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MATEMATICAS -PRACTICAS

OPERACIONES CON FRACCIONES

I. ADICIÓN DE FRACCIONES:

1.1. Para Fracciones Homogéneas.Para sumar dos o más fracciones homogéneas, es decir fracciones que poseen el mismo denominador, se toma como denominador del resultado el denominador común y como numerador, se toma la suma de todos los numeradores.

Ejemplo:

Efectuar:

Resolución:Tomamos como denominador, 17 y como numerador la suma de los numeradores así:

=

1.2. Para Fracciones Heterogéneas.Para sumar 2 o más fracciones heterogéneas, se toma como denominador del resultado al MCM (mínimo común múltiplo) de los denominadores y como numerador a la suma de los resultados de dividir el MCM entre el denominador y multiplicarlo por en numerador de cada una de las fracciones.

Ejemplo:

Efectuar:

Resolución:

Hallamos el MCM de 5 y 3, es decir 15.

II. SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES

Para restar fracciones se procede en forma de similar a la adición así:

Ejemplos:

1. Efectuar:

Resolución:Se toma como denominador al 5 y como numerador a la diferencia de los numeradores así:

=

2. Efectuar:

Resolución:Hallamos el MCM de 3 y 5, es decir 15 y procedemos en forma similar a la adición:

III. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Para multiplicar dos o más fracciones se toma como numerador, el producto de los numeradores y como denominador, el producto de los denominadores.

Ejemplos:

1. Efectuar: Resolución:

=

2. Efectuar:

1


Resolución:En este caso, para evitar resultados con valores muy grandes, es conveniente primero simplificar así:

= =

IV. DIVISIÓN DE FRACCIONES

Recordemos que la división es la operación inversa de la multiplicación, por tanto dividir dos fracciones no es otra cosa que multiplicar por el inverso del divisor.

Ejemplos: Resolución:Efectuar:

Dividir es lo mismo que multiplicar

así:

PRACTICA DE CLASE

I. Efectuar las siguientes adiciones:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

II. Efectuar las siguientes sustracciones:

1. 2.

3. 4.

III. Efectuar las siguientes multiplicaciones

1. 2. 3.

4. 5. 6.

IV. Efectuar las siguientes divisiones

1. 2. 3.

4. 5. 6.

2


7. 8.

TAREA DOMICILIARIAEfectuar:

1. 2. 3.

4. 5.

OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES

PRACTICA DE CLASE

Resolver cada una de las siguientes operaciones combinadas.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

3


11. 12.

13. 14.

15.

TAREA DOMICILIARIA

Efectuar:

1. 2.

3. 4.

5.

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Para sumar o restar números decimales se debe seguir los siguientes pasos:

- Escribir los números uno debajo del otro de manera tal que la coma decimal quede en la misma columna.

- En caso que los números tenga diferente cantidad de cifras decimales, se añaden a la derecha los ceros necesarios para igualar las cantidades de cifras decimales.

- Se suma o se resta normalmente, ubicando la coma decimal en la columna de las comas.

Ejemplos:

4


1. Efectuar: 23 , 45 + 6 , 7

Resolución:

2. Efectuar: 432 ,3 + 5 + 12 , 25

Resolución:

4 3 2 , 3 0 + 5 , 0 0 1 2 , 2 5 4 4 9 , 5 5

3. Efectuar: 6 , 7 – 1 , 234

Resolución:

6 , 7 0 0 +1 , 2 3 4 5 , 4 6 6

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Para multiplicar dos números decimales se debe seguir los siguientes pasos:- Se realiza la multiplicación ignorando las comas decimales.- Se cuenta el número total de cifras decimales en los dos factores.- Se separa en el resultado tantas cifras decimales como el resultado de contar

las cifras de los dos factores.Ejemplo:

Efectuar: 3,45 + 2,3

Resolución:

Podemos ver que en el resultado se han tomado 3 cifras decimales puesto que en el primer factor hay 2 cifras decimales y en el segundo factor solo hay una.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR 10, 100, 1000, etc

Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, se corre la coma del número decimal hacia la derecha, tantos lugares como ceros tenga el número por el que se está multiplicando.

Ejemplo

4 , 324 x 100 = 423,4

12 , 8 x 10 = 128

3 , 5 x 1000 = 3 500

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; etc.

Para multiplicar un número decimal por otro número decimal de la forma 0,00...01, se corre la coma decimal del primer factor, a la izquierda, tantos lugares como cifras decimales tenga el segundo factor.

Ejemplo:

148,5 x 0,01 = 1,485 3,42 x 0,001 = 0,00 342 12,41 x 0,1 = 1,241

DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

a) División de números enteros con cociente decimalLos pasos a seguir son:

- Se resuelve la división de la forma tradicional.- Como el residuo es diferente de cero, se escribe una coma en el cociente

y se agrega un cero a la derecha del residuo y se sigue dividiendo.- Se continua agregando ceros a la derecha del residuo hasta que el

residuo de lugar cero ó hasta obtener el número de cifras decimales deseado.

5


Ejemplo:

Dividir: 143 8.

Resolución:

b) División de un número decimal entre un número enteroLos pasos a seguir son:

- Se resuelve la división como si fueran dos números enteros, pero se pone una coma en el cociente justo antes de bajar la primera cifra decimal del dividendo.

Ejemplo:

Dividir: 14,79 3

Resolución:

Para comprobar la división recordemos que:

Dividendo = divisor cociente + residuo

Luego:

14,79 = 3(4,93) + 0

14,79 = 14,79

c) División de un número entero entre un número decimalLos pasos a seguir son:

- Se suprime la coma del divisor y se agrega a la derecha del dividendo tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor.

- Se resuelve la división como en el primer caso.

Ejemplo:

Dividir: 42 3,5

Resolución:

d) División de dos números decimalesLos pasos a seguir son:

- Se corre la coma decimal del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor, si es necesario se agregan ceros.

- Se divide como en el segundo caso.

Ejemplo:

Dividir: 71,54 7,3

Resolución:

PRACTICA DE CLASE

I. Efectuar cada una de las siguientes operaciones.

1. 4,35 + 21,7 2. 3,453 – 1,83. 12,5 – 10,452 4. 12,28 + 11,43 – 5,45. 16,45 – 8,43 + 5,1 6. 4,45 + 121,2 + 13 + 0,4157. 8,375 – 1,4 + 3,41 – 5,732 8. 183,47 + 141,2 – 459. 101,002 – (19,5 + 43,105) 10. (143,54 – 83,2) + 5,4

II. Efectuar:

1. 43,5 7,9 2. 83,5 3,7 3. 834,8 0,414. 128,7 0,008 5. 12,544 0,027

III. Sean: a = 7,9 b = 12,05 c = 15,8 d = 48,7

Hallar:

6


1. (a + b) (d – c) 2. (a d) + (b + c) 3. a (c – d) + d4. d (c – b) – a 5. a + b c – d

IV. Completa las siguientes igualdades:

1. 43,815 100 = 6. 12,43 0,001 =2. 13,007 10 = 7. 12,48 103 =3. 1,4327 1000 = 8. 5,237 102 =4. 123,2 100 = 9. 4,5 10-3 =5. 8437,12 0,002 = 10. 1432,5 10-2

=

V. Resuelve las siguientes divisiones con 3 cifras decimales.

1. 428 32 2. 57 24 3. 243 244. 347 8 5. 47 125

VI Completa el número que falta en los recuadros.

1. 73,42 = 7,942 2. 62,7 = 0,627

3. 5,7 = 0,057 4. 24,93 = 0,02493

VII. Efectuar:

1. 52,632 8 2. 78,240 12 3. 285,68 164. 34 8,6 5. 432 14,4 6. 75 10,57. 17,02 14,8 8. 105,6 20,4 9. 42,886 8,2

VIII. Resolver las siguientes operaciones combinadas.

1. 5,06 x 4,05 – 0,02 0,4 2. 8,82 + (2,8 + 3,5) – 26,53. (6,24 + 3,5) x 0,01 + (5,06 + 7,94) 0,05 4. 16,2 + 0,6 – 0,4 x 0,7

TAREA DOMICILIARIA

I. Efectuar.

1. 4,05 + 7 + 13,5142. 84,2 – 17,4133. 184,2 + 415

II. Efectuar:

1. 4,315 2,3 2. 13,2 + 5,4 3,7 – 8,33. (4,12 + 5,2) – (4,5 o,3)

III. Completar:

1. 8,513 100 = 2. 13,41 0,001 =3. 15,435 102 = 4. 1835,47 10-4 =

IV. Efectuar:

1. 432 50 2. 148,32 12 3. 8245 2,4

4. 148,42 3,2 5. 7,8 + 2,4 0,6 – 3,2

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

I. ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS :

7


1. Para sumar números enteros que tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y el signo del resultado es el mismo que el de los sumandos.

Ejemplos:

(+15) + (+32) = +15 + +32 = +47

(-21) + (-10) = -21 + -10 = -31

2. Para sumar números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos de los números dados (el mayor menos el menor) y se coloca al resultado el signo del número del mayor valor absoluto.

Ejemplos:

(+52) + (-75) = +52 + -75 = -23

(+127) + (-46) = +127 + -46 = +81

II. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS:

Para efectuar la sustracción de dos números enteros, basta sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

1) (-15) – (-7) 2) (+39) – (-58)

La sustracción convertida en adición:Transformando la sustracción en adición:

(-15) + (+7) = -8 (+39) + (+58) = +97

Así, la sustracción queda transformada en una adición de números enteros y la regla para resolverla se dio anteriormente.

OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN Z

Veamos los ejemplos:

1) Efectuar: (+15) + (-11) – (+17) + (+5) – (-21)

Solución:

Expresando las sustracciones como adiciones:

OTRA FORMA:(+15) + (-11) – (+17) + (+5) – (-21)

Expresando las sustracciones como adiciones:(+15) + (-11) + (-17) + (+5) + (21)

Suprimiendo los operadores y paréntesis:+15 – 11 – 17 + 5 + 21

Agrupamos los números positivos y negativos.

2) Efectuar: -15 + {7 – 29 – [-16 – (8 – 3 – 5 + 7)] – 4}

Solución:Suprimimos el paréntesis (signo colector ubicado en la parte más interna); efectuando antes las operaciones del interior, lo mismo aplicamos con el corchete y llave.

OTRA FORMA

8


III. Podemos ir suprimiendo los signos corchetes comenzando por la parte más interna y antes de operar los números que se encuentran en su interior, así:

a) Si delante del paréntesis está el signo +, se suprime el paréntesis y los números del interior no alteran su signo.

+ (+7 – 10 – 8) = +7 – 10 – 8

b) Si Delante del paréntesis está el signo, se suprime el paréntesis y los números del interior se alteran en su signo.

- (+7 – 10 – 8) = -7 + 10 + 8Luego tenemos:

- 15 + {7 – 29 – [-16 – (8 – 3 – 5 + 7)] – 4}- 15 + {7 – 29 – [-16 – 8 + 3 + 5 - 7)] – 4}- 15 + {7 – 29 + 16 + 8 – 3 – 5 + 7 – 4}- 15 + 7 – 29 + 16 + 8 – 3 – 5 + 7 – 4

Operamos los positivos y negativos por separado. (no se observa opuestos).

PRACTICA DE CLASE

I. Efectuar las siguientes adiciones:

1. (-4) + (+9) = 6. (-8) + (-7) =2. (+7) + (-3) = 7. (+7) + (-12) =3. (+4) + (-17) = 8. (+49) + (-69) =4. (-48) + (-59) = 9. (-47) + (-104) =5. (-63) + (+108) = 10. (-49) + (+107) =

II. Efectuar las siguientes sustracciones:

1. (-1) – (-4) = 6. (-42) – (-49) =2. (+4) – (-7) = 7. (-12) – (+45) =3. (-8) – (-2) = 8. (108) – (-45) =4. (-48) – (+15) = 9. (-43) – (43) =5. (+128) – (-421) = 10. (+105) – (+49) =

III. Efectuar las siguientes operaciones combinadas:

1. +48 + -42 - +45 + 84

2. (-48 + 32) – (45 - +12)

3. [(-12) + (-15)] – [(+48) – (-45)]

4. (+48) + (-13) – (-43) + (-12) – (+15)

5. (-48) – (-54) – [(+43) – (-12) + (-45)]

TAREA DOMICILIARIA

Sean a = -12 ; b = -15 ; c = +48 ; d = +18

Hallar:

1. a + b – c

2. a – b + d

3. (a – b) – (c + d)

4. (c – b) + (b + d)

5. (a + b – c) – d

9


OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS

En la multiplicación de números enteros se pueden presentar distintas situaciones:

1. (+7) . (+8) = +56

(-11) . (-7) = +77

Si dos números enteros tienen el mismo signo, para multiplicarlos se multiplican sus valores absolutos y el resultado es un número entero positivo.

2. (-15) (+7) = -105

(+13) (-6) = -78

Para multiplicar dos números enteros que tienen distinto signo, se multiplican sus valores absolutos y el resultado es un número entero negativo.

En resumen:

Observaciones: Cuando existen más de dos factores, contamos cuántos de ellos son negativos. Luego:

a) Si el resultado del conteo es impar, el resultado será negativo (-). Ejemplo:

(-2)(-3)(5)(- 4) = - 120

b) Si el resultado del conteo es un número par, el resultado será positivo (+).

Ejemplo:

(-3)(3)(-4) = 60

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Veamos las divisiones:

15 -3 = -5; porque 15 = (-5)(-3) 15 es múltiplo de - 3

11 760 245 = 48; porque 11 760 = (245)(48) 11 760 es múltiplo de 245.

72 7 = x Z; porque no existe número entero que multiplicado por 7 nos de como producto 72. Por lo tanto 72 no es múltiplo de 7.

De los ejemplos anteriormente expuestos se concluye:

* La operación de división de números enteros no es clausurativa; no siempre se encuentra el entero que multiplicado por el divisor, dé el dividendo.

* La división en el conjunto de los números enteros sólo será posible cuando el dividendo (D) sea múltiplo del divisor (d) y éste diferente de CERO, con esta referencia se encontrará un número q (cociente) tal que multiplicado por d, nos dé por producto el número D.

Simbólicamente:

Si D, d, q Z; = q D = d.q

Los elementos de la división son:

Dividendo (D).- Es la cantidad a ser dividida.

Divisor (d).- Indica el número de partes iguales en que debe dividirse el dividendo.

Cociente (q).- Es el número de elementos que resultan para cada una de las partes indicadas por el divisor.

Además para indicar la operación de división se acostumbra usar:

__ ; / ; estos signos representan al operador de la división leyéndose como “entre”.

Los números enteros pueden ser positivos o negativos, a efectos de realizar correctamente una operación de división, es preciso tener en cuenta las siguientes reglas:

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1. Para dividir dos números enteros del mismo signo se dividen sus valores absolutos del primero por el segundo, y se antepone al cociente el signo más (+).

Ejemplos:

(+16) (+4) = +4(-54) (-3) = +18

2. Para dividir dos números enteros de distintos signos se dividen sus valores absolutos del primero por el segundo, y se antepone al cociente el signo menos (-).

Ejemplos:(+52) (-4) = -13(-16) (+2) = -8

Observaciones:

* El cero dividido por cualquier número entero distinto de cero es cero.

Ejemplo:

* Un número entero (distinto de cero) dividido por cero es una operación que carece de sentido.

Ejemplo:

Carecen de sentido

PRACTICA DE CLASE

I. Efectuar las siguientes multiplicaciones:

1. (-4) (-2) =

2. (+8) (-5) =

3. (-4) (+12) =

4. (+8) (+7)

5. (-4) (-2) (-3) (+7) =

6. (-2) (+5) (-11) =

II. Efectuar las siguientes divisiones:

1. (-48) (-12) =

2. (-64) (+8) =

3. (+108) (-36) =

4. (-144) (+36) =

5. (-48) (-3) =

III. Efectuar las siguientes operaciones combinadas:

1. 48 – 32 + 15 – 12 + 43 – 5 – 12

2. (-4 + 8) [4 (-5) + 18]

3. (-8) (4 + 3 – 9 + 2) [-8 + 3 (2 – 7)]

4. (5 – 12 + 6 – 4 + 9 – 1 + 15) (4 3 – 6)

5. [20 – 15 + 8 – 12 + 4 – 8 + 16 – 30] [48 (-8) + 3]

TAREA DOMICILIARIA

I. Efectuar las operaciones indicadas:

1. (-4) (-7) =

2. (-12) (+15) =

3. (-417) (-3) =

4. (221) (-17) =

11


5. (-12 + 15 + 12 – 13 + 48) (7 4 – 3)

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

I. CASO

Ecuaciones de la forma: x b = c

Ejemplo:Resolver: x + 3 = 5

RESOLUCIÓN:

Propiedad 1:Si a ambos miembros de una igualdad se le suma o se le resta una misma cantidad, la igualdad se mantiene.

En nuestro ejemplo, restamos a ambos miembros de la ecuación la cantidad 3:

x + 3 – 3 = 5 – 3

Regla práctica 1:Lo que está sumando en uno de los miembros, puede pasar al otro miembro restando, y lo que está restando puede pasar sumando.

Ejemplo: x + 3 = 5

El tres que está sumando en el primer miembro, puede pasar a restar.

Así: x = 5 – 3

II. CASO

Ecuaciones de la forma

Ejemplo:

Resolver:

RESOLUCIÓN:

Propiedad 2:

Si a ambos miembros de una igualdad se le multiplica por una misma cantidad, la igualdad se mantiene.

En nuestro ejemplo, multipliquemos por 3 ambos miembros de la ecuación:

3 . = 2 . 3

x – 8 = 6

Aplicando la propiedad 1, sumamos a ambos miembros de la ecuación, 8.

x – 8 + 8 = 6 + 8

Regla práctica 2:

Lo que está dividiendo en un miembro, puede pasar al otro miembro multiplicando.

Ejemplo:

12


RESOLUCIÓN:

De la regla practica 2, el 3 que está dividiendo en el primer miembro, puede pasar al segundo miembro multiplicando así:

x – 8 = 8(3)

x – 8 = 6

De la regla practica 1, el 8 que está en el primer miembro, puede pasar sumando al segundo miembro así:

x = 6 + 8

x = 14

PRACTICA DE CLASE

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:

1. x + 487 = 542 2. 342 + x = 1234

3. x – 215 = 105 4. 321 – x = 105

5. 4228 + x = 5432 6. + 7 = 12

7. = 4 8. = 7

9. 3x – 12 = 48 10. 4x + 18 = 58

11. 5x + 12 = 47 12. = 7

13. = 9 14. 4x + 12 = 3x + 42

15. = 16. + 5 = + 11

17. + = + 7 18. 3x + 7 = 5x -7

19. 5 + 3x = 2x + 7 20. 7(x – 18) = 3(x – 14)

21. 22.

13


23. 24. 3x + 8 = 2

25. 2x + 15 = 7

TAREA DOMICILIARIA

Resolver las siguientes ecuaciones:

1. 2x = 5x – 15

2. 3x + 11 = 8x + 6

3. 15x – 12 = 6x + 24

4. = 8

5. = 7

6.

7. 7x + 8 = 1

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON 2 INCOGNITAS

Son las que se satisfacen para iguales valores de las incógnitas

Ejm:

RESOLUCION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES

Existen 3 métodos de Resolución: El de Sustitución, el de Igualación y el de Reducción.

A. METODO DE SUSTITUCIÓN:Consiste en despejar una de las variables en cualquiera de las

ecuaciones del sistema (de preferencia la que tenga el menor coeficiente), luego sustituir su valor en la otra ecuación y por último resolver la ecuación de 1er grado con una variable que resulta. Así.

Ejemplo: Resolver:

Solución: Despejando ¨y ¨ en la ecuación ( 1 ) y = 41 - 5 x

Reemplazando este valor en la ecuación ( 2 ) 2 x + 3 ( 41 – 5x ) = 32 .... Luego x = 7

14

Es un sistema de ecuaciones porque con los valores de:

x = 3 y y = 2, se satisfacen ambas ecuaciones


Sustituyendo x = 7 en la ecuación ( 1 ) 5x + y = 41 5 ( 7 ) + y = 41 .... Luego y = 6

CS = { 7, 6 } Rpta

B. METODO DE IGUALACIÓN:Consiste en despejar la misma variable en cada una de las 2 ecuaciones e igualar, luego las 2 expresiones que representan el valor de la variable despejaba.

Ejemplo: Resolver: Solución:Despejando x en cada uno de las ecuaciones dadas.

Igualando estos valores:

8 ( 6 + 5y ) = 13 ( 28 – 3y ) 48 + 40 y = 364 - 39 y40 y + 39 y = 364 - 48

y = 4

Reemplazando y = 4 en la ecuación ( 2 )

8 x + 3 ( 4 ) = 28 8 x = 28 - 12 x = 2

CS = { 2, 4 } Rpta.

C. METODO DE REDUCCIÓN:Consiste en igualar el valor absoluto de los coeficientes de la misma variable en las 2 ecuaciones, por medio de la multiplicación, y luego sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones obtenidas, para de esa manera eliminar dicha variable.

Ejemplo. Resolver:

Solución: Eliminaremos a ¨y ¨ y multiplicamos a la ecuación ( 1 ) x 2 y a la ecuación

( 2 ) por 3. Así:

2 ( 4 x + 3 y ) = ( 34 ) 2 8 x + 6y = 83 ( 6 x – 2 y ) = ( 12 ) 3 18 x – 6y = 36

26 x = 104

x = 4Sustituyendo x = 4 en ( 1 )4 ( 4 ) + 3 y = 34 16 + 3 y = 34

3 y = 34 - 16 3 y = 18

y = 6

CS = { 4, 6 } Rpta.

PRACTICA DE CLASE

I. Resolver por el Método de Sustitución:

1. 3x + 2y = 13 2. 2x + y = 115x – 2y = 11 x - 2y = 3

3. 7x – 3y = 12 4. 5x - 2y = 312x + y = 9 x – 3y = 1

5. 2x + 3y = 7 6. 3x + 2y = 8 x + 5y = 7 x + y = 2

II. Resolver por el Método de Igualación:

1. x + 2y = 7 2. 3x – 7y = 22x – y = 4 2x + y = 7

15 Sumando miembro a miembro


3. x + y = 5 4. 2x + y = 152x + 3y = 13 3y + x = 10

5. 5x – 4y = 7 6. 3x + 2y = 83x + 2y = 13 x + y = 2

III. Resuelva por el Método de Reducción:

1. x + y = 15 2. 4x + 2y = 24x – y = 13 3x – 2y = 11

3. 2x + 3y = 12 4. 5x + 2y = 223x – 3y = 3 3x – 4y = 2

5. 2x + 3y = 29 6. 3x + 2y = 83y – 3x = 1 x + y = 2

TAREA DOMICILIARIA

Resolver por el método que consideres conveniente:

1. x + y = 42 2. 3x + 5y = 20x – y = 4 2x – 5y = 5

3. x + 3y = 10 4. 2x + y = 73x – 2y = 8 3x + y = 9

4. 7x + y = 233x – 2y = 5

TRANSFORMACIÓN DE EXPRESIONES DEL LENGUAJE NATURAL AL LENGUAJE MATEMÁTICO

Para plantear una ecuación consiste en leer, interpretar y transformar enunciados del lenguaje literal (lenguaje común) a un lenguaje matemático (lenguaje formal), haciendo uso de letras (variables) y números (constantes).Sin lugar a dudas, es uno de los temas más importantes en la solución de problemas establecido para ello una o más ecuaciones, cuya resolución nos permitirán encontrar la respuesta deseada.Veamos algunas transformaciones del lenguaje literal al lenguaje matemático.

LENGUAJE LITERAL LENGUAJE MATEMÁTICO

El doble de un número. 2x

El triple de un número. 3x

La mitad de un número. x/2

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El cuádruple de un número, aumentado en 8.

4x + 8

El cuádruple, de un número aumentado en 8.

4 (x + 8)

La tercera parte de un número, diminuido en 5.

- 5

La tercera parte de un número disminuido en 5.

El exceso de un número sobre 5. x – 5

El exceso de 5 sobre un número. 5 – x

Tres números enteros consecutivos.

(x); (x + 1); (x + 2)

A es dos veces B. A = 2B

A es dos veces más que B. A = B + 2B A = 3B

A es dos mas que B A = B + 2

A es dos menos que B A = B – 2

A y B están en relación de 5 a 7.

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

1. El dinero de Jeny es el doble del dinero de Víctor, si entre los dos tienen 180 soles, hallar el dinero de cada uno de ellos.

Resolución:

Sea el dinero de Víctor = “x” soles, entonces. El dinero de Jeny será : 2x

Luego:2x + x = 180

3x = 180

x =

x = 60 y 2x = 2(60) = 120

Por tanto: Víctor tiene S/. 60 y Jeny tiene S/. 120.

2. Si al triple de dinero le agrego 20 soles tendría 140 soles. ¿Cuánto tengo?

Resolución:

Sea “x” el dinero que tengo, luego:

3x + 20 = 140 3x = 140 – 20

3x = 120

x = x = S/. 40

PRACTICA DE CLASE

I. Traducir del lenguaje literal al lenguaje matemático, empleando una sola variable en cada caso.

1. Julio tiene el triple de Víctor.

Julio: ......................... ; Víctor: .........................

2. El dinero de Abel es seis veces el de Beto.

Abel: ......................... ; Beto: .........................

3. Vanesa tiene tres veces más que María.

Vanesa: ......................... ; María: .........................4. José tiene veinte soles más que Walter.

José: ......................... ; Walter: .........................

5. Steven tiene doce taps menos que Herber.

Steven: ......................... ; Herber: .........................

6. Cinco veces la edad de Luis es la edad de Manuel:

Luis: ......................... ; Manuel: .........................

7. Yo tengo el triple de lo que tú tienes, más doce soles.

Yo: ......................... ; Tú: .........................

8. Gerardo tiene el doble de Luis y Luis tiene la tercera parte del dinero de Juan.

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Gerardo: ......................... ; Luis: ......................... ; Juan: .........................

9. Ángel tiene el doble de Bruno y Carlos tiene el quíntuplo de Bruno.

Ángel: ......................... ; Bruno: ......................... ; Carlos: .........................

10. El dinero de Víctor es el doble del dinero de Alfredo y el de Junior es el triple del dinero Víctor.

Víctor: ......................... ; Alfredo: ......................... ; Junior: .........................

II. Resolver cada uno de las siguientes preguntas:

1. La edad de Juan es el triple de la edad de Pedro. Si ambas edades suman 48 años. Hallar la edad que tuvo Juan hace 7 años.

2. La edad de Janett es la mitad de la edad de Juana. Si la diferencia de dichas edades es de 18 años. ¿Cuántos años tendrá Janett dentro de 5 años?

3. La edad de Pedro es el triple de la edad que tuvo Juan hace 5 años. Hallar la edad de Pedro si es mayor que Juan por 12 años.

4. La suma de dos números es 80 y el mayor excede al menor en 6. Hallar los números.

5. La edad de un padre es el triple que la de su hijo y hace 4 años era 4 veces la de su hijo. Hallar las edades actuales.

6. El largo de un barco, que es 133 metros, excede en 13 metros a 8 veces el ancho. Hallar el ancho del barco.

7. La tercera parte de un número, sumada en su cuarta parte da 2842. ¿Cuál es este número?

8. La mitad de la edad que tuvo Juan hace 5 años es 15. ¿Cuántos años

tiene Juan?

9. La cuarta parte, del triple de la edad de Víctor aumentada en 7 años es igual ala tercera parte, del duplo de su edad aumentada en 12 años. Hallar la edad de Víctor.

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10. Si al triple de mi dinero le agrego 12 soles daría lo mismo que si al duplo de mi dinero le agregara 81 soles. ¿Cuánto tengo?

11. La suma de tres números enteros consecutivos es 351. Hallar el número mayor.

12. Repartir S/. 568 entre 3 personas, de modo que la primera reciba S/. 36 mas que la segunda y la tercera reciba tanto como las otras dos juntas. ¿Cuánto le tocará a cada una?

13. Seis personas iban a comprar un terreno contribuyendo en partes iguales, pero dos de ellos desistieron del negocio y entonces cada una de las restantes tuvo que poner S/. 4000 más. Hallar el valor del terreno.

14. En un corral hay 40 animales entre pollos y conejos. Si en total se han contado 110 patas. ¿Cuántos pollos y cuántos conejos hay?

15. En una cochera donde solo hay autos y motocicletas, se han contado 37 timones y 106 llantas. ¿Cuántas motos y cuántos autos hay?

TAREA DOMICILIARIA

1. En triple de un número, aumentado en 6 es igual a 51. Hallar el número.

2. El triple, de un número aumentado en 5, es igual a 51. Hallar el número.

3. La suma de 3 números pares consecutivos es 180. Hallar dichos números.

4. Janelly al comprar 20 computadores, le sobra S/. 400, pero le faltaría S/. 4000 para comprar 24 computadoras. ¿Cuánto cuesta cada computadora? ¿Cuánto de dinero tiene?

5. Ser han de repartir 300 caramelos entre 60 niños dando 6 caramelos a cada niña y 4 caramelos a cada varó. ¿Cuántos son los varones?

PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

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1. El dinero de Janelly es el doble del dinero de Víctor, si entre los dos tienen 180 soles, hallar el dinero de cada uno de ellos.

Resolución:Sea el dinero de Víctor = “x” soles, entonces. El dinero de Janelly será : 2x

Luego:2x + x = 180

3x = 180

x =

x = 60 y 2x = 2(60) = 120

Por tanto: Víctor tiene S/. 60 y Janelly tiene S/. 120.

2. Si al triple de dinero le agrego 20 soles tendría 140 soles. ¿Cuánto tengo?

Resolución:Sea “x” el dinero que tengo, luego:

3x + 20 = 140 3x = 140 – 20

3x = 120

x = x = S/. 40

PRACTICA DE CLASE

01. La tercera parte de la diferencia de un número con 5 es igual a la cuarta parte del mismo número más 2. Hallar el número.

02. Encontrar el mayor de tres números enteros consecutivos pares que sumados den 120.

03. ¿Cuál es el número cuyos 2/ 3 ; disminuido en 2 es igual a sus 3/ 5, aumentado en 3?

04. El mayor de dos números es 10 más que 5 veces el menor. Si su suma es 28. Dar como respuesta el producto de ambos.

05. Separa 900 soles en dos partes de modo que la primera parte sea 300 soles menos que el doble de la segunda parte. Hallar la primera parte.

06. La diferencia entre dos números consecutivos impares es igual al doble del menor, disminuido en 8. Hallar el mayor:

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07. Si a un número entero, se le suma el doble de su consecutivo, se obtiene 41. Hallar la suma de dichos números.

08. El segundo de dos números es 20 menos que 4 veces el primero. Su suma es 15. Dar como respuesta los números.

09. El segundo de tres números es igual a 6 veces el primero. El tercero es uno más que el segundo. Si la suma de los tres números es 53. Hallar el mayor.

10. El menor de dos números es 3 menos que el mayor, si al mayor se le disminuye en el doble del más pequeño, el resultado es -9. Encontrar el mayor.

11. Se han repartido chocolates entre cierto número de niños; dando a cada uno 4 chocolates sobrarían 2; pero dando a cada uno 6 chocolates faltarían 8. Hallar el número de niños y el número de chocolates.

12. Marita recibió 200 soles, tuvo entonces 3 veces lo que hubiera tenido si hubiera perdido 200 soles. ¿Cuánto tenía al principio?

13. El quíntuplo de un número, más 8 es igual al triple del mismo número aumentado en 6. Hallar dicho número.

14. La quinta parte de un número aumentado en 6, excede a en 4 a la sexta parte del mismo número aumentado en 8. Hallar dicho número.

15. El triple de un número, disminuido en 1 es a 4 como el doble del mismo número, aumentado en 1 es a 3. Hallar dicho número.

16. Encontrar el menor de 4 números enteros consecutivos, de tal modo que el triple del tercero menos el segundo dé el último.

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17. Tres hermanos: Carlos, Manuel y Edwin recibieron una herencia. Carlos y Manuel recibieron en común 36 mil soles, lo correspondiente a Carlos y Edwin ascendería a 38 mil soles y la parte de Manuel junto a la de Edwin asciende a 42 mil soles. ¿Cuánto recibió Carlos?

18. Ana tiene dos veces lo que tiene Maria, si Ana le da s/.18 a Maria, entonces tendrán la misma cantidad. ¿Cuánto tienen entre las dos?

19. Hallar el menor de tres números enteros consecutivos, si sabemos que los 4/5 del mayor exceden a los 3/4 del intermedio en una cantidad igual a la sexta parte del menor disminuida en 1/5

20. Tú tienes la mitad de lo que tenias y tendrás el triple de lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás, tendrías lo que yo tengo, que es 180 soles más de lo que tu tendrás. ¿Cuantos tenías?

21. Un ómnibus lleva 55 pasajeros, entre universitarios y particulares. Se desea saber cuántos pasajeros de cada clase viajan, sabiendo que por todo se recaudó S/.230 y que un universitario paga S/. 2 y un particular S/. 5.

22. En una fiesta hay en total 96 personas entre hombres y mujeres. Si cada hombre paga 4 soles para poder entrar y cada mujer paga la mitad de lo que paga un hombre. ¿Cuántos hombres hay en la fiesta, si la recaudación total fue de S/. 272 ?.

23. En una prueba de examen, Javier gana 1 punto por respuesta correcta y pierde la cuarta parte de lo que gana por error. Si después de haber contestado 140 preguntas obtuvo 65 puntos. ¿Cuántas preguntas contestó correctamente ?.

24. Panchito ha sido contratado por una empresa por 45 días en la sgte. condición; por cada día que trabaja, la empresa le abona S/. 320 y por cada día que no trabaje la empresa recibe de él S/. 400. ¿Cuántos días ha trabajado si no recibió nada ?.

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25. La leche contenida en un recipiente cuya capacidad es de 6,5 lt. Pesa 6,671 kg. Sabiendo que un litro de leche pura pesa 1,03 kgs. ¿Cuántos litros de agua contiene el recipiente ?.

26. Dos niños conversaban y uno de ellos le dice al otro si a mi edad le sumamos el doble de tu edad obtendríamos 7 años y el otro le responde en su media lengua, es cierto, pero si al doble de tu edad le restamos mi edad obtendremos 4 años. ¿Cuántos años tienen cada uno de los niños?

27. Si al quíntuplo de mi dinero le agregamos el doble de tu dinero, tendríamos en total 22 soles, pero si al triple de mi dinero le quitamos el cuádruplo de tu dinero, quedarían 2 soles. ¿Cuánto tenemos cada un de nosotros?

28. Federico le dice a Pancracia: nuestras edades actuales suman 42 años y cuando tú naciste, yo tenía 4 años ¿Cuántos años tiene Pancracia?

29. Un burro y un caballo caminan llevando pesados sacos sobre sus lomos. Si sumáramos el número de sacos del burro con el triple de los sacos del caballo obtenemos 10. Pero si al triple del número de sacos del burro le quitamos el doble del número de sacos del caballo tendríamos 8. ¿Cuántos sacos más lleva el burro que el caballo?

30. Mónica le dice a María si juntamos tus muñecas y las mías tendríamos en total 5. Pero si duplicamos el número de las mías y triplicamos las tuyas obtendríamos 13 en total. ¿Cuántas muñecas tiene cada una?

TAREA DOMICILIARIA

01. Aumentando a un número en su centésima parte se obtiene 606 . ¿Cuál es éste número?

02. En un terrero de forma rectangular el largo excede en 6 metros del ancho; si el ancho se duplica y el largo disminuye en 8 metros el área del terreno no varía. ¿Cuál es el perímetro del terreno ?

03. Rommel le pregunta a Lucho qué hora es, y éste le responde: “Lo que ha transcurrido del día es el quíntuplo de lo que falta para la medianoche”. ¿Qué hora es?

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04. En una granja donde hay vacas y gallinas, se contaron 80 cabezas y 220 patas. ¿Cuántas gallinas hay en la granja?

05. En un corral hay 280 patas y 90 cabezas. Las únicas especies que hay allí son palomas y gatos. ¿Cuántos gatos hay en el corral?

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Date post:	15-Dec-2015
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