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Capítulo 2:
PRESENTACIÓN DEDATOS
Al realizar una investigación estadística, los datos que obtenemos como resultado, forman lo que
llamamos una muestra aleatoria. Estos datos se deberán organizar y presentar. La organización y
presentación de datos es muy importante, ya que rara vez, datos en bruto y desorganizados proporcionan
una imagen significativa de la verdadera naturaleza de la muestra.
También, sabemos muy bien que las columnas de números evocan temor, aburrimiento, apatía e
incomprensión. Algunas personas parecen no tener interés en la información estadística presentada en
forma tabulada, pero podrían prestarle mucha atención a los mismos puntajes si les fueran presentados
en forma de grafico o cuadro. Como resultado, muchos investigadores prefieren usar gráficos en
contraposición a las tablas (gráficos de sectores, gráficos de barras, polígonos de frecuencia, etc) en un
esfuerzo por aumentar el interés de sus hallazgos.
El proverbio de que "una imagen vale mas que mil palabras" resume la importancia de la representación
grafica. Es mucho mas fácil comprender una imagen clara, correspondiente a grandes cantidades de
datos obtenidos, que todo un párrafo al respecto.
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2.1 ESTADIGRAFÍA
Mediante los gráficos podemos representar todo tipo de datos estadísticos; por lo que la
estadigrafía está compuesta por diferentes tipos de gráficos:
Gráfico de barras. Gráfico de barras compuestas. Gráfico de líneas. Gráfico de líneas que se entrecrucen. Gráfico de líneas que no se entrecruzan. Gráfico de partes componentes. Gráfico de dimensiones. Pictogramas. Mapas estadísticos. Gráficos en espiral. Gráficos en forma Z.
2.1.1 Tablas de Distribución de Frecuencias
Toda encuesta, censo o simplemente cualquier recopilación de informaciones con
fines estadísticos significa disponer de una gran cantidad de datos que es preciso
ordenar y presentar de manera que sean de fácil capitación y permita un análisis
adecuado, distribuyéndolas en categorías y clases que permitan determinar el
número de individuos que pertenecen a cada clase.
El número de individuos que pertenecen a cada clase son llamados frecuencia de
clase (ni).
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Una ordenación de datos con sus respectivas frecuencias de clase, se conoce como
Tablas o Cuadros de Distribución de Frecuencias.
El número inferior de cada clase se llama límite inferior de clase y el número superior
de cada clase es el límite superior de clase; conformando cada pareja de límites el
intervalo de clase.
Una distribución queda completamente descrita cuando se conocen sus:
Medidas de Centralización o Promedios (X, G, H, RMS, Md, Mo).
Medidas de Dispersión o de Variación (R, D.Q., D.M., S2 ó 2, S ó ).
El sesgo (1er CSKP, 2do CSKP, CSq, CSp, CSm).
La kurtosis (CKq, CSp, CKm).
Los momentos (m1, m2, m3, m4).
Existen varios tipos de distribuciones de frecuencias:
Distribución de igual amplitud de clase.
Distribución de diferente amplitud de clase.
Distribución de clases abiertas (usada generalmente para el control de calidad).
2.1.2 Distribución de igual amplitud de clase
Un ejemplo de un cuadro de distribución de frecuencias de igual amplitud de clase es
el que nos indica la forma en que se han distribuido 50 obreros, de acuerdo a sus
salarios, en una distribución de 5 clases. Dado que es el primer cuadro de distribución
de frecuencias que desarrollamos, indicaremos en la parte superior el significado de
cada uno de los símbolos y operaciones indicadas.
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2.1.3 Distribución de diferente amplitud de clase
Como vemos en la siguiente tabla de distribución de frecuencias, en ella es
diferente cada amplitud de clase (i).
|
PUNTO MEDIO O FRECUENCIAMARCA DE CLASE ABSOLUTA DE CLASE
Yi ni
5 7 i = 5
10 12 i = 2
12 15 i = 3
15 20 i = 7
22 8 i = 6
28 3
N = 65
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2.1.4 Distribución de clases abiertas
Esta clase de tablas de distribución de frecuencias es usada comúnmente para
realizar una verificación del control de calidad.
A continuación, vemos un ejemplo de cómo es este tipo de tablas:
CLASES REALES FRECUENCIALím Inf - Lím Sup ABSOLUTA DE CLASE
L1 - L2 ni
Menos de 300 20
300 - 400 30
400 - 500 40
500 - 600 80
600 - 700 60
700 - 800 50
800 - 900 20
900 - 1000 10
1000 - 1100 5
1100 ó Más 2
N = 317
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2.2 Número de Clases de una Distribución
El número de clases, sustentado en la cantidad de mínimo y máximo, depende del
número de valores a ser agrupados y varía de un mínimo de 5 a un máximo de 20.
Los límites clase superior e inferior establecidos en una distribución de frecuencias
nos indican las “cotas” o fronteras de cada clase en la distribución, y pueden ser
reales u ordinarias.
2.3 Límites de Clase
Los límites de clase superior o inferior establecidos en una distribución o tabla de
frecuencias, nos indican las cotas o fronteras de cada clase en la distribución y
pueden ser reales u ordinarias.
2.3.1 Límites Reales de Clase (L1 - L2)
Se encuentran mediante la semisuma de un límite ordinario superior y en límite
ordinario inferior de cada clase contigua; también se determina mediante la
semisuma de dos puntos medios contiguos.
Los límites reales se reconocen cuando el límite superior de una clase es igual al
límite inferior de la clase contigua.
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A continuación vemos un sector de un cuadro de distribución de frecuencias, con los
límites reales claramente señalados.
L1 - L2 ni
35 - 45 7
45 - 55 12
55 - 65 15
65 - 75 20
75 - 85 8
85 - 95 3
N = 65
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2.3.2 Límites Ordinarios de Clase (Yi´-1 - Y i´)Los límites ordinarios son reconocidos porque el límite superior de una clase esdiferente al límite inferior de la clase contigua.
A continuación un ejemplo.
LIMITES REALES LIMITE ORDINARIO FRECUENCIALím Inf - Lím Inf Lím Inf - Lím Inf ABSOLUTA DE CLASE
L1 - L2 YI-1 - YI ni
35 - 45 35.5 - 44.5 7
45 - 55 45.5 - 54.5 12
55 - 65 55.5 - 64.5 15
65 - 75 65.5 - 74.5 20
75 - 85 75.5 - 84.5 8
85 - 95 85.5 - 94.5 3
N = 65
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2.3.3 Puntos Medios o Marcas de Clase (Yi)
Es el típico representativo de las frecuencias de clase. Es el valor que sustituye a la
clase o intervalo de clase.
Se determina mediante la semi suma de dos límites reales contiguos o mediante la
semi suma de un límite inferior de clase con el límite superior de clase del mismo
intervalo.
LIMITES REALES LIMITE ORDINARIO PUNTOS MEDIOS OLím Inf - Lím Inf Lím Inf - Lím Inf MARCAS DE CLASE
L1 - L2 YI-1 - YI Yi
40 - 50 40.5 - 49.5 45
50 - 60 50.5 - 59.5 55
60 - 70 60.5 - 69.5 65
70 - 80 70.5 - 79.5 75
80 - 90 80.5 - 89.5 85
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Si usamos los Límites Reales, tenemos que:
En el caso de que usemos los Límites Ordinarios, obtenemos el mismo resultado:
2.3.4 Amplitud de Clase (i ó C)
Es la diferencia numérica que existe entre cada par de Límites Reales contiguos,
Límites Ordinarios Inferiores contiguos, Límites Ordinarios Superiores contiguos y
entre Puntos Medios o Marcas de Clase contiguos. Cabe señalar que por
convención se acostumbra a medir la amplitud de clase en forma vertical.
A continuación tenemos una parte de un Cuadro de Distribución de Frecuencias del
que se debe calcular la amplitud de clase.
Yi = 60 + 70 = 652
Yi = 60.5 + 69.5 = 652
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Con los Límites Reales
LIMITES REALES LIMITE ORDINARIO PUNTO MEDIO OLím Inf - Lím Inf Lím Inf - Lím Inf MARCA DE CLASE
L1 - L2 YI-1 - YI Yi
35 - 45 35.5 - 44.5 40 i = 10
45 - 55 45.5 - 54.5 50 i = 10
55 - 65 55.5 - 64.5 60 i = 10
65 - 75 65.5 - 74.5 70 i = 10
75 - 85 75.5 - 84.5 80
85 - 95 85.5 - 94.5 90
i = 55 – 45 = 10
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Con los Límites Ordinarios
Con los Puntos Medios o Marcas de Clase
i = Lím Ord. Inf. – Lím Ord. Inf. de la clase anterior = 65.5 – 55.5 = 10
i = Lím Ord. Sup. – Lím Ord. Sup. de la clase anterior = 84.5 – 74.5 = 10
i = 60 – 50 = 10
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2.4 Reglas para construir Cuadros de Distribución de
Frecuencias
No es conveniente señalar reglas generales ya que la construcción del Cuadro de
Distribución de Frecuencias depende del tamaño de la muestra, objetivos que se
persigue y es la experiencia del estadístico, que es quien en última instancia va a
determinar la presentación del cuadro; sin embargo, existen dos métodos para
construir Cuadros de Distribución de Frecuencias: el Método Empírico y el Método de
Sturges.
2.4.1 Método Empírico
El método empírico nos exige cumplir con las siguientes reglas:
1) Determinar el rango o amplitud total (R) restando el mayor dato de la serie el
valor del menor dato de la misma.
2) Determinar la amplitud de clase dividiendo el rango entre el número de clases
(5-20), redondeándolos a una cantidad fácil de operar, en lo posible múltiplo o
submúltiplo de 10.
R = MAX - MIN
Ri =
N° de clases
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3) Colocar de cada uno de los datos en sus correspondientes intervalos de clase,
para posteriormente determinar las llamadas frecuencias de clase.
Nota: La construcción del cuadro debe considerar los siguientes pasos:
El límite inferior de la primera clase debe ser menor que el mínimo de los
datos.
El límite de los datos debe estar girando alrededor de su punto medio.
Si un dato coincide con un límite real superior de clases debe ser considerado
en la clase inmediata superior.
La siguiente tabla nos proporciona aproximadamente en N° de clases que debe de
tener una distribución de acuerdo al N° de datos.
Nº de Datos Nº de Clases menos de 50 5 - 7 50 - 100 6 - 10 100 - 250 7 - 12 más de 250 10 - 20
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Ejemplo: Construir un cuadro de distribución de frecuencias de 5 clases, con las
distancias recorridas por 20 alumnos al venir a la universidad desde sus hogares.
Las distancias son las siguientes:
0.8, 1.2, 2.6, 2.8, 3.3, 3.4, 3.7, 4, 4.5, 5.3, 5.8, 6.1, 6.2, 6.5, 7.1, 7.3, 7.4, 7.6, 7.8 y 9.2
Solución:
R = 9.2 – 0.8 = 8.4
8.4
i = = 1.68 = 2 (redondeando)
5
L1 - L2 Yi Datos ni
0 - 2 1 0.8 , 1.2 2
2 - 4 3 2.6 , 2.8 , 3.3 , 3.4 , 3.7 5
4 - 6 5 4 , 4.5 , 5.3 , 5.8 4
6 - 8 7 6.1 , 6.2 , 6.5 , 7.1 , 7.3 , 7.4 , 7.6 , 7.8 8
8 - 10 9 9.2 1
N = 20
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2.4.2 Método de Sturges
1) Determinar el rango o amplitud total (R) restando el mayor dato de la serie el
valor del menor dato de la misma.
2) Determinar el número de clases mediante la aplicación de la siguiente fórmula:
donde:
n = número de clases.
N = número de datos.
3) Determinar la amplitud de clase, pudiendo presentarse dos casos:
a) Cuando la amplitud va a ser mayor que 1. (i > 1)
0 también:
R = Máx. – Mín.
n = 1 + 3.33 Log(N)
i = R + 1
n
n
99
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b) Cuando la amplitud va a ser menor que 1. (i < 1)
4) Determinar R´
5) Determinar el exceso (E)
6) Determinar los l ímites de clases :
Lím. Inf. de la Primera Clase; que es igual al mínimo de los datos menos
el exceso dividido entre dos
R´= n . i
E = R´ - R
Lím. Inf. (1ra Clase) = Mín - E.
2
i = R - 1
n
n
100
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Lím Sup. de la Ultima Clase; que es igual al máximo de los datos menos el exceso
dividido entre dos
Ejemplo 1: Construir un cuadro de distribución de frecuencias de 5 clases, con las
distancias recorridas por 20 gestantes al venir al hospital desde sus hogares.
Las distancias son las siguientes:
0.8, 1.2, 2.6, 2.8, 3.3, 3.4, 3.7, 4, 4.5, 5.3, 5.8, 6.1, 6.2, 6.5, 7.1, 7.3, 7.4, 7.6, 7.8y 9.2
Solución:
R = MÁX – MÍN
R = 9.2 – 0.8
R = 8.4
n = 1+ 3.33 Log (N)
n = 1+ 3.33 Log (20)
n = 1 +3.33 (1.301029996)
n = 5.3324429887 5 < n < 6 n = 5
Lím. Sup. (úl t ima c lase) = Mín - E.
2
101
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i= R + 1 (n > 1)
n
I = 8.4 + 1
5.332429886
I = 1.762798612 ≈ 2
R’ = n x i
R’ = 5 x 2
R’ = 10
E = R’ – R
E = 10 – 8.4
E = 1.6
Lim. Inferior de 1era clase = Min. - E
2
Lim. Inferior de 1era clase = 0.8 – 1.6
2
Lim. Inferior de 1era clase = 0.8 – 0.8
Lim. Inferior de 1era clase = 0
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Lim. Superior de ultima clase = Max. + E
2
Lim. Superior de ultima clase =9.2 + 1.6
2
Lim. Superior de ultima clase = 9.2 + 0.8 = 10
Ejemplo 2: Construir un cuadro de distribución de frecuencias para un conjunto de 30
datos, conociendo que el máximo es 900 y el mínimo es 500
Solución:
R = 900 – 500 = 400
L1 - L 2 Y i n i
0 - 2 1 2
2 - 4 3 5
4 - 6 5 4
6 - 8 7 8
8 - 10 9 1
N = 20
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n = 1 + 3.33 Log (30) = 5.918813778 = 6 (redondeando)
i = R + 1
n
400 + 1
i = = 67.75006193 = 68 (redondeando)
5.918813778
R’ = n i = 6 x 68 = 408
E = R’ – R = 408 – 400 = 8
Límites de Clase:
Lím. Inf. (1ra Clase) = 500 – (8/2) = 496
Lím. Sup. (Ultima Clase) = 900 + (8/2) = 904
L 1 - L 2 Y i ´ - 1 - Y i ´ Y i n i
4 9 6 - 5 6 4 4 9 6 . 5 - 5 6 3 . 5 5 3 0
5 6 4 - 6 3 2 5 6 4 . 5 - 6 3 1 . 5 5 9 8
6 3 2 - 7 0 0 6 3 2 . 5 - 6 9 9 . 5 6 6 6
7 0 0 - 7 6 8 7 0 0 . 5 - 7 6 7 . 5 7 3 4
7 6 8 - 8 3 6 7 6 8 . 5 - 8 3 5 . 5 8 0 2
8 3 6 - 9 0 4 8 3 6 . 5 - 9 0 3 . 5 8 7 0
N = 3 0
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EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
MÉTODO EMPÍRICO
Ejemplo:
Construir un cuadro de distribución de 5 clases, con las distancias recorridas por20 alumnos al venir a la UNAC des de sus hogares.
Las distancias son las siguientes: 0.8, 1.2, 2.6, 2.8, 3.3, 3.4, 3.7, 4, 4.5, 5.3, 5.8,6.1, 6.2, 6.5, 7.1, 7.3, 7.4, 7.6, 7.8 y 9.2
Solución:
R = 9.2 – 0.8 = 8.4
i = 8.4 = 1.68 = 2 (redondeando)
5
L1 - L2 Yi Datos ni
0 - 2 1 0.8, 1.2 2
2 - 4 3 2.6, 2.8, 3.3, 3.4, 3.7 5
4 - 6 5 4, 4.5, 5.3, 5.8, 4
6 - 8 7 6.1, 6.2, 6.5, 7.1, 7.3, 7.4, 7.6, 7.8 8
8 - 10 9 9.2 1
N = 20
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MÉTODO DE STURGES
Ejemplo (1): Construir un cuadro de distribución de frecuencias de 5 clases con ladistancia recorrida por 20 gestantes al venir al hospital desde sus hogares. Lasdistancias son las siguientes: 0.8, 1.2, 2.6, 2.8, 3.3, 3.4, 3.7, 4, 4.5, 5.3, 5.8, 6.1, 6.2, 6.5,7.1, 7.3, 7.4, 7.6, 7.8 y 9.2
Solución:
R = 9.2 – 0.8 = 8.4
n = 1 + 3.33Log20 = 5.332429886 = 5 (redondeando)
i = 8.4 + 1 = 1.762798612 = 2 (redondeando)5.332429886
R’= n * i = 5 * 2 = 10
E = R’ – R = 10 – 8.4 = 1.6
Limites de clase:
Lim. Inf. (1era clase) = 0.8-1.6 = 02
Lim. Sup. (ultima clase) = 9.2+1.6 = 102
106
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Ejemplo (2): Construir por el metodo de Sturges, un cuadro de distribución de
frecuencias para un conjunto de 30 datos, conociendo que el maximo es 900 y el
minimo es 500
Solución:
R = 900 – 500 = 400
n = 1 + 3.33Log30 = 5.918813778 = 6 (redondeando)
i = 400 + 1 = 67.75006193 = 68 (redondeando)
5.918813778
R’ = n * i = 6 * 68 = 408
E = R’ – R = 408 – 400 = 8
Limites de clase:
Lim. Inf. (1era clase) = 500 - 8= 496
2
Lim. Sup. (ultima clase) = 900 - 8 = 904
2
L1 - L2 Y’i-1 - Y’i Yi ni
496 - 564 496.5 - 563.5 530
564 - 632 564.5 - 631.5 598
632 - 700 632.5 - 699.5 666
700 - 768 700.5 - 767.5 734
768 - 836 768.5 - 835.5 802
836 - 904 836.5 - 903.5 870
N = 30
107
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2.4.3 HISTOGRAMAS Y POLÍGONOS DE FRECUENCIAS
Son dos representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencias. La relación
que debe existir entre la altura del gráfico y su base es de dos tercios (2/3) a tres
cuartas (3/4) partes.
2.4.3.1 Histogramas o Histogramas de Frecuencias
Consiste en una serie de rectángulos que tienen:
Sus bases sobre el eje horizontal y con centro en sus puntos medios o marcas de
clase y una amplitud igual a la amplitud de clase.
Las superficies de cada uno de los rectángulos son proporcionales a las
frecuencias de clase.
En la construcción de los histogramas pueden presentarse dos casos:
1) Haciendo uso de los Límites Ordinarios de Clase.
2) Haciendo uso de los Límites Reales de Clase.
2.4.3.2 Polígonos de FrecuenciaEs el gráfico que se obtiene uniendo los puntos medios o marcas de clase de cada
uno de los rectángulos en su parte superior, agregando dos puntos medios de
frecuencia cero (uno superior y otro inferior) para cerrar el polígono.
La relación que debe existir entre el eje de frecuencia (ni) y el eje de los puntos
medios es de 2/3 a ¾ partes.
108
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Ejemplo 1:
Construir el Histograma y Polígono de Frecuencias de la siguiente distribución haciendo
uso tanto de los Límites Reales de Clase como de los Límites Ordinarios de Clase.
L1 - L2 Yi -1 - Yi Yi ni
45 - 55 45.5 - 54.5 50 4
55 - 65 55.5 - 64.5 60 12
65 - 75 65.5 - 74.5 70 20
75 - 85 75.5 - 84.5 80 10
85 - 95 85.5 - 94.5 90 4
N = 50
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Ejemplo 2:
La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencia del número semanal de minutos
que pasan escuchando radio 200 personas.
Se pide:
A. Construir un histograma y su polígono de frecuencia.
B. Graficar el polígono de frecuencia.
Tiempo deescuchar radio
por minuto
Clases
ordinarias
Punto medio
o marca de
clase
Número deestudiantes
L1 - L2 Y´I-1 -Y´I YI nI
300 – 400
400 – 500
500 – 600
600 – 700
700 – 800
800 – 900
900 - 1000
300.5 – 399.5
400.5 – 499.5.
500.5 – 599.5
600.5 – 699.5
700.5 – 799.5
800.5 – 899.5
900.5 – 999.5
350
450
550
650
750
850
950
14
46
22
6
50
35
27
N = 200
110
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2.4.3.3 Distribución de Frecuencia Relativa o Porcentual
La columna de las Frecuencias Relativas o Porcentuales se determina mediante
una regla de tres simple, según la cual el total de las frecuencias absolutas equivale al
100%. Los Histogramas y Polígonos de Frecuencias Relativas o Porcentuales se
caracterizan por tener una escala relativa o porcentual paralela al eje de las frecuencias,
pudiendo presentarse dos casos:
Cuando frente a la mayor frecuencia de clase le corresponde una frecuencia
relativa múltiplo de 10.
Cuando frente a la mayor frecuencia de clase no le corresponde una frecuencia
relativa múltiplo de 10.
Primer Caso
Ejercicio: Construir el Histograma y Polígono de Frecuencias Relativo o Porcentual
correspondiente a la siguiente distribución.
La mayor frecuencia de clase es 20
L1 - L2 Yi -1 - Yi Yi ni hi
45 - 55 45.5 - 54.5 50 4 8%
55 - 65 55.5 - 64.5 60 12 24%
65 - 75 65.5 - 74.5 70 20 40%
75 - 85 75.5 - 84.5 80 10 20%
85 - 95 85.5 - 94.5 90 4 8%
N = 50
110
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2.4.3.3 Distribución de Frecuencia Relativa o Porcentual
La columna de las Frecuencias Relativas o Porcentuales se determina mediante
una regla de tres simple, según la cual el total de las frecuencias absolutas equivale al
100%. Los Histogramas y Polígonos de Frecuencias Relativas o Porcentuales se
caracterizan por tener una escala relativa o porcentual paralela al eje de las frecuencias,
pudiendo presentarse dos casos:
Cuando frente a la mayor frecuencia de clase le corresponde una frecuencia
relativa múltiplo de 10.
Cuando frente a la mayor frecuencia de clase no le corresponde una frecuencia
relativa múltiplo de 10.
Primer Caso
Ejercicio: Construir el Histograma y Polígono de Frecuencias Relativo o Porcentual
correspondiente a la siguiente distribución.
La mayor frecuencia de clase es 20
L1 - L2 Yi -1 - Yi Yi ni hi
45 - 55 45.5 - 54.5 50 4 8%
55 - 65 55.5 - 64.5 60 12 24%
65 - 75 65.5 - 74.5 70 20 40%
75 - 85 75.5 - 84.5 80 10 20%
85 - 95 85.5 - 94.5 90 4 8%
N = 50
110
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2.4.3.3 Distribución de Frecuencia Relativa o Porcentual
La columna de las Frecuencias Relativas o Porcentuales se determina mediante
una regla de tres simple, según la cual el total de las frecuencias absolutas equivale al
100%. Los Histogramas y Polígonos de Frecuencias Relativas o Porcentuales se
caracterizan por tener una escala relativa o porcentual paralela al eje de las frecuencias,
pudiendo presentarse dos casos:
Cuando frente a la mayor frecuencia de clase le corresponde una frecuencia
relativa múltiplo de 10.
Cuando frente a la mayor frecuencia de clase no le corresponde una frecuencia
relativa múltiplo de 10.
Primer Caso
Ejercicio: Construir el Histograma y Polígono de Frecuencias Relativo o Porcentual
correspondiente a la siguiente distribución.
La mayor frecuencia de clase es 20
L1 - L2 Yi -1 - Yi Yi ni hi
45 - 55 45.5 - 54.5 50 4 8%
55 - 65 55.5 - 64.5 60 12 24%
65 - 75 65.5 - 74.5 70 20 40%
75 - 85 75.5 - 84.5 80 10 20%
85 - 95 85.5 - 94.5 90 4 8%
N = 50
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Segundo Caso
Ejercicio: Construir el Histograma y Polígono de Frecuencias Relativo o Porcentual
correspondiente a la siguiente distribución.
L1 - L2 Yi´-1 - Yi´ Yi ni hi
0.0005 - 0.0025 0.001 - 0.002 0.0015 30 11.5%
0.0025 - 0.0045 0.003 - 0.004 0.0035 50 19.3%
0.0045 - 0.0065 0.005 - 0.006 0.0055 40 15.4%
0.0045 - 0.0065 0.007 - 0.008 0.0075 20 7.5%
0.0065 - 0.0085 0.009 - 0.0010 0.0095 60 23.1%
0.0085 - 0.0105 0.011 - 0.012 0.0115 10 3.8%
0.0105 - 0.0125 0.013 - 0.014 0.0135 50 19.3%
N = 50
La mayor frecuencia de clase es 60
La frecuencia relativa que le corresponde es 23.1%
23.1% no es múltiplo de 10
Por lo que se aproxima al múltiplo de 10 más cercano: 30%
Si 23.1% 60
30% x
x = 1800 / 23.1 = 77.92
112
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Ejercicio: Construir el Histograma y polígono de frecuencia relativa o porcentual de
la siguiente distribución que nos indica el control de calidad de 260 repuestos de
computadoras.
L1 - L2 Y´ I - 1 -Y´ I Y I n I h I
0.0005-0.0025
0.0025-0.0045
0.0045-0.0065
0.0065-0.0085
0.0085-0.0105
0.0105-0.0125
0.0125-0.0145
0.001 - 0.002
0.003 - 0.004
0.005 - 0.006
0.007 - 0.008
0.009 - 0.010
0.011 - 0.012
0.013 - 0.014
0.0015
0.0035
0.0055
0.0075
0.0095
0.0115
0.0135
30
50
40
20
60
10
50
11.5%
19.2%
15.4%
7.7%
23.1%
3.8%
19.2%
Si 23.1 tiene 60 ni
30 X
X = 1800
23.1
X =77.922078
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2.4.3.4 DDiissttrriibbuucciióónn ddee FFrreeccuueenncciiaass AAccuummuullaaddaass ((NNii)) uu OOjjiivvaass
Este tipo de distribución sirve para saber inmediatamente cuantas frecuencias hay por encima o
por debajo de un límite real dado, para esto es suficiente construir las columnas de frecuencias
acumuladas mayor y menor que el gráfico correspondiente a los distribuciones de frecuencias
acumuladas reciben el nombre de OJIVAS pudiendo ser simétricas o asimétricas.
Las distribuciones de frecuencias perfectamente simétricas reciben el nombre de curvas
normales o campanas de Gauss y sirven de unidad de medida de comparación para determinar
el sesgo construir la OJIVA correspondiente al siguiente cuadro de distribución de frecuencias.
Una distribución simétrica se reconoce cuando la
(X = Md =Mo).
La distribución asimétrica pueden presentar las siguientes relaciones según estén segadas a la
derecha o izquierda
Gráficamente las Frecuencias Acumuladas "menores que" se construyen de derecha a
izquierda; y las Frecuencias Acumuladas "mayores que" se construyen de izquierda a
derecha.
X > Md > Mo X < Md < Mo
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Ejercicio: Construir la Ojiva correspondiente al siguiente cuadro de distribución
frecuencias.
L1 - L2 Yi Ni Ni Ni hi Hi
< 45 = 0 > 45 = 50
45 - 55 50 4 < 55 = 4 > 55 = 46 8% 8%
55 - 65 60 12 < 65 = 16 > 65 = 34 24% 32%
65 - 75 70 20 < 75 = 36 > 75 = 14 40% 72%
75 - 85 80 10 < 85 = 46 > 85 = 4 20% 92%
85 - 95 90 4 < 95 = 50 > 95 = 0 8% 100%
N = 50 HI =
100%
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2.4.3.5 Tipos de Curvas
1) SIMÉTRICA O BIEN FORMADA
Característica: las distancias son iguales.
X
Md
Mo
2) SESGO POSITIVO O SESGADO A LA DERECHA
Mo Md X
X = Md = Mo
+X > Md > Mo
X > Md > Mo
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3) SESGO NEGATIVO O SESGADO A LA IZQUIERDA
X Md Mo
4) FORMA DE J
- X < Md < Mo
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5) FORMA DE J – INVERTIDA
6) FORMA DE U
7) FORMA BIMODAL
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8) FORMA MULTIMODAL
9) SESGO
+ -
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10) KURTOSIS
Zeptocúrtica
Mesocúrtica
Platicúrtica
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 ti