“Herramientas estadísticas para el
Aseguramiento de la Calidad en ensayo
de materiales y mecánica de suelos con
Excel y MINITAB”
MSc. Alí E. Díaz Cama
INTRODUCCIÓN
• El objetivo de la estadística en el aseguramiento de la
calidad es analizar e interpretar los resultados de ensayos
de laboratorio sujetos a variabilidad mediante el manejo
de herramientas estadísticas para ser implementadas en
los sistemas de gestión que nos permita tomar decisiones
adecuadas en el control de calidad de laboratorios.
¿QUÉ ES ESTADÍSTICA?
Según Murray R. Spiegel “La Estadística estudia
métodos científicos para recoger, organizar, resumir y
analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas
y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis”
RAMAS DE LA ESTADÍSTICA
CLASIFICACIÓN
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA INFERENCIAL
MEDIA
MEDIANA
MODA
MEDIDAS DE
TENDENCIA
CENTRAL
MEDIDAS DE
DISPERSIÓN
MEDIDAS DE
POSICIÓN
- RANGO
- VARIANZA
- DESVIACIÓN ESTANDARD
- DESVIACIÓN ESTÁNDAR RELATIVA
- COEFICIENTE DE VARIACIÓN
CUANTILES
- PRUEBAS DE HIPÓTESIS
- TEST DE STUDENT
- TEST DE FISHER
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las principales medidas son:
Media Aritmética
Mediana
Moda
Media Geométrica
Media aritmética ponderada
TENDENCIA CENTRAL
MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética poblacional se denota como μ
La media aritmética muestral es el promedio de los
datos.
En Excel Opción 2: función PROMEDIO
1
n
i
i
x
xn
TENDENCIA CENTRAL
MEDIANA
Se define como el valor central.
Es el número que se encuentra en medio de un
conjunto de números
El valor que delimita al 50% de los datos .
En Excel Opción 2: función MEDIANA
TENDENCIA CENTRAL
MODA
• Es el valor más frecuente, el que se observa mayor número de veces
Pueden existir varios o ningún valor de moda para un solo conjunto de datos, la distribución puede ser:
Amodal cuando ningún valor se repite
Unimodal cuando un solo valor es el más frecuente
Bimodal cuando dos valores son los más frecuentes
trimodal,...., polimodal
En Excel Opción 2: función MODA
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las principales medidas son:
Rango
Varianza
Desviación Estándar
Desviación Estándar Relativa
Coeficiente de Variación
DISPERSIÓN
RANGO
Es la diferencia que existe entre el valor mas grande y el
mas pequeño.
minmaxrango
DISPERSIÓN
VARIANZA POBLACIONAL
La varianza poblacional se denota como σ²
Es el promedio de los cuadrados de las distancias de
los datos a su media aritmética.
En Excel Opción 2: función VARP
n
i
i xxn 1
22 1
DISPERSIÓN
VARIANZA MUESTRAL
La varianza muestral se denota como S²
Se calcula igual que la varianza poblacional,
dividiendo entre n-1.
En Excel Opción 2: función VAR
n
i
i xxn
s1
22
1
1
DISPERSIÓN
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Mide la variación de los datos en términos absolutos.
Se interpreta como la distancia promedio de los datos
a su media aritmética.
Se expresa en las mismas unidades que las empleadas
en los datos.
Se calcula tomando la raíz cuadrada positiva de la
varianza.
DISPERSIÓN
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
• Desviación Estándar Poblacional:
En Excel: función DESVESTP
• Desviación Estándar Muestral:
En Excel: función DESVEST
2
2S=S
DISPERSIÓN
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
Mide la variación relativa de la variable con respecto a
su promedio.
Cuando deseamos comparar la dispersión de dos
distribuciones, necesitamos medir la magnitud de la
desviación estándar en relación con la magnitud de la
media
Expresa a la variación de los datos como porcentaje de
su promedio.
X
S=CV
MEDIDAS DE POSICIÓN
Las medidas de posición son:
Cuartiles: Son tres y delimitan al 25%, 50% y 75%
de los datos acumulados.
Deciles: Son nueve y delimitan al 10%, 20%, ... ,
90% de los datos acumulados.
Percentiles: Son noventa y nueve y delimitan al 1%,
2%, ... , 99% de los datos acumulados.
Siempre acumulamos de izquierda a derecha.
En Excel: función PERCENTIL
TALLER: CÁLCULOS ESTADÍSTICOS SIMPLES CON EXCEL
• Microsoft Excel ofrece un conjunto de herramientas para el
análisis de los datos (Herramientas para Análisis) lo que
permite efectuar análisis estadístico de una manera simple.
• Para usar el análisis de datos, vaya ahora a datos, y allí
seleccione 'Análisis de Datos‟ (Datos / Análisis de datos).
• Aparecerá la lista de opciones en donde seleccionamos
Estadística Descriptiva:
CÁLCULOS ESTADÍSTICOS SIMPLES CON
EXCEL
En el cuadro de diálogo de Estadística descriptiva, lo
único que es "obligatorio" suministrar son los datos a
analizar (Rango de entrada) y el lugar en donde se
desea escribir los resultados (Rango de salida).
EJEMPLO
La siguiente información corresponde a resultados del “Método de ensayo
para determinar el material que pasa el tamiz Nº 200 (75 µm) – NTP
339.132 (1999)”, calcular las estadísticas descriptivas
A B C D E F
1 50.93 50.80 41.23 48.42 48.81 50.20
2 51.25 51.30 41.30 47.84 50.46 50.32
3 50.54 50.10 42.38 48.09 48.77 50.53
4 50.59 51.00 42.14 48.03 49.28 49.87
5 51.06 51.80 41.10 48.29 46.70 50.00
6 51.29 51.60 42.28 47.25 48.46 50.55
7 51.24 50.70 41.05 47.79 48.38 49.59
8 51.05 50.70 41.13 48.00 48.42 49.90
9 50.81 50.30 41.05 48.12 48.82 49.87
10 51.09 50.00 41.02 48.13 48.02 50.00
Comenzaremos calculando la estadística descriptiva del
analista “B”. El "Rango de entrada" es $D$6:$D$16, es decir
seleccionando los títulos como primera observación, de modo
que se debe activar la opción 'Rótulos en la primera fila'. A
continuación debemos activar la selección del rango de salida,
por ejemplo la celda $L$6, como se muestra a continuación:
CÁLCULOS ESTADÍSTICOS SIMPLES CON MINITAB
INICIO DE MINITAB
Inicie Minitab 1 En la barra de tareas de Windows, elija Inicio
Todos los Programas Minitab Solutions Software
estadístico Minitab 15 Español, o simplemente se inicia en
Minitab 15 Español del acceso directo del escritorio.
Minitab se abre con dos ventanas principales visibles:
La ventana Sesión muestra los resultados de su análisis en
formato de texto. Además, en esta ventana puede ingresar
comandos en lugar de usar los menús de Minitab.
La ventana Datos actual contiene una hoja de trabajo abierta,
que es similar en aspecto a una hoja de cálculo. Puede abrir
varias hojas de trabajo, cada una en una ventana Datos actual
distinta.
CÁLCULOS ESTADÍSTICOS SIMPLES CON MINITAB
Presentación de estadísticas descriptivas
Elija Estadísticas Estadísticas básicas Mostrar estadísticas
descriptivas.
Ejemplo
La siguiente información corresponde al “Método de ensayo para determinar
el pH de las aguas usadas para elaborar morteros y hormigones”- (NTP
339.073). El producto es agua para concreto.
Repeticiones A B C
1 7.95 7.97 7.94
2 7.95 7.96 7.95
3 7.96 7.96 7.94
4 7.96 7.95 7.94
5 7.95 7.95 7.94
6 7.95 7.96 7.95
7 7.95 7.95 7.94
8 7.96 7.94 7.94
9 7.96 7.96 7.94
10 7.96 7.95 7.94
CÁLCULOS ESTADÍSTICOS SIMPLES CON MINITAB
Solución:
Estadísticas Estadísticas básicas Mostrar estadísticas
descriptivas
En Variables, ingrese A, B y C
En Por variables (no escriba nada),
Haga clic en Estadísticas.
Demarque media, desviación estándar, varianza, coeficiente de
variación, primer cuartil, mediana Tercer cuartil, moda, mínimo,
máximo, rango.
Marque Número de valores presentes, Número de valores faltantes y
Número de valores totales.
MANEJO DE BUSQUEDA DE DATOS ¿Cómo buscar datos en una tabla de Excel?
La función BUSCARV rastrea un valor específico desde
columnas mas a la izquierda de una columna especificada, y
devuelve el valor en la misma fila de la Matriz. La V de
BUSCARV significa “Vertical”. Del mismo modo existe una
función BUSCARH (horizontal).
MANEJO DE BUSQUEDA DE DATOS
Elija Insertar función (fx) Búsqueda y referencia
BUSCARV.
Seguidamente Aceptar
MANEJO DE BUSQUEDA DE DATOS
En el siguiente argumento.
Valor_buscado: representa el valor a buscar
Matriz_buscar_en: representa la matriz donde se busca el valor
Indicador_columnas: columna donde se encuentra el valor buscado
Ordenado: es opcional, se coloca por defecto 2 o verdadero
Seguidamente Aceptar
TECNICA GRAFICA DE
CONSISTENCIA
Existen diferentes técnicas estadísticas para la evaluación de la consistencia de datos, las más conocidas son: h y k de Mandel.
Estas técnicas prueban si el dato evaluado es consistente con el promedio de las mediciones y/o con la dispersión de las mismas.
La evaluación de los datos consiste en evaluar Si el valor de prueba es menor que el valor límite se considera un dato consistente, y si el valor de prueba es mayor que el valor límite se considera como valor inconsistente
1. Calcular el estadístico de consistencia entre laboratorios h de
Mandel.
2. Graficar los valores de hij para cada celda.
Si hij calculado < hij critico, entonces el conjunto de valores es
consistente.
3. Calcular el estadístico de consistencia dentro de laboratorio k de
Mandel.
4. Graficar los valores de kij para cada celda
Si kij calculado < kij critico, entonces el conjunto de valores es
consistente.
jp
i
jij
j
jij
ij
yyp
yyh
1
2
1
1
2
ij
jij
ij
s
psk
p
y
y
p
i
ij
j1
PASOS PARA LA TECNICA GRAFICA DE
CONSISTENCIA
Tabla 1. Indicadores para h de Mandel y estadístico k a 1% de nivel de confianza K
n
P h 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 1.15 1.71 1.64 1.58 1.53 1.49 1.46 1.43 1.41 1.39
4 1.49 1.91 1.77 1.67 1.60 1.55 1.51 1.48 1.45 1.43
5 1.72 2.05 1.85 1.73 1.65 1.59 1.55 1.51 1.48 1.46
6 1.87 2.14 1.90 1.77 1.68 1.62 1.57 1.53 1.50 1.47
7 1.98 2.20 1.94 1.79 1.70 1.63 1.58 1.54 1.51 1.48
8 2.06 2.25 1.97 1.81 1.71 1.65 1.59 1.55 1.52 1.49
9 2.13 2.29 1.99 1.82 1.73 1.66 1.60 1.56 1.53 1.50
10 2.18 2.32 2.00 1.84 1.74 1.66 1.61 1.57 1.53 1.50
p = número de laboratorios ó analistas a un nivel dado
n = número de réplicas en cada uno de los laboratorios ó cada uno de los analistas a ese nivel
Para un mayor número de laboratorios ó analistas, consultar la tabla 6 de ISO 5725-2:1994
Tabla 2. Indicadores para h de Mandel y estadístico k a 5% de nivel de confianza K
n
p h 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 1.15 1.65 1.53 1.45 1.4 1.37 1.34 1.32 1.3 1.29
4 1.42 1.76 1.59 1.5 1.44 1.4 1.37 1.35 1.33 1.31
5 1.57 1.81 1.62 1.53 1.46 1.42 1.39 1.36 1.34 1.32
6 1.66 1.85 1.64 1.54 1.48 1.43 1.4 1.37 1.35 1.33
7 1.71 1.87 1.66 1.55 1.49 1.44 1.41 1.38 1.36 1.34
8 1.75 1.88 1.67 1.56 1.5 1.45 1.41 1.38 1.36 1.34
9 1.78 1.90 1.68 1.57 1.5 1.45 1.42 1.39 1.36 1.35
10 1.80 1.90 1.68 1.57 1.5 1.46 1.42 1.39 1.37 1.35
p = número de laboratorios o analistas a un nivel dado
n = número de réplicas en cada uno de los laboratorios a ese nivel
Para un mayor número de laboratorios, consultar la tabla 7 de ISO 5725-2:1994
EJEMPLO
Se realizaron 60 análisis de una misma muestra, determinando
el Contenido de Humedad de un Suelo – NTP 339.132 (1999):
¿Existe consistencia de datos entre analistas? Comprobar con h
y k de Mandel
CONTENIDO DE HUMEDAD DE UN SUELO
A B C D E F
1.01 0.86 0.88 0.61 1.06 0.82
1.05 0.87 0.88 0.64 1.04 0.82
1.03 0.83 0.93 0.63 1.03 0.78
1.02 0.83 0.92 0.61 1.08 0.76
1.05 0.84 0.87 0.60 1.00 0.86
1.06 0.86 0.91 0.63 0.99 0.85
1.03 0.85 0.89 0.61 0.99 0.85
1.03 0.84 0.92 0.62 1.06 0.84
1.05 0.84 0.93 0.60 1.03 0.82
1.07 0.84 0.90 0.60 0.98 0.80
SOLUCIÓN ANALITICA PARA H DE MANDEL
. ANALISTA PROMEDIO
(PROM-
PROM)
(PROM-
PROM)^2 hij PRUEBA hij
A 1.04 0.165 0.027225 1.055111447 CONSISTENTE
B 0.846 -0.029 0.000841 -0.18544383 CONSISTENTE
C 0.90 0.028 0.000784 0.179049215 CONSISTENTE
D 0.62 -0.26 0.0676 -1.662599856 CONSISTENTE
E 1.03 0.151 0.022801 0.965586839 CONSISTENTE
F 0.82 -0.055 0.003025 -0.351703816 CONSISTENTE
PROMEDIO 0.875 Σ= 0.122276
h de Mandel C critico 5% C critico 1%
P = 6 1.66 1.87
SOLUCIÓN GRÁFICA PARA H DE MANDEL
.
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
1 2 3 4 5 6
h de Mandel
hij C critico 5% C critico 1%
SOLUCIÓN ANALITICA PARA K DE MANDEL
. Desvest Varianza
Sij S2ij kij PRUEBA kij
A 0,018856181 0,000355556 0,782710425 CONSISTENTE
B 0,013498971 0,000182222 0,56033539 CONSISTENTE
C 0,022135944 0,00049 0,918851701 CONSISTENTE
D 0,014337209 0,000205556 0,595130206 CONSISTENTE
E 0,034705107 0,001204444 1,440591242 REZAGADO
F 0,032317866 0,001044444 1,341498082 REZAGADO
0,003482222
h de Mandel C critico 5% C critico 1%
P = 6 1,33 1,47
n = 10
SOLUCIÓN GRÁFICA PARA K DE MANDEL
.
1.47 1.47 1.47 1.47 1.47 1.47
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1 2 3 4 5 6
K de Mandel
hij C critico 5% C critico 1%
PRUEBAS NUMÉRICAS DE VALORES
ATÍPICOS
Existen diferentes técnicas estadísticas para la evaluación de valores atípicos, las más conocidas son: test de Cochran y Grups.
Estas técnicas prueban si el dato evaluado es atípico con el promedio de las mediciones y/o con la dispersión de las mismas.
La evaluación de los datos consiste en evaluar Si el valor de prueba es menor que el valor límite se considera un dato consistente, y si el valor de prueba es mayor que el valor límite se considera como valor inconsistente
VALORES CRITICOS PARA LA PRUEBA DE COCHRAN
TABLA 4 - Valores crìticos para prueba de Cochran
P N= 2 n= 3 n= 4 n= 5 n= 6
1% 5% 1% 5% 1% 5% 1% 5% 1% 5%
2 - - 0,995 0,975 0,979 0,939 0,959 0,906 0,937 0,877
3 0,993 0,967 0,942 0,871 0,883 0,798 0,834 0,746 0,793 0,707
4 0,968 0,906 0,864 0,768 0,781 0,684 0,721 0,629 0,676 0,590
5 0,928 0,841 0,788 0,684 0,696 0,598 0,633 0,544 0,588 0,506
6 0,883 0,781 0,722 0,616 0,626 0,532 0,564 0,480 0,520 0,445
7 0,838 0,727 0,664 0,561 0,568 0,48 0,508 0,431 0,466 0,397
8 0,794 0,68 0,615 0,516 0,521 0,438 0,463 0,391 0,423 0,360
9 0,754 0,638 0,573 0,478 0,481 0,403 0,425 0,358 0,387 0,329
10 0,718 0,602 0,536 0,445 0,447 0,373 0,393 0,331 0,357 0,303
11 0,684 0,570 0,504 0,417 0,418 0,348 0,366 0,308 0,332 0,281
12 0,653 0,541 0,475 0,392 0,392 0,326 0,343 0,288 0,310 0,262
13 0,624 0,515 0,450 0,371 0,369 0,307 0,322 0,271 0,291 0,243
14 0,599 0,492 0,427 0,352 0,349 0,291 0,304 0,255 0,274 0,232
15 0,575 0,471 0,407 0,335 0,332 0,276 0,288 0,242 0,259 0,220
16 0,553 0,452 0,388 0,319 0,316 0,262 0,274 0,230 0,246 0,208
17 0,532 0,434 0,372 0,305 0,301 0,250 0,261 0,219 0,234 0,198
18 0,514 0,418 0,356 0,293 0,288 0,240 0,249 0,209 0,223 0,189
19 0,496 0,403 0,343 0,281 0,276 0,230 0,238 0,200 0,214 0,181
20 0,480 0,389 0,330 0,270 0,265 0,220 0,229 0,192 0,205 0,174
21 0,465 0,377 0,318 0,261 0,255 0,212 0,220 0,185 0,197 0,167
22 0,450 0,365 0,307 0,252 0,246 0,204 0,212 0,178 0,189 0,160
23 0,437 0,354 0,297 0,243 0,238 0,197 0,204 0,172 0,182 0,155
24 0,425 0,343 0,287 0,235 0,230 0,191 0,197 0,166 0,176 0,149
25 0,413 0,334 0,278 0,228 0,222 0,185 0,190 0,160 0,170 0,144
26 0,402 0,325 0,270 0,221 0,215 0,179 0,184 0,155 0,164 0,140
Valores críticos para la prueba de Grubbs
TABLA 5: Valores crìticos para prueba de Grubbs
P Uno más grande o uno más pequeño Dos más grandes o dos más
pequeños
Superior 1% Superior 5% Inferior 1% Inferior 5%
3 1,155 1,155 - -
4 1,496 1,481 0,0000 0,0002
5 1,764 1,715 0,0018 0,0090
6 1,973 1,887 0,0116 0,0349
7 2,139 2,020 0,0308 0,0708
8 2,274 2,126 0,0563 0,1101
9 2,387 2,215 0,0851 0,1492
10 2,482 2,290 0,1150 0,1864
11 2,564 2,355 0,1448 0,2213
12 2,636 2,412 0,1738 0,2537
13 2,699 2,462 0,2016 0,2836
14 2,755 2,507 0,2280 0,3112
15 2,806 2,549 0,2530 0,3367
16 2,852 2,585 0,2767 0,3603
17 2,894 2,620 0,2990 0,3822
18 2,932 2,651 0,3200 0,4025
19 2,968 2,681 0,3398 0,4214
20 3,001 2,709 0,3585 0,4391
21 3,031 2,733 0,3761 0,4556
22 3,06 2,758 0,3927 0,4711
23 3,087 2,781 0,4085 0,4857
24 3,112 2,802 0,4234 0,4994
25 3,135 2,822 0,3376 0,5123
PRUEBA DE COCHRAN
p
iiL
L
i
s
sC
1
2
,
2
max
Evalúa el valor más alto en un grupo de desviaciones
estándar y es por lo tanto una prueba sesgada.
La prueba estadística de Cochran se realiza mediante el
estadístico Ci que es calculado según la expresión:
PRUEBA DE GRUBBS Evalúa si la observación más grande es un valor atípico.
Evalúa si la observación más pequeña es un valor atípico.
( )p
p
x xQ
s
( )ll
x xQ
s
EJEMPLO
Continuado con el mismo ejemplo en la determinación de Contenido
de Humedad de un Suelo – NTP 339.132 (1999), se procede con la
eliminación de los analistas E y F por presentar valores rezagados:
¿Existe valores atípicos entre analistas? Comprobar con pruebas de
Cochran y Grubbs
CONTENIDO DE HUMEDAD DE UN SUELO
A B C D
1,01 0,86 0,88 0,61
1,05 0,87 0,88 0,64
1,03 0,83 0,93 0,63
1,02 0,83 0,92 0,61
1,05 0,84 0,87 0,60
1,06 0,86 0,91 0,63
1,03 0,85 0,89 0,61
1,03 0,84 0,92 0,62
1,05 0,84 0,93 0,60
1,07 0,84 0,90 0,60
LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Puede tomar cualquier valor (- , + )
Hay más probabilidad para los valores cercanos a
la media
Conforme nos separamos de , la probabilidad va
decreciendo de igual forma a derecha e izquierda
(es simétrica).
Conforme nos separamos de , la probabilidad va
decreciendo dependiendo la desviación típica
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL:
La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros μ y σ.
Tiene una única moda que coincide con su media y su mediana.
La curva normal es asintótica al eje de x.
Es simétrica con respecto a su media μ . Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.
PRUEBA DE NORMALIDAD
Para probar la normalidad de datos, se pueden
utilizar los siguientes métodos:
• TEST DE ANDERSON DARLING
• TEST RYAN-JOINER
• TEST KOLMOGOROV-SMIRNOV
En los método de Anderson Darling o Ryan
Joiner, si el valor de probabilidad P de la
prueba es mayor a 0.05, se considera que los
datos son normales.
EJEMPLO
Se cuentan con 40 análisis de una misma muestra, resultantes
de las pruebas de consistencia y atipicidad, correspondiente al
Contenido de Humedad de un Suelo – NTP 339.132 (1999):
Realizar prueba de normalidad, Comprobar con test de Ryan
Joiner con MINITAB
CONTENIDO DE HUMEDAD DE UN SUELO
A B C D
1,01 0,86 0,88 0,61
1,05 0,87 0,88 0,64
1,03 0,83 0,93 0,63
1,02 0,83 0,92 0,61
1,05 0,84 0,87 0,60
1,06 0,86 0,91 0,63
1,03 0,85 0,89 0,61
1,03 0,84 0,92 0,62
1,05 0,84 0,93 0,60
1,07 0,84 0,90 0,60
PRUEBA DE VERIFICACIÓN DE
NORMALIDAD CON MINITAB
En este caso se verifica la normalidad usando
residuales mediante la prueba de Shapiro Wild
que es similar a Ryan-Joiner
Es necesario conocer que es una Hipótesis
Estadística
HIPÓTESIS ESTADÍSTICA
Hipótesis Estadística es una afirmación que se hace
acerca de un parámetro poblacional.
Hipótesis nula es una afirmación que está
establecida y que se espera sea rechazada después
de aplicar una prueba estadística. Se representa por
Ho.
Hipótesis alternante, es la afirmación que se
espera sea aceptada después de aplicar una prueba
estadística y se representa por H1.
HIPÓTESIS ESTADÍSTICA
En nuestro caso es:
Ho: Los residuales del contenido de humedad de un
suelo siguen una distribución normal.
H1: Los residuales del contenido de humedad de un
suelo no siguen una distribución normal.
Para la verificación de la normalidad es necesario
llevarlo a residuales, el procedimiento en Minitab es:
Apilar:
Datos ➤ Apilar ➤Columnas
En Apilar las siguientes columnas ingrese A, B, C y D (no se
olvide de cliquear al seleccionar en cada caso)
En Nueva hoja de trabajo (no escriba nada),
Marque en columna de hoja de trabajo actual
Seleccione HUMEDAD en Columna de hoja de trabajo
actual
Seleccione ANALISTAS en Almacenar subíndices
Haga clic en Aceptar.
Procedimiento para apilar columnas con Minitab
PROCEDIMIENTO PARA RESIDUALES
Estadísticas ➤ ANOVA ➤Un solo factor
Seleccione HUMEDAD en Respuesta
Seleccione ANALISTAS en Factor
Haga clic en Almacenar residuos
Haga clic en Aceptar
PRUEBA DE NORMALIDAD
Estadísticas ➤ Estadísticas básicas ➤Normalidad
Escriba RESID 1 en Variable
En valores de y (no escriba nada),
En valores de datos (no escriba nada),
Marque en Ryan-Joiner (Similar a Shapiro-Wilk),
Haga clic en Aceptar.
PROCEDIMIENTO PARA NORMALIDAD
Respuesta
Conclusión: De Acuerdo a esta gráfica P valor > 0.100 y α = 0,05 lo que se
concluye que ,implica que no se rechaza Ho; por lo
que se concluye que los residuales de los datos de humedad de
suelos se ajustan a una distribución normal.
05,0Pvalor
HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS
Uno de los pasos previos a la comprobación de si
existen diferencias entre las medias de varias muestras
es determinar si las varianzas en tales muestras son
iguales (es decir, si se cumple la condición de
homogeneidad de varianzas), ya que de que se cumpla
o no esta condición dependerá la formulación que
empleemos en el contraste de medias.
Existen varias pruebas que permiten comprobar la
igualdad de varianzas (prueba de Bartlett, Levene,
etc), en Minitab se utilizará la prueba de Bartlett
HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS
• Uno de los posibles contrastes para la homocedasticidad es la prueba de Barlett propuesta por Barlett en 1937. Esta prueba presupone que los datos provienen de variables con distribución normal.
• Consiste en evaluar las varianzas de la prueba F (test de Fisher), para probar si estas varianzas (σ1², σ2², … σn²) son iguales.
HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS
2
1
2
2
C
SF
S21 ss
criticoc FF
Test de F
Evalúa igualdad de varianzas para dos muestras
PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS
HIPÓTESIS ESTADÍSTICA
Para este caso es:
Ho: σ1² = σ2² = σn² (no se rechaza la hipótesis Ho, existe homogeneidad de varianza).
H1: σ1² ≠ σ2² ≠ σn² (se rechaza la hipótesis Ho, no existe homogeneidad de varianza).
TIPOS DE ERRORES
Rechazar una hipótesis no significa que ésta sea falsa, como
tampoco el no rechazarla significa que sea verdadera. La
decisión tomada no esta libre de error.
Error tipo I, que se comete cuando se rechaza una hipótesis
nula que realmente es cierta.
Error tipo II, que se comete cuando se acepta una hipótesis
nula que realmente es falsa.
NIVEL DE SIGNIFICACION
es la Probabilidad de cometer un Error tipo I. Se llama Nivel de significación. Es la probabilidad de rechazar la Ho cuando es verdadera es la probabilidad de cometer un Error tipo II Es deseable que estas dos probabilidades de error sean pequeñas.
NIVEL DE SIGNIFICACION Y
NIVEL DE CONFIANZA
En la práctica, es frecuente un nivel de significación de 0,05 ó 95% de NIVEL DE CONFIANZA Si por ejemplo se escoge el nivel de significación 0,05 (ó 5%), entonces hay unas cinco (05) oportunidades entre 100 de rechazar la hipótesis cuando debiera haberse aceptado; Es decir, tenemos un 95% de confianza de que hemos adoptado la decisión correcta. En tal caso decimos que la hipótesis ha sido rechazada al nivel de significación 0,05, lo cual quiere decir que tal hipótesis tiene una probabilidad 0,05 de ser falsa.
NIVELES DE SIGNIFICACION
Contraste de Una y Dos colas. Cuando estudiamos ambos valores estadísticos es decir, ambos lados de la media lo llamamos contraste de una y dos colas. En tales situaciones, la región crítica es una región situada a un lado de la distribución, con área igual al nivel de significación.
Para una distribución normal el 95 % de los datos cae dentro
de los límites z=-1,96 a z=1,96
Los promedios de las muestras también se distribuyen normalmente
INTERVALOS DE CONFIANZA
(1 ) (1 )2 2
;x Z x Zn n
PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS
El procedimiento para probar la homogeneidad de
varianzas para dos muestras con Minitab es:
Estadísticas Estadísticas básicas 2 varianzas
Nota: para todos los casos el nivel de significación es del
5 %
PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS
El procedimiento para probar la homogeneidad de
varianzas para mas de dos muestras con Minitab es:
Estadísticas Anova Varianzas iguales
Nota: para todos los casos el nivel de significación es del
5 %
ANALISIS DE VARIANZA
El análisis de la varianza (ANOVA) es una potente herramienta estadística, de gran utilidad tanto en el control de procesos, como en el laboratorio de análisis, para el control de métodos analíticos. Los ejemplos de aplicación son múltiples, pudiéndose agrupar, según el objetivo que persiguen, en dos principalmente: la comparación de múltiples columnas de datos y la estimación de los componentes de variación de un proceso. Compara medias de diversos conjuntos a través de sus varianzas
ANALISIS DE VARIANZA
Para utilizar el ANOVA de forma satisfactoria
deben cumplirse tres tipos de hipótesis:
1. Los resultados obtenidos para cada conjunto deben
seguir una distribución normal.
2. Deben probarse homogeneidad de varianzas.
3. Las medias poblacionales de un conjunto de datos
deben evidenciar o no la diferencia significativa
entre analistas o laboratorios.
Nota:
El ANOVA no nos indica cuantos analistas o
laboratorios difieren entre si, ni cuales son.
Si los resultados no siguen una distribución normal
de acuerdo al ítem 1, es necesario aplicar la prueba
de Kruskal-Wallis
ANALISIS DE VARIANZA
PARA DOS MUESTRAS (Test
de t) Condición σ1² = σ2² Donde es la varianza ponderada para Grados de libertad
En Minitab para probar si dos medias poblacionales difieren significativamente, se utiliza: Estadísticas ➤ Estadísticas básicas ➤t de 2 muestras
2
)1()1(
21
2
22
2
112
nn
snsns
críticot
nns
xxt
21
21
11
2s221 nn
ANÁLISIS DE VARIANZAS PARA MAS DE DOS
MUESTRAS
El procedimiento para probar la no existencia de diferencias significativas entre medias poblacionales con Minitab es:
• Estadísticas ANOVA 1 solo factor
Nota: para todos los casos el nivel de significación es del 5 %
EJEMPLO PARA DOS MUESTRAS
• La siguiente tabla muestra resultados de la máxima
densidad seca de un suelo del método de ensayo para
la compactación del suelo en laboratorio utilizando
una energía modificada (2700 kN-m/m3) - NTP
339.141 (1999)
a) Verifique la normalidad de residuales usando la
prueba de Shapiro Wild con nivel de significancia
del 5%
b) Probar la homogeneidad de varianza usando la
prueba F.
c) Probar si existen diferencias significativas entre
analistas. Usar nivel de significancia del 5%
TABLA: MÉTODO DE ENSAYO PARA DETERMINAR LA
MÁXIMA DENSIDAD - NTP 339.141 (1999):
NOTA: DE ACUERDO A LA DETERMINACIÓN DE CONSISTENCIA Y
ATIPICIDAD SE ELIMINÓ AL ANALISTA C, POR LO QUE SOLO SE
CONSIDERARÁ EN LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA LOS
RESULTADOS DE LOS ANALISTAS A Y B
A B C
1 1.911 1.907 1.892
2 1.910 1.901 1.913
3 1.913 1.908 1.911
VERIFICACIÓN DE NORMALIDAD USANDO
RESIDUALES MEDIANTE LA PRUEBA DE SHAPIRO
WILD
De Acuerdo a esta gráfica P valor > 0.100 y α = 0.05 lo
que se concluye que , implica que no se
rechaza Ho; por lo que se concluye que los residuales de
los datos de densidad seca NTP 339.141 de un suelo se
ajustan a una distribución normal.
05.0Pvalor
PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS
Conclusión:
De Acuerdo a la gráfica usando la prueba F, P valor = 0.280 y
α = 0.05 lo que se concluye que , implica
que no se rechaza Ho; por lo que se concluye que existe
homogeneidad de varianza
280.005.0 Pvalor
PRUEBA DE COMPARACIÓN DE ANALISTAS
Conclusión:
• De los resultados de T de dos muestras, P = 0.064 y α = 0,05, lo
que se concluye que , implica que no se
rechaza Ho: µA= µB,; por lo que se concluye que no existen
diferencias significativas entre los dos analistas.
05,0064.0Pvalor
EJEMPLO PARA MAS DE DOS MUESTRAS
• Continuando con el procedimiento de ANOVA del
ensayo: Contenido de Humedad de un Suelo – NTP
339.132 (1999) y habiendo verificado y comprobado
la normalidad de residuales usando la prueba de
Shapiro Wild con nivel de significancia del 5%
a) Probar la homogeneidad de varianza usando el test
de Bartlet y comentar
b) Probar si existen diferencias significativas entre
analistas. Usar nivel de significancia del 5%
PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS
Conclusión:
De Acuerdo a la gráfica usando el test de Barttet, P valor =
0.423 y α = 0.05 lo que se concluye que ,
implica que no se rechaza Ho; por lo que se concluye que
existe homogeneidad de varianza
423.005.0 Pvalor
PRUEBA DE DIFERENCIAS SIGNIFICATIVAS ENTRE
ANALISTAS
Conclusión:
De la tabla de ANOVA, P = 0.000 para humedad de suelos,
indica que hay suficiente evidencia que hay al menos un
analista cuyos resultados son significativamente diferentes
cuando α se establece en 0,05.
ANOVA DE UN FACTOR
Cuando hay una sola variable que proporciona condiciones
experimentales distintas, el análisis recibe el nombre de
ANOVA de un solo factor
• Esta prueba se basa en la comparación de las sumas de
cuadrados medias debidas a la variabilidad entre grupos y la
debida a la variabilidad dentro de los grupos. Ambas sumas son
estimaciones independientes de la variabilidad global, de
manera que, si el cociente entre la primera y la segunda es
grande, se tendrá mayor probabilidad de rechazar la hipótesis
nula. Este cociente sigue una distribución F.
• Donde: “a” es el número de niveles de factor (en ocasiones se
les llama “tratamientos”), cada tratamiento tendrá “n” réplicas
u observaciones.
ANOVA DE UN FACTOR La elaboración de ANOVA de un factor en Excel es usando el
análisis de datos, vaya ahora a datos, y allí seleccione „Análisis
de Datos‟ y seguidamente “Análisis de varianza de un solo
factor”
ANOVA DE UN FACTOR Cuando se acepta aparece el siguiente diálogo, se realizan los siguientes
pasos:
En rango de entrada: se selecciona datos agrupados por columnas o filas.
Seleccionar “rótulos en la primera fila”
Alfa: 0,05
Seleccionar rango de salida
Aceptar
ANOVA DE UN FACTOR TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA
Donde:
a = Numero de Tratamientos
N = an = Numero de Observaciones
El análisis de la tabla es:
Si F(Calculado)< Fcrítico, se podrá concluir que no existen diferencias significativas entre analistas u laboratorios. (o mediante Pvalor > 0,05)
Fuente de
variación
Suma de
cuadrados
Grados
de
libertad
Cuadrado
medio F Probabilidad
Valor
crítico
para F
Tratamientos SSTratamientos a -1 MSTratamientos MSTRATAMIENTOS/
MSE P FC
error SSE a(n-1) MSE
Total SST an-1
ANOVA DE UN FACTOR SUMA DE CUADRADOS
1) Tratamientos
2) Error
3) Total
a
i
iOSTRATAMIENT xxnSS1
2
a
j
ij
n
i
E xxSS1
2
1
EOSTRATAMIENTT SSSSSS
ANOVA DE UN FACTOR CUADRADO MEDIO
1) Tratamientos
2) Error
1a
SSMS OSTRATAMIENT
OSTRATAMIENT
)1(na
SSMS E
E
TALLER
La siguiente información corresponde a resultados de ensayos Intralaboratorio para evaluar el desempeño de los analistas correspondiente al ensayo: Contenido de Sulfatos en las aguas usadas en la elaboración de hormigones y morteros (NTP 339.074). Evaluar si existen diferencias significativas entre analistas
A B C
1 160,90 156,37 159,25
2 160,49 155,96 158,84
3 161,31 156,37 158,53
4 160,49 158,43 159,66
5 160,49 158,02 157,60
6 158,84 156,37 158,02
7 160,49 156,37 158,02
8 160,07 156,78 159,66
9 159,66 158,43 158,43
10 160,90 158,02 159,25
SOLUCIÓN DEL EJEMPLO 1) Tratamientos
2) Error
3) Total
a
i
iOSTRATAMIENT xxnSS1
2
52,878485,287848*10
17,89801
2
1
a
j
ij
n
i
E xxSS
70,776528980,1787848,52TSS
SOLUCIÓN DEL EJEMPLO GRADOS DE LIBERTAD
1) Tratamientos
2) Error
3) Total
2131a
27)110(3)1( aNna
29110*311 Nan
SOLUCIÓN DEL EJEMPLO CUADRADO MEDIO
1) Tratamientos
2) Error
43924,262
8990,17OSTRATAMIENTMS
0,662890427
8990,17EMS
SOLUCIÓN DEL EJEMPLO
p valor
Sintaxis DISTR.F(x;grados_de_libertad1;grados_de_libertad2) X es el valor en el que se desea evaluar la función, en nuestro caso es: F = 39,8847851 Grados_de_libertad1 es el número de grados de libertad del numerador, en nuestro caso es: 2 Grados_de_libertad2 es el número de grados de libertad del denominador, en nuestro caso es: 27 P valor=8,697E-09
SOLUCIÓN DEL EJEMPLO
F crítico
Buscando en la tabla del estadístico F, para = 0.05, y 2 y 27 grados de libertad
tenemos que F ;a-1;N-a = F 0,05;2;27 = F = 3,3541312 ,
RESULTADOS EN TABLA DE ANOVA DE UN
FACTOR Análisis de varianza de un factor (cálculos manuales)
Resumen
Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza
A 10 1603,64 160,36 0,49307
B 10 1571,12 157,11 0,97364
C 10 1587,26 158,73 0,52196
Fuente de
variación
Suma de
cuadrados
Grados
de
libertad
Cuadrado
medio F
Probabilida
d
Valor
crítico
para F
Tratamientos 52,87848 2 26,43924 39,8847851 8,697E-09 3,3541312
error 17,8980 27 0,66289037
Total 70,77652 29
RESULTADOS CON ESTADÍSTICO ANOVA DE UN
FACTOR CON EXCEL
Análisis de varianza de un factor
RESUMEN
Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza
A 10 1603,64 160,364 0,493071111
B 10 1571,12 157,112 0,97364
C 10 1587,26 158,726 0,52196
ANÁLISIS DE VARIANZA
Origen de las variaciones
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Promedio
de los
cuadrados F Probabilidad
Valor crítico
para F
Entre grupos 52,87848 2 26,43924 39,88478515 8,697E-09 3,354130829
Dentro de los grupos 17,89804 27 0,66289037
Total 70,77652 29
Conclusión:
• De la tabla de ANOVA de un factor, F calculado =
39,88478515 mayor que F crítico = 3,354130829 para
contenido de sulfatos, indica que se rechaza la Ho, por lo que
hay diferencias significativas entre analistas cuyos resultados
son significativamente diferentes, además p valor = 8,697E-09
es menor que α = 0,05.
A B D E F
1 10,00 11,00 11,00 8,00 10,00
2 10,00 11,00 10,00 8,00 10,00
3 10,00 11,00 11,00 8,00 10,00
4 9,00 12,00 11,00 8,00 10,00
5 10,00 11,00 10,00 7,00 10,00
6 9,00 12,00 10,00 8,00 10,00
7 9,00 11,00 12,00 8,00 9,00
8 10,00 11,00 11,00 8,00 9,00
9 10,00 10,00 11,00 7,00 10,00
10 10,00 11,00 10,00 8,00 10,00
TALLER: La siguiente
información
corresponde a
resultados de ensayos
Intralaboratorio para
evaluar el desempeño
de los analistas
correspondiente al
ensayo:
Índice Plástico de
Suelos – NTP 339.129
Evaluar si existen
diferencias
significativas entre
analistas?
118
Gráficos de Control
Es una técnica del monitoreo del proceso, que
proporciona información útil para mejorar, estimar
los parámetros del proceso o método analítico
3020100
0.07
0.06
0.05
Observation Number
Indiv
idual V
alu
e
I Chart for Shaft_OD
X=0.05978
3.0SL=0.06745
-3.0SL=0.05211
TIPOS DE
GRAFICOS DE
CONTROL
• Gráficos de Shewhart
• Gráficos de Recorrido
• Gráficos de Diferencias
• Gráficos de CUSUM
Parámetro
medido
Limite de actuación inferior
Limite de aviso inferior
Valor medio muestra de control
Limite de aviso superior
Limite de actuación superior
nsx /3
nsx /2
x
nsx /2
nsx /3
n° de muestra de control
PASOS PARA UNA GRAFICA DE
CONTROL POR VARIABLES
Definir la característica de Calidad
Escoger el subgrupo racional
Reunir los datos
Calcular los limites de control y la línea central
Revisar los limites de control y la línea central
Lograr el objetivo
GRÁFICA X-Bar & R
Gráfica X-Bar
4LCS D R
3LCI D R
LC R
2LCI X A R
2LCS X A R
LC X
Gráfica R
Tamaño muestra ( n) 2 3 4 5 6 10
Eficiencia relativa 1.000 0.992 0.975 0.955 0.930 0.850
CARTAS DE CONTROL
Las cartas de control son la herramienta más poderosa
para analizar la variación en la mayoría de los procesos.
Las cartas de control enfocan la atención hacia las causas
especiales de variación cuando estas aparecen y reflejan la
magnitud de la variación debida a las causas comunes.
Las causas comunes o aleatorias se deben a la variación
natural del proceso.
Se dice que un proceso está bajo Control Estadístico
cuando presenta causas comunes únicamente. Cuando
ocurre esto tenemos un proceso estable y predecible.
Cuando existen causas especiales el proceso está fuera
de Control Estadístico; las gráficas de control detectan la
existencia de estas causas en el momento en que se dan, lo
cual permite que podamos tomar acciones al momento.
CONSTANTES PARA LAS GRÁFICAS DE CONTROL
# de A A2 A3 A6 B3 B4 B5 B6 c4 d2 d3 d4 D1 D2 D3 D4 D5 D6 E2
observaciones Gráfico X Gráfico S
Gráfic
o R
2 2,121 1,880 2,659 0 3,267 0 2,606 0,7979 1,128 0,853 0,954 0 3,686 0 3,267 0 3,865 2,660
3 1,732 1,023 1,954 1,187 0 2,568 0 2,279 0,8862 1,693 0,888 1,588 0 4,358 0 2,574 0 2,745 1,772
4 1,500 0,729 1,628 0 2,266 0 2,088 0,9213 2,059 0,880 1,978 0 4,698 0 2,282 0 2,375 1,457
5 1,342 0,577 1,427 0,691 0 2,089 0 1,964 0,9400 2,326 0,864 2,257 0 4,918 0 2,114 0 2,179 1,290
6 1,225 0,483 1,287 0,030 1,970 0,029 1,874 0,9515 2,534 0,848 2,472 0 5,078 0 2,004 0 2,055 1,184
7 1,134 0,419 1,182 0,509 0,118 1,882 0,113 1,806 0,9594 2,794 0,833 2,645 0,204 5,204 0,076 1,924 0,078 1,967 1,109
8 1,061 0,373 1,099 0,185 1,815 0,179 1,751 0,9650 2,847 0,820 2,791 0,388 5,306 0,136 1,864 0,139 1,901 1,054
9 1,000 0,337 1,032 0,412 0,239 1,761 0,232 1,707 0,9693 2,970 0,808 2,915 0,547 5,393 0,184 1,816 0,187 1,850 1,010
10 0,949 0,308 0,975 0,284 1,716 0,276 1,669 0,9727 3,078 0,797 3,024 0,687 5,469 0,223 1,777 0,227 1,809 0,975
11 0,905 0,285 0,927 0,350 0,321 1,679 0,313 1,637 0,9754 3,173 0,787 3,121 0,811 5,535 0,256 1,744
12 0,866 0,266 0,886 0,354 1,646 0,346 1,610 0,9776 3,258 0,778 3,207 0,922 5,594 0,283 1,717
13 0,832 0,249 0,850 0,382 1,618 0,374 1,585 0,9794 3,336 0,770 3,285 1,025 5,647 0,307 1,693
14 0,802 0,235 0,817 0,406 1,594 0,399 1,563 0,9810 3,407 0,762 3,356 1,118 5,696 0,328 1,672
15 0,775 0,223 0,789 0,428 1,572 0,421 1,544 0,9823 3,472 0,755 3,422 1,203 5,741 0,347 1,653
16 0,750 0,212 0,763 0,448 1,552 0,440 1,526 0,9835 3,532 0,749 3,482 1,282 5,782 0,263 1,637
17 0,728 0,203 0,739 0.l446 1,534 0,458 1,511 0,9845 3,588 0,743 3,538 1,356 5,820 0,378 1,622
18 0,707 0,194 0,718 0,482 1,518 0,475 1,496 0,9854 3,640 0,738 3,591 1,424 5,856 0,391 1,608
19 0,688 0,187 0,698 0,497 1,503 0,490 1,483 0,9862 3,689 0,733 3,640 1,487 5,891 0,403 1,597
20 0,671 0,180 0,680 0,510 1,490 0,504 1,470 0,9869 3,735 0,729 3,686 1,549 5,921 0,415 1,585
21 0,655 0,173 0,663 0,523 1,477 0,516 1,459 0,9876 3,778 0,724 3,730 1,605 5,951 0,425 1,575
22 0,640 0,167 0,647 0,543 1,466 0,528 1,448 0,9882 3,819 0,720 3,771 1,659 5,979 0,434 1,566
23 0,626 0,162 0,633 0,545 1,455 0,539 1,438 0,9887 3,858 0,716 3,811 1,710 6,006 0,443 1,557
24 0,612 0,157 0,619 0,555 1,445 0,549 1,429 0,9892 3,895 0,712 3,847 1,759 6,031 0,451 1,548
25 0,600 0,153 0,606 0,565 1,435 0,559 1,420 0,9896 3,931 0,709 3,883 1,806 6,056 0,459 1,541
Gráficas de control con Excel(Veracidad)
XLCS
XLCI
XLC
GRAFICO DE
CONTROL X
barra R
n (dato muestra): Sulfatos 3 162,104
LAS 160,981
A2 = 1,023 158,734
d2 = 1,693 LAI 156,487
155,364
A B C PROMEDIO X R
160,90 156,37 159,25 158,840 4,530
160,49 155,96 158,84 158,430 4,530
161,31 156,37 158,53 158,737 4,940
160,49 158,43 159,66 159,527 2,060
160,49 158,02 157,60 158,703 2,890
158,84 156,37 158,02 157,743 2,470
160,49 156,37 158,02 158,293 4,120
160,07 156,78 159,66 158,837 3,290
159,66 158,43 158,43 158,840 1,230
160,90 158,02 159,25 159,390 2,880
Promedio 158,734 3,2940
Desvest del proceso 1,946
CONSTRUCCIÓN DE TABLA
X barra LCS LAS LC LAI LCI
1 158,840 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364
2 158,430 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364
3 158,737 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364
4 159,527 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364
5 158,703 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364
6 157,743 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364
7 158,293 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364
8 158,837 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364
9 158,840 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364
10 159,390 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364
CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICA
154.0
156.0
158.0
160.0
162.0
164.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gráfico de Veracidad X barra
LCS LAS LC LAI LCI X barra
Gráficas de control con Excel (Precisión)
XLCS
XLCI
XLC
A B C PROMEDIO X R
160,90 156,37 159,25 158,840 4,530
160,49 155,96 158,84 158,430 4,530
161,31 156,37 158,53 158,737 4,940
160,49 158,43 159,66 159,527 2,060
160,49 158,02 157,60 158,703 2,890
158,84 156,37 158,02 157,743 2,470
160,49 156,37 158,02 158,293 4,120
160,07 156,78 159,66 158,837 3,290
159,66 158,43 158,43 158,840 1,230
160,90 158,02 159,25 159,390 2,880
Promedio 158,734 3,2940
Desvest del proceso 1,946
n (dato muestra) 3 8,479
LAS 6,749
d3 = 0,888 3,294
D4 = 2,574
D3 = 0
0
RLC
RLCI
XLCS
CONSTRUCCIÓN DE TABLA
R barra LCS LAS LC LCI
4,5300 8,479 6,749 3,294 0
4,5300 8,479 6,749 3,294 0
4,9400 8,479 6,749 3,294 0
2,0600 8,479 6,749 3,294 0
2,8900 8,479 6,749 3,294 0
2,4700 8,479 6,749 3,294 0
4,1200 8,479 6,749 3,294 0
3,2900 8,479 6,749 3,294 0
1,2300 8,479 6,749 3,294 0
2,8800 8,479 6,749 3,294 0