandes cantidades en números mas pequeños.
Para poder expresar un numero como notación científica se debe elegir un numero entre 1 y 10 y luego hacer el producto entre este y una potencia de 10.
Ej.:
- La velocidad de la luz: 300.000 Km/s = 3•105 Km./s
- El tamaño de una célula: 0,000008 metros = 8•10-6
metros
Ejercitemos juntos, para aprender esta propiedad
Primero se tiene que dejar lo mas reducido el número que multiplica al 10, no puede ser decimal, ni menos pasarse de 10 unidades, se cuentan los 0, por cada cero será un digito más.
Si es decimal, o sea un número minúsculo, el exponente es negativo y si el número es muy grande, es positivo el exponente.
8
4
108000.000.800
1030003,0
Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad
1) 0,0000000065 3)0,00000000000121
2) 123.000.000 4) 567.000.000.000
Soluciones:
1) 6,5 • 10-9 3) 1,21 •10-12
2) 1,23 • 108 4)5,67 • 1011
Potencia con exponente fraccionario
Esta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabaja de la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de la fracción y luego se hace la raíz de esta, y cuyo índice corresponde a el denominador de la fracción.
nn aa
1
n mn
m
aa
• Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver una raíz la podemos transformar en potencia poniendo el índice como denominador y el exponente que tenga el radicando como numerador en la potencia que se formaría
3
5
3 5 aa
____161728)4
_____216125)3
_____8164)2
_____25)1
4
1
3
1
3
1
3
1
4
2
2
1
2
1
Soluciones:
1)5
2)17
3)-1
4)10
Resuelve estos ejercicios para ver como
vas manejando esta propiedad
___)4
11(
___)4
3(
___)1,1(
___10
___)2(
___3
___2
3
6
3
1
3
2
2
___5
2
2
5
5
2
___5
311
___2
1
5
43
___)02,0()02,0(
___2221
___)12()12(
___2222
321
01
2
30
21
22
321
11
3210
Reforzamientos varios:
Problema de profundización:
Alfredo recibe una carta pidiéndole que
participe en una “cadena”, enviándole
copia de la misma carta a 3 otras
personas, cada una de las cuales debe
enviarle un cheque por $1000 a vuelta
del correo. Él, a su vez, debe enviar
$1000 al remitente de la carta que
recibió. Si cada persona que recibe una
carta de esta “cadena” procede como
indicado, todos harán beneficios.
¿dónde esta la trampa?
Descúbrelo a través de tus
conocimientos adquiridos.
Raíces
Índice de la raíz Operante
Cantidad subradical o
radicando
Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto:
n a
nn aa
1
En este nuevo capitulo encontramos lo contrario de la
potencias, las raíces, es decir las potencias se simplifican
(eliminan) con las raíces y viceversa
¿Pero con que términos trabajaremos ahora en este capitulo
de raíces, si en potencias a=base, y n=exponente, ahora
como es esto?
Bueno tenemos 3 terminos con los que trabajaremos los
cuales son:
Propiedades de las raíces
Raíz de una potencia con exponente igual al índice.
Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el radicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar el radicando como potencia, una base elevado a una fracción de la siguiente forma:
1
1
)( aaaa n
n
nnn n
Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las
propiedades de las raíces, veamos la primera:
Al elevar a n la raíz n-esima de
a estamos simplificando el
proceso anterior por lo cual el
numero quedaría el numero
Veamos unos ejemplos:
5
2
5
2
5
2
5
2
7777
5555
15
5
5
5
1
13
3
3 3
12
2
2
xxxx p
p
p p
Aplicando la propiedad,
vemos que el índice y el
exponente del radicando
se deja en forma de
potencia, por lo tanto igual
numerador y denominador
dan como resultado 1, así
se dice que se simplifico o
elimino la raíz y se
convierte en una simple
base elevado a 1 lo que
da como resultado la
misma base, como vemos
en los ejemplos.
Ahora te toca a ti trabajar:
5 5
3 3
4 4
2
48 .4
23 .3
59 .2
6 .1
Raíz de un producto:
nnn baba
nnn baba
Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se estén
multiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales tienen
el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen, como se
muestra a continuación.
Así también podemos hacer el proceso inverso,
donde el producto de dos raíces de igual índice que
puede agrupar en una sola raíz
De la raíz de una fracción o división se puede separar en 2 raíces pero que poseen el mismo índice que la anterior y esas dos nuevas raíces se dividen ahora.
n
n
n
b
a
b
a
nn
n
b
a
b
a
* Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz y
el denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como se
muestra a continuación:
* Pasemos a Raíz de un cociente:
** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a
raíz de un producto