EJERCICIOS Y PROBLEMAS DETEORA DE LAS PROBABILIDADESTCNICAS DE CONTEO1. Si unexperimentoconsisteenlanzar undadoydespus selecci onar aleatoriamente una letra del alfabeto en ingls, cuntos puntos habr en el espacio de muestra? 2. Cuntos nmeros diferentes puedenformarsecon5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, si usamos todos ellos?3. Enunaescuela, lascali ficacionesposiblessonA, B, C, D yE. Si unalumnoestudiamatemticas, ingls, fsica, historia, educaci nfsica y arte, cul es el nmero de calificaci ones diferentes que podan aparecer en su boleta de calificaci ones?4. Un estudiante de primer ao debe tomar un curso de ciencia, unodehumanidadesyotrodematemticas. Si puede elegir entre cualquiera de seis cursos de ciencia, cuatro de humanidades, y cuatro de matemticas, en cuntas formas puede acomodar su horario? 5. Un club femenino consta de 13 miembros. De cuntas formas se pueden seleccionar tres diri gentes: presidente, vicepresidente y secretaria?6. Felipetienecuatrocorbatas, seiscamisasytresparesde pantalones. Cuntas combinaci ones diferentes puedeusar si elige una prenda de cada tipo de artculo?7. Indique el nmero de placas diferentes que pueden formarse si cada placa tiene cuatro letras segui das de dos dgitos y los nmeros y las letras no pueden repetirse (al respecto, considere 26 letras delalfabeto).8. Un cl iente puede comprar un automvil en modelo converti ble o con toldo, en uno de seis colores y con cualquieradetrespaquetesdeaccesori os. Cuntasopciones se ofrecen al comprador?9. Unproductosearma entres etapas. Enla primera hay cincolneasdearmado;enlasegunda, cuatro, yenlatercera, seis. D cuntas maneras diferentes se puede realizar un producto acabado?10. Cuntos nmeros de cinco cifras diferentes pueden formarse con los dgitos 1, 2, 3,....., 9 si:a) cada nmero debe ser impar?b) los dos primeros dgitos deben ser pares?11. Dado un conjunto de 15 puntos en un plano, cuntas lneas se requieren para uni r todos los pares de puntos posibles?12. Si enunamesahay30naranjasdecuntasmanerasse puede escoger una docena de naranjas?13. De cuantas maneras puede formarse una comisin de tres hombres y cuatro mujeres de entre un total de ocho hombres y seis mujeres?ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS1. Cul es el espacio muestral para l os siguientes experimentos aleatorios?a) Se lanzan tres monedas al aire y se multipl ica el nmero de guilas por el nmero de soles obtenidos. b) Selanzandosdadosysesumanlospuntosobtenidos en las caras superi ores.c) Unacajatienenesferasentrelascualesresferasson defectuosas(r ) (b) Demuestre que para los enteros positivos a y b,). ( ) / ( b X P q a X b a X Pa> > + >10. Un gerente de personal est entrevistando empleados otenciales conel f ndecubrir dos vacantes. Laprobabi lidad de que el entrevistado tenga las cualidades necesarias y acepte un ofrecimiento es de 0.8.a) Cul es la probabili dad de que sea necesari o entrevistar exactamente a cuatro personas?b) Cul es la probabili dad de que sea necesari o entrevistar a menos e cuatro personas?11. Demostrar Queel valor esperadoparaladistribucinde probabili dad geomtrica es pX E1) ( 12. Un comandante del ejrcito desea construir un puente enemigo. Cada vuelo de aviones que enva tiene una probabili dadde0.8deconseguir unimpactodi rectosobreel puente. Par destruirlo por completo se requieren cuatro impactos directos. Si puede preparar siete asaltos antes de que el puente pierda importancia desde el punto de vista tctico, Cul es la probabi lidad de destruir el puente?13. Demostrar queparalafunci ndedistribucindePascal, lafuncindedensidadP(k; r, p) cumplelasiguienterelacin de recursividad:( ) p r k qPr kkp r k P , ,1) , ; 1 (+ +Sise sabe que P(6; 4, ) = 5/35, calcular P(7; 4, ).14. Calcular lamediaylavarianzadeunavariablealeatoria de Pascal(binomialnegativa)DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA1. Unas especificaciones piden que un tipo de termistor soporte entre 9 y 10 mil ohma 25 C. De 10 termistores disponibles, se seleccionarn tres para usarlos. Sea X el nmero entrelostres que no se apegue alasespecificaci ones. Calcular la distribucin de probabil idad de X, en forma tabular, si:a) entre los 10 hay dos que no se apegan a las especificacionesb) entre los 10 hay cuatro que no se apegan a las especificaciones.2. Un problema importante presentan los jefes de personaly otras personas encargadas delaseleccindel os mejores de un conj unto finito de elementos, se describe mediante la selecci n siguiente. Se seleccionan 10 personas para un trabaj odeungrupode20ingenieroscondoctorado. Cul es la probabi lidad de que el grupo de los 10 ingenieros selecci onados incluya a los cinco mejores del grupo de 10?3. Suponerqueunradiorreceptorcontieneseistransistores, del os cuales dos sondefectuosos. Sequitanypruebantres transistores seleccionados al azar. Sea X el nmero de transistores defectuosos encontrados, donde X = 0, 1 o 2: Encuentre la distribuci n de probabilidad para X.4. Entre 100 artculos de un l ote hay cinco defectuosos. Calcular la probabili dad de que entre 10 artcul os selecci onados al azar no haya ms que un artcul o defectuoso.5. El seor Lpez esresponsabledelacompradecajasde vino para el restaurante Casa Blanca. De manera peridica elige una caja de prueba (12 botel las por caja) para determinar si el proceso de sellado es adecuado. Para esta prueba, selecciona al azar cuatro botel las de la caja para catar el vino. Si una caja contiene dos botellas de vino en mal estado, calcular la probabili dadde que precisamente una de ellas aparezca en la muestra delseor Lpez.6. Un l ote de 25 cinescopios para televisor a color se somete a un procedimiento de pruebas de aceptacin. El procedimiento consiste en extraer cinco tubos al azar, sin reemplazo, y probarlos. Si dos o menos tubos fal lan, l os restantes se aceptan. De otro modo, el l ote se rechaza. Supongaqueel lotecontienecuatrotubosdefectuosos, cul es la probabi lidad exacta de que el lote se acepte?7. Si siete de 14 maletas contienen artcul os de contrabando, determine la probabi lidad de que exactamente cuatroe seis maletas selecci onadas al azar enla inspeccin de pasajeros contengan artcul os de contrabando.8. Un grupo de programas de cmputo disponibles para resolverunproblemadeprogramacinlneal seclasificdel 1 al 16 (del mejor al peor). Una empresa de ingeniera selecci ona dos de esos paquetes para comprarl os, sin consultar la clasificacin. Sea Xel nmero de paquetes que adquiri lafi rmadeclasificadoscomo, 3, 4, 5o6. Indicar en forma tabular la distribuci n de probabilidades de X.9. Unabolsacontiene10focos, deloscualesochoestnen buen estado. Si se eligen al azar cinco focos:a) Cul eslafuncindeprobabi lidadparalosfocosque sirven?b) Cul eslafunci ndeprobabi lidadparael nmerode focos que no sirven?10. Deunaurnaquecontienenuevecanicasdecolor azul y tresdecol or negroseextraenochosinreemplazo. Encontrar la probabili dad de obtener precisamente x canicas de color azul?11. Unacajacontienecincocanicas, delascualestresestn daadas.Seeligendoscanicas al azarsin reemplazo.Cul es lafuncindeprobabi lidadparael nmerodecanicasdaadas en la muestra?12. Deunabarajanormal de52naipes, sesacan13al azar sin reemplazo.a) Cul eslafuncindeprobabili dadparael nmerode naipes roj os en la muestra?b) Cul eslamediaylavarianzadel nmerodenaipes rojos?13. Demostrar quepara la funci nhipergeomtrica la funci n de densidad P(k; N, M, n) cumple la siguiente relaci n de recursivi dad:) , , ; (1 1) , , ; 1 ( n M N k Pk n M Nk Mkk nn M N k P+ + + +

Si sesabequeP(2; 10, 4, 5) =0.476, calcular P(3; 10, 4,5)14. En un lote de Nelementos, se investigan n de ell os al azar. El lote es aprobado si dentro de los elegidos para el control de calidad se descubren m daados. Cul es la probabili dad que se acepte el lote si contiene Melementos daados?DISTRIBUCIN DE POISSON1. Undistribuidor vendesemil lasdeciertaclasedetulipn rojoenpaquetesdemil ysabe, por experiencia, quecasi 1% deungrannmerodesemillasnoserndelaclasedeseada. Cul es la probabili dad de que un paquete dado contenga ms de 1% de semillas de otra clase?2. Si laprobabi lidaddequeunapersonasufraunareaccin nociva debido a una inyecci n de cierto suero es de 0.001, cul eslaprobabi lidaddequeentremil personas, dosoms sufran esta reaccin?3. Suponga que en promedi o una de cada mil personas comete un error numrico al preparar su declaracin de impuestos. Si seseleccionanal azar10mil formas, encuentre la probabili dad de que seis, siete u ocho tengan error.4. Enel supuestodequeel conmutador deunaoficinade asesora recibe un promedio 0.6 llamadas por minuto, calclese las probabili dades de que:a) en un minuto cualquiera haya al menos una llamada,b) enuninterval odecuatrominutoshayaal menostres llamadas.5. El nmero de errores tipogrficos cometidos por una mecangrafa en particular tiene una distribuci n de Poisson conunamediadecuatroerroresporpgina. Si unpgi nadad tiene ms de cuatro errores, la mecangrafa tendr que repeti r la pgina entera. Cul es la probabil idadde que no repita la pgina?6. El nmero de nudos en un tipo particular de madera tiene unadistribuci ndePoissonconunamediade1.5nudos por 10piescbicosdemadera. Encuentrelaprobabil idaddeque unbloquedeestamaderade10pies cbicos tengaunnudo como mximo.7. El nmero de llamadas telefnicas que entra a una central de edificio de oficinas es de cuatro por minuto en promedio.a) Calcularlaprobabili daddequenolleguenllamadasen un determinado periodo de un minuto.b) Calcular la probabili dadde que por l omenos lleguen cuatro llamadas en un peri odo de un minuto.c) Calcular la probabili dadde que por l omenos lleguen dos llamadas en un periodo de un minuto.8.1 Lallegadadeclientesenuntorniquetedeunatiendade departamentos tiene una distribucin de Poisson con un promedio de ocho por hora. Para una hora determinada calcular la probabil idad de que:a) lleguen ocho clientes,b) no l leguen ms de tres clientes,c) lleguen por lo menos dos clientes.9. El nmero de automviles que entra a un estacionamiento es de variable aleatoria con distribuci n de Poisson con un promedio de cuatro por hora. El estacionamiento tiene lugar slo para 12 vehcul os y est vac o al principi o. 10. Tres por ciento de cierto tipo de arbustos hbridos de rosa de t no fl orecern durante la primera temporada de crecimiento. Calcular la probabili dadde que enuna muestra de 100 arbustos tomada al azar, tres arbustos no fl orezcan durante su primera temporada de crecimiento.11. Si 2.5%delosconductoresdeautomvilesquepasanpor una caseta de cobro tienen el cambi o exacto, cul es la probabili dad de que una muestra tomada al azar de 250 automvilesquepasanpor lacaseta, cincotenganel cambio exacto?12. El nmerodevuelosquelleganaunaeropuertoprivado duranteel daesunavariablealeatoriaquetienedistribuci n dePoissoncon =3. Cules sonlas probabi lidades delos siguientesnmerosdellegadasdevuelosenunahoradel da selecci onada al azar:a) cero?b) uno?c) dos?d) cuando mucho dos?13. Unacompaagrandedeseguroshadescubiertoque0.2%de lapoblaci ndeunaciudadestlesionadacomoresultadode algntipodeaccidenteparticular. Estacompaatiene15mil asegurados protegidos contra tal accidente.a) Cul eslaprobabili daddequetresomenosreclamos se entablen en relaci n con estas pl izas de seguro durante el siguiente ao?b) Cinco o ms reclamos?14. Unl ibrode texto de matemticas tiene 200pginas en lasquepuedenocurrir errorestipogrficosenlasecuaciones. Si hay cincoerrores dispersos de manera aleatoria entre las 200 hojas,a) cul es la probabi lidad de que en una muestra aleatoria de 50 pgi nas haya al menos un error?b) qu tan grave debe ser la muestra aleatoria para asegurarqueal menosdoserroresseencontrarncon probabili dad de 90%?15. Seha observadoquel os paquetes de ciertacerveza se tomandelos estantes deciertosupermercadoaraznde10 por hora durante los peri odos de mayor venta.a) Cul eslaprobabi lidaddequesesaqueal menosun paquete durante los seis primeros minutos de un periodo de mayor venta?b) Cul eslaprobabili daddequesetomedel estanteal menosunpaquetedurantecadaunodetresintervalos consecutivos no traslapados de seis minutos?16. Suponer queunodecada10mil bebsnaceciego. Si en el hospital grandedeunaciudadhubocincomil nacimientos en 1970:a) calcularlaprobabil idaddequeningunodelosnacidos en ese ao estuviera ciego al nacer?b) calcular la probabil idad de que haya nacido exactamente un beb ciego?c) calcularlaprobabil idaddequehayannacidoal menos dos ciegos?17. Unapanaderahacegalletasconpedacitosdechocolate; un lote tiene mil galletas. Se agregan tres mil pedazos de chocolate a la masa para un lote y se mezcla bien toda la masa. Si se elige al azar una gal leta de un lote,a) Cul es la probabili dad de que no contenga ningn pedacito de chocolate?b) Cul es la probabili dad de que contenga tres pedacitos?c) Cuntas galletas con un sol o pedacito de chocolate podra haber en un l ote?18. Un voceador vende peridicos en una esquina. Los peridicos que vende son eventos de un proceso de Poisson con parmetro = 50 por hora. Sialguien acaba de comprarle un peri dico:a) Cul es laprobabi lidaddequetranscurranal menos dos minutos antes de que venda otro? Si ya transcurrieron cinco minutos desde la ltima venta.b) Cul es laprobabi lidaddequetranscurranal menos dos minutos ms para su siguiente venta?19. Cierta rea del este de Mxico resulta afectada, en promedio, por seis huracanes al ao. Encuentre la probabi lidad de que en un ao determinado esta rea resulte afectada por:a) menos de cuatro huracanes,b) cualquier cantidad entre seis y ocho huracanes.20. En un restaurante preparan una ensalada que contiene en promediocincoverdurasdiferentes. Encuentrelaprobabi lidad de que la ensalada contenga ms de cinco verduras:a) en un da determinado,b) en tres de l os siguientes cuatro das,c) por primera vez elcinco de abril.21. Laprobabili daddequeunestudiantepresenteproblemas de escoliosis (desviaci n lateral sufrida por la columna vertebral) enunaescueladelalocalidadesde0.004. Delos siguientes 1875 estudiantes revisados, encuentre la probabili dad de que:a) menos de cinco presenten este problema,b) ocho, nueve o diez presenten este problema.VARIABLES ALEATORIAS CONTINAS1. Establezca si las siguiente variables aleatorias son discretas o continuas:a) El nmerodeerroresencontradosenunaauditoriade los registros financieros de una compaa.b) Tiempo que espera un cliente para que l o atienda la cajera en un supermercado.c) NmerodeautomvilesqueGeneral Motorsretirarel prximo ao.d) Cantidad real de onzas de cerveza que contiene una lata de 12 onzas.2. Quval or debetener la constantek para que f(x) sea una funcin de densidad?' x d e m s l a s p a r ax k xx f02 0) (3. Demostrar que( ) ( )2 2) ( EX c c X E X V , donde c es una constante.4. Encontrar la media de la distribucin que tiene densidad '>0 00) (xx x ex fx5. Encuentre la funcin de densidadacumulativa y calcule P(X 2).6. Sea X con la funcin de densidad representada por '< < +x d e m s l a s p a r ax x c xx f02 0) (2a) Calcular c.b) Determinar F(x).c) Calcular P(0 < X < 0.5).d) Calcular la media y la varianza de X.7. Considere la siguiente funci n de densidad de probabili dad:( )' x d e m s l a s p a r ax x kx k xx f04 2 42 0) (8. Suponga que X tiene la funcin de densidad ' x d e m s l a s p a r ax c xx f02 0) (a) Encontrarelval or de c que hace de f(x) una funci n de densidad de probabili dadb) Obtener la funcin de densidad acumulativa F(x).c) Utilizar F(x) para encontrar P(1 X 2).9. Sea una variable aleatoria con una funci n de densidad'< x dems las Para0 x 0xex fCalcular la funcin de distribucin acumulativa de la variable Y.3. La duracin (en horas) X de cierto componente electrnico es una variable aleatoria con la funci n de densidad( )'>x d e m s l a s P a r a0 x 01 0 011 0 0xex fTresdeestoscomponentestrabajanindependientemente enunapiezadeunequipo. El equi pofal lasi al menos dos de los componentes fal lan. Encuentre la probabil idad de que el equipo funcione al menos durante 200 horas sin fal lar.4. Supongaqueel tiempoenhoras, quetomareparar una bombaesunavariablealeatoriaXquetieneunadistribucin gamma conparmetros = 2 y= Cules laprobabili dad dequeenel servici osiguientetomecuandomuchounahora reparar la bomba?5. El tiempo para entregar pedi dos de di odos a cierto fabricante cumple con la distri bucin gamma con una media de 20 das y una desviaci n estndar de 10 das.Determine la probabili dad de enviar una orden dentro de los 15 das posteriores a la solicitud.6. El tiempo semanal X (en horas) en el que no funciona cierta mquina industrial tiene casi una distribuci n gamma con=3y=2. laprdida, endlares, paralaoperaci n industrialdebido a esta baja est dada por L = 30X + 2X2. calcule el valor esperado y la varianza de L.7. Considere una tasa de falla de un componente electrnico de una vez cada cinco horas. Es importante considerar el tiempo requerido para que fal len dos componentes.Si se sabe que se apl ica la distribucin gamma: a) Cul es el tiempo medio que tardan en fallar dos componentes?b) Cul es laprobabi lidaddequetranscurran12horas antes de que fallen los dos componentes?8. El kil ometraje(enmiles dekilmetros) quealcanzanl os automovil istas con cierto tipo de neumtico es una variable aleatoria con densidad de probabi lidad.( )'>x d e m s l a s P a r a0 x 02 012 0xex fCalculelasprobabili dadesdequeunodelosneumticos dure:a) A lo sumo 10 mil kil metros,b) Entre 16 mily 24 milkilmetros,c) Al menos 30 milkilmetros.9. El tiempo que transcurre antes de que atiendan a una personaenunacafeteraesunavariablealeatoriaXquetiene una distri bucin exponencial con una media de cuatro minutos. Cul es la probabi lidad de que atiendan a una persona antes de que transcurran tres minutos en al menos cuatro de los seis das siguientes? 10. Si el tiempo X de que tarde en realizarse cierta tarea claveenlaconstruccindeunacasaesunavariablealeatoria conunadistribuci nexponencial con=10horas. El costoC para completar esta tarea est relacionado con el cuadrado del tiempo que tarda en completarse mediante la frmulaC = 100 + 40X + 3X2Encontrar el valor esperado y la varianza de C.DISTRIBUCIN NORMAL1. Sea Z una variable aleatoria estndar, calcule las siguientes probabilidades:a) P(0 Z 2)b) P(-1 Z 1)c) P( Z 1.65)d) P(Z 1.96)e) P(Z > 1.5)f) P(-1.9 Z 2)g) P(Z 1.37)h) P(Z 1.5)2. Si una variable aleatoria tiene una distribuci n normal estndar, calclense las probabi lidades de que tome un val or:a) menor que 1.5,b) menor que -1.2,c) mayor que 2.16,d) mayor que -1.753. Determinar las probabil idadesa) P(X 2.44)b) P(X -1.66)c) P(X 1.923)d) P(X 1)e) P(X -2.9)f) P(2 X 10)4. Sea X normal con media 100 y varianza 36. Encontrar:a) P(X>110)b) P(X

,_

x d e m s l a s P a r ax 0e x p1aa xx f 9. Determinar la funcin generatriz de momentos para la distribucin Laplace con distribucin( ) R x 21 xe x f10. Usando la funcin generatriz de momentos calcular:a) El segundo momento normal para la distribucin de Poisson.b) El tercer momento normal para la distri bucin binomial.c) k-simo momento normal para la distribucin exponencial con funci n de densidad.( ) 0 0, xparaexp1> > ,_

xx fd) k simo momento normal para la distribucin gamma, con funcin de densidad.( )( )0 , 0, xpara1> > p a e xpax fax pp11. Demostrar, si x y Y son las variables aleatorias independientes, con distri bucin gamma( )( )0 xpara 11111> x pe xpx f( )( )0 ypara 11222> y pe ypy fEntonces la variable aleatoria Z = X + Y se distribuye como gamma con la funci n de densidad( )( )0 z para 12 12 1>+ + z p pe zp pz f12. Sean X y Y las variables aleatorias independientes con idnticasfuncionesgeneratrizdemomentosM(t). Calcularla funcin generatriz de momentos para la variable aleatoriaZ = X Y13. SeanXyYlasvariables aleatorias independientes conla misma distri bucin exponencial( )' > x dems las Para0 x 0e-xx fCalcularlafuncindedensidadparalavariablealeatoria Z = X Y.14. Calcular la funcin generatriz de momentos para la variable aleatoria X con funci n de densidad( )'

,_

x dems las Para2 x 021121xx fApl icar Formula de Euler ( ) ( ) x isen x eix+ cosDISTRIBUCIONES CONJUNTAS Y VARIABLES INDEPENDIENTES1. La funcin de probabi lidad de dos variables aleatorias discretas X y Y estdada por f(x,y) = cxy para x= 1, 2, 3 y y =1, 2, 3, y de otra manera igual a cero. Encuentre a) la constante c, b)( ) 3 , 2 Y X Pc)( ) 2 , 2 Y X P,d)( ) 2 X P, e)( ) 2 < X P,f)( ) 1 X P,g)( ) 3 Y P2. Encuentre las distribuciones de probabi lidad marginal de (a) X y (b) Y, para las variables aleatorias del problema anteri or. (c) Determine si X y Y son independientes.3. SeanXyYvariablesaleatoriascontinuasconfuncinde densidad( )' +c a s o o t r o e ny x y x cy x f01 0 , 1 0) , (2 2Determinea) la constante c,b)

,_

> +Y X Pc)( ) 1 , 2 1 < < Y X Pd)( ) 2 1 < < X Pe)( ) 1 Y P6. Sean X y Y variables aleatorias que tienen funcin de densidad conjunta( )'< < < < +c a s o o t r o e ny x y x cy x f02 0 , 1 0 2) , ( Encuentrea) la constante cb)

,_

< >23,21Y X Pc) La funcin de densidad (marginal) de Xd) La funcin de densidad (marginal) de Y7. En el problema anterior, es P(X>1/2, Y1/2)P(Y