PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 76
PRACTICAS DE LABORATORIO CÁLCULO
PRÁCTICA 10: Integral de RIEMANN. Integrales impropias. Aplicaciones de la integral de RIEMANN.
INTRODUCCIÓN Comandos generales a usar en esta práctica; aparte de los ya
conocidos; la función Integrate nos permite también calcular la integral de RIEMANN de una función real de variable real en un intervalo. Integrate[f[x],x,a,b] determina la integral de RIEMANN de
f(x) en el intervalo [a,b]. NIntegrate[f[x],x,a,b] calcula un valor aproximado de la
integral de RIEMANN de f(x) entre x=a y x=b.
Para las aplicaciones de la integral de RIEMANN, en las que se usan las gráficas de curvas, se puede recurrir a la función FilledPlot, incluida en el paquete Graphics`FilledPlot` que permite rellenar el espacio limitado por las gráficas de dos funciones y las ordenadas extremas consideradas.
También usaremos, para la representación de superficies generadas por revolución y volúmenes, el paquete Graphics`SurfaceOfRevolution` con su función SurfaceOfRevolution[f[t],t,t,a,b].
Ejercicio 10.1 Calcula las integrales de RIEMANN
a) ∫ − +
1
1 2 x 1 dx b) ∫ −
2
0 2 dx x 4 8
Resolución con MATHEMÁTICA a)In[1]:= Integrate@1ê H1+x^2L, 8x, -1, 1<D
Out[1]= p
2 b)
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 77
In[2]:= Integrate@ 8Sqrt@4- x^2D, 8x, 0, 2<D
Out[2]= 8 p
Ejercicio 10.2 Calcula:
a) ∫ 6
2 dx
x x
b) ∫ −
−
2
6 dx
x x
a) ∫ −
2
6 dx
x x
Resolución con MATHEMÁTICA a)In[1]:= Integrate@Abs@xD êx, 8x, 2, 6<D
Out[1]= 4 b)In[2]:= Integrate@Abs@xD êx, 8x, -6, -2<D
Out[2]= -4 c)In[3]:= Integrate@ Abs@xDêx, 8x, -6, 2<D
Out[3]= -4
Ejercicio 10.3(complementario) Calcula las integrales de RIEMANN
a) ∫ π
0 2 dx x 2 sen b) ( ) ∫ −
1
1 2 dx x cos arc
Ejercicio 10.4 Calcula las integrales impropias:
a) ∫ ∞
∞ − + 2 x 1 dx b) ∫
π
− 2
0 dx
x sen 1 x cos
Resolución con MATHEMÁTICA a)In[1]:= Integrate@1êH1+x^2L, 8x, -Infinity, Infinity<D
Out[1]= p
b)In[2]:= Integrate@ Cos@xDêSqrt@1-Sin@xDD, 8x, 0, Piê2<D
Out[2]= 2
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 78
Ejercicio 10.5 Halla el área de la figura que queda en el primer cuadrante
dentro del círculo 5 y x 2 2 = + y está limitado por las parábolas y 4 x 2 = e x 4 y 2 = .
Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos las diferentes curvas en el primer cuadrante,
para poder representar el área buscada. In[1]:= f@x_D := x^2ê 4
In[2]:= Solve@4 x== y^2, yD
Out[2]= 99y® -2 è x =, 9y ® 2 è x ==
In[3]:= g@x_D:= 2 Sqrt@xD
In[4]:= Solve@x^2+ y^2== 5, yD
Out[4]= ::y® - " 5- x 2 >, :y® " 5- x 2 >>
In[5]:= h@x_D := Sqrt@5- x^2D
In[6]:= g1= Plot@8f@xD, g@xD, h@xD<, 8x, 0, 3<, AspectRatio-> AutomaticD;
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Ahora buscamos los puntos de intersección de las curvas para delimitar los límites de integración
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 79
In[7]:= Solve@g@xD == h@xD, xD
Out[7]= 88x® -5<, 8x ® 1<<
In[8]:= Solve@f@xD == h@xD, xD
Out[8]= 88x® -2<, 8x ® 2<<
calculamos las dos áreas A1 y A2
In[9]:= A1= Integrate@g@xD- f@xD, 8x, 0,1<D
Out[9]= 5 4
In[10]:= A2= Integrate@h@xD - f@xD, 8x, 1, 2<D
Out[10]= - 7 12
- 5 2 ArcSinB 1
è 5 F +
5 2 ArcSinB 2
è 5 F
In[11]:= %êê N
Out[11]= 1.02542
finalmente tenemos el área pedida A= A1 + A2
In[12]:= A= A1+ A2
Out[12]= 2 3
- 5 2 ArcSinB 1
è 5 F +
5 2 ArcSinB 2
è 5 F
In[13]:= %êê N
Out[13]= 2.27542
Ejercicio 10.6(complementario)
Dada la elipse 1 2 y
4 x 2 2
= + , halla el área encerrada por dicha
curva.
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 80
Ejercicio 10.7
Calcula la longitud del arco de la curva 1 e 1 e ln y x
x
− +
= desde
x1=1 hasta x2=2.
Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos y representamos la función
In[1]:= f@x_D:= Log@HExp@xD + 1L ê HExp@xD - 1LD
In[2]:= Plot@f@xD, 8x, 1, 2<D
1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.4
0.5
0.6
0.7
Out[2]= Ö Graphics Ö
calculamos el valor de la longitud de arco pedida
In[3]:= L= Integrate@Sqrt@1+ Hf'@xDL^2D, 8x, 1, 2<D
Out[3]= -1 - Log@-1+ E 2 D + Log@-1 + E 4 D
In[4]:= %êê N
Out[4]= 1.12693
Ejercicio 10.8(complementario) Calcula la longitud del arco de la curva x cos ln y = entre los
valores x1=0 hasta 4 x
π = .
Ejercicio 10.9
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 81
Calcula el área de la superficie generada al girar la porción de la curva x 4 y 2 + = , cortada por la recta x=2 respecto al eje X.
Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos y dibujamos la función
In[1]:= Solve@y^2 == 4+ x, yD
Out[1]= 99y® - è 4 + x =, 9y ® è 4 + x ==
In[2]:= f@x_D := Sqrt@4+ xD
In[3]:= Plot@8f@xD, -f@xD<, 8x, -4, 2<D
4 3 2 1 1 2
2
1
1
2
Out[3]= Ö Graphics Ö
calculamos el área de la superficie generada
In[4]:= AR= Integrate@2Pif@xDSqrt@1+ Hf'@xDL^2D, 8x, -4,2<D
Out[4]= 62 p
3
finalmente, dibujamos la superficie en el espacio
In[5]:= << Graphics SurfaceOfRevolution
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 82
In[6]:= SurfaceOfRevolution@8f@tD,t<, 8t, -4, 3<, ViewVertical -> 8-1000, -0, -300<D
2
0
2
2
0
2
4 2 0 2
2
0
2
Out[6]= Ö Graphics3D Ö
Ejercicio 10.10(complementario) Calcula el área de la superficie generada al girar la porción de
la curva 2 x y
2
= , cortada por la recta 2 3 y = respecto al eje Y.
Ejercicio 10.11 Halla el volumen del sólido generado al girar la figura limitada
por la hipérbola 4 y x 2 2 = − y las rectas y= ±2 en torno al eje Y.
Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos y dibujamos la función
In[1]:= Solve@x^2- y^2== 4, yD
Out[1]= ::y® - " -4 + x 2 >, :y ® "
-4 + x 2 >>
In[2]:= f@x_D := -Sqrt@-4+ x^2D
In[3]:= g@x_D := 2
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 83
In[4]:= Plot@8f@xD, -f@xD, g@xD, -g@xD<, 8x, -4, 4<D
4 2 2 4
3
2
1
1
2
3
Out[4]= Ö Graphics Ö
calculamos el volumen generado
In[5]:= V= PiIntegrate@4+ y^2, 8y, -2, 2<D
Out[5]= 64p
3
finalmente, dibujamos el volumen pedido
In[6]:= << Graphics ParametricPlot3D
In[7]:= a= ParametricPlot3D@8rCos@aD, rSin@aD, Sqrt@r^2- 4D<, 8r, 2, 4<, 8a, 0, 2 Pi<, DisplayFunction -> IdentityD;
In[8]:= b= ParametricPlot3D@8rCos@aD, rSin@aD, -Sqrt@r^2- 4D<, 8r, 2, 4<, 8a, 0, 2 Pi<, DisplayFunction -> IdentityD;
In[9]:= c= ParametricPlot3D@8rCos@aD, rSin@aD, Sqrt@12D<, 8r, 0, 4<, 8a, 0, 2 Pi<, DisplayFunction -> IdentityD;
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 84
In[10]:= Show@8a, b, c<, DisplayFunction -> $DisplayFunctionD;
4 2
0 2
4
4
2
0
2 4
2
0
2
4 2
0 2
4
4
2
0
2 4
Ejercicio 10.12(complementario) Halla el volumen engendrado por la curva x 6 y x 2 2 = + al
girar respecto al eje X (y>0).
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 85
PRACTICAS DE LABORATORIO CÁLCULO
PRÁCTICA 11: Gráficas de funciones de varias variables. Límites de funciones reales de varias variables. Cálculo de límites y continuidad.
INTRODUCCIÓN Nota: A partir de esta práctica empezaremos a usar las
paletas, que nos ayudarán a escribir en lenguaje matemático muchas expresiones que hasta ahora hemos introducido por el teclado.
Comandos generales a usar en esta práctica; aparte de los ya conocidos:
Plot3D permite representar funciones reales de dos variables reales, además cuenta con un conjunto de opciones gráficas que permiten presentar de muchas maneras la gráfica de la función. Dichas opciones se encuentran en Options[Plot3D] . En este caso todavía hay muchas mas posibilidades que en el caso de Plot.
Destacamos algunas de esas opciones: Nombre Valor por defecto Descripcion Axes True Determina si se dibujan los ejes AxesLabel None Sirve para etiquetar los ejes.
zlabel: especifica la etiqueta para el eje z xlabel,ylabel,zlabel: pata todos los ejes.
Boxed True Añade o no una caja al gráfico. ColorFunction Automatic Indica si se quiere color para la superficie. TextStyle $TextStyle Estilo del texto a usar en el gráfico. FormatType StandardForm Tipo de formato a usar para el texto. DisplayFunction $DisplayFunction Indica como se visualiza el gráfico.
Si es Identity no se visualiza FaceGrids None Indica si se dibuja una malla en las caras de
la caja.Con All se dibuja en todas las caras. HiddenSurface True Sirve para dibujar la superficie como un
Sólido. Lighting True Decide si el color de la superficie usa una
Iluminación simulada. Mesh True Permite dibujar una malla. PlotRange Automatic Rango de coordenadas en las que se dibuja
el gráfico All: incluye todos los puntos.
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 86
zmin,zmax: muestra el rango de z. xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmaxmue stra el rango de x, y, z.
Shading True Gráfico con sombra o sin ella. ViewPoint 1.5,0,1 Punto del espacio desde que el que se
quiere mostrarla superficie. PlotPoints(*) 15 Número de puntos de evaluación en cada
dirección. nx,ny indica diferente nº en cada dirección
Compiled(*) True Establece si la función se va a compilar Cuando va a ser representada.
(*) estas opciones no se pueden usar con la orden Show.
In[1]:= Options@Plot3DD
Out[1]= 8AmbientLight® GrayLevel@0D, AspectRatio® Automatic, Axes® True, AxesEdge® Automatic, AxesLabel® None, AxesStyle® Automatic, Background® Automatic, Boxed® True, BoxRatios® 81, 1, 0.4<, BoxStyle® Automatic, ClipFill® Automatic, ColorFunction® Automatic, ColorFunctionScaling® True, ColorOutput® Automatic, Compiled® True, DefaultColor® Automatic, Epilog® 8<, FaceGrids® None, HiddenSurface® True, ImageSize® Automatic, Lighting® True, LightSources® 8881., 0., 1.<, RGBColor@1, 0, 0D<,
881., 1., 1.<, RGBColor@0, 1, 0D<, 880., 1., 1.<, RGBColor@0, 0, 1D<<, Mesh® True,
MeshStyle® Automatic, Plot3Matrix® Automatic, PlotLabel® None, PlotPoints® 15, PlotRange® Automatic, PlotRegion® Automatic, Prolog® 8<, Shading® True, SphericalRegion® False, Ticks® Automatic, ViewCenter® Automatic, ViewPoint® 81.3, -2.4, 2.<, ViewVertical® 80., 0., 1.<, DefaultFont ¦ $DefaultFont, DisplayFunction¦ $DisplayFunction, FormatType¦ $FormatType, TextStyle¦ $TextStyle<
las opciones siempre aparecen con sus valores por defecto, se pueden probar todas ellas.
La función ParametricPlot3D nos permite representar gráficamente funciones de dos variables reales definidas de forma paramétrica.
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 87
(también tiene sus Options). Hay muchas mas posibilidades que ya exceden la materia que aquí vamos a ver y que ya no estudiaremos.
MATHEMATICA 3.0 no dispone de una función para determinar límites de funciones reales f(x,y) de dos variables reales. La representación gráfica de la superficie de ecuación f(x,y) en un pequeño dominio rectangular cerrado centrado en el punto de interés, no permitirá deducir si el límite existe o no.
Si podremos calcular limites iterados(reiterados) y direccionales
Recordemos de teoría los siguientes resultados: Llamamos
) y x ( ) y , x ( 0 , 0
l ) y , x ( f lim →
= límite global
=
→ → ) y , x ( f lim lim
0 0 y y x x 1 λ y
=
→ → ) y , x ( f lim lim
0 0 x x y y 2 λ límites iterados
Se denomina límite direccional a lo largo de la recta x t y =
al 0 x
) x t , x ( f lim→
. Análogamente definiremos límite
(direccional) a lo largo de la recta 0 x = , límite (direccional) a lo largo de la parábola 2 x y = , etc.
Resultados i) si ∃ l ⇒ existen los limites direccionales en todas las direcciones y no dependen del parámetro t ( si se preve que una función no tiene limites, muchas veces se busca un límite direccional en el dicho límite depende de t). ii) puede ∃ l y no existir o existir y ser distintos λ 1 y λ 2. iii) pueden existir 1 λ y 2 λ y ser iguales y no existir l . iv) no hay ninguna relación entre 1 λ y 2 λ y los límites direccionales. v) los límites direccionales tienen el mismo valor que los iterados cuando exista el límite.
Limit[Limit[f[x,y],x>x0],y>y0 ] Limit[Limit[f[x,y],y>y0],x>x0 ] calculan los límites iterados Limit[Limit[f[x,y],y>ax+b],x>0] límites direccionales en dirección
de la recta y=ax+b ( tienen
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 88
tambien el mismo valor que los iterados, para que exista límite).
El paquete NumericalMath`NLimit` contiene el comando NLimit[Limit[Limit[f[x,y],x>x0],y>y0 ] que ayuda a estudiar el límite de f(x,y) cuando (x,y) > (x0,y0)
La continuidad se sigue a partir de la existencia de límite y coincidencia de este con el valor de la función en el punto. No debemos de olvidar, como sucedía en el caso de una variable, que debemos andar con sumo cuidado a la hora de calcular límites con MATHEMATICA, pues se puede llegar a conclusiones erróneas.
Ejercicio 11.1
Sea la función
f x y
x y sen x sen y si x y
si x y ( , )
( ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) =
+ ≠
=
1 1 0 0
0 0 0
represéntala de diferentes formas en las proximidades del (0,0)
Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos y dibujamos la función
In[2]:= f@x_, y_D = WhichA8x,y< ¹ 80,0<, Hx+yL SinA 1 x E SinA 1
y E,
8x,y< = 80,0<,0E;
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 89
In[3]:= Plot3D@f@x, yD, 8x, -1, 1<, 8y, -1, 1<D
1
0.5
0
0.5
1 1
0.5
0
0.5
1
1
0
1
1
0.5
0
0.5
1
Out[3]= Ö SurfaceGraphics Ö
ahora probamos diferentes posibilidades que nos ofrece MATHEMATICA, si queremos un dibujo mas preciso
In[4]:= Plot3D@f@x,yD, 8x, -1,1<, 8y, -1, 1<, PlotPoints® 49D
1
0.5
0
0.5
1 1
0.5
0
0.5
1
1
0
1
1
0.5
0
0.5
1
Out[4]= Ö SurfaceGraphics Ö
o verlo desde diferentes posiciones, para que nos ayude más a conocer su gráfica , hay muchas posibilidades de exploración
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 90
In[5]:= Plot3D@f@x,yD, 8x, -1, 1<, 8y, -1,1<, ViewPoint® 81, 0,0<, PlotPoints® 49D
1 0.5 0 0.5
1 1 0.5 0 0.5 1
1
0
1
1
0
1
Out[5]= Ö SurfaceGraphics Ö
In[6]:= Plot3D@f@x,yD, 8x, -1, 1<, 8y, -1,1<, ViewPoint® 80, 1,0<, PlotPoints® 49D
1 0.5 0 0.5 1
1 0.5 0 0.5
1
1
0
1
1 0.5 0 0.5 1
Out[6]= Ö SurfaceGraphics Ö
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 91
In[7]:= Plot3D@f@x,yD, 8x, -1, 1<, 8y, -1,1<, ViewPoint® 80, 0,1<, PlotPoints® 49D
1 0.5 0 0.5 1 1
0.5
0
0.5
1
1 0
1 1
0.5
0
0.5
1
Out[7]= Ö SurfaceGraphics Ö
vamos a estudiar ahora y calcular diferentes tipos de limites en funciones de dos variables, en principio, salvo que sea estrictamente necesario, no profundizaremos mucho en la representación de la función.
Ejercicio 11.2
Sea la función: f x y
x y x y si x y
si x y ( , ) =
− + + ≠
+ =
0
0 0
a) ¿ Existen los límites iterados ?. b) Demuestra que no existe lim f x y
x y ( , ) ( , ) ( , )
→ 0 0 .
Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos y representamos la gráfica por defecto ( es decir
sin hacer uso de ninguna de las opciones posibles
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 92
In[8]:= f@x_, y_D = WhichA8x,y< ¹ 80, 0<, x-y x+y
, 8x, y< = 80,0<,0E;
Plot3D@f@x,yD, 8x, -1,1<, 8y, -1,1<D
1
0.5
0
0.5
1 1
0.5
0
0.5
1
5
0
5
1
0.5
0
0.5
1
Out[8]= Ö SurfaceGraphics Ö
para estudiar límites con MATHEMATICA es mas fácil trabajar sin dividir la función en ramas por lo cual, no usaremos los puntos para los que individualmente la función toma otra valor. Volvamos a repetir la función anterior con el nuevo formato
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 93
In[9]:= f@x_,y_D = x-y x+y
;
Plot3D@f@x,yD, 8x, -1,1<, 8y, -1,1<D
1
0.5
0
0.5
1 1
0.5
0
0.5
1
5
0
5
1
0.5
0
0.5
1
Out[10]= Ö SurfaceGraphics Ö
a) pasemos a calcular los limites iterados (reiterados)
In[15]:= LimitALimitA x-y x+y
, y® 0E, x® 0E
Out[15]= 1
In[16]:= LimitALimitA x-y x+y
, x® 0E, y® 0E
Out[16]= -1
b) para ver que no existe lim f x y x y ( , ) ( , )
( , ) → 0 0
, calculemos uno direccional en la dirección de la recta y=tx
In[17]:= LimitALimitA x-y x+y
, y-> txE,x® 0E
Out[17]= 1- t 1+ t
como depende de t ∃ ⇒ no lim f x y x y ( , ) ( , )
( , ) → 0 0
Ejercicio 11.3
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 94
Existe ¿ lim xy x y x y ( , ) ( , ) → + 0 0 2 2 2
?.
vamos que en las rectas y=tx depende de t, lo cual garantiza que no existe limite global
Resolución con MATHEMÁTICA Pedimos que nos calcule el limite en la dirección de las rectas
y=tx veremos que depende de t, lo cual garantiza que no existe limite global
In[18]:= LimitALimitA 2 xy x 2 +y 2
, y-> txE,x® 0E
Out[18]= 2t 1+t 2
Ejercicio 11.4
Dada la función
f x y
x y x y si x y
si x y ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) =
+ ≠
=
2
4 2 0 0
0 0 0
demuestra que es continua a lo largo de cualquier recta pero no lo es en ( , ) 0 0 .
Resolución con MATHEMÁTICA Pedimos que nos calcule el limite en la dirección de las rectas
y=tx+n la función será continua si coincide con f(0,0)=0
In[19]:= LimitALimitA x 2 *y
x 4 +y 2 , y® tx+nE,x®0E
Out[19]= 0
veamos ahora que no lo es en la dirección de las parábolas y=x 2
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 95
In[20]:= LimitALimitA x 2 *y
x 4 +y 2 , y® x 2 E,x®0E
Out[20]= 1 2
Ejercicio 11.5(complementario) Dada la función
f x y
x x y si x y
si x y ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) =
+ ≠
=
3
2 2 0 0
0 0 0 ¿ Es continua en
( , ) 0 0 ? , estudiar previamente los límites direccionales según la recta y=tx y según las parábolas y=x 2 y las funciones cúbicas y=x 3
Ejercicio 11.6(complementario) Dada la función
f x y
x y x y si x y
si x y ( , ) =
+ + ≠ −
= −
2 2
2 2
2 0 calcula lim f x y
x y ( , ) ( , ) ( , )
→ 0 0
y estudia si es continua, calculando previamente los límites direccionales según la recta y=tx y según las parábolas y=x 2 y las funciones cúbicas y=x 3
Ejercicio 11.7(complementario) Representa cada una de las funciones enunciadas en los
ejercicios complementarios, con diferentes opciones de las vistas en Plot3D.
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 96
PRACTICAS DE LABORATORIO CÁLCULO
PRÁCTICA 12: Derivadas parciales en funciones de varias variables. Derivadas direccionales.
INTRODUCCIÓN Para calcular con derivadas parciales en funciones de varias
variables tenemos el comando: D[f[x1, x2,. . . , xk], x1,p1, x2,p2…. xk,pk] que determina
k p
k
p p
n
x x x f
∂ ∂ ∂ ∂
... 2 2
1 1
con p1+p2+….+pk= n , es la derivada de orden n
de la función f , p1 veces con respecto a x1, p2 veces con respecto a x2 , . . . , , pk veces con respecto a xk . si algun pi=1 se puede sustituir xk,pk por xk.
Tambien se puede usar el comando Derivative
Derivative[p1,p2, . . . ,pk][ f][x1, x2,. . . , xk], que calcula la misma derivada parcial que en el caso anterior
Asimismo veremos como calcular las derivadas direccionales. También hablaremos de extremos
Ejercicio 12.1 Halla las derivadas parciales de primer y segundo orden de
las funciones (expresando en que puntos no son continuas ): a) 2 2 4 4 4 ) , ( y x y x y x f − + = b) ) ( ) , ( 2 2 y x n l y x g + = .
Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos la funciones
In[1]:= f@x_,y_D:= x 4 +y 4 -4 x 2 *y 2 ; In[1]:= g@x_,y_D:= LogAx 2 +y 2 E;
calculamos las primeras parciales respecto a x x f
∂ ∂
y x g
∂ ∂
In[2]:= D@f@x,yD,8x,1<D
Out[2]= 4x 3 - 8xy 2
In[2]:= D@g@x,yD,8x,1<D
Out[2]= 2x
x 2 + y 2
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 97
calculamos las primeras parciales respecto a y y f
∂ ∂
y y g
∂ ∂
In[3]:= D@f@x,yD,8y,1<D
Out[3]= -8x 2 y+4y 3
In[3]:= D@g@x,yD,8y,1<D
Out[3]= 2y
x 2 + y 2
calculamos la parciales de segundo orden 2
2
x f
∂ ∂
, y x f ∂ ∂
∂ 2 ,
x y f ∂ ∂
∂ 2 y
2
2
y f
∂ ∂
. Lo mismo para g 2
2
x g
∂ ∂
, y x g ∂ ∂
∂ 2 ,
x y g ∂ ∂
∂ 2 y
2
2
y g
∂ ∂
.
In[4]:= D@f@x,yD,8x,2<D
Out[4]= 12x 2 -8y 2
In[5]:= D@f@x,yD,8x,1<,8y,1<D
Out[5]= -16xy
In[6]:= D@f@x,yD,8y,1<,8x,1<D
Out[6]= -16xy
In[7]:= D@f@x,yD,8y,2<D
Out[7]= -8x 2 +12y 2
In[4]:= D@g@x,yD,8x,2<D
Out[4]= - 4x 2
Hx 2 + y 2 L 2 +
2 x 2 +y 2
In[5]:= D@g@x,yD,8x,1<,8y,1<D
Out[5]= - 4xy
Hx 2 + y 2 L 2
In[6]:= D@g@x,yD,8y,1<,8x,1<D
Out[6]= - 4xy
Hx 2 + y 2 L 2
In[7]:= D@g@x,yD,8y,2<D
Out[7]= - 4y 2
Hx 2 + y 2 L 2 +
2 x 2 +y 2
las derivadas parciales tanto de primer orden como de segundo orden para la función f son continuas todas en R 2 . las derivadas parciales tanto de primer orden como de segundo orden para la función g son continuas todas en R 2 (0,0). Como las funciones son continuas, coinciden las derivadas parciales de segundo orden cruzadas.
Ejercicio 12.2 Dada la función 2 2 ) , ( ) , ( R y x e y y x f y x ∈ ∀ = .
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 98
Calcula y x f ∂ ∂
∂ 2 y
x y f ∂ ∂
∂ 2 comprobando que son iguales en un punto
cualquiera 2 ) , ( R b a ∈ a) directamente b) usando la definición de derivada parcial
Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos la función
In[1]:= f@x_, y_D = y 2 E x*y
Out[1]= ã xy y 2
ahora pedimos que nos calcule directamente las derivadas parciales de segundo orden cruzadas, comprobando que son iguales
In[2]:= D@f@x,yD, 8x,1<, 8y,1<D ê.8x® a, y® b<
Out[2]= 3b 2 ã ab + ab 3 ã ab
In[3]:= D@f@x,yD, 8y,1<, 8x,1<D ê.8x® a, y® b<
Out[3]= 3b 2 ã ab + ab 3 ã ab
ahora lo haremos usando la definición de derivada parcial
= − +
∂ ∂
= ∂ ∂
∂ ∂
= ∂ ∂
∂ →
) ) , ( ) , ( lim ( )) , ( ( ) , ( 0
2
k b a f k b a f
x b a
y f
x b a
y x f
k
=
+ + − + − + + →
→ h k
b a f k b a f b h a f k b h a f k
k
) , ( ) , ( ) , ( ) , ( lim lim 0
0
+ + − + − + +
= → → k h
b a f k b a f b h a f k b h a f k k *
) , ( ) , ( ) , ( ) , ( lim lim 0 0
In[4]:= Limit@ Limit@Hf@a+h, b+kD -f@a+h, bD -f@a, b+kD +f@a, bDLêHh*kL, h® 0D, k® 0D
Out[4]= b 2 H3 + abL ã ab
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C. 99
In[5]:= Limit@ Limit@Hf@a+h, b+kD -f@a+h, bD -f@a, b+kD +f@a, bDLêHh*kL, k® 0D, h® 0D
Out[5]= b 2 H3 + abL ã ab
Ejercicio 12.3 Sea uv u v u F z + = = 2 ) , ( con y e x s o c u + = y 2 y x v + = ,
calcula 2
2
y F
∂ ∂
.
Resolución con MATHEMÁTICA Introducimos la función
In[1]:= F@u_, v_D = 2 u+u*v;
In[2]:= u= Cos@xD+ ã y ;v =x+y 2 ;
ahora pedimos que nos calcule 2
2
y F
∂ ∂
.
In[3]:= D@F@u, vD, 8y, 2<D êêSimplify
Out[3]= ã y Hx+ H2+ yL 2 L +2Cos@xD
Ejercicio 12.4 Halla las derivadas direccionales de las siguientes funciones
en los puntos y en las direcciones que se indican: a) f x y z x y z ( , , ) = + + 2 2 2 2 3 en el punto ( , , ) 110 , en la dirección r r r r ω= − + i j k 2 .
b) f x y z x y
z
( , , ) =
en el punto ( , , ) 111 , en la dirección
r r r r ω= + − 3 2 i j k .
Resolución con MATHEMÁTICA a) Introducimos la función
In[1]:= f@x_, y_, z_D:= x 2 +2 y 2 +3 z 2
PRÁCTICAS DE LABORATORIOCÁLCULO
ISIDORO PONTEE.S.M.C.100
ahora tenemos en cuenta el punto y la dirección In[2]:= a= 81,1,0<; v = 81, -1, 2<; modulov= è v.v;
u= v
modulov
Out[2]= : 1 è 6
, - 1
è 6 , $ 2
3 >
In[3]:= a+h*u
Out[3]= :1+ h
è 6 , 1-
h è 6
, $ 2 3
h>
finalmente calculamos la derivada direccional
In[4]:= Df= LimitA fA1+ h
è 6 , 1- h
è 6 , $ 2
3 hE-f@1, 1, 0D
h , h® 0E
Out[4]= -$ 2 3
b) Introducimos la función
In[1]:= f@x_,y_,z_D:= i k x y
y z
ahora tenemos en cuenta el punto y la dirección
In[2]:= a= 81,1,1<; v = 83, 2, -1<; modulov= è v.v; u=
v modulov
Out[2]= : 3 è 14
, $ 2 7 , -
1 è 14
>
In[3]:= a+h*u
Out[3]= :1+ 3h
è 14 , 1+ $ 2
7 h, 1-
h è 14
>
finalmente calculamos la derivada direccional