Unidad 1. Introducción a la probabilidad Presentación de la unidad 1.1. Fundamentos o 1.1.1. Importancia de la probabilidad o Actividad 1. ¿Por qué aprender probabilidad? o 1.1.2. Experimento aleatorio o Actividad integradora 1 o 1.1.3. Eventos simples y compuestos o Actividad integradora 2 o 1.1.4. Espacio muestral o Actividad integradora 3 o Actividad 2. Construye conceptos a través de ejemplos o 1.1.5. Técnicas de conteo o Actividad integradora 4 o Actividad 3. Construye conceptos a través de ejemplos o Actividad 4. Espacio muestral de un experimento 1.2. Enfoques para el cálculo de probabilidades o 1.2.1. Enfoque clásico o 1.2.2. Enfoque de frecuencia relativa o 1.2.3. Enfoque subjetivo o Actividad integradora 5 1.3. Reglas básicas o 1.3.1. Regla general para suma de eventos o 1.3.2. Regla para suma de eventos excluyentes o Actividad integradora 6 o Actividad 5. Probabilidades de uno o más eventos Evidencia de aprendizaje. Reflexión sobre el respeto a las reglas de tránsito Cierre de la unidad Para saber más... Fuentes de consulta
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Unidad 1. Introducción a la probabilidad Presentación de la unidad 1.1. Fundamentoso 1.1.1. Importancia de la probabilidado Actividad 1. ¿Por qué aprender probabilidad?o 1.1.2. Experimento aleatorioo Actividad integradora 1o 1.1.3. Eventos simples y compuestoso Actividad integradora 2o 1.1.4. Espacio muestralo Actividad integradora 3o Actividad 2. Construye conceptos a través de ejemploso 1.1.5. Técnicas de conteoo Actividad integradora 4o Actividad 3. Construye conceptos a través de ejemploso Actividad 4. Espacio muestral de un experimento
1.2. Enfoques para el cálculo de probabilidadeso 1.2.1. Enfoque clásicoo 1.2.2. Enfoque de frecuencia relativao 1.2.3. Enfoque subjetivoo Actividad integradora 5
1.3. Reglas básicaso 1.3.1. Regla general para suma de eventoso 1.3.2. Regla para suma de eventos excluyenteso Actividad integradora 6o Actividad 5. Probabilidades de uno o más eventos
Evidencia de aprendizaje. Reflexión sobre el respeto a las reglas de tránsito Cierre de la unidad Para saber más... Fuentes de consulta
Presentación de la unidad
Uno de los objetivos del estudio de la ciencia, es comprender los fenómenos que ocurren a su alrededor y poder predecir los efectos que de ellos se derivan.
De lo anterior, nace la importancia del estudio de la probabilidad, para lo cual, es necesario que aprendas a hacer los análisis cualitativo y cuantitativo de situaciones que se te presentan, pero para su interpretación, es necesario emplear estrategias que surgen de la probabilidad.
La presente unidad ofrece elementos teóricos básicos sobre experimentos aleatorios, eventos, técnicas de conteo, probabilidad de conteo, nociones de la probabilidad clásica y frecuencial y las reglas básicas para calcular probabilidades, incluidos en las lecturas complementarias y en los ejercicios, pero el hilo conductor son las actividades que, como estrategias de enseñanza, permiten el logro de los aprendizajes a través de la práctica.
Propósitos de la unidad.
Al finalizar la unidad:
Identificarás los resultados posibles de un experimento aleatorio utilizando la técnica básica de conteo.
Obtendrás la probabilidad de un evento simple y de dos o más eventos.
Competencia específica
Identificar los principios básicos de la probabilidad para obtener los resultados de un experimento aleatorio por medio de las técnicas de conteo y las reglas básicas.
1.1. Fundamentos
La matemática sirve para modelar situaciones que se presentan en la vida cotidiana o en otras áreas de la ciencia, pero al tratar de modelar los fenómenos de la naturaleza o sociales, se ha encontrado con que hay situaciones que obedecen a un modelo determinista y otros que obedecen a un modelo aleatorio, por ejemplo, es difícil representar el fenómeno de que una persona de bajos recursos y que pertenece a una nación con problemas sociales tenga un accidente o no en el próximo año.
La probabilidad propone la forma de resolver estos conflictos que se presentan, la cual radica en calcular una medida numérica que representa la posibilidad de que
ocurra un evento de un fenómeno o experimento aleatorio, el cual a través de observaciones o la recolección de datos puede determinar los resultados donde la mayor parte de ellos son inciertos y dependen del azar.
Los resultados de un experimento forman un conjunto llamado espacio muestral que no es más que la colección de todos los resultados posibles de un experimento.
Además, se hace uso de propiedades y técnicas que permiten contar el número de veces que pueden ocurrir todos los sucesos que se desean observar, para ello, se utilizará el principio fundamental de conteo
Por lo anterior, en este tema, se exponen los conceptos básicos y los fundamentos del estudio de la probabilidad, éstos, son necesarios para la comprensión y la aplicación del cálculo de probabilidades, las funciones de distribuciones y modelos probabilísticos que se presentarán en los siguientes capítulos.
1.1.1. Importancia de la probabilidad
Sin duda alguna, todos se han enfrentado a la incertidumbre. Tanto en la naturaleza como en la moderna sociedad, infinidad de fenómenos presentan diversos resultados y son impredecibles.
Por ejemplo, si se tienen fenómenos ambientales como terremotos, tornados, huracanes, nevadas, heladas, inundaciones, etc., éstos son parte de nuestra vida cotidiana, aunque nadie puede determinar cuándo van a ocurrir, lo que sí podemos hacer, tomando en cuenta los datos históricos, es estimar qué tan posible es que sucedan.
En nuestra sociedad la probabilidad es usada en la medicina, la biología, la agricultura, la economía, la demografía, la meteorología, la política, etc.
En sus inicios la probabilidad jugó un papel muy importante en el estudio de los juegos de azar y apuestas. También la probabilidad tiene un uso importante en la medición de riesgos, como es el caso de las compañías de seguros de auto, vida, marítimos, entre otros.
Por ejemplo, para saber si un automovilista sufrirá un accidente, una compañía de seguros determinará y evaluará la posibilidad de que suceda, determinará la pérdida económica para poder implementar una prima de seguro que sea
suficiente en caso de que suceda, además considerará tener un riesgo capital mínimo, para que sea rentable y se pueda generar un negocio.
Actividad 1. ¿Por qué aprender probabilidad?
¡Participa en el foro de la unidad! Lo único que debes realizar es lo siguiente:
1. Después de revisar el subtema anterior, reflexiona sobre la importancia de estudiar la probabilidad. Puedes hacer una búsqueda en Internet para complementar tus ideas.
2. Posteriormente, analiza tus hallazgos y participa en el foro respondiendo la pregunta:
¿Por qué debemos aprender probabilidad?
3. Define tu postura y replica al menos a uno de tus compañeros(as). Todas las opiniones son válidas, siempre y cuando tengan argumento.
4. Contesta de forma respetuosa las retroalimentaciones que te hagan los demás.
Consulta la Rúbrica de participación general del foro en la sección Material de apoyo.
1.1.2. Experimento aleatorio
El experimento o fenómeno aleatorio es una prueba que puede dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible, antes de realizar el experimento, determinar con certeza cuál de estos resultados va a ser observado.
El experimento o fenómeno aleatorio es una prueba que puede dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible, antes de realizar el experimento, determinar con certeza cuál de estos resultados va a ser observado.
El diagrama de árbol es empleado en problemas de conteo y probabilidad, representa pictóricamente todas las posibilidades. Parte de un punto o asterisco
localizado en el lado izquierdo del diagrama, por cada posible primer elemento emana un segmento de línea recta hacia la derecha (a mayúscula y de mayúscula), ésta línea se conoce como rama de primera generación, siguiendo la misma secuencia con las ramas de segunda y tercera generación que son las que se indican en la ilustración, cada línea concluye con a mayúscula y de mayúscula.
Para conocer algunos ejemplos de experimentos aleatorios, da clic en el siguiente enlace:
Los eventos los denotaremos con letras mayúsculas como A, B, C, D, E,… que denotan conjuntos.
Por ejemplo:
Un salón de fiestas ofrece a sus clientes tres tipos de menú, (Básico (1), Gala (2) y Ejecutivo (3)). Además pueden elegir entre el “4T” (Ensalada, Sopa, Plato Fuerte y Postre) o el “3T” (Ensalada, Sopa y Plato Fuerte).
Se representa el evento aleatorio: “Los clientes prefieren el menú básico”
A = {(1, 4T), (1,3T)}
Como puedes notarlo, se trata de un evento compuesto.
El cliente prefiere el Básico de 3T B = {(1, 3T)}
El cliente prefiere el Ejecutivo de 4T Flecha C = {(3, 4T)}
Actividad integradora 2
1.1.4. Espacio muestral
Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio.
El espacio muestral se denota con la letra S (de space en inglés), cabe mencionar que también se puede representar por la letra E o por la letra griega omega (Ω) y que la elección del símbolo a utilizar depende del autor.
Actividad 2. Construye conceptos a través de ejemplos
Construye junto con tus compañeros, un wiki de conceptos básicos de la probabilidad a través de ejemplos que observen a su alrededor.
Realiza lo siguiente:
1. Tu Facilitador(a) organizará equipos de 4 integrantes y les asignará a cada equipo algunos de estos conceptos: experimento aleatorio, suceso, experimento determinista, evento simple, evento compuesto y espacio muestral.
2. Observa a tu alrededor e identifica algún caso real que pueda ejemplificar los conceptos que le hayan tocado a tu equipo.
3. Ponte de acuerdo con tu equipo y selecciona los ejemplos a exponer en el wiki.
4. Por último, revisa cada una de las aportaciones de los otros equipos y si lo deseas, puedes agregar o modificar el contenido, siempre y cuando sea prudente y no se altere la idea principal.
1.1.5. Técnicas de conteo
Las técnicas de conteo pertenecen a una rama de las matemáticas llamada análisis combinatorio yson expresiones matemáticas que facilitan el enumerar los resultados de un experimento aleatorio, sobre todo cuando es difícil contar o representar con diagramas de árbol.
Para conocer la probabilidad de que suceda un evento, en donde se presenta un gran número de resultados posibles y difíciles de contar, es casi imposible sin utilizar estas técnicas de conteo, ya que mediante ellas, se obtiene el número total de posibles resultados, suficiente para que se pueda encontrar la probabilidad de que suceda un evento.
Por lo tanto, en este subtema se estudian las permutaciones y las combinaciones, que se consideran base en el cálculo de probabilidades.
Una permutación es un arreglo ordenado (el orden es importante) de m elementos distintos seleccionados de un conjunto: X = {x1, x2,...,xn}, el cual tiene n elementos, en donde m≤ n.
Por ejemplo:
En el Senado de la República se desea elegir una comisión de dos senadores para la “Educación Superior”, para tal fin se registraron 3 senadores: Buendía (B), García (G) y Zoreda (Z). La comisión está integrada por un Presidente y un Secretario.
¿De cuántas formas puede integrarse la comisión?
La respuesta es seis formas: a saber: BG, BZ, GB, GZ, ZB y ZG. Observa que BG no es igual a GB ya que en el primero Buendía preside y García es secretario y en el segundo García es presidente y Buendía secretario. Por lo cual importa el orden.
Ejemplo 1. Considera el conjunto con las letras M = {m, o, r, a}.
¿Cuántas palabras distintas pueden formarse con las cuatro letras?
Dado que el orden es importante la m ocupa el primer lugar, la o el segundo, la r el tercero y la a el cuarto. Si cambiamos las letras de lugar cambiará el sentido de la palabra, por ejemplo roma, ramo, rmao, armo, amor.
¿Cuántas palabras puedes formar?
La respuesta es: 24.
Vamos a representar las 24 permutaciones:
Para el primer lugar tenemos cuatro posibilidades, al elegir una letra quedan tres posibilidades para el segundo lugar, para el tercero dos posibilidades y una sola para el cuarto lugar:
Ejemplo 2. Considera el mismo conjunto con las letras M = {m, o, r, a}.
¿Cuántas palabras distintas pueden formarse ahora con dos letras?
Usando el mismo razonamiento para el ejercicio anterior tendríamos 4 x 3 = 12.
Para el primer lugar tenemos cuatro posibilidades, al elegir una letra quedan tres posibilidades para el segundo lugar. Puedes observar en la tabla anterior los 12 resultados, en la primera y segunda columna.
Expresión para el cálculo de permutaciones
Representamos por nPm el número de arreglos ordenados de m elementos distintos seleccionados de un conjunto X el cual tiene n elementos.
nPm = n (n – 1) (n-2) … (n-m+1)
En el ejemplo 1, se observan cuatro elementos distintos en M, es decir, n = 4 y deseamos formar palabras de 4 elementos, por lo que m = 4 entonces el número de permutaciones se calculará de la siguiente forma:4P4 = 4 (4 – 1) (4-2)… (4-4+1)4P4 = 4 x (3) (2) (1) = 24
Nota en el diagrama de árbol del ejemplo que para el primer lugar podemos asignar las cuatro letras, pero para el segundo lugar sólo podemos asignar tres letras debido a que ya hay una en el primer lugar y no se permite repetir, de igual forma para el tercer lugar solo podemos asignar dos y para el cuarto una.
Notación factorial
Se define el factorial por la expresión n! y representa el siguiente producto:
n!=n(n-1)(n-2)….(1)
Ene factorial es igual a, ene multiplicado por la diferencia de, ene y uno, multiplicado por la diferencia de, ene y dos, hasta multiplicar por uno.
Ejemplo 3. Consideremos que se tiene cuatro placas informativas diferentes, para cuatro macetas disponibles:
¿De cuántas formas diferentes se puede colocar las placas en las macetas?
La respuesta es 24. Para este ejemplo, se tiene que n=4 placas y m=4 macetas, sustituyendo se tiene
, donde el factorial de (0)!=1Por tanto
De lo anterior observe que cuando n=m podemos aplicar directamente la formula nPn= n!, y utilizando la notación factorial tenemos el resultado inmediato.
4P4=4!=4*3*2*1=24
El número de arreglos ordenados de cuatro elementos distintos seleccionados de un conjunto equis mayúscula que contiene cuatro elementos es igual a, cuatro factorial, igual a, el producto de, cuatro factorial y, tres y, dos y, uno, igual a, veinticuatro.
Ejemplo 4. Considera el mismo conjunto con las letras del ejemplo 2, M = {m, o, r, a}.
¿Cuántas palabras distintas pueden formarse ahora con dos letras?
Utilizando nuevamente la fórmula 1.1.5 – 1, y dado que n=4 y m=2 tenemos que:
Ejemplo 5. Supóngase que hay diez candidatos para cuatro puestos: de presidente, vicepresidente, secretario y director de relaciones públicas.
¿De cuántas formas pueden llenarse estos cuatro cargos?
En este problema, n=10 y r=4. Obviamente hay 10 formas de ocupar el primer puesto. Una vez que esto se ha hecho, quedan nueve candidatos; por lo tanto, hay nueve formas de ocupar el segundo puesto. De manera semejante, hay ocho formas de ocupar el tercer puesto y siete formas de ocupar el último puesto. Entonces, el número total de formas o permutaciones para ocupar las cuatro posiciones teniendo diez candidatos es:
10 X 9 X 8 X 7 = 5040
Lo cual es el producto de cuatro factores.
La misma respuesta se obtiene si se utiliza la ecuación alterna:
El número de arreglos ordenados de cuatro elementos distintos seleccionados de un conjunto equis mayúscula que contiene diez elementos es igual a, el cociente de, diez factorial, y , la diferencia factorial de, diez y, cuatro, igual a, el cociente de, el producto de, diez y, nueve y, ocho y, siete y, seis factorial, y, seis factorial, igual a, el producto de, diez y, nueve y, ocho y, siete, igual a, cinco mil cuarenta.
Por otro lado, se tiene la combinación, que es un subconjunto de m elementos distintos seleccionados de un conjunto X con n elementos.
El número de distintas combinaciones o subconjuntos de m elementos que se puede formar de un conjunto con n elementos se denotara por Cm, n.
Dado un conjunto con n elementos distintos. X = {x1, x2,...xn} del cual interesa seleccionar m elementos distintos (es decir no se repiten) en donde m≤n. Nota que no es importante el orden.
Ejemplo 1. En un proceso de producción se requiere seleccionar dos artículos de cuatro, en los que se supone que hay dos defectuosos.
¿De cuántas formas podemos seleccionar dos artículos?
Denotemos los dos artículos buenos por las letras B1, B2 y los dos artículos defectuosos por las letras D1,D2. Así que el Conjunto X está representado por cuatro elementos X = {D1, D2, B1, B2 } los posibles subconjuntos están dados por:
Observa que no importa el orden, es decir, el conjunto {D1, D2} es el mismo que {D2, D1}.
Ejemplo 2. Supóngase que diez personas son candidatas para la mesa directiva de cierto distrito escolar. Debe de elegirse tres componentes para la mesa directiva.
¿De cuantas formas pueden seleccionarse tres personas entre 10 candidatos?
Supóngase que las personas están denotadas por {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}, y para este ejemplo el orden en el cual se selecciona estas tres personas para la mesa directiva no se considera, por lo que se tiene las siguientes combinaciones:
El resultado final será 120 formas de combinar los elementos de los 10 candidatos.
Relación entre permutaciones y combinaciones. En el ejemplo 1 el número de subconjuntos de dos elementos seleccionados de un conjunto con cuatro elementos fue:
Para calcular el número de permutaciones substituimos en la fórmula n=4 y m=4
Obtenemos el valor de 4P2 = 12 permutaciones como observamos anteriormente.
Si deseamos calcular el número de combinaciones tendremos que quitar las que se repiten dividiendo este resultado entre dos (en el caso general entre m!).
Observa:
Por lo que el valor de 4C2 = 6 combinaciones como se mostró antes.
Ejemplo 3. Nuevamente considera el conjunto del ejemplo 2, utiliza la ecuación anterior para encontrar cuantos subconjuntos podemos formar.
Sea n=5 y m=2 por lo que
Ejemplo 4. Considera el mismo ejercicio del ejemplo 3.
¿De cuantas formas pueden seleccionarse tres personas para la mesa directiva de entre 10 candidatos?
Se tiene que n= 10 y m= 3 por lo que:
Observa que utilizando la ecuación anterior, será más fácil obtener el número de combinaciones.
Actividad integradora 4
1. Supóngase que se tiene un equipo de 6 alumnos en la materia de probabilidad, ¿de cuántas formas diferentes podemos seleccionar a dos alumnos de tal forma que cada uno tenga el rol de jefe y el otro de líder? 30
2. ¿De cuántas maneras se puede sentar a 2 niñas y 4 niños en una fila de seis asientos?
PENDIENTE PASAR ACTIVIDAD
Actividad 3. Construye conceptos a través de ejemplos
1. Entra al primer Wiki de la Actividad 2 y revisa los ejemplos de aplicaciones propuestas por tus compañeros(as).
2. Investiga en alguna fuente de información, dos casos reales (en las áreas de economía, ingeniería y las ciencias naturales) diferentes a los presentados por los demás, donde se pueda y se deba aplicar la probabilidad para prevenir un evento.
3. Agrega tus ejemplos al final del contenido actual del Wiki.
Actividad 4. Espacio muestral de un experimento
1. Revisa el archivo Experimentos y realiza lo que se te pide.2. Guarda y envía tu documento como: PRO_U1_A4_XXYZ.
*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.
Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a)
1.2. Enfoques para el cálculo de probabilidades
Hay tres enfoques para el cálculo o estimación de la probabilidad de que un evento suceda:
Enfoque clásicoEnfoque de frecuencia relativa
Enfoque subjetivo
Seleccionar uno de los tres dependerá de la naturaleza del problema.
1.2.1. Enfoque clásico
El enfoque clásico o "a priori" fue estudiado por Laplace, matemático y astrónomo francés que a los 24 años se le llamó "el Newton de Francia" por algunos de sus descubrimientos, motivado por estimar probabilidades en los juegos de azar desarrolló para la teoría de probabilidades el enfoque clásico que se emplea cuando los espacios muestrales son finitos y tienen resultados igualmente probables.
El enfoque clásico supone condiciones ideales en un experimento aleatorio y por lo tanto su uso es limitado, aunque brinda bases sólidas para el cálculo de probabilidades. Se trata de unenfoque teórico y no requiere de llevar a cabo el experimento para estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio.
En el enfoque clásico no hay necesidad de realizar el experimento aleatorio, se obtiene por razonamiento lógico el número de resultados posibles de ese experimento y análogamente el número de resultados en que es posible se obtenga el evento A.
La probabilidad de que ocurra el evento A es igual al cociente de los casos favorables al evento A y los casos posibles.
A es un evento de un espacio muestral S.
P(A) representa la probabilidad de que ocurra el evento.
Ejemplo: Supón que se tiene una caja cerrada con 16 lápices, 3 rojos, 3 verdes, 4 amarillos y 6 rosas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz de color amarillo?
Sea el suceso A: Sacar un lápiz de color amarillo.
Los casos favorables el evento A: 4
Casos posibles: 16.
P (A )= 43+3+4+6
= 416
=0.25=25%
Por lo tanto, la probabilidad de sacar un lápiz de color amarillo es del 25%.
1.2.2. Enfoque de frecuencia relativa
El enfoque de la frecuencia relativa se basa en la experimentación, se le conoce también como enfoque “a posteriori” y supera las limitaciones del enfoque clásico que se limita a situaciones en las que hay un número finito de resultados igualmente probables.
Se trata de un enfoque empírico y no teórico. Requiere realizar el experimento para estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio. Se realiza n veces un experimento aleatorio y se observa la frecuencia de ocurrencia del evento A, se define la probabilidad de A por:
La probabilidad de que ocurra un evento A de un espacio muestral, P(A), es igual a, el cociente de, el número de ocurrencias del evento A (ene de A) y, el número total de posibles resultados ene.
A es un evento de un espacio muestral.
P(A) representa la probabilidad de que ocurra el evento A.
Ejemplo: Se lanza 1000 veces una moneda y da como resultado 529 caras, entonces la frecuencia relativa de que caiga una cara es:
Si en otros 1000 lanzamientos resultan otras 493 caras, ¿cuál sería la frecuencia relativa de los 2000 lanzamientos totales?
En un total de 2000 lanzamientos más 493 caras (ya había 529), la frecuencia relativa es de:
De acuerdo con la definición, si se continuara de esa manera, se acercaría cada vez más a un número que representa la posibilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento de la moneda, es decir a sólo 0.5.
1.2.2. Enfoque subjetivo
El enfoque subjetivo o intuitivo, en algunas situaciones se presenta en las cuales no es posible realizar experimentos repetitivos y los resultados tampoco son igualmente probables.
A diferencia de los dos enfoques anteriores, la probabilidad subjetiva tiene que ver con el criterio personal para medir la posibilidad de ocurrencia de un evento aleatorio, que se hace con base en ciertos criterios o experiencias sobre casos semejantes. No se basa ni en aspectos teóricos ni tampoco en la experimentación. Aunque no es objeto de estudio de la probabilidad, es muy útil en experimentos que no es posible repetir y en el que los posibles resultados NO son equiprobables. Por ejemplo: probabilidad de que hoy llueva; probabilidad de que una persona se case este año.
Equiprobables: Decimos que dos resultados posibles de un mismo experimento son equiprobables, si la posibilidad de ocurrencia de ambos es la misma P(A)=P(E)
Actividad integradora 5
1.3. Reglas básicas
Contar es suficiente en muchos de los casos en donde se desea conocer la probabilidad de que suceda un evento, pero conforme el problema es más complejo, resultan necesarias varias reglas para auxiliar en la determinación de probabilidades.
Por ejemplo, en ocasiones se tendrán que analizar situaciones donde suceden simultáneamente eventos, por lo que se necesita expresar y encontrar la probabilidad de que suceda un evento a raíz de la presencia de varios eventos simultáneos. Por lo tanto, en este tema se analizan algunas reglas básicas acerca de la unión de dos o más eventos y la intersección de eventos que también serán base para el cálculo de
probabilidades.
1.3.1. Regla general para suma de eventos
Supón que P(A) y P(B) representan las probabilidades para los dos eventos A y B, entonces la probabilidad P(AUB) de que ocurran A o B, se obtiene por:
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩ B)
A ∩ B es el evento de que sucedan simultáneamente los eventos A y B, es decir, son eventos que no son mutuamente excluyentes.
Para ver algunos ejemplos, da clic en el botón:
Ejemplo 1
Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como el práctico.
Se sabe que:
La probabilidad de que un alumno apruebe la parte teórica es 0.68.
La de que apruebe la parte práctica es 0.72.
Y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0.82.
Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe el examen para obtener licencia?
Desarrollo:
Sea A: aprobar la parte teórica, (P(A) = 0.68)
Sea B: aprobar la parte práctica, (P (B) = 0.72)
Sea A∩B: aprobar la parte teórica y la parte práctica, P (A∩B) = (?)
Sea AUB: aprobar la parte teórica o la parte práctica P(AUB) = 0.82, es decir, en esta última, basta con que haya probado alguna de las dos partes.
Usando P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B), se despeja P(A∩B) ya que es el dato que se desea conocer, por lo tanto tenemos:
P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(AUB)
Sustituyendo tenemos que:
P(A∩B) = 0.68 + 0.72 - 0.82 = 0.58 = 58%
Por lo tanto, la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar pase el examen para obtener su licencia es de 58%.
1.3.2. Regla para suma de eventos excluyentes
Dos eventos o más son mutuamente excluyentes, si no pueden suceder al mismo tiempo. Entonces, como los eventos los representamos con conjuntos, A, B son excluyentes si y sólo si A∩B=Ø.
En la fórmula: si A y B son conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes, o sea que no pueden ocurrir en forma simultánea, la probabilidad de P(A∩B) = 0
Entonces la probabilidad P(AUB) de que ocurran A o B se obtiene por:
P(AUB) = P(A) + P(B)
A continuación se muestra algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Sea S el evento de que asistas a una universidad estatal y P el evento de que acudas a una privada. Considera que no asistirías a ambas de manera simultánea.
Si la probabilidad de que asistas a una universidad estatal es de 0.4 y a una privada de 0.25, ¿cuál es la probabilidad de que vayas ya sea a una universidad estatal o a una universidad privada?
Se tiene que los eventos son excluyentes, es decir, sólo asistirás a la estatal o a la privada, pero no a ambas, apliquemos la siguiente fórmula:
P(SUP) = P(S) + P(P)= 0.4 + 0.25 = 0.65
La probabilidad de que asista a la estatal o privada es 0.65.
Ejemplo 2: Se tiene una urna con 50 papeles de colores, los cuales son 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un papel rojo o un papel azul?
Sean los siguientes eventos:
A: sale un papel rojo
B: sale un papel azul
AUB sale un papel rojo o azul.
Entonces se tiene que:
P(A)= 15/50 = 0.3
P (B) = 10/50 = 0.2
Utilizando la fórmula P(AUB) = P(A) + P(B) se tiene que:
P(A+B) = P(A) + P(B) =0.3 + 0.2 = 0.5= 5%
Ejemplo 3: Sea el evento A de sacar diez de calificación en la materia de probabilidad, B el evento de sacar nueve y C el evento de sacar ocho.
¿Cuál es la probabilidad de sacar un diez o un nueve o un ocho en la materia?
Note que los eventos son mutuamente excluyente, es decir que sólo puede suceder uno de ellos, por lo que se tiene:
A = {Extraer un as de una baraja}B = {Extraer una espada}¿Cuál es la probabilidad de extraer un as o una espada o ambas? 16/52 Eventos no excluyentes.
3) Supón que la probabilidad de que asistas a la universidad es de 50%, de que trabajes tiempo completo es de 60%, y la probabilidad de que asistas a la universidad y trabajes tiempo completo es del 30%. ¿Cuál es la probabilidad de
que asistas a la universidad o trabajes tiempo completo? 0.8 Eventos no excluyentes.
5) Supón que tienes que elegir entre tres talleres extracurriculares: “guitarra”, “manualidades” y “danza”, y la probabilidad de que vayas a uno de estos es de 0.35, 0.30 y 0.20, respectivamente. Supón que solo puedes asistir a uno de estos. ¿Cuál es la probabilidad de que asistas a algunos de estos talleres? 0.85 Eventos excluyentes.
2) En una sala de cines presentan las películas Amanecer, Barbie, Cómplices, Duende, Esperanza y Familia en espera, llegan 2 amigos y deciden escoger una de ellas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos algunos de ellos escoja la película “Familia en espera”? 11/36 Eventos excluyentes
4) La probabilidad de que un hombre esté vivo dentro de 25 años es de 3/5 y la probabilidad de que su esposa lo esté es de 2/3. Calcula la probabilidad de que al término de ese plazo al menos uno esté vivo. 13/15 Revisar
Actividad 5. Probabilidades de uno o más eventos
En esta actividad deberás encontrar las probabilidades de que suceda un evento o más, en un experimento aleatorio.
1. Encuentra las probabilidades del caso que se te presenta en el archivo.2. Resuelve el ejercicio en el mismo documento de Word y guárdalo como:
PRO_U1_A5_XXYZ.
*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.
Envía tu actividad y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a).
Evidencia de aprendizaje. Reflexión sobre el respeto a las reglas de tránsito
Considerando como caso de estudio las reglas de tránsito reflexiona cómo afecta el incumplimiento de éstas.
Lee con cuidado lo siguiente:
1. Cuando circulas en automóvil o microbús por las calles de la ciudad, te has preguntado:
¿Qué pasaría si en un crucero conglomerado no funcionan los semáforos?
Cuando un peatón atraviesa la calle y un automovilista le chifla, ¿por qué lo hace?
¿Cuántas personas se ponen el cinturón de seguridad?
¿Cuántos accidentes automovilísticos suceden en la ciudad?
¿Cuántas muertes o heridos hay en los accidentes?
2. Analiza lo aprendido en esta unidad y reflexiona si podrías contestar cada una de estas preguntas, a través de los principios y conceptos básicos de la probabilidad. ¿Podrías ayudar al sistema de tránsito de tu localidad a disminuir estos problemas?
3. Con base en las anotaciones del punto anterior, elabora un reporte en Word de no más de dos cuartillas, tu trabajo debe incluir:
Breve introducción al caso.
Las respuestas dadas a las preguntas anteriores, escritas de manera narrativa.
Conclusión sobre la importancia de aplicar la probabilidad en estos eventos.
4. Revisa la Escala de evaluación para que consideras la forma en que serás evaluado(a).
5. Guarda y envía tu documento como: PRO_EA_U1_XXYZ.
* Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.
6. Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a) y atiende sus comentarios para mejorar tu trabajo.
Además de enviar tu trabajo de la Evidencia de aprendizaje, es importante que ingreses al foro Preguntas de Autorreflexión y consultes las preguntas que tu Facilitador(a) presente, a partir de ellas, debes elaborar tu Autorreflexión en un archivo de texto llamado PRO_U1_ATR_XXYZ. Envía tu archivo mediante la herramienta Autorreflexiones.
Cierre de la unidad
A lo largo de la unidad revisaste distintos conceptos y reglas básicas de la probabilidad y reflexionaste sobre su importancia.
Estudiaste los fenómenos aleatorios, eventos, espacio muestral, los tipos de enfoques para el cálculo de probabilidades y las técnicas de conteo. Además, conociste algunas reglas básicas sobre la unión de dos o más eventos y la intersección de éstos.
Todos estos elementos básicos te serán de gran ayuda en el estudio de las siguientes unidades. ¡Adelante!
Para saber más…
Te recomendamos leer:
Salinero Ruíz, Pablo. Historial de la Teoría de la Probabilidad. Universidad Autónoma de Madrid, consultado el 1 de abril de 2011 en:
Anderson, D. R. y Sweeney, D. J. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage Learning Latin America.
Devore, J. L. (2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. México: Thomson.Evans, M. J. (2005). Probabilidad y estadística. Reverte.
Gámiz Casarrubias, B. E. (2003). Probabilidad y Estadísticas con prácticas en Excel. México: Just in time Press.
Hayslett, H.T. (1987). Estadística Simplificada. México. Grupo editorial Sayrols.
Johnson, R. y Kuby, P. (2006). Estadística elemental. México: Thomson Paraninfo, S.A.Lincoln, L. C. (2000). Introducción a la Estadística. México: Compañía Editorial Continental. Murray R. S. y Stephens, L. J. (2002). Estadística. México: McGraw-HillRuiz, E. y Ruiz, E. (2007). Probabilidad y Estadística. México: McGraw-Hill Interamericana.Triola, M. F. (2006). Estadística elemental. México: Addison Wesley Longman. Walpole, R., Myers, R. H. y Myers, S. (2007). Probabilidad y estadística para ingenieros. México: Pearson Education.
Fuentes electrónicas consultadas el 20 de abril del 2011 desde:
