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1
MATEMATICAS 2SEGUNDO SEMESTRE DE
2010Carreras empresariales
MG Luis Alberto Florez Del [email protected]
115/04/23
22
LIMITES DE FUNCIONES
Concepto de límite
( Intuitivo) EL límite de una función ( cuando existe) es un valor numérico L y es el resultado de la evaluación de valores “muy”cercanos a un número “a” en el dominio de f.
Ejemplo: calcular
2
2
3lim
1x
x
x
2
1
1lim
1x
x
x
3
2lim
3x x
2
2
2 1lim3 3 4x
x x
x x
(Tipo 1) (Tipo 2) (Tipo 3) (Tipo 4)
FORMA EVALUAR FORMA AL INFINITO0
N
0
0
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3
EXISTENCIA DEL LIMITE
TIPO (1) TIPO (2)
TIPO (3) (TIPO 4)
NO EXISTE
EXISTE EXISTE
NO EXISTE
•EL LIMITE ESUNICO •EL LIMITE ES UN VALOR NUMERICO•SE VE EN EL EJE DE LAS Y•LA X TIENDE A UN NRO Y LA F(X) TIENDE AL LIMITE
OBSERVACIONES
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5
PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS LIMITES
15/04/23 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio - Cel. 955794944
6
PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS LIMITES
1.-
2.-
3.-
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7
TIPO 2F S E
FACTORIZAR- SIMPLIFICAR -EVALUAR
FORMA 0
0
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8
22
2 1
ax
axaxlim
ax
xx
xlimx 5
252
2
5
TALLER 1 = DEBER 1
12
22
2
1
xx
xxlimx
12
22
2
1
xx
xxlimx
ax
axlim
ax
1.-
2.-
3.-
4.-
234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
13
20
x
xlimx
2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
5.-
6.-
7.-
8.-
FORMA 0
0
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9
x F (x)
2.110
2
2
1lim
2x x
TIPO 3FORMA 0
Ν
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10
3
1lim
3x x x F (x)
3.1 -10
3
3
1lim
3x x
TIPO 3FORMA
0
Ν
15/04/23 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio - Cel. 955794944
11
3
1lim
3x x x F (x)
-3.1 10
-3
3
1lim
3x x
TIPO 3FORMA
0
Ν
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12
x F (x)
1.9 -10
2
1lim
2x x
2
2
1lim
2x x
TIPO 3FORMA
0
Ν
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LIMITES EN EL INFINITOTIPO 4
mn
mn
mnba
bx
axm
n
x0
/
...
...lim
TRES PASOS•FACTORIZAR MAXIMA POTENCIA•SIMPLIFICAR•EVALUAR EN EL INFINITO
FÓRMULA GENERAL
CASO ∞
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15
mn
mn
mnba
bx
axm
n
x0
/
...
...lim
CASO - ∞
TIPO 4
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18
TALLER 3 = DEBER 3
1
2
3
4
510
6
8
7
9
11 CASO ∞
TIPO 4
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TALLER 4 = DEBER 4
1.- CALCULAR LOS LIMITES LATERALES EN LOS PUNTOS INDICADOS
TIPO 5
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27
2.- CALCULAR LOS LIMITES
TALLER 4 = DEBER 4
TIPO 5
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28
LIMITES TRIGONOMETRICOS
0lim 1x
senkx
kx
1lim0
u
senuu
1lim0
senu
uu
1) Límite trigonométrico es aquel que admite funciones como seno , coseno tangente, secante cosecante y funciones inversas como arco tangente
2) Estos límites se resuelven usando la propiedad
3) Existen variaciones de la propiedad
y
EJEMPLOS
(1)
x
xsenx
3lim
0(2)
xsen
xx 3
2lim
0(3)
(TEOREMA 1)
TIPO 6
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29
TALLER5 = DEBER 5
CALCULAR EL LÍMITE DE f(x) CUANDO x TIENDE A CERO
TIPO 6
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30
TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE
El cambio de variable para límites trigonométricos se usa cuando queremos hacer que el límite tienda a cero de modo que podamos aplicar el teorema 1.
1lim0
u
senuu
(teorema 1)
TIPO 6
•Se cambia la variable actual por una de nuestra elección•Si x tiende a c el cambio sugerido es u = x – c•Se reemplazan todas las variables x por la fórmula x = u+c•En el nuevo límite ahora u tiende a 0
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Por otro lado
CAMBIO DE VARIABLETIPO 6
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33
TALLER 6 =DEBER 6
xsen
xx
2
1
1lim
0)
p)
TIPO 6
x
xsen
x 32
1
lim
q)
r)x
x
x 3
21
3
coslim
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