Problemasdefísicapropuestosyresueltos:PotencialeléctricoPor:PilarCristinaBarreraSilvaFísicaHalliday-Resnick,volumenII,terceraedición
29.13Determinelaenergíapotencialeléctricadelaconfiguraciónindicada.ElcuadradotieneladoL=1,00m;q1=1,00X10-8C;q2=-2,00X10-8C;q3=3,00X10-8C;q4=2,00X10-8C.Solución:Sesabequelaenergíapotenciaeléctricaes:𝑈 = 𝑈!,! + 𝑈!,! + 𝑈!,! + 𝑈!,! + 𝑈!,! + 𝑈!,!sabiendoquecadaterminoes:𝑈 = 𝑘 !!!!
!!"
Reemplazandovaloresnuméricosseobtiene:U=-6,30x10-7JouleFísicaHalliday-Resnick,volumenII,terceraedición29.1Unaláminainfinitacargadatineunadensidadsuperficialdecarga𝜎 = 1,00𝑋10!!𝐶/𝑚!.Hallelaseparaciónentrelassuperficiesequipotencialescuyospotencialesdifierenen5,00voltiosSolución:Unasuperficieequipotencialesaquellaenlacualelpotencialeléctricosemantieneconstante.Sesabequeelcampoeléctricodeunaláminainfinitaes:𝐸! =
!!!!yaqueestecampo
esconstanteelpotencialaunadistancia𝑥delaláminaes:𝑉 = !!!!
𝑥,despejandoladistanciahorizontal:𝑥 = 8,85𝑋10!! 𝑚enmilímetroslassuperficiesequipotencialesestánmuycercanas.FísicaHalliday-Resnick,volumenII,terceraedición
Potencialeléctricodebidoaundipolo:Undipololoformandoscargasdesignocontrarioperodelmismovalor,separadasunadistancia2a.HallarelpotencialdebidoaldipoloenelpuntoP.Solución:CalculamoselpotencialeléctricodebidoalasdoscargasenelpuntoP:
𝑉 = 𝑘 𝑞𝑟!−𝑞𝑟!
= 𝑘𝑞( 𝑟! − 𝑟!𝑟!𝑟!
)
Sir>>2𝑎senotaenlafiguraquedemaneraaproximadasecumple:𝑐𝑜𝑠𝜃 = !!!!!
!!yaproximando𝑟!𝑟! ≅ 𝑟!esposibleexpresar
elpotencialdeldipoloenlaforma:
𝑉 = 𝑘𝑞(!!"#$%!!
)alvalor2𝑎𝑞selellamamomentodipolar𝑝:entonces:p=2𝑎𝑞,finalmenteelpotencialeléctricodeestaconfiguraciónsepuedeescribircomo:V= !"#$%
!!!!!!
Potencialeléctricodedoscascaronesesféricosconcéntricos.ElinternotieneradioR1=6,00cmycargaQ1=12,0nCelexternotieneradioR2=10,0cmycargaQ2=-18,0nC.Loscascaronessonaislanteytienenlacargadistribuidademanerauniformeencadaunadelassuperficies.a)halleelpotencialeléctricoenr=0,enr=4,00cm,enr=8,00cmb)graficarlafunciónpotencialdesder=0hastar>10,0cmSolucióna)Parahallarelpotencialeléctricosevaaaplicar:𝑉 = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑟Veamoselesquemadelasituacióneneldibujo:
Esnecesarioconocerelcampoeléctrico,éstesedeterminaapartirdelaLeydeGauss:r>R2𝐸!4𝜋𝑟! = 𝑄!"#$/𝜖!entoncesreemplazandovaloresconocidosconlacargatotal:𝐸! = − !",!
!!
EnR1<r<R2conunprocesosimilar,peroenestecasolacarganetaesladelcascaróninterno:𝐸! = !"#
!!
Finalmenteen0<r<R1E3=0yaquelacarganetaenestaregiónesnula.Ahoradeterminemoselpotencialeléctricoencada
región:Parar>R2𝑉! = − 𝐸! ∙ 𝑑𝑟 = − − !",!
!!𝑑𝑟 = − !",!
!+ 𝐶!;laconstante𝐶! = 0yaqueel
potencialseaproximaacerosir𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎 𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜, entonces:𝑽𝟏 = − 𝟓𝟒,𝟎𝒓
AhoradeterminoelpotencialenR1<r<R2conunprocesosimilar:
𝑉! = − 𝐸! ∙ 𝑑𝑟 = −108𝑟! 𝑑𝑟 =
108𝑟 + 𝐶!
Paradeterminar𝐶!setieneencuentaquelafuncióndebesercontinua,entonceshalloelpotencial𝑉!enr=R2,estoes:𝑉! = − !",!
!,!= −540voltios
Aplicoesteresultadoen𝑉!:−540 = !"#
!,!+ 𝐶!dedonde𝐶! = −1620entonceselpotencialenestaregiónes:
𝑽𝟐 =𝟏𝟎𝟖𝒓 − 𝟏𝟔𝟐𝟎
Finalmentedeterminoelpotencialenlaregión0<r<R1,comolafuncióndebesercontinua,halloelpotencial𝑉!enr=R1:
𝑉! =1080,06− 1620 = 180 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠
Estevalorresultaválidopara0<r<R1entonces:V3=180voltios
Ahorahallamoselpotencialenlospuntosdondelosolicitaelejercicio:Enr=0yr=4,00cmV3=180voltiosEnr=8,00cmelpotencialcorrespondealasegundaregiónestoes:R1<r<R2V2=-270voltiosb)gráfico:
Análisis:Deacuerdoaloesperadoelpotencialeléctricoresultaconstanteenlaregióndondeelcampoeléctricoesnulo,varíaluegodeacuerdoaunafunciónpotencialinversaenlaregióncomprendidaentrelosdosradiosdeloscascaronesyfinalmenteseacercaaceropararmayorqueelradiodelcascarónexterior.
Notaimportante:Deacuerdoalapropuestadesoluciónpresentarsolamentelacorreccióndelquiz.Noesnecesariorealizarejercicioadicional.Potencialdeunaesferamacizaaislante:EsferamacizanoconductoraconcargatotalQdistribuidademanerauniformeentodosuvolumen,elradiodelaesferaesR.Determinarpotencialeléctricodebidoalaesferaenr≥Ryen0≤r≤ 𝑅.Graficarelpotencialeléctricocomofuncióndeladistanciar.Solución:Parahallarelpotencialeléctricodebidoalaesferavamosaaplicar:
𝑉 = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑙
ElvectorcampoeléctricodebidoaunaesferaaislantemacizaderadioResapartirdeLeydeGauss:
𝐸! =𝑄
4𝜋𝜀!𝑟! 𝑟 𝑟 ≥ 𝑅
𝐸! =𝑄𝑟
4𝜋𝜀!𝑅! 𝑟 𝑒𝑛 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅
Notamosqueenestosresultadoscuando𝑟 = 𝑅elcampoeléctricocoincideenmagnitud,esdecir𝐸! = 𝐸!; esteresultadoindicaquelafunciónescontinua.𝐸 𝑅 = !
!!!!!!enmagnitud
Ahoradeterminamoselpotencialeléctrico:Para𝑟 ≥ 𝑅
𝑉! = −𝑄
4𝜋𝜀!𝑟!𝑟 ∙ 𝑑𝑟𝑟
Yaqueelvectorcampoeléctricoyelvectorposiciónsonparalelos:𝑟 ⋅ 𝑟 = 1Laintegralesinmediata:𝑉! = − !
!!!!!!𝑑𝑟= !
!!!!!+ 𝐶!
Parahallar𝐶!asumoquesi𝑟 → ∞ 𝑉 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐶! = 0Asílafunciónpotenciales:𝑉!=
!!!!!!
(1)Para𝑟 ≥ 𝑅
𝑉! = −𝑄𝑟
4𝜋𝜀!𝑅! 𝑟 ∙ 𝑑𝑟𝑟
Realizandoelproductoescalareintegrando:
𝑉! = −𝑄𝑟
4𝜋𝜀!𝑅! 𝑑𝑟 = −
𝑄𝑟!
8𝜋𝑒!𝑅!+ 𝐶!
elpotencial𝑉!es:
𝑉! = −𝑄𝑟!
8𝜋𝜖!𝑅!+ 𝐶!
Lafunciónpotencialeléctricoescontinua,loqueimplicaqueen𝑟 = 𝑅; 𝑉! = 𝑉!:
𝑄4𝜋𝜖!𝑅
= −𝑄
8𝜋𝜖!𝑅+ 𝐶!
despejandolaconstante𝐶!
𝐶! =3𝑄
8𝜋𝜖!𝑅
Finalmenteelpotencialeléctricoenestaregiónes:𝑉! = − !!!
!!!!!!+ !!
!!!!!;factorizando:
𝑉! =!
!!!!!(3− !!
!!)(2)
Veamoselgráficodelafunciónpotencialeléctrico:
Física.Tipler-Mosca,volumenII,quintaedición23-55..Doscortezascilíndricasdegranlongitudyconductorasposeencargasigualesyopuestas.Lacortezainteriortieneradio𝑎yunacarga+q;laexteriortieneunradio𝑏yunacarga–q.LalongituddecadacortezacilíndricaesL.Halleladiferenciadepotencialexistenteentrelasdoscapasdelacorteza(en𝑎 < 𝑟 < 𝑏)Física.Tipler-Mosca,volumenII,quintaedición23.56Unaesferauniformementecargadatieneunpotencialde450Vensusuperficie.Aunadistanciaradialde20,0cmdeestasuperficieelpotenciales150V.Determineelradiodelaesferaylacargaqueéstatiene.Explicarporquéelpotencialesmenora20,0cmdelasuperficiedelaesfera.