Prácticas en Maple

Licenciatura en Ciencias de la Computación Álgebra IClase 3

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Introducción

• Para trabajar en Maple con geometría debemos incorporar la librería geometry de la siguiente forma:

• Además debemos declarar el tipo de ejes que utilizaremos, de la siguiente forma:

>with(geometry):

> _EnvHorizontalName := 'x': _EnvVerticalName := 'y':

Puntos y Distancia

• Para declarar puntos utilizaremos el comando point de la siguiente forma:

• Con ello en A queda el punto (0,1). Para calcular la distancia entre el punto A y B, utilizamos el comando distance (donde A y B son puntos).

>point(A,0,1):

>distance(A,B);

RECTAS

Definición

• Sea la ecuación general de la recta:

• Luego con la función line generaremos una ecuación de una recta.

>line(c7,y=5*x+7):

nmxy

• Con ello declararemos en c7 un elemento de tipo recta con la ecuación:

75 xy

Definición

• También podemos definir una recta indicando los puntos por donde pasa, de la siguiente forma:

• Luego con la función Equation obtendremos la ecuación de la recta que representa. Y la pendiente se obtiene con slope.

>line(c7,[point(A,0,1),point(B,3,5)]):

>Equation(c7); slope(c7);

• Por otro lado podemos utilizar slope para obtener la pendiente entre 2 puntos.

CIRCUNFERENCIA

Definición

• Sea la ecuación general de la circunferencia:

• Si no conocemos a que objeto se refiere la ecuación utilizaremos conic de la siguiente forma:

>conic(c4,x^2+y^2-9=0,[x,y]):

222 ryx

• Con ello declararemos en c4 un elemento de tipo cónica de 2 variables x,y con la ecuación:

0922 yx

Declaración Explícita

• Si conocemos la ecuación de la circunferencia o alguno de sus parámetros podemos utilizar el comando circle y entregarle los datos que conocemos de la siguiente forma:

• Supongamos que tenemos los siguientes puntos de la circunferencia, (0,0),(2,0),(1,2). Utilizamos la función circle de la siguiente forma

>circle(c5,[point(A,0,0),point(B,2,0),point(C,1,2)],'centername'=O1):

Funciones Generales

• Sea c5 una circunferencia, con los siguientes comandos podemos obtener información sobre ellos.

• Ecuación: >Equation(c5);

• Centro: >coordinates(center(c5));

• Área: >area(c5);

• Radio: >radius(c5);

PARABOLA

Definición

• Sea la ecuación general de la circunferencia:

• Si no conocemos a que objeto se refiere la ecuación utilizaremos conic de la siguiente forma:

>conic(c12,y=x^2+5*x-9,[x,y]):

cbxaxy 2

• Con ello declararemos en c12 un elemento de tipo cónica de 2 variables x,y con la ecuación:

952 xxy

Declaración Explícita

• Si conocemos la ecuación de la circunferencia o alguno de sus parámetros podemos utilizar el comando parabola y entregarle los datos que conocemos de la siguiente forma:

• Supongamos que la ecuación de la parábola. Utilizamos la función parabola de la siguiente forma

>parabola(p1,y^2+12*x-6*y+33=0,[x,y]):

• Supongamos que conocemos el vértice y foco. Utilizamos la función parabola de la siguiente forma

>parabola(p2,['vertex'=point(A,0,0),'focus'=point(B,4,5)],[x,y]):

Funciones Generales

• Sea p2 una parabola, con los siguientes comandos podemos obtener información sobre ellos.

• Ecuación: >Equation(p2);

• Vértice: >coordinates(vertix(p2));

• Directriz: > Equation(directrix(p2));

• Foco: >coordinates(focus(p2));

HIPERBOLA

Definición

• Sea la ecuación general de la hipérbola con centro en (h,k):

• Si no conocemos a que objeto se refiere la ecuación utilizaremos conic de la siguiente forma:

>conic(h1, > 9*y^2-4*x^2=36,[x,y]):

1)()(

2

2

2

2

bky

ahx

• Con ello declararemos en h1 un elemento de tipo cónica de 2 variables x,y con la ecuación:

3649 22 xy

Declaración Explícita

• Si conocemos la ecuación de la circunferencia o alguno de sus parámetros podemos utilizar el comando hyperbola y entregarle los datos que conocemos de la siguiente forma:

• Supongamos que tenemos la ecuación de la hipérbola. Utilizamos la función hyperbola de la siguiente forma

>hyperbola(h1,9*y^2-4*x^2=36,[x,y]):

• Supongamos que tenemos los vertices y los focos de la hipérbola. Utilizamos la función hyperbola de la siguiente forma

>hyperbola(h4,['vertices'=[point(A,0,1),point(B,0,5)],'foci'=[point(C,0,3),point(E,0,9)]]):

Funciones Generales

• Sea h4 una hipérbola con los siguientes comandos podemos obtener información sobre ellos.

• Ecuación: >Equation(h4);

• Centro: >coordinates(center(h4));

• Focos: >map(coordinates,foci(h4));

• Vértices: >map(coordinates,vertices(h4));

• Asíntotas: >map(Equation,asymptotes(h4));

ELIPSE

Definición

• Sea la ecuación general de la elipse con centro en (h,k):

• Si no conocemos a que objeto se refiere la ecuación utilizaremos conic de la siguiente forma:

>conic(el1,2*x^2+y^2-4*x+4*y=0,[x,y]):

• Con ello declararemos en el1 un elemento de tipo cónica de 2 variables x,y con la ecuación:

0442 22 yxyx

1)()(

2

2

2

2

bky

ahx

Declaración Explícita

• Si conocemos la ecuación de la circunferencia o alguno de sus parámetros podemos utilizar el comando ellipse y entregarle los datos que conocemos de la siguiente forma:

• Supongamos que tenemos la ecuación de la elipse. Utilizamos la función ellipse de la siguiente forma

>ellipse(el1,2*x^2+y^2-4*x+4*y=0):

• Supongamos que tenemos los focos y el eje mayor. Utilizamos la función ellipse de la siguiente forma

>ellipse(el2,['foci'=[point(A,1,-2-sqrt(3)),point(B,1,-2+sqrt(3))],'MajorAxis'=2*sqrt(6)]):

Declaración Explícita

• Supongamos que tenemos la directriz, el foco y la excentricidad. Utilizamos la función ellipse de la siguiente forma

>line(l,x=-2,[x,y]): point(f,1,0): e := 3/2:hyperbola(h6,['directrix'=l,'focus'=f,'eccentricity'=e],[c,d]): eq := Equation(h6);

Funciones Generales

• Sea el1 una elipse, con los siguientes comandos podemos obtener información sobre ellos.

• Ecuación: >Equation(el1);

• Centro: >coordinates(center(el1));

• Eje Mayor: >MajorAxis(el1);

• Focos: >map(coordinates,foci(el1));

• Eje Menor: >MinorAxis(el1);

>ecc(el1);• Excentricidad:

FUNCIONES ESPECIALES Y GRÁFICAS

Función Detail y Form

• Con el comando detail podremos obtener toda la información sobre la sección.

>detail(c4):

• Con el comando Form podremos obtener que tipo de sección cónica es la ecuación.

>form(c4):

Gráfica de Rectas y Parábolas

• Para graficar rectas y parábolas utilizaremos el comando draw o plot, sin embargo este ultimo requiere de declarar la librería plots.

>with(geometry): with(plots): draw(parabola); plot(Equation(recta));

Gráfica de Hipérbolas, Circunferencias y Elipses

• Para graficar rectas y parábolas utilizaremos el comando draw o implicitplot, requiere de declarar la librería plots.

>with(geometry): with(plots): draw(hiperbola); implicitplot(Equation(elipse),x=-5..5,y=-5..5);