1ProblemasAcontinuacinseincluyenlosenunciadosdetodoslosproblemaspropuestos en el texto.3. CELOSAS3.13.1 En la estructura de la figura P3.1 se desean calcular los esfuerzos en todas las barras y ladeformacinhorizontaldelapoyoB.Todaslasbarrassondelmismomaterial,conmdulodeelasticidad200GPa.Lasbarrasdelcordninferiortienen A=8cm2,lasdelcordn superior A=10 cm2, las diagonales A=10 cm2, y los montantes A=8 cm2.6 x 4 m4 m2 kNAB2 kN 2 kN 2 kN 2 kNFigura P3.13.13.2 CalculartodoslosesfuerzosinternosenlasbarrasdelaestructuramostradaenlafiguraP3.2.4 m 4 m 4 m 4 m4 m1000 N/mFigura P3.23.13.3 En la estructura de la figura P3.3 se desea calcular la deformacin horizontal del apoyo Bcuando todo el cordn inferior sufre un calentamiento de 20 C. Todas las barras son delmismomaterial,conE=200GPay =10-5C-1.Lasbarrasdelcordninferiortienenunreade8cm2,lasdelcordnsuperiorde10cm2,lasdiagonalesde10cm2,ylosmontantes de 8 cm2.Problemas26 x 4 m4 mAB+20C +20C +20C +20C +20C +20CFigura P3.33.13.4 CalcularlosesfuerzosenlasbarrasdelacelosadelafiguraP3.4,paralosvaloresdelngulo =15 y =30.Solucin: Para =15, NFC = 18.9 Tn,NAB = -26.1 Tn,NAD = 23.4 TnNAF=-17.2Tn,NBC = -19.1 Tn10 m10 TnABCDEF10 m20 m30457515ABCDEF8 m 10 TnABC : lado 8 mDEF : lado 2.143 m45Figura P3.4 Figura P3.53.13.5 Calcular los esfuerzos en las barras de la estructura de la figura P3.5, as como el descensodel punto F. Todas las barras tienen el mismo valor del producto EA = 4 106 kg.Solucin:NAD = -4.715 Tn, NEC = 6.44 Tn, NFB = -1.724 Tn,FY = 2.192 10-2 m.3.13.6 EnlaestructuradelafiguraP3.6sedeseancalcularlasdeformacionesdelpuntomedioentre los nudos D y E. Todas las barras tienen las mismas propiedades:E = 2 106 kg/cm2rea = 10 cm2 Inercia = 1000 cm4.Problemas3400 cm 400 cm 400 cm400 cm400 cmABCD EFGH2 kg/cmFigura P3.63.13.7Calcular los esfuerzos en las barras de la celosa mostrada en la figura P3.7, as como lasdeformacionesdelpuntoA.TodaslasbarrastienenelmismovalordelproductoEA=21000 Tn.Solucin: N1= 7.33 TnN2 = 4.94 Tn N3 = -1. AX = 9.4 10-4 m AY = -1.65 10-3 m.A10 Tn5 Tn3 m3 m4 m4 m 4 m3 m3 m10 TnBACFigura P3.7 Figura P3.83.13.8 Calcular la deformacin vertical del punto B en la estructura de la figura P3.8. Todas lasbarras tienen el mismo factorE A = 21000 Tn.Solucin:BY = 0.0036 m (hacia abajo).3.13.9 LacelosadelafiguraP3.9sehallacargadaporlafuerzade1000kgenelnudoB.Adems la barra EC sufre un incremento de temperatura de valor +20C. Todas las barrassoniguales,conunvalordeEA=2108kgyde=10-5C-1.Calcularlosesfuerzosentodas las barras y el desplazamiento horizontal del nudo C.Solucin:NAB= 8284 kgNAE = -11716 kgNBE = -1000 kg CX = 0.0966 cm.Problemas4400 cm 400 cm400 cmA B CDEF+20C1000 kg400 cm 400 cm400 cmA B CD E F=2 cmFigura P3.9 Figura P3.103.13.10 CalcularlosesfuerzosqueseproducenenlasbarrasdelaestructuradelafiguraP3.10,cuando el nudo B sufre un descenso conocido de valor =2 cm. Todas las barras tienen elmismo valor del producto EA=2 108 kg.3.13.11 CalcularladeformacinverticaldelnudoCenlaestructuradelafiguraP3.11,cuandosobre ella acta la fuerza P=2000 kg y adems las barrasAEy FD sufren un incrementodetemperaturaT=20C.TodaslasbarrastienenelmismovalordeEA=2108kgyde=10-5 C-1. Discutir la influencia de la fuerza P y del incremento de temperatura T en losdistintos resultados.Solucin:NAB= 0.4714 P (kg)NBC =0.3964 P (kg)NCF = -0.0631 P (kg)CY = -0.04 cm3 x 200 cmABCDE FP=2000 kgT=20 T=20200 cmFigura P3.113.13.12 EnlaestructuradelafiguraP3.12todaslasbarrassondelmismomaterial,ytienenunreatalquesecumplequeA/L=0.05cm.Calcularlosesfuerzosqueseoriginanenlasbarras cuando el cordn superior FGH sufre un calentamiento de 20 C.Datos del material:E=2 106 kg/cm2 =10-5 C-1Problemas54 m 4 m 4 m 4 m4 m+20C +20CA B C D EF GHFigura P3.123.13.13 Calcularlosesfuerzosqueseoriginanenlaestructuradelproblema3.13.12,cuandoenlugar del incremento de temperatura se aplica una carga vertical y hacia abajo de 8 Tn enel nudo C.Problemas64. VIGAS4.14.1Calcularladeformadadeunavigaempotradaenunextremoyapoyadaenelotro,sometidaaunadistribucindetemperaturasuniformeentodasulongitud,contemperatura gradiente Tg (figura P4.1).Solucin: MA = 3EITg / 2,v= Tg x2/4 - Tg x3/(4L), B = - LTg/4.LTgABFigura P4.14.14.2 Empleando el mtodo de la viga conjugada, calcular los momentos en los empotramientosde una viga empotrada en sus dos extremos, sometida a una carga uniforme (figura P4.2).4.14.3 Calcularlasdeformacionesenelextremolibredeunavigaenvoladizo,sometidaaunacarga uniforme sobre una distancia a, empleando el mtodo de lavigaconjugada(figuraP4.3).Solucin: Bqa L aEI= 3424( ),BqaEI= 36LqLqaFigura P4.2 Figura P4.34.14.4Empleando el mtodo de la viga conjugada, calcular la deformacin vertical en el extremolibre de una viga envoladizodelongitudL,apoyadasobreunmuelledeconstanteKendicho extremo libre, y sometida a una carga uniforme q (figura P4.4).Solucin:BqLK EI L= +// /833ABqKFigura P4.44.14.5Calcular la distribucin de momentos flectores en la viga de la figura P4.5, empleando lafrmula de los tres momentos. Datos: E = 2 105 MPa,I1 = 8000 cm4,I2 = 5000 cm4.Solucin: MA = -2.0 kN m ,MB = -2.82 kN m,MC = -2.59 kN m.Problemas72 m 2 m 4 m 4 m 4 m 4 m2 kN/m1 kN/m 1 kN/mI1I1I2I2I1I1A BCFigura P4.54.14.6 Calcular el diagrama de momentos flectores en la viga del ejercicio 4.12.7, empleando elmtodo general de flexibilidad, y eligiendo como incgnitas redundantes los momentos enlos apoyos B y C. Demostrar que las ecuaciones obtenidas coinciden con las que resultande aplicar la frmula de los tres momentos (vase el ejercicio 4.12.8).Problemas85. PRTICOS5.15.1 La estructura de la figura P5.1 est sometida a la fuerza horizontal de 5000 kg. Todas lasbarras tienen las mismas propiedades:E = 2 106 kg/cm2,A = 200 cm2,I = 50000 cm4. Sedesea calcular el momento flector en A y la deformacin horizontal de D.Solucin:MA = 14315 cm kg, DX =0.0602 cm5.15.2 Calcular los esfuerzos en todas las barras de la estructura de la figura P5.2, bajo la accinde la cargade 1 Tn. Datos para todas las barras:E=2 106 kg/cm2A=10 cm2I=2000 cm4Solucin: NBF = 2468 kg,NAD=NDC = -1745 kg,ME = 1872 m kg5.15.3 Calcular la deformacin vertical del punto G en la estructura del problema 5.15.2.Solucin: GY = 9.76 cm.5 m 5 m5 m5 mAB CEDF5000 kg400 cmABCDE FG400 cm 400 cm400 cm1 TnFigura P5.1 Figura P5.25.15.4 En la estructura de la figura P5.3 la barra DB tiene rea 10 cm2. La barra ABC tiene reainfinita comparada con la anterior y momento de inercia 2000 cm4. Calcular los esfuerzosen la estructura, bajo la accin de la carga de 1 Tn situada en el extremo del voladizo, ascomolaflechaverticalenelpuntodeaplicacindedichacarga.Elmaterialtieneunmdulo de elasticidad E=2 106 kg/cm2.Solucin:NDB =3498.4 kg, NAB =-2473.8 kg, MA =189505 cm kg,MB = -400000 cm kg, CY = 9.683 cm5.15.5 Repetir el problema 5.15.4 suponiendo que la barra ABC tiene un rea de 40 cm2.Problemas9ADBC400 cm 400 cm400 cm1 TnC A BD E5 m 10 m5 m1 TnGFFigura P5.3 Figura P5.45.15.6 En la estructura de la figura P5.4 se desea hallar el esfuerzo en el muelle CF y el mximomomento flector en la barra ABC. Las propiedades de las barras son: E=2.1106kg/cm2A=10 cm2 I=2140 cm4. La rigidez del muelle es K=100 Tn/cm.Solucin:SCF = +375 kg.Momento mximo = 1878.3 m kg en G5.15.7 CalculareldiagramademomentosflectoresenlaestructuradelafiguraP5.5.Losdosmuellestienelamismarigidezalgiro:1000mTn/rad.AdemselmuellesituadoenCtieneunesfuerzodepretensininicialdevalor10mTn,comoseindicaenlafigura.Todas las barras tienen las mismas propiedades:E=2 106 kg/cm2 A=100 cm2I=104 cm4Solucin: MAB = 1.85 MBA = 1.682 MBC = -2.266 MC = -3.138 MD = -4.01mTn2 Tn/mABC DK=1000 mTn/rad2 m 2 m2 mM0=10 m TnPretension en CFigura P5.55.15.8 CalcularlosesfuerzosenloselementosdelaestructuradelafiguraP5.6,ascomoladeformacinverticalenEyelgirodelnudoB.Todaslasbarrastienenlasmismaspropiedades: E=2 106 kg/cm2 A=100 cm2 I=10000 cm4.Solucin: NAB = -95 kg, NBD = 469 kg,NBC = -327 kg, NCE = 545 kg,NDE = -436 kg. MBD = 0.11863 mTn,MD = -0.3458 mTn,MBC = -0.1084 mTnProblemas102 m 2 m 2 m2 m3 m500 kg1000 kgAFCBDEFigura P5.65.15.9 Calcularlosdiagramasdemomentosflectores,esfuerzoscortantesyesfuerzosaxialespara la estructura de la figura P5.7. Adems de las fuerzas indicadas en la figura, la barraDEsufreuncalentamientouniformede+50C.Todaslasbarrassondeseccinrectangular, con canto 20 cm. y ancho 10 cm.El material tieneE = 2.1 106 kg/cm2, = 610-6 C-14 x 2 m2 m200 kg/m5 Tn5 TnA BCDEFGHJKFigura P5.75.15.10 Determinarelgradodehiperestaticidadh,yseleccionarunconjuntodeincgnitashiperestticas para los prticos mostrados en la figura P5.8. Dibujar la estructura isostticaque se obtiene al eliminarlas. Problemas11 Figura P5.85.15.11 En la estructura de la figura P5.9 se desea calcular el diagrama demomentos delabarraAC. La estructura est sometida a las cargas representadas en la figura y al descenso de 1cm del apoyo B. Adems la barra CD tiene una longitud natural de 302 cm.Datos para todas las barras:A= 10 cm2I= 2000 cm4E= 2 106 kg/cm2CDAB1 cmB'A'400 cm 400 cm400 cm300 cm3 106 cmkg20 kg/cmFigura P5.95.15.12 DeterminarlosesfuerzosenlaestructuradelafiguraP5.10.Todaslasbarrassondelmismomaterial,conE=2106kg/cm2,ytienenelmismomomentodeinerciaI=10000cm4. El rea de todas ellas es infinita, salvo la barra CE, que tiene A=10 cm2.El muelle BE tiene una rigidez de 100 Tn/cm, y adems su longitud natural es 4 cmmslargaquesulongitudtericademontaje.LauninentrelasbarrasenelnudoCesflexible, y tiene una rigidez al giro de valor 1000 mTn/rad.AB CDE400 cm400 cm 400 cmK10 m Tn200 cmFigura P5.10Problemas125.15.13 CalculareldiagramademomentosflectoresdelaestructuradelafiguraP5.11,empleando una descomposicin en casos simtrico y antisimtrico (ver captulo 9). Todaslas barras tienen: E=2 106 kg/cm2=10-6 oC-1 I=10000 cm4 A=10 cm2 Canto=20 cm.2 mTn20C -20C6 m 6 mABCDEF5 Tn6 m2 Tn/mFigura P5.115.15.14 CalculareldiagramademomentosflectoresdelaestructuradelafiguraP5.12.Porunerror de fabricacin, la barra AB mide 402 cm, y asimismo la barra DF es 1 cm ms cortaque su longitud demontaje.ElmuellesituadoenCtieneunarigidezde100mTn/rad,yuna pretensin inicial de 5 mTn, como se indica en la figura.Las propiedades de todas las barras son: A= 50 cm2I= 104 cm4E=2 106 kg/cm210 Tn2 m5 m TnABCDEF2 m2 m4 mFigura P5.12Problemas135.15.15 En la estructura de la figura P5.13 el peso de 10 Tn, cuelga de un cable inextensible quepasa por las poleas situadas en J y E, para engancharse en el extremo del voladizo de BG.Las poleas no tienen rozamiento y su radio es de 1 m. La barra ABCD est sometida a uncalentamiento de +100 C en su cara derecha y de +20C en su cara izquierda. Calcular losesfuerzosenlasbarrasyeldescensodelpuntoJ.Todaslasbarrastienenlasmismaspropiedades:A=100 cm2 I=10000 cm4Canto=20 cmE= 2 106 kg/cm2 = 10-6 C-1ABCDEFGHJ10 Tn1 m 4 m 4 m4 m4 m4 mFigura P5.13Problemas146. ARCOS6.11.1 Calcular los esfuerzosinternosenunarco biarticulado dedirectrizsemicircular,cargadoconunacargadistribuidauniformedevalorq(figuraP6.1).Suponerunaflexibilidadaflexin variable segn la ley del coseno =0 cos, siendo 0 la flexibilidad en la claveyelngulodeinclinacindelatangentealacurvadirectrizdelarco.Despreciarlaenerga de esfuerzo axial.qR0Figura P6.16.11.2 Calcularlosesfuerzosqueaparecenenelarcodelejercicio6.9.4bajolaaccindeunacarga distribuida uniforme horizontal de valor 50 kN/m actuando sobre su lado izquierdo,como se indica en la figura P6.2.60 m15 m50 kN/mFigura P6.26.11.3 Determinar la posicin del centro elstico y la orientacin de los ejes principales , paraelarcoasimtricodelafiguraP6.3.Considerarunaseccinuniforme,conrigidezaflexin EI=1.5 1010 N m2. Efectuar los clculos necesarios de forma numrica, dividiendoel arco en segmentos iguales.20 m6 m2 m10 mFigura P6.36.11.4 Determinarlosmomentosflectoresqueseproducenenelarcodelproblema6.11.3cuandoseaplicaunacargadistribuidaverticaluniformedevalorq=200kN/m.Efectuarlos clculos de forma numrica.6.11.5 CalcularlosesfuerzosqueaparecenenelarcodelafiguraP6.4,cuyadirectrizesunaparbola simtrica, cuando seaplicaunacargauniforme q=1Tn/menlazonaarticuladacentral. Suponer que la rigidez a flexin vara segn la ley de la secante EI = (EI)0 sec(),siendo la pendiente de la directriz del arco y (EI)0 la rigidez a flexin en la clave.Problemas1520 m10 m1 Tn/m10 m 10 mFigura P6.46.11.6 Calcularlosesfuerzosqueaparecenenelarcodelejercicio6.9.4bajolaaccindeunadistribucindetemperaturatalquetodasucarasuperiorsecalienta20Cytodalacarainferiorseenfra20Crespectodelatemperaturaambiente.Elcoeficientededilatacinlineal del material es =10-5 C-1.6.11.7Seaunarco biarticuladosimtrico(figuraP6.5),condirectriz parablicadefinidaporsubaseLysuflechaf.Sesuponequeelarcoesrgidoaxialmente(=0)yconseccinvariable, de tal forma que su flexibilidad a flexin vara segn la ley =0 cos,siendo0laflexibilidadenlaclave.Eltirantetieneflexibilidad.Calcularelesfuerzoeneltirante, el diagrama de flectores y la deformacin del apoyo A, cuando el arco se somete auna variacin de temperatura uniforme T en todo l. El coeficiente de dilatacin lineal delmateriales .A B0=0cosTPRPRFigura P6.5 Figura P6.66.11.8 Calcular el diagrama de momentos flectores en el anillo de la figura P6.6, sometido a dosfuerzas opuestas iguales. El anillo es de propiedades uniformes EI y radio R. Despreciar laenerga de esfuerzo axial.6.11.9Sea un arco biempotrado simtrico (figura P6.7), con directriz parablica de 20 m de luz y10 m de flecha. Se supone que el arco es rgido axialmente (=0)y con seccin variable,de tal forma que su flexibilidad a flexin vara segn la ley=0 cos, siendo 0 = 10-81/(kg m2) laflexibilidad en la clave. Calcular los esfuerzos queseproducenenelarcoaconsecuencia de un descenso de 1 cm en uno de sus apoyos.Problemas16=1 cm20 m10 m32 m12 m20 TnFigura P6.7 Figura P6.86.11.10Sea un arco simtrico, empotrado en sus apoyos y articulado en su clave (figura P6.8), condirectrizparablicade32mdeluzy12mdeflecha.Sesuponequeelarcoesrgidoaxialmente (=0) y con una seccin variable, tal que su flexibilidad a flexin vara segnlaley=10-8cos(1/kg-m2),siendolapendientedeladirectrizcurva.Calcularlosesfuerzos que se producen en l bajo la accin de una carga puntual de 20 Tn en la clave.6.11.11Elarcodelafigura P6.9tienedirectrizparablicadeluzLyflechaf.Sesuponequeelarcoesrgidoaxialmente(=0)ysuseccinestalquesuflexibilidadaflexinvarasegnlaley=0cos,siendo0laflexibilidadenlaclave.Calcularladeformacinverticalenladireccin delacargaaplicada,ladeformacinhorizontaldelapoyoByelgiro en dicho apoyo.6.11.12 Calcular la distribucin de momentos flectores en la estructura de la figura P6.10. La zonacurva tiene forma parablica y su seccin es tal que su momento de inercia vara segn laleyI=107sec,siendolapendientedelacurvadirectriz.Despreciarlaenergadelesfuerzo axial en la zona curva. Los pilares tienen momento de inercia 2 107 cm4y rea104 cm2. Elmdulo de elasticidad del material es 4 105 kg/cm2.ABLf P

20 m4 m2 Tn/m10 mFigura P6.9 Figura P6.10Problemas177. RIGIDEZ DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES7.19.1 Determinarlamatrizderigidezdeunelementoestructuralcurvoenformadecuartodecrculo,deradioRyseccintransversaluniforme(figuraP7.1).Despreciarlaenergadebida al esfuerzo axial.XL,JYLRIJFigura P7.1 Figura P7.27.19.2 Determinarlamatrizderigidezdeunelementodeemparrilladoplanoarticuladoenunode sus nudos (figura P7.2).7.19.3 Obtenerlaexpresindelamatrizderigidezdeunelementovigaplanacuyosdosextremos estn descentrados una magnitud e en la direccin YL respecto de los nudos (A yB) de la estructura (figura P7.3).IJeA BXLYLXNIJFigura P7.3 Figura P7.47.19.4 Obtenerlamatrizderigidezdeunelementovigaplana,enunodecuyosextremoshayuna deslizadera en la direccin YL, de tal manera que el esfuerzo cortante es nulo en esadireccin (figura P7.4).7.19.5 Obtenerlaexpresindelamatrizderigidezdeloselementosespacialesmodificadosindicados en el apartado 7.11.7.19.6 Obtener la matriz de rigidez de un elemento viga plana a flexin, con seccin rectangularde ancho constante b ycanto variable de forma lineal entre dos valores extremos h1 y h2en sus dos nudos (figura P7.5).h1h2IJJIFigura P7.5Problemas188. MTODO DE RIGIDEZ8.23.1 CalculareldescensodelpuntoAenlaestructuradelafiguraP8.1,bajolaaccindelacargade10Tn,teniendoencuentaademsqueelelementoADsufreunincrementodetemperatura uniforme de 50 C.Datos para todas las barras: E = 2 106 kg/cm2A= 100 cm2 I = 10000 cm4 = 10-5 C-110 TnABCD1 m 5 m5 m+50C10 kN5 kN454510 m1 kN/mA BCD10 mFigura P8.1 Figura P8.28.23.2 Resolver el problema 3.13.10 empleando el mtodo de rigidez.8.23.3 CalcularlasdeformacionesdelosnudosCyD,ascomolasreaccionesenAenlaestructuradelafiguraP8.2.Ademsdelascargasindicadas,labarraABsufreuncalentamiento uniforme de 100 C.Datos para todas las barras: E = 2.1 106 kg/cm2 = 10-6 oC-1

A = 200 cm2I = 4000 cm48.23.4 Resolver el ejercicio 5.13.2 empleando el mtodo de rigidez.8.23.5 Resolver el ejercicio 5.13.5 empleando el mtodo de rigidez.8.23.6 Resolver el problema 5.15.1 empleando el mtodo de rigidez.8.23.7 Resolver el problema 5.15.2 empleando el mtodo de rigidez.8.23.8 PlantearelsistemadeecuacionesdeequilibriodelaestructuradelafiguraP8.3.Suponiendoconocidoslosdesplazamientosdelosnudos,calcularlasreaccionesenelapoyo B. Datos para todas las barras:E = 2 106 kg /cm2

A = 100 cm2 I = 10000 cm4Problemas19200 N/m100 NDA BCE2 m 1 m 2 m1 m1 mFigura P8.38.23.9 Determinar las deformaciones de los nudos de la estructura de la figura P8.4. La barra ACes5mmmscortaquesulongitudterica,ylaBCtienelavariacindetemperaturaindicada. Datos:E=2 106 kg/cm2 A=100 cm2 I=104 cm4K=1 Tn/cm =10-6 C-1+50 C45 5 m5 m1 kN/mK20 cmCBA-10 C5 m 5 m5 m5 m10 kg/cm12345+50+20Figura P8.4 Figura P8.58.23.10 Calcular las deformaciones de los nudos en la estructura de la figura P8.5, sometida a lasaccionesrepresentadas.Todaslasbarrastienenlasmismaspropiedades:rea:100cm2,momentodeinercia:4000cm4,mdulodeelasticidad:2106kg/cm2,coeficientededilatacin lineal: 10-6 oC-1.Solucin: 1414141497 10 2 10 0 17 10 22 10x y i d= = = = , , . , 8.23.11 Resolver el problema 5.15.7 empleando el mtodo de rigidez.8.23.12 Resolver el problema 5.15.8 empleando el mtodo de rigidez.8.23.13 Resolver el problema 5.15.11 empleando el mtodo de rigidez.8.23.14 EnlaestructuradelafiguraP8.6,determinarelvalordelapretensindemontajequedebeaplicarsealtensorBDparaqueelmomentoenelpuntoCdisminuyaun10%conrespectoalasituacinsinpretensineneltensor.Larigidezdeltensores100kN/cm.Todoslos perfilesdelaestructuratienenA=100cm2,I=20000cm4.Elmaterialesacerocon E = 200 GPa. Hacer uso de la simetra del problema.Problemas20ABCDE20 m8 m2 m1 kN/mFigura P8.68.23.15 Calcular los esfuerzos internos en las barras de la estructura de la figura P8.7. Las barrasAB y BC son de seccin cuadrada hueca con lado 160 mm y espesor 8 mm Las barras CDyCEsondeseccincircularhuecacondimetroexterior125mmyespesor6mm.Lacara delantera de la barra BC sufreuncalentamientode 20C.Elmaterialesacero,conE= 200 GPa, G = 80 GPa y coeficiente de dilatacin 10-6 C-1.4 m4 mABCDE10 KN2 KN/m+20C2 m2 m4 mFigura P8.78.23.16 CalcularlasdeformacionesdelosnudosdelaestructuradelafiguraP8.8.Todaslasbarrassondeseccincuadradahuecaconlado200mmyespesor8mm.Elmaterialesacero con E = 200 GPa y G = 80 GPa.4 m4 m2 m10 kN2 kN/m4 m5 kN-mFigura P8.88.23.17 Resolver el problema 5.15.12 empleando el mtodo de rigidez.8.23.18 Resolver el problema 5.15.13 empleando el mtodo de rigidez.8.23.19 Resolver el problema 5.15.14 empleando el mtodo de rigidez.Problemas219. SIMETRA Y ANTIMETRA9.11.1 EnlaestructuradelafiguraP9.1sedeseacalcularlasdeformacionesdelosnudosyelesfuerzofinalenelmuellesituadoenA,empleandolassimplificacionesdesimetrayantimetra.Todaslasbarrastienenlasmismascaractersticas.ElmuelledeAtieneunapretensininicialde100mTn,queactaensentidoantihorariosobrelabarra.Losrestantes muelles estn descargados en el estado inicial.Datos:E = 2 106kg/cm2 I = 5000 cm4 A = 30 cm2 = 10-6 C-1Canto = 10 cm.T= 100 C3 mK=1Tn/cm T= 20 C2 Tn/m5 Tn10 TnAB CD EFGHK=104 mTn/rad3 m 3 m 3 m 3 m 3 m4 mFigura P9.19.11.2 EnlaestructuradelafiguraP9.2,calcularlaflechaenelextremodelvoladizodeladerecha y la fuerza a efectuar en el punto 2 para moverlo 1 cm a 45, como se indica.Las uniones en los puntos 1, 3y1'sonflexibles,ytienenunarigidezalgirorelativodevalor de 104 mTn/rad. La articulacin 3 tiene un defecto de fabricacin, por lo que ha sidonecesariogirarsusextremos5mradparamontarla.Elmuelle3-4tieneunalongitudnatural de 3.98 m y su rigidez es de K = 103 Tn/m. La cara superior de la barra 2-4 sufreun calentamiento de +100C.Datos para todas las barras: A=100 cm2, I=10000 cm4, E = 2 106 kg/cm2, canto = 20 cm, = 10-6 oC-1.2 Tn/m1 m 4 m 4 m4 m1 m1 cm+100 C12342 Tn1'2'K45Figura P9.29.11.3 CalculareldiagramademomentosflectoresyelesfuerzoaxialeneltensorBCdelaestructura de la figura P9.3.Las propiedades de las barras AB y CD son:EA = 2 108 kg,EI=21010kgcm2.Labarracurvaseconsiderainfinitamentergidaaesfuerzoaxialytiene EI = 4 1010 kg cm2. El tirante BC tiene una rigidez de 103 kg/cm.Problemas226 mR=4 m2.5 mABCD200 kg/mFigura P9.39.11.4 Calcular los esfuerzos internos en la estructura de la figura P9.4.Todas lasbarrastienenlas siguientes propiedades: E=2 106 kg/cm2,A=10 cm2,I=104 cm4. La rigidez del resorteGF es de 1000 Tn/m. Las poleas en E y J son de radio nulo, sin rozamiento y los hilos soninextensibles.452 Tn7 Tn 6 Tn4 m 4 m 4 m 4 m3 m3 m0.5 Tn/mDGHCEJIBFKA L6 mFigura P9.49.11.5 Descomponerensimtricoyantimtricolosprticosespacialesmostradosenlosejemplos del apartado 5.2, cuando sea posible.9.11.6 Resolverelproblema5.15.11empleandoladescomposicinencasossimtricoyantisimtrico.9.11.7 Resolverelproblema5.15.14empleandoladescomposicinencasossimtricoyantisimtrico.9.11.8 Resolverelproblema6.10.9empleandoladescomposicinencasossimtricoyantisimtrico.Problemas2310. LNEAS DE INFLUENCIA10.11.1 Enlaestructuradelafigura P10.1,sedeseacalcularlalneadeinfluenciadelmomentoflector en el apoyo B, cuando una carga unitaria vertical y hacia abajo recorre toda la vigaAD. La viga es de caractersticas uniformes E,I. Emplear el teorema de Mller-Breslau yel mtodo de la viga conjugada.LA B CD1L LFigura P10.110.11.2 La viga de la figuraP10.2es depropiedadesuniformesysobreellasemueveunacargaunitaria vertical y hacia abajo. Calcular las lneas de influencia del momento flector en elapoyo B, y en el punto medio de BC. Emplear el teorema de Mller-Breslau, y el mtodode la viga conjugada.LABC D1LzLFigura P10.210.11.3 Hallar la lnea de influencia del momento flector en el apoyo A, cuando una carga unitariamvil recorre el tramo BC en la estructura de la figura P10.3Propiedades de todas las barras:E=2.1 106 kg/cm2, I=104 cm4,A=20 cm2.500 cm500 cm500 cmzAB CDEK=200 kg/cm1Figura P10.3Problemas2410.11.4 En la estructura de la figura P10.4 se desea calcular la lnea de influencia del momento enelmuelleB,cuando lafuerzade2TnrecorrelatrayectoriaBC.LadeslizaderaIencajaperfectamente en la viga, sin ninguna holgura ni rozamiento.Datos:I = 2000 cm4,K = 10000 m kg/rad,E = 2.1 106 kg/cm2.2 Tn0.5 m4 m 8 m10000 m kg/radABCIzFigura P10.410.11.5 Sobre la estructura de la figura P10.5 se mueve una carga de 50 Tn. Se desea calcular elvalormximodelesfuerzoaxialsoportadoporelelementoBE,yculeselpuntoenelquesehallalacargamvilcuandoseproducedichoesfuerzomximo.Adems,seconsidera que la barra ABCD tiene un peso propio de 200 kg/m.Datos para todas las barras:E=2 106 kg/cm2,I=104 cm4,A=10 cm2.200 kg/m50 TnZEABCDF4 m4 m 4 m 8 mFigura P10.510.11.6 Sobre la estructura de la figura P10.6 se mueven dos ruedas separadas 1 m, que transmitenconjuntamente una fuerza unitaria. Calcular la lnea de influencia del esfuerzo axial de labarraBDcuandolacargamvilrecorrelatrayectoriaAC.Dividirelproblemaporsimetrayantimetraycalcularlasdeformacionesnecesariasempleandoelmtododerigidez. Caractersticas de las barras: E=2.1 106 kg/cm2, I=10000 cm4, A=10 cm2.Problemas251AB CDIz6 m12 m 12 m1 mFigura P10.610.11.7 CalcularlalneadeinfluenciadelmomentoenelmuelleCenlaestructuradelafiguraP10.7, cuando dos fuerzas unitarias simtricas recorren los vanos AB y ED. El muelle Ctiene un esfuerzo de pretensin de 10 m Tn como se indica en la figura y su rigidez es de108 cm kg/rad.Todas las barras tienen flexibilidad axial nula. La zona curva tiene forma parablica y surigidezaflexinvienedadaporlaecuacinEI=21010sec()(kgcm2),siendoelnguloqueformalarectatangentealacurvaconlahorizontal.LasbarrasAByDEtienenE I = 4 1010 kg cm 2.A EBCD20 m6 m10 m1 1zz10 m TnPretensin en CFigura P10.710.11.8 Enlaestructuradelafigura P10.8actaunacargamvilde1Tn,querecorrelasvigasABCD, mantenindose siempre vertical y hacia arriba. Adems acta la carga distribuidade 2 Tn/m sobre AE. Calcular las lneas de influencia del momento flector ME en el apoyoE y delmomentoflectorMBA,enelextremoBdelabarraAB,empleandoelmtodo deMller-Breslau.Todaslasbarrastienen:E=2106kg/cm2,I=10000cm4.Sureaesinfinita,salvolaBCque tiene 10 cm2. El muelle situado en el nudo C tiene una rigidez de 500 mTn/rad.Problemas262 Tn/mABCDEF G12 m 2 m 2 m2 m2 mFigura P10.810.11.9 Calcular las lneas de influencia de los esfuerzos en las barras FG y GH en la celosa de lafiguraP10.9,cuandounacargaunidadrecorreelcordnsuperiorAE.Todaslasbarrastienen E= 2 106 kg/cm2, A=20 cm2.1A BC D EF G H4 x 4 m4 mFigura P10.910.11.10 LaestructuradelafiguraP10.10representaunelementoABCusadocomoguaenunsistema de transporte, que se modeliza mediante una viga continua de 2 vanos, empotradaenAyC.Simultneamentehaydospiezassobrelagua, una deida, de2Tn,yotradevuelta,de1Tn,cuyomovimientosobrelaguaseconsiguemedianteunsistemadepoleas,yestsincronizado,quedandodefinidoporunsloparmetroz.ElapoyoBseencuentra2cmpordebajodesuposicincorrecta,debidoaunerrordefabricacin.Calcular el valor mximo del momento flector en el punto B.Datos:I= 2000 cm4,A= 10 cm2,E= 2 106 kg/cm2.Problemas27zB 4 m C A=2cmz2 Tn1 Tn 4 m Figura P10.10Problemas2811. VIGAS EN FUNDACIN ELSTICA11.13.1 Determinar las fuerzas y momentos de empotramiento perfecto de una viga empotrada enambosextremos,apoyadaenunafundacinelsticadecoeficientedebalastoK,ysometida a una carga distribuida triangular de valor nulo en el nudo de la izquierda y valorq en el nudo de la derecha (figura P11.1).11.13.2 Calcular las deformaciones en los extremos de una viga libre en ambos extremos, apoyadaen una fundacin elstica de coeficiente de balasto K, y sometida a una carga distribuidatriangular de valor nulo en el extremo de la izquierda y valor q en el de la derecha (FiguraP11.2). Utilizar el mtodo de rigidez y los resultados del problema anterior.qLqLFigura P11.1 Figura P11.211.13.3 Utilizar el mtodo de rigidez paracalcularlasdeformacionesyelmomentoflectorenlavigadelafiguraP11.3,queestparcialmenteapoyadaenunafundacinelsticadecoeficiente de balasto Kt = 15 kg/cm3.La viga tiene seccin rectangular concantode 60cm y ancho de 30 cm. El material tiene E = 250000 kg/cm2.5 m 5 m 5 m10 TnFigura P11.311.13.4 LafiguraP11.4representaunavigasemiinfinitasometidaaunmomentoexteriordevalor10mTnaplicadoaunadistanciade3mdesuextremo.Calcularladeformacinverticalyelgiroenelextremodelaviga,ascomoelmomentoflectoryelesfuerzocortanteenelpuntodeaplicacindelmomento.Elcoeficientedebalastodelavigaes800 kg/cm2 y el producto EI = 8 1011 kg cm2.3 m10 mTnFigura P11.411.13.5Lafigura P11.5 representaunemparrilladoplanoformadoporunavigaprincipalABde20mdeluz,queestapoyadaenunafamiliadevigassecundariasde5mdeluz,separadas 40 cm entre s. Tanto la viga principal como las secundarias estn simplementeapoyadasensusextremos.LavigaprincipalesunperfilIPE300ylassecundariassonIPE 80. El material es acero con E = 2 106 kg/cm2.Problemas29Considerarlavigaprincipalcomoapoyadaenunafundacinelsticaformadaporlasvigas secundarias. En este supuesto, calcular la deformacin que se produce bajo la cargayelmomentoflectormximoqueaparecetantoenlavigaprincipalcomoenlavigasecundaria que soporte mayor carga.20 m40 cm10 TnA B5 mIPE 300IPE 80Figura P11.511.13.6 Uncajnhuecoflexible,cerradoensusextremos,delongitudL,sehallaflotandoenlasuperficie de un fluido de peso especfico (figura P11.6). El cajn est construido de unmaterialconmdulodeelasticidadE,tieneseccincuadradadeladob,ymomentodeinerciaIysupesoesdespreciable.Determinarcuntosehundeelcajnenelfluidocuando en uno de sus extremos se aplica una fuerza vertical y hacia abajo de valor P.Lb x bPFigura P11.611.13.7 Resolverelproblema11.13.6suponiendoqueelcajntieneunpesoporunidaddelongitud de valor q.Problemas3012. CONDENSACIN DE ECUACIONES Y SUBESTRUCTURAS12.7.1 Determinarlamatrizderigidezdeunarcoempotradoarticuladodedirectrizparablica,conluzLyflechaf,apartirdelamatrizderigidezdelarcoempotradoenambosextremos, obtenida en el ejercicio 7.17.5. Suponer una variacin delmomento deinerciasegn la ley de la secante y despreciar la energa de esfuerzo axial.A B0=0cosFigura P12.112.7.2 Obtener la matriz de rigidez de un elemento combinado formado por una viga de longitudL y rigidez EI, unida en ambos extremos a dos muelles al giro iguales, de rigidez K (figuraP12.2).LK K2121Figura P12.212.7.3 Determinarlasfuerzasdeempotramientoperfecto(fase0)deunarcoempotradoarticuladodedirectrizparablica,conluzLyflechaf(figuraP12.1),apartirdelascorrespondientesalarcoempotradoenambosextremos.Suponerunavariacindelmomento de inercia segn la ley de la secante y despreciar la energa de esfuerzo axial.12.7.4 ObtenerlamatrizderigidezparaelelementocompuestomostradoenlafiguraP12.3,cuyos extremos estn reforzados con una zona de inercia 2I.L/21212L/4 L/4EI2EI 2EIFigura P12.3Problemas3113. MTODO DE DISTRIBUCIN DE MOMENTOS13.8.1 Calcular el diagrama de momentos flectores de la estructura de la figura P13.1.6 m 6 m 6 m6 m2 m 2 m2EI 2EI 2EIEI EI EI2 Tn/mFigura P13.113.8.2 Calcular el diagrama de momentos flectores de la estructura de la figura P13.2.3 m 3 m 6 m5 m2EIEI2 Tn/m3 mEI2EI4EI 4EI 4 TnFigura P13.213.8.3 Resolver el ejercicio 8.21.2 empleando el mtodo de Cross. Comparar los resultados conlos obtenidos mediante el mtodo de rigidez.13.8.4 ExtenderelmtododeCrossparapodertratarvariacionesdetemperaturaenlasvigas,suponiendounatemperaturagradienteTguniforme.Resolverelejercicio8.21.3empleando el desarrollo efectuado.13.8.5 Calcularelgirodelnudo2yeldiagramadeflectoresenlavigadelejercicio8.21.4empleando el mtodo de Cross.Problemas3213.8.6 Calcular el diagrama de momentos flectores en la viga delejercicio4.12.1empleandoelmtodo de Cross.13.8.7 Calcular el diagrama de momentos flectores en la viga delejercicio4.12.7empleandoelmtodo de Cross.13.8.8 Resolver el ejercicio 8.21.5 empleando el mtodo de Cross.13.8.9 Resolver el ejercicio 8.21.6 empleando el mtodo de Cross.13.8.10 Resolver el ejercicio 5.13.2 empleando el mtodo de Cross.13.8.11 Resolver el problema 8.23.6 empleando el mtodo de Cross.Problemas3314. PANDEO Y ESTABILIDAD14.21.1 Determinar la carga crtica de los sistemas mostrados en la figura P14.1, suponiendo quetodas las barras son infinitamente rgidas al esfuerzo axial y a la flexin.LPKLLPK1K2LPK1K2LFigura P14.114.21.2 Repetirelproblemaanteriorsuponiendoquelasbarrastienenunarigidezalaflexinfinita, de valor EI.14.21.3 CalcularlacargacrticadelascolumnasdepropiedadesuniformesEI,mostradasenlafigura P14.2.LPKLPKLFigura P14.214.21.4Calcular la carga crtica de pandeo de la columna de la figura P14.3.14.21.5 Calcular la carga crtica de pandeo de la columna de la figura P14.4.LPLLPLFigura P14.3 Figura P14.414.21.6 Calcular el momento en el empotramiento en la viga columna de la figura P14.5, sometidaa una carga distribuida uniforme q.LPqLPQFigura P14.5 Figura P14.6Problemas3414.21.7 Calcular el momento en el empotramiento en la viga columna de la figura P14.6, que estsometida a una carga puntual Q situada en la mitad de su luz.14.21.8 Calcular la carga crtica de pandeo de la columna de la figura P14.7.L/2PL/2L/2PL/2EI2EIFigura P14.7 Figura P14.814.21.9 Calcularlacargacrticadepandeodelacolumnadeinerciavariablerepresentadaenlafigura P14.8.14.21.10 Calcular la carga de pandeo de la columna articulada mostrada en la figura P14.9, que estsometida a un calentamiento uniforme de valor T.LTFigura P14.914.21.11 Calcular el valor de la temperatura T que hace pandear a la columna de la figura P14.10.LTK2TFigura P14.1014.21.12 Calcularlacargacrticadepandeoglobalparalaestructuradecelosamostradaenlafigura P14.11, utilizando el mtodo de rigidez y la expresin aproximada de la matriz derigidez. Todas las barras tienen en mismo producto EA=2 108 N.10 m10 m8 kN5 kNFigura P14.11Problemas3514.21.13 Determinar el mdulo reducido de una seccin en I, de canto h y anchura b. Despreciar elrea del alma y suponer que en cada ala se concentra la mitad del rea total del perfil.Solucin: EEEE Ertt=+214.21.14 CalcularlacargacrticadepandeoglobaldelprticoadosaguasmostradoenlafiguraP14.12, utilizando el mtodo de rigidez y la expresin aproximada de la matriz de rigidez.El valor del producto EI es106 N m2.10 m 10 mPP2P5 m2 m2 EIEI2 EIEIFigura P14.12