Primero Medio

Probabilidades

Objetivo de aprendizaje: Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades, aplicando el modelo Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las características del experimento aleatorio.

PROBABILIDADES Intuitivo¿Qué es más probable sacar , sin mirar, una

ficha azul o una amarilla?

María Pizarro Aragonés

Es más probable sacar una ficha azul.

“ sacar una ficha” se llama

experimento aleatorio” ( azar) porque cada vez que saco una ficha no puedo saber de antemano el resultado puede amarilla o azul.

Un experimento aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto de

condiciones iniciales , no se puede

predecir el resultado (Ej: Lanzamiento de un dado).

Este tipo de fenómeno es opuesto al

fenómeno determinista , en que se puede predecir exactamente el resultado del mismo. Por ejemplo, un experimento en física.

En la teoría de probabilidades el

espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el

conjunto de todos los

resultados posibles de un experimento aleatorio.Ejemplo :

Tirar una moneda , el resultado puede ser cara o sello. { c , s}

Espacio Muestral :

E = { c , s } Tirar un dado

E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Espacio muestral al tirar dos monedas :

{ (c , c) , ( c , s) , (s , c) , ( s, s) }

¿ Cuántos elementos tiene este Espacio Muestral?

4

Un evento o suceso es

cualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a los sucesos que contengan un único elemento

sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso al tirar dos monedas "sacar cara en el primer lanzamiento" estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

SUCESO : Al tirar dos monedas, sacar dos sellos:

{ (s , s) }

¿Cuántos elementos tiene ?

1

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

(5,1)

(6,1)

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

(5,2)

(6,2)

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

(5,3)

(6,3)

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

(5,4)

(6,4)

(1,5)

(2,5)

(3,5)

(4,5)

(5,5)

(6,5)

(1,6)

(2,6)

(3,6)

(4,6)

(5,6)

(6,6)

ESPACIO MUESTRAL AL TIRAR DOS DADOS

tiene 36 elementos.

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

(5,1)

(6,1)

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

(5,2)

(6,2)

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

(5,3)

(6,3)

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

(5,4)

(6,4)

(1,5)

(2,5)

(3,5)

(4,5)

(5,5)

(6,5)

(1,6)

(2,6)

(3,6)

(4,6)

(5,6)

(6,6)

suceso : que las caras sumen 5 { (4,1), (3,2) , (2,3) (1,4) } tiene 4 elementos

EXPERIMENTO ALEATORIO

ESPACIO MUESTRAL

SUCESO

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables

El cuociente entre la cantidad de casos favorables que tiene un evento o susceso A y el espacio muestral ( número de casos posibles ) es la probabilidad a priori. Probabilidad P de un Suceso o evento A :

P( A) = Número de casos favorables Número de casos posibles  

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

(5,1)

(6,1)

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

(5,2)

(6,2)

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

(5,3)

(6,3)

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

(5,4)

(6,4)

(1,5)

(2,5)

(3,5)

(4,5)

(5,5)

(6,5)

(1,6)

(2,6)

(3,6)

(4,6)

(5,6)

(6,6)

Calcular la probabilidad de que al lanzar dos dados el primer número sea 5.

N° casos favorables

= 6N° casos posibles 36

P = 6 = 1 36 6

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

(5,1)

(6,1)

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

(5,2)

(6,2)

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

(5,3)

(6,3)

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

(5,4)

(6,4)

(1,5)

(2,5)

(3,5)

(4,5)

(5,5)

(6,5)

(1,6)

(2,6)

(3,6)

(4,6)

(5,6)

(6,6)

Calcular la probabilidad de que al lanzar dos dados La suma sea mayor que 7.

Casos posibles:

15

P = 15 = 5 36 12

La probabilidad es un número (valor) que varía entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0. Si el evento es cierto o SEGURO y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1.

SUCESO SEGURO

“ sacar una bola verde”

SUCESO IMPOSIBLE

“ sacar una bola naranja”

Calcular la probabilidad de al sacar una ficha esta sea

a) Verde 1 3

b) Amarilla 2 3

PROBABILIDAD DE SACAR UNA FICHA VERDE

¿ Cuál es la probabilidad de sacar una ficha verde de una caja que contiene 5 fichas rojas, 16 azules y 9 verdes ? Total de fichas 5 + 16 + 9 = 30

P(v) = 9 = 3 30 10

Claudia participa en una rifa de 150 números. Si se venden todos los números y Claudia tiene una probabilidad de 1/15 deganar, ¿cuántos números compró?A. 15B. 10C. 1D. 135

Simce

10, ya que 10/150 = 1/15

Simce

Agregaríao sacaría

agregaría 3 negras o sacaría 3 blancas Porque para que la probabilidad

sea ½ el números de fichas blancas debe ser igual al números de fichas negras.

Total de alumnos en el curso : 12 + 9 + 6 + 18 =

= 45 alumnos. Hombres que comen pasteles 6

P = 6 = 2

45 15 D

Un curso se reúne en una convivencia, sus preferencias en comida se muestran en la tabla adjunta. Si se elige una persona al azar del curso , ¿ cuál es la probabilidad de que ésta sea hombre y prefiera comer pasteles?