Principio de ArqumedesEl principio de Arqumedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.La explicacin del principio de Arqumedes consta de dos partes como se indica en la figuras:1. El estudio de las fuerzas sobre una porcin de fluido en equilibrio con el resto del fluido.2. La sustitucin de dicha porcin de fluido por un cuerpo slido de la misma forma y dimensiones.

Porcin de fluido en equilibrio con el resto del fluido.Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porcin de fluido en equilibrio con el resto de fluido. La fuerza que ejerce lapresindel fluido sobre la superficie de separacin es igual apdS, dondepsolamente depende de la profundidad ydSes un elemento de superficie.Puesto que la porcin defluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas debidas a la presin se debe anular con el peso de dicha porcin de fluido. A esta resultante la denominamos empuje y su punto de aplicacin es el centro de masa de la porcin de fluido, denominado centro de empuje.De este modo, para una porcin de fluido en equilibrio con el resto, se cumpleEmpuje=peso=fgVEl peso de la porcin de fluido es igual al producto de la densidad del fluidof por la aceleracin de la gravedadgy por el volumen de dicha porcinV.Se sustituye la porcin de fluido por un cuerpo slido de la misma forma y dimensiones.Si sustituimos la porcin de fluido por un cuerpo slido de la misma forma y dimensiones. Las fuerzas debidas a la presin no cambian, por tanto, su resultante que hemos denominado empuje es la misma y acta en el mismo punto, denominado centro de empuje.Lo que cambia es el peso del cuerpo slido y su punto de aplicacin que es el centro de masa, que puede o no coincidir con el centro de empuje.Por tanto, sobre el cuerpo actan dos fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo, que no tienen en principio el mismo valor ni estn aplicadas en el mismo punto.En los casos ms simples, supondremos que el slido y el fluido son homogneos y por tanto, coinciden el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.

Ejemplo:Supongamos un cuerpo sumergido de densidadrodeado por un fluido de densidadf. El rea de la base del cuerpo esAy su alturah.

La presin debida al fluido sobre la base superior esp1=fgx, y la presin debida al fluido en la base inferior esp2=fg(x+h). La presin sobre la superficie lateral es variable y depende de la altura, est comprendida entrep1yp2.Las fuerzas debidas a la presin del fluido sobre la superficie lateral se anulan. Las otras fuerzas sobre el cuerpo son las siguientes: Peso del cuerpo,mg Fuerza debida a la presin sobre la base superior,p1A Fuerza debida a la presin sobre la base inferior,p2AEn el equilibrio tendremos quemg+p1A= p2Amg+fgxA=fg(x+h)Ao bien,mg=fhAgComo la presin en la cara inferior del cuerpop2es mayor que la presin en la cara superiorp1, la diferencia esfgh.El resultado es una fuerza hacia arribafghAsobre el cuerpo debida al fluido que le rodea.Como vemos, la fuerza de empuje tiene su origen en la diferencia de presin entre la parte superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido.Con esta explicacin surge un problema interesante y debatido. Supongamos que un cuerpo de base plana (cilndrico o en forma de paraleppedo) cuya densidad es mayor que la del fluido, descansa en el fondo del recipiente.Si no hay fluido entre el cuerpo y el fondo del recipiente desaparece la fuerza de empuje?, tal como se muestra en la figura

Si se llena un recipiente con agua y se coloca un cuerpo en el fondo, el cuerpo quedara en reposo sujeto por su propio pesomgy la fuerzap1Aque ejerce la columna de fluido situada por encima del cuerpo, incluso si la densidad del cuerpo fuese menor que la del fluido. La experiencia demuestra que el cuerpo flota y llega a la superficie.El principio de Arqumedes sigue siendo aplicable en todos los casos y se enuncia en muchos textos de Fsica del siguiente modo:Cuando un cuerpo est parcialmente o totalmente sumergido en el fluido que le rodea, una fuerza de empuje acta sobre el cuerpo. Dicha fuerza tiene direccin hacia arriba y su magnitud es igual al peso del fluido que ha sido desalojado por el cuerpo.

Energa potencial mnima.En este apartado, se estudia el principio de Arqumedes como un ejemplo, de cmo la Naturaleza busca minimizar la energa.

Supongamos un cuerpo en forma de paraleppedo de alturah, seccinAy de densidads. El fluido est contenido en un recipiente de seccinS hasta una alturab. La densidad del fluido esf>s.Se libera el cuerpo, oscila hacia arriba y hacia abajo, hasta que alcanza el equilibrio flotando sobre el lquido sumergido una longitudx. El lquido del recipiente asciende hasta una alturad. Como la cantidad de lquido no ha variadoSb=Sd-Ax

Hay que calcularx, de modo que la energa potencial del sistema formado por el cuerpo y el fluido sea mnima.Tomamos el fondo del recipiente como nivel de referencia de la energa potencial.El centro de masa del cuerpo se encuentra a una alturad-x+h/2. Su energa potencial esEs=(sAh)g(d-x+h/2)

Para calcular elcentro de masasdel fluido, consideramos el fluido como una figura slida de seccinSy alturada la que le falta una porcin de seccinAy alturax.

El centro de masas de la figura completa, de volumenSdesd/2 El centro de masas del hueco, de volumenAx,est a una altura (d-x/2)

La energa potencial del fluido esEf=f(Sb)gyfLa energa potencial total esEp=Es+Ef

El valor de la constante aditiva cte, depende de la eleccin del nivel de referencia de la energa potencial.En la figura, se representa la energa potencialEp(x) para un cuerpo de alturah=1.0, densidads=0.4, parcialmente sumergido en un lquido de densidadf=1.0.

La funcin presenta un mnimo, que se calcula derivando la energa potencial con respecto dexe igualando a cero

En la posicin de equilibrio, el cuerpo se encuentra sumergido

Energa potencial de un cuerpo que se mueve en el seno de un fluidoCuando un globo de helio asciende en el aire actan sobre el globo las siguientes fuerzas: El peso del globoFg=mgj. El empujeFe=fVgj, siendof la densidad del fluido (aire). La fuerza de rozamientoFrdebida a la resistencia del aire

Dada lafuerza conservativapodemos determinar la frmula de la energa potencial asociada, integrando

La fuerza conservativa pesoFg=mgjest asociada con la energa potencialEg=mgy. Por la misma razn, la fuerza conservativa empujeFe=Vgjest asociada a la energa potencialEe=-fVgy.Dada la energa potencial podemos obtener la fuerza conservativa, derivando

La energa potencial asociada con las dos fuerzas conservativas esEp=(mg-fVg)yA medida que el globo asciende en el aire con velocidad constante experimenta una fuerza de rozamientoFrdebida a la resistencia del aire. La resultante de las fuerzas que actan sobre el globo debe ser cero.fVg- mg-Fr=0ComofVg> mga medida que el globo asciende su energa potencialEpdisminuye.Empleando elbalance de energaobtenemos la misma conclusin

El trabajo de las fuerzas no conservativasFncmodifica la energa total (cintica ms potencial) de la partcula. Como el trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo y la energa cinticaEkno cambia (velocidad constante), concluimos que la energa potencial finalEpBes menor que la energa potencia inicialEpA.En la pgina titulada "movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido ideal", estudiaremos la dinmica del cuerpo y aplicaremos el principio de conservacin de la energa.Energa potencial de un cuerpo parcialmente sumergidoEn el apartado anterior, estudiamos laenerga potencial de un cuerpo totalmente sumergidoen un fluido (un globo de helio en la atmsfera). Ahora vamos a suponer un bloque cilndrico que se sita sobre la superficie de un fluido (por ejemplo agua).Pueden ocurrir dos casos: Que el bloque se sumerja parcialmente si la densidad del cuerpo slido es menor que la densidad del fluido,s