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Cecilia Larraín R. PROBABILIDAD PARA INGENIERÍA Página 1
PROBABILIDAD
Significado de cálculo de probabilidades: "En el fondo, la teoría de probabilidades es
sólo sentido común expresado con números".
"Es notable que una ciencia que comenzó con las consideraciones de juegos de azar había
de llegar a ser el objeto más importante del conocimiento humano. Las cuestiones más
importantes de la vida constituyen en su mayor parte, en realidad, solamente problemas
de probabilidad". Pierre Simon de Laplace ( 1749 - 1827 )
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/09-01-b-LaplaceObra.htm
El objetivo fundamental de la Estadística es utilizar los datos de una muestra para inferir o para obtener conclusiones sobre las características de la variable en una población de referencia a la que por muchas razones no se puede acceder de manera completa. Generalmente se dispone de información parcial sobre la variable de interés por lo que se debe elegir al azar algunos elementos de la población.
Ejemplo: Para conocer la intención de voto en un país se debe seleccionar aleatoriamente algunos componentes (ciudadanos) de ese universo (población) y se registra su voto. Esto constituye un experimento aleatorio o fenómenos aleatorio.
Experimentos aleatorios (ε) Fenómenos aleatorios
Los aspectos más importante que distinguen a los experimentos aleatorios son:
- Todos los posibles resultados del experimento son conocidos con anterioridad a su realización.
- No se puede predecir el resultado del experimento. - El experimento puede repetirse en condiciones idénticas, pero no siempre
proporciona los mismos resultados (depende del azar).
El conjunto o colección de posibles resultados del experimento aleatorio se denomina espacio muestral (o universo) y se denota por Ω
Ejemplos de experimentos aleatorios Espacio Muestral (Ω)
1. Se lanza una moneda dos veces, se observan los resultados.
Ω1 = {(C,C), (C,S), (S,C), (S,S)} C ≡ cara S ≡ sello
2. Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior
Ω2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
3. Después de fabricado, un tubo de rayos catódicos se somete a una prueba de duración, y se deja en funcionamiento hasta que falla. Se registra el tiempo t (en horas) de funcionamiento hasta el momento de la falla.
Ω3 = {t/ t > 0}
4. La resistencia a rotura de tubos de aluminio. Ω4 = {r / (Rmin , Rmax)} El objetivo del Cálculo de Probabilidades es el estudio de métodos de análisis del
comportamiento de fenómenos aleatorios
Cecilia Larraín R. PROBABILIDAD PARA INGENIERÍA Página 2
A los resultados de un experimento y los subconjuntos de posibles resultados de un experimento aleatorio se les llama sucesos o eventos y se les denota con letras mayúsculas. Suceso elemental: Todo resultado que puede ocurrir al realizar una sola vez el experimento aleatorio
Ejercicios I
Ejercicio I-1
Una caja contiene 6 ampolletas incandescentes de las cuales dos están defectuosas, describa Ω de los siguientes ε: i) Las ampolletas son probadas hasta encontrar una defectuosa
Ω =
ii) Se extraen al azar (sin reposición) una muestra de dos ampolletas de la caja.
Ω =
Ejercicio I-2
El experimento aleatorio “ε: lanzar dos monedas al aire”. Espacio muestral Ω = {(C,C), (C,S), (S,C), (S,S)}; C ≡ cara S ≡ sello
Se definen los sucesos: A = { salga una cara} = {(C,S), (S,C) }
B = {salga al menos una cara}= {(C,C), (C,S), (S,C) } Determine: A U B =
A ∩ B =
AC =
B ∩ AC =
Ejercicio I-3
Sean tres sucesos cualesquiera A, B, C de un experimento aleatorio. Exprese los siguientes sucesos en función de A, B, C:
a) Solamente ocurre A ≡ b) Ocurre A y B pero no C ≡
c) Ocurren los tres sucesos ≡ d) Ocurre por lo menos uno ≡ (A U B U C) e) Por lo menos dos ocurren ≡ (A ∩ B) U (A ∩ C) U (B ∩ C)
f) Ocurre sólo un suceso ≡ (A ∩ BC ∩ CC) U (AC ∩ B ∩ CC) U (AC ∩ BC ∩ C)
g) Ocurren solamente dos de los sucesos ≡
h) Ninguno de los sucesos ocurren ≡
Cecilia Larraín R. PROBABILIDAD PARA INGENIERÍA Página 3
Ejercicio I-4
Se extraen en forma sucesiva (sin reposición) tres fichas de un caja que contiene 4 azules y 6 blancas Definición de sucesos
A = la ficha i extraída es azul B = la ficha i extraída es blanca ; i = 1,2,3 a. Describa el espacio muestral
Ω =
b. Se define el suceso T = al menos una ficha de la muestra sea azul
T = {
c. Se define el suceso M = a lo más dos fichas de la muestra sean azules
M = {
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DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
Aunque el concepto de probabilidad parece simple, ya que se encuentra con
bastante frecuencia en la comunicación entre personas.
Ejemplo: Existe un 80% de posibilidades de que llueva
Enfoques de definición
Subjetiva o personalista
Enfoques = Clásica o apriori Objetiva Frecuencia relativa o posteriori
Probabilidad subjetiva o personalista
(Savage 1950). La probabilidad mide la confianza que el individuo tiene
sobre la certeza de una proposición determinada.
Ejemplo: Basado en su experiencia, un salubrista puede afirmar que este verano tendremos una epidemia de cólera con una probabilidad de 0,01%.
Este enfoque de las probabilidades dio lugar al enfoque del análisis de
datos estadísticos denominado “Estadística Bayesiana”
Probabilidad clásica de Laplace o a priori (Ω finito con N elemento)
Si un experimento aleatorio ε puede dar origen a uno del los N resultados
diferentes igualmente probables y si n de estos resultados tienen un
atributo A, la probabilidad de A es
nP(A) =
N
Ejemplo: Lanzamiento de dos veces una moneda Ω = {(C,C), (C,S), (S,C), (S,S)}
P(obtener una cara) = 2
4 = 0,5
Las probabilidades se calculan mediante un razonamiento abstracto (no es necesario realizar el ε para determinar la probabilidad de un suceso)
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Frecuencia relativa o aposteriori o empírica (VON MISES)
Probabilidad de un suceso es aproximadamente la frecuencia relativa de
veces que ocurrirá el suceso al realizar un experimento repetidas veces
Ejemplo:
Investigador
Número de lanzamientos
de una moneda
Número de caras
Frecuencia relativa
nro de caras
nro de lanzamientos de la moneda
Buffon 4040 2048 0,5069
K. Pearson 12000 6019 0,5016
K. Pearson 24000 12012 0,5005
Cuando se utiliza la definición frecuencia relativa, es importante tomar en cuenta los siguientes aspectos:
i. La probabilidad obtenida de esta manera es únicamente una estimación del valor real.
ii. Cuanto mayor sea el número de ensayos, tanto mejor será la estimación de la probabilidad; es decir, a mayor número de ensayos mejor será la estimación.
iii. La probabilidad es propia de sólo un conjunto de condiciones idénticas a aquéllas en las que se obtuvieron los datos, o sea, la validez de emplear esta definición depende de que las condiciones en que se realizó el experimento sean repetidas idénticamente
Generalizando este proceso, la probabilidad de un suceso A, P(A), es
AnP(A)= lim
nn
donde nA es el número de ocurrencia de A en n ensayos del experimento
Definición axiomática de probabilidad (1933-Kolmogorov)
Se llama probabilidad a cualquier función P, que asigna
a cada suceso A un valor numérico P(A), que satisfaga
las siguientes reglas (axiomas):
i) 0 < P(A) < 1
ii) P(Ω) = 1
iii) Si A y B son sucesos que se excluyen mutuamente
P(A B) = P(A) + P(B); ≡ unión. (o)
Obs.: el ax. iii se puede ampliar a tres o más sucesos mutuamentes excluyentes
Andrei Nikolaevich
Kolmogorov
(1903-1987)
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Consecuencia de los axiomas de probabilidad (teoremas):
Sea A, B, C sucesos cualesquiera del espacio muestral Ω
1) Probabilidad de un suceso imposible P( ) = 0
2) Probabilidad de que no ocurra el suceso A: P(AC) = 1 - P(A)
3) Probabilidad de que ocurra el suceso A o ocurra el suceso B
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
DIAGRAMA DE VENN
4) Probabilidad de que ocurra el suceso A y no ocurra el suceso B:
P(A BC) = P(A) – P(A B)
5) P(A U B)C = P(AC BC)
Otras propiedades:
6. De (4) se deduce: P(A ∩ B ∩ CC) = P(A ∩ B) - P(A ∩ B ∩ C)
7. De de (3), (4) y (5): P(A ∩ BC ∩ CC) = P(A) - P(A∩B) - P(A ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Demuestre que: 8. P( AU B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Ω
≡ unión ≡ o≡ al menos uno de los
dos sucesos ocurren
≡ intersección ≡ y ≡ ambos sucesos ocurren
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Ejemplo: El departamento de calidad de una fábrica de elementos de
sujeción ha evaluado que cierto tipo de anclajes metálicos producidos
pueden ser defectuosos debido a las siguientes causas. Defectos de rosca,
defectos de dimensión. Se ha calculado que el 6% de los anclajes que
producen tienen defectos en las roscas, mientras que el 9% tiene defectos
en las dimensiones. Sin embargo, el 90% de los anclajes no presentan
defectos.
De la producción, se elige un anclaje al azar
¿Cuál es la probabilidad de que un anclaje tenga
a. sólo defecto de dimensión? b. sólo defecto de rosca? c. ambos defectos? d. por lo menos uno de los defectos?
Solución:
Siempre debe definir los sucesos y anotar probabilísticamente la información que entrega el enunciado del problema. R = el anclaje tiene defecto en la rosca
D = el anclaje tiene defecto en la dimensión
P(R) = 0,06 P(D) = 0,09 P(RC ∩ DC) = 0,90 Se pide
a. P(D ∩ RC) =
b. P(R ∩ DC) =
c. P(R ∩ D) =
d. P(R D) =
La información del problema también se puede representar en tabla
Tiene defecto de dimensión
D
No tiene defecto de dimensión
DC
Total
Tiene defecto de rosca
R P(R D)
P(R DC) P(R)
0,06
No tiene defecto de rosca
RC P(RC D) P(R C DC)
0,90 P(RC)
Total P(D) 0,09
P(DC) 1,00
e. Si el anclaje elegido tiene defecto de dimensión, ¿cuál es la
probabilidad de que también tenga defecto de rosca?
Puede construir el diagrama de VENN
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Ejemplo: El nivel educacional de las 1000 personas que trabajan en una
Industria se distribuye de la siguiente forma:
Enseñanza Media (EM): 80 Técnica (T): 450
Universitaria (U) : 430 Post Grado: 40
La quinta parte de la persona con nivel educacional EM son mujeres, así
como la mitad de los profesionales universitarios, la tercera parte de los
técnicos y el 60% de los profesionales con post grado:
Género
N. Educa
Mujer
M
Hombre
H
Total
EM 80
T
U 215 430
G
Total 1000
Complete la tabla de contingencia
Se elige a una persona de la industria al azar, a) determine la probabilidad
de que sea
Hombre
Titulo Técnico y mujer.
Titulo técnico y con Post grado
b. Si la persona elegida es un hombre, ¿cuál es la probabilidad de
que tenga post-grado?
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PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD CCOONNDDIICCIIOONNAALL
Se define la probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B como:
P(A B)P(A / ) =
)B
P(B; P(B) >0
Y la probabilidad de B condicionada a A, o probabilidad de B sabiendo que
ocurre A se define como
P(B A)P(B / A) =
P(A)
Ejemplo: La probabilidad de que un sistema de comunicación tenga alta fidelidad es 0,81 y la probabilidad de que tenga alta fidelidad y alta selectividad es 0,18. ¿Cuál es la probabilidad de que un sistema de comunicación con alta fidelidad tenga también alta selectividad?
Solución: Sean los sucesos F = un sistema de comunicación tenga alta fidelidad S = Un sistema de comunicación tenga alta selectividad
P(F) = 0,81 P(F S) = 0,18
( 0,222)P(F S) 0,18 2
P(S / F) = = = P(F) 0,81 9
Ejercicio: En una población, el 52% son hombres, de los cuales el 80% son aficionados al fútbol, mientras que sólo el 20% de las mujeres, son aficionadas al fútbol.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea aficionada al fútbol?
b. Se elige a una persona de la población al azar y resulta aficionada al fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
Se definen los sucesos
M = la persona es mujer H = la persona es hombre (MC)
F = la persona es aficionada al fútbol
Las probabilidades que entrega el enunciado son:
P(M) = P( / ) = P(H) = 0,52 P( / ) =
Se deduce que P (A B) = P(B)P(A / B) = P(A)P(B / A)
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Completa la tabla:
La persona es
Aficionada al football
F No aficionada al football
FC
Total
Mujer M
P( M F)
P( M FC)
P(M)
Hombre H
P( H F)
P( H FC)
P(H)
Total P(F)
P(FC)
1,00
Respuestas: a) P( ) = b) P( / ) =
La probabilidad condicional P(∙ / ∙) satisface las propiedades correspondientes a probabilidades:
i) 0 < P(A/B) < 1 ii) P(Ω/B) = 1
iii) Si A1 y A2 son sucesos que se excluyen mutuamente ( A1∩ A2) =
P((A1 A2)/B) = P(A1/B) + P(A2/B)
A la expresión P (A B) = P(A)P(B / A) se le conoce como regla de
multiplicación
Regla de multiplicación
Sea A1, A2, …,Ak sucesos cualesquiera de Ω
P ( A1∩ A2 ∩…∩ Ak ) = P(A1)∙P(A2/A1)∙P(A3/ A1∩A2)∙ … ∙P(Ak / k -1
i
i=1
A )
Ejemplo: Una caja contiene siete fichas negras y cinco rojas. Si se extraen sucesivamente (sin reposición) tres fichas de la caja:
Ni = la ficha i es negra Ri = la ficha i es roja; i = 1, 2, 3 Determine la probabilidad de extraer:
tres fichas rojas es
P(R1∩ R2∩ R3) = P(R1)P(R2 /R1)P(R3 /R1∩ R3) = 5 4 3
12 11 10
Al menos una ficha negra Resp.:
Dos fichas negras Resp.:
Sólo la segunda ficha sea negra Resp.:
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Independencia Estadística
Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia (o no
ocurrencia) de uno no afecta la probabilidad a la ocurrencia del otro.
Consecuencia de la independencia:
P(A / B) = P(A) P(B / A) = P(B) P (A B) = P(A)P(B)
Sea A1, A2, …,Ak ; k sucesos independientes
P ( A1∩ A2 ∩…∩ Ak ) = P(A1)∙P(A2)∙P(A3)∙ … ∙P(Ak)
= k
i
i=1
P(A )
Ejemplo: Una caja contiene 10 tubos de ensayos de los cuales 6 están
buenos (B) y 4 están defectuosos (D).
Se extraen al azar dos tubos de la caja:
Sea Di = el tubo i de ensayo que se extrae es defectuoso. i = 1, 2.
a) Si el experimento se realiza con reposición, determine la probabilidad de que las dos tubos extraídos sean defectuosos:
ind
P( D 1 D2) = P(D1)P(D2)
= 4 4
·10 10
= 0,16
b) Si el experimento se realiza sin reposición, determine la probabilidad de que los dos tubos extraídos sean defectuosos:
P( D 1 D2) = P(D1)P(D2 / D1)
= 4 3
·10 9
= 0,13
Ejemplo: Dos tubos defectuosos (D) se mezclan con tres buenos (B). Los
tubos se prueban uno por uno (sin reposición), hasta encontrar los dos
defectuosos
a. Describa el espacio muestral Ω
b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el último tubo defectuoso en la tercera
prueba?
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Ejercicios II
Ejercicio II-1
Sean A, B dos sucesos tales que P[A] = 0.30, P[B] = 0.40. Hallar la P[A U B] y la
P[“ocurra sólo uno de los dos sucesos”] en los siguientes casos: a. Si A y B son excluyentes. b. Si A y B son independientes. c. Si A B
Resp.: a) 0,70 0,70 b) 0,58 0,46 c) 0,40 0,10
Ejercicio II-2
Sean A y B sucesos con P(A) = α, P(B) = β y P(A ∩ B) = . Exprese las
probabilidades siguientes en función de α, β y .
a. P(AC U BC) = b. P(AC ∩ B) =
c. P(AC U B) = d. P(AC ∩ BC) =
Ejercicio II-3 Se sabe que P(A) = 0,2, P(B) = P(C) = 0,2 y P(A∩B) = P(A∩C) = P(B∩C) = 0,1 y P(A ∩ B ∩ C)= 0,05. Calcular la probabilidad P(A U B U C)
Res.:
Ejercicio II-4 Para evaluar a un grupo alumnos se decidió aprobar aquellos que superen al menos, una de las dos partes del examen de segunda opción; por este procedimiento aprobaron al 80%. Sabiendo que superaron el mínimo de cada una de esas partes el 60% y el 50%, respectivamente, calcule el porcentaje de los que superaron simultáneamente ambas partes. Resp.: 0,30
Ejercicio II-5 La probabilidad de resolver correctamente alguna de las dos versiones de cierta tarea es 0,45, mientras que la de resolver la primera es 0,40 y la de resolver la segunda es 0,30. ¿Cuál es la probabilidad de resolver correctamente ambas versiones? ¿La resolución de esas dos versiones es independiente? Resp.: 0,25, no
Ejercicio II-6 Un sistema electrónico consta de diez componentes que funcionan independientemente teniendo cada uno probabilidad de fallo 0,05. a. Calcule la fiabilidad del sistema (probabilidad de que el sistema funcione
correctamente, es decir, que todos los componentes funcionen) Resp.: 0,598
b. Si para aumentar la fiabilidad del sistema, se conectan en paralelo dos sistemas iguales al descrito en el enunciado, calcule la fiabilidad del nuevo sistema. Resp.: 0,838
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Ejercicio II-7
En una ciudad se estudia la cantidad de usuarios de internet según el sexo. Supongamos los siguientes datos en miles de individuos:
Hombre Mujer Total
Usa Internet 40 35 75
No usa Internet 185 240 425
Total 225 275 500
Se selecciona un sujeto al azar y sea los siguientes sucesos I: usar internet H: Ser hombre
a. Determine e interprete la probabilidad de: P(I)= P(H)= P(I ∩ H) = P(I ∩ HC)
b. Si mediante un procedimiento aleatorio se seleccionó a un sujeto varón, ¿Cuál es la probabilidad de que use internet?
PROBABILIDAD TOTAL
Supongamos que sobre el espacio muestral Ω tenemos una partición A1 , A2, …, Ak
k = 5
Esto significa que cualquier resultado de Ω necesariamente debe estar en
uno y solo uno de los sucesos Ai
Ejemplo: La elaboración de un determinado tipo de artículo puede
realizarse con tres máquinas (A1 A2 y A3) la producción de artículos diarios
de las tres máquinas están en una razón 2:2:1.
Consideremos un suceso B dentro del espacio muestral, que indica la
proporción de artículos sin defectos (buenos).
Ai ∩ Aj = i j ; Se conocen las probabilidades
P(Ai) , i = 1,2, …, k
P(B/Ai) , i = 1,2, …, k
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Las proporciones de artículos sin defectos fabricados por las tres
máquinas A1 A2 y A3 son 0,96 , 0,95 y 0,98 respectivamente.
La probabilidad total permite responder a la pregunta: Si se
selecciona al azar un artículo de la producción de cierto día ¿Cuál es la
probabilidad de que el artículo sea bueno (P(B))?
Solución: Sea Ai = el artículo seleccionado proviene de la máquina i. i = 1,2,3
B = el artículo seleccionado es bueno (no defectuoso)
P(A1)= P(B/A1) =
P(A2)= P(B/A2) =
P(A3)= P(B/A3) =
Se puede presentar Ω y las probabilidades de los sucesos en la tabla siguiente:
Máquina B (bueno)
BC Total
A1 P (A1 B)
0,384
P (A1 BC)
0,016 P(A1)= 0,4
A2 P (A2 B)
0,380
P (A2 BC)
0,02 P(A2) = 0,4
A3 P (A3 B)
0,196
P (A3 BC)
0,004 P(A3) = 0,2
Total PP((BB))
00,,9966 P(BC) 0,04
1,000
Recuerde que: las probabilidades P(A1), P(A2) , P(A3) y P(B/A1), P(B/A2), P(B/A3)
son conocidas
y P(A1 B) = P(A1)∙P(B/A1) , … , P(A3 B) = P(A3)∙P(B/A3)
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PROBABILIDAD TOTAL
Sea 1 2 3 kA , A , A ,........, A una partición del espacio muestral Ω y B un suceso que pertenece a Ω, entonces la probabilidad total de B está dada por:
1 2 3 k
1 2 3
1 1 2 2 n n
k
i ii=1
P(B)= P (B A ) (B A ) (B A ) ......... (B A )
= P(B A )+P(B A )+P(B A )+........P(B Ak)
= P(B/A ) P(A )+P(B/A ) P(A )+.........P(B/A ) P(A )
= P(B/A ) P(A )
TTaammbbiiéénn ssee ppuueeddee uuttiilliizzaarr uunn ddiiaaggrraammaa ddee áárrbbooll ppaarraa rreessoollvveerr pprroobblleemmaass ddee
pprroobbaabbiilliiddaadd ttoottaall::
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TTEEOORREEMMAA DDEE BBAAYYEESS
Thomas BAYES
(1702 – 17/04/1761)
Bayes permite contestar, por ejemplo: Si articulo seleccionado al azar es bueno, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido elaborado por la máquina 2?
Es decir: 22
P(A B)P(A / B) = = 0,39583
P(B)
Sea 1 2 3 r kA ,A ,A ,.........A ,.....A una partición del espacio muestral Ω y B un suceso sobre Ω, P(B) > 0, entonces:
r r kr k
i i
i=1
P(A B) P(B/A ) P(A )P(A /B)= =
P(B)P(B/A ) P(A )
Ejercicio: Una fábrica de botellas cuenta con dos máquinas para la producción. En esa fábrica se producen 10.000 botellas al día. La máquina A produce 6.500 botellas diarias de las cuales el 2% son defectuosas. La máquina B produce 3.500 botellas cada día de las cuales el 1% son defectuosas De la producción de cierto día, el encargado de control de calidad selecciona una botella al azar y encuentra que está defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máquina A? Resp.: 0,788
Ejercicio: Para llenar de agua depósitos con superficie flexibles de forma automática, una máquina puede realizar el proceso a baja o alta velocidad. Cuando el proceso se realiza a baja velocidad, el 0,1% de los depósitos tienen un volumen de llenado incorrecto. Mientras que si el proceso se realiza a alta velocidad, el 1% de los depósitos presentan un volumen incorrecto. Se sabe que el 30% de los depósitos se llenan a alta velocidad. Si se inspecciona un depósito al azar y se encuentra que su volumen es
incorrecto.
¿Cuál es la probabilidad que se haya realizado a alta velocidad? Resp.: 0,8108
Se eligen al azar y en forma independiente depósitos llenados por la máquina, hasta encontrar uno que no ha sido llenado en forma correcta. ¿Cuál es la probabilidad que se hayan tenido que revisar cinco depósitos? Resp.: 0,0036
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Ejercicios III (varios)
Ejercicio III-1 El problema de Galileo. Un príncipe italiano preguntó en una ocasión al famoso físico Galileo, ¿por qué cuándo se lanzan tres dados, se obtiene con más frecuencias la suma 10 que la suma 9, aunque se puedan obtener de seis maneras distintas cada una.
Ejercicio III-2 La probabilidad de que un componente de un sistema se averíe en un periodo de tiempo dado es 0,01. Su estado (averiado, funcionando) se comprueba con un test que indica que cuando el componente funciona la probabilidad de que el test indica lo contrario es 0,05, pero si el componente está averiado el test no se equivoca. Si el test indica que el componente está averiado, ¿cuál es la probabilidad de que realmente lo esté?
Resp.: 0,16807
Ejercicio III-3 Unas piezas cilíndricas pueden ser defectuosas por tener una longitud inadecuada o tener un diámetro inadecuado, siendo ambos tipos de defectos independientes. Si el porcentaje de cilíndros con longitud inadeuada es de 5% y la de cilindros con diámetros inadecuados es de 3%. ¿qué porcentaje de cilindros son defectuosos?
Resp.: 7,85%
Ejercicio III-4 El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? Resp.: 0,4054
Ejercicio III-5 Un prefabricado de hormigón puede presentar defectos, que pueden inutilizarlo. Los defectos que puede presentar son: no cumplir con las dimensiones requeridas; no tener la resistencia adecuada o bien, otro defecto. El 7% de los prefabricados de hormigón presenta problemas en sus dimensiones, el 2% no tienen una resistencia adecuada y un 2,5% presenta otro tipo de defecto. Si los defectos ocurren en forma independiente:
a. ¿Qué porcentaje de los prefabricados de hormigón presentan alguno de estos defectos? Resp.: 11,1385%
b. Si se elige un prefabricado de hormigón para ser inspeccionado. ¿Cuál es la probabilidad que presente solo defecto de resistencia? Resp.: 0,018135
c. Se inspeccionan prefabricados de hormigón hasta encontrar uno que presente problema de dimensiones. ¿Cuál es la probabilidad que se hayan inspeccionados más de 3 prefabricados? Resp.: 0,804357
Ejercicio III-6
Demuestre que si dos sucesos A y B son independientes, también lo son los sucesos complementarios de A y B.
Cecilia Larraín R. PROBABILIDAD PARA INGENIERÍA Página 18
Ejercicio III-7
Cierta bombilla LED de neveras son producidas por tres fábricas. La fábrica 1 (F1) produce el
25% del total de bombillas, la fábrica 2 (F2) el 40% y el resto la fábrica 3 (F3). El 2% de las
bombillas fabricadas en F1 son defectuosas, mientras que el porcentaje de defectuosas en F2
y F3 es del 6% y 4% respectivamente.
Suponga que de la producción total se encoge una bombilla al azar:
a. Determine la probabilidad de que la bombilla sea defectuosa. Resp.:
b. Si se sabe que la bombilla seleccionada funciona correctamente, determine dónde es más probable que se fabricara y con qué probabilidad. Resp.:
Ejercicio III-8 El problema del caballero de la Meré. Se considera generalmente 1654 como el año del nacimiento de la teoría de probabilidades: el caballero de la Meré, filósofo y hombre de letra en la corte de Luis XIV, propuso dos problemas al célebre matemático Blaise Pascal;
a. ¿Qué es más probable, obtener al menos un seis en cuatro lanzamientos de un dado, u obtener al menos un doble seis al lanzar 24 veces dos dados.
b. Se lanza una moneda varias veces. Por cada cara obtenida, A recibe un punto, y por cada sello obtenido, se adjudica un punto a B. Gana la apuesta el primero que obtenga 5 puntos. Al cabo de 7 jugadas (lanzamientos de la moneda), A tiene 4 puntos y B tiene 3. En este momento se interrumpe el juego. ¿Cómo repartir la apuesta de la manera más equitativa?
Las propuestas de Meré dieron lugar a un intercambio de correspondencia entre Pascal y Fermat, de que nacieron los fundamentos de probabilidades.
Ejercicio III-8 La información de un fabricante de automóviles indica que, de todos los autos reparados bajo garantía ofrecida, el 57% necesita reparaciones en el motor (M), el 47% solicita reparación en el interior (I) y el 30% en la carrocería (C), el 23% necesita reparación tanto en el motor como en el interior, el 64% necesita reparación en el interior o en la carrocería y la probabilidad de que un automóvil requiera tres tipos de reparación es 0.05. Se sabe además que de 60 autos que solicitaron reparación en la carrocería, 14 necesitan reparación en el motor. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un auto reparado bajo garantía, sólo requiera
reparación en el motor? Resp : 0,32 b. ¿Cuál es la probabilidad de que un auto reparado bajo garantía, requiera
reparación solamente en el interior y en carrocería. Resp: 0,09
Ejercicio III-9 Sean 2 sucesos A y B de los que se sabe que la probabilidad de B es el doble que la de A; que la probabilidad de su unión es el doble que la de su intersección; y que la probabilidad de su intersección es de 0,1 a. Calcule la probabilidad de A Resp: 0,5 b. ¿Qué suceso es más probable que ocurra sabiendo que ya ha ocurrido el otro?
Justifique su respuesta
Cecilia Larraín R. PROBABILIDAD PARA INGENIERÍA Página 19
Ejercicio III-10 Un servidor gestiona el correo electrónico de una institución. El 10% de los mensajes que se reciben son SPAM, y se desea detectarlos y eliminarlos. Se posee un algoritmo de detección de correo SPAM que cuando es realmente SPAM lo identifica con probabilidad 0,95. Sin embargo, cuando el mensaje no es SPAM lo identifica el 3% de las veces como SPAM. Encuentre la probabilidad de que habiendo identificado un mensaje como SPAM, éste no lo sea. Resp.: 0,22131
Ejercicio III-11 Una empresa de sofware que diseña juegos para PC somete los diseños preliminares de sus productos a la evualuación previa de un grupo seleccionados de clientes. Según muestra la experiencia, el 95% de los productos que tuvieron un gran éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 60% de los de éxito moderado recibieron buenas evaluaciones y el 10% de los que tuvieron escaso éxito fueron evaluados favorablemente. Además, globalmente el 40% de los productos de las empresas ha tenido gran éxito, el 35% un éxito moderado y el 25% una baja aceptación.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un producto elegido al azar entre la producción de la fábrica obtenga una buena evaluación previa? Resp.: 0,615
b. Si un nuevo producto obtiene una buena evaluación, ¿cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito? Resp.: 0,618
Ejercicio III-12 Las fábricas A, B y C pueden proveer un repuesto necesario para reparar una máquina. Las probabilidades de que lo hagan están en una razón 5:3:2 respectivamente. La fábrica A revisa los repuestos antes de entregarlos y puede descartarse la probabilidad de que entregue uno defectuoso. La fábrica B trabaja con un 20% de defectuosos y la C además tiene repuestos de segunda calidad. De los repuestos de C, el 5% son de segunda calidad y defectuosos, el 2% es de segunda pero no es defectuoso y la probabilidad de que no sea defectuoso ni de segunda es 0,9. Si se recibe un repuesto y resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que no sea de segunda calidad? Resp.: 0,868421
Ejercicio III-13 Una empresa dispone de dos plantas de fabricación A1 y A2 que producen el 60% y 40% de la pieza respectivamente. En la A1 el 80% de las piezas funcionan bien, el 5% se desechan y el 15% restante necesitan una reparación después de la cual el 60% funcionan correctamente el resto se desecha. En la segunda planta A2 los porcentajes anteriores son 85%, 5% y 10% respectivamente y entre las piezas que deben ser reparadas únicamente el 50% funciona bien.
a. Calcule la probabilidad de que una pieza funcione bien. Resp.: 0,894 b. Sabiendo que la pieza fue desechada, ¿cuál es la probabilidad de que proceda
de A1? Resp.: 0,62264 c. Estudie si el suceso “funcionar bien una pieza” es independiente del lugar donde fue
fabricado.
Cecilia Larraín R. PROBABILIDAD PARA INGENIERÍA Página 20
Ejercicio III-14 Una caja contiene 250 chips, de los cuales 120 han sido fabricados por la compañía A, 80 por la compañía B y el resto por la compañía C. El 10% de los chips fabricados por A son defectuosos, de los fabricados por B son defectuosos el 7% y un 5% de los fabricados por C son defectuosos.
a. Se elige un chip aleatoriamente y se encuentra que es defectuosos. Calcular la probabilidad de que no haya sido fabricado por la compañía B. Resp.: 0,7214
b. Se seleccionan aleatoriamente y sin reposición una muestra de 20 chips de la caja. Determine la probabilidad de que en la muestra contenga a lo más dos chips de la compañía C. Resp.: 0,1946
Ejercicio III-15 Determine la fiabilidad del sistema representado en el dibujo, sabiendo que las probabilidades de fallo de las componentes A, B, C, D y E son 0,10, 0,20, 0,20, 0,10, y 0,05, y que estas funcionan en forma independiente. Resp.. 0,78
Ejercicio III-16 Los informes de inspección final de defectos de cierto artículo que salen de una línea de armado indican que existen tres defectos principales, Manchado (M), Rayado (R) y Astillado (A). La probabilidad de que un artículo salga manchado es 0,58; rayado 0,335; manchado y astillado 0,105; astillado y rayado 0,095. De los productos con defecto manchado, un 25% están rayados. Un 15% de los artículos sólo presentan defecto de astillado. La probabilidad de que un artículo salga con los tres defectos principales es 0,07. a. ¿Qué porcentaje de artículos salen con al menos un defecto principal? Resp. 0,92
b. Se elige al azar uno de estos artículos, ¿Cuál es la probabilidad que sólo tenga defecto de manchado?
Ejercicio III-17 Al fabricar un producto, una empresa prueba uno de entre tres tipos de procedimientos, el utilizado depende básicamente de las exigencias del mercado. El 20% de la producción se realiza con el procedimiento A, el 40% con el procedimiento B, y el resto con el procedimiento C. El 2% de la pieza fabricadas con el procedimiento A presentan defectos, mientras que este porcentaje es de 3% y del 4% para las piezas producidas por los procedimientos B y C respectivamente. De la producción total, se decide seleccionar al azar y en forma independiente piezas hasta encontrar una defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad que la cuarta pieza seleccionada sea defectuosa? Resp.: 0,02903