Algunas distribuciones discretas empíricas y
teóricas. Herramientas de control de
Calidad: Gráficos de control np y p
Clases Nº 6 Mg. Stella Figueroa
1er C.2019
Variable estadística y su relación con su
Variable Aleatoria asociada
Resultados de una
muestra de tamaño 153
(Variable
estadística )
xi P(Xi)
1 1/6= 0,1667
2 1/6= 0,1667
3 1/6= 0,1667
4 1/6= 0,1667
5 1/6= 0,1667
6 1/6= 0,1667
Resultados de todas las muestras posibles
del mismo tamaño extraídas de la población
(Variable aleatoria)
Variable aleatoria
Es toda función X que asigna a c/u de los elementos del espacio
muestral, un número Real.
SRx
s X(s)Si el recorrido o
Imagen de la variable
es discreto, la variable
es discreta.
Si la Imagen de la
variable es un
continuo, la variable
es continua
Rx es el recorrido o Imagen
de la variable. Son los
posibles valores de X
Definición de Variable Aleatoria Discreta
i
1
a) p (x ) 0 i
b) p(x ) 1
i
i
Una variable aleatoria X es discreta, si a cada valor posible xi
que toma la variable se le puede asociar un número real p(xi )=
P (X=xi) llamado probabilidad de xi, que satisface las siguientes
condiciones:
La función p definida se llama función de probabilidad de X
El conjunto de pares (xi , p(xi)) es la distribución de
probabilidades de X.
Función de distribución acumulativa
FDA
Dada una variable aleatoria discreta X se llama
función de distribución a la función F definida como:
]1,0[: F
x a
F(a) ( ) j
jP x a p x
Representación gráfica de F(x)
• Si X está definida como: “Puntos obtenidos en la cara de un dado”
x F(x)
0
[1;2) 1/6
[2;3) 2/6
[3;4) 3/6
[4;5) 4/6
[5;6) 5/6
1
Ejemplo de la ingeniería
En el contexto de las telecomunicaciones, cualquier señal debe
considerarse aleatoria, ya que por muchas razones, no existen
garantías de que la señal enviada sea exactamente igual a la señal
recibida.
1. De acuerdo a esta información. ¿Cuál/es podría/n ser el/los
experimento/s aleatorio/s ?
2. Considerar un solo experimento aleatorio y determinar sus
resultados posibles.
Variable de Bernoulli
Xi P(xi)
1 0.4
0 0.6
• Toma dos valores posibles :
• X1 = 1 Es el éxito (resultado esperado del experimento)
X2 = 0 Fracaso (resultado no esperado)
Se transmite una señal y se observa si se recibe erróneamente.
La probabilidad de que se reciba errónea es p = 0.4.
Escriba la distribución de probabilidades de la variable aleatoria
asociada a este experimento.
Experimentos aleatorios independientes o pruebas repetidas independientes
Se transmiten 3 señales y se observa el estado de su llegada.
¿Cuál es el espacio muestral asociado?
Se define la variable aleatoria X: “ número de señales
erróneas recibidas en las tres transmisiones”
1. Determine Rx (conjunto de valores que toma la variable)
2. Analice si las pruebas repetidas son independientes.
3. ¿Son mutuamente excluyentes los sucesos (c, e, e) y
(e,e,c)?
Actividades
a) Calcule la probabilidad de que se reciban exactamente 2
señales erróneas recibidas en tres transmisiones.
b) Encuentre la distribución de probabilidades de la
variable X: “ nº de señales erróneas recibidas en tres
transmisiones”.
c) Represente gráficamente.
El modelo Binomial
• Una variable binomial puede considerarse como la suma de n variables
independientes de Bernoulli.
• El resultado de cada prueba es una variable de Bernoulli; es decir, puede
resultar un éxito o un fracaso, con probabilidades p y 1-p respectivamente.
Definición : X es una variable
aleatoria binomial con parámetros n
y p si su distribución de
probabilidades está dada por:
X b(n,p)
P(x=k)= . 1n kk
np p
k
Demostrar que la variable aleatoria binomial es una legítima distribución de probabilidad
0 0
P(x=k) . . 1n n
n kk
k k
np p
k
Para identificar el modelo binomial:
• Se efectúan n pruebas repetidas independientes y se
cuenta el número de éxitos obtenidos.
• El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso
éxito o su contrario.
•La probabilidad de éxito es p, constante en cada prueba.
Características numéricas
En Estadística En Probabilidad
𝒙= 𝑖=1𝑛 𝑥𝑖.𝑓𝑖
𝑛
Si x toma un nº finito de valores
𝑬 𝒙 = 𝒊=𝟏𝒏 𝑥𝑖 p(𝑥𝑖)
Si las p(𝑥𝑖) son iguales,
𝜎 2 = 𝑖=1𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥 2. 𝑓𝑖
1
𝑛V(x) = 𝑖=1
𝑛 (𝑥𝑖−𝐸(𝑥))2 . 𝑝 𝑥𝑖
i
1
1E(X) = x
n
in
Para
casos
infinitos
i i
1
E(X) = xp xi
Momento k-ésimo para variables
aleatorias discretas
𝑬 𝒙𝒌 = 𝒊=𝟏𝒏 𝑥𝑖
𝒌 p(𝑥𝑖)
También se definen momentos alrededor de cualquier punto fijo, en
particular, alrededor de E(X)
Expresar el momento de :
a) 1er orden centrado en el origen.
b) 2do orden centrado en la esperanza.
¿Cómo se llaman
cada una de estas
medidas?
E x−E(x) 𝟐V(x) = 𝝈𝟐(x) =
Propiedades de la Esperanza Matemática
1. Si X = C entonces E(X) = C
2. E(C.X)= C.E(X)
3. E (X+Y) = E (X) + E(Y)
4. E (X-Y) = E (X) - E(Y)
5. E (X.Y) = E (X) . E(Y) si X e Y son
Variables aleatorias independientes
Propiedades de la varianza
1. Si x = C entonces V(x) = 0
2. V (x+c) = V (x)
3. V(cx) = 𝒄𝟐V(x)
4. V (x+y) =V(x) + V(y) si x e y son variables independientes
5. V (x-y) = V (x) + V (y) si x e y son variables independientes
6. V(x) = E (𝒙𝟐) – 𝑬𝟐(x)
Esperanza y varianza de una
variable de Bernoulli y binomial
a) Calcular la Esperanza y la Varianza de la variable
de Bernoulli
b) Demostrar que si x es binomial entonces
E(x)= np y V(x) = n.p.(1-p)
c) ¿Cuál es el número esperado de transmisiones
erróneas de las 3 enviadas?
El supervisor de un centro de comunicaciones desea evaluar
el proceso de envío de señales a sus clientes.
Para eso registra el número total de transmisiones y el número
de señales erróneas transmitidas durante 25 días.
Evaluar si el proceso cumple con los requerimientos. Es decir,
si el proceso está bajo control.
Aplicación en control de calidad:
Gráficos de control por atributos
Problema
La resolución del problema requiere de Gráficos de control np ó p
• Un gráfico np ( np es una variable x) que permite
monitorear, en este caso, el número de señales
erróneas transmitidas. ¿Qué distribución de
probabilidades corresponde a esta variable ?
• Un gráfico P permite monitorear, en este caso, la
proporción de señales erróneas transmitidas. ¿Cómo se
expresa esta proporción p en términos de la variable x ?
Dia n np1 100 4
2 100 2
3 100 0
4 100 5
5 100 3
6 100 2
7 100 4
8 100 3
9 100 2
10 100 6
11 100 1
12 100 4
Se registran el número de señales erróneas en 100 transmisiones diarias durante 25 días
13 100 1
14 100 0
15 100 2
16 100 3
17 100 1
18 100 6
19 100 1
20 100 3
21 100 3
22 100 2
23 100 0
24 100 7
25 100 3
𝑛𝑝 = 2,72 → 𝑝 = 0,0272 y
1- p = 0,9728
V(x) = 100.0,0272.0,9728 =2,64601
𝑉(𝑥) ≅ 1,62665
3 1 7,59LSC np np p
E(X) = np V(X) = np(1-p)
3 1LIC np np p <0
Gráfico
npn
constante
Con los límites de control, construimos el Gráfico np
para muestras del mismo tamaño
LIC = 0
porque LIC< 0
LSC= 7,59
LC= 2,72
¿El
proceso
está
bajo
control?
Gráficop
Día ni ei Pi LIC LC LSC17 575 20 0,035 0,0106 0,033 0,055318 610 16 0,026 0,0113 0,033 0,054619 596 15 0,025 0,0110 0,033 0,054920 630 24 0,038 0,0116 0,033 0,054321 625 25 0,04 0,0115 0,033 0,054422 615 21 0,034 0,0113 0,033 0,054623 575 23 0,04 0,0106 0,033 0,0553
24 572 20 0,035 0,0105 0,033 0,055425 645 24 0,037 0,0118 0,033 0,054126 651 25 0,038 0,0119 0,033 0,054027 660 21 0,032 0,0121 0,033 0,053828 685 19 0,028 0,0125 0,033 0,053429 671 17 0,025 0,0123 0,033 0,053630 660 22 0,033 0,0121 0,033 0,053831 595 24 0,04 0,0110 0,033 0,054932 600 16 0,027 0,0111 0,033 0,0548
Día ni ei Pi LIC LC LSC1 690 21 0,03 0,0125 0,033 0,05342 580 22 0,038 0,0107 0,033 0,05523 685 20 0,029 0,01252 0,033 0,05344 595 21 0,035 0,0110 0,033 0,05495 665 23 0,035 0,0122 0,033 0,05376 596 19 0,032 0,0110 0,033 0,05497 600 18 0,03 0,0111 0,033 0,05488 620 24 0,039 0,0114 0,033 0,05459 610 20 0,033 0,0113 0,033 0,0546
10 595 22 0,037 0,0110 0,033 0,054911 645 19 0,029 0,0118 0,033 0,054112 675 23 0,034 0,0123 0,033 0,053613 670 22 0,033 0,0122 0,033 0,053714 590 26 0,044 0,0109 0,033 0,055015 585 17 0,029 0,0108 0,033 0,055116 560 16 0,029 0,01035 0,033 0,0556
Si se registra distinta cantidad de señales durante 32 días. Analizar la calidad
del proceso para la proporción de señales erróneas:
Explicar
las
fórmulas
GRÁFICO P(Muestras
de
distintos
tamaños)
Si los tamaños
ni son
parecidos, los
ni de LSC Y LIC
se pueden
aproximar con
¿El proceso
está bajo
control?
Cuestionario
1. Encuentra la relación entre una variable estadística y su variable
aleatoria asociada.
2. ¿Cuáles son las propiedades de la Esperanza y de la Varianza de una
variable aleatoria?
3. ¿Cuál es el momento de orden uno centrado en el origen? ¿ Y el de orden
2 centrado en la esperanza?
4. Enuncia las características que permiten reconocer a la variables de
Bernoulli y Binomial.
5. Deduce la esperanza y la varianza de cada una.
6. Identifica los gráficos de control np y p con su variable asociada.
7. ¿Cómo se construyen los gráficos np y p? ¿Cómo determinar si el
proceso está bajo control?